68614

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності

Лабораторная работа

Физика

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу під якими розуміють будьяке співвідношення що встановлює взаємозв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Тоді функцією розподілу Fx випадкової величини X називається функція Fx = P X x.

Украинкский

2014-09-24

412 KB

3 чел.

Дисципліна: „Надійність і діагностування світлосигнального обладнання аеродромів”

Лабораторна робота №1

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових

величин, що застосовуються в теорії надійності

Мета лабораторної роботи – експериментально дослідити основні закони розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності – показовий та нормальний розподіли, розподіл Вейбулла та Пуассона з різними значеннями параметрів.

Основні теоретичні відомості

Випадковою вважається подія, появу якої не можливо точно спрогнозувати. При кількаразовому повторенні вона щораз протікає по-своєму та може приводити до різних результатів

Випадковою подією є відмова будь-якого виробу, причому час від початку роботи до моменту відмови  Т0 є випадковою величиною.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в ході досліду може прийняти будь-яке, заздалегідь невідоме, значення.

Вивчаючи знос виробів, знаходячи нові критерії оцінки їх стану, можна навчитися прогнозувати моменти відмов, точніше, інтервали часу, коли очікується відмова всього виробу. Однак відмови окремих елементів були й залишаються випадковими подіями, для оцінки яких і розроблено математичний апарат теорії надійності.

Вивчаючи статистику відмов досить великої кількості однотипних виробів, можна прогнозувати їх поводження в загальній масі і підрахувати ймовірність відмови кожного зі зразків у певний період часу. Імовірнісна оцінка не дає можливості врахувати індивідуальні особливості кожного з виробів, але при великій кількості однотипних виробів за допомогою імовірнісних характеристик можна досить точно судити про їх властивості в загальній масі, прогнозувати загальну кількість відмов.

Імовірність випадкової події А визначається відношенням числа благополучних випадків m до їх загального числа n причому благополучним випадком є той, що спричиняє появу події.

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу, під якими розуміють будь-яке співвідношення, що встановлює взаємозв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Ці залежності можна представити у вигляді таблиць, графіків або аналітичних функцій.

Нехай Х – деяка випадкова величина. Тоді функцією розподілу F(x) випадкової величини X називається функція 

F(x) = P (X < x).

Таким чином, значення функції розподілу в точці х0, дорівнює ймовірності того, що випадкова величина прийме значення, що є меншим ніж х0.За допомогою функції розподілу можливо знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить до заданого проміжку:

Р (<х<) = Р() - Р ().

Статистична щільність розподілу випадкових величин знаходиться за формулою:

                                         (1)

де N  – загальна кількість випробуваних елементів;

n – кількість елементів, що припадають за своїми значеннями на ділянку x.

Якщо в результаті математичної обробки ряду випробувань одержимо графік щільності розподілу випадкової величини f(x), то тим самим ми повністю опишемо її властивості. Так, для знаходження ймовірності появи величини в деяких межах або ймовірності того, що випадкова величина прийме значення в деяких межах (наприклад, від до ), досить визначити площу під кривою f(x), обмежену зазначеними межами, інакше кажучи, взяти інтеграл .

Крім щільності розподілу випадкової величини будують, також, функцію розподілу (закон розподілу в інтегральній формі):

                                                       (2)

Кожна точка закону розподілу показує, яка ймовірність того, що при випробуваннях випадкова величина буде мати значення, менше або рівне абсцисі х.

Функція та щільність розподілу випадкової величини найбільш повно описують її властивості, дозволяючи визначити ймовірність її появи на будь-якій ділянці, але далеко не завжди є можливість знайти закони розподілу.

Оскільки закономірності поводження випадкової величини можна виявити тільки при масових випробуваннях (при малому об'ємі випробувань випадкові відхилення можуть повністю спотворити закон розподілу), а для проведення таких випробувань потрібні більші витрати коштів та часу без видимої віддачі, то часто обмежуються визначенням характерних параметрів законів розподілу. Їх називають числовими характеристиками випадкових величин.

Найбільш застосовуваною і важливою числовою характеристикою є математичне чекання випадкової величини, або її середнє значення. Для дискретних випадкових величин математичне чекання заходиться як сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності їх появи:

.     (3)

Для безперервної випадкової величини математичне чекання визначається через щільність розподілу f(x) за формулою:

    (4)

В якості числових характеристик використовують також такі поняття, як мода та медіана.

Модою називають випадкову величину, значення щільності ймовірності (або ймовірності) якої є максимальним.

