68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71808. ПОНЯТИЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ КОРПОРАЦИИ ПО ПРАВУ США 110 KB
  Термин корпорация в американском праве имеет весьма широкое применение. В самом крупном промышленно наиболее развитом штате США Нью-Йорк в соответствии с законодательством все корпорации разделены на три группы: публичные непредпринимательские корпорации...
71809. ПОНЯТИЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА В РОССИЙСКОМ ПРАВЕ 116 KB
  Право на достоинство является по существу основной целью всех остальных прав человека. В этом смысле достоинство человека источник его прав и свобод. Достоинство это признание обществом социальной ценности уникальности человека значимости каждой личности как частицы человеческого общества.
71811. ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СИСТЕМЫ СТРАХОВОЙ ЗАЩИТЫ ИМУЩЕСТВЕННЫХ ИНТЕРЕСОВ ГРАЖДАН И ЮРИДИЧЕСКИХ ЛИЦ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 106.5 KB
  Это определяет стратегическую позицию страхования в странах с развитой рыночной экономикой. Система страхования играла вспомогательную роль. Для современной России ускоренное развитие страхования как механизма защиты имущественных интересов лиц становится особенно значимым.
71812. Перспективы федеративного объединения Российской Федерации и Республики Беларусь 88.5 KB
  Объединение России и Белоруссии в Союзное государство важнейший вопрос современности как для Российской Федерации так и для Республики Беларусь. Процесс государственно-правовой интеграции России и Белоруссии идет трудно кроме прочего по причине сопротивления ему со стороны влиятельных сил...
71813. ПОНЯТИЕ, СОДЕРЖАНИЕ И КОНСТИТУЦИОННО-ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ПРАВ ЧЕЛОВЕКА ОТ ПРИЧИНЕНИЯ МОРАЛЬНОГО ВРЕДА 184.5 KB
  Основной закон России Конституция исходит из признания высшей ценностью человека его прав и свобод ст. Право лица на восстановление его нарушенного интереса возмещение имущественного ущерба и компенсацию морального вреда гарантированно статьей 46 Конституции и может быть...
71814. НАЛОГ КАК КАТЕГОРИЯ НАЛОГОВОГО ПРАВА 92 KB
  Одной из актуальных проблем налогового права выступает необходимость скорейшего совершенствования и унификации понятийного аппарата в сфере правового регулирования налогообложения. Обращаясь в связи с этим к рассмотрению налогово-правовой категории налога необходимо...
71815. ЭВОЛЮЦИЯ НАЛОГОВО-ПРАВОВЫХ МЕТОДОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ СУБЪЕКТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ С НАЧАЛА 90-Х ГОДОВ XX ВЕКА 145 KB
  В начале 90-х годов произошло существенное изменение роли налогов в экономике России. наделение субъектов Федерации самостоятельными источниками доходов и самостоятельными направлениями их расходования.
71816. ОРГАНИЗАЦИОННО-ТАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОЧЕГО И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ЭТАПОВ НАЛОЖЕНИЯ АРЕСТА НА ИМУЩЕСТВО 103.5 KB
  Рабочий этап наложения ареста на имущество складывается из трех последовательно сменяющих друг друга стадий предварительной обзорной и детальной. Предварительная стадия включает в себя ряд последовательно выполняемых действий в число которых входят: прибытие на место производства...