68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68530. ЭМОЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ В СТРУКТУРЕ ЛИЧНОСТИ КУРСАНТОВ УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ВОЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 115 KB
  В структуру эмоционального интеллекта авторы включают следующие компоненты: оценку и выражение эмоций собственных вербальное или невербальное; других людей невербальное восприятие или эмпатия; регуляцию эмоций собственных других людей; использование эмоций гибкое планирование...
68531. Бухгалтерский учет финансовых результатов на ООО «БУЛГАРНЕФТЕПРОДУКТ» 637.78 KB
  Прибыль - показатель эффективности работы предприятия, источник её жизнедеятельности. Рост прибыли создает финансовую основу для самофинансирования деятельности предприятия, осуществление расширенного воспроизводства и удовлетворения растущих социальных и материальных потребностей трудовых коллективов.
68532. ПОТРЕБНОСТЬ В САМОПОЗНАНИИ И ЛИЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ 79.5 KB
  Анализ процентного соотношения испытуемых по двум кластерам позволяет утверждать что студенты из первой группы в большей степени направлены на самопознание чем из второй. Для проверки выдвинутого нами предположения две полученные в результате кластерного анализа группы группа...
68533. ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЕЖИ КАК ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОЯВЛЕНИЯ ПАТРИОТИЗМА 139 KB
  Необходимо акцентировать внимание на том что основными структурными компонентами патриотизма являются: патриотическое сознание патриотическое отношение и патриотическая деятельность. Данный диагностический инструментарий позволил выявить ценностное отношение к таким феноменам как семья Отечество...
68534. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭМПИРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТАКОГНИТИВНЫХ СТРАТЕГИЙ В СОВРЕМЕННОЙ ЗАРУБЕЖНОЙ ПСИХОЛОГИИ 66 KB
  В статье на основе теоретического анализа современных зарубежных исследований в данной области рассматриваются представления о метакогнитивных стратегиях в западной психологии. Рассмотрены взгляды ученых на учебный процесс в ВУЗах с учетом метакогнитивных стратегий и навыков.
68535. АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУБЪЕКТНОГО СОСТАВА В ПРАВООТНОШЕНИЯХ ПО ДЕЛАМ О ЗАЩИТЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА 57 KB
  Судебные дела связанные с защитой чести и достоинства представляют собой отдельную категорию гражданско-правовых споров. Специфика данной категории дел обусловлена прежде всего особым характером субъективных прав которые должны быть защищены судом неотчуждаемых личных...
68536. СРЕДСТВА МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ КАК ИСТОЧНИК АГРЕССИИ 61.5 KB
  Возможно росту насилия способствует усиление индивидуализма и материализма в обществе Или причиной является все более расширяющаяся пропасть между могуществом богатства и бессилием бедности А может назойливое смакование сцен насилия в поделках массовой культуры ведет к такому результату...
68537. БАШКИРО-КАЗАХСКИЕ ОТНОШЕНИЯ ДО XIX В. В ИСТОРИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКАХ И УСТНОМ НАРОДНОМ ТВОРЧЕСТВЕ БАШКИР 85 KB
  Материалы башкирского народного творчества по данной тематике можно разделить на две категории. Прежде всего это сюжеты не повествующие напрямую о башкиро-казахских отношениях но при сопоставлении с их аналогами в фольклоре казахов и других тюркских народов позволяющие выяснить наиболее древние...