69036

Физические и математические модели периодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели периодических сигналов. Физические модели периодических сигналов. Математические модели периодических сигналов. Спектральное представление периодических сигналов.

Русский

2014-09-29

166 KB

9 чел.

Практическое занятие 2.4

Тема 2. Физические и математические модели периодических сигналов. Временное и спектральное представление.

1. Физические модели периодических сигналов.

2. Математические модели периодических сигналов.

Спектральное представление периодических сигналов.

/1/, с 44-48

/4/, с 31-38


Учебные вопросы.

Физические модели периодических сигналов.

Периодические сигналы, введенные соотношение (2.3.1) на бесконечной оси времени в реальной природе не могут существовать. Физической моделью таких сигналов является повторяющийся по форме сигналы достаточной продолжительности наблюдения.

Источниками таких сигналов являются, прежде всего, генераторы:

гармонических колебаний;

импульсов (видео- и радиоимпульсов);

релаксационных колебаний;

Органы управления этих генераторов допускают управление всеми теми параметрами сигналов, которые были описаны в лекции 2.3.

Интересующий нас больше других гармонический сигнал можно наблюдать, однако, и без использования генератора, для этого достаточно наблюдать колебания, имеющие место в колебательном контуре простейшей конструкции. (рис 2.4.1).

Самым любопытным свойством данной конструкции является то, что форма выходных колебаний  практически не зависит от формы входного воздействия : как только контуру сообщается какая либо внешняя энергия, в нем возникают периодические колебания напряжения (тока), гармонической формы, с частотой , называемой частотой резонанса.

Строгий анализ свойств линейного четырехполюсника подобного типа будет проведен в курсе ЛРТУ. Сейчас же нам важно уяснить, что колебательный контур является базовым линейным элементом любого из современных (и многих-многих поколений предыдущих) радиотехнических устройств: фильтров, нагрузок усилителей, генераторов и т. д.

Именно по этому возникла задача спектрального (гармонического) анализа сигналов: колебательный контур является материальный носителем гармонического отклика.

И наоборот, те устройства, которые не являются носителями гармонического отклика (например, цифровые, дискретные устройства) абсолютно не требуют привлечения спектральных параметров сигнала для обеспечения и описания своей работы.

Таким образом, математический аппарат спектральной теории сигналов вызван к жизни свойствами физических устройств. Вне свойств реальных устройств этого аппарат бесполезен.

Определение 2(спектра)

Спектром данного сигнала назовем ту область частот, в которой данный сигнал вызывает гармонические отклики при воздействии на материальные носители гармонических откликов.

2. Математические модели периодических сигналов.

В предыдущем изложении (Лекция 2.3) были рассмотрены сигналы вида, представленного на рисунке 2.3.2. 2.3.3 (видео- или радиоимпульсные последовательности)

3. Спектральное представление периодических сигналов.

3.1 Математические основы спектральной теории периодических сигналов.

По своему смыслу задача отображения  сигнала  в спектральной области сводится к задаче представления этого сигнала в виде совокупности гармонических откликов , где — гармоническая функция,  амплитуда гармонического колебания :

(2.4.1)

В математике такая задача известна как задача разложения  произвольной (кусочно непрерывной по Дирихле) функции  по заданной системе ортогональных на отрезке  функций .

Система функций называется ортогональной на отрезке , если  при    (2.4.2)

и для любого  

,

где — норма функции .

Доказано, что для ряда (2.4.1) коэффициенты  определяются с помощью соотношения  то при любом заданном числе слагаемых ряд (2.4.1) наилучшим образом (с минимальной ошибкой) представляет сигнал  по сравнению с другими способами поиска

Ряд (2.4.1) называется обобщенным радом Фурье.

К счастью, гармонические колебания образуют ортогональную систему функций:

где  — период периодической функции , при чем интервал ортогональности .

Косинусные и синусные коэффициенты определяются по формулам:

 

Тогда ряд вида (2.4.1) можно представить ,

где ,

Часто используют вместо (2.4.8) запись ,

где ,

По своему математическому смыслу запись (2.4.8) означает, что временная периодическая функция  может быть представлена в виде бесконечного множества гармонических функций с амплитудами , частотами, кратными , и начальными фазами .

