68615

Обробка експериментальних статистичних даних про відмови елементів технічних систем. Визначення закону розподілу випадкової величини

Лабораторная работа

Физика

Мета лабораторної роботи набути навиків щодо обробки експериментальних статистичних даних появи випадкової величини та визначення закону її розподілу. Основні теоретичні відомості Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу під якими розуміють будь-яке співвідношення...

Украинкский

2014-09-24

265.5 KB

1 чел.

Дисципліна: „Надійність і діагностування світлосигнального обладнання аеродромів”

Лабораторна робота №2

„Обробка експериментальних статистичних даних про відмови елементів технічних систем. Визначення закону розподілу випадкової величини.”

Мета лабораторної роботи – набути навиків щодо обробки експериментальних статистичних даних появи випадкової величини та визначення закону її розподілу.

Основні теоретичні відомості

Властивості випадкових величин описуються за допомогою законів розподілу, під якими розуміють будь-яке співвідношення, що встановлює взаємозв’язок між можливими значеннями випадкової величини й відповідними їм імовірностями. Ці залежності можна представити у вигляді таблиць, графіків або аналітичних функцій.

Наприклад, при вивченні роботи підприємства, що випускає резистори, виміряли величину 100 резисторів з номіналом 500 Ом. В результаті одержали 100 різних значень, що лежать у діапазоні від 456 до 535 Ом. Як проаналізувати за цими значеннями якість продукції?

Часто використовується наступний метод. Розбивають весь діапазон спостережуваних значень випадкової величини (у цьому випадку величина опору резисторів) на деяку кількість рівних інтервалів. Кількість інтервалів беруть від 5 до 25 шт., що визначається числом наявних значень випадкової величини. Чим більший об’єм випробувань, або, як кажуть, об’єм вибірки, тим більша кількість інтервалів.

Розділимо весь діапазон отриманих значень опорів резисторів на 9 рівних інтервалів і занесемо результати у таблицю 1.

Таблиця 1 Статистичний ряд значень випадкової величини

Діапазон

опорів резисторів,

Ом

450 -460

460 -470

470 -480

480 -490

490 -500

500 -510

510 -520

520 -530

530 -540

Кількість резисторів, шт.

3

11

14

19

24

15

9

3

2

Одержимо табличну форму запису закону розподілу. Для наочності зобразимо отриману залежність у вигляді графіка, на якому по осі ординат відкладемо у відсотках кількість резисторів для відповідної ділянки (рис. 1а). По характеру отриманого графіка можна судити про якість резисторів, що випускаються заводом, про точність витримування технології. Чим вужче буде побудований графік і вище середній пік, тим більша якість продукції, що випускається заводом.

Експериментально отримані графіки розподілу випадкових величин називають гістограмами та будують їх у вигляді східчастої функції. Гістограма процентного розподілу випадкової величини має один значний недолік – при зміні кількості інтервалів розбивки істотно змінюються значення функції розподілу. Тому звичайно будуються графіки статистичної щільності розподілу випадкових величин:

,      (1)

де N – загальна кількість елементів, що випробуються;

  кількість елементів, які своїми значеннями відповідають ділянці х.

У нашому прикладі статистичною щільністю розподілу буде залежність

При розбивці діапазону розподілу R на більше дрібні ділянки одержимо гістограму, що приблизно збігається з вихідною. Один з її можливих варіантів зображений пунктиром на рис. 1а. Гістограма щільності розподілу має цінну властивість площа, обмежена нею, постійна і завжди дорівнює 1, адже, просумувавши всі окремі площі, одержимо величину, рівну

Необмежено збільшуючи число випробувань та інтервалів розбивки або спрямляючи ламану лінію, можна одержати гістограму у вигляді плавної кривої (рис. 1б).

              

   а      б

Рис.1. а – гістограма щільності розподілу випадкової величини;

б – графік щільності розподілу випадкової величини.

Аналогічно тому, як частота появи події наближається до ймовірності виникнення події при нескінченно великій кількості випробувань, так і статистична щільність розподілу випадкової величини наближається до дійсної щільності розподілу. Якщо в результаті математичної обробки ряду випробувань одержано графік щільності розподілу випадкової величини f(x), то можна стверджувати, що повністю описані її властивості.

