68887

Аффінне перетворення координат при моделюванні динаміки об’єктів

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Перетворення координат графічних об’єктів використовуються вельми широко. Основні випадки: об’єкт описаний не в декартовій координатній системі зображення типових або таких, що повторюються деталей об’єкту побудова проекцій тривимірних об’єктів направлена деформація при синтезі нових форм мультиплікація.

Украинкский

2014-09-26

150 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 7

Аффінне перетворення координат при моделюванні динаміки об'єктів.

Перетворення  координат  графічних  об'єктів використовуються  вельми  широко.  Основні випадки:

-  об'єкт описаний не в декартовій координатній системі

-  зображення типових  або таких, що повторюються  деталей об'єкту

-  побудова проекцій  тривимірних об'єктів

-  направлена деформація  при синтезі нових форм

-  мультиплікація.

Розрізняють двовимірні ( 2d )  і  тривимірні ( 3d)

перетворення координат. Видів перетворень багато,  розглянемо тільки так звані  аффінні перетворення,  коли  в отримуваному зображенні об'єкту зберігається  прямолінійність і паралельність прямих, а також  ділення відрізань в заданих співвідношеннях.

Загальний вид формул  двовимірних  аффінних перетворень:

x* = a11  x + a12  y + a13

y* = a21  x + a22  y + a23

Тут  x, у -  координати  початкового,  а x*, y*  - перетвореного об'єкту.

Коефіцієнти перетворень а I J    зберігають

у вигляді матриці, розширеної до квадратної, при цьому a11    a12    a13

дуже просто обчислюються коефіцієнти якого-небудь  a21    a22    a23

складного перетворення, якщо відомі коефіцієнти                  0    0    1

перетворень, його складових. Для цього просто перемножують відповідні матриці коефіцієнтів.

Приклади  типових  перетворень і відповідні ним матриці: (Ф - початкова фігура,  Ф* -  перетворена )

Y

dx Ф* Паралельне 1 0 dx

dy перенесення 0 1 dy

Ф 0 0 1

X


Y

Ф 0 0 1

X

      Y                                  Дзеркальне  відображення

:

 

 -1  0  0

Ф* Ф щодо осі Y 0 1 0

 0  0  1

X

 1 0 0

Ф*     щодо осі  X

 0 -1 0

 0   0   1

Y Ф* Y=Х

 

щодо осі  Y=х 0 1 0

Ф 1 0 0

0 0 1

X

Ф* відносно початку -1 0 0

координат 0  -1 0

0 0 1

Y Ф*

a

 

Поворот відносно cos a -sin a 0

початку  координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

X

Інші перетворення зазвичай представляють у вигляді

комбінацій перерахованих вище простих перетворень.

Наприклад, поворот щодо довільної крапки можна представити як комбінацію трьох перетворень:

-  паралельне перенесення, що переводить центр повороту в початок координат

-  поворот відносно початки координат

-  паралельне перенесення,  протилежне первинному.

Перемножування матриць виконується таким чином:

a11

a12

a13

b11

b12

b13

c11

c12

c13

a21

a22

a23

*

b21

b22

b23

=

c21

c22

c23

a31

a32

a33

b31

b32

b33

c31

c32

c33

де  з I J = а I 1 * b 1 J + а I 2 * b 2 J + а I 3 * b J 3

тобто для розрахунку елементу матриці,  розташованого в  I-строчці  і

J-столбці,  обчислюється сума добутків елементів цього рядка в матриці A  на відповідні елементи цього стовпця в  матриці

B.

При знаходженні матриці коефіцієнтів  складного перетворення координат важливий порядок перемножування:  матриці перемножують послідовно від останньої до першої.  Для приведеного вище прикладу першому перетворенню відповідає матриця  В,  другому -  А.

У приведеній нижче програмі  лінійчата фігура задається у вигляді масивів координат її вершин  ха, уа  на кресленні  ( x, у  -  в

системі координат екрану ). Ці координати піддаються аффінним перетворенням, коефіцієнти перетворення зберігаються в

двовимірному масиві R.  Початковому положенню фігури відповідає одинична матриця  R  (одиниці на головній діагоналі, останні члени - нулі).

