6901

Лінійна алгебра. Конспект лекцій та тестові завдання

Конспект

Математика и математический анализ

Вища математика належить до циклу фундаментальнихдисциплін і забезпечує вивчення загальнонаукових, загально інженерних та спеціальних дисциплін.У технічному університеті курс вищої математики є одним із основних, визначальних, як для всь...

Украинкский

2013-01-09

855 KB

174 чел.

Вища математика належить до циклу фундаментальних дисциплін і забезпечує вивчення загальнонаукових, загально інженерних та спеціальних дисциплін. У технічному університеті курс вищої математики є одним із основних, визначальних, як для всього процесу навчання, так і подальшої практичної діяльності студента. Він є необхідним для успішного засвоєння спеціальних дисциплін.

Лінійна алгебра важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

§1. Матриці

Означення. Матрицею називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об’єктів ,,  розташованих в m-рядках та n-стовбцях.

Означення. Матриця яка має m рядків та n стовбців називається матрицею розміру m×n (перший множник вказує на кількість рядків, другий — стовбців)

Матриці позначають позначають великими літерами А, В, С…

Матриця розміру m×n має вигляд

,          (1.1)

де елемент розташований в і–рядку та j–стовпці.

Матрицю (1.1) можна записати у вигляді

,          (1.2)

Означення. Матрицю, в якій mчисло рядків не дорівнює nчислу її стовбців (mn), називають прямокутною

.      (1.3)

Означення. Якщо m=n, то матрицю називають квадратною, а число n — порядком матриці.

Приклад.

1)  — прямокутна матриця розміру 2х3.

2)  — квадратна матриця другого порядку.

Означення. Матриця, в якої лише один рядок, називається матрицею—рядком.

Означення. Матриця, в якої лише один стовпець називається матрицею–стовпцем.

Приклад.

1)  — матриця–рядок розміру 1х3.

2)  — матриця–стовпець розміру 3х1.

Означення. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то матриця називається нульовою.

Означення. Квадратна матриця, діагональні елементи якої  відмінні від нуля, а всі інші дорівнюють нулю називається діагональною 

.     (1.4)

Означення. Діагональна матриця, всі діагональні елементи якої дорівнюють одиниці, називається одиничною.

Позначають одиничну матрицю буквою Е:

.     (1.5)

Означення. Дві матриці А і В називаються рівними А=В, якщо якщо вони мають однаковий розмір і їх відповідні елементи рівні між собою.

Означення. Сумою двох матриць  і  називається матриця  кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В:

, , .   (1.6)

Приклад.

Зауваження. Віднімання матриць одного і того самого розміру визначається як дія обернена додаванню, тобто

,    (1.7)

де

,      (1.8)

Приклад.

Означення. Добутком матриці  на число λ називається нова матриця того самого розміру, кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці А на число λ, тобто

, .    (1.9)

Приклад.

Означення. Добутком матриці на матрицю називають матрицю  елементи якої визначаються рівностями

=, ,  . (1.10)

Таким чином, щоб дістати елемент  матриці С=А·В, слід елементи і–го рядка матриці А помножити на відповідні елементи jстовпця матриці В і знайдені добутки додати.

Зауваження. Добуток двох матриць існує тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці:

                                          (1.11)

Зауваження. Важливо зберігати вказаний порядок множення матриць.

Приклад.

1) 2)

Означення. Якщо АВ=ВА, то матриці А і В називаються комутуючими (переставними) 

Означення. Матриця, що отримана з даної матриці А заміною її рядків стовбцями з тими самими номерами називається транспонованою до даної матриці.

Позначають матрицю транспоновану до даної матриці : .

Приклад.

 

Властивості операцій над матрицями

Зауваження. Розміри матриць 1-12 такі, що ліва і права частини написаних рівностей мають зміст.

§ 2. Визначники

Означення. Визначником ( детермінантом ) називається вираз, складений за певним законом з n² елементів (чисел, функцій, векторів тощо) квадратної матриці.

Позначають визначник

,    (2.1)

де  — елементи визначника,

Означення. Визначником другого порядку називається

,  (2.2)

де  — елементи визначника;  — елементи головної діагоналі;  — елементи допоміжної діагоналі.

Приклад. 

Означення. Визначником третього порядку називається

(2.3)

Схема (2.3) обчислення визначників третього порядку називається правилом Саріуса або правило трикутника.

Приклад.

Правило діагоналей обчислення визначників третього порядку

(2.4)

Означення. Мінором  деякого елемента визначника називають визначник, який дістається із заданого визначника викреслюванням i–рядка та jстовпця, на перетині яких розташований елемент.

Приклад. 

Знайти  елемента  визначника . 

=1, .

