68909

Преобразование на плоскости

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Представление графических изображений осуществляется точками и линиями. Возможность преобразования точек и линий является основой компьютерной графики. При использовании компьютерной графики можно изменять масштаб изображения, вращать его, смещать и трансформировать для улучшения наглядности изображения объекта.

Русский

2014-09-27

85 KB

1 чел.

ЛЕКЦИЯ 6

Преобразование на плоскости

Представление графических изображений осуществляется точками и линиями.

Возможность преобразования точек и линий является основой компьютерной графики. При использовании компьютерной графики можно изменять масштаб изображения, вращать его, смещать и трансформировать для улучшения наглядности изображения объекта.

Аффинные преобразования на плоскости.

В компьютерной графике всё, что относится к двухмерному случаю, обозначается символом 2D (2–dimension).

Будем пользоваться декартовой системой координат – это удобный способ связывания геометрического объекта (т.М) – с числами X, Y – её координатами, которые позволяют количественно описывать геометрические фигуры.

y                                                           y             y*        x*

         M (x, y)         

                    M* (x*, y*)                                     M (x, y)

                         x                                                              x

                                                                                               

В декартовой системе координат преобразования можно рассматривать двояко:

         –изменяется положение точки, а система координат та же;

         –сохраняется точка, а изменяется координатная система.

В дальнейшем будем рассматривать первый случай: в заданной системе прямоугольных координат преобразуется точка плоскости.

 Преобразованные координаты описываются соотношениями:

          X* = ax + by + ;

          Y* = cx + dy + ;    общее аффинное преобразование,

      где a, b, c, d, , – произвольные числа.

Для перемещения точки на плоскости необходимо описать закон изменения её координат.

Существует несколько частных случаев преобразований, используя которые достигается необходимые перемещения на плоскости. Такими преобразованиями являются:

       –параллельный перенос;

       –вращение;

        –зеркальное отображение;

        –растяжение или сжатие.

Выбор этих случаев определяется двумя обстоятельствами:

  –каждое из приведенных преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл;

  –любое преобразование на плоскости можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований: параллельный перенос, вращение, растяжение и отражение.

1). Параллельный перенос.

       Y                                                     y  

                                M*                                              M*

                                                                   M   

               

                      M                                                         O*  

                                   X                        O                            X

Переводит точку С с координатами X и Y в точку М* с координатами X* и Y*.

     X* = x + ;

     Y* = y + ;

Пример: перемещение прямой на плоскости

2). Зеркальное отражение.

     y                                                                 y

                    M                              M*               M

                          x                                                              x

                    M*

       x* = +x;                                               x* = –x;

       y = –y;                                                 y* = y;

  относительно оси абсцисс           относительно оси ординат

3).Растяжение (сжатие)

     y                                                        y                             

                    M                                                     M*              x* = a * x;

                                                                                                  y* = d * y;

             M*                                                  M

                                 x                                                        x

                                

Растяжение или сжатие зависит от значений a и d.

                M

                      M*

                                 x

      O

Если a>1 и d<1, то прямоугольник растягивается по Х и сжимается

  по Y.

Если a>1 и d>1 , то прямоугольник растягивается по X и Y.

Для эффективного использования этих известных формул в компьютерной графике  удобнее пользоваться матричной записью:

      –значения координат точки М можно рассматривать как                                                                               

элементы матрицы [x, y] – вектор-строка или  x   –вектор-столбец.

                                                                               y

      –так растяжение:

       a   0      x        x*                x* = a * x;

       0   d      y   =   y*                y* = d * y;

              отражение:

    x      1   0                               x* = x;

    y      0  -1     ось абсцисс      y* = –y;

    x      -1  0                               x* = –x;

    y       0  1      ось ординат     y* = y;

4). Вращение                                                         

Перед получением матрицы вращения рассмотрим преобразование единичного квадрата .

 y

                                            0   0    – т. А

 D            C                       1    0    – т. В

                                            1   1    – т. С

                                            0   1    – т. D

 A            B             x

Применение общего матричного преобразования  

a   b     к единичному квадрату приводит к следующему

c  d

результату:

0  0                     0      0                A*

1  0    a  b           a       b                B*

1  1    c  d    =   a+c  b+d              C*

         0  1                     c       d                D*

Результаты:

–начало координат не подвергается преобразованию; A=A*=[0 0]

–координата В* определяется первой строкой общей матрицы преобразования;

–координата D* определяется второй строкой общей матрицей преобразования.

Таким образом, если координаты точка В* и точка D* известны, то общая матрица преобразования определена.

