68910

Аффинные преобразования координат при моделировании динамики объектов

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица R единицы на главной диагонали остальные члены нули. Новые координаты x y высчитываются в процедуре NEW_XY которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой PICT.=

Русский

2014-09-27

197 KB

0 чел.

ЛЕКЦИЯ 7

Аффинные преобразования координат при моделировании динамики объектов.

Преобразования  координат  графических  объектов используются  весьма  широко.  Основные случаи:

-  объект описан не в декартовой координатной системе,

-  изображение типовых  или повторяющихся  деталей объекта,

-  построение проекций  трехмерных объектов,

-  направленная деформация  при синтезе новых форм,

-  мультипликация.

Различают двумерные ( 2D )  и  трехмерные ( 3D)

преобразования координат. Видов преобразований много,  рассмотрим только так называемые  аффинные преобразования,  когда  в

получаемом изображении объекта сохраняется  прямолинейность и параллельность прямых, а также  деление отрезков в заданных соотношениях.

Общий вид формул  двумерных  аффинных преобразований:

x* = a11  x + a12  y + a13

y* = a21  x + a22  y + a23

Здесь  x, y -  координаты  исходного,  а x*, y*  - преобразованного объекта.

Коэффициенты преобразований a I J    сохраняют

в виде матрицы, расширенной до квадратной, при этом a11    a12    a13

очень просто вычисляются коэффициенты какого-либо a21    a22    a23

сложного преобразования, если известны коэффициенты 0 0 1

преобразований, его составляющих. Для этого просто перемножают соответствующие матрицы коэффициентов.

Примеры  типовых  преобразований и соответствующие им матрицы: ( Ф - исходная фигура,  Ф* -  преобразованная )

Y

dx Ф* Параллельный 1 0 dx

dy перенос 0 1 dy

Ф 0 0 1

X


Y

Ф 0 0 1

X

Y Зеркальное  отображение:

 

-1 0 0

Ф* Ф относительно оси Y 0 1 0

0 0 1

X

1 0 0

Ф* относительно оси  X 0 -1 0

0 0 1

Y Ф* Y=Х

 

относительно оси  Y=Х 0 1 0

Ф 1 0 0

0 0 1

X

Ф* относительно начала -1 0 0

координат 0  -1 0

0 0 1

Y Ф*

a

 

Поворот относительно cos a -sin a 0

начала  координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

X

Прочие преобразования обычно представляют в виде

комбинаций перечисленных выше простейших преобразований.

Например, поворот относительно произвольной точки можно представить как комбинацию трех преобразований:

-  параллельный перенос, переводящий центр поворота в начало координат,

-  поворот относительно начала координат,

-  параллельный перенос,  противоположный первоначальному.

Перемножение матриц выполняется следующим образом:

a11

a12

a13

b11

b12

b13

c11

c12

c13

a21

a22

a23

*

b21

b22

b23

=

c21

c22

c23

a31

a32

a33

b31

b32

b33

c31

c32

c33

где  c I J = a I 1 * b 1 J + a I 2 * b 2 J + a I 3 * b J 3 ,

то есть для расчета элемента матрицы,  расположенного в  I-строке  и

J-столбце,  вычисляется сумма произведений элементов этой строки в матрице A на соответствующие элементы этого столбца в  матрице

B.

При нахождении матрицы коэффициентов  сложного преобразования координат важен порядок перемножения:  матрицы перемножают последовательно от последней к первой.  Для приведенного выше примера первому преобразованию соответствует матрица  В,  второму -  А.

В приведенной ниже программе  линейчатая фигура задается в виде массивов координат ее вершин  xa, ya  на чертеже  ( x, y  -  в

системе координат экрана ). Эти координаты подвергаются аффинным преобразованиям, коэффициенты преобразования хранятся в

двумерном массиве R.  Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица  R  (единицы на главной диагонали, остальные

члены - нули).

При очередном преобразовании коэффициенты  матрицы  R пересчитываются путем умножения  на нее матрицы этого преобразования (А),  получаемая матрица (В)  снова записывается  в

R.  Новые координаты  x, y  высчитываются в процедуре NEW_XY, которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой  PICT.  Причем если установить для рисования цвет фона,

то пересчет координат производиться не будет, что приведет к стиранию старого изображения фигуры - это удобно при имитации движения.

