69038

Детерминированные сигналы. Специальные способы временного представления. Преобразование Гильберта

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Запись гармонического сигнала в виде (2.3.2) называется тригонометрической. Такая запись соответствует описанию колебательного движения некоторой тоски вдоль прямой (ось координат) во времени (Ось абсцисс). Кроме тригонометрической, часто используют запись в комплексной или экспоненциальной форме.

Русский

2014-09-29

167.5 KB

9 чел.

Лекция 2.6

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 1. Детерминированные сигналы. Специальные способы временного представления. Преобразование Гильберта.

Специальные способы временного представления детерминированных сигналов. Огибающая сигнала.

Понятие о преобразовании Гильберта.

/1/. 55-57

/2/. 44-51

/3/. 39-50


Учебные вопросы.

Специальные способы представления детерминированных сигналов. Огибающая сигнала.

Запись гармонического сигнала в виде (2.3.2) называется тригонометрической. Такая запись соответствует описанию колебательного движения некоторой тоски вдоль прямой (ось координат) во времени (Ось абсцисс).

Кроме тригонометрической, часто используют запись в комплексной или экспоненциальной форме.

Так запись вида:

(2.6.1)

соответствует описанию вращения против часовой стрелки вектора длинной А относительно неподвижной точки с круговой частотой и начальной фазой . (рис 2.6.1)

Тогда гармоническому колебанию вида (2.3.2) соответствует запись

(2.6.2)

которая в математическом смысле представляет собой действительную часть комплексной функции

(2.6.3)

Механическая интерпретация записи (2.6.2) заключается в представлении колебательного движения в виде проекции вращательного движения на одну ось  (действительных значений) (рис 2.6.2)

В свою очередь запись (2.6.4) содержит описание двух проекций колебания: на действительную ось — через , и описание проекции на мнимую ось — через функцию, полученную в результате изменения фазы  на .

Сигнал

(2.6.4)

называют сигналом, сопряженным с сигналом .

Очевидно, что

— амплитуда гармонического колебания, (2.6.5)

— полная фаза гармонического колебания, (2.6.6)

— круговая частота гармонического колебания. (2.6.7)

Поскольку гармоническое колебание вида (2.3.2) не встречается в природе (хотя и выступает удобной математической моделью) то при описании реальных сигналов пользуются  записью, называемой квазигармонической:

 (2.6.8)

То обстоятельство, что множитель  перестал быть константой, и зависит от времени (так же как и фаза ), придает сигналу вида (2.6.8) свойства, принципиально отличные от сигнала вида (2.3.2).

Пример “квазигармонического” сигнала представлен на рисунке 2.6.3.

На рисунке можно наблюдать проявления двух различных сигналов. Сигнал  соответствует первичному электрическому сигналу речевого сообщения. (он “несет” сообщение)

Одновременно можно видеть колебание с частотой , соответствующей частоте несущей, выполняющей роль переносчика первичного электрического сигнала в конкретной среде передачи. Судя по меняющейся “амплитуде”, результирующее колебание не Является гармоническим.

В точке приема, очевидно, интерес будет представлять не весь сигнал, а только те его признаки которые соответствуют . Колебания с частотой  не несут сообщения, но выполняют технически важную функцию. Применительно к записи (2.6.8). Эти признаки описываются множителем , который носит название огибающей квазигармонического колебания.

Если сигналу  вида (2.6.8) подобрать (по некоторому правилу) сопряженный сигнал , то по аналогии с (2.8.5) можно записать

(2.6.9)

В выражении (2.6.9) пара !! — квадратурные компоненты.

Тогда, по аналогии с (2.6.6), существует аргумент

(2.6.10)

называемый полной мгновенной фазой, а по аналогии с (2.6.7) вводится понятие мгновенной частоты.

 (2.6.11)

Слово “мгновенной” призвано подчеркнуть невозможность зафиксировать конкретное значение фазы и “частоты”  в колебании вида (2.6.8).

свойства “мгновенной частоты” поместим в ту же таблицу, где ранее были сведены свойства параметра “частота” гармонического колебания:

 зависит от времени t.

при прохождении сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами может изменяться.

не может служить аргументом передаточной функции цепи.

для данного сигнала в данный момент времени принимает одно единственное значение.

В обобщенной текстовой форме сигнал  может быть записан

, где ;  

Эта запись имеет специальное название — аналитический сигнал.

Аналитическим назовем сигнал, представленный в комплексной форме, (2.6.12) для которого справедливы соотношения (2.6.9)-(2.6.11) для огибающей , и мгновенной фазы , мгновенной частоты , выраженные через квадратурные компоненты сопряженные по Гильберту.

Сопряженным по Гильберту оказывается сигнал, имеющий тот же амплитудный спектр, что и исходный сигнал, а фазовый спектр сдвинутый  относительно исходного сигнала :

(2.6.14)

где — спектр Фурье, (комплексная спектральная плотность) исходного сигнала;

— амплитудный спектр;

— фазовый спектр.

Важно заметить, что для поиска четырех функций  достаточно знать две из них. Остальные легко определяются из приведенных выражений.

Понятие о преобразовании Гильберта.

Для того, чтобы однозначно сформулировать правило поиска  по виду сигнала  (с целью определения его огибающей  и мгновенных параметров), сформулируем требования к искомому результату.

Судя по рисунку (2.6.3), огибающая должна удовлетворять условию  при любом значении .

При  — в общих крайних точках — их производные совпадают;

Из сравнения (2.6.5—2.6.7) и (2.6.9—2.6.11), видно, что для гармонического колебания огибающая совпадает с амплитудой, а мгновенная частота — с частотой гармонического колебания;

Малым изменениям сигнала  должны соответствовать малые изменения  и ;

Мгновенная фаза и мгновенная частота не должны зависеть от мощности сигнала; это условие выполняется в случаи линейности оператора преобразования  в .

