68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39374. Введение в изучение культуры Италии 179 KB
  Во все эпохи Италия, Апеннинский полуостров и ближайшие острова, их природные и антропологические богатства привлекали исследователей. Начиная с мифологической эпохи, история, культура, цивилизация этой части света, находит свое отражение в устном и письменном творчестве
39375. Збільшення прибутку на підприємстві на прикладі ВАТ «Биттехніка» 910 KB
  Мета в дипломної роботи складається у вивченні економічного аналізу прибутку, витрат та обсяг виробництва на підприємстві. Визначити взаємозв’язок впливу на прибуток таких факторів як обсяг та витрати виробництва методом CVP аналізу й побудови графіку беззбитковості.
39376. Проектирование двухступенчатого механического привода 1.61 MB
  механизм лебедки по рекомендациям [Чернилевский с. Определим угловую скорость 3го вала: Определим мощность 3го вала: Для двухступенчатого привода подберем двигатель и произведем кинематический и силовой расчет если мощность и угловая скорость выходного вала известны и соответственно равны: Мощность требуемая от электродвигателя: где общий КПД привода: По ГОСТ 1952381 выбираем ближайший по мощности электродвигатель 4А200М6У3 [Чернилевский с. 227] выполняя условие для которого При данной частоте вращения общее передаточное...
39377. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЫНОЧНОГО ХОЗЯЙСТВА 489 KB
  Общественное разделение труда предполагает специализацию, обособление отдельных видов конкретного труда (труда в особой целесообразной форме - например, труд пекаря, гончара). Развитие общественного разделения труда выражается в увеличении числа профессий и специальностей
39378. Процесуальний порядок оскарження постанови про порушення кримінальної справи 539.75 KB
  Кожна кримінальна справа може бути порушена лише за на- явності приводу і достатньої підстави за відсутності обставиш що виключають провадження у справі.
39379. Структурно-функциональная теория социальных систем Т. Парсонса 15.3 KB
  Из бесчисленного множества человеческих действий и взаимодействий (интеракций), соответствующих определенным социальным ролям, складывается социальная система. Парсонс сформулировал положение о трехкомпонентной структуре социальной системы...
39380. Расчет привода 518 KB
  Выбор двигателя. От типа двигателя его мощности частоты вращения и прочего зависят конструктивные и эксплуатационные характеристики рабочей машины и ее привода. Мощность двигателя зависит от требуемой мощности рабочей машины а его частота вращения от частоты вращения приводного вала рабочей машины.3 Определяем требуемую мощность двигателя по формуле 3 2.
39381. Г. Зиммель о принципе понимания и социологии конфликтов 15.78 KB
  Принцип понимания занимает особое место в социологии Зиммеля. Он позволяет разрушить барьер бесстрастного объективизма-рационализма, отделяющий познающего субъекта от познаваемого объекта
39382. ПРОБЛЕМА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ КАНАДЫ ОТ США 93 KB
  Библиографический фон исследования включает в себя достаточно широкий круг отечественных и иностранных исследовательско-аналитических работ, посвященных экономической зависимости Канады от США, выражающейся в особой чувствительности к изменению экономической и политической ситуации в США