69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

15 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68123. Ліс - наше багатство 80.5 KB
  Вчити аналізувати робити висновки на основі власних спостережень за довкіллям зрозуміти значення лісу; розвивати спостережливість за рослинним тваринним світом; виховувати бережливе ставлення до всього живого. У лісу просили поради допомоги співчуття. Пізнаєш красу і користь лісу гаю діброви.
68124. Дерева нашого лісу 107.5 KB
  Мета: Узагальнити та розширити знання учнів про дерева наших лісів про найвищі і найстаріші дерева планети деревасимволи значення дерев у житті людини. Обладнання: плакати екологічного змісту кросворд деревозагадка таблиці деревасимволи що дає людині дерево лист від друзів природи.
68125. Хвойні ліси – скарб рідного краю 51 KB
  Хід заходу 1 учень: Цей ліс живий. 2 учень: Малі озерця блискають не злісно Колише хмара втомлені громи. Хіба можна кривдити таку красу Роздивляємось виставку репродукцій картин відомих художників Учитель: Діти уявіть якби дерева зникли що тоді сталося б Учні висловлюють свої...
68126. Літературна гра «У світі казок» 71 KB
  А чи замислювалися ви коли-небудь над тим звідки беруться казки Ось як цікаво на це запитання відповів відомий фінський письменник казкар Закаріас Топеліус Як настане літо вийдіть дуже рано в поле коли роса лежить на траві там блищать тисячі казок мов діаманти. Потім на берег моря де на воді граються...
68127. Караюсь, мучуся… Але не каюсь! 76 KB
  Діючі особи: Тарас Шевченко Фельд’єгер конвоїр Сидорчук вартовий в Орській фортеці Андрій Козловський засуджений Мєшков офіцер Лаврентьєв писар Друг Шевченка засуджений Абдрахман киргиз Кульжан донька Абдрахмана Бутаков офіцер Тищенко солдат Фундуклей губернатор Києва Думки Шевченка читці поезій...
68128. Слова в вірші – і рай в душі 78.5 KB
  Мета: поглибити учнівські знання з теорії літератури ідейнохудожнього аналізу поетичного твору удосконалювати вміння виразного читання; розвивати поетичне мислення образну уяву; виховувати любов до художнього слова та до рідної природи. Я зачитуватиму поетичні рядки а ви повинні підставити...
68129. Інтелектуальна гра «Літературна веселка» Ти завжди в серцях людей, Тарасе! 43.5 KB
  Шевченка розвивати логічне мислення виразне читання виховувати повагу до Шевченкового слова та цікавість до вивчення його творчості. Тарас Шевченко Тарас Це бунтівне пророче ім’я знайоме не тільки українцям а й усьому світові. Шевченко це криниця з джерельною водою яка втамовує духовну спрагу народу.
68130. Знайомство з країною Логікою 28.5 KB
  Сьогодні діти ми відправляємось у незвичайну подорож. Діти ходять до школи найкоротшим шляхом але можуть годинами блукати різноманітними лабіринтами. Діти імітують посадку на автобус і їзду. Ось компанія яка У якій послідовності сидять діти Боря Петрик Юрко Віра Стас Іра.
68131. Аналогія. Добір малюнків за аналогією 263.5 KB
  Тип уроку: урок засвоєння умінь і навичок Обладнання: геометричні фігури і предметні малюнки до гри Фотограф; індивідуальні набори геометричних фігур гралото малюнки з послідовністю. Міняю місцями фігури деякі взагалі прибираю. Всі фігури різного кольору А тепер відкрийте очі подивіться...