6877

Ефект Холла. Визначення знаку носіїв струму, їх концентрації і рухливості у напівпровідниках і напівметалах за допомогою ефекту Холла

Лабораторная работа

Физика

Ефект Холла Мета роботи: визначення знаку носіїв струму, їх концентрації і рухливості у напівпровідниках і напівметалах за допомогою ефекту Холла. Зміст роботи і завдання Ознайомитись із приладами, які використовуються в роботі. Виміряти...

Украинкский

2013-01-08

262.5 KB

50 чел.

Ефект Холла

Мета роботи: визначення знаку носіїв струму, їх концентрації і рухливості у напівпровідниках і напівметалах за допомогою ефекту Холла.

Зміст роботи і завдання

  1.  Ознайомитись із приладами, які використовуються в роботі.
  2.  Виміряти питому провідність  напівпровідникового зразка.
  3.  Визначити сталу Холла  для даного досліджуваного матеріалу.
  4.  Визначити знак носіїв заряду в досліджуваному зразку.
  5.  Обчислити концентрацію  і рухливість носіїв заряду  у зразку.
  6.  Для кількох значень магнітного поля розрахувати час релаксації , циклотронну частоту  і кут Холла . Перевірити, чи виконується у проведених дослідах критерій слабкого магнітного поля.
  7.  Повторити виміри і обчислення згідно із завданнями 2-6 для іншого зразку (металевий сплав  на основі вісмуту).
  8.  Визначити похибку вимірів.

Короткі теоретичні відомості

Ефект ще студентом відкрив у 1879 р. Едвін Герберт Холл на закису міді (один із різновидів оксиду міді). Він полягає у появі електричного поля у зразку, розміщеному у схрещених електричному і магнітному полях, причому напрямок цього поля перпендикулярний напрямкам і зовнішнього електричного, і магнітного полів.

Ефект Холла – одне з найцікавіших фізичних явищ, що спостерігаються у твердих тілах, і його експериментальне дослідження дає можливість визначити три найбільш важливі величини, що характеризують електропровідність металів і напівпровідників: 1) знак носіїв заряду (тип провідності), 2) концентрацію носіїв заряду, 3) рухливість носіїв заряду.

Якісна картина виникнення ефекту Холла

Нехай уздовж провідника (або іншого провідного матеріалу) протікає постійний  струм із густиною . Напрямок цього струму приймемо за вісь  (рис.1а). Перпендикулярно до площини рисунка, вздовж осі , спрямовано постійне однорідне магнітне поле з індукцією . В результаті на кожен рухомий носій заряду діє сила Лоренца

,                                                   (1)

де – заряд носія (може бути як додатнім, так і від’ємним), вектор його швидкості. Позитивно заряджені носії заряду (наприклад, дірки у напівпровіднику) переважно рухаються у напрямку протікання струму, негативно заряджені (електрони) – у протилежному. Напрямок дії сили Лоренца на заряд залежить від його знаку. На позитивний заряд вона діє таким чином, що вектори  утворюють праву трійку векторів. Для взаємного розташування напрямків  і , наведених на рис.1а, сила Лоренца для позитивного заряду буде направлена вниз. Носії заряду не можуть нескінченно довго рухатися в напрямку осі , оскільки вони досягають границі провідника. На нижній грані зразку накопичиться позитивний заряд. Для збереження електронейтральності на протилежній верхній грані утвориться нескомпенсований негативний заряд.

а                     б

Рис.1. Виникнення ефекту Холла (а) і утворення кута Холла (б)

У випадку рухомого негативного заряду при визначенні напрямку сили Лоренца треба враховувати його знак. Вектори  для негативного заряду утворюють ліву трійку векторів. Для взаємного розташування напрямків  і , наведених на рис.1а, сила Лоренца для негативного заряду буде направлена також вниз.

Накопичення заряду призводить до виникнення електричного поля вздовж осі  – поля Холла , яке протидіє дії сили Лоренца. У стані рівноваги це поперечне поле повністю скомпенсує силу Лоренца, і струм буде протікати лише в напрямку осі . При цьому вектор напруженості результуючого електричного поля  повернеться відносно напрямку струму  на кут Холла (рис.1б), причому   

.                                                (2)

Відхилення вектора напруженості електричного поля  від напрямку протікання струму означає, що еквіпотенціальні поверхні, перпендикулярні до  теж не будуть перпендикулярними до бічних поверхонь зразка, а матимуть певний нахил до них.

