69037

Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели непериодических сигналов. Физические модели непериодических сигналов. Математические модели непериодических сигналов. Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Русский

2014-09-29

231 KB

3 чел.

Практическое занятие 2.5

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 5. Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление.

Физические модели непериодических сигналов.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

/1/. 29-36

/2/. 19-25

/3/. 43-48


Учебные вопросы.

Физические модели непериодических сигналов.

В природе все сигналы имеют конечную длительность и, как следствие, являются непериодическими. Однако принято считать непериодическими детерминированные сигналы неповторяющейся формы, а если форма сигналы многократно повторяется с постоянным периодом, то его принимают за периодический сигнал.

Источниками непериодических сигналов могут быть как генераторы, так и любые другие радиотехнические устройства.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Кроме сигнала вида (2.3.3) — отрезок синусоиды — практический интерес представляют сигналы:

одиночный прямоугольный импульс;  (2.5.1)

бесконечно короткий импульс (дельта-функция)  (2.5.2)

колокольный “гауссов” импульс  (2.5.3)

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Математические основы спектральной теории непериодических сигналов.

Воспользуемся соотношениями (2.4.11) и (2.4.12) для непериодического сигнала  применительно к некоторому произвольному отрезку , включающему интервал  (рис. 2.5.2):

(2.5.4)

где  (2.5.5)

Подставив в (2.5.5) в (2.5.4), получим

(2.5.6)

где . Ранее было оговорено, что ряд вида (2.5.4) соответствует периодической функции. Чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, . При этом , а количество составляющих, входящих в ряд Фурье, будет неизменно большим, так как интервал между составляющими . Спектр становится сплошным.

Совокупность бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих и образует сплошной спектр исходного непериодического сигнала  — рис 2.5.2.

В условиях сплошного спектра в (2.5.6) заменяем

на

на

знак  на знак .

Таким образом  (2.5.7)

Внутренний интеграл

(2.5.8)

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В общем случае

(2.5.9)

После подстановки в (2.5.7)

 (2.5.10)

Выражения (2.5.9) и (2.5.10) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (2.4.12) и (2.5.9) отличаются только множителем . Следовательно, спектральная плотность  обладает всеми основными свойствами коэффициентов  комплексного ряда Фурье. Поэтому можно записать:

,

где   (2.5.11)

(2.5.12)

 (2.5.13)

Выражение (2.5.12) определяет амплитудный спектр сигнала, выражение (2.5.13) фазовый спектр сигнала.

Преобразования Фурье обладает рядом удобных свойств:

Сдвигу сигнала на время  соответствует приращению ФЧХ на величину :  (2.5.14)

Сжатию сигнала во времени в  раз соответствует расширение амплитудного спектра в  раз с одновременным уменьшением модуля спектральной плотности в  раз:  (2.5.15)

Операции дифференцирования и интегрирования сигнала отображаются преобразованиями:

Сложение сигналов обуславливает сложение спектров:

Произведение двух сигналов:    (2.5.17)

Между энергией сигнала и его спектральной плотностью устанавливается соотношение (равенство Парсеваля):   (2.5.18)

Примеры спектрального представления непериодических сигналов.

Одиночный прямоугольный импульс:

, (2.5.19)     где функция вида  относится к системе ортогональных функций Котельникова (рис 2.5.3) Из рисунка следует, что при  ширина лепестка увеличивается (спектр шире!) при  спектр сужается.

Дельта-функция  (2.5.20)  равномерная плотность по всей оси частот — закономерный результат, подчеркивающий справедливость рассуждений по предыдущему примеру.

Гауссов импульс  (2.5.21)    где  Видно, что форма спектра (гауссова) повторяет колокольную форму сигнала. При  сигнал вырождается в дельта функцию, при  спектр сужается.

Отрезок синусоиды.

Можно показать, что амплитудный спектр сигнала описывается функцией  при симметрии относительно частоты  — заполнения (прямоугольного импульса).

