69036

Физические и математические модели периодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели периодических сигналов. Физические модели периодических сигналов. Математические модели периодических сигналов. Спектральное представление периодических сигналов.

Русский

2014-09-29

166 KB

9 чел.

Практическое занятие 2.4

Тема 2. Физические и математические модели периодических сигналов. Временное и спектральное представление.

1. Физические модели периодических сигналов.

2. Математические модели периодических сигналов.

Спектральное представление периодических сигналов.

/1/, с 44-48

/4/, с 31-38


Учебные вопросы.

Физические модели периодических сигналов.

Периодические сигналы, введенные соотношение (2.3.1) на бесконечной оси времени в реальной природе не могут существовать. Физической моделью таких сигналов является повторяющийся по форме сигналы достаточной продолжительности наблюдения.

Источниками таких сигналов являются, прежде всего, генераторы:

гармонических колебаний;

импульсов (видео- и радиоимпульсов);

релаксационных колебаний;

Органы управления этих генераторов допускают управление всеми теми параметрами сигналов, которые были описаны в лекции 2.3.

Интересующий нас больше других гармонический сигнал можно наблюдать, однако, и без использования генератора, для этого достаточно наблюдать колебания, имеющие место в колебательном контуре простейшей конструкции. (рис 2.4.1).

Самым любопытным свойством данной конструкции является то, что форма выходных колебаний  практически не зависит от формы входного воздействия : как только контуру сообщается какая либо внешняя энергия, в нем возникают периодические колебания напряжения (тока), гармонической формы, с частотой , называемой частотой резонанса.

Строгий анализ свойств линейного четырехполюсника подобного типа будет проведен в курсе ЛРТУ. Сейчас же нам важно уяснить, что колебательный контур является базовым линейным элементом любого из современных (и многих-многих поколений предыдущих) радиотехнических устройств: фильтров, нагрузок усилителей, генераторов и т. д.

Именно по этому возникла задача спектрального (гармонического) анализа сигналов: колебательный контур является материальный носителем гармонического отклика.

И наоборот, те устройства, которые не являются носителями гармонического отклика (например, цифровые, дискретные устройства) абсолютно не требуют привлечения спектральных параметров сигнала для обеспечения и описания своей работы.

Таким образом, математический аппарат спектральной теории сигналов вызван к жизни свойствами физических устройств. Вне свойств реальных устройств этого аппарат бесполезен.

Определение 2(спектра)

Спектром данного сигнала назовем ту область частот, в которой данный сигнал вызывает гармонические отклики при воздействии на материальные носители гармонических откликов.

2. Математические модели периодических сигналов.

В предыдущем изложении (Лекция 2.3) были рассмотрены сигналы вида, представленного на рисунке 2.3.2. 2.3.3 (видео- или радиоимпульсные последовательности)

3. Спектральное представление периодических сигналов.

3.1 Математические основы спектральной теории периодических сигналов.

По своему смыслу задача отображения  сигнала  в спектральной области сводится к задаче представления этого сигнала в виде совокупности гармонических откликов , где — гармоническая функция,  амплитуда гармонического колебания :

(2.4.1)

В математике такая задача известна как задача разложения  произвольной (кусочно непрерывной по Дирихле) функции  по заданной системе ортогональных на отрезке  функций .

Система функций называется ортогональной на отрезке , если  при    (2.4.2)

и для любого  

,

где — норма функции .

Доказано, что для ряда (2.4.1) коэффициенты  определяются с помощью соотношения  то при любом заданном числе слагаемых ряд (2.4.1) наилучшим образом (с минимальной ошибкой) представляет сигнал  по сравнению с другими способами поиска

Ряд (2.4.1) называется обобщенным радом Фурье.

К счастью, гармонические колебания образуют ортогональную систему функций:

где  — период периодической функции , при чем интервал ортогональности .

Косинусные и синусные коэффициенты определяются по формулам:

 

Тогда ряд вида (2.4.1) можно представить ,

где ,

Часто используют вместо (2.4.8) запись ,

где ,

По своему математическому смыслу запись (2.4.8) означает, что временная периодическая функция  может быть представлена в виде бесконечного множества гармонических функций с амплитудами , частотами, кратными , и начальными фазами .

По своему физическому смыслу запись (2.4.8) означает, что непериодический сигнал , воздействуя на бесконечное множество материальных носителей гармонического отклика (контуров и т. д.) вызовет отклик лишь в тех из них, собственная резонансная частота колебаний которых  кратна частоте , амплитуд (интенсивность) отклика будет пропорциональна коэффициентам , а начальная фаза возникших гармонических откликов будет соответствовать .

Определение 3 (спектра).

Спектр сигнала — это прогноз реакции множества материальных носителей гармонического отклика на воздействия конкретной временной формы в виде данного сигнала.

Из соотношения (2.4.8) следует, важнейшее свойство спектров периодических сигналов.

Спектры периодических сигналов любой формы являются линейчатыми, то есть не сплошными! (рис. 2.4.2)

Пример. Спектр периодического ЧМ колебания. Спектр колебаний генератора гармоник.

3.2. Примеры спектрального представления периодических колебаний.

последовательность униполярных видеоимпульсов. (рис. 2.3.2) 

 

В итоге (рис. 2.4.3) Важная закономерность

интервал между составляющими линейчатого спектра по оси частот  определятся периодом ;

“нули” огибающей определяются длительностью импульса .