Означення. Алгебраїчним доповненням  елемента  визначника, називають мінор цього елемента, взятий зі знаком «+», якщо сума номерів викреслених стовпця та рядка є число парне, і зі знаком «—», якщо ця сума — непарна, тобто

.      (2.4)

Приклад.

Знайти алгебраїчні доповнення , відповідних елементів визначники .

;

.

Основні властивості визначника

1) Величина визначника не змінюється, якщо всі його рядки зробити стовпцями, а стовпці — рядками не змінюючи їх нумерації. Вказана операція називається транспонуванням. 

Доведення.

Нехай

,

тоді, згідно твердження 1,

 

Отже, . Твердження доведено.

Зауваження. З властивості (1) випливає рівноправність рядків і стовпців визначника.

2) Якщо у визначника поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

Доведення.

Нехай

=.

Тоді

.

Звідки маємо

∆=-∆'.

Твердження доведено.

3) Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника однакові, то визначник дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

де . Переставимо рядки місцями. Тоді, згідно властивості 2

∆=-∆'.

Але ∆'=∆, оскільки переставлені рядки однакові. Отже, ∆=-∆. Звідки 2∆=0, тобто ∆=0.

Твердження доведено.

4) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

тобто . Тоді

∆==,

∆=0.

Твердження доведено.

5) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

де . Тоді

∆=,

∆=0.

Твердження доведено.

6) Якщо всі елементи будь-якого рядка(стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:

Доведення.

де .

Твердження доведено.

7) Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Доведення.

Нехай

.

Тоді

Твердження доведено.

Зауваження. Використовуючи цю властивість можна одержати максимальне число нульових елементів в будь-якому рядку ( стовпці ) визначника, після чого його обчислення значно спрощується.

Приклад

.

8) Якщо елементи будь-якого рядка ( стовпця ) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох відповідних визначників.

.

Зауваження. Цю властивість можна узагальнити на випадок довільного числа доданків.

9) Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця ) на їх алгебраїчні доповнення.

Властивість (9) називають розкладанням визначника по елементам деякого рядка (стовпця).

Якщо

,

тоді

, , ,

, , .

Доведення.

Доведемо цю властивість для випадку

,

тобто покажемо, що сума добутків елементів другого рядка на їх алгебраїчне доповнення, дорівнює значенню визначника.

Твердження доведено.

Зауваження.

1. Властивість (9) дозволяє знизити порядок визначника на одиницю.

2. Для скорочення обчислення визначника доцільно його розкладати за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів.


§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Наведемо приклад системи двох рівнянь з двома невідомими:

Узагальнимо запис системи

                                    (3.1)

Означення. Системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими називається система типу (3.1), де  — невідомі,  — коефіцієнти при невідомих; перший індекс і відповідає номеру рівняння в системі, j — номеру невідомого;  — вільні члени; ,  — вважаються заданими.

Означення. Пару чисел () називають розв’язком системи (3.1), якщо внаслідок підстановки в систему (3.1) цих чисел замість невідомих , система перетворюються на тотожність.

Означення. Системою трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими називається система вигляду

    (3.2)

де  — коефіцієнти при невідомих  системи,  — вільні члени, .

Означення. Трійку чисел() називають розв'язком системи (3.2), якщо внаслідок підстановки в систему (3.2) цих чисел замість невідомих  кожне з трьох рівнянь системи перетворюється у тотожність

Означення. Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона має вигляд

             (3.3)

де  — невідомі,  — дійсні числа, які називаються коефіцієнтами при невідомих системи (індекс і вказує номер рівняння, j — номер невідого, при якому записано цей коефіцієнт);  — вільні члени і,k=,.

Означення. Якщо =0 , то систему називають однорідною.

Означення. Якщо хоча б один вільний член  СЛАР (3.3) не дорівнює нулю, то систему називають неоднорідною.

Означення. Розв'язком СЛАР (3.3) називають множину дійсних чисел(), підстановка яких у систему замість невідомих (), перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Означення. СЛАР, що має хоча б один розв'язок, називається сумісною.

Означення. СЛАР, що немає розв'язку, називається несумісною

Зауваження. Однорідна СЛАР завжди має розв'язок   який називається тривіальним, тобто однорідні системи завжди сумісні.

Означення. Якщо m≠n, тобто кількість рівнянь СЛАР не дорівнює кількості невідомих, то система (3.3) називається прямокутною.

Означення. Якщо m=n, тобто кількість рівнянь СЛАР дорівнює кількості невідомих, то СЛАР називається квадратною.

Розділ «Лінійна алгебра» вивчає сумісність та методи розв'язування СЛАР вигляду (3.3).