Напрямок поля Холла при зміні знаку носіїв заряду змінюється на протилежний, що використовують для визначення типу провідності матеріалу, особливо широко – у фізиці напівпровідників.

Поле Холла і стала Холла

Рівняння руху електрона за наявності електричного і магнітного
полів з урахуванням затухання внаслідок зіткнень за теорією Друде має вигляд другого закону Ньютона

,                                         (3)

де – імпульс електрону; – аналог сили тертя, пропорційної швидкості руху електрону і напрямленої проти неї,   – час релаксації, або час вільного пробігу носіїв заряду, і являє собою середній час між двома послідовними зіткненнями. Варто мати на увазі, що сила Лоренца не є однаковою для всіх електронів, оскільки вона залежить від швидкості електрону . Тому силу Лоренца у рівнянні (3) потрібно вважати середньою силою у розрахунку на один електрон.

У стаціонарному стані сила струму не залежить від часу, тому проекції рівняння (5) на координатні осі мають вигляд

;            ,                  (4)

де циклотронна частота, а компонента струму вздовж осі  дорівнює нулю.

Помноживши рівняння (4) на  і ввівши компоненти густини струму, знаходимо

; .                      (5)

Напруженість поля Холла  визначається з вимоги рівності нулю густини поперечного струму , пов’язаного із дрейфом носіїв заряду. Покладаючи у другому рівнянні системи (5)  рівним нулю, одержуємо

.                                        (6)                                         

Такий результат можна було очікувати. Оскільки поперечне поле  врівноважує силу Лоренца, воно повинно бути пропорційним як індукції магнітного поля , так і густині струму  у провіднику. Коефіцієнт пропорційності в співвідношенні (8)

                                                        (7)

називається сталою Холла для даного матеріалу.

Більш точні обчислення, що   враховують   відмінність  швидкостей окремих електронів від їх середнього значення, призводять лише до незначної зміни числового множника у формулі (7), а саме

.                                             (8)

Визначення електрофізичних параметрів провідних матеріалів

Стала Холла і концентрація носіїв заряду. Якщо товщина зразку , а ширина –  (рис.2), то холллівска різниця потенціалів (ерс), виміряна на контактах 2-2,

,                            (9)

де сила струму, який протікає у зразку. Величини  та  можуть бути виміряні на експерименті, отже за формулою (9) можна визначити значення сталої Холла, а отже, і концентрацію носіїв заряду (7) у зразку.

Рис.2. Розташування контактів у досліджуваному зразку

Знак носіїв заряду. З (7) і (8) можна бачити, що у випадку електронної провідності . Якщо ж струм переноситься переважно дірками, яким приписується позитивний заряд, то е.р.с. Холла при цьому змінює знак, і . Отже, визначаючи знак різниці потенціалів Холла при обраних напрямках струму і магнітного поля у зразку, можна визначити знак носіїв заряду.

Якщо ж ні один із означених типів носіїв заряду не переважає, як це буває у домішкових напівпровідниках, то вираз для сталої Холла набуває вигляду

/

145

,                                      (10)

де концентрація дірок, а . Легко переконатись, що при  із (10) ми отримаємо (8).

Питомий опір матеріалу. Його можна визначити, якщо у випадку омічних контактів при протіканні постійного струму через зразок виміряти – спад напруги між зондами 1-1 (рис.2), розташованими на торцях зразка на відстані  один від одного. Тоді за законом Ома  та виразом для опору провідника правильної форми  маємо

.                                                (11)

Рухливість носіїв заряду. Якщо разом із сталою Холла визначити питомий опір зразка  чи електропровідність , то можна обчислити рухливість носіїв струму. У випадку носіїв заряду одного знака рухливість

.                                    (12)

Наближення слабкого магнітного поля

Розгляд ефекту Холла був проведений нами для випадку слабких магнітних полів. Під слабким магнітним полем мається на увазі таке поле, для якого час релаксації носія заряду набагато менше его періоду обертання по круговій траєкторії у магнітному полі, тобто . Коли величина  мала, то з рівнянь (5) випливає, що вектори  і  практично паралельні, як за відсутності магнітного поля.

При  траєкторії руху електронів викривляються настільки, що електрони не потрапляють на бічну грань, не роблять внеску у е.р.с. Холла (відбувається насичення залежності ), а приймають участь лише у провідності, рухаючись по циклоїді.

У загальному випадку  вектор  направлений під кутом Холла  до струму . Із рівнянь (5) і (6) випливає, що

.                                            (13)

Для чисельної оцінки циклотронної частоти  зручно викоритовувати емпіричну формулу

,                                        (14)

де .

