68614

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності

Лабораторная работа

Физика

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу під якими розуміють будьяке співвідношення що встановлює взаємозв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Тоді функцією розподілу Fx випадкової величини X називається функція Fx = P X x.

Украинкский

2014-09-24

412 KB

3 чел.

Дисципліна: „Надійність і діагностування світлосигнального обладнання аеродромів”

Лабораторна робота №1

Експериментальне дослідження основних законів розподілу випадкових

величин, що застосовуються в теорії надійності

Мета лабораторної роботи – експериментально дослідити основні закони розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності – показовий та нормальний розподіли, розподіл Вейбулла та Пуассона з різними значеннями параметрів.

Основні теоретичні відомості

Випадковою вважається подія, появу якої не можливо точно спрогнозувати. При кількаразовому повторенні вона щораз протікає по-своєму та може приводити до різних результатів

Випадковою подією є відмова будь-якого виробу, причому час від початку роботи до моменту відмови  Т0 є випадковою величиною.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в ході досліду може прийняти будь-яке, заздалегідь невідоме, значення.

Вивчаючи знос виробів, знаходячи нові критерії оцінки їх стану, можна навчитися прогнозувати моменти відмов, точніше, інтервали часу, коли очікується відмова всього виробу. Однак відмови окремих елементів були й залишаються випадковими подіями, для оцінки яких і розроблено математичний апарат теорії надійності.

Вивчаючи статистику відмов досить великої кількості однотипних виробів, можна прогнозувати їх поводження в загальній масі і підрахувати ймовірність відмови кожного зі зразків у певний період часу. Імовірнісна оцінка не дає можливості врахувати індивідуальні особливості кожного з виробів, але при великій кількості однотипних виробів за допомогою імовірнісних характеристик можна досить точно судити про їх властивості в загальній масі, прогнозувати загальну кількість відмов.

Імовірність випадкової події А визначається відношенням числа благополучних випадків m до їх загального числа n причому благополучним випадком є той, що спричиняє появу події.

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу, під якими розуміють будь-яке співвідношення, що встановлює взаємозв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Ці залежності можна представити у вигляді таблиць, графіків або аналітичних функцій.

Нехай Х – деяка випадкова величина. Тоді функцією розподілу F(x) випадкової величини X називається функція 

F(x) = P (X < x).

Таким чином, значення функції розподілу в точці х0, дорівнює ймовірності того, що випадкова величина прийме значення, що є меншим ніж х0.За допомогою функції розподілу можливо знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить до заданого проміжку:

Р (<х<) = Р() - Р ().

Статистична щільність розподілу випадкових величин знаходиться за формулою:

                                         (1)

де N  – загальна кількість випробуваних елементів;

n – кількість елементів, що припадають за своїми значеннями на ділянку x.

Якщо в результаті математичної обробки ряду випробувань одержимо графік щільності розподілу випадкової величини f(x), то тим самим ми повністю опишемо її властивості. Так, для знаходження ймовірності появи величини в деяких межах або ймовірності того, що випадкова величина прийме значення в деяких межах (наприклад, від до ), досить визначити площу під кривою f(x), обмежену зазначеними межами, інакше кажучи, взяти інтеграл .

Крім щільності розподілу випадкової величини будують, також, функцію розподілу (закон розподілу в інтегральній формі):

                                                       (2)

Кожна точка закону розподілу показує, яка ймовірність того, що при випробуваннях випадкова величина буде мати значення, менше або рівне абсцисі х.

Функція та щільність розподілу випадкової величини найбільш повно описують її властивості, дозволяючи визначити ймовірність її появи на будь-якій ділянці, але далеко не завжди є можливість знайти закони розподілу.

Оскільки закономірності поводження випадкової величини можна виявити тільки при масових випробуваннях (при малому об'ємі випробувань випадкові відхилення можуть повністю спотворити закон розподілу), а для проведення таких випробувань потрібні більші витрати коштів та часу без видимої віддачі, то часто обмежуються визначенням характерних параметрів законів розподілу. Їх називають числовими характеристиками випадкових величин.

Найбільш застосовуваною і важливою числовою характеристикою є математичне чекання випадкової величини, або її середнє значення. Для дискретних випадкових величин математичне чекання заходиться як сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності їх появи:

.     (3)

Для безперервної випадкової величини математичне чекання визначається через щільність розподілу f(x) за формулою:

    (4)

В якості числових характеристик використовують також такі поняття, як мода та медіана.

Модою називають випадкову величину, значення щільності ймовірності (або ймовірності) якої є максимальним.

