69037

Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели непериодических сигналов. Физические модели непериодических сигналов. Математические модели непериодических сигналов. Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Русский

2014-09-29

231 KB

3 чел.

Практическое занятие 2.5

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 5. Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление.

Физические модели непериодических сигналов.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

/1/. 29-36

/2/. 19-25

/3/. 43-48


Учебные вопросы.

Физические модели непериодических сигналов.

В природе все сигналы имеют конечную длительность и, как следствие, являются непериодическими. Однако принято считать непериодическими детерминированные сигналы неповторяющейся формы, а если форма сигналы многократно повторяется с постоянным периодом, то его принимают за периодический сигнал.

Источниками непериодических сигналов могут быть как генераторы, так и любые другие радиотехнические устройства.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Кроме сигнала вида (2.3.3) — отрезок синусоиды — практический интерес представляют сигналы:

одиночный прямоугольный импульс;  (2.5.1)

бесконечно короткий импульс (дельта-функция)  (2.5.2)

колокольный “гауссов” импульс  (2.5.3)

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Математические основы спектральной теории непериодических сигналов.

Воспользуемся соотношениями (2.4.11) и (2.4.12) для непериодического сигнала  применительно к некоторому произвольному отрезку , включающему интервал  (рис. 2.5.2):

(2.5.4)

где  (2.5.5)

Подставив в (2.5.5) в (2.5.4), получим

(2.5.6)

где . Ранее было оговорено, что ряд вида (2.5.4) соответствует периодической функции. Чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, . При этом , а количество составляющих, входящих в ряд Фурье, будет неизменно большим, так как интервал между составляющими . Спектр становится сплошным.

Совокупность бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих и образует сплошной спектр исходного непериодического сигнала  — рис 2.5.2.

В условиях сплошного спектра в (2.5.6) заменяем

на

на

знак  на знак .

Таким образом  (2.5.7)

Внутренний интеграл

(2.5.8)

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В общем случае

(2.5.9)

После подстановки в (2.5.7)

 (2.5.10)

Выражения (2.5.9) и (2.5.10) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (2.4.12) и (2.5.9) отличаются только множителем . Следовательно, спектральная плотность  обладает всеми основными свойствами коэффициентов  комплексного ряда Фурье. Поэтому можно записать:

,

где   (2.5.11)

(2.5.12)

 (2.5.13)

Выражение (2.5.12) определяет амплитудный спектр сигнала, выражение (2.5.13) фазовый спектр сигнала.

Преобразования Фурье обладает рядом удобных свойств:

Сдвигу сигнала на время  соответствует приращению ФЧХ на величину :  (2.5.14)

Сжатию сигнала во времени в  раз соответствует расширение амплитудного спектра в  раз с одновременным уменьшением модуля спектральной плотности в  раз:  (2.5.15)

Операции дифференцирования и интегрирования сигнала отображаются преобразованиями:

Сложение сигналов обуславливает сложение спектров:

Произведение двух сигналов:    (2.5.17)

Между энергией сигнала и его спектральной плотностью устанавливается соотношение (равенство Парсеваля):   (2.5.18)

Примеры спектрального представления непериодических сигналов.

Одиночный прямоугольный импульс:

, (2.5.19)     где функция вида  относится к системе ортогональных функций Котельникова (рис 2.5.3) Из рисунка следует, что при  ширина лепестка увеличивается (спектр шире!) при  спектр сужается.

Дельта-функция  (2.5.20)  равномерная плотность по всей оси частот — закономерный результат, подчеркивающий справедливость рассуждений по предыдущему примеру.

Гауссов импульс  (2.5.21)    где  Видно, что форма спектра (гауссова) повторяет колокольную форму сигнала. При  сигнал вырождается в дельта функцию, при  спектр сужается.

Отрезок синусоиды.

Можно показать, что амплитудный спектр сигнала описывается функцией  при симметрии относительно частоты  — заполнения (прямоугольного импульса).

Таким образом, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра  периодической последовательности, полученной путем повторения данного импульса, совпадает по форме и отличается только масштабом.

где  — спектр одиночного импульса.

— период последовательности.

Важно, что спектр сигнала конечной длительности бесконечен, а конечным может оказаться спектр только бесконечного по длительности сигнал.

Пример использования спектральной теории для сравнительной оценки видов сигналов, приведен в задаче 1.1.16  /6, с. 11, 151 /.