При черговому перетворенні коефіцієнти  матриці  R перераховуються шляхом множення  на неї матриці цього перетворення (А),  отримувана матриця (В)  знову записується  в R.  Нові координати  x, у  обчислюються в процедурі New_xy, яка викликається безпосередньо при виведенні фігури на екран процедурою  PICT.  Причому якщо встановити для малювання колір фону

то перерахунок координат проводитися не буде, що приведе до стирання старого зображення фігури - це зручно при імітації руху.

Всі прості перетворення  координат (перенесення, обертання, масштабування, зрушення), а також деякі типові перетворення як комбінації прості  оформлені у вигляді процедур.


uses Graph, Crt;

var Gd, Gm, n, i, j, до, xc, ус:  integer;

ха, уа: array[1..50] of  real;  координати фігури на кресленні }

x, у : array[1..50] of  integer;  координати фігури на екрані

а, b, r: array[1..3, 1..3] of real;  { масиви членів матриць  3*3

{--------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE I_r;  { привласнення матриці R значення одиничної }

var  i, j:  integer ; begin

for I:=1  to 3 do begin

{

1

0

0

}

for j:=1

to 3 do

r[ i, j]:=0;

{

0

1

0

}

r[ i, i]:=1;

end; end;

{

0

0

1

}

{--------------------------------------------------------------------------------------}

ПРОЦЕДУРА MULT;

{ множення матриць  А і  R,  результат (матр. В)  записується в  R }

var z: real; i, j, k:  integer;

begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin  z:=0;

for k:=1 to 3 do z:=z+a[ i, k] *  r[ k, j];

b[i, j]:=z  end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do  r[ i, j]:=b[ i, j]  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE New_xy;

{ обчислення нових координат фігури по базових  коорд. XA, YA з використанням матриці перетворення  R }

var i: integer ; begin

for i:=1 to n do begin

x[ i]:=round( xa[ i]*  r[1, 1]+ ya[ i]*  r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[ i]:=round( xa[ i]*  r[2, 1]+ ya[ i]*  r[2, 2]+ r[2, 3] )  end; end;

{--------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  TRAN( dx, dy: real);

{ розрахунок матриць  А і  R для перенесення об'єкту на  dx, dy }

var i, j: integer ; begin

for i:=1 to 3 do begin

{

1

0

dx

}

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

{

0

1

dy

}

a[ i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

MULT;  end;

a[1, 3]:=dx;  a[2, 3]:=dy


PROCEDURE  SCALE( sx, sy: real );

{ розрахунок матриць  А і  R для масштабування об'єкту:

по осі Х - множення на sx по осі Y - на sy }

var  i, j: integer; begin { sx  0 0 }

for i:=1 to 3 do { 0 sy  0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { 0 0 1 }

a[1, 1]:=sx; a[2, 2]:=sy; a[3, 3]:=1;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  ROTATE( alfa: real );

{ розрахунок матриць  А і  R  для повороту об'єкту на кут alfa(рад.):var c, s: real; i, j: integer;

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do  a[ i, j]:= 0; { 0 0 1 }

a[3, 3]:= 1;

c:=cos( alfa);

a[1, 1]:= c;

a[2, 2]:=c;

s:=sin( alfa);

a[1, 2]:=-s;

a[2, 1]:=s;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  LOOK( alfa, dx, dy, sx, sy:  real);

{ переклад об'єкту з локальної системи координат (на кресленні)

у систему координат екрану:  -  поворот об'єкту на кут  alfa(рад.)

-  перенесення на  dx,dy

-  масштабування  sx,sy

- перерахунок базових координат  ха, уа. }

var xx, yy: real; i: integer;

begin

I_R; ROTATE( alfa); TRAN( dx, dy); SCALE( sx, sy);

for i:=1 to n do begin

xx:=xa[ i] *  r[1, 1]+ya[ i] *  r[1, 2] + r[1, 3];

yy:=xa[ i] *  r[2, 1]+ya[ i] *  r[2, 2] + r[2, 3];

xa[ i]:=round( xx);

ya[ i]:=round( yy); end; I_R; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE  PICT( color: word );

{ малювання фігури по координатах  X,y }

var i:  integer; begin  setcolor( color);

if(color>0)  then  NEW_XY; { Обчислення нових координат фігури: перерахунок не проводиться при малюванні чорним кольором }

moveto( x[n], y[n] );

for i:=1 to n do lineto( x[ i], y[ i] ); end;