Функція розподілу випадкової величини має вигляд

     (2)

Кожна точка функції розподілу (2) показує ймовірність того, що випадкова величина набуде таке значення, що є меншим або дорівнює абсцисі х (див. рис.2). Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення від до легко знаходиться як різниця ймовірностей

.

Рис. 2. Приклад графіку функції розподілу випадкової величини х, розподіленої за нормальним законом.

Функція розподілу, її похідна – щільність розподілу та параметри закону розподілу (математичне чекання та дисперсія) всебічно описують характеристики випадкової величини. Тому важливо, якщо закон розподілу випадкової величини заздалегідь невідомий, за результатами випробувань насамперед визначити закон розподілу, а потім визначати параметри цього закону.

Питання визначення закону вирішується остаточно лише при великій кількості випробувань за допомогою гістограм. При наявності ж невеликого числа відмов (один-два десятка), з яким найчастіше доводиться зустрічатися на практиці, визначити закон розподілу за допомогою гістограм неможливо. У цьому випадку застосовуються допоміжні штучні методи, що дозволяють оцінити можливість опису спостережуваного випадкового явища тим або іншим законом. Причому, як правило, маючи результати нечисленних випробувань неможливо сказати, що розподіл підпорядковується певному закону. Критерії оцінки звичайно побудовані на порівнянні відповідності результатів випробувань одному або іншому закону (або групі законів) і визначенні, якому з порівнюваних законів краще відповідають дослідні дані.

Виконуючи послідовно такі порівняння (кілька разів з різними законами розподілу), можна встановити, якому з розглянутих розподілів найкраще відповідають отримані дослідні дані. Оскільки доведено, що більшість технічних систем мають наробіток до відмови, розподілений за показовим законом, розглянемо два критерії, які дозволяють підтвердити гіпотезу про показовість закону розподілу відмов.

1.Перший метод є найбільш простим та грубим методом оцінки відповідності експериментальних даних показовому закону. Він базується на одній з властивостей показового закону розподілу випадкової величини – рівності математичного чекання і середньоквадратичного відхилення випадкової величини – рівність (3). 

Тср = (3)

Отже, маючи статистичний ряд значень випадкової величини, необхідно обчислити значення  і , порівняти їх між собою і, якщо рівність (3) виконується, можна припустити, що закон розподілу часу відмов близький до показового.

2. Другий метод – метод показового паперу базується на графічній побудові функції

,      (4)

де Q(t)  імовірність відмови до моменту часу t. Оскільки функція

для показового закону на графіку є прямою лінією, емпірично побудований графік функції (4) повинен бути близький до прямої з тангенсом кута нахилу до осі абсцис, рівним інтенсивності відмов. Зазначений графік зручніше будувати на показовому папері, що має логарифмічний масштаб по осі ординат. Тоді не потрібно виконувати логарифмування. При звичайному рівномірному масштабі по осі ординат необхідно відкладати значення , тобто потрібно виконати логарифмування функції . Якщо випробування проводилися без відновлення елементів, що відмовили, то значення функції Q (t) знаходиться за формулою

,      (5)

де N кількість елементів, що проходили випробування;

п (t)  кількість елементів, що відмовили до моменту часу t.

Побудувавши отриману залежність слід графічно перевірити можливість її апроксимації прямою лінією (рис. 3). Як видно із графіка, для даної випадкової величини можна зробити висновок про те, що закон її розподілу є показовим.

Якщо в результаті побудови графіка функції (4) після апроксимації виходить нелінійна залежність, то гіпотеза про показовий характер розподілу не підтверджується. При цьому можна припустити, що розподіл підпорядковується закону Вейбулла з параметром >1, якщо крива має ввігнутий характер, і з параметром <1, якщо  опуклий. Зазначені криві нанесені у вигляді пунктирних ліній на графіку рис. 3  опукла, б увігнута).

Рис. 3.  Графік функції .

