68614

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності

Лабораторная работа

Физика

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу під якими розуміють будьяке співвідношення що встановлює взаємозв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Тоді функцією розподілу Fx випадкової величини X називається функція Fx = P X x.

Украинкский

2014-09-24

412 KB

3 чел.

Дисципліна: „Надійність і діагностування світлосигнального обладнання аеродромів”

Лабораторна робота №1

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових

величин, що застосовуються в теорії надійності

Мета лабораторної роботи – експериментально дослідити основні закони розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності – показовий та нормальний розподіли, розподіл Вейбулла та Пуассона з різними значеннями параметрів.

Основні теоретичні відомості

Випадковою вважається подія, появу якої не можливо точно спрогнозувати. При кількаразовому повторенні вона щораз протікає по-своєму та може приводити до різних результатів

Випадковою подією є відмова будь-якого виробу, причому час від початку роботи до моменту відмови  Т0 є випадковою величиною.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в ході досліду може прийняти будь-яке, заздалегідь невідоме, значення.

Вивчаючи знос виробів, знаходячи нові критерії оцінки їх стану, можна навчитися прогнозувати моменти відмов, точніше, інтервали часу, коли очікується відмова всього виробу. Однак відмови окремих елементів були й залишаються випадковими подіями, для оцінки яких і розроблено математичний апарат теорії надійності.

Вивчаючи статистику відмов досить великої кількості однотипних виробів, можна прогнозувати їх поводження в загальній масі і підрахувати ймовірність відмови кожного зі зразків у певний період часу. Імовірнісна оцінка не дає можливості врахувати індивідуальні особливості кожного з виробів, але при великій кількості однотипних виробів за допомогою імовірнісних характеристик можна досить точно судити про їх властивості в загальній масі, прогнозувати загальну кількість відмов.

Імовірність випадкової події А визначається відношенням числа благополучних випадків m до їх загального числа n причому благополучним випадком є той, що спричиняє появу події.

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу, під якими розуміють будь-яке співвідношення, що встановлює взаємозв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Ці залежності можна представити у вигляді таблиць, графіків або аналітичних функцій.

Нехай Х – деяка випадкова величина. Тоді функцією розподілу F(x) випадкової величини X називається функція 

F(x) = P (X < x).

Таким чином, значення функції розподілу в точці х0, дорівнює ймовірності того, що випадкова величина прийме значення, що є меншим ніж х0.За допомогою функції розподілу можливо знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить до заданого проміжку:

Р (<х<) = Р() - Р ().

Статистична щільність розподілу випадкових величин знаходиться за формулою:

                                         (1)

де N  – загальна кількість випробуваних елементів;

n – кількість елементів, що припадають за своїми значеннями на ділянку x.

Якщо в результаті математичної обробки ряду випробувань одержимо графік щільності розподілу випадкової величини f(x), то тим самим ми повністю опишемо її властивості. Так, для знаходження ймовірності появи величини в деяких межах або ймовірності того, що випадкова величина прийме значення в деяких межах (наприклад, від до ), досить визначити площу під кривою f(x), обмежену зазначеними межами, інакше кажучи, взяти інтеграл .

Крім щільності розподілу випадкової величини будують, також, функцію розподілу (закон розподілу в інтегральній формі):

                                                       (2)

Кожна точка закону розподілу показує, яка ймовірність того, що при випробуваннях випадкова величина буде мати значення, менше або рівне абсцисі х.

Функція та щільність розподілу випадкової величини найбільш повно описують її властивості, дозволяючи визначити ймовірність її появи на будь-якій ділянці, але далеко не завжди є можливість знайти закони розподілу.

Оскільки закономірності поводження випадкової величини можна виявити тільки при масових випробуваннях (при малому об'ємі випробувань випадкові відхилення можуть повністю спотворити закон розподілу), а для проведення таких випробувань потрібні більші витрати коштів та часу без видимої віддачі, то часто обмежуються визначенням характерних параметрів законів розподілу. Їх називають числовими характеристиками випадкових величин.

Найбільш застосовуваною і важливою числовою характеристикою є математичне чекання випадкової величини, або її середнє значення. Для дискретних випадкових величин математичне чекання заходиться як сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності їх появи:

.     (3)

Для безперервної випадкової величини математичне чекання визначається через щільність розподілу f(x) за формулою:

    (4)

В якості числових характеристик використовують також такі поняття, як мода та медіана.