Медіаною (Me) називають таке значення випадкової величини, для якого рівно ймовірно, чи виявиться випадкова величина більше або менше медіани:

Р(х>Me) = P(x<Me).

Для опису властивостей випадкових величин часто використовуються моменти. Розрізняють початкові моменти s[x], що обчислюються щодо осі ординат, і центральні моменти s[x], що обчислюються щодо осі, що проходить через математичне чекання випадкової величини, за наступними формулами:

;                                                    (5)

                                            (6)

Ступінь s називають порядком моменту. Найбільш важливими є перший початковий момент (математичне чекання випадкової величини) і другий центральний момент , який називають дисперсією і позначають як D[x].  

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно її математичного чекання. Мале значення дисперсії говорить про те, що щільність розподілу випадкової величини має яскраво виражений максимум і більшість її значень групується поблизу математичного чекання.

Величина, яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії, є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини від її математичного чекання, і позначається як :

                                                       (7)

Для оцінки математичного чекання будь-якого закону розподілу випадкової величини можна використати наступну формулу:

,                                                                                (8)

де значення випадкової величини, отримані в п дослідах.

Оцінка називається незміщеною, якщо математичне чекання оцінки збігається з оцінюваним параметром. Оцінка називається спроможною, якщо при нескінченному збільшенні числа спостережень вона сходиться до оцінюючого параметра по ймовірності. Оцінка називається ефективною, якщо вона якомога ближче відповідає оцінюючому параметру, і ймовірність більших помилок буде мінімальною. Для досягнення цієї мети вимагають, щоб величина М[х* х]2 була мінімальною.

При емпіричній оцінці параметра дисперсії за допомогою виразу

    (9)

буде одержано оцінку ефективну, але зміщену. Для незміщеної оцінки необхідно користуватися наступною формулою

.    (10)

Обидві оцінки дисперсії є спроможними.

Для ряду випадкових величин заздалегідь відомі закони, яким вони підпорядковуються, точніше загальний вид розподілу. У цьому випадку точний опис розподілу випадкової величини не вимагає складних численних дослідів і побудови всієї функції розподілу. Необхідно тільки визначити параметри закону – постійні коефіцієнти, що входять до її аналітичного виразу – і задача визначення закону розподілу буде виконана.

Розглянемо ряд законів розподілу.

1. Рівномірний розподіл

Розподіл справедливо для тих випадків, коли випадкова подія лежить у певному тимчасовому інтервалі, причому її поява в будь-який момент часу є рівноймовірною.

Наприклад, відомо, що поїзди метро прибувають на станцію регулярно з інтервалом Т. Необхідно визначити закон розподілу часу очікування tоч= х, якщо пасажир виходить на перон у довільний момент часу. У цьому випадку очевидно, що сприятлива подія (відправлення поїзда) розподілено рівномірно на тимчасовому інтервалі Т і щільність розподілу постійна f(x)=const на всій ділянці чинності закону від до (рис.1а).

 

     а        б

Рис. 1. Щільність (а) та функція (б) розподілу випадкової величини з рівномірним законом розподілу.

Оскільки подія свідомо відбудеться на інтервалі часу Т, то її ймовірність дорівнює 1. Звідси легко визначити щільність розподілу і побудувати інтегральну функцію розподілу (рис. 1б):

;     .

Математичне чекання випадкової величини, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою (5) або ж як абсциса центра ваги фігури, наведеної на мал. 1а.

.

Дисперсія визначається відповідно до формули (7):

Слід відзначити, що дисперсія зростає пропорційно квадрату інтервалу, на якому можлива поява випадкової величини.

2. Показовий розподіл випадкових величин

Цей розподіл дотепер є одним з найпоширеніших у техніці завдяки своїй простоті й приблизній відповідності розподілу відмов складних багатоелементних систем. Вважається, що середній наробіток до відмови елементів технічних систем Т0 розподілений за показовим законом.

Накопичення відомостей про особливості функціонування різних технічних систем приводить до застосування для їх опису надійності інших законів, які більш точно відбивають реальний розподіл, але разом з тим є більш складними у обчисленні.

Функція розподілу показового закону (рис. 2) записується в наступному вигляді:

.  (11)

Закон справедливий для х0 і залежить тільки від одного параметра  , фізичний зміст якого є інтенсивність відмов елементів (величина, що є зворотно пропорційною Т0).