При використанні даного методу інтенсивність відмов елементів за допомогою графіку знаходиться за формулою (2):

,       (6)

де KQ, Kt – масштабні коефіцієнти;

– кут нахилу функції (4) до вісі абсцис.

Масштабні коефіцієнти знаходяться за наступними формулами

, а ,     (7)

де SQ і L – відповідно висота та ширина графіку функції (4);

f(t)maxмаксимальне значення функції (4) (для нашого випадку f(t)max = 2,4);

tобласть зміни наробітку до відмови, знаходиться як t = tmax - tmin.

Беручи до уваги той факт, що інтенсивність відмов елементів зворотно пропорційна наробітку до відмови Т0, її значення за статистичними даними визначається за формулою

,      (8)

де n(t) – кількість відмов, які відбулися за проміжок години t;

– сума годин наробітку усіх однотипних елементів, що випробувалися.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитися з основними прийомами перевірки гіпотез про закони розподілу випадкових величин.

2. Лабораторна робота складається з двох частин. Перша частина – „Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини” полягає в наступному:

2.1 Лабораторна робота виконується з застосуванням комп’ютерної програми Excel (назва файлу – Lab rab 2.xls, Лист 1– для першої частини роботи і та Лист 2 – для другої).

Програма моделює випадкову величину з певним законом розподілу з невідомими параметрами і видає простий статистичний ряд з кількістю моделювань, що дорівнює ста. Студенту необхідно ввести вихідні дані – номер свого варіанту (відповідне віконце позначено блакитним кольором) і роздрукувати (переписати у протокол виконання лабораторної роботи – таблиця 1) значення випадкової величини. Приклад інтерфейсу програми зображено на рис. 4.

2.2 Перетворити просту статистичну сукупність на статистичний ряд, що складається з семи інтервалів і визначити частоту попадання випадкової величини в певний інтервал. Результати занести в таблицю 2.

2.3 Побудувати гістограми функції та щільності розподілу випадкової величини та зробити висновки про закон її розподілу.

2.4. Визначити основні параметри випадкової величини – математичне чекання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Лабораторна робота №2

„Обробка експериментальних статистичних даних про відмови елементів технічних систем.

Визначення закону розподілу випадкової величини.”

1. Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини

Вихідні дані:

Номер варіанту

3

Результат:

№ модел.

Зн-ня випадк. вел-ни

1

208

2

170

3

43

4

138

5

130

6

352

7

376

8

409

9

52

10

50

11

54

12

48

13

497

.................................................................................................................................

Рис. 4. Приклад інтерфейсу програми для виконання першої частина лабораторної роботи – Лист 1.

3. Друга частина лабораторної роботи – „Перевірка гіпотези про показовий закон розподілу випадкової величини” полягає в наступному:

3.1 Комп’ютерна програма моделює випадкову величину з певним законом розподілу з невідомими параметрами і видає статистичний ряд з кількістю моделювань, що дорівнює десяти – Лист 2.

Студенту необхідно ввести вихідні дані – номер свого варіанту (відповідне віконце позначено блакитним кольором) і роздрукувати (переписати у протокол виконання лабораторної роботи) значення випадкової величини (таблиця 3), ймовірності її відмови Q(t) та значення функції (таблиця 4).

Приклад інтерфейсу програми зображено на рис. 5.

Лабораторна робота №2

„Обробка експериментальних статистичних даних про відмови елементів технічних систем.

Визначення закону розподілу випадкової величини.”

2. Перевірка гіпотези про показовий закон розподілу випадкової величини

Вихідні дані:

Номер варіанту

9

Результат:

№ модел.

Зн-ня випадк. вел-ни

Значення

Значення

і

ti

Q(t)

ln(1/1-Q(t))

1

195

0,090909

0,1

2

245

0,181818

0,2

3

320

0,272727

0,32

4

430

0,363636

0,45

5

600

0,454545

0,61

6

730

0,545455

0,79

7

1020

0,636364

1,01

8

1380

0,727273

1,3

9

2030

0,818182

1,7

10

2830

0,909091

2,4

Рис. 5. Приклад інтерфейсу програми для виконання другої частини лабораторної роботи – Лист 2.

