69039

Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени то значение реализации процесса в этот момент называемое сечением является случайной величиной обладающей некоторыми вероятностными свойствами.

Русский

2014-09-29

256.5 KB

12 чел.

Лекция 2.7

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 7. Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики.

Определение сигнала как случайного процесса.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

/1/. 29-36

/2/. 19-25


Определение сигнала как случайного процесса.

Передача информации по каналу связи происходит во  времени. Поэтому сигнал, как физический процесс, участвующий в переносе информации, представляет собой функцию времени s(t). В электросвязи сигналом  s(t) является ток или напряжение ( в кабельной линии в устройстве связи).

Если бы функция s(t), передаваемая по каналу связи,  была однозначно определена на обоих концах канала,  то она не могла бы служить для передачи информации. Только случайная временная функция (случайный процесс) может являться  сигналом  -  переносчиком сообщения.

Говорят,  что сигнал является случайным  процессом потому, что  он  заранее  не  известен получателю или не может быть предсказан заранее.

При заданных  условиях  наблюдения  случайный сигнал s(t) может принимать ту или иную конкретную форму sR (t).  Эти  возможные формы  называются  реализациями  (рис.2.7.1).

Наличие различных реализаций сигнала позволяет ему переносить различную информацию. Для этого достаточно при осуществлении связи установить соответствие между каждым сообщением и определенными реализациями сигнала. Тогда по принятой реализации сигнала можно судить о том, какое сообщение выдал источник, то есть получить о нем информацию.

Таким образом, случайный процесс, как случайная функция времени выступает в качестве обобщенной математической модели передаваемого (или принимаемого) случайного сигнала. Поэтому в дальнейшем изложении речь пойдет о свойствах и описании случайных процессов, соответствующих таким сигналам.

Совокупность всех возможных реализаций { s (t) } случайного  процесса  s(t) называется ансамблем.

Итак, случайный процесс является ансамблем своих реализаций, каждая из которых представляет собой некоторую функцию времени. При этом предсказать точно, какова будет реализация в следующем наблюдении.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени , то значение реализации процесса в этот момент — называемое сечением— является случайной величиной, обладающей некоторыми вероятностными свойствами. Эти свойства проявляются через вероятности попадания (распределения) реализаций в некоторые области (подмножества) значений.

Задать случайный процесс — это значит указать вероятности попадания реализаций в определенную область значений. Например:

    Р { < s(t) <  , 0 < t < T }          и т.п.

    Сигнал и соответствующий ему случайный процесс может быть задан на всей оси времени (   < t <   ) или на промежутке времени (t1 < t <t2 ).

А. В случаи, когда число реализаций конечно,  можно  просто перечислить их и задать их вероятности.

Важно различать обозначения.

неслучайное число (константа)

неслучайный аргумент функции

случайная величина

оператор (функции)

событие.

Примеры.

1) Процесс s(t), заданный на всей оси - < t < ,значения которого на интервалах времени  от  (k - 1)T  до  kT  остаются постоянными (здесь  k  -  целое число) и принимают значения на каждом из этих интервалов значения  +1 или  -1,  независимо от значений на других интервалах, с вероятностями  соответственно p1  и  p2  = 1 - p1 .

    Отрезок реализации такого процесса показан на рис.2.7.2

Такой процесс может описывать (моделировать) первичный  сигнал на  выходе телеграфного устройства.

При р12=0.5 сигнал называется случайный синхронный ТАГ сигнал”.

2)Процесс s(t) задан на  промежутке 0 < t < T и имеет две реализации :

    s1 (t) = U0 cos   t;

    s2 (t) = U0 cos   t  -

с вероятностями p(s1 ) = p1 ,  p(s2 ) = p2  = 1 - p1  . (рис. 2.7.3)

Такой процесс может служить сигналом,  информационное содержание  которого определяется  значением  частоты (сигнал частотной манипуляции ).

