68911

Преобразования в пространстве

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Русский

2014-09-27

54.5 KB

2 чел.

ЛЕКЦИЯ 8

Преобразования в пространстве.

В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

 Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси  абсцисс на угол phi:

           1       0                0            0

           0   Cos(phi)    Sin(phi)     0

 [Rх]= 0  -Sin(phi)    Cos(phi)    0

           0        0                 0          1

Матрица вращения вокруг оси ординат на  угол phi: 

         Cos(phi)       0           -Sin(phi)    0

             0               1               0             0

 [Ry]=Sin(phi)       0            Cos(phi)    0       

             0               0              0              1

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол phi: 

         Cos(phi)     Sin(phi)     0        0

         -Sin(phi)    Cos(phi)     0       0

 [Ry]=  0                0              1        0    

            0                0              0        1

Матрица растяжения (сжатия):

где а > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси абсцисс;                                                               

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль

оси ординат;

c > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль си аппликат.

          a    0    0    0

          0    b    0    0

[D] =  0    0     c    0

          0    0     0    1

Матрицы отражения.

Матрица отражения относительно плоскости ху:

           1    0    0    0

           0    1    0    0

[Mz]=  0    0   -1    0

           0    0    0    1

Матрица отражения относительно плоскости  yz:

           -1    0     0      0

            0    1     0      0

[Mx]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица отражения относительно плоскости zx:

            1    0     0      0

            0   -1     0      0

[My]=   0    0     1      0

            0    0      0      1

Матрица переноса (здесь (l,m,n) - вектор переноса):

            1    0    0   0

            0    1    0   0

[T]=      0    0    1   0

             l    m    n   1

Замечание. Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырожденны.

Приведем   важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.

Пример 1. Построить матрицу вращения на угол phi вокруг прямой L, проходящей через точку А(а, b, с) и имеющую направляющий вектор (I, т, п).Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:

  2          2         2 

 L    +M     + N  =1.

Платоновы тела

Правильными многогранниками (Платоновыми телами) называются такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Существует ровно 5 правильных многогранников (это доказал Евклид): правильный тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их основные характеристики приведены в следующей таблице.

Название многогранника

Число граней - Г

Число ребер - Р

Число вершин - В

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Нетрудно заметить, что в каждом из пяти случаев числа Г, Р и В связаны равенством Эйлера

Г + В = Р + 2.

Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Здесь мы коснемся только тех свойств, которые можно применить для построения этих многогранников.

Для полного описания правильного многогранника вследствие его выпуклости достаточно указать способ отыскания всех его вершин.

Операции построения первых трех Платоновых тел являются особенно простыми.

Куб (гексаэдр) строится совсем несложно.

Используя куб, можно построить тетраэдр и октаэдр.

Для построения тетраэдра достаточно провести скрещивающиеся диагонали противоположных граней куба .

Тем самым вершинами тетраэдра являются любые 4 вершины куба, попарно не смежные ни с одним из его ребер.

Для построения октаэдра воспользуемся следующим свойством двойственности: вершины октаэдра суть центры (тяжести) граней куба

Координаты вершин октаэдра по координатам вершин куба легко вычисляются (каждая координата вершины октаэдра является средним арифметическим одноименных координат четырех вершин содержащей ее грани куба).

Додекаэдр и икосаэдр также можно построить при помощи куба.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82905. Первая медицинская помощь при отморожении и общем охлаждении 77 KB
  Статистика свидетельствует что достаточно часто тяжёлые отморожения приведшие к ампутации конечностей происходят в состоянии сильного алкогольного опьянения. Классификация По глубине поражения тканей выделяют степени отморожения: Отморожение I степени наиболее лёгкое обычно наступает при непродолжительном воздействии холода.
82906. Додавання і віднімання чисел другого розряду (круглих десятків) 39.5 KB
  Мета: Ознайомити учнів із додаванням і відніманням круглих десятків, вправляти у розв’язанні простих і складених задач, розвивати мислення, пам’ять, спостережливість, увагу, формувати вміння записувати і розв’язувати вирази з дужками, виховувати старанність, працелюбність.
82908. Вправи на закріплення таблиці множення числа 5. Розв’язування задач на збільшення та зменшення числа в кілька разів 79.5 KB
  Розв’язування задач на збільшення та зменшення числа в кілька разів. Закріплювати знання табличного множення числа 5; удосконалювати обчислювальні навички вміння розв’язувати задачі на збільшення та зменшення числа в кілька разів; розвивати логічне мислення...
82909. Ділення і множення багатоцифрових чисел на двоцифрове. Свято Великодня. Робота з геометричним матеріалом 367 KB
  Мета: слайд № 2 навчальна: удосконалювати з учнями алгоритм письмового множення та ділення багатоцифрових чисел на двоцифрове; ознайомити учнів із народними звичаями традиціями що пов’язані з початком весняного календарного обрядового циклу; розвиваюча: розвивати мовлення мислення увагу пам’ять...
82910. Множення у випадку кількох нулів у множнику 210 KB
  Спробуємо знайти другий спосіб розв’язування задачі. Чому катер за той самий час пройшов більшу відстань? (Тому, що в нього була більша швидкість). Знаючи, що катер має більшу швидкість, про що ми можемо дізнатися? (На скільки швидкість катера більша, ніж швидкість буксира?) Що для цього потрібно зробити?
82911. Чи може музика передавати рух? 102 KB
  Мета: формувати в учнів уявлення про зображальні можливості музики в передачі руху. Повторення понять темп, ритм. Розвивати уявлення учнів. Виховувати любов до української народної пісні, етикетне поводження в школі. Обладнання: фортепіано, аудіозаписи, малюнки, презентація.
82912. Співучі труби. Мідні духові 33 KB
  Мета: поглибити знання про духові інструменти познайомити із мідною духовою групою особливостями звучання інструментів що входять до її складу; підвести учнів до усвідомлення значимості мідних духових інструментів для; розвивати музичну пам’’ять спостережливість...
82913. Причини виникнення пожежі – порушення правил протипожежної безпеки. Правила поведінки під час виникнення пожежі 46.5 KB
  Вогонь Правильно а звідки береться вогонь Відгадайте ще одну загадку. І мають душу щедру Хоч дерева сини Згоряючи до щенту Вогонь дають вони. Бесіда Отже сьогодні ми поговоримо про вогонь. Вогонь як ви знаєте може бути добрим другом для людини але може бути і страшним ворогом який забирає життя.