Гоноровский. Преобразование спектров.

Сдвиг колебаний во времени  если всем составляющим спектра дать фазовое приращение,  , то функция сдвигается во времени на .

Изменение масштаба времени  С расширением спектра в  раз, (в результате сжатия временной функции в  раз) уменьшается в  раз модуль спектральной плотности

Расширение спектра  соответствует временной функции:  т. е. Умножение  на (модулирующую) несущую.

Сложение колебаний   Принцип суперпозиции.

Произведение колебаний:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64287. РОЗВИТОК РЕГІОНАЛЬНОЇ ПРОМИСЛОВОЇ ПОЛІТИКИ ДЕРЖАВИ В РИНКОВИХ УМОВАХ 326.5 KB
  З цього приводу необхідні чітко відпрацьовані в теоретичному та практичному аспектах підходи до формування та реалізації регіональної промислової політики держави.
64288. ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ ВЗАЄМОЗВ‘ЯЗОК МАСОГАБАРИТНИХ Й ЕНЕРГЕТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ТРАНСФОРМАТОРІВ 247.5 KB
  Зокрема в Україні як під впливом сусідства з Росією так й у зв‘язку з розвитком співробітництва в області трансформаторобудування із країнами Євросоюзу і в країнах Близького Сходу через відсутність у них власної електромашинобудівної індустрії...
64289. ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДІВ МАРШРУТИЗАЦІЇ З КОНВЕРСІЄЮ ДОВЖИНИ ХВИЛІ 850.5 KB
  Проте методи маршрутизації в повністю оптичних мережах з використанням конверсії довжини хвилі а також методи оптимального розташування конвертерів для мінімізації їх числа не зважаючи на величезне число робіт в даний час відсутні.
64290. ПСИХОЛОГІЧНІ ЧИННИКИ ДИНАМІКИ СУБ’ЄКТНОСТІ МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ У ПРОЦЕСІ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 188 KB
  Розвиток людини як суб'єкта діяльності стає метою сучасної освіти та важливою проблемою психології. Категорія суб'єкт має давню історію у вітчизняній психології.
64291. ДОГОВІР ПРО НАДАННЯ ПОСЛУГ У МЕРЕЖІ ІНТЕРНЕТ 146.5 KB
  Актуальність теми дослідження зумовлена стрімким поширенням новітніх комунікаційних та інформаційних технологій та потребою віднайти адекватні правові форми для регулювання відносин щодо набуття зміни та припинення цивільних прав...
64292. БЕЗКОНФЛІКТНЕ УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНИМИ ВЗАЄМОДІЯМИ НА ПРОМИСЛОВОМУ ПІДПРИЄМСТВІ 514 KB
  Відомо, що машинобудівний комплекс є сполучною ланкою між металургійною, гірничою, хімічною та багатьма іншими галузями промисловості і визначає рівень загального розвитку економіки країни.
64293. ЗАХИСТ ПРАВА ЛЮДИНИ НА ОСОБИСТУ СВОБОДУ В КОНТЕКСТІ ПРОТИДІЇ ТОРГІВЛІ ЛЮДЬМИ: ФІЛОСОФСЬКО-ПРАВОВІ ЗАСАДИ 136.5 KB
  Можна відзначити що сутність цього соціального феномену полягає в запереченні свободи людини у зв’язку з чим головною засадою протидії таким порушенням слід вважати відповідний захист свободи.
64294. РОЗВИТОК Я-КОНЦЕПЦІЇ ОСОБИСТОСТІ МАЙБУТНЬОГО СОЦІАЛЬНОГО ПРАЦІВНИКА У ВИЩОМУ НАВЧАЛЬНОМУ ЗАКЛАДІ 231.5 KB
  Забезпечення ефективності вирішення складного комплексу цих проблем вимагає повноцінних теоретичних концепцій соціальної роботи як професійної діяльності насамперед розвитку адекватної і гармонійної Я-концепції самого працівника соціальної сфери наявність...
64295. СПЕКТРАЛЬНІ ПРОЯВИ ВЗАЄМОДІЇ ІЗОХІНОЛІНОВИХ АЛКАЛОЇДІВ З ДНК 249.5 KB
  Взаємодія низькомолекулярних лігандів з ДНК має широкий спектр застосувань: медичні препарати зокрема протипухлинні та імуномодулюючі флуоресцентні зонди тощо.