Модою називають випадкову величину, значення щільності ймовірності (або ймовірності) якої є максимальним.

Медіаною (Me) називають таке значення випадкової величини, для якого рівно ймовірно, чи виявиться випадкова величина більше або менше медіани:

Р(х>Me) = P(x<Me).

Для опису властивостей випадкових величин часто використовуються моменти. Розрізняють початкові моменти s[x], що обчислюються щодо осі ординат, і центральні моменти s[x], що обчислюються щодо осі, що проходить через математичне чекання випадкової величини, за наступними формулами:

;                                                    (5)

                                            (6)

Ступінь s називають порядком моменту. Найбільш важливими є перший початковий момент (математичне чекання випадкової величини) і другий центральний момент , який називають дисперсією і позначають як D[x].  

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно її математичного чекання. Мале значення дисперсії говорить про те, що щільність розподілу випадкової величини має яскраво виражений максимум і більшість її значень групується поблизу математичного чекання.

Величина, яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії, є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини від її математичного чекання, і позначається як :

                                                       (7)

Для оцінки математичного чекання будь-якого закону розподілу випадкової величини можна використати наступну формулу:

,                                                                                (8)

де значення випадкової величини, отримані в п дослідах.

Оцінка називається незміщеною, якщо математичне чекання оцінки збігається з оцінюваним параметром. Оцінка називається спроможною, якщо при нескінченному збільшенні числа спостережень вона сходиться до оцінюючого параметра по ймовірності. Оцінка називається ефективною, якщо вона якомога ближче відповідає оцінюючому параметру, і ймовірність більших помилок буде мінімальною. Для досягнення цієї мети вимагають, щоб величина М[х* х]2 була мінімальною.

При емпіричній оцінці параметра дисперсії за допомогою виразу

    (9)

буде одержано оцінку ефективну, але зміщену. Для незміщеної оцінки необхідно користуватися наступною формулою

.    (10)

Обидві оцінки дисперсії є спроможними.

Для ряду випадкових величин заздалегідь відомі закони, яким вони підпорядковуються, точніше загальний вид розподілу. У цьому випадку точний опис розподілу випадкової величини не вимагає складних численних дослідів і побудови всієї функції розподілу. Необхідно тільки визначити параметри закону – постійні коефіцієнти, що входять до її аналітичного виразу – і задача визначення закону розподілу буде виконана.

Розглянемо ряд законів розподілу.

1. Рівномірний розподіл

Розподіл справедливо для тих випадків, коли випадкова подія лежить у певному тимчасовому інтервалі, причому її поява в будь-який момент часу є рівноймовірною.

Наприклад, відомо, що поїзди метро прибувають на станцію регулярно з інтервалом Т. Необхідно визначити закон розподілу часу очікування tоч= х, якщо пасажир виходить на перон у довільний момент часу. У цьому випадку очевидно, що сприятлива подія (відправлення поїзда) розподілено рівномірно на тимчасовому інтервалі Т і щільність розподілу постійна f(x)=const на всій ділянці чинності закону від до (рис.1а).

 

     а        б

Рис. 1. Щільність (а) та функція (б) розподілу випадкової величини з рівномірним законом розподілу.

Оскільки подія свідомо відбудеться на інтервалі часу Т, то її ймовірність дорівнює 1. Звідси легко визначити щільність розподілу і побудувати інтегральну функцію розподілу (рис. 1б):

;     .

Математичне чекання випадкової величини, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою (5) або ж як абсциса центра ваги фігури, наведеної на мал. 1а.

.

Дисперсія визначається відповідно до формули (7):

Слід відзначити, що дисперсія зростає пропорційно квадрату інтервалу, на якому можлива поява випадкової величини.

2. Показовий розподіл випадкових величин

Цей розподіл дотепер є одним з найпоширеніших у техніці завдяки своїй простоті й приблизній відповідності розподілу відмов складних багатоелементних систем. Вважається, що середній наробіток до відмови елементів технічних систем Т0 розподілений за показовим законом.

Накопичення відомостей про особливості функціонування різних технічних систем приводить до застосування для їх опису надійності інших законів, які більш точно відбивають реальний розподіл, але разом з тим є більш складними у обчисленні.

