69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

15 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54364. Свято – урок «Ой хто, хто Миколая любить» 42.5 KB
  Всі річки тепер в обнові біле скло над бережком Ходить зима по діброві застеляє все сніжком. Сніг сідав на усмішки і сміявся з усіма Бо прийшла до нас зима Пісня Зимонька Сорока. Йшла зимонька поміж полями Усміхнулася до зір...
54365. День Святого Миколая - душа весело співає 158 KB
  Хлопчик Краснії подарунки дітям приносить В кожен дім діти знають: з радістю приходить. Звучить чарівна мелодія зявляються дівчаткаянголи які виконують дивовижний танок сповіщаючи прихід Миколая стук у двері до господи входить Святий Миколай Вчитель Діти а хто до нас прийшов Діти Святий Миколай Св. Добрий день вам любі діти Діти Добрий день Св. Бачу ви усі привітні...
54366. Сценарій ранку «Ми чекаємо Святого Миколая» 60 KB
  Ми всі з нетерпінням чекаємо дня Святого Миколая. З лопатами і з піснею Працюємо разом 2куплет: Ми цю пісню будемо співати І всі дружно станем працювати Щоб Миколай прийшов до всіх Приніс дарунків повен міх 1 чортик Ну що ж мене вам не здолати я вам нашлю нову біду Чари мариТепер вас треба всіх розчарувати а для цього треба все про святого Миколая розповісти а ви про нього нічого і не знаєте.
54367. Народні свята. День Святого Миколая 81 KB
  Співом його привітаєм Разом пісню заспіваєм Співають пісню Ой хто хто Миколая любить Ой хто хто Миколая любить Ой хто хто Миколаю служить Тому святий Миколай На всякий час помагай Миколаю Ой хто хто спішить в твої двори Того ти на землі й на морі. Все хорониш від напасти Не даєш му в гріхи впасти Миколаю Ой хто хто к ньому прибігає На поміч його призиває Той все з горя вийде ціло Охоронить душу й тіло Миколаю Миколай молися за нами Благаєм тебе зі сльозами Ми тя будем вихваляти Ім'я твоє величати Миколаю 2...
54368. Свято Миколая 62.5 KB
  Коли святий Миколай З небес на землю йде То кожен дім і школа Мов вулик бджіл гуде. Це Святий Миколай. Як затанцюють за вікном сніжинки І білим килимом укриють край То знай що до Івася і Галинки Святий прибуде з неба Миколай. Я не хочу щоб Святий Миколай приходив до вас хвалив за якісь гарні вчинки дарував вам гостинці.
54369. Свято Василя та Меланки 209.5 KB
  Цього дня батько ховається від своїх дітей за символом багатства та щедрості — за пирогами. Діти повинні вдавати, що в цю мить батька не бачать — так велить традиція. Вони мусять запитувати в матері, де ж тато подівся. А «здивована» мати бажає, аби й наступного року діти за пирогами батька не помітили.
54370. Классный час «Милосердие» 61.5 KB
  Суть бескорыстного доброго отношения к человеку хорошо выразил другой римский философ Марк Аврелий: Когда ты сделал комуто добро и это добро принесло плод зачем ты как безрассудный домогаешься еще похвалы и награды за свое доброе дело Видимо сознание сделанного добра – высшая награда для человека. Внутренний психический мир человека. Наука изучающая процессы и закономерности психологической деятельности человека.
54371. Смотри, не забудь, человеком будь 110.5 KB
  Какие чувства у вас возникали когда вы смотрели на эти фотографии Заставили ли вас эти фотографии сочувствовать сопереживать Как можно одним словом назвать способность человека к сопереживанию к совершению добрых и бескорыстных поступков по отношению к больным маленьким детям престарелым инвалидам животным да и ко всем живым существам Милосердие Какое сердце должно быть у...
54372. Арифметичні дії зі звичайними дробами 2.61 MB
  Отже яка основна властивість дробів Дощик капає на парту Парасольку я беру Потягнулися до сонця І сховались від дощу. Отже як знайти суму двох дробів з різними знаменниками 4тема. Отже чому дорівнює добуток двох дробів Отже зараз ми виконали певну роботу. Скорочення дробів.