69038

Детерминированные сигналы. Специальные способы временного представления. Преобразование Гильберта

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Запись гармонического сигнала в виде (2.3.2) называется тригонометрической. Такая запись соответствует описанию колебательного движения некоторой тоски вдоль прямой (ось координат) во времени (Ось абсцисс). Кроме тригонометрической, часто используют запись в комплексной или экспоненциальной форме.

Русский

2014-09-29

167.5 KB

10 чел.

Лекция 2.6

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 1. Детерминированные сигналы. Специальные способы временного представления. Преобразование Гильберта.

Специальные способы временного представления детерминированных сигналов. Огибающая сигнала.

Понятие о преобразовании Гильберта.

/1/. 55-57

/2/. 44-51

/3/. 39-50


Учебные вопросы.

Специальные способы представления детерминированных сигналов. Огибающая сигнала.

Запись гармонического сигнала в виде (2.3.2) называется тригонометрической. Такая запись соответствует описанию колебательного движения некоторой тоски вдоль прямой (ось координат) во времени (Ось абсцисс).

Кроме тригонометрической, часто используют запись в комплексной или экспоненциальной форме.

Так запись вида:

(2.6.1)

соответствует описанию вращения против часовой стрелки вектора длинной А относительно неподвижной точки с круговой частотой и начальной фазой . (рис 2.6.1)

Тогда гармоническому колебанию вида (2.3.2) соответствует запись

(2.6.2)

которая в математическом смысле представляет собой действительную часть комплексной функции

(2.6.3)

Механическая интерпретация записи (2.6.2) заключается в представлении колебательного движения в виде проекции вращательного движения на одну ось  (действительных значений) (рис 2.6.2)

В свою очередь запись (2.6.4) содержит описание двух проекций колебания: на действительную ось — через , и описание проекции на мнимую ось — через функцию, полученную в результате изменения фазы  на .

Сигнал

(2.6.4)

называют сигналом, сопряженным с сигналом .

Очевидно, что

— амплитуда гармонического колебания, (2.6.5)

— полная фаза гармонического колебания, (2.6.6)

— круговая частота гармонического колебания. (2.6.7)

Поскольку гармоническое колебание вида (2.3.2) не встречается в природе (хотя и выступает удобной математической моделью) то при описании реальных сигналов пользуются  записью, называемой квазигармонической:

 (2.6.8)

То обстоятельство, что множитель  перестал быть константой, и зависит от времени (так же как и фаза ), придает сигналу вида (2.6.8) свойства, принципиально отличные от сигнала вида (2.3.2).

Пример “квазигармонического” сигнала представлен на рисунке 2.6.3.

На рисунке можно наблюдать проявления двух различных сигналов. Сигнал  соответствует первичному электрическому сигналу речевого сообщения. (он “несет” сообщение)

Одновременно можно видеть колебание с частотой , соответствующей частоте несущей, выполняющей роль переносчика первичного электрического сигнала в конкретной среде передачи. Судя по меняющейся “амплитуде”, результирующее колебание не Является гармоническим.

В точке приема, очевидно, интерес будет представлять не весь сигнал, а только те его признаки которые соответствуют . Колебания с частотой  не несут сообщения, но выполняют технически важную функцию. Применительно к записи (2.6.8). Эти признаки описываются множителем , который носит название огибающей квазигармонического колебания.

Если сигналу  вида (2.6.8) подобрать (по некоторому правилу) сопряженный сигнал , то по аналогии с (2.8.5) можно записать

(2.6.9)

В выражении (2.6.9) пара !! — квадратурные компоненты.

Тогда, по аналогии с (2.6.6), существует аргумент

(2.6.10)

называемый полной мгновенной фазой, а по аналогии с (2.6.7) вводится понятие мгновенной частоты.

 (2.6.11)

Слово “мгновенной” призвано подчеркнуть невозможность зафиксировать конкретное значение фазы и “частоты”  в колебании вида (2.6.8).

свойства “мгновенной частоты” поместим в ту же таблицу, где ранее были сведены свойства параметра “частота” гармонического колебания:

 зависит от времени t.

при прохождении сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами может изменяться.

не может служить аргументом передаточной функции цепи.

для данного сигнала в данный момент времени принимает одно единственное значение.

В обобщенной текстовой форме сигнал  может быть записан

, где ;  

Эта запись имеет специальное название — аналитический сигнал.

Аналитическим назовем сигнал, представленный в комплексной форме, (2.6.12) для которого справедливы соотношения (2.6.9)-(2.6.11) для огибающей , и мгновенной фазы , мгновенной частоты , выраженные через квадратурные компоненты сопряженные по Гильберту.

