69039

Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени то значение реализации процесса в этот момент называемое сечением является случайной величиной обладающей некоторыми вероятностными свойствами.

Русский

2014-09-29

256.5 KB

11 чел.

Лекция 2.7

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 7. Сигнал как случайный процесс. Математические модели. Характеристики.

Определение сигнала как случайного процесса.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

/1/. 29-36

/2/. 19-25


Определение сигнала как случайного процесса.

Передача информации по каналу связи происходит во  времени. Поэтому сигнал, как физический процесс, участвующий в переносе информации, представляет собой функцию времени s(t). В электросвязи сигналом  s(t) является ток или напряжение ( в кабельной линии в устройстве связи).

Если бы функция s(t), передаваемая по каналу связи,  была однозначно определена на обоих концах канала,  то она не могла бы служить для передачи информации. Только случайная временная функция (случайный процесс) может являться  сигналом  -  переносчиком сообщения.

Говорят,  что сигнал является случайным  процессом потому, что  он  заранее  не  известен получателю или не может быть предсказан заранее.

При заданных  условиях  наблюдения  случайный сигнал s(t) может принимать ту или иную конкретную форму sR (t).  Эти  возможные формы  называются  реализациями  (рис.2.7.1).

Наличие различных реализаций сигнала позволяет ему переносить различную информацию. Для этого достаточно при осуществлении связи установить соответствие между каждым сообщением и определенными реализациями сигнала. Тогда по принятой реализации сигнала можно судить о том, какое сообщение выдал источник, то есть получить о нем информацию.

Таким образом, случайный процесс, как случайная функция времени выступает в качестве обобщенной математической модели передаваемого (или принимаемого) случайного сигнала. Поэтому в дальнейшем изложении речь пойдет о свойствах и описании случайных процессов, соответствующих таким сигналам.

Совокупность всех возможных реализаций { s (t) } случайного  процесса  s(t) называется ансамблем.

Итак, случайный процесс является ансамблем своих реализаций, каждая из которых представляет собой некоторую функцию времени. При этом предсказать точно, какова будет реализация в следующем наблюдении.

Способы задания случайных процессов, описывающих сигналы.

Если при рассмотрении случайного процесса зафиксировать некоторый момент времени , то значение реализации процесса в этот момент — называемое сечением— является случайной величиной, обладающей некоторыми вероятностными свойствами. Эти свойства проявляются через вероятности попадания (распределения) реализаций в некоторые области (подмножества) значений.

Задать случайный процесс — это значит указать вероятности попадания реализаций в определенную область значений. Например:

    Р { < s(t) <  , 0 < t < T }          и т.п.

    Сигнал и соответствующий ему случайный процесс может быть задан на всей оси времени (   < t <   ) или на промежутке времени (t1 < t <t2 ).

А. В случаи, когда число реализаций конечно,  можно  просто перечислить их и задать их вероятности.

Важно различать обозначения.

неслучайное число (константа)

неслучайный аргумент функции

случайная величина

оператор (функции)

событие.

Примеры.

1) Процесс s(t), заданный на всей оси - < t < ,значения которого на интервалах времени  от  (k - 1)T  до  kT  остаются постоянными (здесь  k  -  целое число) и принимают значения на каждом из этих интервалов значения  +1 или  -1,  независимо от значений на других интервалах, с вероятностями  соответственно p1  и  p2  = 1 - p1 .

    Отрезок реализации такого процесса показан на рис.2.7.2

Такой процесс может описывать (моделировать) первичный  сигнал на  выходе телеграфного устройства.

При р12=0.5 сигнал называется случайный синхронный ТАГ сигнал”.

2)Процесс s(t) задан на  промежутке 0 < t < T и имеет две реализации :

    s1 (t) = U0 cos   t;

    s2 (t) = U0 cos   t  -

с вероятностями p(s1 ) = p1 ,  p(s2 ) = p2  = 1 - p1  . (рис. 2.7.3)

Такой процесс может служить сигналом,  информационное содержание  которого определяется  значением  частоты (сигнал частотной манипуляции ).

В. Если число реализаций бесконечно,  то задание значений реализаций производится на основе выбора соответствующего закона распределения их вероятностей. В свою очередь закон распределения вероятностей случайных величин задается посредством неслучайных функций (функций распределения) и неслучайных чисел (числовых характеристик).

Сечению случайного процесса в момент  соответствует интегральная функция распределения.

(2.7.1)

где — вероятность того, что случайная величина  не превысит некоторого заданного значения .

Частная производная

 (2.7.2)

называется одномерной дифференциальной функцией распределения (иначе — плотностью вероятности) процесса  для

Размерность дифференциальной функции распределения (плотности распределения ) обратна размерности процесса .

Обратная зависимость между функциями  и  вводится через интегральное преобразование

 (2.7.3)

Аналогично вводится двумерная плотность вероятности  :   (2.7.4)

где   (2.7.5)

двумерная интегральная функция распределения.

