68630

Системы счисления и кодирования; двоичная арифметика

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Во всех этих числах встречается символ I единица. В этой последовательности десятичная точка запятая отделяет целую часть числа от дробной если число целое точка опускается. Крайний левый разряд числа называется старшим разрядом а крайний правый – младшим разрядом этого числа.

Русский

2014-09-24

481.18 KB

21 чел.

Лабораторная работа № 2

Системы счисления и кодирования; двоичная арифметика.

1 Цель и содержание

Ознакомить студентов с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной  системами счисления. Научить студентов производить арифметические действия в двоичной системе счисления.

Данное практическое занятие содержит сведения о существующих системах счисления, приводится методика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления.

2 Теоретическое обоснование

2.1 Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления (CC) – это совокупность набора символов (цифр) и правил, используемых для записи чисел. СС делятся на:

  1.  позиционные;
  2.  непозиционные.

В позиционной СС (ПСС), значение символа зависит от позиции в которой он находится. Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

Пример 2.1. Рассмотрим десятичное число 737.7.

В исходном числе цифра 7 встречается три раза, однако значение этого символа во всех трех позициях различно. Первая семерка слева имеет вес сотен, вторая – вес единиц,  а третья – вес десятых долей.

Непозиционными являются такие системы, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Непозиционной СС является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Пример 2.2. Рассмотрим числа представленные в римской СС: IX, XI, VII. Во всех этих числах встречается символ I (единица). В первом числе он стоит во второй позиции, во втором – в первой, а в третьем сразу в двух – второй и третьей. Однако во всех этих позициях значение символа остается равным единице.

Основной характеристикой ПСС является основание. Оно указывает на количество символов, употребляемых в ПСС, определяет название ПСС и обозначается  p. Например,  в десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, следовательно основание этой ПСС  p =10.

В ЭВМ применяют следующие ПСС: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Основной СС применяемой в ЭВМ является двоичная система. Это связано с тем, что в аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое – 1.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

N = bnbn-1 ... b1b0 . b-1b-2 ...

где bj либо 0, либо 1.

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Позиционные системы счисления

Название

СС

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадца-теричная

Основание p

10

2

8

16

Используемые символы

0 ÷ 9

0, 1

0 ÷ 7

0÷9, A,B, C, D, E, F

Построение чисел

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

20

10100

24

14

Любое вещественное число (десятичная дробь) принято представлять в виде последовательности символов. В этой последовательности десятичная точка (запятая) отделяет целую часть числа от дробной, если число целое точка опускается. Для удобства позиции символов в этой последовательности нумеруется.

Номер позиции символа (цифры) в числе называется разрядом. Крайний левый разряд числа называется старшим разрядом, а крайний правый – младшим разрядом этого числа. Количество символов в числе определяют разрядность числа.

Нумерация разрядов целой части производится справа налево от десятичной точки, от 0 до n. Нумерация разрядов дробной части производится слева направо от десятичной точки, от -1 до m. 

Rp= anan-1 ... a1a0 . a-1 a-2 .. a-m

где Rp – вещественное число, представленное в ПСС с основанием p;

ai – символ (цифра) находящийся  в i-ом разряде числа;

Номер старшего разряда n, номер младшего разряда – ( m )

Любое вещественное число R, представленное в ПСС с основанием p,  может быть представлено в виде полинома:

Rp=an*pn +an–1*pn–1+ ... +a1* p1 +a0* p0+a–1 *p–1+a–2*p–2+ ... +a–m*p–m 

где Rp – вещественное число, , представленное в ПСС с основанием p;

aj – символ (цифра) находящийся  в i-о м разряде числа; 

pi – вес символа (цифры) находящегося  в i-ом разряде числа.

Целая часть вещественного числа Rp в полиноме выделена подчеркиванием. Если в виде полинома необходимо представить целое число разложение дробной части (невыделенной подчеркиванием) из полинома  отбрасывается.

Пример 2.3. Представить число 5147,5610 в виде полинома.