Медіаною (Me) називають таке значення випадкової величини, для якого рівно ймовірно, чи виявиться випадкова величина більше або менше медіани:

Р(х>Me) = P(x<Me).

Для опису властивостей випадкових величин часто використовуються моменти. Розрізняють початкові моменти s[x], що обчислюються щодо осі ординат, і центральні моменти s[x], що обчислюються щодо осі, що проходить через математичне чекання випадкової величини, за наступними формулами:

;                                                    (5)

                                            (6)

Ступінь s називають порядком моменту. Найбільш важливими є перший початковий момент (математичне чекання випадкової величини) і другий центральний момент , який називають дисперсією і позначають як D[x].  

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно її математичного чекання. Мале значення дисперсії говорить про те, що щільність розподілу випадкової величини має яскраво виражений максимум і більшість її значень групується поблизу математичного чекання.

Величина, яка дорівнює кореню квадратному з дисперсії, є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини від її математичного чекання, і позначається як :

                                                       (7)

Для оцінки математичного чекання будь-якого закону розподілу випадкової величини можна використати наступну формулу:

,                                                                                (8)

де значення випадкової величини, отримані в п дослідах.

Оцінка називається незміщеною, якщо математичне чекання оцінки збігається з оцінюваним параметром. Оцінка називається спроможною, якщо при нескінченному збільшенні числа спостережень вона сходиться до оцінюючого параметра по ймовірності. Оцінка називається ефективною, якщо вона якомога ближче відповідає оцінюючому параметру, і ймовірність більших помилок буде мінімальною. Для досягнення цієї мети вимагають, щоб величина М[х* х]2 була мінімальною.

При емпіричній оцінці параметра дисперсії за допомогою виразу

    (9)

буде одержано оцінку ефективну, але зміщену. Для незміщеної оцінки необхідно користуватися наступною формулою

.    (10)

Обидві оцінки дисперсії є спроможними.

Для ряду випадкових величин заздалегідь відомі закони, яким вони підпорядковуються, точніше загальний вид розподілу. У цьому випадку точний опис розподілу випадкової величини не вимагає складних численних дослідів і побудови всієї функції розподілу. Необхідно тільки визначити параметри закону – постійні коефіцієнти, що входять до її аналітичного виразу – і задача визначення закону розподілу буде виконана.

Розглянемо ряд законів розподілу.

1. Рівномірний розподіл

Розподіл справедливо для тих випадків, коли випадкова подія лежить у певному тимчасовому інтервалі, причому її поява в будь-який момент часу є рівноймовірною.

Наприклад, відомо, що поїзди метро прибувають на станцію регулярно з інтервалом Т. Необхідно визначити закон розподілу часу очікування tоч= х, якщо пасажир виходить на перон у довільний момент часу. У цьому випадку очевидно, що сприятлива подія (відправлення поїзда) розподілено рівномірно на тимчасовому інтервалі Т і щільність розподілу постійна f(x)=const на всій ділянці чинності закону від до (рис.1а).

 

     а        б

Рис. 1. Щільність (а) та функція (б) розподілу випадкової величини з рівномірним законом розподілу.

Оскільки подія свідомо відбудеться на інтервалі часу Т, то її ймовірність дорівнює 1. Звідси легко визначити щільність розподілу і побудувати інтегральну функцію розподілу (рис. 1б):

;     .

Математичне чекання випадкової величини, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою (5) або ж як абсциса центра ваги фігури, наведеної на мал. 1а.

.

Дисперсія визначається відповідно до формули (7):

Слід відзначити, що дисперсія зростає пропорційно квадрату інтервалу, на якому можлива поява випадкової величини.

2. Показовий розподіл випадкових величин

Цей розподіл дотепер є одним з найпоширеніших у техніці завдяки своїй простоті й приблизній відповідності розподілу відмов складних багатоелементних систем. Вважається, що середній наробіток до відмови елементів технічних систем Т0 розподілений за показовим законом.

Накопичення відомостей про особливості функціонування різних технічних систем приводить до застосування для їх опису надійності інших законів, які більш точно відбивають реальний розподіл, але разом з тим є більш складними у обчисленні.

Функція розподілу показового закону (рис. 2) записується в наступному вигляді:

.  (11)

Закон справедливий для х0 і залежить тільки від одного параметра  , фізичний зміст якого є інтенсивність відмов елементів (величина, що є зворотно пропорційною Т0).

Рис.2. Функція розподілу показового закону випадкової величини

Для визначення щільності показового розподілу випадкової величини слід взяти похідну виразу (8), і отримаємо функцію, що монотонно убуває.

. (12)

Для визначення математичного чекання слід проінтегрувати по частинах вираз

,

причому и = х; dv = .

