68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43699. Проектирование системы электроснабжения электрооборудования и электрохозяйства станкостроительного завода «Луч» 3.17 MB
  Здесь для реализации технологического процесса используется прежде всего оборудование связанное с обработкой металлов токарные фрезерные станки станки типа обрабатывающий центр шлифовальные станки печи плавки металла для литья и т. Потребителями электрической энергии в этом технологическом оборудовании являются прежде всего асинхронный двигатели с короткозамкнутым ротором малой и средней мощности двигатели постоянного тока малой мощности нагревательные элементы. В состав перечисленного оборудования входят асинхронные двигатели и...
43700. Центр реабилитации в городе Берн, Швейцария 3.87 MB
  Проложить хорошую связь между жилым районом Альтенберг и рекой. Обеспечить удобный и безопасный доступ к реке Ааре. Великолепная долина реки Ааре, лесистый склон и исторический городской памятник в настоящее время недоступны для всех горожан.
43701. Проектирование технологического процесса обработки вала червячного, который входит в состав одноступенчатого червячного редуктора 4.67 MB
  Выбор заготовки Техникоэкономическое обоснование способа получения заготовки. Техникоэкономическое обоснование метода получения заготовки. Например для машиностроительной продукции к числу таких факторов относят: точность оборудования; жесткость системы станокприспособление инструментдеталь; посторонние включения в материал заготовки; температурные колебания; квалификация обслуживающего персонала; погрешность режущего инструмента; режимы механической обработки; точность соблюдения параметров предварительной термической обработки и др.
43702. Разработка путей улучшения управлением финансового состояния «Российского Союза Автостраховщиков» 509.73 KB
  Система показателей и методов характеризующих финансовое состояние предприятия Анализ финансового состояния Российский Союз Автостраховщиков Организационно-экономическая характеристика Российского Союза Автостраховщиков Анализ финансового состояния Российского Союза Автостраховщиков Оценка потенциальной неплатежеспособности РСА Разработка путей улучшения управлением финансового состояния Российского Союза Автостраховщиков.
43703. Употребления артикля в текстах газетно-публицистического стиля 72.67 KB
  В результате образования двух соотносительных форм артикля, противопоставляемых по значению определенности и неопределенности существительного, постепенно происходит отрыв артикля от указательного местоимения и числительного и превращение в особый вид служебных слов с чисто грамматическим значением.
43704. Разработка автоматизированной информационно-справочной системы для учета нефтедобывающего оборудования и контроля выполнения ремонтных работ предприятия «НоябрьскНефтеГазАвтоматика» 1.91 MB
  Целью данного дипломного проекта является разработка автоматизированной информационно-справочной системы для учета нефтедобывающего оборудования и контроля выполнения ремонтных работ предприятия НоябрьскНефтеГазАвтоматика. Задачами данного дипломного проекта являются: изучение предметной области; разработка модели бизнеспроцессов складских операций; выявление недостатков существующих бизнеспроцессов обработки информации при приеме заказов на монтаж и ремонт...
43705. Шляхи удосконалення маркетингової діяльності та маркетингової конкурентної стратегії ТОВ «Мар-Трейд» 837.15 KB
  Стратегія блакитних океанів Основні фактори формування та реалізації маркетингових конкурентних стратегій Розділ ІІ Дослідження маркетингової діяльності та маркетингової конкурентної стратегії ТОВ МарТрейд 2. Ці дослідники запропонували різні визначення терміна âконкурентна стратегіяâ та види базових конкурентних стратегій описали методи їх розроблення і впровадження в умовах розвинутої економіки. У процесі дослідження були використані наступні сучасні методи дослідження: статистичного аналізу при збиранні даних що аналізуються...
43706. УКРАЇНСЬКА МОВА ЗА ПРОФЕСІЙНИМ СПРЯМУВАННЯМ. Модульний курс 4.88 MB
  Містить комплекс вправ і завдань для вироблення навичок грамотного використання засобів української мови у професійній сфері. Розроблено систему вправ, спрямованих на формування умінь аналізу наукового стилю, написання текстів різних жанрів наукового мовлення, виявлення їх особливостей та оформлення, редагування, коригування та перекладу наукових текстів.
43707. Повышение финансовой устойчивости страховой организации на примере ОСАО «РЕСО-гарантия» 22.03 MB
  Дипломная работа построена следующим образом: в первой части рассмотрены теоретические аспекты, а именно: понятие и сущность финансовой устойчивости; во второй части проведен анализ финансово-хозяйственной деятельности организации; в третьей части проведенаработка мероприятий по оптимизации финансовой устойчивости, проведена оценка эффективности внедрения предложенных мероприятий.