Рассмотрим вращение единичного квадрата вокруг начала координат. Вращение против часовой стрелки принимается за положительное.

               y

                                                 BB* ;                 x* = 1 * cos

                    C*                                                      y* = 1 * sin

                                                   D – D* ;               x* = -1 * sin

D*                                     C                                    y* = 1 *  cos

                                   B*

                          

                          

               A  A*              B               x

Общую матрицу вращения можно записать:

              

   x  y     cos   sin                           x* = x * cos – y * sin;

             -sin  cos                            y* = x * sin + y * cos;

Таким образом, получили:

вращение(rotation)

        x         cos    -sin                          x* = x * cos – y * sin;                 

        y         sin       cos                        y* = x * sin + y * cos;

растяжение(dilatation)

          x      a  0                          x* =a*x; 

          y      0  d                          y*= d*y;

отражение(reflection)

          x      1   0                        x* =x;              по оси абсцисс

          y      0  -1                        y* = -y;

перенос(translation);            x* = x +  

                                               y* = y +

Каждое из приведенных преобразований координат можно так же описать формулами:

    x* = ax + by + ;

    y* = cx + dy + ;  – общие аффинные преобразования;

–при a=d=1 и b=c=0 – получаем перенос;

–при a=d=cos и –b=c=sin, ==0 – вращение;

–при a=1, d=–1, c=b== – отражение;

–при b=c== – растяжение (сжатие);

В матричном описании основных преобразований отсутствует операция параллельного переноса, т.е. с помощью матрицы описаны:

        x* = ax + by;

        y* = cx + dy; – отсутствуют.

и , а изменение координаты по X зависит от трёх параметров                      

a,b, и по Y зависит от трёх параметров c,d и .

Значит, чтобы охватить матричным подходом четыре простейших преобразования, необходимо перейти к описанию произвольной точки не парой чисел (x,y), а тройкой чисел [x,y,1] и [x*,y*,1]

Матрица преобразования после этого становится матрицей размера 2*3

a  b  

c  d    ,

где и вызывает смещение x* и y* относительно x и y.

Поскольку матрица 2*3 не является квадратной, то она не имеет обратной матрицы.

Поэтому её дополняют до квадратной, размера 3*3.

         a  b  

         c  d      – третья компонента векторов положения точек не                 

0  0  1               изменяет.

              

     Используя эту матрицу,

          x        a  b          x*

          y        c  d     =  y*

          1        0  0  1       1

получаем преобразованный вектор [x*, y*, 1].

В общем случае [X, Y, H].

Преобразование было выполнено так, что

           [X, Y, H] = [x*, y*, 1]

Преобразование, имеющее место в трехмерном пространстве, в нашем случае ограничено плоскостью H=1.

Прямая OM* пересекает плоскость H=1 в точке M*(x*,y*,1), которая однозначно определяет точку M(x, y) координатной плоскости XY.

Представление двухмерного вектора трёхмерным или в общем случае n–мерного вектора (n+1)–мерным называют однородным координатным воспроизведением.

В однородных координатах запись будет в виде:

                                 a  c  0

[x, y, H]=[x, y, 1] *   b  d  0

                                               1   ,

 где x = x*, y = y*, H = 1.

В общем случае H не равняется 1 и преобразованные обычные координаты получаются за счет нормализации однородных координат, т.е.

                 X* = x/H;  Y* = y/H.

Основная матрица преобразования размера для однородных двухмерных координат имеет вид:

a  b  

c  d  

m  n  s

И может быть разделена на четыре части

a, b, c, d – осуществляет изменение масштаба, сдвиг и вращение;

и – выполняет смещение;

m и n – получение проекции;

s – производит полное изменение масштаба.

Так как при H, которое не равняется, мы получаем изображение в трёхмерном пространстве, то для простоты вычислений в 2D используем H=1 и матрицу обобщенную на четыре преобразования:

x*      x        a  b                   x* = ax + by + ;

y*  =  y   *    c  d                  y* = cx + dy + ;

1        1        0  0  1                         1 = 1.

Для того чтобы реализовать то или иное перемещение по заданным геометрическим характеристикам, надо найти элементы соответствующей матрицы, используется матрицы:

вращения (rotation):

       cos  -sin  0                               cos   sin    0

       sin   cos  0        обратная        -sin  cos   0

        0        0      1                                   0       0       1

растяжение(dilatation):

    a  0  0                                 1/a  0    0                x* = ax;

    0  d  0           обратная        0  1/d  0                y* = dy;

    0  0  1                                   0   0   1

 

–отражение(reflection):

     1  0  0                         1   0  0                           x* = x;

     0 –1 0      обратная    0 –1  0                          y* = -y;

     0  0  1                          0  0  1

–переноса(translation):

     1  0                           1  0  -                          x* = x + ;

     0  1       обратная     0  1 -                          y* = y + .

     0  0  1                          0  0  1

 

Двухмерное вращение вокруг произвольной точки.

Выше было рассмотрено вращение изображения около начало координат.

Однородные координаты обеспечивают поворот изображения вокруг точек, отличных от начала координат.

В общем случае алгоритм вращения вокруг произвольной точки следующий:

     –перенос центра вращения в начало координат;

     –поворот относительно начала координат;

     –перенос точки вращения в исходное положение.

Пример: построить матрицу преобразования при повороте на угол   вокруг точки M(m,n) , не совпадающей с началом координат.