Рассмотрим исходное число. Количество цифр в этом числе 6 следовательно разрядность числа равна 6.

Пронумеруем позиции исходного числа:

Символ

5

1

4

7

.

5

6

Направление нумерации разрядов

.

Номер позиции 

3

2

1

0

.

-1

-2

Старший разряд  – №3, младший разряда № -2.

Представим число 5147,56 в виде полинома:

5147,5610  = 5*103  +  1*102  +  4*101  +  7*100  +  5*10-1  +  6*10-2    =   5000  +  100  +  40  +  7  +  0,5  +  0,06.

2.2 Двоичная арифметика. 

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицей 2.

Таблица 2 – Правили выполнения арифметических операций

Двоичное сложение

Двоичное вычитание

Двоичное умножение

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

0 – 0 = 0
1 - 0 = 1
1 – 1 = 0
10 - 1 = 1

0 0 = 0
0
1 = 0
1
0 = 0
1
1 = 1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример 2.4..Выполнить сложение двоичных чисел: X=1101, Y=101.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда.

Пример 2.5.. Даны двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения. Для удобства вычислений рекомендуется складывать по два слагаемых, а затем к полученной сумме прибавлять следующее слагаемое (пример 1.6 а))

Пример 2.6. Даны двоичные числа X и Y, вычислить XY.

а) X=1001 и Y=101

б) X=1001 и Y=111

Для выполнения деления двоичных чисел используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример 2.7.. Даны двоичные числа X=1100.011 и Y=10.01. Вычислить X/Y.

3 Задания

1 Для каждого из чисел определить разрядность и указать номера старшего и младшего разрядов:     а) 12345.034;    б) 365;    в) -273.1.

2. Представить в виде полинома числа:

а) 51.1510;    б) 10110.1012;     в) 37.48;    г) А7.1Е16.

3. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y , если:

а) X=1101001; Y=101111;

б) X=101110110; Y=10111001;

в) X=100011001; Y=101011.

4. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:

а) X=1000011011; Y=1011;

б) X=100101.011; Y=110.1;

в) X=100000.1101; Y=101.01.

4 Контрольные вопросы

1. Что называется системой счисления?

2. Какие Вы знаете позиционные системы счисления?

3. Какие  правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления вы знаете?

4. Что такое полиномиальное представление числа?

5 Домашняя работа

  1.  Заданы два  числа в двоичной системе счисления (A и B). Произвести сложение, вычитание, умножение и деление  этих чисел в двоичной системе счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1 Цель и содержание

Ознакомить студентов с правилами перевода чисел из одной системы счисления в другую. Научить студентов переводить числа из любой ПСС в десятичную систему счисления и обратно, научить производить перевод чисел между системами счисления с основаниями, являющимися степенями двойки.

Данное практическое занятие содержит сведения о правилах перевода чисел, приводится методика перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую.

2 Теоретическое обоснование

2.1 Перевод чисел в десятичную систему из любой ПСС 

Перевод чисел в десятичную систему из любой ПСС осуществляется путем представления числа в виде полинома и вычислением полученной суммы.

Пример 3.1. Осуществить перевод:

а) 10101101.1012 ( ? )10

1 0 1 0 1 1 0 1 . 1 0 1       =     1 * 27 + 0 * 26  + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20  +

7  6   5  4  3  2   1  0    -1 -2 -3                   + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 +  1 * 2-3                  =         173 . 625

10101101.1012 = 173 . 62510

б) 703.048  ( ? )10

7 0 3 . 0 4   =   782+ 081+ 380+ 08-1+ 48-2   =    451.0625

2  1   0    -1 -2

703.048  = 451.062510

в) B2E.416   ( ? )10

B 2 E . 4 = 11162 + 2161+ 14160+ 416-1 =2862.25

2   1  0     -1

B2E.416  = 2862.2510

2.2 Перевода десятичного вещественного числа в любую ПСС

Для перевода десятичного вещественного числа в любую ПСС необходимо:

– выделить в десятичном числе целую и дробную части;

– целую часть десятичного числа делить на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде последовательности: частное, далее остатки деления, начиная с последнего;

– дробную часть числа необходимо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части, находящиеся за запятой. Умножение прекращается, как только после десятичной точки появится ноль. Дробная часть в новой системе записывается в виде последовательности цифр стоящих перед десятичной точкой, начиная с первой верхней. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности;

в любой СС целая часть числа при переводе остается целой, а дробная –  дробной. Поэтому для получения конечного результата целая и дробная части, полученные в результате перевода, соединяются.

Пример 3.2. Осуществить перевод:

Целая часть

Дробная часть

а) 23.12510   ( ? )2

Таким образом:  2310 = 101112;

0.12510 = 0.0012.

23.12510 = 10111.0012.

Целая часть

Дробная часть

      , 3125 * 8

    2, 5        *8

    4, 0

б) 181.312510   ( ? )8

181.312510  = 265.248

Целая часть

Дробную часть

в) 622.6510  ( ? )16..

Необходимо помнить, что числам от 10 до 15 в шестнадцатеричной системе соответствуют буквы. Следовательно:  14=Е, 10=А

622.6510  = 26Е.А(6)16.

2.3 Правила перевода чисел между системами счисления основаниями, являющимися степенями двойки

Для перевода восьмеричного числа в двоичную ПСС достаточно заменить каждую цифру соответствующим двоичным числом (таблица 3.1) и записать его в виде трехразрядного числа (триады).  Например, цифра 2 в двоичной системе – 10, 10 в виде триады – 010; цифра 7 в двоичной системе – 111, 111 в виде триады  – 111. Ненужные нули в старших и младших разрядах результата можно отбрасывать.

Восьмеричная система счисления

Двоичная система счисления

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111

Перевод шестнадцатиричного числа в двоичную ПСС производится аналогично. Двоичное число записывается в виде четырехразрядного числа (тетрады) (таблица 3.2).  Например, цифра 1 в двоичной системе – 1, 1 в виде тетрады – 0001; цифра 7 в двоичной системе – 111, 111 в виде тетрады  – 0111.

Таблица 3.2 –  Соответствие цифр шестнадцатеричной системы счисления и двоичной

Шестнадцатеричная система счисления

Двоичная система счисления

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

Пример 3.3. Осуществить перевод:

а) 305.48   ( ? )2

305.48  = 11000101.12

б) 7B2.E16   ( ? )2

7B2.E16  = 11110110010.1112

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 3.4. Осуществить перевод:

а) 1101111001.11012    ( ? )8

1101111001.11012  =  1571.648

б) 11111111011.1001112    ( ? )16

11111111011.1001112  =  7FB.9C16

 

 Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример 3.5. Осуществить перевод:

175.248    ( ? )16

175.248 = 7D.516.

3 Задания

1. Осуществить перевод чисел в десятичную СС:

а) 10110111.10112;    б) 563.448;     в) 1C4.A16.

2. Осуществить перевод десятичных чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС:         а)  120.625;        б) 362,25.

3. Перевести числа в указанную СС:

а) 11011001.010112  ( ? )8;    б) 1101111101.01011012  ( ? )16.

в) 312.78  ( ? )16;      г) 5B.F16  ( ? )8.

4. Перевести числа в двоичную СС:

а) 1725.3268;  б) 7BF.52A16.

4 Контрольные вопросы

  1.  Сформулируйте общее правило перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
  2.  Сформулируйте общее правило перевода двоичных (восьмеричных,  шестнадцатеричных)  чисел в десятичную систему счисления.
  3.  Сформулируйте общее правило перевода восьмеричных  чисел в двоичную систему счисления. Как выполнить обратный перевод числа?
  4.  Сформулируйте общее правило перевода шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Как выполнить обратный перевод числа?
  5.  Сформулируйте общее правило перевода шестнадцатеричных чисел в восьмеричную систему счисления. Как выполнить обратный перевод числа?

