68887

Аффінне перетворення координат при моделюванні динаміки об’єктів

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Перетворення координат графічних об’єктів використовуються вельми широко. Основні випадки: об’єкт описаний не в декартовій координатній системі зображення типових або таких, що повторюються деталей об’єкту побудова проекцій тривимірних об’єктів направлена деформація при синтезі нових форм мультиплікація.

Украинкский

2014-09-26

150 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 7

Аффінне перетворення координат при моделюванні динаміки об'єктів.

Перетворення  координат  графічних  об'єктів використовуються  вельми  широко.  Основні випадки:

-  об'єкт описаний не в декартовій координатній системі

-  зображення типових  або таких, що повторюються  деталей об'єкту

-  побудова проекцій  тривимірних об'єктів

-  направлена деформація  при синтезі нових форм

-  мультиплікація.

Розрізняють двовимірні ( 2d )  і  тривимірні ( 3d)

перетворення координат. Видів перетворень багато,  розглянемо тільки так звані  аффінні перетворення,  коли  в отримуваному зображенні об'єкту зберігається  прямолінійність і паралельність прямих, а також  ділення відрізань в заданих співвідношеннях.

Загальний вид формул  двовимірних  аффінних перетворень:

x* = a11  x + a12  y + a13

y* = a21  x + a22  y + a23

Тут  x, у -  координати  початкового,  а x*, y*  - перетвореного об'єкту.

Коефіцієнти перетворень а I J    зберігають

у вигляді матриці, розширеної до квадратної, при цьому a11    a12    a13

дуже просто обчислюються коефіцієнти якого-небудь  a21    a22    a23

складного перетворення, якщо відомі коефіцієнти                  0    0    1

перетворень, його складових. Для цього просто перемножують відповідні матриці коефіцієнтів.

Приклади  типових  перетворень і відповідні ним матриці: (Ф - початкова фігура,  Ф* -  перетворена )

Y

dx Ф* Паралельне 1 0 dx

dy перенесення 0 1 dy

Ф 0 0 1

X


Y

Ф 0 0 1

X

      Y                                  Дзеркальне  відображення

:

 

 -1  0  0

Ф* Ф щодо осі Y 0 1 0

 0  0  1

X

 1 0 0

Ф*     щодо осі  X

 0 -1 0

 0   0   1

Y Ф* Y=Х

 

щодо осі  Y=х 0 1 0

Ф 1 0 0

0 0 1

X

Ф* відносно початку -1 0 0

координат 0  -1 0

0 0 1

Y Ф*

a

 

Поворот відносно cos a -sin a 0

початку  координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

X

Інші перетворення зазвичай представляють у вигляді

комбінацій перерахованих вище простих перетворень.

Наприклад, поворот щодо довільної крапки можна представити як комбінацію трьох перетворень:

-  паралельне перенесення, що переводить центр повороту в початок координат

-  поворот відносно початки координат

-  паралельне перенесення,  протилежне первинному.

Перемножування матриць виконується таким чином:

a11

a12

a13

b11

b12

b13

c11

c12

c13

a21

a22

a23

*

b21

b22

b23

=

c21

c22

c23

a31

a32

a33

b31

b32

b33

c31

c32

c33

де  з I J = а I 1 * b 1 J + а I 2 * b 2 J + а I 3 * b J 3

тобто для розрахунку елементу матриці,  розташованого в  I-строчці  і

J-столбці,  обчислюється сума добутків елементів цього рядка в матриці A  на відповідні елементи цього стовпця в  матриці

B.

При знаходженні матриці коефіцієнтів  складного перетворення координат важливий порядок перемножування:  матриці перемножують послідовно від останньої до першої.  Для приведеного вище прикладу першому перетворенню відповідає матриця  В,  другому -  А.

У приведеній нижче програмі  лінійчата фігура задається у вигляді масивів координат її вершин  ха, уа  на кресленні  ( x, у  -  в

системі координат екрану ). Ці координати піддаються аффінним перетворенням, коефіцієнти перетворення зберігаються в

двовимірному масиві R.  Початковому положенню фігури відповідає одинична матриця  R  (одиниці на головній діагоналі, останні члени - нулі).

При черговому перетворенні коефіцієнти  матриці  R перераховуються шляхом множення  на неї матриці цього перетворення (А),  отримувана матриця (В)  знову записується  в R.  Нові координати  x, у  обчислюються в процедурі New_xy, яка викликається безпосередньо при виведенні фігури на екран процедурою  PICT.  Причому якщо встановити для малювання колір фону

то перерахунок координат проводитися не буде, що приведе до стирання старого зображення фігури - це зручно при імітації руху.

Всі прості перетворення  координат (перенесення, обертання, масштабування, зрушення), а також деякі типові перетворення як комбінації прості  оформлені у вигляді процедур.


uses Graph, Crt;

var Gd, Gm, n, i, j, до, xc, ус:  integer;

ха, уа: array[1..50] of  real;  координати фігури на кресленні }

x, у : array[1..50] of  integer;  координати фігури на екрані

а, b, r: array[1..3, 1..3] of real;  { масиви членів матриць  3*3

{--------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE I_r;  { привласнення матриці R значення одиничної }

var  i, j:  integer ; begin

for I:=1  to 3 do begin

{

1

0

0

}

for j:=1

to 3 do

r[ i, j]:=0;

{

0

1

0

}

r[ i, i]:=1;

end; end;

{

0

0

1

}

{--------------------------------------------------------------------------------------}

ПРОЦЕДУРА MULT;

{ множення матриць  А і  R,  результат (матр. В)  записується в  R }

var z: real; i, j, k:  integer;

begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin  z:=0;

for k:=1 to 3 do z:=z+a[ i, k] *  r[ k, j];

b[i, j]:=z  end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do  r[ i, j]:=b[ i, j]  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE New_xy;

{ обчислення нових координат фігури по базових  коорд. XA, YA з використанням матриці перетворення  R }

var i: integer ; begin

for i:=1 to n do begin

x[ i]:=round( xa[ i]*  r[1, 1]+ ya[ i]*  r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[ i]:=round( xa[ i]*  r[2, 1]+ ya[ i]*  r[2, 2]+ r[2, 3] )  end; end;

{--------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  TRAN( dx, dy: real);

{ розрахунок матриць  А і  R для перенесення об'єкту на  dx, dy }

var i, j: integer ; begin

for i:=1 to 3 do begin

{

1

0

dx

}

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

{

0

1

dy

}

a[ i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

MULT;  end;

a[1, 3]:=dx;  a[2, 3]:=dy


PROCEDURE  SCALE( sx, sy: real );

{ розрахунок матриць  А і  R для масштабування об'єкту:

по осі Х - множення на sx по осі Y - на sy }

var  i, j: integer; begin { sx  0 0 }

for i:=1 to 3 do { 0 sy  0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { 0 0 1 }

a[1, 1]:=sx; a[2, 2]:=sy; a[3, 3]:=1;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  ROTATE( alfa: real );

{ розрахунок матриць  А і  R  для повороту об'єкту на кут alfa(рад.):var c, s: real; i, j: integer;

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do  a[ i, j]:= 0; { 0 0 1 }

a[3, 3]:= 1;

c:=cos( alfa);

a[1, 1]:= c;

a[2, 2]:=c;

s:=sin( alfa);

a[1, 2]:=-s;

a[2, 1]:=s;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  LOOK( alfa, dx, dy, sx, sy:  real);

{ переклад об'єкту з локальної системи координат (на кресленні)

у систему координат екрану:  -  поворот об'єкту на кут  alfa(рад.)

-  перенесення на  dx,dy

-  масштабування  sx,sy

- перерахунок базових координат  ха, уа. }

var xx, yy: real; i: integer;

begin

I_R; ROTATE( alfa); TRAN( dx, dy); SCALE( sx, sy);

for i:=1 to n do begin

xx:=xa[ i] *  r[1, 1]+ya[ i] *  r[1, 2] + r[1, 3];

yy:=xa[ i] *  r[2, 1]+ya[ i] *  r[2, 2] + r[2, 3];

xa[ i]:=round( xx);

ya[ i]:=round( yy); end; I_R; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  PICT( color: word );

{ малювання фігури по координатах  X,y }

var i:  integer; begin  setcolor( color);

if(color>0)  then  NEW_XY; { Обчислення нових координат фігури: перерахунок не проводиться при малюванні чорним кольором }

moveto( x[n], y[n] );

for i:=1 to n do lineto( x[ i], y[ i] ); end;

PROCEDURE RS( beta, kx, ky: real );

{ поворот фігури щодо її центру  xm, ym  на кут  beta,  а

також її масштабування  (kx - коефіцієнт для осі  x ky - для у)

без зсуву центру фігури }

var xm, ym: real; i: integer;

begin  xm:=0; ym:=0;

for i:=1 to n do begin xm:=xm+x[ i]; ym:=ym+y[ i];  end;

xm:=xm /n; ym:=ym /n; { координати центру фігури }

TRAN(-xm, -ym);  {Перенесення центру фігури в початок координат: }

ROTATE( beta);{центр повороту і центр масштабування}

SCALE(kx, ky);{співпадають з центром фігури.  }

TRAN(xm, ym);  Зворотне перенесення фігури

end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE ROT_XY( xc, yc, beta:  real);