§4. Формули Крамера

Знайдемо розв'язок СЛАР з двома невідомими

     (4.1)

Коефіцієнти  та вільні члени , , будемо вважати заданими.

Помножимо перше рівняння на ≠0, друге на (–)≠0 і додамо рівняння:

,

тоді

.                   (4.2)

Аналогічно помножимо перше рівняння на (–)≠0, друге на ≠0 і додамо рівняння:

,             (4.3)

тобто

.    (4.3)

Різниці добутків у формулах (4.2), (4.3) можна записати у вигляді визначників другого порядку:

, , .

(4.4)

Зазначимо, що визначники  утворюються з визначника , заміною елементів першого та другого стовпця відповідно стовпцем вільних членів.

Означення. Визначник (4.4) , складений з коефіцієнтів при невідомих системи (4.1), називається визначником системи (4.1).

Таким чином формули (4.2), (4.3) набувають вигляду

                   (4.5)

Оскільки система (4.5) є наслідком системи (4.1), то її розв'язок, якщо він існує, є розв'язком і системи (4.1).

При розв'язуванні системи (4.5) можуть виникнути три суттєво різні випадки:

1) Якщо ≠0, то система (4.5) має єдиний розв'язок:

                    (4.6)                    

який є розв'язком системи (4.1)

Формули (4.6) називають формулами Крамера.

2) Якщо =0 і при цьому хоч один із визначників  відмінний від нуля, то система(4.5) розв'язку немає. Отже, і система (4.1) — несумісна.

3) Якщо =0, =0, =0, то система (4.5) має безліч розв'язків.

Доведення. Оскільки при =0, =0, =0

                (4.7)

то із співвідношень (4.7) маємо

.                    (4.8)

Позначимо кожне із співвідношень (4.8), через :

тоді

Підставимо ці значення  у друге рівняння системи (4.1):

.                                          (4.9)

Скоротивши на t , одержимо перше рівняння системи (4.1). Отже, система рівнянь невизначена, тобто має безліч розв'язків, що і потрібно було довести.

Приклад. 

Знайти розв’язок системи .

Розв’яжемо СЛАР за правилом Крамера:

Оскільки ≠0, то система має єдиний розв'язок. Знайдемо допоміжні визначники:

,     ,

Тоді

,     .

Перевірка:

Відповідь: (0;1).

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

                   (4.10)

Введемо позначення:

Означення. Визначник , складений з коефіцієнтів при невідомих системи (4.10), називається визначником системи (4.10).

При розв'язуванні системи (4.10) можуть виникнути три суттєво різні випадки.

1) Якщо ∆≠0, то система (4.10) має єдиний розв'язок, який визначається формулами Крамера:

            (4.11)

2) Якщо ∆=0 і хоча б один із визначників , відмінний від нуля, то система несумісна.

3) Якщо ∆=0, , то система має або безліч розв'язків, або не має жодного. Остаточну відповідь у цьому випадку можна одержати за теоремою Кронекера–Капеллі, яку буде сформульовано далі.                                                                                 

Приклад. 

Знайти розв’язок системи  

Розв’яжемо СЛАР за правилом Крамера:

≠0 — система має єдиний розв'язок.

=, ,

Отже, , , .

                      

§5. Матричний спосіб розв’язування СЛАР

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо значення визначника, елементи якого є елементами матриці, не дорівнює нулю, тобто det A≠0.

Означення. Якщо det A=0, матриця  називається виродженою.

Означення. Матриця  називається оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності

                ,                  (5.1)

тобто матриці А,  комутують і їх добуток є одинична матриця.

Теорема. Матриця  обернена до матриці А тоді і тільки тоді, коли А — невироджена, тобто матриця А — квадратна і det A≠0

Алгоритм знаходження оберненої матриці.

  1.  Знайти визначник матриці, якщо він не дрівнює нулю, то дана матриця має обернену
  2.  Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів даної матриці  — — союзна матриця.
  3.  Транспонувати матрицю . Матрицю  називають приєднаною.
  4.  Кожний елемент приєднаної матриці поділити на визначник даної матриці

Отже,

       ,             (5.2)

де  — алгебраїчні доповнення елементів  матриці , .

Приклад. 

З’ясувати чи існує матриця, обернена до матриці

і якщо існує, знайти її.

Знайдемо .

  1.  Δ обернена матриця існує.
  2.   — союзна матриця.
  3.   — приєднана матриця.
  4.   — обернена матриця.

                        Властивості невироджених матриць

1)                    

2)                       

3)

Запишемо СЛАР з n рівнянь, що містить n-невідомих

               (5.3)

в матричній формі  

А·X=В,                 (5.4)

де , , .

Припустимо, що А — невироджена. Помножимо зліва обидві частини (5.4) на матрицю обернену до матриці А

,

оскільки то

                                          (5.5)

(5.5) — формула знаходження розв’язку СЛАР (5.3) матричним способом.

