69040

Расчет энергетического спектра случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Расчет энергетического спектра случайного сигнала. Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала. Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

206.5 KB

15 чел.

Практическое занятие  2.8

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 8. Расчет энергетического спектра случайного сигнала.

Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Математическое описание.

Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала.

/1/. 48-50

/2/. 37-43

/3/. 26

Иметь на следующем занятии задачник /6/.


Учебные вопросы.

Понятие об энергетическом спектре случайного сигнала. Математическое описание.

На занятиях 2.4 и 2.5 было введено понятие спектра детерминированного сигнала.

Применительно к случайному процессу по наблюдению за реализацией этого процесса можно на некотором отрезке  построить функцию (см. (2.5.9)):

   (2.8.1)

Эта функция (“мгновенный спектр”) является случайной.

Задача не заключается в определении неслучайных характеристик для ансамбля реализаций случайного процесса.

Строго говоря, реализации стационарных случайных процессов имеют бесконечную энергию, поэтому к ним не может быть применено равенство Парсеваля, характеризующее распределение энергии сигнала по оси частот. Более того, в этом случаи нарушаются условия существования спектра Фурье для этих сигналов.

Однако во многих практически важных случаях вместо условия конечности энергии сигнала:     (2.8.2)

оказывается справедливым другое условие:

  (2.8.3)

то есть условие конечной мощности процесса (его реализации).

Тогда по аналогии с записью равенства Парсеваля (2.5.18) можно записать с учетом (2.8.1):

(2.8.4)

где    (2.8.5)

— спектральная плотность мощности реализации сигнала с “мгновенным” спектром реализации .

Тогда полная мощность реализации:

определяется через функцию , характеризующую распределение мощности реализаций случайного сигнала по оси частот.

Проводя статистическое усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса , можно определить:

  (2.8.7)

— спектральную мощность стационарного случайного процесса или его энергетический спектр.

В большинстве практических случаев определить  по формулам  (2.8.5), (2.8.7) очень затруднительно. Гораздо удобнее пользоваться для определения  случайного процесса его временной функцией корреляции, введенной соотношением (2.7.25).

Тогда с учетом (2.5.14), (2.5.17) можно записать

(2.8.8)

где — комплексно-сопряженная с КСП с КСП .

Следовательно, временная функция корреляции и спектральная плотность мощности реализации сигнала связаны между собой преобразованием Фурье . Обратное преобразование имеет вид:

     (2.8.8а)

Переходя к математическому ожиданию по всему ансамблю реализаций (см. 2.8.7) стационарного случайного процесса  получим соотношения:

     (2.8.9)

      (2.8.10)

показывающие, что энергетический спектр случайного сигнала связан парой преобразований Фурье с его функцией корреляции. Это утверждение составляет сущность теоремы Винера-Хинчина.

Обе функции  и — являются линейчатыми функциями своих аргументов для всех действительных стационарных процессов.

Как следствие, для частот  справедливы соотношения:

     (2.8.11)

     (2.8.12)

Для комбинации сигналов  и  справедливо:

Важнейшей константой следующей из выражения для энергетического спектра, является эффективная ширина энергетического спектра . По аналогии определением для интервала корреляции (2.7.31) .

   (2.8.13)

где , , как правило

Пример расчета энергетического спектра случайного сигнала.

Обратимся к случайному синхронному телеграфному сигналу (рис. 2.7.2): (Задача 2.2.1(90г.) или 1.1.1 (78г.)).

Сначала определим выражение для функции корреляции, чтобы потом, согласно (2.8.12),  определить энергетический спектр.

Согласно (2.7.25) и (2.7.19)

При , так как в соседних интервалах сигнал с равной вероятностью может быть равен +1 или -1.

При  (рис. 2.8.1)

с вероятностью Р отрезок принадлежит разным интервалам, тогда  

с вероятностью  отрезок принадлежит одному интервалу

Вероятность принадлежности интервала длительностью   одному отрезку  равна

Таким образом   (2.8.14) (рис. 2.8.14)

Пользуясь (2.8.12) вычислим:

(2.8.15)

результат представлен на рисунке (2.8.3)

Рисунок показывает, что большая часть мощности сосредоточена на низких частотах. Согласно (2.8.13)

Этот результат интересно сравнить с результатом решения задачи 1.1.16 (1.5.2)  /6. С. 11, 151/

Философия сравнения этих двух подходов к оценке ширины спектра сигнала такова:

в задаче 1.5.2 ширина спектра случайного сигнала ТГ сигнала оценивается через ширину спектра предельного детерминированного сигнала ; оценка является экстремальной (max), .

в задаче 1.1.1 ширина спектра случайного ТГ сигнала оценивается через энергетический спектр случайного сигнала как результат усреднения статистических свойств сигнала, оценка является среднеквадратической по ансамблю реализаций.

Выводы:

В технических приложениях м. б. полезны оба подхода. Один другой не отрицает, а дополняет.

Для описания свойств случайных сигналов возможны применение аппарата описания как случайных, так и детерминированных сигналов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18061. Філософія права. Підручник 966 KB
  Підручник присвячено філософії права. У ньому висвітлюються зміст призначення та історичний розвиток філософії права а також її основні проблеми: правова онтологія правова антропологія правова аксіологія тощо. Значну увагу у виданні приділено аналізу сучасних філо...
18064. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА В ПОТОКЕ ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ 4.67 MB
  Лабораторная работа №6 по предмету Экспериментальная аэродинамика ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА В ПОТОКЕ ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ Цель работы получение результатов распределения давления построенных для крыла в координат...
18065. Знайомство з документацією супроводження програмних продуктів 320 KB
  Тема: Знайомство з документацією супроводження програмних продуктів. Понятие жизненного цикла ПО В первой лекции говорилось о том что сложную программную систему построить простыми методами невозможно. Ее разработка с неизбежностью будет тоже сложной деятельнос...
18066. Исследование элементов электрической цепи при постоянном токе 22.7 KB
  Исследование элементов электрической цепи при постоянном токе. Цель работы: приобрести практические навыки экспериментального определения параметров элементов. Содержание отчета. 2.1 Измерение сопротивлений активных элементов Схема электрической цепи ...
18067. Исследование элементов цепи при переменном токе 27.27 KB
  Цель работы: Исследование элементов цепи при переменном токе Содержание отчета. 2.1 Измерение активного сопротивления Схема электрической цепи: Частота и величина напряжения источника питания значение сопротивления в соответствии с номером рабочего места: ...
18068. Исследование частотных характеристик интегрирующей r-C цепи 31.58 KB
  Цель работы: Исследование частотных характеристик интегрирующей rC цепи Содержание отчета. 2.1 Экспериментальное определение амплитудночастотной и фазочастотной характеристик цепи. Схема исследуемой цепи: Параметры источника переменного напряжения V1: ...
18069. Изучение влияния параметров электрических цепей на форму их частотных характеристик 34.44 KB
  Цель работы: В лабораторной работе ставится целью изучение влияния параметров электрических цепей на форму их частотных характеристик. Содержание отчета. 2.1 Экспериментальное определение амплитудночастотной и фазочастотной характеристик цепи. Схема...