Таким образом, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра  периодической последовательности, полученной путем повторения данного импульса, совпадает по форме и отличается только масштабом.

где  — спектр одиночного импульса.

— период последовательности.

Важно, что спектр сигнала конечной длительности бесконечен, а конечным может оказаться спектр только бесконечного по длительности сигнал.

Пример использования спектральной теории для сравнительной оценки видов сигналов, приведен в задаче 1.1.16  /6, с. 11, 151 /.

Гоноровский. Преобразование спектров.

Сдвиг колебаний во времени  если всем составляющим спектра дать фазовое приращение,  , то функция сдвигается во времени на .

Изменение масштаба времени  С расширением спектра в  раз, (в результате сжатия временной функции в  раз) уменьшается в  раз модуль спектральной плотности

Расширение спектра  соответствует временной функции:  т. е. Умножение  на (модулирующую) несущую.

Сложение колебаний   Принцип суперпозиции.

Произведение колебаний:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9671. ЭТАПЫ КОММЕРЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ОПТОВЫМ ЗАКУПКАМ 33 KB
  Закупочная работа является основой коммерческой деятельности в торговле. С нее по существу начинается коммерческая работа. Чтобы продать товар покупателю (потребителю) и получить прибыль, необходимо располагать (владеть) товаром. Как отмечалось, гла...
9672. Изучение и поиск коммерческих партнеров по закупке товаров. Классификация поставщиков 68.5 KB
  Изучение и поиск коммерческих партнеров по закупке товаров. Классификация поставщиков Для успешного выполнения коммерческих операций по закупкам товаров оптовые базы должны систематически заниматься выявлением и изучением источников закупки и постав...
9673. Значение и виды оптовых ярмарок 88.5 KB
  Значение и виды оптовых ярмарок Прогрессивной формой оптовых закупок является заключение договоров на поставку товаров на оптовых ярмарках. Продажа-закупка товаров на оптовых ярмарках - одна из старейших форм оптовой торговли. Оптовые ярмарки п...
9674. Претензионная работа 46 KB
  Претензионная работа В ходе реализации договоров поставки нередко стороны по каким-то объективным или субъективным причинам не выполняют принятых на себя обязательств, нанося торговому партнеру материальный и моральный ущерб. В этих условиях потерпе...
9675. Модулированные сигналы 284 KB
  Модулированные сигналы Содержание Введение. Амплитудная модуляция. Однотональная модуляция. Энергия однотонального АМ-сигнала. Многотональный модулирующий сигнал. Демодуляция АМ-сигналов. Балансная амплитудная модуляция. Однополосная амплитудная ...
9676. Що являє собою технологія DSL 50.5 KB
  Що являє собою технологія DSL хDSL являє собою родину технологій, що дозволяють значно розширити пропускну здатність абонентської лінії місцевої телефонної мережі шляхом використання ефективних лінійних кодів та адаптивних методів корекції перекручу...
9677. Геохимические исследования остатков бронзолитейного производства с Суботовского городища XII-IX вв. до н.э. 125.5 KB
  Геохимические исследования остатков бронзолитейного производства с Суботовского городища XII-IX вв. до н.э. Л.В. Демченко, В.И. Клочко, В.И. Маничев НИИПОИМКИ Украины Введение Геолого-геохимическое изучение археологического объекта включает в себя ...
9678. Гончарные печи XIV-XV вв. на ремесленном посаде Сугдеи 49.5 KB
  Гончарные печи XIV-XV вв. на ремесленном посаде Сугдеи А.В. Джанов Крымский филиал Института археологии НАН Украины Поливная керамика позднего средневековья является наиболее ярким признаком для характеристики материальной культуры того или и...
9679. Информация и управление. Системы управления. Прямая и обратная связь. Замкнутая и разомкнутая система 37.5 KB
  Информация и управление. Системы управления. Прямая и обратная связь. Замкнутая и разомкнутая система. Преобразование, целенаправленная обработка информации - важнейший из информационных процессов. Преобразование информации о состоянии окружающ...