69039

Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени то значение реализации процесса в этот момент называемое сечением является случайной величиной обладающей некоторыми вероятностными свойствами.

Русский

2014-09-29

256.5 KB

7 чел.

Лекция 2.7

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 7. Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики.

Определение сигнала как случайного процесса.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

/1/. 29-36

/2/. 19-25


Определение сигнала как случайного процесса.

Передача информации по каналу связи происходит во  времени. Поэтому сигнал, как физический процесс, участвующий в переносе информации, представляет собой функцию времени s(t). В электросвязи сигналом  s(t) является ток или напряжение ( в кабельной линии в устройстве связи).

Если бы функция s(t), передаваемая по каналу связи,  была однозначно определена на обоих концах канала,  то она не могла бы служить для передачи информации. Только случайная временная функция (случайный процесс) может являться  сигналом  -  переносчиком сообщения.

Говорят,  что сигнал является случайным  процессом потому, что  он  заранее  не  известен получателю или не может быть предсказан заранее.

При заданных  условиях  наблюдения  случайный сигнал s(t) может принимать ту или иную конкретную форму sR (t).  Эти  возможные формы  называются  реализациями  (рис.2.7.1).

Наличие различных реализаций сигнала позволяет ему переносить различную информацию. Для этого достаточно при осуществлении связи установить соответствие между каждым сообщением и определенными реализациями сигнала. Тогда по принятой реализации сигнала можно судить о том, какое сообщение выдал источник, то есть получить о нем информацию.

Таким образом, случайный процесс, как случайная функция времени выступает в качестве обобщенной математической модели передаваемого (или принимаемого) случайного сигнала. Поэтому в дальнейшем изложении речь пойдет о свойствах и описании случайных процессов, соответствующих таким сигналам.

Совокупность всех возможных реализаций { s (t) } случайного  процесса  s(t) называется ансамблем.

Итак, случайный процесс является ансамблем своих реализаций, каждая из которых представляет собой некоторую функцию времени. При этом предсказать точно, какова будет реализация в следующем наблюдении.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени , то значение реализации процесса в этот момент — называемое сечением— является случайной величиной, обладающей некоторыми вероятностными свойствами. Эти свойства проявляются через вероятности попадания (распределения) реализаций в некоторые области (подмножества) значений.

Задать случайный процесс — это значит указать вероятности попадания реализаций в определенную область значений. Например:

    Р { < s(t) <  , 0 < t < T }          и т.п.

    Сигнал и соответствующий ему случайный процесс может быть задан на всей оси времени (   < t <   ) или на промежутке времени (t1 < t <t2 ).

А. В случаи, когда число реализаций конечно,  можно  просто перечислить их и задать их вероятности.

Важно различать обозначения.

неслучайное число (константа)

неслучайный аргумент функции

случайная величина

оператор (функции)

событие.

Примеры.

1) Процесс s(t), заданный на всей оси - < t < ,значения которого на интервалах времени  от  (k - 1)T  до  kT  остаются постоянными (здесь  k  -  целое число) и принимают значения на каждом из этих интервалов значения  +1 или  -1,  независимо от значений на других интервалах, с вероятностями  соответственно p1  и  p2  = 1 - p1 .

    Отрезок реализации такого процесса показан на рис.2.7.2

Такой процесс может описывать (моделировать) первичный  сигнал на  выходе телеграфного устройства.

При р12=0.5 сигнал называется случайный синхронный ТАГ сигнал”.

2)Процесс s(t) задан на  промежутке 0 < t < T и имеет две реализации :

    s1 (t) = U0 cos   t;

    s2 (t) = U0 cos   t  -

с вероятностями p(s1 ) = p1 ,  p(s2 ) = p2  = 1 - p1  . (рис. 2.7.3)

Такой процесс может служить сигналом,  информационное содержание  которого определяется  значением  частоты (сигнал частотной манипуляции ).

В. Если число реализаций бесконечно,  то задание значений реализаций производится на основе выбора соответствующего закона распределения их вероятностей. В свою очередь закон распределения вероятностей случайных величин задается посредством неслучайных функций (функций распределения) и неслучайных чисел (числовых характеристик).

Сечению случайного процесса в момент  соответствует интегральная функция распределения.

(2.7.1)

где — вероятность того, что случайная величина  не превысит некоторого заданного значения .

