69037

Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Физические и математические модели непериодических сигналов. Физические модели непериодических сигналов. Математические модели непериодических сигналов. Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Русский

2014-09-29

231 KB

2 чел.

Практическое занятие 2.5

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 5. Физические и математические модели непериодических сигналов. Временное и спектральное представление.

Физические модели непериодических сигналов.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

/1/. 29-36

/2/. 19-25

/3/. 43-48


Учебные вопросы.

Физические модели непериодических сигналов.

В природе все сигналы имеют конечную длительность и, как следствие, являются непериодическими. Однако принято считать непериодическими детерминированные сигналы неповторяющейся формы, а если форма сигналы многократно повторяется с постоянным периодом, то его принимают за периодический сигнал.

Источниками непериодических сигналов могут быть как генераторы, так и любые другие радиотехнические устройства.

Математические модели непериодических сигналов. Временное представление.

Кроме сигнала вида (2.3.3) — отрезок синусоиды — практический интерес представляют сигналы:

одиночный прямоугольный импульс;  (2.5.1)

бесконечно короткий импульс (дельта-функция)  (2.5.2)

колокольный “гауссов” импульс  (2.5.3)

Спектральное представление непериодических сигналов и его свойства.

Математические основы спектральной теории непериодических сигналов.

Воспользуемся соотношениями (2.4.11) и (2.4.12) для непериодического сигнала  применительно к некоторому произвольному отрезку , включающему интервал  (рис. 2.5.2):

(2.5.4)

где  (2.5.5)

Подставив в (2.5.5) в (2.5.4), получим

(2.5.6)

где . Ранее было оговорено, что ряд вида (2.5.4) соответствует периодической функции. Чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, . При этом , а количество составляющих, входящих в ряд Фурье, будет неизменно большим, так как интервал между составляющими . Спектр становится сплошным.

Совокупность бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих и образует сплошной спектр исходного непериодического сигнала  — рис 2.5.2.

В условиях сплошного спектра в (2.5.6) заменяем

на

на

знак  на знак .

Таким образом  (2.5.7)

Внутренний интеграл

(2.5.8)

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

В общем случае

(2.5.9)

После подстановки в (2.5.7)

 (2.5.10)

Выражения (2.5.9) и (2.5.10) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (2.4.12) и (2.5.9) отличаются только множителем . Следовательно, спектральная плотность  обладает всеми основными свойствами коэффициентов  комплексного ряда Фурье. Поэтому можно записать:

,

где   (2.5.11)

(2.5.12)

 (2.5.13)

Выражение (2.5.12) определяет амплитудный спектр сигнала, выражение (2.5.13) фазовый спектр сигнала.

Преобразования Фурье обладает рядом удобных свойств:

Сдвигу сигнала на время  соответствует приращению ФЧХ на величину :  (2.5.14)

Сжатию сигнала во времени в  раз соответствует расширение амплитудного спектра в  раз с одновременным уменьшением модуля спектральной плотности в  раз:  (2.5.15)

Операции дифференцирования и интегрирования сигнала отображаются преобразованиями:

Сложение сигналов обуславливает сложение спектров:

Произведение двух сигналов:    (2.5.17)

Между энергией сигнала и его спектральной плотностью устанавливается соотношение (равенство Парсеваля):   (2.5.18)

Примеры спектрального представления непериодических сигналов.

Одиночный прямоугольный импульс:

, (2.5.19)     где функция вида  относится к системе ортогональных функций Котельникова (рис 2.5.3) Из рисунка следует, что при  ширина лепестка увеличивается (спектр шире!) при  спектр сужается.

Дельта-функция  (2.5.20)  равномерная плотность по всей оси частот — закономерный результат, подчеркивающий справедливость рассуждений по предыдущему примеру.

Гауссов импульс  (2.5.21)    где  Видно, что форма спектра (гауссова) повторяет колокольную форму сигнала. При  сигнал вырождается в дельта функцию, при  спектр сужается.

Отрезок синусоиды.

Можно показать, что амплитудный спектр сигнала описывается функцией  при симметрии относительно частоты  — заполнения (прямоугольного импульса).

Таким образом, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра  периодической последовательности, полученной путем повторения данного импульса, совпадает по форме и отличается только масштабом.

где  — спектр одиночного импульса.

— период последовательности.

Важно, что спектр сигнала конечной длительности бесконечен, а конечным может оказаться спектр только бесконечного по длительности сигнал.

Пример использования спектральной теории для сравнительной оценки видов сигналов, приведен в задаче 1.1.16  /6, с. 11, 151 /.

Гоноровский. Преобразование спектров.

Сдвиг колебаний во времени  если всем составляющим спектра дать фазовое приращение,  , то функция сдвигается во времени на .

Изменение масштаба времени  С расширением спектра в  раз, (в результате сжатия временной функции в  раз) уменьшается в  раз модуль спектральной плотности

Расширение спектра  соответствует временной функции:  т. е. Умножение  на (модулирующую) несущую.

Сложение колебаний   Принцип суперпозиции.

Произведение колебаний: