68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46971. Романтизм 19 век 50 KB
  XIX века унаследовал от эпохи Просвещения внимание к проблеме воспитания и образования. в крупнейших странах Европы развивается система среднего образования которое являлось привилегией имущих классов. Осуществляются образовательные реформы в ходе которых создаются национальные системы образования. На повестку дня выносятся вопросы управления школьной системой взаимоотношения образования и религии школы и Церкви права личности на образование структуры и содержания школьного образования.
46972. Свариваемость сталей. Группы 50.5 KB
  Группы Способность стали к образованию качественного сварного соединения называют свариваемостью которая определяется внешними и внутренними факторами. По свариваемости стали подразделяют на четыре группы: 1 хорошая свариваемость; 2 – удовлетворительная свариваемость; 3 ограниченная свариваемость; 4 – плохая свариваемость. К Первая группа – хорошо сваривающиеся стали у которых Сэкв не более 025. Эти стали при обычных способах сварки не дают трещин сварка таких сталей выполняется без предварительного и сопутствующего подогрева без...
46973. Система методов государственного управления 50.5 KB
  Система методов государственного управления Основные вопросы: Понятие метода управления. Понятие метода управления. Осуществление управленческого воздействия предполагает наличие у субъекта – органа управления или должностного лица – знания о возможностях и границах воздействия его формах и средствах. Использование методов управления которые апробированы в опыте иных организаций и органов управления предполагает достаточную степень определенности в знании и понимании особенностей применения методов воздействия.
46974. СУЩНОСТЬ ТИПИЗАЦИИ И КЛАССИФИКАЦИИ 50.66 KB
  При всем многообразии деталей машиностроительного производства среди них можно обнаружить большое количество деталей аналогичной конфигурации близких по точности материалам требованиям предъявляемым к качеству обработки их основных поверхностей а также сравнительно мало отличающихся по размерам. язя Типизация технологических процессов может производиться по грем направлениям: 1 обработки отдельных поверхностей; 2 обработки отдельных типовых сочетаний поверхностей; 3 обработки заготовок. Работа по типизации технологических процессов...
46975. Модель развития PR-технологий (Джеймс Грюниг и Том Хант) 40.5 KB
  Суть ее заключается в следующем: используются любые средства для привлечения внимания общественности для оказания давления на нее. Информирование информирование общественности общественная осведомленность Д. Ее характеристики: регулярная работа со средствами массовой информации; распространение информации является главной целью PR – деятельности; информация должна быть точной и правдивой однако только позитивной негативные факты и события замалчиваются; как и первая модель информирование относится к...
46977. Аудит нематериальных активов организации 40.5 KB
  Соглно ПБУ14 07 для принятия актива в качве НМА н мо сущестное выполне опредых усл:отсут матвещ формывозмть идентифик использе в прве прод. Цель Ата НМАформире мнения о достоверности БО по разделу НМА и устане соответсвия применяемых Мек учета и н о операций с НМА действующму законодву РФ. При Ате проверяются= :постановка кля за наличием НМА ведение синтго учета по поступю и выбытию НМА начислие и отражие амортизации. Инфая база для Ара:НА поб у и н обл НМА;уч пол;регистры бух учета;первич док;БО.
46978. Настроечные базы 40.97 KB
  Для осуществления настройки станка относительно определенных поверхностей заготовки необходимо чтобы эти поверхности занимали на станке при смене заготовок неизменное положение относительно упоров станка определяющих конечное положение обрабатывающего инструмента. К таким поверхностям относятся опорные поверхности заготовки что и предопределяет широкое их использование в крупносерийном производстве в качестве опорных...
46979. Эпоха Просвещения. Конец XVII в.-середина ХVIII в 41 KB
  Академия скульптуры и живописи во Франции Академия изящных искусств первая система высшего художественного образования. Академия в Филадельфии Бенджамина Франклина Школа Декарта – картезианская первое педагогическое нововведение – алгебра вместо арифметики и геометрия. Королевская Академия во Франции уходила в прошлое религиозная живопись и каноны придворного искусства все более становились ведущими светские реалистические и галантные жанры. В 1563 году открывается академия художеств во Флоренции в 1577г.