По своему физическому смыслу запись (2.4.8) означает, что непериодический сигнал , воздействуя на бесконечное множество материальных носителей гармонического отклика (контуров и т. д.) вызовет отклик лишь в тех из них, собственная резонансная частота колебаний которых  кратна частоте , амплитуд (интенсивность) отклика будет пропорциональна коэффициентам , а начальная фаза возникших гармонических откликов будет соответствовать .

Определение 3 (спектра).

Спектр сигнала — это прогноз реакции множества материальных носителей гармонического отклика на воздействия конкретной временной формы в виде данного сигнала.

Из соотношения (2.4.8) следует, важнейшее свойство спектров периодических сигналов.

Спектры периодических сигналов любой формы являются линейчатыми, то есть не сплошными! (рис. 2.4.2)

Пример. Спектр периодического ЧМ колебания. Спектр колебаний генератора гармоник.

3.2. Примеры спектрального представления периодических колебаний.

последовательность униполярных видеоимпульсов. (рис. 2.3.2) 

 

В итоге (рис. 2.4.3) Важная закономерность

интервал между составляющими линейчатого спектра по оси частот  определятся периодом ;

“нули” огибающей определяются длительностью импульса .

Меандр.          Меандр — это двухполярная последовательность видеоимпульсов, с  (посылки равной длительности). Для этого сигнала (рис 2.4.4)

Последовательность радиоимпульсов (рис.2.3.3)

В отличии от спектра последовательности аналогичных видеоимпульсов, начинающегося с частоты , спектр последовательности радиоимпульсов симметричен относительно частоты . Коэффициенты гармонических составляющих спектра совпадают с коэффициентами  видеопоследовательности (рис. 2.4.5).

3.3 Понятие о реальном спектре.

Во-первых, из выражения (2.4.8) и последующих примеров следует, что спектр периодических сигналов  содержит бесконечное множество составляющих, т. е. он бесконечен по оси частот. Очевидно, любой реальный сигнал занимает ограничений частотный ресурс.

Действительно, полная мощность сигнала равна сумме средних мощностей, содержащихся в каждой составляющей спектра:

В сумме (2.4.15) заключена огромная энергия. Для определения реального спектра ограничиваются таким числом составляющих, после которых энергия гармонических компонент составляет не более 5% от максимальной. (для последовательности импульсов в ряде случаев достаточно взять всего лишь 3 составляющие).

Во-первых, при условии, что реально “чисто гармонических” колебаний не существует, возникает вопрос: а что же реально существует?

Реально существует отклик конкретной линейной системы на конкретное временное воздействие (сигнал).

Если в модели гармоническое колебание длится бесконечно, то реальный отклик продолжается в зависимости от качества (добротности) колебательной системы и внешнего воздействия.

Многолетняя практика показала высокую точность прогноза реального спектра при использовании математических моделей по теории Фурье.

Выводы.

Ряды Фурье с достаточной для практики точностью позволяют моделировать периодические сигналы в спектральной области.

