68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73966. Технология предоставления дополнительных услуг в гостинице 62.5 KB
  Как мы уже знаем туристская услуга это совокупность целенаправленных действий в сфере обслуживания которые ориентированы на удовлетворение потребностей туриста или экскурсанта отвечающие целям туризма характеру и направленности туристской услуги тура туристского продукта. услуги также стали объектом государственной стандартизации. Объектами стандартизации в туристскоэкскурсионном обслуживании населения являются: реализация туристских и экскурсионных услуг туристские путешествия рекламно информационные услуги транспортные...
73967. Текстология. Творческая история и теоретические вопросы литературоведения 88 KB
  Изучение истории памятника на всех этапах его существования дает представление о последовательности истории создания текста. В истории текста отражены закономерности художественного мышления автора его личность и мировоззрение индивидуальность и творческая воля. Основные понятия истории текста Текст важнейший предмет текстологии.
73968. СРАВНИТЕЛЬНО-ИСТОРИЧЕСКОЕ ЛИТЕРАТУРОВЕДЕНИЕ 67.5 KB
  Сопоставляя современные произведения с произведениями античной литературы эстетическая критика стремилась разграничить художественную и нехудожественную литературу постичь эстетику поэзии. Неофилологическое направление базирующееся на опыте сравнительноисторической лингвистики широко использовало сравнительный подход к изучению произведения. Таким образом братья Гримм Бенфей Тейлор разрабатывая генетический принцип изучения произведения стремились решить вопрос о происхождении словесного искусства и расширить границы сравнительного...
73969. Давні слов’яни 183.5 KB
  Хронологічні межі курсу: з найдавніших часів до сьогодення. Історія слов’янських народів є невід’ємною частиною всесвітньої історії, в той же час має свої особливості, охоплює періоди: найдавніші часи, добу середньовіччя, нову та новітню історію, у т. ч. на початку ХХІ ст.
73970. ПОЛАБСЬКО-ПОМОРСЬКІ СЛОВЯНИ (УІІІ-ХІІ СТ.) 326.5 KB
  Розселення полабськопоморських племен Франкословянське протистояння Вендська держава словян Підкорення німцями полабських словян РОЗСЕЛЕННЯ ПОЛАБСЬКОПОМОРСЬКИХ ПЛЕМЕН Помітну роль в історії середньовічної Європи відігравали найзахідніші словянські племена які займали територію між річками Лаба Ельба та її притоками Салою Зааном на заході та Одрою Одером на сході.
73973. Українсько – болгарські відносини в 90-х роках ХХ століття 109 KB
  Обґрунтовується висновок що реалізація сучасної української державної політики щодо національних меншин відбувається в руслі демократичного визнання рівних політичних соціальних економічних та культурних прав і свобод усіх громадян України незалежно від їх етнічної приналежності. У досліджуваний період було закладено основи системи реґіональної співпраці України та Болгарії. Матеріали та висновки які містяться в роботі можуть бути використані для підготовки узагальнюючої роботи з історії українськоболгарських відносин у курсах історії...
73974. НАЦІОНАЛЬНЕ ВІДРОДЖЕННЯ ТА СПРОБИ ВІДНОВЛЕННЯ ЧЕСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ (КІНЕЦЬ XVIII - ПЕРША ПОЛОВИНА XIX ст.) 224.5 KB
  Освічений абсолютизм майже повністю знищив рештки чеської державності. Вважаючись осібним королівством, що мало власного монарха, увінчаного короною Св. Вацлава, Чехія фактично опинилася в становищі однієї з багатьох провінцій Габсбурзької монархії. Нею керували центральні австрійські інституції та місцеві чиновники, яких призначав уряд.