Меандр.          Меандр — это двухполярная последовательность видеоимпульсов, с  (посылки равной длительности). Для этого сигнала (рис 2.4.4)

Последовательность радиоимпульсов (рис.2.3.3)

В отличии от спектра последовательности аналогичных видеоимпульсов, начинающегося с частоты , спектр последовательности радиоимпульсов симметричен относительно частоты . Коэффициенты гармонических составляющих спектра совпадают с коэффициентами  видеопоследовательности (рис. 2.4.5).

3.3 Понятие о реальном спектре.

Во-первых, из выражения (2.4.8) и последующих примеров следует, что спектр периодических сигналов  содержит бесконечное множество составляющих, т. е. он бесконечен по оси частот. Очевидно, любой реальный сигнал занимает ограничений частотный ресурс.

Действительно, полная мощность сигнала равна сумме средних мощностей, содержащихся в каждой составляющей спектра:

В сумме (2.4.15) заключена огромная энергия. Для определения реального спектра ограничиваются таким числом составляющих, после которых энергия гармонических компонент составляет не более 5% от максимальной. (для последовательности импульсов в ряде случаев достаточно взять всего лишь 3 составляющие).

Во-первых, при условии, что реально “чисто гармонических” колебаний не существует, возникает вопрос: а что же реально существует?

Реально существует отклик конкретной линейной системы на конкретное временное воздействие (сигнал).

Если в модели гармоническое колебание длится бесконечно, то реальный отклик продолжается в зависимости от качества (добротности) колебательной системы и внешнего воздействия.

Многолетняя практика показала высокую точность прогноза реального спектра при использовании математических моделей по теории Фурье.

Выводы.

Ряды Фурье с достаточной для практики точностью позволяют моделировать периодические сигналы в спектральной области.

Кроме определения частотного ресурса сигнала, спектральный метод является удобным инструментом анализа сигналов, проходящих через линейные устройства. В этом случаи имеется возможность (на основе принципа суперпозиции) заменить анализ сигала сложной формы, анализом прохождения через линейную цепь отдельных гармонических составляющих, не манящих свою частоту, а только амплитуду и фазу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13598. Эссе по курсу обществознания, Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех, которые можно выжать из покупателей 15.26 KB
  Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех которые можно выжать из покупателей. А. Смит Данное высказывание затрагивает экономическую проблему негативных последствий наличия в обществе монополий. На рубеже XIX-XX вв. произошел широкомасштабный ...
13599. Эссе по курсу обществознания, Экономическая конкуренция – это не война, а соперничество в интересах друг друга 17.05 KB
  Экономическая конкуренция – это не война а соперничество в интересах друг друга. Э. Каннан Выбранное мною высказывание раскрывает сущность значение такого важного регулятора в рыночной экономике как экономическая конкуренция. Ни одна рыночная система многих
13600. Экономическая свобода – эта свобода любой деятельности, включающей право выбора и сопряженные с этим риск и ответственность 14.53 KB
  Экономическая свобода – эта свобода любой деятельности включающей право выбора и сопряженные с этим риск и ответственность. Ф. фон Хайек Выбранное мной высказывание раскрывает сущность экономической свободы и ее роль как основы хозяйственной деятельности. Эконом
13601. О будущем демократического общества не нужно узнавать по звездам, его можно прочесть в лицах избирателей В. Швебель 16.94 KB
  О будущем демократического общества не нужно узнавать по звездам его можно прочесть в лицах избирателей. В. Швебель В выбранном мною высказывании автор обращается к проблеме позиции электората в демократическом обществе. Эта проблема несомненно важна и актуальна...
13602. Государство растит людей: прекрасное – хороших, противоположное – дурных 19.45 KB
  Государство растит людей: прекрасное – хороших противоположное – дурных Сократ Выбранное мною высказывание затрагивает проблему связанную с пониманием того как государственный строй политическая система связаны с воспитанием нравственных гражданских качеств....
13603. Прекращение юридического лица 158 KB
  В данной работе акцентируется внимание на прекращение юридического лица, а именно её реорганизацию и ликвидацию. Если человек умирает, то после его смерти, остаются о нем только воспоминания, и его смерть ни как не причиняет имущественного вреда посторонним лицам.
13604. Политология. «Государство растит людей: прекрасное - хороших, противоположное - дурных» 18.41 KB
  Политология. Государство растит людей: прекрасное хороших противоположное дурных. Сократ Тема выбранная мною раскрывает проблему того как государственные порядки устои влияют на формирование нравственных качеств. Человечество издревле волновал вопрос
13605. Лозунг истинной демократии - не «Пусть это сделает правительство», а «Дайте нам сделать это самим» 32.5 KB
  Лозунг истинной демократии не Пусть это сделает правительство а Дайте нам сделать это самим. Д. Эйзенхауэр Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос о сущности демократии задачах демократического правления. Данная тема крайне актуальна в современном
13606. Деспотизм не может существовать в стране до тех пор, пока не уничтожена свобода прессы, подобно тому, как ночь не может наступить, пока солнце не зашло 34 KB
  Деспотизм не может существовать в стране до тех пор пока не уничтожена свобода прессы подобно тому как ночь не может наступить пока солнце не зашло. Ч. Колтон Выбранное мною высказывание роль и значение свободы печати как гарантию сохранения демократических поря...