{ поворот фігури  щодо точки  хс, вус  на кут beta }

begin

TRAN(-xc, -yc);  Зсув фігури так, щоб її нове положення відносно початку  координат було таким же,  як старе

положення відносно  xc, ус. }

ROTATE( beta);  поворот відносно початку координат }

TRAN(xc, ус);  зворотний зсув фігури }end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE AXES( alfa, beta:  real);

{ розрахунок матриць  А і  R зсуву осей координат (деформація зрушення) вісь x зміщується на кут  alfa,  вісь  у - на кут  beta}

var i, j:  integer; begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

a[1, 2]:=sin(beta) /cos( beta);

a[2, 1]:=sin( alfa) /cos( alfa); MULT; end;

{-------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE MIRROR( delta: real; index: byte);

{ розрахунок матриць  А і R  дзеркального відображення фігури

відносно осі паралельною одній з осей координат:

при index=1: щодо осі, -1 0 2*delta

паралельній осі Y 0 1 0

і що проходить через крапку  (delta, 0). 0 0 1

при index=2: щодо осі, 1 0 0

паралельній осі Х 0 -1 2*delta

і що проходить через крапку  (0,delta). 0 0 1

var i, j: integer; begin

for i:=1 to 3 do begin

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

a[i, i]:=1  end;

a[ index, index]:=-1; a[ index, 3]:=2*delta; MULT; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

Визначаємо  плоску  фігуру : }

BEGIN

n:=4; { число вершин фігури }

xa[1]:= 5;

ya[1]:= 5;

{ координати вершин фігури на кресленні}

xa[2]:=70;

ya[2]:=20;

xa[3]:= 5;

ya[3]:=35;

xa[4]:=20; ya[4]:=20;

      Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, ' ' );

LOOK( 0, 0, -70,  1, -1);  { перехід до координат екрану }

PICT( 9); { показ початкового положення фігури}

--------- Приклади аффінних перетворень плоскої фігури ----------

SCALE( 4, 2);  збільшення по осі  х  в 4 рази по осі  у у 2 рази }

TRAN( 10,60);  зсув по осі х  на 10 пікселів, по осі у - на 60}

PICT( 14);

readln;

{--------------------Обертання із збільшенням і зсувом ------------------}

for  i:=1 to 100 do begin

PICT( 13);  виведення фігури }

RS( 0.04, 1.01, 1.01);  поворот на 0.04 рад. і збільшення  на 1%}

TRAN( 4, 0); delay(20);  зсув фігури }

PICT( 0);  стирання фігури - чорним  по старих координатах }

end;

PICT( 13);

readln;

ClearDevice;

I_R;

{---------------- Обертання навколо центру, що зміщується ------------------}

for i:=1 to 60 do begin

PICT(14);

xc:=xc+3; yc:=yc+2; putpixel(xc, вус, 12);  зсув центру xc,yc }

TRAN(3, 2);  перенесення фігури відповідно зсуву центру }

Rot_xy(xc, вус, -0.3);  поворот на 0.3 рад. відносно  xc,yc  }

delay(20);

PICT( 0); end;

readln;

Cleardevice;

I_r;

SCALE( 2, 4);

PICT(14);

{-------------- Зсуви осей координат  (деформація зрушення) ----------}

AXES( 1, 0);  зрушення осі х }PICT( 10); readln;

AXES(-1, 0); повернення PICT( 11);

AXES( 0, 1);  зрушення осі у }PICT( 12); readln;

AXES( 0 -1); повернення PICT( 13);

for i:=1 to 100 do begin

AXES( 0.01,  0.01);  поступове зрушення обох осей }

PICT( 0);

PICT(14);

delay(10); end;

readln;

Cleardevice;

I_r;

SCALE( 4, 4);

PICT(14);

{------------------- Дзеркальні відображення фігури -----------------------}

MIRROR(250, 1); PICT(10); { відображення щодо  вертикалі  }

MIRROR(150, 2); PICT(11); { відображення щодо горизонталі}

readln;

CloseGraph;END.