Функція розподілу показового закону (рис. 2) записується в наступному вигляді:

.  (11)

Закон справедливий для х0 і залежить тільки від одного параметра  , фізичний зміст якого є інтенсивність відмов елементів (величина, що є зворотно пропорційною Т0).

Рис.2. Функція розподілу показового закону випадкової величини

Для визначення щільності показового розподілу випадкової величини слід взяти похідну виразу (8), і отримаємо функцію, що монотонно убуває.

. (12)

Для визначення математичного чекання слід проінтегрувати по частинах вираз

,

причому и = х; dv = .

Тоді

du=dx, v=-e-x,

.  (13)

Примітка. При підстановці нижньої та верхньої меж у вираз одержуємо 0, тому що при  вираз  збігається до нуля. Аналогічно визначається дисперсія показового розподілу:

   (14)

Порівнюючи вирази (13) і (14), неважко помітити, що D[x]=(M[x])2. Ця властивість показового розподілу часто використовується в якості грубої оцінки можливості його застосування для експериментально отриманого розподілу.

3. Розподіл Вейбулла

Останнім часом при вивченні надійності часто зустрічається розподіл Вейбулла. Функція розподілу Вейбулла записується у наступному вигляді:

.     (15)

Вона справедлива для х>0 і залежить від двох параметрів   і . В окремому випадку для =1 розподіл Вейбулла переходить у показовий. Графік щільності розподілу Вейбулла для  випадку =1 наведений на рис. 3. З рисунка видно, що розподіл істотно залежить від значення параметра .

Рис. 3. Графіки щільності розподілу Вейбулла при різних значення параметру .

4. Нормальний розподіл (Гауса)

Нормальний розподіл застосовують в теорії надійності для опису подій, що залежать від багатьох факторів, кожен з яких слабо впливає на розподіл випадкової події.

За нормальним законом розподіляються параметри серійної продукції, відмови обладнання в результаті зносу та ін.

Щільність розподілу нормального закону описується наступною формулою

,    (16)

де  – математичне чекання, а  2 – дисперсія випадкової величини.

Розподіл залежить від двох параметрів –  і . Крива щільності розподілу f(x) (рис. 4а) є симетричною відносно математичного чекання, і її максимальне значення, як випливає з формули (13), дорівнює . Чим більша дисперсія, тим більш плоскою є крива щільності розподілу.

    а     б

Рис. 4. Крива щільності (а) та функції (б) розподілу випадкової величини з нормальним законом розподілу.

5. Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона характеризує дискретну випадкову величину (величину, що може приймати певну множину значень), і широко використовується в теорії надійності для визначення ймовірності появи потоку подій (відмов).

Якщо незалежні події відбуваються з певною середньою частотою , то ймовірність Рm (за певний відрізок часу t відбудеться рівно m подій) визначається по закону Пуассона. Наприклад, кількість повітряних суден, що здійснюють посадку в аеропорті за 1 годину і таке інше.

Закон розподілу записується у такому вигляді:

    (17)

Графічно розподіл Пуассона для різних значень  представлено на рис. 5.

Рис. 5. Графіки розподілу Пуассона для різних значень .

6. Біноміальний розподіл.

Біноміальний розподіл також характерний тільки для дискретних випадкових величин. Розподіл ймовірностей є біноміальним в разі, якщо його члени відповідають розкладенню бінома (p + q)n, де значення p і q – ймовірності появи або не появи події в кожному з n досвідів.

Сума всіх членів розкладення тотожно дорівнює одиниці, адже (p+q)n = 1n, а кожен член розкладення являє собою певну ймовірність, що розраховується за формулою

,      

де Рm, n – ймовірність того, що при загальній кількості n досвідів подія відбудеться рівно m раз;

 кількість сполучень з n по m;

р – постійна ймовірність появи події у кожному досвіді;

q=1- p  ймовірність не появи події у кожному досвіді.

Таким чином перший член розкладення рn представляє собою ймовірність того, що подія виникне в усіх n досвідах, другий член npn-1q – ймовірність того, що подія відбудеться у n - 1 досвідах і в одному не відбудеться і т.д.

Математичне чекання та дисперсія біноміального розподілу знаходяться відповідно за формулами M[n] = np; D[n] = npq.