           Y

                        

                       M

                                         x

1). Перенесем плоскость на вектор M(-m, -n) для совмещения точки поворота с началом координат:

                   1  0  -m

         T_=    0  1  -n

                   0  0   1

2). Поворот на угол :

            cos  -sin  0

     R=  sin   cos  0

              0        0      1

3).Перенесем плоскость на вектор M(m, n) для вращения точки поворота в начало координат:

             1  0  m

      T=   0  1  n

             0  0  1

Результирующая матрица:

                            1  0  m         cos  -sin  0

M=T * R * T_=    0  1  n     *   sin    cos 0    =  

                            0  0  1            0         0     1

         

      cos  -sin  m         1  0  -m         cos  -sin   -mcos + nsin + m

 =   sin    cos  n     *    0  1  -n   =    sin    cos  -msin – ncos + n    

        0         0      1          0  0   1            0         0                    1                    

    x*       x

    y*   =  y   *  M

    1         1        

                   T * R –T_

 X* = xcos – ysin – mcos + nsin + m;

 Y* = xsin + ycos – msin – ncos + n;

Пример: построить матрицу преобразования при растяжении вдоль координатных осей с коэффициентами a и d.

                     1  0  -m

 1).    T_ =    0  1  -n    

                     0  0  1       

 

                     a  0  0

 2).    D =      0  d  0

                     0  0  1      

                   1  0  m

 3).    T =    0  1  n

                   0  0  1        

                1  0  m         -a  0  0          1  0  -m

      M=     0  1  n    *     0  d  0     *    0  1  -n    ;

                0  0  1           0  0  1          0  0  1          

                   a   0   -am + m

          M=   0   d   -dn + n

                   0   0         1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64910. Теоретико-методологічні засади адміністративно-територіальної організації України 452.5 KB
  Адміністративно-територіальний устрій безпосередньо впливає на результативність та ефективність державного управління територіальними системами. Зокрема це стосується обґрунтування класифікації адміністративно-територіальних структур за еволюційними формами поділ устрій та організація оскільки демократизація...
64911. СТРАТЕГІЇ ФОРМУВАННЯ ІМІДЖУ ПОЛІТИЧНОГО ЛІДЕРА: РЕГІОНАЛЬНИЙ ВИМІР 139 KB
  Дослідження проблеми формування іміджу політичного лідера регіонального рівня складає одне із найбільш актуальних та важливих завдань сучасної політичної теорії та практики. У сучасних умовах регіональне політичне лідерство стає одним із головних чинників політичного розвитку справжньої демократизації політичних відносин.
64912. МЕТАФОРА І МЕТОНІМІЯ ЯК ЧИННИКИ ТВОРЕННЯ ТА РОЗВИТКУ УКРАЇНСЬКОЇ ТЕХНІЧНОЇ ТЕРМІНОЛОГІЇ 180.5 KB
  Актуальність дослідження зумовлена: 1 відсутністю в українському мовознавстві монографічних досліджень метафори й метонімії як чинників творення та розвитку сучасних українських технічних термінів; 2 потребою виявити та схарактеризувати семантичні процеси в сучасній технічній термінології української мови...
64913. Мікроплазмове напилення з використанням дротових матеріалів 1.85 MB
  Таким чином створення способу МПН з використанням дроту що забезпечує можливість уникнути зазначених недоліків є актуальним і являє собою наступний етап розвитку цієї технології. Технологічний процес розпилення дроту плазмовим струменем з метою отримання сфероідізованих порошків металу почав...
64914. Сухі будівельні суміші та жаро-корозійностійкі мурувальні розчини на їх основі 1.94 MB
  Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити такі задачі: визначити ефективність використання ШЛЦ в розчинах за критеріями стійкості в умовах сумісного впливу високої температури та агресивного сульфатного середовища; визначити оптимальний склад комплексної добавки що забезпечує ефекти...
64915. Організаційно-економічні аспекти формування і управління логістичною системою товароруху підприємств АПК 256.5 KB
  Актуальність розвитку функцій логістичного управління товарорухом АПК багаторазово зросла в умовах переходу до ринкових відносин. Це пов'язано з інтенсифікацією і розширенням товарногрошових відносин з динамічним збільшенням...
64916. Становлення та розвиток сільськогосподарської дослідної справи на Поділлі (кінець ХІХ – початок ХХ ст.) 197.5 KB
  Бурхливий розвиток українських територій поступова трансформація економіки до утвердження капіталістичних відносин в усіх її сферах зміни у внутрішній політиці науці й освіті зокрема аграрній усе це сприяло становленню вітчизняної сільськогосподарської дослідної справи.
64917. Механізми формування водоефективної політики з урахуванням вимог екологічної безпеки 183 KB
  У звязку з цим одним із пріоритетних напрямів сучасної державної політики України мають стати забезпечення екологічно та техногенно безпечних умов життєдіяльності громадян і суспільства збереження навколишнього природного середовища раціональне використання природних ресурсів поліпшення...
64918. Принципи оцінки та ефективність селекції норок кольорового типу пастель за відтінками забарвлення хутра 428 KB
  Однак їх дослідження здебільшого були спрямовані на вивчення цих ознак при схрещуванні норок різного забарвлення хутра без урахування його відтінків. Це значно стримувало подальший процес удосконалення селекційної роботи з породами та типами звірів з метою покращання якості хутра...