Тоді

du=dx, v=-e-x,

.  (13)

Примітка. При підстановці нижньої та верхньої меж у вираз одержуємо 0, тому що при  вираз  збігається до нуля. Аналогічно визначається дисперсія показового розподілу:

   (14)

Порівнюючи вирази (13) і (14), неважко помітити, що D[x]=(M[x])2. Ця властивість показового розподілу часто використовується в якості грубої оцінки можливості його застосування для експериментально отриманого розподілу.

3. Розподіл Вейбулла

Останнім часом при вивченні надійності часто зустрічається розподіл Вейбулла. Функція розподілу Вейбулла записується у наступному вигляді:

.     (15)

Вона справедлива для х>0 і залежить від двох параметрів   і . В окремому випадку для =1 розподіл Вейбулла переходить у показовий. Графік щільності розподілу Вейбулла для  випадку =1 наведений на рис. 3. З рисунка видно, що розподіл істотно залежить від значення параметра .

Рис. 3. Графіки щільності розподілу Вейбулла при різних значення параметру .

4. Нормальний розподіл (Гауса)

Нормальний розподіл застосовують в теорії надійності для опису подій, що залежать від багатьох факторів, кожен з яких слабо впливає на розподіл випадкової події.

За нормальним законом розподіляються параметри серійної продукції, відмови обладнання в результаті зносу та ін.

Щільність розподілу нормального закону описується наступною формулою

,    (16)

де  – математичне чекання, а  2 – дисперсія випадкової величини.

Розподіл залежить від двох параметрів –  і . Крива щільності розподілу f(x) (рис. 4а) є симетричною відносно математичного чекання, і її максимальне значення, як випливає з формули (13), дорівнює . Чим більша дисперсія, тим більш плоскою є крива щільності розподілу.

    а     б

Рис. 4. Крива щільності (а) та функції (б) розподілу випадкової величини з нормальним законом розподілу.

5. Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона характеризує дискретну випадкову величину (величину, що може приймати певну множину значень), і широко використовується в теорії надійності для визначення ймовірності появи потоку подій (відмов).

Якщо незалежні події відбуваються з певною середньою частотою , то ймовірність Рm (за певний відрізок часу t відбудеться рівно m подій) визначається по закону Пуассона. Наприклад, кількість повітряних суден, що здійснюють посадку в аеропорті за 1 годину і таке інше.

Закон розподілу записується у такому вигляді:

    (17)

Графічно розподіл Пуассона для різних значень  представлено на рис. 5.

Рис. 5. Графіки розподілу Пуассона для різних значень .

6. Біноміальний розподіл.

Біноміальний розподіл також характерний тільки для дискретних випадкових величин. Розподіл ймовірностей є біноміальним в разі, якщо його члени відповідають розкладенню бінома (p + q)n, де значення p і q – ймовірності появи або не появи події в кожному з n досвідів.

Сума всіх членів розкладення тотожно дорівнює одиниці, адже (p+q)n = 1n, а кожен член розкладення являє собою певну ймовірність, що розраховується за формулою

,      

де Рm, n – ймовірність того, що при загальній кількості n досвідів подія відбудеться рівно m раз;

 кількість сполучень з n по m;

р – постійна ймовірність появи події у кожному досвіді;

q=1- p  ймовірність не появи події у кожному досвіді.

Таким чином перший член розкладення рn представляє собою ймовірність того, що подія виникне в усіх n досвідах, другий член npn-1q – ймовірність того, що подія відбудеться у n - 1 досвідах і в одному не відбудеться і т.д.

Математичне чекання та дисперсія біноміального розподілу знаходяться відповідно за формулами M[n] = np; D[n] = npq.

Графічно приклад біноміального розподілу для n = 20 та різних значень р зображено на рис. 6 [2].

Рис. 6. Приклад графіків біноміального розподілу для різних значень р.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитися з основними законами розподілу випадкових величин, що застосовуються в теорії надійності та проаналізувати їх основні властивості.

2. Лабораторна робота виконується з застосуванням комп'ютерної програми Excel. При відкритті відповідної сторінки (Лист1 – Лист 4) та введенні вихідних даних, програма моделює випадкову величину з певним законом розподілу та будує графік її функції або щільності розподілу. Необхідно задати параметри випадкової величини у відповідних віконцях, які позначено синім кольором і занести в протокол (або роздрукувати) графік, який видає комп'ютерна програма.

До віконця F(x)/f(x) має бути занесений логічний параметр “ИСТИНА” – в цьому випадку програма видає графік функції розподілу випадкової величини, або “ЛОЖЬ” – тоді програма видає графік щільності розподілу випадкової величини.