Приклад.

Розв’язати СЛАР  матричним способом.

, , , .

Оскільки , , то

.

Отже, , , .

Перевірка:

Відповідь: (0;1;-1).

§6. Ранг матриці. Теорема Кронекера–Капеллі

Нехай дано прямокутну матрицю розміру mxn:

              (6.1)

Візьмемо в матриці (6.1) k-довільних рядків і k-довільних стовпців.

Означення. Визначник k-порядку, складений з k² елементів матриці А, розташованих а перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k-порядку матриці А.

Означення. Рангом матриці називають найбільший порядок її мінора, відмінного від нуля.

Ранг матриці позначають rang A.

Означення. Відмінний від нуля мінор, порядок якого r=rang A, називається базисним.

Отже , матриця А має ранг, що дорівнює r, якщо серед її мінорів порядку r є хоча б один відмінний від нуля, а всі мінори матриці вищого порядку, ніж r, дорівнюють нулю.

Приклад.

Знайти ранг матриці .

Визначимо значення мінорів матриці.

, , .

Мінорів четвертого і вищих порядків в матриці А немає. Отже, rang A=3.

Основними методами обчислення рангу матриць являються метод окантовування мінорів та метод елементарних перетворень.

Метод окантування мінорів обчислення рангу матриці.

Суть методу: знайти М мінор k—порядку відмінний від нуля, далі розглянути лише ті мінори (k+1)-порядку, які окантовують мінор М. якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. В протилежному випадку процедура повторюється.

При використанні цього методу слід переходити від мінорів нижчих порядків до мінорів вищих порядків

Приклад.

Знайти ранг матриці .

Визначимо значення мінорів матриці.

, , ,

, .

Мінорів п’ятого і вищих порядків немає. Отже, rang A=3.

Метод елементарних перетворень для знаходження рангу матриці.

За допомогою елементарних перетворень, які не змінюють ранг матриці, зводимо матрицю до діагонального вигляду. Число відмінних від нуля елементів, розташованих на головній діагоналі, визначає ранг матриці.

.

Елементарні перетворення матриці

  1.  Заміна рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками.
  2.  Переставлення двох будь-яких рядків (стовпців).
  3.  Викреслення рядка (стовпця), всі елементи якого дорівнюють нулю.
  4.  Множення всіх елементів будь–якого рядка (стовпця) на одне і те саме число відмінне від нуля.
  5.  Додавання до елементів одного рядка (стовпця), елементів іншого рядка (стовпця), помножених на довільне число.

Будь-яку матрицю шляхом елементарних перетворень можна привести до діагональної форми.

Означення. Дві матриці називаються еквівалентними, якщо від кожної з них можна перейти до другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень.

Позначають еквівалентні матриці АВ.

Приклад.

Знайти ранг матриці

  1.  Міняємо місцями перший і другий рядки матриць
  2.  Елементи першого рядка помножили на (-2) та додамо до відповідних                                  елементів другого рядка.
  3.  Елементи першого рядка помножили на (-4) та додамо до відповідних                                  елементів четвертого рядка.
  4.  Елементи другого рядка помножили на (-2) та додамо до відповідних                                  елементів четвертого рядка.
  5.  Елементи третього рядка помножимо на (-8) та додамо до відповідних елементів другого рядка.
  6.  Поміняємо місцями елементи другого та третього рядків.      

Отже, rang A=3.

Розглянемо СЛАР

                      (6.2)

Введемо позначення: -основна матриця системи (6.2),

матриця невідомих, матриця вільних членів,

,                                                                                (6.4)

— розширена матриця системи (6.2).

    Тоді СЛАР (6.2) набуває вигляду

АХ=В.                                                        (6.5)

Теорема Кронекера-Капеллі (умова сумісності СЛАР).

    Якщо ранг основної матриці А СЛАР дорівнює рангу розширеної матриці  СЛАР, то система сумісна. При цьому:

  1.  Якщо rang A= rang=n (n-число невідомих), то система має єдиний розв’язок.
  2.  Якщо rang A= rang<n, то система має безліч розв’язків.

    Якщо rang A≠ rang, то система несумісна, тобто не має жодного розв’язку.

Приклад.

-система сумісна

2<4  (n=4 — кількість невідомих) — СЛАР має безліч розв’язків.

§7. Метод Гауса

   Розглянемо ще один метод розв’язування СЛАР — метод Гауса.

   Нехай маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

                                              (7.1)

Припустимо, що . Розділимо обидві частини першого рівняння на

                                            (7.2)

Віднімемо від другого і третього рівнянь системи (7.1) рівняння (7.2) помножене спочатку на , потім на

                            (7.3)

Введемо позначення

, , ,

, , .