В. Если число реализаций бесконечно,  то задание значений реализаций производится на основе выбора соответствующего закона распределения их вероятностей. В свою очередь закон распределения вероятностей случайных величин задается посредством неслучайных функций (функций распределения) и неслучайных чисел (числовых характеристик).

Сечению случайного процесса в момент  соответствует интегральная функция распределения.

(2.7.1)

где — вероятность того, что случайная величина  не превысит некоторого заданного значения .

Частная производная

 (2.7.2)

называется одномерной дифференциальной функцией распределения (иначе — плотностью вероятности) процесса  для

Размерность дифференциальной функции распределения (плотности распределения ) обратна размерности процесса .

Обратная зависимость между функциями  и  вводится через интегральное преобразование

 (2.7.3)

Аналогично вводится двумерная плотность вероятности  :   (2.7.4)

где   (2.7.5)

двумерная интегральная функция распределения.

Если значения случайной функции (процесса) при любых значениях независимы, то

  (2.7.6)

   (2.7.7)

где — неслучайные параметры нормального процесса при  условии их независимости от выбора момента .

Соответственно, интегральная функция распределения:

  (2.7.8)

Графическое изображение дифференциального  и интегрального распределений гауссова (нормального) процесса представлено на рисунке 2.7.4.

Знание закона распределения позволяет вычислить вероятности попадания значений реализаций в интересующие нас области.

Так, по определению:

  (2.7.9)

Тогда, как следствие,

  (2.7.10)

Вероятность попадания значений реализаций в интервал определяется

 (2.7.11)

Пример.

Для нормального закона распределения в частном случае, когда ,

(2.7.12)

где функция  называется интегралом вероятности или функцией Крампа:

   (2.7.13)

Соответственно

   (2.7.14)

  (2.7.15)

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

Наряду с  интегральной  и  дифференциальной   плотностями распределения  значений реализаций случайного процесса большую роль при описании сигналов играют числовые характеристики случайных процессов. Это, как правило, числа, получаемые в результате усреднения значений случайного процесса либо во  времени, либо по  совокупности (ансамблю) значений.  В последнем случай говорят о статистическом усреднении.

Среднее статистическое значение случайного процесса называется его  математическим ожиданием.

Если  w[s(t )] - одномерная плотность распределения вероятности процесса s(t) в момент времени  ,

    w1{s(tx )} =  w1 (u, tx)     (2.7.16)

то  его  математическое ожидание равно

 (2.7.17)

при условии, что s(t) принимает значения от -   до     .

В данном представлении математическое ожидание является функцией времени, то есть значение  зависит от выбора момента .

Функцией времени является в общем случае и  дисперсия  случайного процесса:

                                  2

    D {s(tx )} =  [s(tx )-M{s(tx)}]2 w1[s(tx )] ds ,  (2.7.18)

а также  функция корреляции  случайного процесса:

B{t0 ,tx }=  [s(t0 )-M{s(t0 )}][s(tx )-M{s(tx )}] w2 [s(t0 ),s(tx )] ds1 ds2 , (2.7.19)

где w2 [s(t0 ),s(tx )] - двумерная плотность распределения вероятностей для сечений процесса   и   .

Если M{s(t)} и D{s(t)} не зависят от выбора момента t,  а функция корреляции B{t0 ,tч } зависит только от значения разности

,

то случайный процесс называется стационарным (в широком смысле). Тогда используется обозначение B{ }, а из определения дисперсии и функции корреляции следует:

                      D{s(t)} = B{0}.   (2.7.20)

Для конкретной  реализации сигнала можно определить среднее значение по времени или постоянную составляющую:

   (2.7.21)

Разность

   (2.7.22)

называется  переменной составляющей реализации сигнала.

