69039

Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени то значение реализации процесса в этот момент называемое сечением является случайной величиной обладающей некоторыми вероятностными свойствами.

Русский

2014-09-29

256.5 KB

7 чел.

Лекция 2.7

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 7. Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики.

Определение сигнала как случайного процесса.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

/1/. 29-36

/2/. 19-25


Определение сигнала как случайного процесса.

Передача информации по каналу связи происходит во  времени. Поэтому сигнал, как физический процесс, участвующий в переносе информации, представляет собой функцию времени s(t). В электросвязи сигналом  s(t) является ток или напряжение ( в кабельной линии в устройстве связи).

Если бы функция s(t), передаваемая по каналу связи,  была однозначно определена на обоих концах канала,  то она не могла бы служить для передачи информации. Только случайная временная функция (случайный процесс) может являться  сигналом  -  переносчиком сообщения.

Говорят,  что сигнал является случайным  процессом потому, что  он  заранее  не  известен получателю или не может быть предсказан заранее.

При заданных  условиях  наблюдения  случайный сигнал s(t) может принимать ту или иную конкретную форму sR (t).  Эти  возможные формы  называются  реализациями  (рис.2.7.1).

Наличие различных реализаций сигнала позволяет ему переносить различную информацию. Для этого достаточно при осуществлении связи установить соответствие между каждым сообщением и определенными реализациями сигнала. Тогда по принятой реализации сигнала можно судить о том, какое сообщение выдал источник, то есть получить о нем информацию.

Таким образом, случайный процесс, как случайная функция времени выступает в качестве обобщенной математической модели передаваемого (или принимаемого) случайного сигнала. Поэтому в дальнейшем изложении речь пойдет о свойствах и описании случайных процессов, соответствующих таким сигналам.

Совокупность всех возможных реализаций { s (t) } случайного  процесса  s(t) называется ансамблем.

Итак, случайный процесс является ансамблем своих реализаций, каждая из которых представляет собой некоторую функцию времени. При этом предсказать точно, какова будет реализация в следующем наблюдении.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени , то значение реализации процесса в этот момент — называемое сечением— является случайной величиной, обладающей некоторыми вероятностными свойствами. Эти свойства проявляются через вероятности попадания (распределения) реализаций в некоторые области (подмножества) значений.

Задать случайный процесс — это значит указать вероятности попадания реализаций в определенную область значений. Например:

    Р { < s(t) <  , 0 < t < T }          и т.п.

    Сигнал и соответствующий ему случайный процесс может быть задан на всей оси времени (   < t <   ) или на промежутке времени (t1 < t <t2 ).

А. В случаи, когда число реализаций конечно,  можно  просто перечислить их и задать их вероятности.

Важно различать обозначения.

неслучайное число (константа)

неслучайный аргумент функции

случайная величина

оператор (функции)

событие.

Примеры.

1) Процесс s(t), заданный на всей оси - < t < ,значения которого на интервалах времени  от  (k - 1)T  до  kT  остаются постоянными (здесь  k  -  целое число) и принимают значения на каждом из этих интервалов значения  +1 или  -1,  независимо от значений на других интервалах, с вероятностями  соответственно p1  и  p2  = 1 - p1 .

    Отрезок реализации такого процесса показан на рис.2.7.2

Такой процесс может описывать (моделировать) первичный  сигнал на  выходе телеграфного устройства.

При р12=0.5 сигнал называется случайный синхронный ТАГ сигнал”.

2)Процесс s(t) задан на  промежутке 0 < t < T и имеет две реализации :

    s1 (t) = U0 cos   t;

    s2 (t) = U0 cos   t  -

с вероятностями p(s1 ) = p1 ,  p(s2 ) = p2  = 1 - p1  . (рис. 2.7.3)

Такой процесс может служить сигналом,  информационное содержание  которого определяется  значением  частоты (сигнал частотной манипуляции ).

В. Если число реализаций бесконечно,  то задание значений реализаций производится на основе выбора соответствующего закона распределения их вероятностей. В свою очередь закон распределения вероятностей случайных величин задается посредством неслучайных функций (функций распределения) и неслучайных чисел (числовых характеристик).

Сечению случайного процесса в момент  соответствует интегральная функция распределения.

(2.7.1)

где — вероятность того, что случайная величина  не превысит некоторого заданного значения .

Частная производная

 (2.7.2)

называется одномерной дифференциальной функцией распределения (иначе — плотностью вероятности) процесса  для

Размерность дифференциальной функции распределения (плотности распределения ) обратна размерности процесса .