Графічно приклад біноміального розподілу для n = 20 та різних значень р зображено на рис. 6 [2].

Рис. 6. Приклад графіків біноміального розподілу для різних значень р.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитися з основними законами розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності та проаналізувати їх основні властивості.

2. Лабораторна робота виконується з застосуванням комп'ютерної програми Excel. При відкритті відповідної сторінки (Лист1 – Лист 4) та введенні вихідних даних, програма моделює випадкову величину з певним законом розподілу та будує графік її функції або щільності розподілу. Необхідно задати параметри випадкової величини у відповідних віконцях, які позначено синім кольором і занести в протокол (або роздрукувати) графік, який видає комп'ютерна програма.

До віконця F(x)/f(x) має бути занесений логічний параметр “ИСТИНА” – в цьому випадку програма видає графік функції розподілу випадкової величини, або “ЛОЖЬ” – тоді програма видає графік щільності розподілу випадкової величини.

Приклад сторінки Excel для моделювання, наприклад, показового розподілу випадкової величини, наводитися на рис.7.

3. Побудувати графіки щільності розподілу випадкової величини (всі графіки, що відповідають закону або щільності розподілу випадкової величини на одній координатній сітці) і дослідити, як значення параметра закону розподілу впливає на форму графіка функції та щільності розподілу випадкової величини.

4. Визначити математичне чекання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини за графіком та аналітично для випадків, коли це необхідно з застосуванням формул (7 - 9).

5. За результатами лабораторної роботи зробити висновки.


Звіт з лабораторної роботи.

Звіт з результатами лабораторної роботи повинен мати:

1. Короткі теоретичні відомості (у разі необхідності).

2. Вихідні дані.

3. Графіки функції та щільності розподілу випадкової величини при різних значеннях параметрів закону розподілу. На одній координатній сітці слід накреслити всі графіки (що відповідають різним значенням параметрів розподілу), наприклад, функції розподілу випадкової величини.

4. Результати аналітичного та графічного визначення параметрів випадкової величини (для тих розподілів, де це необхідно зробити).

5. Висновки.

Вихідні дані

Номер

варіанту

0

1

2

3

4

Показовий

розподіл

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

5

6

7

8

9

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

Розподіл

Вейбулла

0

1

2

3

4

=1; 2; 3

=1

5

6

7

8

9

=1; 2; 3

=2

Нормальний розподіл

0

1

2

3

4

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

5

6

7

8

9

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

Розподіл

Пуассона

0

1

2

3

4

а=0,7; 1; 5; 10

5

6

7

8

9

а=0,7; 1; 5; 10


1. Показовий розподіл випадкової величини

Вихідні дані:

Лямда

F(x)/ f(x)

x

Результат

ИСТИНА -

F(x)

0,5

ИСТИНА

0

0

ЛОЖЬ -

f(x)

0,5

ІСТИНА

0,5

0,2211992

0,5

ІСТИНА

1

0,3934693

0,5

ІСТИНА

1,5

0,5276334

0,5

ІСТИНА

2

0,6321206

0,5

ІСТИНА

2,5

0,7134952

0,5

ІСТИНА

3

0,7768698

0,5

ІСТИНА

3,5

0,8262261

0,5

ІСТИНА

4

0,8646647

0,5

ІСТИНА

4,5

0,8946008

0,5

ІСТИНА

5

0,917915

0,5

ІСТИНА

5,5

0,9360721

0,5

ІСТИНА

6

0,9502129

0,5

ІСТИНА

6,5

0,9612258

0,5

ІСТИНА

7

0,9698026

0,5

ІСТИНА

7,5

0,9764823

0,5

ІСТИНА

8

0,9816844

0,5

ІСТИНА

8,5

0,9857358

0,5

ІСТИНА

9

0,988891

0,5

ІСТИНА

9,5

0,9913483

0,5

ІСТИНА

10

0,9932621

Рис. 7. Приклад сторінки Excel для моделювання випадкової величини, розподіленої за показовим законом.

Контрольні питання.

1. Дайте визначення поняттям: випадкова величина, ймовірність випадкової події.

2. Яким чином розраховується ймовірність випадкової події, чим вона відрізняється від частоти виникнення події?

3. Дайте визначення поняттю закон розподілу випадкової величини?