Тоді одержимо

                                                  (7.4)

Нехай . Розділимо обидві частини першого рівняння системи (7.4) на :

                                                  (7.5)

Віднімемо від другого рівняння системи (7.4) рівняння (7.5), помножене на :

Позначимо

, .

Тоді

.

В результаті цих операцій система (7.1) набуде так званого трикутного вигляду

Тепер визначимо всі невідомі, починаючи з останнього.

Зауваження. Якщо , то серед  коефіцієнтів при , існує хоча б один відмінний від нуля. Тоді рівняння, що містить, вважатимемо першим.

Запропонований метод розв’язування СЛАР називається методом Гауса.

     Карл Фрідріх Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) видатний німецький математик, астроном, фізик.

     Суть методу Гауса: шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду, коли усі елементи головної діагоналі основної матриці системи дорівнюють одиниці 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невідомі.

Елементарні перетворення системи.

  1.  Додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке числоλ;
  2.  Перестановку рівнянь у системі
  3.  Вилучення із системи тотожності 00
  4.  Множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля.

    Дві системи лінійних рівнянь називають рівносильними якщо вони мають однакові розв’язки.


Тестові завдання

  1.  Яке значення елемента  матриці ?

а)

б)

в)

г)

3

-2

1

4

  1.  Яке значення елемента  матриці ?

а)

б)

в)

г)

13

2

1

4

  1.  Визначте розміри матриці .

а)

б)

в)

г)

32

31

12

13

  1.  Якими є розміри матриці ?

а)

б)

в)

г)

32

31

12

23

  1.  Із матриць , , ,  визначте ті, розміри яких .

а)

б)

в)

г)

,

,

  1.  Визначте ранг матриці .

а)

б)

в)

г)

3

1

2

0

  1.  Чому дорівнює ранг матриці ?

а)

б)

в)

г)

3

1

2

0

  1.  Яка з наведених матриць — матриця–стовпець?

а)

б)

в)

г)

  1.  Яка з наведених матриць — матрицярядок?

а)

б)

в)

г)

  1.  Чому дорівнює добуток матриць  і ?

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайдіть добуток матриць  і .

а)

б)

в)

г)

  1.  Яким є добуток матриць  і ?

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти матрицю , якщо , , .

а)

б)

в)

г)

  1.  Для заданих матриць, ,  обчисліть .

а)

б)

в)

г)

  1.  Розв'язати матричне рівняння .

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти обернену до  матрицю.

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти обернену до  матрицю.

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти матрицю , якщо , , .

а)

б)

в)

г)

  1.  Обчислити , якщо .

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти матрицю , якщо , , .

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти значення многочлена  при , де .

а)

б)

в)

г)

  1.  Знайти значення многочлена  при , де .

а)

б)

в)

г)

  1.  З‘ясуйте всі можливі добутки матриць , , , .

а)

б)

в)

г)

, ,

, ,

, , : ,

, , , ,

  1.  З‘ясуйте всі можливі добутки матриць , , .

а)

б)

в)

г)

, , ,

,

, , 

, , ,

  1.  Задані матриці , , . Знайти .

а)

б)

в)

г)

,

,

,

,

  1.  Для визначника  визначте мінор елемента .

а)

б)

в)

г)

1

24

0

19

  1.  Яким буде мінор елемента  визначника ?

а)

б)

в)

г)

4

-3

0

3

  1.  Знайдіть алгебраїчне доповнення елемента  визначника .

а)

б)

в)

г)

6

-3

0

3

  1.  Знайдіть алгебраїчне доповнення елемента  визначника .

а)

б)

в)

г)

-16

-3

0

16

  1.  Обчисліть визначник другого порядку .

а)

б)

в)

г)

13

12

-10

3

  1.  Яке із чисел є визначником другого порядку .

а)

б)

в)

г)

-23

-17

-10

3

  1.  Обчисліть визначник другого порядку .

а)

б)

в)

г)

1

0

-1

  1.  Яке із наведених чисел є визначником третього порядку ?

а)

б)

в)

г)

30

25

0

10

  1.  Обчисліть визначник третього порядку .

а)

б)

в)

г)

0

25

4

10

  1.  Обчисліть визначник четвертого порядку .

а)

б)

в)

г)

0

1

-8

8

  1.  Обчисліть визначник п’ятого порядку .

а)

б)

в)

г)

2

-2

4

0

  1.  Знайти x із рівняння .

а)

б)

в)

г)

=2, =3

=-2, =3

=2, =-3

=0, =3

  1.  Розв’язати рівняння .