Единственным линейным оператором, при котором для всех гармонических сигналов выполняется условие 3), является преобразование Гильберта:

где сигналы  и  называются сопряженными по Гильберту.

В принципе, существуют несколько других преобразований, отвечающих некоторым отдельным свойствам и требованиям из перечисленных. Однако в совокупности только преобразование вида (2.6.13)  позволяет удовлетворить всем требованиям к огибающей и имеет ряд других полезных свойств.

Несмотря на внешнюю сложность преобразования (2.6.13), оно имеет достаточно простой физический смысл:

Очевидность и справедливость такого преобразования для гармонического сигнала  иллюстрировалась выше выражением (2.6.4)

Выводы:

В теории связи и общеинженерных приложениях кроме тригонометрической формы, используют комплексную форму представления сигналов.

Двойственность задач, возлагаемых на электрические (квазигармонические) сигналы (колебания):

“переносить” сообщения (низкочастотный сигнал)

“переносить” НЧ сигнал в среде передачи (ВЧ сигнал) — порождает постановку задачи о выделении огибающей (НЧ) из квазигармонического сигнала.

Определенные виды огибающей осуществляются на основе использования квадратурных компонент исходного сигнала , и сопряженного с ним (по Гильберту) сигнала .

получение сопряженного сигнала возможно с помощью линейного устройства, осуществляющего поворот фазы каждой гармонической компоненты  на (фазовращателя)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24163. Восстание декабристов 1825 г. 24.24 KB
  Особенностью движения декабристов было то что впервые носителем революционных идей стал класс дворянства. Движение декабристов зародилось во второй половине второго десятилетия XIX в. В своей эволюции организации декабристов прошли следующие этапы: 1816 г.
24164. Общественное движение в России в первой половине XIX в. 26.96 KB
  Чаадаев дал весьма мрачную оценку исторического прошлого России и ее роли в мировой истории он крайне пессимистически оценивал возможности общественного прогресса в России. Главной причиной отрыва России от европейской исторической традиции Чаадаев считал отказ от католицизма в пользу религии рабства православия. В России наступила реакция.
24165. Отмена крепостного права. Развитие капиталистических отношений 39.38 KB
  Развитие капиталистических отношений Хотя в России в начале XIX в. Наиболее дальновидные политики России начинали понимать что задержка в экономическом развитии и все возраставшее отставание страны от Запада не способствуют росту ее международного влияния и осложняют решение многих внутренних проблем. Именно с этим столкнулся Александр I в своих попытках преобразования России. в России был образован секретный комитет под руководством министра финансов графа Д.
24166. Внутренняя политика Никлая I 24.64 KB
  Наблюдательные современники уже тогда отмечали как главную черту Николая его самостоятельность. К 1819 произошли события резко менявшие положение Николая и открывавшие перед ним перспективы о каких он не мог и мечтать. Летом 1819 года Александр 1 впервые прямо сообщил младшему брату и его жене что намерен через некоторое время отказаться от престола в пользу Николая. Предполагалось захватить Зимний дворец Петропавловскую крепость убить Николая 1.
24167. Подготовка реформы 32.69 KB
  теперь подготовка крестьянского вопроса была поручена крупным помещикамкрепостникам включая министров Панина и Муравьева сменивших Киселева и Бибикова и председателя Секретного комитета по помещичьим крестьянам А. 3 января 1857 года был учреждён новый Секретный комитет по крестьянскому делу в составе 11 человек бывший шеф жандармов А. Назимову предусматривала уничтожение личной зависимости крестьян при сохранении всей земли в собственности помещиков вотчинная власть над крестьянами также согласно документу оставалась за помещиками;...
24168. Отмена крепостного права. Реформы 60-70-х годов 48.07 KB
  К решительным переменам подталкивали правительство крестьянские волнения конца 1850х годов а также необычные акции как стремление записаться в армию во время Крымской войны прошёл слух что добровольцы получат вольную или трезвенное движение охватившее ряд губерний когда сельские общества запрещали крестьянам пить вино под угрозой жестокой расправы. Для разработки реформы были созданы губернские комитеты которыми руководил Главный комитет по крестьянскому делу . Результатом работы комитетов явились следующие основные...
24169. Внешняя политика России во второй половине XIX в 25.03 KB
  Сложившийся англоавстрофранцузский блок гак называемая Крымская система был нацелен на сохранение политической изоляции России и ее военностратегической слабости обеспеченной решениями Парижского конгресса. В связи с этим главной задачей русской дипломатии стала борьба за отмену этой статьи и усиление международного авторитета России. дальневосточное направление во внешней политике России постепенно изменяло свой периферийный характер.
24170. ОБЩЕСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В РОССИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА 36.38 KB
  Второй центр возник в России вокруг редакции журнала Современник . В журнале Земля и воля в прокламациях Барским крестьянам от их доброжелателей поклон К молодому поколению Молодая Россия К солдатам Что нужно делать войску Великорусе они разъясняли народу задачи предстоящей революции обосновывали необходимость ликвидации самодержавия и демократического преобразования России справедливого решения аграрного вопроса.Чернышевского но разуверившись в возможности народной революции в России перешли к узко заговорщической и...
24171. Социально-экономическое развитие России в начале 20 века 24.35 KB
  ведущие мировые державы вступили в империалистическую стадию своего развития. Особенностью империалистической стадии развития российского государства стало отсутствие фактов вывоза капитала за рубеж. Несмотря на высокие темпы экономического развития Россия в начале 20 в. Однако в целом отставание аграрного сектора от темпов развития промышленности принимало форму острого противоречия что говорило о необходимости полного преодоления феодальных пережитков в российской деревне.