Рис.2. Функція розподілу показового закону випадкової величини

Для визначення щільності показового розподілу випадкової величини слід взяти похідну виразу (8), і отримаємо функцію, що монотонно убуває.

. (12)

Для визначення математичного чекання слід проінтегрувати по частинах вираз

,

причому и = х; dv = .

Тоді

du=dx, v=-e-x,

.  (13)

Примітка. При підстановці нижньої та верхньої меж у вираз одержуємо 0, тому що при  вираз  збігається до нуля. Аналогічно визначається дисперсія показового розподілу:

   (14)

Порівнюючи вирази (13) і (14), неважко помітити, що D[x]=(M[x])2. Ця властивість показового розподілу часто використовується в якості грубої оцінки можливості його застосування для експериментально отриманого розподілу.

3. Розподіл Вейбулла

Останнім часом при вивченні надійності часто зустрічається розподіл Вейбулла. Функція розподілу Вейбулла записується у наступному вигляді:

.     (15)

Вона справедлива для х>0 і залежить від двох параметрів   і . В окремому випадку для =1 розподіл Вейбулла переходить у показовий. Графік щільності розподілу Вейбулла для  випадку =1 наведений на рис. 3. З рисунка видно, що розподіл істотно залежить від значення параметра .

Рис. 3. Графіки щільності розподілу Вейбулла при різних значення параметру .

4. Нормальний розподіл (Гауса)

Нормальний розподіл застосовують в теорії надійності для опису подій, що залежать від багатьох факторів, кожен з яких слабо впливає на розподіл випадкової події.

За нормальним законом розподіляються параметри серійної продукції, відмови обладнання в результаті зносу та ін.

Щільність розподілу нормального закону описується наступною формулою

,    (16)

де  – математичне чекання, а  2 – дисперсія випадкової величини.

Розподіл залежить від двох параметрів –  і . Крива щільності розподілу f(x) (рис. 4а) є симетричною відносно математичного чекання, і її максимальне значення, як випливає з формули (13), дорівнює . Чим більша дисперсія, тим більш плоскою є крива щільності розподілу.

    а     б

Рис. 4. Крива щільності (а) та функції (б) розподілу випадкової величини з нормальним законом розподілу.

5. Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона характеризує дискретну випадкову величину (величину, що може приймати певну множину значень), і широко використовується в теорії надійності для визначення ймовірності появи потоку подій (відмов).

Якщо незалежні події відбуваються з певною середньою частотою , то ймовірність Рm (за певний відрізок часу t відбудеться рівно m подій) визначається по закону Пуассона. Наприклад, кількість повітряних суден, що здійснюють посадку в аеропорті за 1 годину і таке інше.

Закон розподілу записується у такому вигляді:

    (17)

Графічно розподіл Пуассона для різних значень  представлено на рис. 5.

Рис. 5. Графіки розподілу Пуассона для різних значень .

6. Біноміальний розподіл.

Біноміальний розподіл також характерний тільки для дискретних випадкових величин. Розподіл ймовірностей є біноміальним в разі, якщо його члени відповідають розкладенню бінома (p + q)n, де значення p і q – ймовірності появи або не появи події в кожному з n досвідів.

Сума всіх членів розкладення тотожно дорівнює одиниці, адже (p+q)n = 1n, а кожен член розкладення являє собою певну ймовірність, що розраховується за формулою

,      

де Рm, n – ймовірність того, що при загальній кількості n досвідів подія відбудеться рівно m раз;

 кількість сполучень з n по m;

р – постійна ймовірність появи події у кожному досвіді;

q=1- p  ймовірність не появи події у кожному досвіді.

Таким чином перший член розкладення рn представляє собою ймовірність того, що подія виникне в усіх n досвідах, другий член npn-1q – ймовірність того, що подія відбудеться у n - 1 досвідах і в одному не відбудеться і т.д.

Математичне чекання та дисперсія біноміального розподілу знаходяться відповідно за формулами M[n] = np; D[n] = npq.

Графічно приклад біноміального розподілу для n = 20 та різних значень р зображено на рис. 6 [2].

Рис. 6. Приклад графіків біноміального розподілу для різних значень р.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитися з основними законами розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності та проаналізувати їх основні властивості.

2. Лабораторна робота виконується з застосуванням комп'ютерної програми Excel. При відкритті відповідної сторінки (Лист1 – Лист 4) та введенні вихідних даних, програма моделює випадкову величину з певним законом розподілу та будує графік її функції або щільності розподілу. Необхідно задати параметри випадкової величини у відповідних віконцях, які позначено синім кольором і занести в протокол (або роздрукувати) графік, який видає комп'ютерна програма.