Все простые преобразования  координат (перенос, вращение, масштабирование, сдвиг) , а также некоторые типовые преобразования как комбинации простых  оформлены в виде процедур.


uses Graph, Crt;

var Gd, Gm, n, i, j, k, xc, yc:  integer;

xa, ya: array[1..50] of  real; { координаты фигуры на чертеже }

x , y : array[1..50] of  integer; { координаты фигуры на экране }

a, b, r: array[1..3, 1..3] of real;  { массивы членов матриц  3*3 }

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE I_R;  { присвоение матрице R значения единичной }

var  i, j:  integer ; begin

for i:=1  to 3 do begin

{

1

0

0

}

for j:=1

to 3 do

r[ i, j]:=0;

{

0

1

0

}

r[ i, i]:=1;

end; end;

{

0

0

1

}

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE MULT;

{ умножение матриц  А и  R,  результат (матр. В)  записывается в  R }

var z: real; i, j, k:  integer;

begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin  z:=0;

for k:=1 to 3 do z:=z+a[ i, k] *  r[ k, j];

b[i, j]:=z  end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do  r[ i, j]:=b[ i, j]  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE NEW_XY;

{ вычисление новых координат фигуры по базовым  коорд. XA, YA

с использованием матрицы преобразования  R }

var i: integer ; begin

for i:=1 to n do begin

x[ i]:=round( xa[ i]*  r[1, 1]+ ya[ i]*  r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[ i]:=round( xa[ i]*  r[2, 1]+ ya[ i]*  r[2, 2]+ r[2, 3] )  end; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE  TRAN( dx, dy: real);

{ расчет матриц  А и  R для переноса объекта на  dx, dy }

var i, j: integer ; begin

for i:=1 to 3 do begin

{

1

0

dx

}

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

{

0

1

dy

}

a[ i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

MULT;  end;

a[1, 3]:=dx;  a[2, 3]:=dy;


PROCEDURE  SCALE( sx, sy: real );

{ расчет матриц  А и  R для масштабирования объекта:

по оси Х - умножение на sx, по оси Y - на sy }

var  i, j: integer; begin { sx  0 0 }

for i:=1 to 3 do { 0 sy  0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { 0 0 1 }

a[1, 1]:=sx; a[2, 2]:=sy; a[3, 3]:=1;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE  ROTATE( alfa: real );

{ расчет матриц  А и  R  для поворота объекта на угол alfa(рад): }

var c, s: real; i, j: integer;

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i:=1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j:=1 to 3 do  a[ i, j]:= 0; { 0 0 1 }

a[3, 3]:= 1;

c:=cos( alfa);

a[1, 1]:= c;

a[2, 2]:=c;

s:=sin( alfa);

a[1, 2]:=-s;

a[2, 1]:=s;

MULT;  end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE  LOOK( alfa, dx, dy, sx, sy:  real);

{ перевод объекта из локальной системы координат (на чертеже)

в систему координат экрана:  -  поворот объекта на угол  alfa(рад),

-  перенос на  dx,dy,

-  масштабирование  sx,sy,

- пересчет базовых координат  xa,ya. }

var xx, yy: real; i: integer;

begin

I_R; ROTATE( alfa); TRAN( dx, dy); SCALE( sx, sy);

for i:=1 to n do begin

xx:=xa[ i] *  r[1, 1]+ya[ i] *  r[1, 2] + r[1, 3];

yy:=xa[ i] *  r[2, 1]+ya[ i] *  r[2, 2] + r[2, 3];

xa[ i]:=round( xx);

ya[ i]:=round( yy); end; I_R; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE  PICT( color: word );

{ рисование фигуры по координатам  X,Y }

var i:  integer; begin  setcolor( color);

if(color>0)  then  NEW_XY; { Вычисление новых координат фигуры: пересчет не производится при рисовании черным цветом }

moveto( x[n], y[n] );

for i:=1 to n do lineto( x[ i], y[ i] ); end;

PROCEDURE RS( beta, kx, ky: real );

