69037

Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели непериодических сигналов. Физические модели непериодических сигналов. Математические модели непериодических сигналов. Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Русский

2014-09-29

231 KB

3 чел.

Практическое занятие 2.5

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 5. Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление.

Физические модели непериодических сигналов.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

/1/. 29-36

/2/. 19-25

/3/. 43-48


Учебные вопросы.

Физические модели непериодических сигналов.

В природе все сигналы имеют конечную длительность и, как следствие, являются непериодическими. Однако принято считать непериодическими детерминированные сигналы неповторяющейся формы, а если форма сигналы многократно повторяется с постоянным периодом, то его принимают за периодический сигнал.

Источниками непериодических сигналов могут быть как генераторы, так и любые другие радиотехнические устройства.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Кроме сигнала вида (2.3.3) — отрезок синусоиды — практический интерес представляют сигналы:

одиночный прямоугольный импульс;  (2.5.1)

бесконечно короткий импульс (дельта-функция)  (2.5.2)

колокольный “гауссов” импульс  (2.5.3)

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Математические основы спектральной теории непериодических сигналов.

Воспользуемся соотношениями (2.4.11) и (2.4.12) для непериодического сигнала  применительно к некоторому произвольному отрезку , включающему интервал  (рис. 2.5.2):

(2.5.4)

где  (2.5.5)

Подставив в (2.5.5) в (2.5.4), получим

(2.5.6)

где . Ранее было оговорено, что ряд вида (2.5.4) соответствует периодической функции. Чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, . При этом , а количество составляющих, входящих в ряд Фурье, будет неизменно большим, так как интервал между составляющими . Спектр становится сплошным.

Совокупность бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих и образует сплошной спектр исходного непериодического сигнала  — рис 2.5.2.

В условиях сплошного спектра в (2.5.6) заменяем

на

на

знак  на знак .

Таким образом  (2.5.7)

Внутренний интеграл

(2.5.8)

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В общем случае

(2.5.9)

После подстановки в (2.5.7)

 (2.5.10)

Выражения (2.5.9) и (2.5.10) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (2.4.12) и (2.5.9) отличаются только множителем . Следовательно, спектральная плотность  обладает всеми основными свойствами коэффициентов  комплексного ряда Фурье. Поэтому можно записать:

,

где   (2.5.11)

(2.5.12)

 (2.5.13)

Выражение (2.5.12) определяет амплитудный спектр сигнала, выражение (2.5.13) фазовый спектр сигнала.

Преобразования Фурье обладает рядом удобных свойств:

Сдвигу сигнала на время  соответствует приращению ФЧХ на величину :  (2.5.14)

Сжатию сигнала во времени в  раз соответствует расширение амплитудного спектра в  раз с одновременным уменьшением модуля спектральной плотности в  раз:  (2.5.15)

Операции дифференцирования и интегрирования сигнала отображаются преобразованиями:

Сложение сигналов обуславливает сложение спектров:

Произведение двух сигналов:    (2.5.17)

Между энергией сигнала и его спектральной плотностью устанавливается соотношение (равенство Парсеваля):   (2.5.18)

Примеры спектрального представления непериодических сигналов.

Одиночный прямоугольный импульс:

, (2.5.19)     где функция вида  относится к системе ортогональных функций Котельникова (рис 2.5.3) Из рисунка следует, что при  ширина лепестка увеличивается (спектр шире!) при  спектр сужается.

Дельта-функция  (2.5.20)  равномерная плотность по всей оси частот — закономерный результат, подчеркивающий справедливость рассуждений по предыдущему примеру.

Гауссов импульс  (2.5.21)    где  Видно, что форма спектра (гауссова) повторяет колокольную форму сигнала. При  сигнал вырождается в дельта функцию, при  спектр сужается.

Отрезок синусоиды.

Можно показать, что амплитудный спектр сигнала описывается функцией  при симметрии относительно частоты  — заполнения (прямоугольного импульса).

Таким образом, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра  периодической последовательности, полученной путем повторения данного импульса, совпадает по форме и отличается только масштабом.

где  — спектр одиночного импульса.

— период последовательности.

Важно, что спектр сигнала конечной длительности бесконечен, а конечным может оказаться спектр только бесконечного по длительности сигнал.