PROCEDURE RS( beta, kx, ky: real );

{ поворот фігури щодо її центру  xm, ym  на кут  beta,  а

також її масштабування  (kx - коефіцієнт для осі  x ky - для у)

без зсуву центру фігури }

var xm, ym: real; i: integer;

begin  xm:=0; ym:=0;

for i:=1 to n do begin xm:=xm+x[ i]; ym:=ym+y[ i];  end;

xm:=xm /n; ym:=ym /n; { координати центру фігури }

TRAN(-xm, -ym);  {Перенесення центру фігури в початок координат: }

ROTATE( beta);{центр повороту і центр масштабування}

SCALE(kx, ky);{співпадають з центром фігури.  }

TRAN(xm, ym);  Зворотне перенесення фігури

end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE ROT_XY( xc, yc, beta:  real);

{ поворот фігури  щодо точки  хс, вус  на кут beta }

begin

TRAN(-xc, -yc);  Зсув фігури так, щоб її нове положення відносно початку  координат було таким же,  як старе

положення відносно  xc, ус. }

ROTATE( beta);  поворот відносно початку координат }

TRAN(xc, ус);  зворотний зсув фігури }end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE AXES( alfa, beta:  real);

{ розрахунок матриць  А і  R зсуву осей координат (деформація зрушення) вісь x зміщується на кут  alfa,  вісь  у - на кут  beta}

var i, j:  integer; begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

a[1, 2]:=sin(beta) /cos( beta);

a[2, 1]:=sin( alfa) /cos( alfa); MULT; end;

{-------------------------------------------------------------------------------------}

PROCEDURE MIRROR( delta: real; index: byte);

{ розрахунок матриць  А і R  дзеркального відображення фігури

відносно осі паралельною одній з осей координат:

при index=1: щодо осі, -1 0 2*delta

паралельній осі Y 0 1 0

і що проходить через крапку  (delta, 0). 0 0 1

при index=2: щодо осі, 1 0 0

паралельній осі Х 0 -1 2*delta

і що проходить через крапку  (0,delta). 0 0 1

var i, j: integer; begin

for i:=1 to 3 do begin

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

a[i, i]:=1  end;

a[ index, index]:=-1; a[ index, 3]:=2*delta; MULT; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

Визначаємо  плоску  фігуру : }

BEGIN

n:=4; { число вершин фігури }

xa[1]:= 5;

ya[1]:= 5;

{ координати вершин фігури на кресленні}

xa[2]:=70;

ya[2]:=20;

xa[3]:= 5;

ya[3]:=35;

xa[4]:=20; ya[4]:=20;

      Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, ' ' );

LOOK( 0, 0, -70,  1, -1);  { перехід до координат екрану }

PICT( 9); { показ початкового положення фігури}

--------- Приклади аффінних перетворень плоскої фігури ----------

SCALE( 4, 2);  збільшення по осі  х  в 4 рази по осі  у у 2 рази }

TRAN( 10,60);  зсув по осі х  на 10 пікселів, по осі у - на 60}

PICT( 14);

readln;

{--------------------Обертання із збільшенням і зсувом ------------------}

for  i:=1 to 100 do begin

PICT( 13);  виведення фігури }

RS( 0.04, 1.01, 1.01);  поворот на 0.04 рад. і збільшення  на 1%}

TRAN( 4, 0); delay(20);  зсув фігури }

PICT( 0);  стирання фігури - чорним  по старих координатах }

end;

PICT( 13);

readln;

ClearDevice;

I_R;

{---------------- Обертання навколо центру, що зміщується ------------------}

for i:=1 to 60 do begin

PICT(14);

xc:=xc+3; yc:=yc+2; putpixel(xc, вус, 12);  зсув центру xc,yc }

TRAN(3, 2);  перенесення фігури відповідно зсуву центру }

Rot_xy(xc, вус, -0.3);  поворот на 0.3 рад. відносно  xc,yc  }

delay(20);

PICT( 0); end;

readln;

Cleardevice;

I_r;

SCALE( 2, 4);

PICT(14);

{-------------- Зсуви осей координат  (деформація зрушення) ----------}

AXES( 1, 0);  зрушення осі х }PICT( 10); readln;

