68888

Перетворення в просторі

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Украинкский

2014-09-26

37 KB

0 чел.

ЛЕКЦІЯ 8

Перетворення в просторі.

У тривимірному випадку (3d) розглянемо однорідні координати.

Поступаючи аналогічно тому, як це було зроблено в розмірності два, замінимо координатну трійку (х, у, z), задаючи крапку в просторі, на четвірку чисел (х, у, z, 1).

Кожна точка простору (окрім початкової точки O) може бути задана четвіркою одночасно не рівних нулю чисел; ця четвірка чисел визначена однозначно з точністю до загального множника.

Запропонований перехід до нового способу завдання крапок дає можливість скористатися матричним записом і в складніших, тривимірних завданнях.

Будь-яке аффінне перетворення в тривимірному просторі може бути представлене у вигляді суперпозиції обертань, розтягувань, віддзеркалень і перенесень. Тому цілком доречно спочатку детально описати матриці саме цих перетворень (ясно, що в даному випадку порядок матриць повинен бути рівний чотирьом).

Матриці обертання в просторі.

Матриця обертання навколо осі  абсцис на кут :

           1       0                0            0

           0   Cos()    Sin()     0

 [Rх]= 0  -Sin()    Cos()    0

           0        0                 0          1

Матриця обертання навколо осі ординат на  кут :

         Cos()       0           -Sin()    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin()       0            Cos()    0       

             0               0              0              1

Матриця обертання навколо осі аплікат на кут : 

         Cos()     Sin()     0        0

         -Sin()    Cos()     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матриця розтягування (стискування):

де а > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі абсцис;                                                               

b > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі ординат;

з > 0 - коефіцієнт розтягування (стискування) уздовж осі аплікат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матриці віддзеркалення.

Матриця віддзеркалення щодо площини  ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матриця віддзеркалення щодо площини  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця віддзеркалення щодо площини zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матриця перенесення (тут (l,m,n) - вектор перенесення):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Зауваження. Як і в двовимірному випадку, всі виписані матриці невирожденні.

Приведемо   важливий приклад побудови матриці складного перетворення по його геометричному опису.

Приклад 1. Побудувати матрицю обертання на кут  навколо прямою L, що проходить через крапку А(а, b, с) і що має направляючий вектор (I, т, п) .можно вважати, що направляючий вектор прямої є одиничним:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платонові тіла

Правильними многогранниками (Платоновими тілами) називаються такі опуклі многогранники, всі грані яких суть правильні багатокутники і всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою.

Існує рівно 5 правильних многогранників (це довів Евклід): правильний тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр і ікосаедр. Їх основні характеристики приведені в наступній таблиці.

Назва многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраедр

4

6

4

Гексаедр

6

12

8

Октаедр

8

12

6

Додекаедр

12

30

20

Икосаедр

20

30

12

Неважко відмітити, що в кожному з п'яти випадків числа Г, Р і В зв'язані рівністю Ейлера

Г + В = Р + 2.

Правильні многогранники володіють багатьма цікавими властивостями. Тут ми торкнемося тільки тих властивостей, які можна застосувати для побудови цих многогранників.

Для повного опису правильного многогранника унаслідок його опуклості досить вказати спосіб відшукання всіх його вершин.

Операції побудови перших трьох Платонових тіл є особливо простими.

Куб (гексаедр) будується зовсім нескладно.

Використовуючи куб, можна побудувати тетраедр і октаедр.

Для побудови тетраедра досить провести діагоналі протилежних граней куба, що схрещуються .

Тим самим вершинами тетраедра є будь-які 4 вершини куба, попарно не суміжні ні з одним з його ребер.

Для побудови октаедра скористаємося наступною властивістю подвійності: вершини октаедра суть центри (тяжкість) граней куба

Координати вершин октаедра по координатах вершин куба легко обчислюються (кожна координата вершини октаедра є середньою арифметичною однойменних координат чотирьох вершин грані куба, що містить її).

Додекаедр і ікосаедр також можна побудувати за допомогою куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73384. Література рідного краю. Поезія М. Побеляна 65.3 KB
  Чарівний мрії світ — дитинство! Дитинство — пора, коли збуваються всі бажання, коли немає нічого неможливого. Пора радісного сміху, ніжної маминої колискової, перших батьківських повчань, першої прочитаної книжки. Саме змалечку в дитячій душі засівається зерно любові до книжки — на всі літа.
73385. Є. Гуцало. «Зірка», «Чарівники», «Журавлі високі пролітають...» 430.45 KB
  Лірична стихія творчості Є. Гуцала стала формою суспільної опозиції. Переживши жахи повоєнного сільського побуту, автор по-своєму почав сприймати світ людей. Але саме в ліриці він почувається найбільш невимушено, розкуто, живописуючи красу природи й людей, охоче фіксуючи улюблений ним стан осяяння...
73386. М. Рильський. Основні відомості про поета, його вміння бачити красу рідної природи і створювати красу засобами поетичної мови 197.33 KB
  Максим Тадейович Рильський народився 19 березня 1895 року. Рильський студент Київського університету медичного факультету через два роки продовжить навчання на історикофілологічному але революція громадянська війна змусить його перервати освіту і переїхати в село де він вчителюватиме...
73387. Повторення й узагальнення матеріалу, вивченого упродовж навчального року 564.86 KB
  Навчальна: систематизувати та узагальнити вивчений учнями матеріал упродовж II семестру. Виховна: прищеплювати любов до рідної літератури та її митців. Розвивальна: розвивати концентрацію уваги, творчу уяву, логічне мислення, кмітливість.
73388. Походження (етимологія) слова. Етимологічний словник української мови 95.06 KB
  Походження етимологія слова. Як це цікаво проникати в багатоколірний світ слова досліджувати розбирати і вивчати його. Старі слова набувають нового сенсу: мишка пристрій без якого не обійтися при роботі за компютером кішка спеціальні крюки у верхолазів кінь і козел гімнастичні снаряди.
73389. Урок розвитку комунікативних умінь. Ділові папери. Лист рідним, друзям, адреса 55.77 KB
  Мета: навчальна: ознайомити учнів з основними правилами листування будовою листа його мовним оформленням вимогами до оформлення адреси на поштовому конверті; на основі опрацьованого теоретичного матеріалу вдосконалити творчі вміння аналізувати листи з точки зору стилістичного й мовного оформлення...
73390. Фонетичний розбір слова 65.75 KB
  Мета: навчальна: повторити та поглибити знання учнів про звуки мови та мовлення; формувати вміння розрізняти звуки робити фонетичний аналіз передавати слова звукописом використовуючи здобуті знання на практиці; розвивальна: розвивати фонематичний слух увагу слухову...
73392. Звуки Р, Р’, буквы Рр. Чтение слов и предложений с буквой р. Работа с детской книгой. Украинская народная сказка «Рукавичка» 633.94 KB
  Цель: учить правильно артикулировать звуки Р, Р’, читать слоги, слова и предложения с буквой Рр; формировать навыки правильного слогового, выразительного и сознательного чтения; совершенствовать навыки звукового, звуко-буквенного анализа слов.