68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27665. Понятие и признаки покушения на преступление. Виды покушения и их наказуемость. Добровольный отказ от преступления и его признаки. Отличие добровольного отказа от деятельного раскаяния 42.5 KB
  Добровольный отказ от преступления и его признаки. непосредственно направленные на совершение преступления если при этом преступление не было доведено до конца по не зависящим от этого лица обстоятельствам. Оконченным считается такое покушение когда виновный совершил все действия бездействия которые он считал необходимыми для завершения преступления однако преступный результат не наступил по объективным т. Неоконченное преступление бывает в том случае когда виновный не совершил всех тех действий бездействия которые по его...
27666. Понятие и признаки разбоя (ст. 162 УК). Характер физического и психического насилия при разбойном нападении. Отличие разбоя от насильственного грабежа 40 KB
  Это преступление посягает на два объекта: собственность и личность жизнь и здоровье потерпевшего. Нападение это агрессивные и внезапные для потерпевшего действия виновного соединенные с насилием или угрозой его применения; к нападению относятся не только открытые насильственные действия но также и нанесение удара сзади выстрел из засады приведение потерпевшего в бессознательное состояние путем применения опасных для жизни и здоровья сильнодействующих ядовитых или одурманивающих веществ и др. Поэтому как разбой оцениваются случаи...
27667. Понятие и признаки совокупности преступлений. Идеальная и реальная совокупность преступлений, ее отличие от единичных сложных преступлений 30.5 KB
  Понятие и признаки совокупности преступлений. Идеальная и реальная совокупность преступлений ее отличие от единичных сложных преступлений. Совокупность преступлений это совершение двух или более преступлений ни за одно из которых лицо не было осуждено. При совокупности преступлений лицо несет уголовную ответственность за каждое совершенное преступление по соответствующей статье или части статьи Уголовного кодекса ч.
27668. Понятие и признаки хищения чужого имущества. Отличие хищения от других видов посягательств на собственность. Формы и виды хищений. Общие квалифицирующие признаки хищения 33.5 KB
  Хищение это совершенное с корыстной целью противоправное безвозмездное изъятие и или обращение чужого имущества в пользу виновного или других лиц причинившие ущерб собственнику или иному владельцу этого имущества. Признаки: а предмет хищения только имущество обладающее признаками вещи и имеющие стоимость; предмет хищения всегда материален; б сложный характер: сначала изъятие а затем обращение в пользу виновного изъятиеэто противоправное извлечение виновным имущества из обладания собственника с одновременным его обращением в свое...
27670. Понятие и социальная сущность преступления. Признаки преступления и его отличие от других правонарушений. Категории преступлений по УК РФ. Уголовно-правовое значение классификации преступлений на различные категории тяжести 35 KB
  Понятие и социальная сущность преступления. Признаки преступления и его отличие от других правонарушений. Понятие преступления ст. Признаки преступления: а общественная опасность это свойство человеческого поступка причинить существенный вред охраняемым законом общечеловеческим ценностям а также создать угрозу такого вреда.
27672. Способы регулирования частоты вращения 3-фазных асинхронных двигателей 537.05 KB
  Основные сведения о регулировании частоты вращения асинхронных двигателей Регулирование скорости изменением числа пар полюсов обмотки статора. Принцип получения разного числа пар полюсов. Регулирование скорости изменением числа пар полюсов путем переключения обмотки статора со «звезды» на «двойную звезду» Регулирование скорости изменением числа пар полюсов путем переключения обмотки статора с «треугольника» на «двойную звезду»
27673. Посягательство на жизнь сотрудника правоохранительного органа (ст. 317 УК), его отличие от убийства 29.5 KB
  Общественная опасность преступления состоит в том что оно посягает на порядок управления и жизнь перечисленных в законе лиц в целях воспрепятствования их деятельности по охране общественного порядка и обеспечению общественной безопасности. которые постоянно или временно исполняют обязанности по охране общественного порядка и обеспечению общественной безопасности военнослужащие проходящие службу в Вооруженных Силах РФ других войсках например во внутренних войсках МВД России а равно их близкие. Преступление совершается чтобы...