Частная производная

 (2.7.2)

называется одномерной дифференциальной функцией распределения (иначе — плотностью вероятности) процесса  для

Размерность дифференциальной функции распределения (плотности распределения ) обратна размерности процесса .

Обратная зависимость между функциями  и  вводится через интегральное преобразование

 (2.7.3)

Аналогично вводится двумерная плотность вероятности  :   (2.7.4)

где   (2.7.5)

двумерная интегральная функция распределения.

Если значения случайной функции (процесса) при любых значениях независимы, то

  (2.7.6)

   (2.7.7)

где — неслучайные параметры нормального процесса при  условии их независимости от выбора момента .

Соответственно, интегральная функция распределения:

  (2.7.8)

Графическое изображение дифференциального  и интегрального распределений гауссова (нормального) процесса представлено на рисунке 2.7.4.

Знание закона распределения позволяет вычислить вероятности попадания значений реализаций в интересующие нас области.

Так, по определению:

  (2.7.9)

Тогда, как следствие,

  (2.7.10)

Вероятность попадания значений реализаций в интервал определяется

 (2.7.11)

Пример.

Для нормального закона распределения в частном случае, когда ,

(2.7.12)

где функция  называется интегралом вероятности или функцией Крампа:

   (2.7.13)

Соответственно

   (2.7.14)

  (2.7.15)

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

Наряду с  интегральной  и  дифференциальной   плотностями распределения  значений реализаций случайного процесса большую роль при описании сигналов играют числовые характеристики случайных процессов. Это, как правило, числа, получаемые в результате усреднения значений случайного процесса либо во  времени, либо по  совокупности (ансамблю) значений.  В последнем случай говорят о статистическом усреднении.

Среднее статистическое значение случайного процесса называется его  математическим ожиданием.

Если  w[s(t )] - одномерная плотность распределения вероятности процесса s(t) в момент времени  ,

    w1{s(tx )} =  w1 (u, tx)     (2.7.16)

то  его  математическое ожидание равно

 (2.7.17)

при условии, что s(t) принимает значения от -   до     .

В данном представлении математическое ожидание является функцией времени, то есть значение  зависит от выбора момента .

Функцией времени является в общем случае и  дисперсия  случайного процесса:

                                  2

    D {s(tx )} =  [s(tx )-M{s(tx)}]2 w1[s(tx )] ds ,  (2.7.18)

а также  функция корреляции  случайного процесса:

B{t0 ,tx }=  [s(t0 )-M{s(t0 )}][s(tx )-M{s(tx )}] w2 [s(t0 ),s(tx )] ds1 ds2 , (2.7.19)

где w2 [s(t0 ),s(tx )] - двумерная плотность распределения вероятностей для сечений процесса   и   .

Если M{s(t)} и D{s(t)} не зависят от выбора момента t,  а функция корреляции B{t0 ,tч } зависит только от значения разности

,

то случайный процесс называется стационарным (в широком смысле). Тогда используется обозначение B{ }, а из определения дисперсии и функции корреляции следует:

                      D{s(t)} = B{0}.   (2.7.20)

Для конкретной  реализации сигнала можно определить среднее значение по времени или постоянную составляющую:

   (2.7.21)

Разность

   (2.7.22)

называется  переменной составляющей реализации сигнала.

Среднее значение квадрата реализации определяется

  (2.7.23)

а среднее значение квадрата переменной составляющей

 (2.7.24)

Если s(t) представляет собой величину тока  или  напряжения, то  Рк  имеет физический смысл мощности, выделяемой на сопротивлении 1 Ом.  В дальнейшем величина Рк  будет  именоваться мощностью постоянной составляющей сигнала, а величина Рк-  -  мощностью переменной составляющей сигнала.

Временная функция корреляции  реализации сигнала определяется  с учетом обозначения (2.7.22)

(2.7.25)

Для многих  стационарных  процессов  средние  значения по времени совпадают со средними значениями по ансамблю, то есть

            (2.7.26)

    (2.7.27)

    (2.7.28)

    Такие процессы называются  эргодическими.

Для эргодических процессов к числу важнейших характеристик следует отнести функцию корреляции .

По своему физическому смыслу эта функция, с одной стороны, характеризует степень взаимосвязи между сечениями процесса  и , которая всегда ослабевает с увеличением значения  . (рис. 2.7.5)

.