Якщо умову слабкого магнітного поля  переписати із врахуванням виразу для циклотронної частоти та виразу для рухливості носіїв заряду , отримаємо умову, яку зазвичай використовують як критерій слабкого магнітного поля

.                                                     (15)

Експериментальні зразки

Досліджувані зразки мають форму паралелепіпеду (рис.2) і вставлені у футляр із плексигласу, що розміщується у спеціальному фіксаторі на штативі. Розміри зразків наведені у додатку до роботи.

Важливу роль при дослідженні ефекту Холла грає співвідношення розмірів зразків, зокрема відношення довжини зразка  до його ширини . Виміри будуть коректними, коли , і контакти для холлівських вимірів знаходяться на ділянці зразка, де нахил еквіпотенціальних поверхонь не спотворений (рис.3а). У цьому випадку шунтуючою дією струмових контактів можна знехтувати.

                                         а                           б

Рис.3. Розподіл силових ліній у зразку за відсутності (а) і наявності  (б) шунтуючої дії струмових контактів

При  (рис.3б) шунтуюча дія струмових контактів проявляється повною мірою, викликаючи суттєве спотворення форми силових ліній.

Експериментальна установка

Схема для вимірювання питомого опору та е.р.с. Холла наведена на рис.4.

Рис. 4.  Принципова схема для вимірювання питомого опору та е.р.с. Холла

Cтруми через зразок  та через магніт задаються універсальними джерелами живлення типу УИП, напрямки їх протікання змінюються перемикачами К1 і К2 відповідно. Струм , поздовжню напругу  (контакти 1-1 на рис.2) і е.р.с. Холла  (контакти 2-2) вимірюють універсальними цифровими приладами типу Щ4310 або аналогічними.

Величину струму магніту можна регулювати реостатом R і контролювати амперметром А. Значення індукції магнітного поля між полюсами електромагніту визначається або за градуювальною залежністю  від сили струму у обмотках електромагніту чи безпосередньо за допомогою вимірювача магнітної індукції  типу Ш1-8 або аналогічним.

Порядок роботи із всіми приладами міститься у додатку до установки.

Методика вимірювань

Питомий опір матеріалу зразка. Виміряти спад напруги  на контактах 1-1 (рис.2) при 5…7 значеннях струму , змінюючи його за допомогою вихідної напруги джерела живлення УИП (рис.4). Сила струму не повинна перевищувати 10 мА, щоб запобігти розігріву зразка та зміні його електропровідності внаслідок цього. Виміри провести для двох протилежних напрямків струму (перемикач К1 на рис.4). Згідно формули (11) залежність  є лінійною з тангенсом кута нахилу, обернено пропорційним до . Визначивши його з експериментальної залежності , за формулою (11) знаходимо .

Е.р.с. Холла та стала Холла. Для визначення  необхідно побудувати залежність .

При експериментальному визначенні  варто звернути увагу на те, що в магнітному полі між холллівськими контактами 2-2 (рис.2) поряд з  присутня деяка додаткова напруга , обумовлена гальваномагнітними явищами. Ця напруга зазвичай не змінює знаку при зміні напрямку магнітного поля, у той час як  змінює свій знак на протилежний. Тому для визначення значення  необхідно напругу між холллівськими контактами 2-2 вимірювати при двох протилежних напрямках магнітного. Дійсно, при двох взаємно протилежних напрямках магнітного поля  і фіксованому струмі  різниця потенціалів між холллівськими контактами 2-2 становить

;  ,

звідки

.                                           (16)

Крім , між холлівськими контактами 2-2 може існувати деяка напруга, що змінює свій знак при зміні напрямку магнітного поля, але не залежить від його абсолютного значення. Ця напруга має назву е.р.с. нееквіпотенціальності, її виникнення пов’язане із тим, що за відсутності магнітного поля холлівські контакти 2-2 розташовані не на спільній еквіпотенціальній поверхні. При цьому лінійність залежності  зберігається (див. формулу (9)), але пряма не проходить через нуль, з чого можна визначити е.р.с. нееквіпотенціальності і вилучити її з розрахунків.

Таким чином, необхідно зняти залежності  та  між контактами 2-2 при двох взаємно протилежних напрямках магнітного поля. Залежності  та  знімаються при постійному значенні струму через зразок.

Шукану величину  визначити за формулою (16) для кожного значення . Побудувати залежність  від  и визначити сталу Холла  за значенням тангенсу кута нахилу , використовуючи співвідношення (9).