Кроме определения частотного ресурса сигнала, спектральный метод является удобным инструментом анализа сигналов, проходящих через линейные устройства. В этом случаи имеется возможность (на основе принципа суперпозиции) заменить анализ сигала сложной формы, анализом прохождения через линейную цепь отдельных гармонических составляющих, не манящих свою частоту, а только амплитуду и фазу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22984. Мультипроцесорні системи 4.79 MB
  Дійсно звернення до пам’яті або до зовнішніх пристроїв та захоплення системної шини дозволяється одночасно лише одному з процесорів тоді як останні повинні в цей час переробляти раніш одержані дані або знаходитись в режимі очікування. Такий часовий розподіл загальних ресурсів системи має назву арбітражу системної шини і виконується групою пристроїв спеціальних ІМС так званих арбітрів шини. Арбітр шини дозволяє захоплення системної шини лише одному з процесорів що виставили запит тому котрий посідає найвищого пріоритету і...
22985. Мікропроцесори 80386 і 80486 4.79 MB
  Це дозволяє йому здійснювати обмін з пам’яттю зі швидкістю до 32 Мбайт сек і виконувати до 5 мільйонів операцій у секунду MIPS. Отже під час виконання одної команди відбувається декодування другої а третя видобувається з пам’яті. Усі можливості МП386 мультипрограмність віртуальна пам’ять захист пріоритети зповна відкриваються лише в захищеному режимі. У порівнянні з МП286 у МП386 існують істотні відміни в організації віртуальної пам’яті.
22986. Поняття про RISC-процесори. Процесори п’ятого та шостого поколінь 6.22 MB
  Процесори п’ятого та шостого поколінь Поняття про RISCпроцесори Якісний стрибок у розвитку мікропроцесорних систем відбувся з появою мікропроцесора 8086. Такі процесори і комп’ютери дістали назву RISC процесорів та RISC комп’ютерів на відміну від процесорів та комп’ютерів зі складною системою команд Complex Instruction Set Computer CISC комп’ютер. Перший €œсправжній€ RISC комп’ютер було створено наприкінці 70х років в університеті Берклі.
22987. Діагностика несправностей у мікропроцесорних системах 739 KB
  Тут можна навести таку наочну аналогію: візьміть на сторінці друкованого тексту вертикальний рядок літер що розташовані одна над одною і спробуйте встановити зміст тексту. Тому третя трудність полягає у тому щоб будьякимсь чином представити інформацію що міститься у вихідному тестсигналі у компактній та зрозумілій формі по якій можна було б судити про справність або несправність пристрою що перевіряється. Тестпрограма повинна бути періодичною щоб можна було проконтролювати відтворюваність її результатів від кількох актів тестування....
22988. Декотріі принципи роботи сучасних мікропроцесорів та ЕОМ 1.54 MB
  Вони показують яка команда виконується до якої комірки пам’яті або зовнішнього пристрою звертається процесор і містять іншу важливу і вичерпну інформацію. Після того як у програмі дається сигнал €œвивільнити мікросхему€ вміст усіх регістрів переписується в область пам’яті що має назву сегмента стану задачі TSS Taske State Segment. При роботі у мультипрограмному режимі можуть виникати певні труднощі з використанням оперативної пам’яті котра стає тепер вже загальною для кількох задач. Можливі непередбачені ситуації коли одна програма...
22989. Віртуальна пам’ять. Мікропроцесор 80286 4.24 MB
  Мікропроцесор 80286 Як добре відомо процесор може безпосередньо працювати лише з тією інформацією яка записана в його оперативній пам’яті. Однак об’єм оперативної пам’яті у сучасних ЕОМ порівняно невеликий і часто виявляється недостатнім для розв’язання більшменш складних задач. Віртуальна організація пам’яті дає користувачеві практично необмежений об’єм пам’яті.
22990. Артикуляційна база мови 33 KB
  Робота органів мовлення тобто сукупність їх порухів при вимові певного звука називається артикуляцією від лат. excursio вибігання вилазка або приступ початковий рух органів мовлення підготовка органів мовлення до вимови звука. culmen вершина або витримка поло' ження органів мовлення в момент вимовляння звуків. recursio повернення або відступ повернення органів мовлення у вихідне положення.
22991. Будова мовного апарату і функції його найважливіших частин 36 KB
  Мовленнєвий апарат І порожнина рота; II глотка фаринкс; III порожнина носа; IV гортань; 1 трахея; 2 голосова зв'язка; 3 неправдива голосова зв'язка; 4 щитовидний хрящ; 5 персневидний хрящ; 6 під'язикова кістка; 7 надгортанник; 8 язик; 9 тверде піднебіння; 10 м'яке піднебіння. Верхній поверх надставна порожнина її ще називають надставною трубою до якої належать порожнини глотки фаринкс рота і носа. Коли м'яке піднебіння опущене порожнина рота змикається з порожниною носа і частина повітря проходить...
22992. Акустичний аспект вивчення звукової будови мови 30.5 KB
  Акустичний аспект вивчення звукової будови мови Акустика розрізняє в звуках силу висоту довготу і тембр. Сила звука залежить від амплітуди розмаху коливання: чим більша амплітуда тим звук сильніший. Так скажімо що сильніше ударити по струні то більшою буде й амплітуда коливання і відповідно сила звука. Висота звука залежить від частоти коливань за одиницю часу: чим більша частота коливань тим вищий звук.