Среднее значение квадрата реализации определяется

  (2.7.23)

а среднее значение квадрата переменной составляющей

 (2.7.24)

Если s(t) представляет собой величину тока  или  напряжения, то  Рк  имеет физический смысл мощности, выделяемой на сопротивлении 1 Ом.  В дальнейшем величина Рк  будет  именоваться мощностью постоянной составляющей сигнала, а величина Рк-  -  мощностью переменной составляющей сигнала.

Временная функция корреляции  реализации сигнала определяется  с учетом обозначения (2.7.22)

(2.7.25)

Для многих  стационарных  процессов  средние  значения по времени совпадают со средними значениями по ансамблю, то есть

            (2.7.26)

    (2.7.27)

    (2.7.28)

    Такие процессы называются  эргодическими.

Для эргодических процессов к числу важнейших характеристик следует отнести функцию корреляции .

По своему физическому смыслу эта функция, с одной стороны, характеризует степень взаимосвязи между сечениями процесса  и , которая всегда ослабевает с увеличением значения  . (рис. 2.7.5)

.

Если   (2.7.29), (2.7.30)

говорят, что между значениями сечений процесса не существует связи (любые сечения некоррелированны) Если справедливо (2.7.30), а условие (2..7.29) не выполняется, то говорят, что взаимную связь между сечениями процесса  следует считать несущественной (их можно считать некоррелированными) только при значениях :

  (2.7.31)

где  называется интервалом корреляции.

С другой стороны, исходя из (2.7.20), (2.7.27), (2.7.28)

  (2.7.32)

то есть значение функции корреляции эргодического процесса при  совпадает со средней мощностью этого процесса.

Пример.

Для нормального стационарного процесса  числовыми характеристиками закона распределения являются:

математическое ожидание ;

дисперсия

где ,  — параметры закона распределения (2.7.7) и (2.7.8).

Иначе говоря, с учетом (2.7.17) и (2.7.7),

(2.7.33)

Аналогично   (2.7.34)

Нормальный стационарный случайный процесс (и его функции распределения любого порядка) полностью задается своим математическим ожиданием  и функцией корреляции . Так, двумерная плотность вероятности имеет вид:

(2.7.35)

где — коэффициент корреляции.   (2.7.36)

Существенная особенность НССП заключается в том, что здесь понятия независимости (см.2.7.6) и не коррелированности (см. 2.7.29) равнозначны: некоррелированные сечения всегда независимы. Это правило не всегда справедливо для других видов случайных процессов.

Эргодичность НССП определяется видом его функции корреляции .

Достаточным условием эргодичности НССП является сходимость интеграла

     (2.7.37)

Так, например, для непрерывного нормального стационарного процесса без последствий (винеровский процесс):

    (2.7.38)

условие (2.7.37) выполняется. Следовательно, нормальный процесс с функцией корреляции вида (2.7.38) обязательно эргодический.