Знак носіїв струму. Визначити напрямок протікання струму за полярністю джерела живлення, напрямок магнітного поля за допомогою магнітної стрілки, знак е.р.с. Холла за полярністю на клемах вимірювального приладу.  Користуючись виразом для сили Лоренца (1), визначити знак основних носіїв заряду.

Концентрація і рухливість носіїв заряду. За формулами (8) і (12) відповідно визначити концентрацію  і рухливість  носіїв заряду.

Для 5…7 вибраних значень індукції магнітного поля розрахувати час релаксації , циклотронну частоту  (14)  та кут Холла (13).

Перевірити, чи виконується критерій слабкого магнітного поля (15) у проведених дослідах.

Обробку результатів вимірів і розрахунок похибок провести за методом найменших квадратів.

Контрольні запитання і завдання

  1.  Поясніть якісно виникнення ефекту Холла.
  2.  Які параметри металів і напівпровідників можна визначити  на
    основі ефекту Холла ?
  3.  З якої умови визначається напруженість поля Холла ?
  4.  Отримайте у межах терії Друде вираз для сталої Холла.
  5.  Знайдіть зв’язок кута Холла із циклотронною частотою.
  6.  Дайте означення рухливості носіїв заряду. Як вона пов’язана із часом релаксації ?
  7.  Як впливають на ефект Холла неосновні носії заряду ?
  8.  Що є критерієм слабкого магнітного поля і чому наведена теорія ефекту Холла справедлива в наближенні слабкого поля ?
  9.  Чим визначається вибір розмірів зразків при дослідженні ефекту Холла ?
  10.  Як експериментально визначити значення е.р.с. Холла із врахуванням е.р.с. гальваномагнітних явищ ?
  11.  Чи вплине наявність е.р.с. нееквіпотенціальності на величину сталої Холла ?

Література

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. – М., 1979. – Т.1.

Калашников С. Г. Электричество. М., 1977.

Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., 1978.

Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. – М.,1979. – Т.3,“Электричество”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3418. Движение свободной частицы 405.94 KB
  Движение свободной частицы. Для свободной частицы U(x) = 0 (пусть она движется вдоль оси x ). Решением уравнения Шредингера: будет функция, где A = const, волновое число — может принимать любые положительные значения...
3419. Элементы релятивистской механики 241 KB
  Элементы релятивистской механики. Принцип относительности и преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца и следствия из них. Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимо...
3420. Проводники в электрическом поле. Электроемкость проводников и конденсаторов 301.5 KB
  Проводники в электрическом поле. Электроемкость проводников и конденсаторов. Распределение зарядов на проводнике. Проводник во внешнем электрическом поле. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость шара. Конденсаторы и и...
3421. Постоянный электрический ток 228 KB
  Постоянный электрический ток.  Сила и плотность тока. Электродвижущая сила и напряжение.  Закон Ома. Сопротивление проводников. Последовательное и параллельное соединение проводников.  Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца...
3422. Основы термодинамики 227.5 KB
  Применение 1 закона термодинамики и изопроцессам. Адиабатный процесс. Тепловые двигатели, их КПД. Цикл Карно. Понятие об энтропии. Второе начало термодинамики. Диаграмма этого процесса в координатах p,V изображается прямой, параллельной оси ординат...
3423. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ КАДРОВОЙ РАБОТЫ (на примере ОАО «Инженерный центр энергетики Урала») 1.38 MB
  Учитывая тот факт, что управление кадрами организации есть составной элемент менеджмента, связанный с людьми и их отношениями внутри организации. То можно утверждать, что управление трудовыми ресурсами, сегодня, должно быть направлено на достижение эффективности работы предприятия, самих работников, развитию у них потребностей высокого уровня и способностей к творческой деятельности
3424. Магнитные свойства вещества 176.5 KB
  Магнитные свойства вещества. Магнитные моменты электронов и атомов. Намагничение вещества. Диа- и парамагнетики. Ферромагнетики. Магнитные моменты электронов и атомов. Опыт показывает, что все вещества являются магнетиками, т...
3425. Динамика вращательного движения твердого тела 200.5 KB
  Динамика вращательного движения твердого тела.  Момент инерции. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.  Момент инерции. (Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.) При рассмотрении вращательно...
3426. Элементы механики жидкостей 244 KB
  Элементы механики жидкостей. Давление в жидкости и газе.  Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей. Давление в жидкости и газе. Молекулы газа...