69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

16 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29153. Реализация заложенного имущества 26.5 KB
  Реализация заложенного имущества. Реализация продажа заложенного имущества на которое обращено взыскание осуществляется в порядке установленном законом об ипотеке или законом о залоге если иное не предусмотрено законом. Если сумма вырученная при реализации заложенного имущества недостаточна для покрытия требования залогодержателя он имеет право при отсутствии иного указания в законе или договоре получить недостающую сумму из прочего имущества должника не пользуясь преимуществом основанным на залоге. Если сумма вырученная при...
29154. Прекращение залога 25 KB
  Залог способ обеспечения обязательства при котором кредитор залогодержатель приобретает право в случае неисполнения должником обязательства получить удовлетворение за счет заложенного имущества. Залог прекращается: 1 с прекращением обеспеченного залогом обязательства; 2 по требованию залогодателя; 3 в случае гибели заложенной вещи или прекращения заложенного права если залогодатель не воспользовался правом; 4 в случае реализации продажи заложенного имущества в целях удовлетворения требований залогодержателя. При прекращении залога...
29155. Поручительство 25.5 KB
  По договору поручительства поручитель обязывается перед кредитором другого лица отвечать за исполнение последним его обязательства полностью или в части. Договор поручительства может быть заключен также для обеспечения обязательства которое возникнет в будущем. Договор поручительства должен быть совершен в письменной форме. Несоблюдение письменной формы влечет недействительность договора поручительства.
29156. Прекращение поручительства 25.5 KB
  Поручительство поручитель обязывается перед кредитором другого лица отвечать за исполнение последним его обязательства полностью или в части. Поручительство прекращается с прекращением обеспеченного им обязательства в случае изменения этого обязательства влекущего увеличение ответственности или иные неблагоприятные последствия для поручителя без согласия последнего с переводом на другое лицо долга по обеспеченному поручительством обязательству если поручитель не дал кредитору согласия отвечать за нового должника. если кредитор в...
29157. Банковская гарантия 27 KB
  В силу банковской гарантии банк иная кредитная или страховая организация гарант дают по просьбе другого лица принципала письменное обязательство уплатить кредитору принципала бенефициару в соответствии с условиями даваемого гарантом обязательства денежную сумму по представлении бенефициаром письменного требования о ее уплате. По получении требования бенефициара гарант должен без промедления уведомить об этом принципала и рассмотреть приложенные к требованию документы. Решив отказать в удовлетворении требования гарант обязан немедленно...
29158. Прекращение банковской гарантии 25 KB
  Прекращение банковской гарантии. В силу банковской гарантии банк иная кредитная или страховая организация гарант дают по просьбе другого лица принципала письменное обязательство уплатить кредитору принципала бенефициару в соответствии с условиями даваемого гарантом обязательства денежную сумму по представлении бенефициаром письменного требования о ее уплате. Обязательство гаранта перед бенефициаром по гарантии прекращается: 1 уплатой кредитору суммы на которую выдана гарантия; 2 окончанием определенного в гарантии срока на который...
29159. Задаток 25 KB
  Задаток Задаток признается денежная сумма выдаваемая одной из договаривающихся сторон в счет причитающихся с нее по договору платежей другой стороне в доказательство заключения договора и в обеспечение его исполнения. Соглашение о задатке независимо от суммы задатка должно быть совершено в письменной форме в связи с этим задаток одновременно служит и доказательством заключения договора и средством обеспечения его исполнения. Если за неисполнение договора ответственна сторона давшая задаток он остается у другой стороны. В противном...
29160. Удержание в гражданском праве 22 KB
  Кредитор у которого находится вещь подлежащая передаче должнику либо лицу указанному должником вправе в случае неисполнения должником в срок обязательства по оплате этой вещи или возмещению кредитору связанных с нею издержек и других убытков удерживать ее до тех пор пока соответствующее обязательство не будет исполнено. Требования кредитора удерживающего вещь удовлетворяются из ее стоимости в объеме и порядке предусмотренном законом для удовлетворения требований обеспеченных залогом. Кредитор может удерживать находящуюся у него вещь...
29161. Перемена лиц в обязательстве 32.5 KB
  Особенности: Перемена лиц в обязательстве не оказывает никакого влияния на надлежащее исполнение обязательств кредитору все равно кто ответит по обязательствам Изменение стороны может быть в силу закона наследования; страховщику прав кредитора к должнику ответственному за наступление страхового случая и договора. Существуют 2 формы перемены лиц в обязательстве: Уступка право требования цессия Для перехода к другому лицу прав кредитора согласия должника как правило не требуется. Перевод долга соглашение между кредитором...