Если значения случайной функции (процесса) при любых значениях независимы, то

  (2.7.6)

   (2.7.7)

где — неслучайные параметры нормального процесса при  условии их независимости от выбора момента .

Соответственно, интегральная функция распределения:

  (2.7.8)

Графическое изображение дифференциального  и интегрального распределений гауссова (нормального) процесса представлено на рисунке 2.7.4.

Знание закона распределения позволяет вычислить вероятности попадания значений реализаций в интересующие нас области.

Так, по определению:

  (2.7.9)

Тогда, как следствие,

  (2.7.10)

Вероятность попадания значений реализаций в интервал определяется

 (2.7.11)

Пример.

Для нормального закона распределения в частном случае, когда ,

(2.7.12)

где функция  называется интегралом вероятности или функцией Крампа:

   (2.7.13)

Соответственно

   (2.7.14)

  (2.7.15)

Характеристики случайных процессов, моделирующих сигнал.

Наряду с  интегральной  и  дифференциальной   плотностями распределения  значений реализаций случайного процесса большую роль при описании сигналов играют числовые характеристики случайных процессов. Это, как правило, числа, получаемые в результате усреднения значений случайного процесса либо во  времени, либо по  совокупности (ансамблю) значений.  В последнем случай говорят о статистическом усреднении.

Среднее статистическое значение случайного процесса называется его  математическим ожиданием.

Если  w[s(t )] - одномерная плотность распределения вероятности процесса s(t) в момент времени  ,

    w1{s(tx )} =  w1 (u, tx)     (2.7.16)

то  его  математическое ожидание равно

 (2.7.17)

при условии, что s(t) принимает значения от -   до     .

В данном представлении математическое ожидание является функцией времени, то есть значение  зависит от выбора момента .

Функцией времени является в общем случае и  дисперсия  случайного процесса:

                                  2

    D {s(tx )} =  [s(tx )-M{s(tx)}]2 w1[s(tx )] ds ,  (2.7.18)

а также  функция корреляции  случайного процесса:

B{t0 ,tx }=  [s(t0 )-M{s(t0 )}][s(tx )-M{s(tx )}] w2 [s(t0 ),s(tx )] ds1 ds2 , (2.7.19)

где w2 [s(t0 ),s(tx )] - двумерная плотность распределения вероятностей для сечений процесса   и   .

Если M{s(t)} и D{s(t)} не зависят от выбора момента t,  а функция корреляции B{t0 ,tч } зависит только от значения разности

,

то случайный процесс называется стационарным (в широком смысле). Тогда используется обозначение B{ }, а из определения дисперсии и функции корреляции следует:

                      D{s(t)} = B{0}.   (2.7.20)

Для конкретной  реализации сигнала можно определить среднее значение по времени или постоянную составляющую:

   (2.7.21)

Разность

   (2.7.22)

называется  переменной составляющей реализации сигнала.

Среднее значение квадрата реализации определяется

  (2.7.23)

а среднее значение квадрата переменной составляющей

 (2.7.24)

Если s(t) представляет собой величину тока  или  напряжения, то  Рк  имеет физический смысл мощности, выделяемой на сопротивлении 1 Ом.  В дальнейшем величина Рк  будет  именоваться мощностью постоянной составляющей сигнала, а величина Рк-  -  мощностью переменной составляющей сигнала.

Временная функция корреляции  реализации сигнала определяется  с учетом обозначения (2.7.22)

(2.7.25)

Для многих  стационарных  процессов  средние  значения по времени совпадают со средними значениями по ансамблю, то есть

            (2.7.26)

    (2.7.27)

    (2.7.28)

    Такие процессы называются  эргодическими.

Для эргодических процессов к числу важнейших характеристик следует отнести функцию корреляции .

По своему физическому смыслу эта функция, с одной стороны, характеризует степень взаимосвязи между сечениями процесса  и , которая всегда ослабевает с увеличением значения  . (рис. 2.7.5)

.

Если   (2.7.29), (2.7.30)

говорят, что между значениями сечений процесса не существует связи (любые сечения некоррелированны) Если справедливо (2.7.30), а условие (2..7.29) не выполняется, то говорят, что взаимную связь между сечениями процесса  следует считать несущественной (их можно считать некоррелированными) только при значениях :

  (2.7.31)

где  называется интервалом корреляции.

С другой стороны, исходя из (2.7.20), (2.7.27), (2.7.28)

  (2.7.32)

то есть значение функции корреляции эргодического процесса при  совпадает со средней мощностью этого процесса.

Пример.

Для нормального стационарного процесса  числовыми характеристиками закона распределения являются:

математическое ожидание ;

дисперсия

где ,  — параметры закона распределения (2.7.7) и (2.7.8).

Иначе говоря, с учетом (2.7.17) и (2.7.7),

(2.7.33)

Аналогично   (2.7.34)

Нормальный стационарный случайный процесс (и его функции распределения любого порядка) полностью задается своим математическим ожиданием  и функцией корреляции . Так, двумерная плотность вероятности имеет вид:

(2.7.35)

где — коэффициент корреляции.   (2.7.36)

Существенная особенность НССП заключается в том, что здесь понятия независимости (см.2.7.6) и не коррелированности (см. 2.7.29) равнозначны: некоррелированные сечения всегда независимы. Это правило не всегда справедливо для других видов случайных процессов.