Обратная зависимость между функциями  и  вводится через интегральное преобразование

 (2.7.3)

Аналогично вводится двумерная плотность вероятности  :   (2.7.4)

где   (2.7.5)

двумерная интегральная функция распределения.

Если значения случайной функции (процесса) при любых значениях независимы, то

  (2.7.6)

   (2.7.7)

где — неслучайные параметры нормального процесса при  условии их независимости от выбора момента .

Соответственно, интегральная функция распределения:

  (2.7.8)

Графическое изображение дифференциального  и интегрального распределений гауссова (нормального) процесса представлено на рисунке 2.7.4.

Знание закона распределения позволяет вычислить вероятности попадания значений реализаций в интересующие нас области.

Так, по определению:

  (2.7.9)

Тогда, как следствие,

  (2.7.10)

Вероятность попадания значений реализаций в интервал определяется

 (2.7.11)

Пример.

Для нормального закона распределения в частном случае, когда ,

(2.7.12)

где функция  называется интегралом вероятности или функцией Крампа:

   (2.7.13)

Соответственно

   (2.7.14)

  (2.7.15)

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

Наряду с  интегральной  и  дифференциальной   плотностями распределения  значений реализаций случайного процесса большую роль при описании сигналов играют числовые характеристики случайных процессов. Это, как правило, числа, получаемые в результате усреднения значений случайного процесса либо во  времени, либо по  совокупности (ансамблю) значений.  В последнем случай говорят о статистическом усреднении.

Среднее статистическое значение случайного процесса называется его  математическим ожиданием.

Если  w[s(t )] - одномерная плотность распределения вероятности процесса s(t) в момент времени  ,

    w1{s(tx )} =  w1 (u, tx)     (2.7.16)

то  его  математическое ожидание равно

 (2.7.17)

при условии, что s(t) принимает значения от -   до     .

В данном представлении математическое ожидание является функцией времени, то есть значение  зависит от выбора момента .

Функцией времени является в общем случае и  дисперсия  случайного процесса:

                                  2

    D {s(tx )} =  [s(tx )-M{s(tx)}]2 w1[s(tx )] ds ,  (2.7.18)

а также  функция корреляции  случайного процесса:

B{t0 ,tx }=  [s(t0 )-M{s(t0 )}][s(tx )-M{s(tx )}] w2 [s(t0 ),s(tx )] ds1 ds2 , (2.7.19)

где w2 [s(t0 ),s(tx )] - двумерная плотность распределения вероятностей для сечений процесса   и   .

Если M{s(t)} и D{s(t)} не зависят от выбора момента t,  а функция корреляции B{t0 ,tч } зависит только от значения разности

,

то случайный процесс называется стационарным (в широком смысле). Тогда используется обозначение B{ }, а из определения дисперсии и функции корреляции следует:

                      D{s(t)} = B{0}.   (2.7.20)

Для конкретной  реализации сигнала можно определить среднее значение по времени или постоянную составляющую:

   (2.7.21)

Разность

   (2.7.22)

называется  переменной составляющей реализации сигнала.

Среднее значение квадрата реализации определяется

  (2.7.23)

а среднее значение квадрата переменной составляющей

 (2.7.24)

Если s(t) представляет собой величину тока  или  напряжения, то  Рк  имеет физический смысл мощности, выделяемой на сопротивлении 1 Ом.  В дальнейшем величина Рк  будет  именоваться мощностью постоянной составляющей сигнала, а величина Рк-  -  мощностью переменной составляющей сигнала.

Временная функция корреляции  реализации сигнала определяется  с учетом обозначения (2.7.22)

(2.7.25)

Для многих  стационарных  процессов  средние  значения по времени совпадают со средними значениями по ансамблю, то есть

            (2.7.26)

    (2.7.27)

    (2.7.28)

    Такие процессы называются  эргодическими.

Для эргодических процессов к числу важнейших характеристик следует отнести функцию корреляции .

По своему физическому смыслу эта функция, с одной стороны, характеризует степень взаимосвязи между сечениями процесса  и , которая всегда ослабевает с увеличением значения  . (рис. 2.7.5)

.

Если   (2.7.29), (2.7.30)

говорят, что между значениями сечений процесса не существует связи (любые сечения некоррелированны) Если справедливо (2.7.30), а условие (2..7.29) не выполняется, то говорят, что взаимную связь между сечениями процесса  следует считать несущественной (их можно считать некоррелированными) только при значениях :

  (2.7.31)

где  называется интервалом корреляции.

С другой стороны, исходя из (2.7.20), (2.7.27), (2.7.28)

  (2.7.32)

то есть значение функции корреляции эргодического процесса при  совпадает со средней мощностью этого процесса.

