68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

3 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68848. Системы кодирования и представления информации в компьютерах 599.5 KB
  Значение двоичного числа определяется относительной позицией каждого бита и наличием единичных битов. Для двоичного числа 01000001 единичные биты представляют значения 1 и 64 т. Так как процессор 8088 использует 16 битовую архитектуру oн автоматически оперирует с 16 битовыми числами.
68851. Принципы построения архитектуры компьютеров 3.97 MB
  На сегоднишний день существуют: Классификация Флинна: единственность или множественность потоков данных и команд. Классификация Хендлера: количественное описание параллелизма на трех различных уровнях обработки данных выполнение программы выполнение команд обработка битов.
68852. Примеры организации архитектуры компьютеров 630.5 KB
  Разрядность бит Тактовая частота мгц Величина питающего напряжения Вольт Гнездо для процессора Socket 7 Slot1 и др.5 МГц а быстродействие системы на вычислительных тестах достигало 104 Mflop Mflop единица измерения быстродействия процессора миллион операций с плавающей точкой в секунду.