68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

3 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83120. Имя прилагательное как часть речи в русском и английском языках. Изменение имён прилагательных по родам и числам. Сравнение категории числа имени прилагательного в русском и английском языках 58.5 KB
  Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся об имени прилагательном развивать умения распознавать имена прилагательные в русском и английском языках определять род и число прилагательного в русском языке и невозможность определения категории числа в английском.
83121. Путешествие с Планетой. Мой дом – моя Родина 549.5 KB
  Основные понятия и термины урока: Планета Земля вселенная планеты солнечной системы Родина страна столица мой город компас горизонт карта план местности экология экологические проблемы. Кто пришел к нам в гости Правильно к нам в гости пришла Планета Земля. Планета Земля подготовила для вас вопросы и задания.
83122. Різноманітність рослин у природі. В.О.Сухомлинський «Верба над ставком» 110 KB
  Формувати уявлення про різноманітність рослинного світу про водорості мохи хвощі папороті хвойні рослини квіткові рослини уміння розрізняти окремі рослини цих груп розуміти цінність їх у природі; виробляти уміння узагальнювати робити висновки оцінювати результати діяльності...
83123. Внеклассное чтение о дружбе, товариществе «Умею ли я дружить?» 72 KB
  Цели урока: развивать навыки чтения, связную речь, мышление, память, внимание и умение работать в быстром темпе, умение работать самостоятельно и формировать навыки контроля и самоконтроля; способствовать развитию у учащихся чувства гуманности, сопереживания, сплочению классного...
83124. Письмове віднімання чисел без переходу через десяток. Прості задачі на віднімання 224.5 KB
  Мета. Ознайомити учнів із прийомами письмового віднімання трицифрових чисел без переходу через розряд; удосконалювати вміння учнів розв’язувати прості задачі на дію віднімання та задачі, що включають суми двох і трьох доданків; розвивати логічне мислення, математичне мовлення...
83125. Число і цифра 8. Написання цифри 8. Порівняння чисел в межах 8 87 KB
  Мета. Ознайомити учнів із числом 8, пояснити утворення числа 8 додаванням одиниці до попереднього числа; закріпити знання взаємозв’язку між частиною і цілим; вчити користуватися у мовленні числівниками; розвивати логічні мислення учнів, пам’ять, уважність, спостережливість...
83126. Текст. Типи текстів 1.3 MB
  Мета: закріпити вміння учнів визначати тип тексту складати тексти різних типів удосконалювати навички побудови зв’язного тексту стимулювати пізнавальну активність; розвивати усне й писемне мовлення; розвивати уяву пам’ять увагу; вміння самоаналізу результатів роботи...
83127. Я и Украина. Гражданское образование 210 KB
  Цель: формировать у детей представление о добре, доброте, о хороших, добрых поступках; расширять знания учащихся о роли доброты в жизни каждого человека. Задачи урока Раскрыть смысл понятия «доброта». Помочь детям задуматься о разных сторонах жизни и свойствах человеческого характера.
83128. Заходь у гості, щедра осінь 371.5 KB
  Мета. Формувати читацькі інтереси. Вчити дітей бачити красу рідного краю, вміти милуватися нею. Збагачувати словниковий запас, розвивати спостережливість, бажання пізнавати й передавати словами красу осені. Виховувати інтерес до книги, любов і бережне ставлення до природи.