Пример.

Для нормального стационарного процесса  числовыми характеристиками закона распределения являются:

математическое ожидание ;

дисперсия

где ,  — параметры закона распределения (2.7.7) и (2.7.8).

Иначе говоря, с учетом (2.7.17) и (2.7.7),

(2.7.33)

Аналогично   (2.7.34)

Нормальный стационарный случайный процесс (и его функции распределения любого порядка) полностью задается своим математическим ожиданием  и функцией корреляции . Так, двумерная плотность вероятности имеет вид:

(2.7.35)

где — коэффициент корреляции.   (2.7.36)

Существенная особенность НССП заключается в том, что здесь понятия независимости (см.2.7.6) и не коррелированности (см. 2.7.29) равнозначны: некоррелированные сечения всегда независимы. Это правило не всегда справедливо для других видов случайных процессов.

Эргодичность НССП определяется видом его функции корреляции .

Достаточным условием эргодичности НССП является сходимость интеграла

     (2.7.37)

Так, например, для непрерывного нормального стационарного процесса без последствий (винеровский процесс):

    (2.7.38)

условие (2.7.37) выполняется. Следовательно, нормальный процесс с функцией корреляции вида (2.7.38) обязательно эргодический.

Перечисленные свойства случайных процессов как моделей случайных сигналов являются наиболее общими. В последующем будут приведены дополнительные сведения об описании сигналов и помех в реальных каналах связи с помощью математических моделей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24157. Эпоха дворцовых переворотов 28.27 KB
  В первые годы прошедшие со смерти Петра Великого судьбу русского престола нельзя назвать благополучной: с 1725 г. Причинами дворцовых переворотов по мнению большинства историков стали: ü указ Петра 1 от 1722 года о наследии престола; ü большое количество прямых и косвенных наследников дома Романовых; ü противоречия между самодержавной властью правящей верхушкой и господствующим сословием. К концу правления Петра I напряженность отношений в этом треугольнике достигла критической отметки что было вызвано крайне невыгодным для...
24159. Основные задачи внешней политики России во второй половине XVIII в 30.7 KB
  Однако нерешенным оставались две внешнеполитические задачи: 1 овладение выходом в Азовское и Черное моря; 2 воссоединение Правобережной Украины с Левобережной и включение Белоруссии в состав России. Крым был включен в состав России. Георгиевске по которому Грузия переходила под покровительство России.
24160. Культура России XVIII веке 27.48 KB
  В центре общественнополитической мысли со второй половины XVIII века была критика крепостничества А. Русская литература XVIII века представлена именами М. В первой половине века господствующим стилем был барокко от итальянского вычурный крупнейшим мастером которого был Б.
24161. Россия в I четверти XIX века 34.9 KB
  Основу экономики России составляло сельское хозяйство. Промышленное развитие России несмотря на общее увеличение количества предприятий примерно в 5 раз было невысоким. В центре России существовали крупные промышленные села на прим. Этот период истории России характеризуется борьбой двух направлений во внутренней политике: либерального и консервативного.
24162. Отечественная Война 1812 29.87 KB
  Война Франции и России была неизбежна и 12 июня 1812 года собрав 600 тысячную армию Наполеон форсировал Неман и вторгся в пределы России. Война 1812 года поистине была Отечественной. Отечественная Война 1812 года закончилась а вот кампания Наполеоновских войн была только в самом разгаре.
24163. Восстание декабристов 1825 г. 24.24 KB
  Особенностью движения декабристов было то что впервые носителем революционных идей стал класс дворянства. Движение декабристов зародилось во второй половине второго десятилетия XIX в. В своей эволюции организации декабристов прошли следующие этапы: 1816 г.
24164. Общественное движение в России в первой половине XIX в. 26.96 KB
  Чаадаев дал весьма мрачную оценку исторического прошлого России и ее роли в мировой истории он крайне пессимистически оценивал возможности общественного прогресса в России. Главной причиной отрыва России от европейской исторической традиции Чаадаев считал отказ от католицизма в пользу религии рабства православия. В России наступила реакция.
24165. Отмена крепостного права. Развитие капиталистических отношений 39.38 KB
  Развитие капиталистических отношений Хотя в России в начале XIX в. Наиболее дальновидные политики России начинали понимать что задержка в экономическом развитии и все возраставшее отставание страны от Запада не способствуют росту ее международного влияния и осложняют решение многих внутренних проблем. Именно с этим столкнулся Александр I в своих попытках преобразования России. в России был образован секретный комитет под руководством министра финансов графа Д.