68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84116. Место теории государства и права в системе юридических наук 21.88 KB
  Теория государства и права в системе юридических наук. Теория государства и права как общетеоретическая отрасль юридической науки. Историко-правовые науки к которым относятся история государства и права России зарубежных стран история политических и правовых учений.
84117. Взаимосвязь теории государства и права с общественными науками 21.54 KB
  Теория государства и права в системе гуманитарных наук. Прежде всего теория государства и права связана с историей изучающей прошлое человечества во всей его конкретности и многообразии. Так выясняя причины происхождения государства и права и исследуя их поступательное развитие теория государства и права опирается на конкретные данные исторической науки.
84118. Общенаучные и частные методы изучения государства 23.46 KB
  Философские методы определяют подход к изучению государства и права в целом. 2 Идеализм связывают существование государства и права либо с объективным разумом объективные идеалисты либо с сознанием человека его переживаниями субъективными и осознанными усилиями субъективные идеалисты. Не внешние факторы определяют развитие государства и права а внутреннее духовное начало. 5 Аксиологический анализ государства и права как специальных ценностей которые регулируют поведение отдельных личностей.
84119. Характеристика общественной власти и социальных норм первобытного общества 22.37 KB
  Исторически первой формой организации догосударственного общества являлась родовая община. Таким образом род был одновременно древнейшим социальным институтом и самой первой формой организации догосударственного общества. не отделенной от общества и не политической.
84120. Закономерности возникновения государства и права и его формы 22.03 KB
  Формы возникновения государств: восточные раннеклассовые государства и западные. Восточный путь возникновения государства. Западный путь возникновения государства.
84121. Теории происхождения государства в прошлой и современной науке о государстве 27.12 KB
  Одной из первых теорий происхождения государства и права была теологическая объясняющая их возникновение божественной волей. В то же время она отстаивает идеи незыблемости вечности государства необходимости всеобщего подчинения государственной воле как власти от Бога но вместе о тем и зависимости самого государства от божественной воли которая проявляется через церковь и другие религиозные организации. Глава этой семьи становится главой государства монархом.
84122. Признаки государства, отличающие его от общественной власти первобытного общества 18.75 KB
  Наличие отделенной от общества публичной власти. Публичная власть существовала и в первобытном обществе но она выражала интересы всего общества и не была отделена от него. В любом же государстве власть реально осуществляется государственным аппаратом который отделен от остального общества.
84123. Государственная власть как особая разновидность социальной власти и методы ее осуществления 21.25 KB
  В литературе поразному понимается соотношение категорий государственная власть и политическая власть . Согласно одной точке зрения государственная власть более узкая категория чем политическая власть ибо последняя осуществляется не только государством но и другими звеньями политической системы общества: органами местного самоуправления партиями политическими движениями общественными организациями и т. Так в соответствии с Конституцией Российской Федерации органы местного самоуправления не входят в систему органов государственной...
84124. Признаки государства, отличающие его от других политических организаций общества 18.91 KB
  Государство единственная организация власти в масштабе всей страны. Каждый человек уже в силу своего рождения устанавливает определенную связь с государством становясь его гражданином или подданным и обретает с одной стороны обязанность подчиняться государственновластным велениям а с другой право на покровительство и защиту государства. Государство обладает суверенитетом как внешним т. Только государство включает такие структуры как суд прокуратура органы внутренних дел и т.