4. Як побудувати функцію та щільність розподілу випадкової величини?

5. Які основні числові характеристики застосовуються для випадкових величин.

6. Які основні властивості показового закону розподілу випадкової величини?

7. Які основні властивості нормального закону розподілу випадкової величини?

8. В яких випадках в теорії надійності використовується розподіл Пуассона?

Література

1. Ю.К. Величко, В.Г. Коронин Теория надежности. Конспект лекций по курсу „Техническая эксплуатация электро- и приборного оборудования летательных аппаратов”. Часть 1. К. 1971, 118 с.

2. И.Н. Кронштейн, К.А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – 13-е изд., исправл. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544.

=2

=0,8

=5

=10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45750. Гегель. Наука Логики 27.5 KB
  Наука Логики. В этом смысле наука логики есть изложение самой Абсолютной Идеи в ее необходимом развертывании. Именно в этом смысле Наука логики является фундаментом всей системы гегелевской философии. Следует заметить что Наука логики не опровергает формальную логику но по замыслу Гегеля развивает понимание логического до уровня спекулятивного.
45751. Гегель. Кто мыслит абстрактно? 31.5 KB
  Кто мыслит абстрактно в ней речь идетде о метафизике. доказывается что какие бы то ни было объяснения на этот счет совершенно излишни: именно потому что свет прекрасно знает что такое абстрактное он его и избегает. в добропорядочном обществе каждый из присутствующих прекрасно знает что значит мыслить и что такое абстрактно а именно в таком обществе мы и находимся. Вопрос стало быть заключается только в том чтобы показать на того кто мыслит абстрактно.
45752. Гуссерль. Картезианские размышления 40 KB
  Феноменология определяется в данной работе Гуссерля как самоистолкование трансцендентального ego показывающее как оно конституирует в себе трансцендентное; как трансцендентальный идеализм трансцендентальная теория познания в отличие от традиционной где основной проблемой является проблема трансцендентного бессмысленная в феноменологии. Трансцендентальнофеноменологическая редукция эпохé делая мир лишь опытом феноменом обнаруживает что естественному бытию мира в качестве самого по себе более первичного бытия предшествует бытие...
45754. Критика способности суждения 24.5 KB
  Критика способности суждения нем. Кант также замечает что эстетическое не исчерпывается прекрасным нем. Помимо него существует возвышенное нем.
45755. Критика чистого разума 32.5 KB
  Кант начинает свои рассуждения со специфической классификации суждений. Он выделяет суждения синтетическиеаналитические и априорныеапостериорные.Синтетическими называются суждения несущие новое знание не содержащееся в понятии которое является их субъектом.Аналитическими называются суждения которые всего лишь раскрывают свойства присущие понятию субъекта содержащиеся в нём самом и не несут нового знания.
45756. Кун. Структуры научных революций 28.5 KB
  сформулировал новую концепцию развития науки и научного знания которая произвела настоящий переворот во всей философии науки. Внутри парадигмы существование науки определяется Куном как нормальная наука; ученые еще не подвергают сомнению свою научную деятельность которая состоит в вписывании фактов в уже существующую теорию. Прогресс имеет место только внутри нормальной науки.Периоду нормальной науки Кун противопоставляет деятельность ученых в рамках кризиса то есть период экстраординарной науки причем если целью нормальной науки...
45757. Лейбниц. Об основных аксиомах познания 31 KB
  Если чтото отрицается как истинное то очевидно оно является ложным; а если чтото отрицается как ложное то оно является истинным. Подобным же образом если истинно то что нечто ложно или ложно то что нечто истинно то утверждение является ложным; а если истинно то что нечто истинно и лоншо то что нечто ложпо то оно является истинным. С другой стороны среди истинных предложений первыми являются те которые обычно называют тождественными как А есть Л Не А есть не А Если истинно предложение L то следовательно истинно...
45758. Лейбниц. Монадология 53.5 KB
  Согласно Лейбницу основаниями существующих явлений или феноменов служат простые субстанции или монады. Все монады просты и не содержат частей. Монады не могут претерпеть изменения в своём внутреннем состоянии от действия какихлибо внешних причин кроме Бога. Монада способна к изменению своего состояния и все естественные изменения монады исходят из её внутреннего принципа.