68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77812. Дезинфекция. Предстерилизационная очистка. Стерилизация. Виды и методы 227.5 KB
  Дезинфекция — это комплекс мероприятий, направленных на уничтожение возбудителей инфекционных заболеваний и разрушение токсинов на объектах внешней среды. Для её проведения обычно используются химические вещества, например, формальдегид или гипохлорит натрия...
77817. Методы продвижения туристического продукта в Интернете 1.71 MB
  Целью настоящего исследования является изучение методов продвижения туристического продукта в Интернете и анализ путей активизации их использования белорусскими туристическими предприятиями.
77818. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ 596.5 KB
  Исследования инновационного потенциала базируются во многом на анализе инновационных проектов. Научный центр наукоград кластер или высшее учебное заведение аккумулируют вокруг себя достаточно много инновационных проектов. Основную сложность составляет большое количество проектов.
77819. Перспективы развития средств преодоления водных преград в инженерных войсках Российской Армии 253 KB
  Во всех армиях мира имеются значительные арсеналы специальных унифицированных инженерных плавсредств. Обычно в их общую номенклатуру входят десантные лодки, десантно-транспортные амфибии, перевозные паромы (самоходные и несамоходные), паромно-мостовые машины...