69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

16 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77183. Дискриминация в трудовых отношениях 259 KB
  Дискриминацией является ограничение или лишение прав определенной категории граждан по какому-либо признаку, не оговоренному в соответствующем нормативном акте. Дискриминацией является и предоставление необоснованных льгот, преимуществ отдельным лицам или категориям граждан.
77185. Планирование кадров предприятия и их подбор 233.5 KB
  Проблемы социально-экономических преобразований, происходящих в Российском обществе, позволили осознать и оценить задачи, стоящие перед работниками кадровых служб предприятий. Без людей нет организации. Без нужных людей ни одна организация не сможет достичь своих целей и выжить.
77186. Технологии управления персоналом 207 KB
  По своим свойствам люди существенно отличаются от любых других используемых организациями ресурсов, а следовательно, требуют особых методов управления. Специфика человеческих ресурсов состоит в следующем.
77187. Рынок и оценка жилой недвижимости 206.5 KB
  Принципиальная разница состоит в том, что последний служит потребностям бизнеса – рациональным, структурным и предсказуемым. Рынок жилой недвижимости служит потребностям людей – эмоциональным, неструктурным и непредсказуемым.
77188. Знаковизначенні квадратичні форми 279 KB
  Познайомити з послідовністю приведення квадратичної форми до нормального вигляду; вивчити закон інерції квадратичної форми; познайомити з поняттями додатної та від’ємної визначеності квадратичної форми та вивчити критерії додатної визначеності. Нормальний вид комплексної і нормальний вид дійсної квадратичної форми. Знаковизначенні квадратичні форми.
77189. Анализ основных изменений, внесенных в Трудовой кодекс Российской Федерации с момента его принятия по август 2006 года 198.5 KB
  Кодекс законов о труде 1918 года имеет достаточно стройную для своего времени структуру. Рассматривая Кодекс видим, что он состоит из введения, 9 разделов и 5 приложений. Используя современную терминологию можно выделить основные моменты в каждом разделе...
77190. Проведение интервью с кандидатом на вакантную должность 181.5 KB
  Число кандидатов, приглашаемых Вами для собеседования, зависит в определенной степени от того, сколько времени Вы выделили на собеседование. Главная цель - обеспечить отбор наилучших претендентов для включения в окончательный список.
77191. Презентационные и коммуникативные навыки тренинг-менеджера 177 KB
  Каждый тренер знает, что его коммуникативные и презентационные навыки — это существенная часть рабочего инструментария. Пожалуй, ни один тренер не станет спорить с тем, что умение видеть, слышать и понимать группу не менее важно, чем внятное предъявление себя.