Ф*

   Масштабування

M

0

0

M = x*/x = y*/y

0

M

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33968. Пенетрация язвы 25 KB
  Пенетрация язвы В развитии пенетрации язвы различают три стадии: внутристеночную пенетрацию язвы стадию фиброзного сращения завершенную пенетрацию в соседний орган. Наиболее часто пенетрация язвы происходит в малый сальник в головку поджелудочной железы в печеночнодвенадцатиперстную связку. Возможна пенетрация язвы в печень в желчный пузырь в поперечную ободочную кишку и ее брыжейку. Появление боли в спине боль опоясывающего характера наблюдаются при пенетрации язвы в поджелудочную железу.
33969. Дудоденальная непроходимость. Пилородуодунальній стеноз 23.5 KB
  или пилорического отдела желудка. воспалительным инфильтратом обтурацией просвета отеком слизистой пилороспазмом или опухолью желудка. Декомпенсация гастростаз атония желудка многократная рвота рвотные массы зловонные многодневной давности. Пальпаторно контуры растянутого желудка шум плеска .
33970. Полипы желудка 25.5 KB
  Полипы желудка. Полипы желудка представляют собой патологические разрастания эпителиальной ткани. 7090 всех полипов желудка cоставляют гиперпластические полипы. Остальные 1030 приходится на долю аденоматозных полипов железистых полипов дна желудка и гамартомных полипов.
33971. Брюшина. Перитонит: классификация по клин. течению, распространнённостью процеса, характером выпота 37 KB
  Брюшина представляет собой тонкую серозную оболочку покрывающую внутреннюю поверхность брюшной стенки и расположенные в брюшной полости внутренние органы. Выделяют париетальную брюшину покрывающую внутреннюю поверхность брюшной стенки и висцеральную покрывающую большую часть внутренних органов. В брюшной полости в нормальных условиях находится небольшое количество прозрачной жидкости увлажняющей поверхность внутренних органов и облегчающей перистальтику желудка и кишечника. Богатая васкуляризация брюшинного листка обусловливает его...
33972. НЕПРОХОДИМОСТЬ КИШЕЧНАЯ 29.5 KB
  Классификация По этиологии Динамическая Спастическая заболевания нервной системы истерия спазмофилия дискинезия глистная инвазия полипы толстой кишки Паралитическая воспалительный процесс в брюшной полости флегмона гематома забрюшинного пространства состояние после лапаротомии рефлекторные влияния патологических состояний внебрюшинной локализации например пневмонии плеврита ИМ тромбоз брыжеечных сосудов инфекционные заболевания токсические парезы Механическая Обтурационная: интраорганная глистная инвазия...
33973. Тактика хирурга при лечении кишечной непроходимости. Особенности 35.5 KB
  Тактика хирурга при лечении кишечной непроходимости. Перед началом лечения необходимо четко представлять с каким видом непроходимости приходится иметь дело. При странгуляционной непроходимости или обоснованном подозрении на нее показана экстренная операция ибо задержка хирургического вмешательства может привести к некрозу кишки и разлитому перитониту. При обтурационной кишечной непроходимости можно попытаться использовать консервативное лечение с целью ликвидации кишечной непроходимости с последующим устранением вызвавшей .
33974. Неспецифический язвенный колит 34 KB
  Это заболевание представляет собой хронический воспалительный процесс с развитием язвеннонекротических изменений в слизистой оболочке прямой и ободочной кишки. В сыворотке крови больных неспецифическим язвенным колитом можно обнаружить специфические антитела к слизистой оболочке толстой кишки. Слизистая оболочка толстой кишки продуцирует антиген образуются антитела. Далее присоединяется вторичная инфекция кишечная микрофлора поражение нервного аппарата кишки алиментарная недостаточность.
33975. Болезнь Крона 32 KB
  Болезнь Крона Болезнь Крона хроническое неспецифическое воспалительное заболевание которое может поражать любой отдел пищеварительного тракта от пищевода до прямой кишки. наблюдавшими его в терминальном отделе подвздошной кишки и назвавшими терминальным илеитом. В патогенезе заболевания основным считают поражение лимфатической системы приводящее к поражению стенки кишки и развитию гранулематозного воспаления. Патологическая анатомия: стенка кишки отечна утолщена рубцово изменена.
33976. Дифузный полипоз. (Полипы толстой кишки. Ворсинчатые опухоли.) 26 KB
  Полипы толстой кишки. Полипы доброкачественное новообразование исходящее из эпителия склонное к малигнизации. Хирургическое: одиночные полипы ворсинчатые опухоли с хорошо выраженной ножкой электрокоагуляция через ректо и колоно скоп при малигнизации ворсинчатой опухоли радикальная операция право и левостороняя гемиколэктомия резекция сигмовидной. Множественные полипы ограниченная резекция пораженного отдела кишки.