До віконця F(x)/f(x) має бути занесений логічний параметр “ИСТИНА” – в цьому випадку програма видає графік функції розподілу випадкової величини, або “ЛОЖЬ” – тоді програма видає графік щільності розподілу випадкової величини.

Приклад сторінки Excel для моделювання, наприклад, показового розподілу випадкової величини, наводитися на рис.7.

3. Побудувати графіки щільності розподілу випадкової величини (всі графіки, що відповідають закону або щільності розподілу випадкової величини на одній координатній сітці) і дослідити, як значення параметра закону розподілу впливає на форму графіка функції та щільності розподілу випадкової величини.

4. Визначити математичне чекання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини за графіком та аналітично для випадків, коли це необхідно з застосуванням формул (7 - 9).

5. За результатами лабораторної роботи зробити висновки.


Звіт з лабораторної роботи.

Звіт з результатами лабораторної роботи повинен мати:

1. Короткі теоретичні відомості (у разі необхідності).

2. Вихідні дані.

3. Графіки функції та щільності розподілу випадкової величини при різних значеннях параметрів закону розподілу. На одній координатній сітці слід накреслити всі графіки (що відповідають різним значенням параметрів розподілу), наприклад, функції розподілу випадкової величини.

4. Результати аналітичного та графічного визначення параметрів випадкової величини (для тих розподілів, де це необхідно зробити).

5. Висновки.

Вихідні дані

Номер

варіанту

0

1

2

3

4

Показовий

розподіл

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

5

6

7

8

9

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

Розподіл

Вейбулла

0

1

2

3

4

=1; 2; 3

=1

5

6

7

8

9

=1; 2; 3

=2

Нормальний розподіл

0

1

2

3

4

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

5

6

7

8

9

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

Розподіл

Пуассона

0

1

2

3

4

а=0,7; 1; 5; 10

5

6

7

8

9

а=0,7; 1; 5; 10


1. Показовий розподіл випадкової величини

Вихідні дані:

Лямда

F(x)/ f(x)

x

Результат

ИСТИНА -

F(x)

0,5

ИСТИНА

0

0

ЛОЖЬ -

f(x)

0,5

ІСТИНА

0,5

0,2211992

0,5

ІСТИНА

1

0,3934693

0,5

ІСТИНА

1,5

0,5276334

0,5

ІСТИНА

2

0,6321206

0,5

ІСТИНА

2,5

0,7134952

0,5

ІСТИНА

3

0,7768698

0,5

ІСТИНА

3,5

0,8262261

0,5

ІСТИНА

4

0,8646647

0,5

ІСТИНА

4,5

0,8946008

0,5

ІСТИНА

5

0,917915

0,5

ІСТИНА

5,5

0,9360721

0,5

ІСТИНА

6

0,9502129

0,5

ІСТИНА

6,5

0,9612258

0,5

ІСТИНА

7

0,9698026

0,5

ІСТИНА

7,5

0,9764823

0,5

ІСТИНА

8

0,9816844

0,5

ІСТИНА

8,5

0,9857358

0,5

ІСТИНА

9

0,988891

0,5

ІСТИНА

9,5

0,9913483

0,5

ІСТИНА

10

0,9932621

Рис. 7. Приклад сторінки Excel для моделювання випадкової величини, розподіленої за показовим законом.

Контрольні питання.

1. Дайте визначення поняттям: випадкова величина, ймовірність випадкової події.

2. Яким чином розраховується ймовірність випадкової події, чим вона відрізняється від частоти виникнення події?

3. Дайте визначення поняттю закон розподілу випадкової величини?

4. Як побудувати функцію та щільність розподілу випадкової величини?

5. Які основні числові характеристики застосовуються для випадкових величин.

6. Які основні властивості показового закону розподілу випадкової величини?

7. Які основні властивості нормального закону розподілу випадкової величини?

8. В яких випадках в теорії надійності використовується розподіл Пуассона?

Література

1. Ю.К. Величко, В.Г. Коронин Теория надежности. Конспект лекций по курсу „Техническая эксплуатация электро- и приборного оборудования летательных аппаратов”. Часть 1. К. 1971, 118 с.

2. И.Н. Кронштейн, К.А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – 13-е изд., исправл. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544.