Если   (2.7.29), (2.7.30)

говорят, что между значениями сечений процесса не существует связи (любые сечения некоррелированны) Если справедливо (2.7.30), а условие (2..7.29) не выполняется, то говорят, что взаимную связь между сечениями процесса  следует считать несущественной (их можно считать некоррелированными) только при значениях :

  (2.7.31)

где  называется интервалом корреляции.

С другой стороны, исходя из (2.7.20), (2.7.27), (2.7.28)

  (2.7.32)

то есть значение функции корреляции эргодического процесса при  совпадает со средней мощностью этого процесса.

Пример.

Для нормального стационарного процесса  числовыми характеристиками закона распределения являются:

математическое ожидание ;

дисперсия

где ,  — параметры закона распределения (2.7.7) и (2.7.8).

Иначе говоря, с учетом (2.7.17) и (2.7.7),

(2.7.33)

Аналогично   (2.7.34)

Нормальный стационарный случайный процесс (и его функции распределения любого порядка) полностью задается своим математическим ожиданием  и функцией корреляции . Так, двумерная плотность вероятности имеет вид:

(2.7.35)

где — коэффициент корреляции.   (2.7.36)

Существенная особенность НССП заключается в том, что здесь понятия независимости (см.2.7.6) и не коррелированности (см. 2.7.29) равнозначны: некоррелированные сечения всегда независимы. Это правило не всегда справедливо для других видов случайных процессов.

Эргодичность НССП определяется видом его функции корреляции .

Достаточным условием эргодичности НССП является сходимость интеграла

     (2.7.37)

Так, например, для непрерывного нормального стационарного процесса без последствий (винеровский процесс):

    (2.7.38)

условие (2.7.37) выполняется. Следовательно, нормальный процесс с функцией корреляции вида (2.7.38) обязательно эргодический.

Перечисленные свойства случайных процессов как моделей случайных сигналов являются наиболее общими. В последующем будут приведены дополнительные сведения об описании сигналов и помех в реальных каналах связи с помощью математических моделей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56556. Сценарій позакласного заходу «Лицарський турнір» 122.5 KB
  Король Хлодвіг А зараз ми проведемо спортивний конкурс аби ви хоч трішки розім’ялись та показали хто спритніший в гонці на конях. Конкурс Найкращий гонец Учасники загону повинні за командою Герольда по одному пробігти на конях дистанцію на швидкість.
56557. Турнір знавців Франції 31.5 KB
  Мета заходу: практична: навчити учнів використовувати знання, отримані при вивченні теми; розвивати мовлєневі навички; освітня: узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Франція»; розвивальна: розвивати пам’ять, логічне мислення, увагу...
56558. Турнір допитливих та кмітливих 50 KB
  Мета: закріпити знання з вивчених предметів; розвивати у дітей мовлення, пам'ять, кмітливість і старанність, уміння розгадувати ребуси, загадки; виховувати почуття відповідальності за команду.
56559. Государственная служба какмеханизм государственного управления 131.5 KB
  Народ осуществляет свою власть непосредственно, а также через органы государственной власти, самоуправления, политические партии и общественные организации, что в своей совокупности составляет политическую систему. Особое место в этой системе занимает государство
56560. Турнир знатоков информатики 120 KB
  Цели: Воспитательная: воспитание умения работать в команде, уважения к сопернику, воспитание чувства ответственности; Учебная: теоретическое повторение ранее изученного материала в увлекательной форме...
56561. Турнір «Лицарі ввічливості» 243.5 KB
  Привітання І команди: Посміхнися стане день ясніш І веселка тобі також посміхнеться А від цього буде веселіш Ще не раз до тебе посмішка вернеться. Привітання II команди: Як без сонця жодна не росте рослина Так без слова доброго не живе людина. Конкурс Розминка Запитання для І команди.
56562. Педагогічний турнір «Гра — господиня освітнього процесу» 102 KB
  Гра виконує в суспільстві певні функції: передачі накопиченого суспільно-історичного досвіду; відтворення суспільних відносин людей; здійснення всебічного гармонійного розвитку; відображення оточуючого світу; ріднить з мистецтвом; виявляє самодіяльність людей...
56564. Велика літера у кличках тварин. Складання опису тварин 40 KB
  Мета. Поглибити й розширити знання учнів про вживання великої літери на письмі; вчити писати клички тварин з великої літери; розрізняти назви тварин та їх клички; розвивати мовні вміння...