а)

б)

в)

г)

=1, =-3

 =-1, =3

=2, =-3

=1, =3

  1.  Розвязком нерівності  є:

а)

б)

в)

г)

 

  1.  Розвязати нерівність .

а)

б)

в)

г)

 

  1.  Зясуйте значення , при якому значення визначника  дорівнює 12.

а)

б)

в)

г)

12

-12

0

10

  1.  Якщо значення  дорівнює 12, то значення визначника дорівнює:

)

б)

в)

г)

12

-12

0

10

  1.  Зясуйте значення , при якому значення визначника  дорівнює 0.

а)

б)

в)

г)

0

-12

-2

10

  1.  Зясуйте значення визначника  при  дорівнює 0.

а)

б)

в)

г)

0

-12

-2

10

  1.  При  система  має:

а)

б)

в)

г)

єдиний розв’язок

безліч розв’язків

є несумісною

розв’язків немає

  1.  За якого значення параметра , система  має єдиний розв’язок ?

а)

б)

в)

г)

  1.  За якого значення параметра , система  має єдиний розв’язок ?

а)

б)

в)

г)

при

при

при будь-якому

  1.  За якого значення параметра , система  має єдиний розв’язок ?

а)

б)

в)

г)

  1.  Розв’язати задану систему .

а)

б)

в)

г)

=2, =-2

=1, =-1

=1, =-4

=0, =-1

  1.  Розв’язком системи  є:

а)

б)

в)

г)

=2, =0, =9

=1, =-1, =4

=1, =-1, =-4

=0, =-1, =-5

  1.  Знайти значення  із системи .

а)

б)

в)

г)

=2

=1

=-1

=0

  1.  Знайти значення  із системи .

а)

б)

в)

г)

=0

=-1

=2

=-2

  1.  Знайти значення  із системи .

а)

б)

в)

г)

=9

=4

=-4

=-5

  1.  Розв’язати систему рівнянь .

а)

б)

в)

г)

=2, =0, =-1

система несумісна

=5, =0, =-2

=-2, =0, =-1

  1.  Розв’язком системи рівнянь є:

а)

б)

в)

г)

=4, =0, =-1

система несумісна

=2-, =,

=-2, =0, =1

  1.  Дослідити систему на сумісність  і у випадку сумісності встановити кількість розв’язків.

а)

б)

в)

г)

система несумісна, розв’язків немає

система сумісна, має єдиний розв’язок;

система сумісна, має безліч розв’язків;

система має лише тривіальний розв’язок

  1.  Дослідити систему рівнянь на сумісність . і у випадку сумісності встановити кількість розв’язків.

а)

б)

в)

г)

система несумісна, розв’язків немає

система сумісна, має єдиний розв’язок

система сумісна, має безліч розв’язків

система має лише тривіальний розв’язок

  1.  Встановити кількість розв’язків системи .

а)

б)

в)

г)

система несумісна, розв’язків немає

система сумісна, має єдиний розв’язок

система сумісна, має безліч розв’язків

система має лише тривіальний розв’язок

  1.  За якого значення параметра  система  несумісна.

а)

б)

в)

г)

  1.  Визначити всі значення параметра , при якому система  має нетривіальні розв’язки.

а)

б)

в)

г)

  1.  Визначити всі значення параметра , при якому система  має нетривіальні розв’язки.

а)

б)

в)

г)

  1.  Визначити всі значення параметра , при якому система  має лише нульовий розв’язок.

а)

б)

в)

г)

  1.  Визначити, для яких значень  і  система рівнянь  має єдиний розв’язок.

а)

б)

в)

г)

  1.  Визначити, для яких значень  і  система рівнянь  несумісна.

а)

б)

в)

г)

,

  1.  Визначити, для яких значень  і  система рівнянь  має безліч розв’язків.

а)

б)

в)

г)

,

,

  1.  Що називається визначником другого порядку?

а) Визначником другого порядку, що відповідає матриці , називається ;

б) Визначником другого порядку, що відповідає матриці , називається ;

в) Визначником другого порядку, що відповідає матриці , називається ;

г) Визначником другого порядку, що відповідає матриці , називається .

  1.  Визначником третього порядку, що відповідає матриці , називається:

а) б) ;

в) г) .

