69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

16 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82229. Калинове свято 122.5 KB
  Підготовка: намалювати малюнки вишити серветки та рушники з калиною знайти і вивчити загадки прислівя прикмети повязані з калиною протягом тижня перед святом на столі тарілка з кетягами калини і діти смакують соковиті ягоди...
82230. Формування правильної постави засобами фізичних вправ 49.5 KB
  Мета уроку: укріпити здоров’я учнів, формувати правильну поставу, сприяти профілактиці плоскостопості; вироблення гарної ходи, вміння правильно сидіти за партою. Тип уроку: вивчення та узагальнення знань. Час:45 хв. Інвентар: гімнастичні килимки, мішечки з піском, магнітофон, музичні диски.
82231. Щоб навчання було цікавим. Нестандартні уроки 69 KB
  Нестандартні уроки більше подобаються учням ніж буденні навчальні заняття. Нестандартний урок - це прогрес педагогічної думки правильний крок у напрямку демократизації школи. Мойсеюк Нестандартний урок - це імпровізоване навчальне заняття що має нестандартну структуру.
82232. Тільки пам’ять не сивіє... До річниці Великої Перемоги 213 KB
  Що закарбувалося в нашій памяті памяті наших батьків дідів і прадідів Революції політ людини в космос Чорнобильська катастрофа Друга світова війна і проголошення незалежності України І радісні і сумні події. Але однією з найбільших трагедій була є і залишається війна.
82233. Вода – основа жизни 55 KB
  Развивать логическое мышление умение делать вводы. Храни природу человек Жизнь в озере и в океане Покой прудов течение рек Глоток воды в своем стакане 3 ведущий В декабре 1922 года Генеральная Ассамблея ООН объявила 22 марта Всемирным днем водных ресурсов.
82234. Wir lesen gern. Ми охоче читаємо 38.5 KB
  Мета: Узагальнення та систематизація знань учнів, навчання монологічного та діалогічного мовлення в межах даної теми, тренування навичок аудіювання, навчання виразному читанню та віршованому перекладу поезії класиків німецької літератури. Розвивати мовленнєві, інтелектуальні та пізнавальні здібності учнів.
82235. Социально-гуманитарные науки (СГН) как феномен, зародившийся на Западе, его общечеловеческое значение 34.93 KB
  Предпосылки науки создавались в древневосточных цивилизациях Египте Вавилоне Индии Китае Древней Греции в форме эмпирических знаний о природе и обществе в виде отдельных элементов зачатков астрономии этики логики математики и др. а в тех реальных общественноисторических социокультурных факторах которые еще не создали объективных условий для формирования науки как особой системы знания своеобразного духовного феномена и социального института в этом целостном триединстве . Таким образом в античный и средневековый периоды...
82236. Субъект, объект и предмет познания в социально-гуманитарных науках. Проблема межпредметных связей 48.72 KB
  Субъект социально-гуманитарного познания это специально подготовленный ученый или группа ученых которые изучают различные сферы общества продукты духовной деятельности человека. В социально-гуманитарных науках субъект всегда включен в объект исследования в его познавательной деятельности всегда присутствует как рациональные так и бессознательные моменты познания. Субъект в социально-гуманитарных науках играет огромную роль так как он определяет: предмет и методы исследования способы интерпретации полученного знания объективность и...