Пример использования спектральной теории для сравнительной оценки видов сигналов, приведен в задаче 1.1.16  /6, с. 11, 151 /.

Гоноровский. Преобразование спектров.

Сдвиг колебаний во времени  если всем составляющим спектра дать фазовое приращение,  , то функция сдвигается во времени на .

Изменение масштаба времени  С расширением спектра в  раз, (в результате сжатия временной функции в  раз) уменьшается в  раз модуль спектральной плотности

Расширение спектра  соответствует временной функции:  т. е. Умножение  на (модулирующую) несущую.

Сложение колебаний   Принцип суперпозиции.

Произведение колебаний:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48071. Формальные теории математической логики 172 KB
  Формальные теории. Задано А альфа множество символов теории алфавит Т. Задано В Ф бета множество аксиом теории. Собственные нелогические аксиомы определяют специфику конкретной теории.
48072. Наукова комунікація як складова фахової діяльності. Українська термінологія у професійному спілкуванні 323 KB
  Особливості наукового тексту і професійного наукового викладу думки. Науковий стиль української мови має свої особливості. Загальні ознаки наукового стилю поняттєвість. Термін та його ознаки. термінологія як система...
48073. Матеріалознавство та технологія матеріалів 1.4 MB
  Кристалізація металів. Механічні властивості металів та методи їх визначення Мета: Ознайомити студентів з основними поняттями конструкційних матеріалів: будовою та властивостями металів роллю вітчизняних та зарубіжних вчених у розвитку матеріалознавства з основними механічними властивостями металів і сплавів та методами їх випробування. Кристалічна будова металів будова і властивості реальних кристалів. Плавлення металів.
48074. Народознавство 1.1 MB
  Релігія в житті українського народу. Звичаї та обряди українського народу. Ретромандрівка в глибину століть допоможе зрозуміти духовність і менталітет нашого народу віковічно творений як образне бачення українською людиною світу землі та життя на ній. Українське народознавство як навчальний предмет Відродження України неможливе без пробудження національної свідомості українського народу насамперед молоді.
48075. Электротехника 5.26 MB
  Определение связи между токами напряжениями параметрами заданной цепи и теми величинами которые определяют работу рассматриваемой установки например: к. Принцип работы и общие свойства важнейших электротехнических устройств и элементов электрической цепи. Задачи синтеза заключаются в разработке методов такого выбора схемы соединения элементов цепи и такого подбора параметров этих элементов чтобы полученная цепь обладала заданными характеристиками. По наличию данных элементов различают соответственно активные и пассивные цепи.
48076. НЕГЛАСНІ СЛІДЧІ (РОЗШУКОВІ) ДІЇ. КУРС ЛЕКЦІЙ 722 KB
  Підстави проведення негласних слідчих розшукових дій. Засоби що використовуються під час проведення негласних розшукових дій Лекція 3. Негласні слідчі розшукові дії законодавець визначив як різновид слідчих розшукових дій відомості про факт та методи проведення яких не підлягають розголошенню за винятком випадків передбачених Кримінальним процесуальним кодексом України ч. Подано базові нетаємні положення що стосуються організації та тактики проведення негласних слідчих розшукових дій вивчення яких відповідає вимогам підготовки...
48077. ГРОШІ ТА КРЕДИТ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 971 KB
  Сутність і функції грошей. Походження грошей. Види грошей. Функції грошей. Характеристика і структура грошового обороту
48078. Культура наукової мови 542 KB
  Наукова мовна культура основа професійної діяльності дослідника Наукова мова як комунікативний феномен Поняття культура наукової мови.Етапи становлення й дослідження наукової мови Роль науки в житті суспільства за останні десятиліття надзвичайно зросла. Дається взнаки і домінування в міжнародному науковому просторі англійської мови як глобальної мови науки.
48079. Облікова політика підприємства 2.96 MB
  Якщо такі умови визначити неможливо амортизація нараховується за прямолінійним методом ПсБО 9 Запаси Одиниця обліку запасів найменування; однорідна група вид Методи оцінки вибуття запасів ідентифікованої собівартості відповідної одиниці запасів; середньозваженої собівартості; собівартості перших за часом надходження запасів ФІФО; нормативних витрат; ціни продажу Застосовується підприємствами роздрібної торгівлі та громадського харчування Метод обліку транспортнозаготівельних витрат шляхом прямого...