Эргодичность НССП определяется видом его функции корреляции .

Достаточным условием эргодичности НССП является сходимость интеграла

     (2.7.37)

Так, например, для непрерывного нормального стационарного процесса без последствий (винеровский процесс):

    (2.7.38)

условие (2.7.37) выполняется. Следовательно, нормальный процесс с функцией корреляции вида (2.7.38) обязательно эргодический.

Перечисленные свойства случайных процессов как моделей случайных сигналов являются наиболее общими. В последующем будут приведены дополнительные сведения об описании сигналов и помех в реальных каналах связи с помощью математических моделей.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29229. Исламский тип культуры 27.5 KB
  К странам этого типа культуры относятся: Иран Ирак Сирия и др. У стран исламского типа культуры общие язык письменность и т.
29230. Личность и общество в системе культуры: инкультурация, социализация, аккультурация, маргинальность 42.5 KB
  существовавший к тому времени термин социализация не охватывал процессов усвоения когнитивных познавательных аспектов культуры знаний верований ценностей и т. Оно подвергалось критике ввиду неопределенности его значения; кроме того оно по сути дублировало гораздо более широко использовавшийся термин социализация а его происхождение было прямо связано с не вполне правомерной попыткой противопоставления общества и культуры. СОЦИАЛИЗАЦИЯ процесс усвоения и активного воспроизводства индивидом социокультурного опыта социальных...
29231. Анимизм, фетишизм, тотемизм, магия как базовые формы культуры 37.5 KB
  Отсюда магические обряды размножения тотема ритуальное поедание его мяса в обычных условиях запрещенного рассказывание мифов пляски маскированных танцоров подражающих тотему. magéia колдовство чародейство волшебство обряды связанные с верой в способность человека сверхъестественным путём воздействовать на людей животных явления природы а также на воображаемых духов и богов. Магические обряды распространённые у всех народов мира чрезвычайно разнообразны. Широко были распространены магические обряды при начале пахоты сева...
29232. СЛОВО об АНТИЧНОСТИ 40.5 KB
  Три вещи связывали древних с их землей: храмы могилы и предки. Слово родина у древних было прилагательным и сочеталось со словом земля то была отцовская земля это слово доходило до сердца. Слово свобода к примеру имело для древних тот же глубинный смысл что и ответственность . Свобода теперь имеет моральный смысл у древних же совершенно политический Древние которых все их государственное устройство заставляло быть рационалистами были одухотворены поэзией.
29233. Синкретизм первобытной культуры 62 KB
  Синкретизм первобытной культуры. Синкретизм основное качество культуры характеризующее процесс перехода от биологической формы бытия животных к социокультурной форме существования человека разумного. Синкретизм этого первого исторического состояния культуры естествен и закономерен так как на начальном уровне целостность системы проявляется в её аморфности нерасчленённости. С этим отождествлением связан и характерный для первобытной культуры тотемизм с языка индейского племени оджибве его род вера в первопредка которым может быть...
29234. Проблема «Восток-Запад» в культуре 38.5 KB
  Отличия Западной и Восточной культуры: 1. Для западной культуры характерен ускоренный прогресс науки и техники быстрое изменение предметного мира. На Западе сформировалась сильная рационалистическая традиция которая проявлялась во всех видах культуры.
29235. Культура и глобальные проблемы современности 36 KB
  Одно из самых напряженных противоречий политической и духовной жизни человечества обнаружившееся в конце ХХ столетия и обозначившее рубеж между завершавшимся вторым и рождавшимся третьим тысячелетиями столкновение процессов и движений получивших название глобализма и антиглобализма. Вообще говоря само противостояние позиций обозначенных этими новыми понятиями отнюдь не ново оно пронизывает всю историю человечества. Речь идет о едином для всего человечества техникотехнологическом уровне производства о...
29236. Николай Яковлевич Данилевский (1822-1885) 44.5 KB
  В наше время особенно актуальна мысль Данилевского о том что необходимым условием расцвета культуры является политическая независимость. Отрицая существование единой мировой культуры Данилевский выделял 10 культурноисторических типов египетский китайский ассировавилонский индийский иранский и др. Арнольд Джозеф Тойнби 1889 1975 английский историк и социолог автор 12томного Исследования истории 1934 1961 труда в котором он стремился осмыслить развитие человечества в духе круговорота цивилизаций употребляя этот термин в...
29237. Первобытность и цивилизация 48 KB
  Кочевой образ жизни оказывался на периферии культуры. Новый хозяйственный и административный уклад принципиально меняет содержание духовной культуры: нравственная нейтральность этическая невменяемость Г. Все восточные культуры единообразны не однообразны пластичны жизнестойки. Восточные культуры способны создавать величайшие культурные ценности при сравнительно низком развитии индивидуального я и вообще самодеятельнотворческого начала.