Сопряженным по Гильберту оказывается сигнал, имеющий тот же амплитудный спектр, что и исходный сигнал, а фазовый спектр сдвинутый  относительно исходного сигнала :

(2.6.14)

где — спектр Фурье, (комплексная спектральная плотность) исходного сигнала;

— амплитудный спектр;

— фазовый спектр.

Важно заметить, что для поиска четырех функций  достаточно знать две из них. Остальные легко определяются из приведенных выражений.

Понятие о преобразовании Гильберта.

Для того, чтобы однозначно сформулировать правило поиска  по виду сигнала  (с целью определения его огибающей  и мгновенных параметров), сформулируем требования к искомому результату.

Судя по рисунку (2.6.3), огибающая должна удовлетворять условию  при любом значении .

При  — в общих крайних точках — их производные совпадают;

Из сравнения (2.6.5—2.6.7) и (2.6.9—2.6.11), видно, что для гармонического колебания огибающая совпадает с амплитудой, а мгновенная частота — с частотой гармонического колебания;

Малым изменениям сигнала  должны соответствовать малые изменения  и ;

Мгновенная фаза и мгновенная частота не должны зависеть от мощности сигнала; это условие выполняется в случаи линейности оператора преобразования  в .

Единственным линейным оператором, при котором для всех гармонических сигналов выполняется условие 3), является преобразование Гильберта:

где сигналы  и  называются сопряженными по Гильберту.

В принципе, существуют несколько других преобразований, отвечающих некоторым отдельным свойствам и требованиям из перечисленных. Однако в совокупности только преобразование вида (2.6.13)  позволяет удовлетворить всем требованиям к огибающей и имеет ряд других полезных свойств.

Несмотря на внешнюю сложность преобразования (2.6.13), оно имеет достаточно простой физический смысл:

Очевидность и справедливость такого преобразования для гармонического сигнала  иллюстрировалась выше выражением (2.6.4)

Выводы:

В теории связи и общеинженерных приложениях кроме тригонометрической формы, используют комплексную форму представления сигналов.

Двойственность задач, возлагаемых на электрические (квазигармонические) сигналы (колебания):

“переносить” сообщения (низкочастотный сигнал)

“переносить” НЧ сигнал в среде передачи (ВЧ сигнал) — порождает постановку задачи о выделении огибающей (НЧ) из квазигармонического сигнала.

Определенные виды огибающей осуществляются на основе использования квадратурных компонент исходного сигнала , и сопряженного с ним (по Гильберту) сигнала .

получение сопряженного сигнала возможно с помощью линейного устройства, осуществляющего поворот фазы каждой гармонической компоненты  на (фазовращателя)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72531. Сырье для производства строительных материалов. Природные каменные материалы 58 KB
  Сырьем для изготовления всех неорганических строительных материалов каменных и металлов являются горные породы. Основное сырье для органических материалов нефть и каменный уголь можно также отнести к горным породам.
72532. Периодизация становления и развития отечественного уголовно-исполнительного права 55.5 KB
  Регламентация исполнения наказаний периода Российской империи. Система наказаний и процесс их исполнения по Судебникам 1497 и 1550 гг. Особенностью исполнения наказаний призванной усилить их превентивное воздействие стал их публичнопозорящий характер. Наращивался объем устрашающих наказаний.
72533. ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛОВА «МЕНЕДЖМЕНТ» 310 KB
  Трудно установить с предельной точностью, какова этимология термина «менеджмент». Однако истинное значение слова мы можем установить, выявляя его исторические корни. В античной Греции буквального аналога слову «менеджмент» не существовало.
72534. Программный интерфейс к файловой системе UNIX 70.42 KB
  Инициализация файла: трансляция имени файла в файловый дескриптор номер в таблице дескрипторов внутри процесса; Создание записи в системной файловой таблице которая содержит права доступа к файлу текущую позицию указателя в нем и другую информацию; эта таблица общая для всех процессов.
72535. ВОЗМОЖНОСТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.52 MB
  Но замедление скорости движения материальных товарных и финансовых потоков в логистической системе предприятия неминуемо приводит к уменьшению объема выпуска и реализации продукции снижению ее рентабельности при наличии авансированных ресурсов в неизменных размерах.
72536. Ценообразование в условиях монополии и олигополии 154.5 KB
  Поэтому кривая спроса на его продукцию относительно стабильна а цены на товары ограничены лишь покупательской оценкой их полезности относительно дохода и общим состоянием рыночной конъюнктуры. Например если фирма монополизирующая рынок упаковочных материалов установит на них неприемлемо...
72537. ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ В ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И СПОСОБЫ ИХ СНИЖЕНИЯ 363 KB
  На риски продавца связанные с оплатой по контракту и на риски покупателя связанные с доставкой товара существенно влияют установленные в контракте условия платежа. При этом регламентируются расходы по кредиту и платежам а также устанавливаются форма и путь оплаты.