68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24164. Общественное движение в России в первой половине XIX в. 26.96 KB
  Чаадаев дал весьма мрачную оценку исторического прошлого России и ее роли в мировой истории он крайне пессимистически оценивал возможности общественного прогресса в России. Главной причиной отрыва России от европейской исторической традиции Чаадаев считал отказ от католицизма в пользу религии рабства православия. В России наступила реакция.
24165. Отмена крепостного права. Развитие капиталистических отношений 39.38 KB
  Развитие капиталистических отношений Хотя в России в начале XIX в. Наиболее дальновидные политики России начинали понимать что задержка в экономическом развитии и все возраставшее отставание страны от Запада не способствуют росту ее международного влияния и осложняют решение многих внутренних проблем. Именно с этим столкнулся Александр I в своих попытках преобразования России. в России был образован секретный комитет под руководством министра финансов графа Д.
24166. Внутренняя политика Никлая I 24.64 KB
  Наблюдательные современники уже тогда отмечали как главную черту Николая его самостоятельность. К 1819 произошли события резко менявшие положение Николая и открывавшие перед ним перспективы о каких он не мог и мечтать. Летом 1819 года Александр 1 впервые прямо сообщил младшему брату и его жене что намерен через некоторое время отказаться от престола в пользу Николая. Предполагалось захватить Зимний дворец Петропавловскую крепость убить Николая 1.
24167. Подготовка реформы 32.69 KB
  теперь подготовка крестьянского вопроса была поручена крупным помещикамкрепостникам включая министров Панина и Муравьева сменивших Киселева и Бибикова и председателя Секретного комитета по помещичьим крестьянам А. 3 января 1857 года был учреждён новый Секретный комитет по крестьянскому делу в составе 11 человек бывший шеф жандармов А. Назимову предусматривала уничтожение личной зависимости крестьян при сохранении всей земли в собственности помещиков вотчинная власть над крестьянами также согласно документу оставалась за помещиками;...
24168. Отмена крепостного права. Реформы 60-70-х годов 48.07 KB
  К решительным переменам подталкивали правительство крестьянские волнения конца 1850х годов а также необычные акции как стремление записаться в армию во время Крымской войны прошёл слух что добровольцы получат вольную или трезвенное движение охватившее ряд губерний когда сельские общества запрещали крестьянам пить вино под угрозой жестокой расправы. Для разработки реформы были созданы губернские комитеты которыми руководил Главный комитет по крестьянскому делу . Результатом работы комитетов явились следующие основные...
24169. Внешняя политика России во второй половине XIX в 25.03 KB
  Сложившийся англоавстрофранцузский блок гак называемая Крымская система был нацелен на сохранение политической изоляции России и ее военностратегической слабости обеспеченной решениями Парижского конгресса. В связи с этим главной задачей русской дипломатии стала борьба за отмену этой статьи и усиление международного авторитета России. дальневосточное направление во внешней политике России постепенно изменяло свой периферийный характер.
24170. ОБЩЕСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА 36.38 KB
  Второй центр возник в России вокруг редакции журнала Современник . В журнале Земля и воля в прокламациях Барским крестьянам от их доброжелателей поклон К молодому поколению Молодая Россия К солдатам Что нужно делать войску Великорусе они разъясняли народу задачи предстоящей революции обосновывали необходимость ликвидации самодержавия и демократического преобразования России справедливого решения аграрного вопроса.Чернышевского но разуверившись в возможности народной революции в России перешли к узко заговорщической и...
24171. Социально-экономическое развитие России в начале 20 века 24.35 KB
  ведущие мировые державы вступили в империалистическую стадию своего развития. Особенностью империалистической стадии развития российского государства стало отсутствие фактов вывоза капитала за рубеж. Несмотря на высокие темпы экономического развития Россия в начале 20 в. Однако в целом отставание аграрного сектора от темпов развития промышленности принимало форму острого противоречия что говорило о необходимости полного преодоления феодальных пережитков в российской деревне.
24172. Государственный строй и внутренняя политика России в начале 20 века. Реформы С.Ю. Витте 25.82 KB
  Витте. Витте сторонник расширения вмешательства госва в экономику сторонник привлечения иностранного капитала. Крестьянский вопрос: Витте инициатор создания особого совещания о нуждах с х прти. Витте добился отмены круговой поруки в общине облегчения паспортного режима для крестьян.