=2

=0,8

=5

=10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33364. Структура памяти ОМК АТ90S8515 30.5 KB
  Причем память данных состоит из трех областей: регистровая память статическое ОЗУ и память на основе EEPROM. В связи с тем что регистровая память находится в адресном пространстве ОЗУ об этих двух областях памяти обычно говорят как об одной. Память программ Память программ ёмкостью 4 К 16разрядных слов предназначена для хранения команд управляющих функционированием микроконтроллера.
33365. Порты ввода-вывода ОМК АТ90S8515 31.5 KB
  Конфигурирование каждой линии порта задание направления передачи данных может быть произведено программно в любой момент времени. Обращение к портам ввода вывода Обращение к портам производится через регистры ввода вывода причем под каждый порт в адресном пространстве ввода вывода зарезервировано по 3 адреса. По этим адресам размещаются три регистра: регистр данных порта PORTx регистр направления данных DDRx и регистр выводов порта PINx. Действительные названия регистров и их разрядов получаются подстановкой названия порта вместо...
33366. Таймер/счётчики ОМК АТ90S8515 38 KB
  Как правило эти выводы линии портов ввода вывода общего назначения а функции реализуемые этими выводами при работе совместно с таймерами счетчиками являются их альтернативными функциями. Выводы используемые таймерами счетчиками общего назначения Название T90S8515 Описание T0 PB0 Вход внешнего сигнала таймера T0 T1 PB1 Вход внешнего сигнала таймера T1 ICP ICP Вход захвата таймера T1 OC1 Выход схемы сравнения таймера T1 OC1 PD5 То же OC1B OC1B То же TOSC1 Вход для подключения резонатора TOSC2 Выход для подключения резонатора ...
33367. Универсальный асинхронный приемопередатчик ОМК АТ90S8515 38.5 KB
  Управление работой приемопередатчика осуществляется с помощью регистра управления UCR. Текущее состояние приемопередатчика определяется с помощью регистра состояния USR. При чтении регистра UDR выполняется обращение к регистру приемника при записи к регистру передатчика. Работа передатчика разрешается установкой в 1 разряда TXEN регистра UCR UCSRB.
33368. Система прерываний ОМК AT90S8515 63 KB
  При возникновении прерывания микроконтроллер сохраняет в стеке содержимое счетчика команд PC и загружает в него адрес соответствующего вектора прерывания. По этому адресу должна находиться команда относительного перехода к подпрограмме обработки прерывания. Кроме того последней командой подпрограммы обработки прерывания должна быть команда RETI которая обеспечивает возврат в основную программу и восстановление предварительно сохранённого счетчика команд. Младшие адреса памяти программ начиная с адреса 001 отведены под таблицу векторов...
33369. Канал SPI (синхронный последовательный порт) 38.5 KB
  Выводы используемые модулем SPI Название сигнала T90S8515 Описание SCK РВ7 Выход mster вход slve тактового сигнала MISO РВ6 Вход mster выход slve данных MOSI РВ5 Выход mster вход slve данных РВ4 Выбор ведомого устройства Спецификация интерфейса SPI предусматривает 4 режима передачи данных. Эти режимы различаются соответствием между фазой момент считывания сигнала тактового сигнала SCK его полярностью и передаваемыми данными. Задание режима передачи данных Разряд Описание CPOL Полярность тактового сигнала 0 генерируются...
33370. Система команд и способы адресации памяти данных 76.5 KB
  При прямой адресации адреса операндов содержатся непосредственно в слове команды.4 5 бит слова команды рис. Прямая адресация одного регистра общего назначения Примером команд использующих этот способ адресации являются команды работы со стеком PUSH Rr POP Rd команды инкремента INC Rd декремента DEC Rd а также некоторые команды арифметических операций.d4 5 бит слова команды рис.
33371. Схема СУ на базе ОМК АТ90S8515. 28.5 KB
  Порт РА микроконтроллером используется как мультиплексированная шина адреса данных. Поэтому для сохранения младшего байта адреса необходимо использовать регистр адреса РА. Запись в регистр осуществляется по спаду сигнала LE формируемого автоматически микроконтроллером при обращении по адресам внешнего ОЗУ.
33372. Выводы ЖКИ. Схема подключения ЖКИ к ОМК, как внешнего устройства 33 KB
  Схема подключения ЖКИ к ОМК как внешнего устройства Соединение ЖКМ например с МК осуществляется через разъём назначение и номера контактов которого приведены в табл. Описание выводов стандартного разъема ЖКМ на базе HD44780 № конт. Схема подключения ЖКМ LCD к микроконтроллеру MCS.