68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

3 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45166. ГУ СССР периода стагнации(60-80гг 20 века) 16.14 KB
  ГУ СССР периода стагнации 60-80 гг 20 века Отставка с руководящих партийных и государственных постов Н. экономическая реформа разработка и реализация которой была связана с именем председателя Совета Министров СССР А. Тупик опасный ибо отрыв развитой экономики мира от экономики СССР неуклонно увеличивался. эта концепция была законодательно закреплена в новой Конституции СССР.
45167. Попытки реорганизации советской системы управления во второй половине 1980х гг 28.13 KB
  СССР пытался в одиночку выдержать гонку вооружений против США и НАТО. Андропов оставил пост председателя КГБ СССР сохранив фактический контроль за этой организацией и стал вторым секретарем ЦК КПСС официальным наследником Брежнева. было принято постановление ЦК КПСС и Совмина СССР провозгласившее курс на введение сухого закона. Удар по бюджету был столь значителен что он так и не был преодолен до последних дней существования СССР.
45168. Современная система государственного управления в России 26.07 KB
  Мирная преемственность власти это важнейший элемент политической стабильности о которой мы с вами мечтали к которой стремились которой добивались.Отставка правительства Примакова приход к власти премьер-министра Степашина углубил государственный кризис в стране и только утверждение в должности нового Президента России привело к укреплению государственных институтов власти всех уровней. Новая команда Президента поставила перед собой цель: выстроить четко работающую исполнительную вертикаль власти добиться правовой дисциплины и...
45170. Древнейшие государства и государственные образования на территории Восточно-Европейской равнины 15.53 KB
  Расселение славян происходило в VI VIII вв. В то же время происходило разделение славян на три ветви: южную западную и восточную. К южным славянам относятся нынешние болгары сербы хорваты и др. По берегам рек шло расселение славянских племен: строились поселения вначале небольшие деревушки а затем большие села и города.
45171. Государственные институты Киевской Руси 33.2 KB
  В политической системе Киевской Руси сочеталось три разных элемента: монархический аристократический. Князь исконно на Руси рассматривался как защитник церкви.Боярство Киевской Руси институт еще достаточно не замкнутый.
45172. Управленческая модель новгородской республики. История ГУ 31.5 KB
  Необычна судьба Новгорода в истории русского средневековья. Однако уникальность исторического опыта Новгорода проявлялась прежде всего в том что в системе древнерусских земель и княжеств это был самый крупный городгосударство где не существовало правящей династии князей. Вплоть до этого времени киевские князья без особого успеха боролись с древней ещё племенной традицией вечевой власти Новгорода постепенно отдавая городу всё больше прав. боярство и купечество Новгорода используя народное движение добились политической независимости от...
45173. Распространению христианства на Руси 24.41 KB
  Её появление обычно связывают с так называемым Фотиевым крещением Руси в первой половине 860х годов. Ряд историков предполагает что первыми крестителями русинов могли быть братья Кирилл и Мефодий отправленные Фотием с миссией в Хазарию. Традиционная историография относит Крещение Руси к 988 году хотя по мнению некоторых церковных историков есть основания полагать 987 более вероятной датой.
45174. Русь в структуре золотоордынского управления 25.5 KB
  Ордынское иго надолго затормозило экономическое развитие Руси разрушило ее сельское хозяйство подорвало русскую культуру привело к падению роли городов в политической и экономической жизни Руси к резкому сокращению населения страны особенно городского. Дань 14 различных видов и тягостей истощала экономику Руси мешала ей оправиться после разорения. Значительно ухудшилось международное положение Руси были разорваны древние торговые и культурные связи Руси с соседними странами. Под власть Литвы попали западнорусские города Смоленск...