Приклад сторінки Excel для моделювання, наприклад, показового розподілу випадкової величини, наводитися на рис.7.

3. Побудувати графіки щільності розподілу випадкової величини (всі графіки, що відповідають закону або щільності розподілу випадкової величини на одній координатній сітці) і дослідити, як значення параметра закону розподілу впливає на форму графіка функції та щільності розподілу випадкової величини.

4. Визначити математичне чекання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини за графіком та аналітично для випадків, коли це необхідно з застосуванням формул (7 - 9).

5. За результатами лабораторної роботи зробити висновки.


Звіт з лабораторної роботи.

Звіт з результатами лабораторної роботи повинен мати:

1. Короткі теоретичні відомості (у разі необхідності).

2. Вихідні дані.

3. Графіки функції та щільності розподілу випадкової величини при різних значеннях параметрів закону розподілу. На одній координатній сітці слід накреслити всі графіки (що відповідають різним значенням параметрів розподілу), наприклад, функції розподілу випадкової величини.

4. Результати аналітичного та графічного визначення параметрів випадкової величини (для тих розподілів, де це необхідно зробити).

5. Висновки.

Вихідні дані

Номер

варіанту

0

1

2

3

4

Показовий

розподіл

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

5

6

7

8

9

х(0; 100)

=0,02; 0,1; 0,5

х(0; 1)

=0,5; 5; 20

х(0; 10)

=0,2; 0,8; 3

х(0; 20)

=0,1; 0,5; 1

х(0; 4)

=0,5; 2; 7

Розподіл

Вейбулла

0

1

2

3

4

=1; 2; 3

=1

5

6

7

8

9

=1; 2; 3

=2

Нормальний розподіл

0

1

2

3

4

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

5

6

7

8

9

х(0; 4)

а=2,5

D=0,2; 0,5; 0,9

х(0; 20)

а=12

D=1; 5; 10

х(0; 20)

а=10

D=1; 3; 7

х(5; 10)

а=3

D=0,5; 1; 3

х(0; 3)

а=2

D=0,1; 0,4; 1

Розподіл

Пуассона

0

1

2

3

4

а=0,7; 1; 5; 10

5

6

7

8

9

а=0,7; 1; 5; 10


1. Показовий розподіл випадкової величини

Вихідні дані:

Лямда

F(x)/ f(x)

x

Результат

ИСТИНА -

F(x)

0,5

ИСТИНА

0

0

ЛОЖЬ -

f(x)

0,5

ІСТИНА

0,5

0,2211992

0,5

ІСТИНА

1

0,3934693

0,5

ІСТИНА

1,5

0,5276334

0,5

ІСТИНА

2

0,6321206

0,5

ІСТИНА

2,5

0,7134952

0,5

ІСТИНА

3

0,7768698

0,5

ІСТИНА

3,5

0,8262261

0,5

ІСТИНА

4

0,8646647

0,5

ІСТИНА

4,5

0,8946008

0,5

ІСТИНА

5

0,917915

0,5

ІСТИНА

5,5

0,9360721

0,5

ІСТИНА

6

0,9502129

0,5

ІСТИНА

6,5

0,9612258

0,5

ІСТИНА

7

0,9698026

0,5

ІСТИНА

7,5

0,9764823

0,5

ІСТИНА

8

0,9816844

0,5

ІСТИНА

8,5

0,9857358

0,5

ІСТИНА

9

0,988891

0,5

ІСТИНА

9,5

0,9913483

0,5

ІСТИНА

10

0,9932621

Рис. 7. Приклад сторінки Excel для моделювання випадкової величини, розподіленої за показовим законом.

Контрольні питання.

1. Дайте визначення поняттям: випадкова величина, ймовірність випадкової події.

2. Яким чином розраховується ймовірність випадкової події, чим вона відрізняється від частоти виникнення події?

3. Дайте визначення поняттю закон розподілу випадкової величини?

4. Як побудувати функцію та щільність розподілу випадкової величини?

5. Які основні числові характеристики застосовуються для випадкових величин.

6. Які основні властивості показового закону розподілу випадкової величини?

7. Які основні властивості нормального закону розподілу випадкової величини?

8. В яких випадках в теорії надійності використовується розподіл Пуассона?

Література

1. Ю.К. Величко, В.Г. Коронин Теория надежности. Конспект лекций по курсу „Техническая эксплуатация электро- и приборного оборудования летательных аппаратов”. Часть 1. К. 1971, 118 с.

2. И.Н. Кронштейн, К.А. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – 13-е изд., исправл. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544.