{ поворот фигуры относительно ее центра  xm, ym  на угол  beta,  а

также ее масштабирование  (kx - коэффициент для оси  x, ky - для y)

без смещения центра фигуры }

var xm, ym: real; i: integer;

begin  xm:=0; ym:=0;

for i:=1 to n do begin xm:=xm+x[ i]; ym:=ym+y[ i];  end;

xm:=xm /n; ym:=ym /n; { координаты центра фигуры }

TRAN(-xm, -ym); { Перенос центра фигуры в начало координат: }

ROTATE( beta);

{

центр поворота и центр масштабирования

}

SCALE(kx, ky);

{

совпадают с центром фигуры.  }

TRAN(xm, ym); { Обратный перенос фигуры } end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE ROT_XY( xc, yc, beta:  real);

{ поворот фигуры  относительно точки  хс, ус  на угол beta }

begin

TRAN(-xc, -yc); { Смещение фигуры так, чтобы ее новое положение относительно начала  координат было таким же,  как старое

положение относительно  xc, yc. }

ROTATE( beta); { поворот относительно начала координат }

TRAN(xc, yc); { обратное смещение фигуры } end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE AXES( alfa, beta:  real);

{ расчет матриц  А и  R cмещения осей координат (деформация сдвига) ось x смещается на угол  alfa,  ось  y - на угол  beta }

var i, j:  integer; begin

for i:=1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i, i]:=1  end; { 0 0 1 }

a[1, 2]:=sin(beta) /cos( beta);

a[2, 1]:=sin( alfa) /cos( alfa); MULT; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

---}

PROCEDURE MIRROR( delta: real; index: byte);

{ расчет матриц  А и R  зеркального отображения фигуры относительно оси, параллельной одной из осей координат:

при index=1: относительно оси, -1 0 2*delta

параллельной оси Y 0 1 0

и проходящей через точку  (delta, 0). 0 0 1

при index=2: относительно оси, 1 0 0

параллельной оси X 0 -1 2*delta

и проходящей через точку  (0, delta). 0 0 1 }

var i, j: integer; begin

for i:=1 to 3 do begin

for j:=1 to 3 do a[i, j]:=0;

a[i, i]:=1  end;

a[ index, index]:=-1; a[ index, 3]:=2*delta; MULT; end;

{---------------------------------------------------------------------------------------

----

Определяем  плоскую  фигуру : }

BEGIN

n:=4; { число вершин фигуры }

xa[1]:= 5;

ya[1]:= 5;

{ координаты вершин фигуры на чертеже }

xa[2]:=70;

ya[2]:=20;

xa[3]:= 5;

ya[3]:=35;

xa[4]:=20; ya[4]:=20;

      Gd:= Detect; InitGraph(Gd, Gm, ' ' );

LOOK( 0, 0, -70,  1, -1);  { переход к координатам экрана }

PICT( 9); { показ начального положения фигуры

--------- Примеры аффинных преобразований плоской фигуры ----------

}

SCALE( 4, 2); { увеличение по оси  х  в 4 раза, по оси  у в 2 раза }

TRAN( 10,60); { смещение по оси х  на 10 пикселей, по оси у - на 60}

PICT( 14);

readln;

{--------------------Вращение с увеличением и смещением ------------------

-}

for  i:=1 to 100 do begin

PICT( 13); { вывод фигуры }

RS( 0.04, 1.01, 1.01); { поворот на 0.04 рад. и увеличение  на 1%}

TRAN( 4, 0); delay(20); { смещение фигуры }

PICT( 0); { стирание фигуры - черным  по старым координатам }

end;

PICT( 13);

readln;

ClearDevice;

I_R;

{---------------- Вращение вокруг смещающегося центра -------------------

-}

for i:=1 to 60 do begin

PICT(14);

xc:=xc+3; yc:=yc+2; putpixel(xc, yc, 12); { смещение центра xc,yc }

TRAN(3, 2); { перенос фигуры соответственно смещению центра }

ROT_XY(xc, yc, -0.3); { поворот на 0.3 рад относительно  xc,yc  }

delay(20);

PICT( 0); end;

readln;

ClearDevice;

