69040

Расчет энергетического спектра случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Расчет энергетического спектра случайного сигнала. Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала. Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

206.5 KB

15 чел.

Практическое занятие  2.8

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 8. Расчет энергетического спектра случайного сигнала.

Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Математическое описание.

Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала.

/1/. 48-50

/2/. 37-43

/3/. 26

Иметь на следующем занятии задачник /6/.


Учебные вопросы.

Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Математическое описание.

На занятиях 2.4 и 2.5 было введено понятие спектра детерминированного сигнала.

Применительно к случайному процессу по наблюдению за реализацией этого процесса можно на некотором отрезке  построить функцию (см. (2.5.9)):

   (2.8.1)

Эта функция (“мгновенный спектр”) является случайной.

Задача не заключается в определении неслучайных характеристик для ансамбля реализаций случайного процесса.

Строго говоря, реализации стационарных случайных процессов имеют бесконечную энергию, поэтому к ним не может быть применено равенство Парсеваля, характеризующее распределение энергии сигнала по оси частот. Более того, в этом случаи нарушаются условия существования спектра Фурье для этих сигналов.

Однако во многих практически важных случаях вместо условия конечности энергии сигнала:     (2.8.2)

оказывается справедливым другое условие:

  (2.8.3)

то есть условие конечной мощности процесса (его реализации).

Тогда по аналогии с записью равенства Парсеваля (2.5.18) можно записать с учетом (2.8.1):

(2.8.4)

где    (2.8.5)

— спектральная плотность мощности реализации сигнала с “мгновенным” спектром реализации .

Тогда полная мощность реализации:

определяется через функцию , характеризующую распределение мощности реализаций случайного сигнала по оси частот.

Проводя статистическое усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса , можно определить:

  (2.8.7)

— спектральную мощность стационарного случайного процесса или его энергетический спектр.

В большинстве практических случаев определить  по формулам  (2.8.5), (2.8.7) очень затруднительно. Гораздо удобнее пользоваться для определения  случайного процесса его временной функцией корреляции, введенной соотношением (2.7.25).

Тогда с учетом (2.5.14), (2.5.17) можно записать

(2.8.8)

где — комплексно-сопряженная с КСП с КСП .

Следовательно, временная функция корреляции и спектральная плотность мощности реализации сигнала связаны между собой преобразованием Фурье . Обратное преобразование имеет вид:

     (2.8.8а)

Переходя к математическому ожиданию по всему ансамблю реализаций (см. 2.8.7) стационарного случайного процесса  получим соотношения:

     (2.8.9)

      (2.8.10)

показывающие, что энергетический спектр случайного сигнала связан парой преобразований Фурье с его функцией корреляции. Это утверждение составляет сущность теоремы Винера-Хинчина.

Обе функции  и — являются линейчатыми функциями своих аргументов для всех действительных стационарных процессов.

Как следствие, для частот  справедливы соотношения:

     (2.8.11)

     (2.8.12)

Для комбинации сигналов  и  справедливо:

Важнейшей константой следующей из выражения для энергетического спектра, является эффективная ширина энергетического спектра . По аналогии определением для интервала корреляции (2.7.31) .

   (2.8.13)

где , , как правило

Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала.

Обратимся к случайному синхронному телеграфному сигналу (рис. 2.7.2): (Задача 2.2.1(90г.) или 1.1.1 (78г.)).

Сначала определим выражение для функции корреляции, чтобы потом, согласно (2.8.12),  определить энергетический спектр.

Согласно (2.7.25) и (2.7.19)

При , так как в соседних интервалах сигнал с равной вероятностью может быть равен +1 или -1.

При  (рис. 2.8.1)

с вероятностью Р отрезок принадлежит разным интервалам, тогда  

с вероятностью  отрезок принадлежит одному интервалу

Вероятность принадлежности интервала длительностью   одному отрезку  равна

Таким образом   (2.8.14) (рис. 2.8.14)

Пользуясь (2.8.12) вычислим:

(2.8.15)

результат представлен на рисунке (2.8.3)

Рисунок показывает, что большая часть мощности сосредоточена на низких частотах. Согласно (2.8.13)

Этот результат интересно сравнить с результатом решения задачи 1.1.16 (1.5.2)  /6. С. 11, 151/

Философия сравнения этих двух подходов к оценке ширины спектра сигнала такова:

в задаче 1.5.2 ширина спектра случайного сигнала ТГ сигнала оценивается через ширину спектра предельного детерминированного сигнала ; оценка является экстремальной (max), .

в задаче 1.1.1 ширина спектра случайного ТГ сигнала оценивается через энергетический спектр случайного сигнала как результат усреднения статистических свойств сигнала, оценка является среднеквадратической по ансамблю реализаций.

Выводы:

В технических приложениях м. б. полезны оба подхода. Один другой не отрицает, а дополняет.

Для описания свойств случайных сигналов возможны применение аппарата описания как случайных, так и детерминированных сигналов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23972. Римская комедия. Плавт 35.5 KB
  Писал паллиаты комедии на греческий сюжет. Комедии греческого плаща. Брал сюжеты из греческой новоаттической комедии действие в греческих городах персонажи с греческими именами но использует римские реалии. Выбирает комедии которые будут интересны римлянам.
23973. Архаический период римской литературы. Первые авторы 23 KB
  Трагедии Впервые ввел драму на римский сюжет претекстата. Ромул мифологический сюжет Кластидит исторический сюжет Больше всего прославился в комедии.
23974. Комедии Теренция 32.5 KB
  Комедии Теренция Публий Теренций Афр 195159 гг. Попал в Рим в качестве раба сенатора Теренция Лукана который входил в кружок Сципиона Младшего. Гуманизм Теренция спас его комедии от исчезновения. СВЕКРОВЬ Как видно из дидаскалии и из двух прологов комедия была поставлена при жизни Теренция трижды.
23976. Общая характеристика культуры эллинизма 26 KB
  Особенности искусства: влияние Востока интерес к быту и к частному человеку космополитизм Влияние востока на уровне религии: культ богини Тихэ случая культ Исиды сближается с Деметрой культ Осириса культ Кибелы В то же время в Грецию проникает иудаизм интерес к пышности роскоши изысканности коринфский ордер. интерес к огромным сооружениям. Фаросский маяк Колосс Родосский огромные корабли интерес к дороговизне украшений симпатии к обожествлению правителей среди ораторов стиль азионизм туманность речи. Интерес...
23977. Новоаттическая комедия. Менандр 30.5 KB
  повар хвастается блюдами остался от пира в древнеаттической комедии. частные повседневные отношения; его действующие лица заурядные люди с мелкими страстями с обычными вожделениями и ошибками поставленные в забавные положения; индивидуализации глубокого анализа характеров и преобладающих личных свойств героев нет ещё; общие типы часто повторяющиеся даже под одними и теми же именами только в различной обстановке такова отличительная черта Менандровой комедии. Для римской сцены переделаны были Теренцием 4 комедии М. Душу...
23978. Александрийская поэзия. Каллимах 22.5 KB
  Александрийская поэзия. ученая поэзия рассчитана на узкий круг подготовленной публики поэзия для эстетов.
23979. Феокрит (305-240) – создатель идиллии 13.69 KB
  Три группы идиллий: бытовая мифологическая воришка мёда буколики пастушеские идиллии. В идиллии не проникает внешний мир. Идиллии написаны гекзаметром.
23980. Греческая литература Римского периода 24.5 KB
  Литература: Риторика: В эллинистическую эпоху распространился азиантский стиль пафосный но очень сложный. В римский период реакция на азиантский стиль аттицизм возродить стиль древних ораторов. Стиль более простой.