3.2. Перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина розподілена за показовим законом. Перевірку здійснити двома методами:

  •  порівнянням математичного чекання та дисперсії випадкової величини – аналітично визначити математичне чекання, дисперсію та середньо квадратичне відхилення випадкової величини.;
  •  методом показового паперу (заповнити таблицю 4, побудувати графік та зробити відповідні висновки).

3.4 Беручи до уваги те, що випадкова величина має фізичний зміст середнього наробітку до відмови, наприклад, джерел світла аеродромних вогнів, визначити їх інтенсивність відмов (формули (6-8).

5. За результатами лабораторної роботи зробити висновки.

Звіт з лабораторної роботи

Звіт з результатами лабораторної роботи повинен мати:

1. Короткі теоретичні відомості (у разі необхідності).

2. Таблиці зі значеннями випадкової величини, розподіленої за певним законом (таблиці 1 – 3) та таблицю зі значеннями ln1/(1-Q(t)) (таблиця 4).

3. За результатами виконання першої частини роботи – „Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини” мають бути побудовані гістограми функції та щільності розподілу випадкової величини та розраховані її основні параметри. Зроблені висновки про закон розподілу випадкової величини.

4. За результатами виконання другої частини роботи – „Перевірка гіпотези про показовий закон розподілу випадкової величини” – мають бути аналітично визначені параметри випадкової величини (метод порівняння математичного чекання та середньоквадратичного відхилення) та побудований графік і визначено значення інтенсивності відмов елементів (метод показового паперу). Зроблені висновки про закон розподілу випадкової величини.

5. Висновки.

Вихідні дані

У якості вихідних даних виступає номер варіанту студента, який заноситися до програми. Згідно номера варіанту програма здійснює моделювання випадкової величини (див. рис.4 та 5).

Таблиця, у яку слід заносити результати моделювання випадкової величини (частина перша лабораторної роботи), повинна мати наступний вигляд (Таблиця 1; у таблиці Nm – номер моделювання, х – значення випадкової величини).

Таблиця 1. Значення випадкової величини, розподіленої за невідомим законом.

Nm

х

Nm

х

Nm

х

Nm

х

Nm

х

1

21

41

61

81

2

22

42

62

82

3

23

43

63

83

4

24

44

64

84

5

25

45

65

85

6

26

46

66

86

7

27

47

67

87

8

28

48

68

88

9

29

49

69

89

10

30

50

70

90

11

31

51

71

91

12

32

52

72

92

13

33

53

73

93

14

34

54

74

94

15

35

55

75

95

16

36

56

76

96

17

37

57

77

97

18

38

58

78

98

19

39

59

79

99

20

40

60

80

100

Таблиця, у яку слід занести результати перетворення простої статистичної сукупності на статистичний ряд, має наступний вигляд (Таблиця 2). У Таблиці 2 введені такі позначення:

Ii – границі інтервалів, у які потрапляє випадкова величина х;

mi – кількість значень випадкової величини х, що потрапила до певного інтервалу;

pi* – частоти випадкової величини на шкірному з інтервалів.

Таблиця 2. Статистичний ряд значень випадкової величини х

Ii

mi

pi*

Таблиця, у яку слід заносити результати моделювання випадкової величини (частина друга лабораторної роботи), повинна мати наступний вигляд (Таблиця 3).

Таблиця 3. Моделювання випадкової величини, розподіленої за невідомим  законом (гіпотеза про показовий закон розподілу).

Номер моделювання

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Значення випадкової величини

Таблиця 4, у яку слід заносити розраховані значення ln1/(1-Q(t)) має наступний вигляд.

Таблиця 4. Значення функції ln1/(1-Q(t))

t, год

Q(t)


Контрольні питання.

1. Що називають законом розподілу випадкової величини?

2. Як побудувати функцію та щільність розподілу випадкової величини за статистичними даними?

3. Як визначити основні параметри розподілу випадкової величини?

4. Як, маючи просту статистичну сукупність значень випадкової величини, побудувати для неї гістограми функції та щільності розподілу?