  1.  Мінором  елемента  () визначника -го порядку називають:

а)

б)

в)

г)

елемент

елемент , взятий зі знаком

визначник ()-го порядку, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення рядка і стовпця, на перетині яких стоїть елемент

визначник -го порядку, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення рядка і стовпця

  1.  Алгебраїчним доповненням  елемент  визначника -го порядку називають:

а)

б)

в)

г)

елемент

елемент , взятий зі знаком

визначник ()-го порядку, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення рядка і стовпця, на перетині яких стоїть елемент

його мінор , взятий зі знаком , тобто

  1.  Якщо рядки визначника зробити стовпцями з тими ж номерами, то величина визначника:

а)

б)

в)

г)

дорівнюватиме нулю

дорівнюватиме одиниці

не зміниться

зміниться на протилежне значення

  1.  Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки, то

а)

б)

в)

г)

значення визначника дорівнюватиме нулю

значення визначника дорівнюватиме одиниці

значення визначника не зміниться

знак визначника зміниться на протилежний

  1.  Якщо у визначнику елементи двох рядків однакові, то:

а)

б)

в)

г)

визначник дорівнює нулю

значення визначника дорівнюватиме одиниці

значення визначника дорівнює спільному елементу цих рядків

значення визначника дорівнює сумі добутків елементів цих рядків

  1.  Якщо всі елементи стовпця визначника мають спільний множник, то:

а)

б)

в)

г)

визначник дорівнює нулю

значення визначника дорівнюватиме одиниці

значення визначника дорівнює спільному елементу цих рядків

його можна винести за знак визначника

  1.  Якщо до елементів стовпця додати відповідні елементи іншого стовпця, помножені на одне і те саме число, то:

а)

б)

в)

г)

значення визначника дорівнюватиме нулю

значення визначника дорівнюватиме одиниці

значення визначника не зміниться

знак визначника зміниться на протилежний

  1.  Квадратна матриця називається діагональною, якщо:

а)

б)

в)

г)

всі її елементи дорівнюють нулю

всі її елементи, що е лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю

всі її елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю

всі її елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють одиниці

  1.  Якщо діагональна матриця така, що всі , то матриця називається:

а)

б)

в)

г)

транспонованою

дійсною

нульовою

одиничною

  1.  Сумою  матриць  і  називається матриця , така, що:

а)

б)

в)

г)

  1.  Які властивості операцій над матрицями мають місце , , , :

а)

б)

в)

г)

,

,

  1.  Для того щоб квадратна матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб матриця була:

а)

б)

в)

г)

одиничною

нульовою

не виродженою

квадратною

  1.  Необхідною і достатньою умовою існування оберненої матриці є:

а)

б)

в)

г)

те, що матриця повинна бути одиничною

те, що матриця повинна бути нульовою

невиродженість матриці

те, що матриця повинна бути квадратною

  1.  Оберненою до квадратної матриці  називається матриця  така, що:

а)

б)

в)

г)

  1.  Обернені матриці мають властивість:

а)

б)

в)

г)

, де  одинична матриця

, де  одинична матриця

  1.  Матриця, що отримана з даної матриці заміною її рядків стовпцями, називається:

а)

б)

в)

г)

одиничною до даної

нульовою до даної

не виродженою до даної

транспонованою до даної

  1.  Якщо  матриця транспонована до матриці , то має місце властивість:

а)

б)

в)

г)

  1.  Степенем  матриці  називається матриця , така що:

а)

б)

в)

г)

  1.  Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, називається

а)

б)

в)

г)

матрицею-стовпцем

нульовою

невиродженою

транспонованою

  1.  Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається

а)

б)

в)

г)

матрицею-стовпцем

нульовою

виродженою

транспонованою

  1.  Рангом матриці називається :

а)

б)

в)

г)

найвищий з порядків її мінорів

найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля

порядок мінора, відмінного від нуля

ненульовий мінор матриці

  1.  Дві матриці називаються узгодженими, якщо:

а)

б)

в)

г)

вони є матрицями-стовпцем

нульовими

виродженими

число стовпців першої дорівнює числу рядків другої

  1.  Система називається сумісною, якщо:

а)

б)

в)

г)

має, хоча б один розв’язок

найвищий з порядків її мінорів, відмінний від нуля

має один розв’язок

має безліч розв’язків

  1.  Дві системи називаються еквівалентними, якщо:

а)

б)

в)

г)

існує хоча б один розв’язок

множини їх розв’язків співпадають

множини їх розв’язків перетинаються

множини їх розв’язків не співпадають

  1.  Якщо ранг матриці системи рівнянь дорівнює рангу розширеної матриці системи, то за теоремою Кронекера–Капеллі:

а)

б)

в)

г)

система сумісна

система несумісна

система має єдиний розв’язок

система має безліч розв’язків

  1.  Якщо ранг матриці системи рівнянь не дорівнює рангу розширеної матриці системи, то за теоремою Кронекера–Капеллі:

а)

б)

в)

г)

система сумісна

система несумісна

система має єдиний розв’язок

система має безліч розв’язків

  1.  Якщо ранг матриці системи рівнянь дорівнює рангу розширеної матриці системи і дорівнює кількості невідомих системи, то за теоремою Кронекера–Капеллі:

а)

б)

в)

г)

система сумісна

система несумісна

система має єдиний розв’язок

система має безліч розв’язків

  1.  Якщо ранг матриці системи рівнянь дорівнює рангу розширеної матриці системи і менше кількості невідомих системи, то за теоремою Кронекера–Капеллі:

а)

б)

в)

г)

система сумісна

система несумісна

система має єдиний розв’язок

система має безліч розв’язків

  1.  Система рівнянь вигляду  називається:

а)

б)

в)

г)

неоднорідною

несумісною

однорідною

квадратною

  1.  Система рівнянь вигляду  завжди є

а)

б)

в)

г)

неоднорідною

несумісною

сумісною

квадратною

  1.  Система рівнянь вигляду  називається:

а)

б)

в)

г)

неоднорідною, якщо матриця  не є нульовою

несумісною

однорідною, якщо матриця  не є нульовою

квадратною при довільних значеннях

  1.  Система рівнянь вигляду  називається:

а)

б)

в)

г)

однорідною, якщо матриця  є нульовою матрицею

несумісною

однорідною, якщо матриця  не є нульовою

квадратною при довільних значеннях .

  1.  Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо

а)

б)

в)

г)

вони неоднорідні

вони однорідні

вони мають однакові розв’язки

вони квадратні


Таблиця правильних відповідей

№ питання

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

відповідь

б

В

а

г

в

б

в

а

г

а

№ питання

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

відповідь

б

г

б

б

б

а

а

г

б

а

№ питання

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

відповідь

г

г

г

г

г

в

б

а

а

г

№ питання

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

відповідь

а

а

а

а

в

а

а

б

в

а

№ питання

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

відповідь

а

а

а

а

а

а

в

а

б

б

№ питання

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

відповідь

б

б

б

б

в

в

в

в

г

а

№ питання

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

відповідь

а

а

а

а

а

а

а

б

г

в

№ питання

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

відповідь

г

а

г

в

в

г

б

б

в

в

№ питання

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

відповідь

в

в

г

б

б

в

в

б

г

а

№ питання

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

відповідь

б

а

б

в

г

в

в

а

а

в


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52192. Japanese Management Principles 128 KB
  Around 1980 we were all just getting used to the concepts of Material Requirements Planning (MRP) and Manufacturing Resource Planning (MRPII) with their dependence on complex computer packages when we began to hear of manufacturers in Japan carrying no stock and giving 100% customer service without any of this MRP sophistication.
52195. АНГЛІЙСЬКА МОВА ЗА ПРОФЕСІЙНИМ СПРЯМУВАННЯМ 311.5 KB
  Методичний посібник призначений для роботи на заняттях з англійської мови в технікумі на спеціальності «Організація виробництва». Методичний посібник має на меті створити мовне середовище для студентів, стимулювати їх в читанні тематичних текстів і засвоєнні необхідної лексики. Метою кожного студента повинно стати бажання висловлювати свою думку з даної теми
52197. ВИКОРИСТАННЯ РЕГІОНАЛЬНОГО КОМПОНЕНТУ НА УРОКАХ ІНОЗЕМНОЇ МОВИ 103.5 KB
  Я працюю в школі вчителем англійської мови близько 15 років і працюю з великим задоволенням та інтересом. Дуже люблю свою роботу і дітей. Я завжди намагаюся навчати дітей виховуючи та виховувати навчаючи. Постійно думаю, як цікавіше й ефективніше провести урок, як зробити так, щоб діти навчалися з великим бажанням, і щоб їхній інтерес до мови не згасав. Успішній роботі у цих напрямах сприяє використання краєзнавчого матеріалу.
52198. Наука и технология 188.5 KB
  Тексты: Science Technology Лексика chievement достижение аlwаys всегда аpproаch подход between между brаnch отрасль науки знания cleаr ясный difference different различие разный engineering техника essentiаl существенный exаmple e. for exаmple пример например field поле сфера область деятельности high высокий humn человеческий hypothesis pl hypotheses гипотеза importаnt важный impossible невозможный investigаtion исследование knowledge знание lаw закон mаin главный ...
52199. Personal Presentation 94 KB
  I am Ivan Dmitrenko. I am 17. I am a first-year student of National Technical University “Kharkiv Polytechnic Institute”. I study at the Department of Mechanical Engineering. My major (speciality) is the Technology of Cutting. I am from Kharkiv.
52200. Электроника 249.5 KB
  Most analog electronic devices, such as radio receivers, have combinations of a few types of basic circuits. There are a great number of different analog circuits, because circuits are very different - from a single component, to systems with thousands of components. Good examples of analog circuits are vacuum tube and transistor amplifiers, operational amplifiers and oscillators.