5 Домашняя работа

  1.  Перевести число А10 в двоичную систему счисления.  Выполнить обратный перевод полученного числа.
  2.  Перевести число А10 в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  3.  Перевести число А10 в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  4.  Перевести число В8 в двоичную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  5.  Перевести число В8 в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  6.  Перевести число С2 в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  7.  Перевести число С2 в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  8.  Перевести число D16 в двоичную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.
  9.  Перевести число D16 в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.

Примечание: числа А10, В8, С2, D16,   придумать самостоятельно, как смешанные числа.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19681. Романы Гончарова: поэтика, проблематика 39 KB
  Романы Гончарова: поэтика проблематика. Замечательный роман И. А. Гончарова €œОбломов€ вышел в свет в 1859 году. В простом лишенном внешних эффектов сюжете романа глубоко и правдиво отразилась русская действительность. Роман интересен тем что образ Ильи Ильича Обломов
19682. Творческий путь Герцена 41 KB
  Творческий путь Герцена. Герцен родился 25 марта 6 апреля 1812 г. в Москве в семье богатого помещика Ивана Алексеевича Яковлева 1767 1846; мать 16летняя немка ГенриеттаВильгельминаЛуиза Гааг дочь мелкого чиновника. Брак родителей не был оформлен и Герцен носил фамилию пр...
19683. «Былое и думы» А.И. Герцена: поэтика, историческая концепция 35.5 KB
  Былое и думы А.И. Герцена: поэтика историческая концепция В 1854 году в Вольной русской типографии в Лондоне вышла в свет книга под названием Тюрьма и ссылка. Из записок Искандера. Это были первые печатные страницы Былого и дум А. И. Герцена. В свете общепринятых пре
19684. Народ в произведениях писателей-шестидесятников (очерки Н. Успенского) 42 KB
  Народ в произведениях писателейшестидесятников очерки Н. Успенского Жанр очерка был особенно любим писателями круга Современника вокруг которого после раскола в редакции группировались в основном писателиразночинцы именуемые обычно шестидесятниками. Н.В....
19685. «Подлиповцы» Ф.М. Решетникова: поэтика, выражение идеологии 35.5 KB
  Подлиповцы Ф.М. Решетникова: поэтика выражение идеологии Решетников: с 1847 учился в начальной школе затем в Пермском уездном училище. В 1855 за вынос из почтовой конторы пакетов был отдан под суд после длившегося два года судебного следствия был сослан на 3 месяца в Сол...
19686. «Очерки бурсы» Н.Г. Помяловского: идеология, поэтика 31 KB
  Очерки бурсы Н.Г. Помяловского: идеология поэтика. Помяловский родился в семье дьякона. Учился в АлександроНевском духовном училище. Окончил Петербургскую духовную семинарию 1857. По окончании в ожидании места читал по покойникам пел в церкви. В то же время занималс...
19687. Образ разночинца и его судьба в повестях Н.Г. Помяловского («Мещанское счастье», «Молотов») 32.5 KB
  Образ разночинца и его судьба в повестях Н.Г. Помяловского Мещанское счастье Молотов. Мещанское счастье и Молотов самые известные произведения писателя представляют собой дилогию в центре которой повествование о судьбе разночинца Молотова. Произведения з...
19688. Творческий путь Чернышевского 30 KB
  Творческий путь Чернышевского. Н. Г. Чернышевский 1828 1889 русский философутопист революционер редактор литературный критик публицист и писатель. Родился в Саратове в семье священника Гаврилы Ивановича Чернышевского 1793 1861. Учился дома под руководством отца много...
19689. «Что делать?»: идеология, поэтика, проблемы художественности 29.5 KB
  Что делать: идеология поэтика проблемы художественности. Огромная покоряющая сила романа Н.Г. Чернышевского заключалась в том что он убеждал в истинности передового в жизни убеждал что светлое социалистическое будущее возможно. Он отвечал на самый главный вопрос