69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

12 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30182. Установление специфики юридической ответственности органов местного самоуправления 428.5 KB
  Ответственность органов местного самоуправления выступает важным элементом их правового статуса гарантией качественной работы и добросовестного осуществления своих полномочий. Предназначение конституционноправовой ответственности заключается в охране конституционного строя основных прав и свобод граждан в обеспечении нормального порядка осуществления публичной власти в следовании органов местного самоуправления предписаниям действующего законодательства в предупреждении превенции посягательств на порядок осуществления...
30183. Повышения эффективности использования строительных машин, увеличение срока их службы и надежности в работе 897.6 KB
  Рост парка машин позволил в значительной степени механизировать труд работников в строительстве. Уровень его механизации достиг 80%. Машинами выполняются почти все основные виды строительно-монтажных работ. В этих условиях своевременность и высокое качество сооружения строительных объектов в большой степени зависят от уровня работоспособности машин. Чем он выше, тем больше гарантий в том, что объекты будут построены в установленные сроки и качественно.
30184. Пропозиції щодо поліпшення співробітництва між Україною та ЄС у виробничому секторі 114.5 KB
  Економічне становище регіону, створення належних умов для життя і праці його населення залежить від розвитку виробничої сфери. Виробнича сфера виступає основою для задоволення людських потреб. Потреби, в свою чергу, відіграють роль стимуляторів діяльності людей.
30185. Разработка системы управления электроприводом листоправильной машины, учитывающий переменность статического момента нагрузки и момента инерции, с целью повышения энергетической эффективности стана11×280×2300 3.84 MB
  передачи от двигателя к валку отн. От первого двигателя 24–M1 по ходу металла приводится пять правильных валков три верхних и два нижних находящихся ближе к входу листоправильной машины; от второго двигателя 24–M2 – остальные шесть валков №6–№11. Двигатели предназначены для работы от преобразователей частоты и оснащены каждый датчиком импульсов 24–BN1 24BN2 – контроль скорости вентилятором обдува с электроприводом двигатели 24–M3 24–M4 а также датчиками контроля температуры в обмотках KTY 84–130 – 1 шт и подшипниках...
30186. Разработка проекта межевания земельных участков на землях бывшего колхоза “Россия” Каширского района Воронежской области 3.42 MB
  Земельный кодекс Российской Федерации от 25.10.2001 г. №136-ВЗ является головным отраслевым законом, обладающим приоритетом в регулировании земельных отношений. Кодекс создает правовые гарантии провозглашенных в Конституции РФ земельных прав граждан; устанавливает приоритет охраны земли перед использованием в качестве недвижимости; приоритет охраны жизни и здоровья человека при решении вопроса о затратах
30187. Динамика роста и накопление сухого вещества по фазам развития растений яровой пшеницы в зависимости от условий питания и применения удобрений 80.51 KB
  Народнохозяйственное значение яровой пшеницы. Морфологические и биологические особенности яровой пшеницы. Влияние удобрений на урожайность и качество зерна яровой пшеницы яровых зерновых культур. Динамика роста и накопление сухого вещества по фазам развития растений яровой пшеницы в зависимости от условий питания и применения удобрений.
30188. Развитие композиционных умений учащихся 6-х классов средствами декоративного натюрморта в технике гуашь 1.13 MB
  Одной из основных задач образования является всестороннее созревание личности ребенка, а так же эстетическое воспитание подрастающего поколения. Эстетическое воспитание - это сложный и продолжительный процесс, дети приобретают первые художественные впечатления, изучая различные виды художественной деятельности. Изобразительная деятельность - специфическое, образное постижение действительности, которое может идти всевозможными путями.
30189. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К СТАНОЧНЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМ 113.5 KB
  Так при требуемой точности ПОЗИционирования шпинделя 01максимальной частоте вращения двигателя 30005000 об мин суммарный диапазон изменения частоты вращения должен быть не менее 10000 Электромеханический способ регулирование скорости частоты вращения для приводов главного движения является наиболее перспективным. Требуемый технологический диапазон регулирования скорости шпинделя с постоянной мощностью равный 20 50 при двухступенчатой коробке скоростей можно обеспечить при электрическом регулированни скорости двигателя с постоянной...