AXES(-1, 0); повернення PICT( 11);

AXES( 0, 1);  зрушення осі у }PICT( 12); readln;

AXES( 0 -1); повернення PICT( 13);

for i:=1 to 100 do begin

AXES( 0.01,  0.01);  поступове зрушення обох осей }

PICT( 0);

PICT(14);

delay(10); end;

readln;

Cleardevice;

I_r;

SCALE( 4, 4);

PICT(14);

{------------------- Дзеркальні відображення фігури -----------------------}

MIRROR(250, 1); PICT(10); { відображення щодо  вертикалі  }

MIRROR(150, 2); PICT(11); { відображення щодо горизонталі}

readln;

CloseGraph;END.


Ф*

   Масштабування

M

0

0

M = x*/x = y*/y

0

M

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45143. Национальный вопрос в государственном управлении России 19- начале 20 вв 13.87 KB
  Национальный вопрос в государственном управлении России 19 начале 20 вв. На окраинах России под влиянием развития капитализма формировались национальная буржуазия и интеллигенция происходил рост национального самосознания. Хищническая эксплуатация окраин бедность и бесправие живущих там народов вызывали массовую эмиграцию из России и развитие национального движения. В целом для внутриполитической системы России в начале XX в.
45144. Свяще́нный сино́д Ру́сской правосла́вной це́ркви 19.74 KB
  По упразднении Петром I 1701 год патриаршего управления церковью с 1721 года вплоть до августа 1917 года номинально существовал до 1 14 февраля 1918 года учреждённый им Святейший Правительствующий Синод был высшим государственным органом церковноадминистративной власти в Российской империи заменявшим собой патриарха в части общецерковных функций и внешних сношений а также соборы всех епископов поместной церкви. Учреждение и функции 16 октября 1700 года скончался патриарх Адриан. В течение 1720 года проходило подписание Регламента...
45146. Думская монархия 15.57 KB
  Всего было 4 созыва Государственной думы. Новой основой законодательной компетенции Государственной думы стал п. установивший как незыблемое правило чтобы никакой закон не мог восприять силу без одобрения Государственной думы. 86 Основных законов Российской империи в редакции 23 апреля 1906: Никакой новый закон не может последовать без одобрения Государственного совета и Государственной думы и восприять силу без утверждения Государя Императора.
45147. Кризисы государственного управления периода правления Николая II 12.86 KB
  Первая русская революция ставшая ярким показателем необходимости реформ так и не стала для императора той ступенью которая могла бы направить страну на путь преобразования и развития. Вступление императора на должность главнокомандующего в условиях войны было бесполезным шагом так как Николай не обладал даром командования войсками и этот шаг был простой формальностью которая тем не менее не принесла никаких положительных результатов. Ситуация внутри страны продолжает накаляться и вместе с тяжелым положением во внешней политике ставит...
45148. Формирование партийно-государственной системы большевиков 1917-1921 гг 26.46 KB
  Съезд принял постановление О федеральных учреждениях Российской Республики и оформил создание Российской Социалистической Федеративной Советской Республики РСФСР. РСФСР учреждалась на основе свободного союза народов как федерация советских национальных республик. Весной 1918 года начался процесс оформления государственности народов населявших РСФСР. Советская Россия неофициальное наименование[7] самостоятельного социалистического российского государства в период после Октябрьской революции 1917 года и до образования СССР в 1922 году с...
45150. Учреди́тельное собра́ние 14.65 KB
  Отказалось рассматривать Декларацию прав трудящегося и эксплуатируемого народа которая наделяла советы рабочих и крестьянских депутатов государственной властью. Распущено Всероссийским Центральным Исполнительным Комитетом советов рабочих и крестьянских депутатов роспуск подтверждён III Всероссийским Съездом Советов рабочих и крестьянских депутатов. Из 715 депутатов присутствовало около 410. Большевистских депутатов было около 120.
45151. Образование СССР 8.3 KB
  В то время на долю РСФСР приходилось 92 площади страны население которой в дальнейшем составило 70 новообразованного СССР. Причины образования СССР Образование СССР произошло не только благодаря инициативе руководства коммунистической партии. Год образования СССР Официально дата образования СССР это 30 декабря 1922 года.