I_R;

SCALE( 2, 4);

PICT(14);

{-------------- Смещения осей координат  (деформация сдвига) ----------

}

AXES( 1, 0); { сдвиг оси х } PICT( 10); readln;

AXES(-1, 0); { возврат } PICT( 11);

AXES( 0, 1); { сдвиг оси у } PICT( 12); readln;

AXES( 0, -1); { возврат } PICT( 13);

for i:=1 to 100 do begin

AXES( 0.01,  0.01); { постепенный сдвиг обеих осей }

PICT( 0);

PICT(14);

delay(10); end;

readln;

ClearDevice;

I_R;

SCALE( 4, 4);

PICT(14);

{------------------- Зеркальные отображения фигуры -------------------------

}

MIRROR(250, 1); PICT(10); { отображение относительно  вертикали  }

MIRROR(150, 2); PICT(11); { отображение относительно горизонтали}

readln;

CloseGraph;

END.


Ф*

Масштабирование

M

0

0

M = x*/x = y*/y

0

M

0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67695. Передатчик судовой подвижной службы, предназначенный для связи береговых служб с морскими судами и между судами 301.27 KB
  Рассчитать передатчик судовой подвижной службы, рассчитанный для связи береговых служб с морскими судами и между судами. Максимальная мощность сигнала в антенне (Pa) – 1500 Вт. Диапазон рабочих частот 0.4-5 МГц Нагрузка – несимметричный фидер с волновым сопротивлением 75 Ом.
67696. Скремблеры 195.23 KB
  Главной целью при разработке систем передачи речи является сохранение тех ее характеристик которые наиболее важны для восприятия слушателем. Безопасность связи при передаче речевых сообщений основывается на использовании большого количества различных методов закрытия сообщений меняющих...
67697. Карибська криза 1962 року 145.5 KB
  Кубинська революція відбулася незалежно від будьяких значних починань радянської політики і поступово створила в зоні американського впливу соціалістичну державу відносини з якою у США складалися чим далі тим гірше. Обидва полюси СРСР і США були непримиренними ворогами.
67698. ИЗУЧЕНИЕ КИНЕТИКИ ЭЛЕКТРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЗАЩИТЕ СТАЛИ ФОСФАТНЫМИ ПЛЁНКАМИ 127.09 KB
  Причиной возникновения и протекания процессов коррозии является термодинамическая неустойчивость материалов к определенным компонентам, находящихся в окружающей их среде. Результатом коррозии являются продукты коррозии (например, ржавчина), испорченное оборудование, разрушение конструкций.
67699. Вторая квадратичная форма. Тип точки на поверхности 1.04 MB
  Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, соприкасающегося параболоида поверхности, научиться определять типы точек на поверхности. Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей методами математического анализа.
67700. Проект универсальной раздвижной рамы и выбор пневмоцилиндра 663.16 KB
  В зависимости от серии используемой краски условий сушки и типа запечатываемой поверхности время высыхания трафаретной краски может составлять от нескольких минут до нескольких суток. В процессе изготовления печатной продукции оно может выполнять две функции: промежуточной подсушки цвета многокрасочного...
67701. Управление финансово-хозяйственной деятельностью ЧУП «Калинковичский молочный комбинат» 57.53 KB
  В настоящее время немногие российские организации имеют должным образом организованный менеджмент и поставленную систему бухгалтерского учёта, чтобы представляемая информация была пригодна для оперативного управления, анализа, была бы объективной, достоверной, своевременной и точной.
67702. Управление формированием операционной прибылью 1.32 MB
  Целью курсовой работы является изучение теоретических вопросов, раскрывающих понятие операционной прибыли, а также расчет показателей, связанных с данным понятием. Основными задачами является: раскрытие понятия операционной прибыли, изучение операционного левериджа, исследование способа управления формированием операционной прибыли.
67703. Формирование аристократической модели государственной службы в России в XV-XVII вв 46.54 KB
  Актуальность выбора темы определяется тем что для успешного реформирования института государственной службы в РФ понимание истории и традиций государственной службы России является не менее важным чем изучение опыта иностранных государств членов ЕС США и других развитых стран мира в сфере построения государственного управления.