5. Як розрахувати оціночні значення параметрів показового та нормального розподілів випадкової величини?

6. Які існують критерії оцінки гіпотез про розподіл випадкових величин?

7. Які існують основні критерії оцінки гіпотези про показовий розподіл випадкової величини?

8. Розкрийте сутність найпростішого методу оцінки гіпотези про показовий розподіл випадкової величини.

9. У чому сутність методу показового паперу?

10. Як, при застосуванні методу показового паперу, можна визначити значення інтенсивності відмов , якщо вважати, що випадковою величиною є середній наробіток до відмови джерел світла аеродромних вогнів.

Література

1. Ю.К. Величко, В.Г. Коронин теория надежности. Конспект лекций по курсу „техническая эксплуатация электро- и приборного оборудования летательных аппаратов”. Часть 1. К. 1971, 118 с.

2. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и задачах. Учеб. Пособие для студентов радиотехнических специальностей вузов. Под ред. Г.В. Дружинина. – М., «Энергия», 1976.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58432. Национальная экономика 45 KB
  Основные цели национальной экономики Макроэкономика изучает: процессы использования разнообразных ресурсов которыми располагает общество для удовлетворения потребностей людей. Предметом макроэкономики являются закономерности развития и функционирования национальной экономики...
58433. Учись быть благодарным. Десять прокаженных 158 KB
  Показать им что в нашей жизни есть множество поводов благодарить Бога.Молитва Предложите детям совершить молитву и попросить у Бога благословения на этот урок.Мотивация Ребята когда мы говорим Спасибо А что хорошее сделал вам Бог За что же мы должны благодарить Бога За пищу за одежду за здоровье. Бога в небесах.
58434. ПРОБЛЕМЫ ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ УЧАСТИЯ В ДОГОВОРЕ ДОЛЕВОГО СТРОИТЕЛЬСТВА ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ 353.5 KB
  Появление и дальнейшее развитие договора участия в долевом строительстве в российском законодательстве имеют огромное значение для решения жилищной проблемы, поскольку надежное правовое регулирование отношений долевого строительства - гарантия успешного развития данных отношений
58435. Чудесная любовь Иисуса. Пасха 156 KB
  Побудить детей своими поступками не огорчать Иисуса но быть всегда послушными исполнительными дружелюбными. И спросил правитель Иисуса: Ты Царь Иудейский Иисус отвечал: Ты говоришь. В чем же он заключался Бог – Отец послал Сына Иисуса на землю сказать людям чтобы они перестали делать злые дела поверили в Бога и исполняли Его заповеди.
58436. Религия 47.5 KB
  Религия как форма мировоззрения; Структура и функции религии; Виды религий; Веротерпимость и свобода совести. Другие определения религии: одна из форм общественного сознания; совокупность духовных представлений основывающихся на вере в сверхъестественные силы и существа богов...
58437. ООН и международные организации в области народонаселении 360 KB
  Международная конференция по народонаселению и развитию (МКНР), состоявшаяся в Каире, Египет, в 1994 году, позволила Фонду ООН в области народонаселения (ЮНФПА)
58438. Религия древних греков 67 KB
  Прочитайте или расскажите миф о Геракле стр. Сам же Зевс по греческой мифологии стал править небом и владеть Олимпом горой обиталищем богов гора Олимп находится в Северной Греции; расположенным под землей царством мертвых стал править Аид а Посейдону досталась власть над морями. Задание: прочитайте в учебнике миф о Деметре и ее дочери Персефоне. Какое природное явление отражено в этом мифе стр.
58439. Добрый Пастырь 225 KB
  Пояснить им что как пастух любит и заботится о своих овцах так Иисус любит нас даже знает каждого из нас по имени. Словарная работа: Пастырь – пастух овец Ход урока: 1. Мотивация Необходимые материалы: картинка с изображением пастуха и овечки иллюстрации снаряжения пастуха. Вниманию детей предлагаем картинку с изображением пастуха.
58440. Все починається з мами 45.5 KB
  Мета. Удосконалювати навички виразного читання, збагачувати активний словниковий запас; виховувати любов і повагу до матері красою художнього слова.