=2

=0,8

=5

=10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33738. Типология муниципальных образований в РФ в соответствии с ФЗ № 131 32.5 KB
  Сельское поселение один или несколько объединенных общей территорией сельских населенных пунктов поселков сел станиц деревень хуторов кишлаков аулов и других сельских населенных пунктов в которых местное самоуправление осуществляется населением непосредственно и или через выборные и иные органы местного самоуправления; Городское поселение город или поселок в которых местное самоуправление осуществляется населением непосредственно и или через выборные и иные органы местного самоуправления; Муниципальный район несколько...
33739. Порядок формирования органов МСУ по закону № 131 44.5 KB
  Структуру органов местного самоуправления составляют представительный орган муниципального образования глава муниципального образования местная администрация исполнительнораспорядительный орган муниципального образования контрольный орган муниципального образования иные органы местного самоуправления предусмотренные уставом муниципального образования и обладающие собственными полномочиями по решению вопросов местного значения. Наличие в структуре органов местного самоуправления представительного органа муниципального образования главы...
33740. Конституционно -правовые характеристика Российской Федерации 33 KB
  Конституционно правовые характеристика Российской Федерации Российская Федерация Россия есть демократическое федеративное правовое государство с республиканской формой правления. Носителем суверенитета и единственным источником власти в Российской Федерации является ее многонациональный народ. Никто не может присваивать власть в Российской Федерации. Суверенитет Российской Федерации распространяется на всю ее территорию.
33741. Законотворческий процесс: понятие, содержание стадии 45.5 KB
  Право законодательной инициативы принадлежит Президенту Российской Федерации Совету Федерации членам Совета Федерации депутатам Государственной Думы Правительству Российской Федерации законодательным представительным органам субъектов Российской Федерации. Право законодательной инициативы принадлежит также Конституционному Суду Российской Федерации Верховному Суду Российской Федерации и Высшему Арбитражному Суду Российской Федерации по вопросам их ведения. Законопроекты о введении или отмене налогов освобождении от их уплаты о...
33742. Понятие и виды нормативных актов. Действие нормативных актов по времени, пространстве и по кругу лиц 29 KB
  Нормативноправовой акт является одним из важнейших и основных источников права. В нормативноправовых актах закрепляются нормы которые учитывают интересы большинства и меньшинства в целом координируют их в зависимости от конкретных экономических социальных национальных и международных отношений. В отличии от других источников права правовой обычай юридический прецедент нормативноправовой акт обладает следующими признаками. Создается в результате правотворческой деятельности компетентных органов государства или референдумом; В...
33743. Федеральное собрание РФ –высший представительный орган Российской Федерации: понятие, структура, порядок формирования, компетенция 41 KB
  Федеральное собрание РФ высший представительный орган Российской Федерации: понятие структура порядок формирования компетенция. По Конституции РФ 1993 года статья 94 Федеральное Собрание парламент Российской Федерации является представительным и законодательным органом Российской Федерации. Федеральное Собрание состоит из двух палат Совета Федерации и Государственной Думы. В Совет Федерации входят по два представителя от каждого субъекта Российской Федерации: по одному от представительного и исполнительного органов государственной...
33744. Общие принципы организации органов представительной и исполнительной власти в субъектах РФ 61 KB
  Система законодательных представительных и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации устанавливается ими самостоятельно в соответствии с основами конституционного строя Российской Федерации и настоящим Федеральным законом. Образование формирование деятельность законодательных представительных и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации их полномочия и ответственность порядок взаимодействия между собой и с федеральными органами государственной власти основываются на...
33745. Конституционно-правовые основы разграничения предметов ведения между Российской Федерацией и субъектами Российской Федерации 29 KB
  Конституционноправовые основы разграничения предметов ведения между Российской Федерацией и субъектами Российской Федерации В ведении Российской Федерации находятся: а принятие и изменение Конституции Российской Федерации и федеральных законов контроль за их соблюдением; б федеративное устройство и территория Российской Федерации; в регулирование и защита прав и свобод человека и гражданина; гражданство в Российской Федерации; регулирование и защита прав национальных меньшинств; г установление системы федеральных органов законодательной...
33746. Прекращение договора купли-продажи 14.11 KB
  Прекращение договора куплипродажи. Прекращение договора куплипродажи: договор считается заключенным с момента выдачи продавцом покупателю чека свидетельствующего об оплате товара а оплата товара понимается как достижение соглашения сторонами. Публичный характер этого договора определяется порядком его прекращения: оферентом выступает продавец а публичной офертой являются работа автомата демонстрация товаров или их образцов описание товаров и их фотоснимки а также реклама товара если она содержит все существенные условия договора...