Перечисленные свойства случайных процессов как моделей случайных сигналов являются наиболее общими. В последующем будут приведены дополнительные сведения об описании сигналов и помех в реальных каналах связи с помощью математических моделей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40764. Загальнофілософські методи дослідження держави і права 46.68 KB
  Узагальнивши існуючі в літературі наукові погляди стосовно класифікації методів вважаємо за можливе виокремити наступні рівні прийомів вивчення субєкту теорії держави та права. Загальнофілософські методи складають світоглядову основу дослідження держави і права. Вони створюють основу для розвитку теорії держави і права.
40765. ПОНЯТИЕ МЕЖДУНАРОДНОГО МЕНЕДЖМЕНТА 35.09 KB
  ПОНЯТИЕ МЕЖДУНАРОДНОГО МЕНЕДЖМЕНТА Международный бизнес: сущность развитие характерные черты Перед определением категории международный менеджмент необходимо дать понятие категории международный бизнес как одной из основных форм предпринимательства заключающейся в сотрудничестве хозяйствующих субъектов 2 или более стран с целью извлечения выгоды. Это ключевой момент как в понимании природы и специфики международного бизнеса так и в объяснении возникновения и развития международного менеджмента. Периодизация развития международного...
40766. Стилістика як мовознавча дисципліна Стилістична система української мови. Стилістична норма 670.91 KB
  Стилістика як мовознавча дисципліна Стилістична система української мови. Стилістична норма Мета: поглибити знання студентів про систему стилів ознайомити студентів із стилістичними нормами набуття ними знань щодо стилістичних особливостей сучасної української літературної мови; вивчення особливостей функціонування офіційноділового наукового публіцистичного художнього та розмовного стилів розкрити усі параметри їх характеристик їх різновиди; розвивати вміння будувати висловлювання за даним стилем; виховувати мовне чуття яке...
40767. Ординалістська теорія поведінки споживача. Гранична норма заміщення благ: суть і методика обчислення 61.08 KB
  Криві байдужості як спеціальний інструментарій мікроекономічного аналізу. Карта байдужості. Із цієї гіпотези можна зробити висновок що криві байдужості випуклі до початку координат. Крива байдужості Залежність сукупної корисності від кількості двох товарів TU крива споживчої байдужості однакової сукупної корисності.
40768. МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧА НА РИНКУ ТОВАРІВ 138.97 KB
  Тоді формула бюджетного обмеження матиме вигляд: Гранична норма заміщення благом Х витрат споживача на інші блага виражається в грошовій формі й означає міру готовності пожертвувати можливістю витратити бюджет на інші блага задля споживання додаткової одиниці Х залишаючись на даній кривій байдужості.Побудова лінії Енгеля на основі лінії дохід ...
40769. Попит, пропозиція їх взаємовідносини 78.95 KB
  Такими є основні контури моделі в теорії попиту і пропозиції що посідає одне з найважливіших місць у поясненні поведінки ринкових субєктів як на мікро так і на макрорівні. Функція на якій базується модель попиту має вигляд 5.1 де QD обсяг величина попиту на товар одиниць за проміжок часу; P ціна на товар грош. Обсяг величина попиту є саме такою кількістю товару яку бажає і може придбати споживач споживачі в певний проміжок часу за деякою ціною з діапазону можливих цін за інших незмінних умов.
40770. Економічна природа лізингового кредиту 32.86 KB
  Об'єктом предметом лізингу є будьяке нерухоме і рухоме майно яке може бути віднесене до основних фондів: машини устаткування транспортні засоби обчислювальна та інша техніка будинки споруди системи телекомунікацій тощо не заборонене законодавством до вільного обігу на ринку. Суб'єктами лізингу як правило є три особи: постачальник або продавець предмету лізингу підприємство організація та інші суб'єкти господарювання які здійснюють виробництво і реалізацію машин і обладнання; лізингодавець суб'єкт господарювання який...
40771. Валютні відносини та валютні системи 444.55 KB
  Поняття та види валюти. У цей момент національні гроші набувають форми валюти. Використання валюти для обслуговування зовнішньоекономічних відносин надає останнім специфічної форми валютних відносин. Залежно від економічного призначення валютних платежів у валютних відносинах можна виділити такі складові: міжнародні розрахунки за зовнішньоторговельними операціями; одержання і погашення різних видів міжнародних позичок; переміщення валюти при здійсненні зовнішніх інвестицій; переміщення валюти при наданні економічної і технічної...
40772. Логос античної і середньовічної філософії 40.42 KB
  Античні філософи Анаксагор Анаксімандр Анаксімен Аристокл Аристотель Геракліт Гіппій Горгій Демокріт Демокріт Емпедокл Епіктет Епікур Зенон Ксенофан Левкіп Лукрецій Кар Марк Аврелій Марк Терренцій Варрон Меліс Панецій Парменід Піфагор Платон Плотін Порфирій Посідоній Прарменід Продік Прокл Протагор Сенека Сократ Фалес Ціцерон Антична філософія. Давньогрецька філософія класичного періоду. Філософія Арістотеля: логіка метафізика етика. Елліністична і римська філософія...