69041

Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала. Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Русский

2014-09-29

250.5 KB

15 чел.

Практическое занятие 2.9

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 9. Аналитический сигнал и его свойства. Описание огибающей случайного сигнала.

Аналитический сигнал и его свойства.

Примеры описания огибающей случайного сигнала.

/1/. 55-57

/2/. 52-57

/3/. 153-159, 120-129

Задание на дом: /6/, зад. 2.3.8. (30,165)
Учебные вопросы.

1. Аналитический сигнал и его свойства.

В лекции 2.6 были введены понятия огибающей, мгновенной фазы и мгновенной частоты для детерминированного квазигармонического сигнала.

Аналогичные понятия могут в общем виде введены и для любого и в том числе для случайного сигнала.

Введение этих понятий необходимо, потому, что при обработке сигналов, оценке могут подлежать разные информативные параметры: амплитудные, энергетические, частотные, фазовые.

Удобной математической моделью сигнал, содержащей в себе эти признаки, является аналитический сигнал.

Аналитическим сигналом называется комплексная форма представления сигнала

  (2.9.1)

для которой выполняются соотношения

— огибающая сигнала (2.9.2)

— мгновенная фаза  (2.9.2)

   (2.9.3а)

— мгновенная частота  (2.9.4)

где — квадратурная компонента, сопряженная по Гильберту с исходным сигналом .

Аналитический сигнал, таким образом содержит полную информацию об исходном сигнале, его квадратурных компонентах. Применительно к случайному сигналу функции , , представляют собой случайные процессы.

Для аналитического сигнала  вводится комплексно-сопряженный аналитический сигнал

   (2.9.5)

Свойство 1.

Произведение АС  на КСАС  равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала (см. (2.9.5.) и (2.9.2)):

 (2.9.6)

Следствие:

    (2.9.7)

Спектр аналитического сигнал вводится прямым преобразованием Фурье:

Свойство 2

   (2.9.8)

Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

  (2.9.9)

Это следует из (2.9.5),(2.5.16),(2.6.14):

.

Следствие.

Обратное преобразование Фурье для АС имеет вид:

   (2.9.10)

тем самым устанавливается связь между АС и КСП исходного сигнала.

Для АС ка масостоятельную функцию выделяют комплексную огибающую АС (см. (2.9.1), (2.9.3а)):

(2.9.11)

где — КОАС раздельно представляет признаки амплитудной и угловой модуляции сигнала и не содержит значение несущей частоты .

Свойство 3.

Комплексная спектральная плотность КОАС   совпадает со смещенной на величину  влево комплексной спектральной плотностью АС :

      (2.9.12)

или иначе:

   (2.9.13)

Это свойство иллюстрируется рис. (2.9.1)

Корреляционная функция АС определяется выражением:

     (2.9.14)

Свойство 4.

КФ АС  связана с корреляционной функцией исходного сигнала:

      (2.9.15)

соотношением

      (2.9.16)

Следствие

При  (см. 2.9.15):

;      (2.9.17)

где  — энергия исходного сигнала .

2. Примеры описания огибающей случайного процесса.

Во многих радиотехнических приложениях используются понятие узкополосного случайного процесса (УПСП) вида:

   (2.9.17)

где , , — случайные медленно меняющиеся функции времени (в отличии от сходных детерминированных функций в выражении (2.6.8) для квазигармонического сигнала).

Процесс вида (2.9.18) считается узкополосным, если выполняется условие:  где  — эффективная ширина энергетического спектра, введенная в (2.8.13);

— средняя частота энергетического спектра, введенная (2.8.13).

Физическому процессу (2.9.18) может соответствовать шумовой сигнал (пример, оптоволоконный связи), смесь сигнала с помехой и другие реальные процессы.

Описание свойств огибающей процесса (2.9.18) реализуется через плотность вероятности  , где — случайное значение огибающей в момент .

Поиск плотности вероятности  производится на основе преобразований функционально-связанных случайных величин:

,    (2.9.20)

где — квадратурные компоненты случайного процесса (2.9.18), а выражение (2.9.20) геометрически интерпретируется как переход от декартовых координат к полярным: ;      (2.9.21)

Обратимся к случаю, когда квадратурные компоненты  и  описываются нормальным законом распределения с параметрами:

или для стационарного процесса  (2.9.22)

и являются независимыми.

Алгоритм определения  сводится к следующим шагам:

Определение двумерной плотности вероятности компонент

Нахождение вероятности попадания огибающей в некоторую область в декартовой системе координат:  

Трансформация найденного выражения в полярную систему координат , где — вектор огибающей, — фаза вектора огибающей,  .

Нахождение двумерной плотности вероятности

Определение по виду  — искомой плотности .

Реализация алгоритма.

Совместная плотность вероятности квадратурных компонент:  (2.9.23)        С учетом преобразования вида (2.9.21) проведем замены переменных: (2.9.24)

Вероятность попадания огибающей в некоторую область значений (рис. 2.9.2)  

Аналитическая вероятность при пользовании полярными координатами для  (рис. 2.9.3)

Совместная (двумерная) плотность вероятности огибающей и фазы: (2.9.26)

Вычисление интеграла приводит к выражению:

   (2.9.27)

где — огибающая регулярной составляющей сигнала .

     — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Распределение вида (2.9.27) носит название обобщенного распределения Рэлея или распределения Рэлея-Райса.. Это распределение может применяться при описании смесей сигналов, смеси сигнала и шума, т. е. при   (рис. 2.9.4)

В случае описания огибающей флуктуационного  шума   имеет место .

Распределение вида (2.9.28) носит название распределения Рэлея (рис. 2.9.5).

Пользуясь (2.9.25), можно найти распределение для фазы УПСП, однако это не входит в план нашего рассмотрения ( /2/,  с.55-56).

  Выводы:

Аналитический сигнал является распространённым инструментом описания детерминированных и случайных ( в том числе — модулированных ) сигналов и обладает   рядом полезных свойств.

     2.Распределения огибающей УПСП  U(t)

Рэлея-Райса,

Рэлея

являются широко распространёнными в радиотехнических приложениях. Их не следует путать с нормальным распределением случайных значений сигнала S(t)  УПСП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68908. Файлы образов фрагментов экрана 46.5 KB
  Детали формата Каждый файл содержит заголовок файла заголовок Bitmp карту цветов если изображение не 24 битное и собственно изображение. Заголовок Bitmp Windows За заголовком файла следует заголовок Bitmp и необязательно карта цветов.
68909. Преобразование на плоскости 85 KB
  Представление графических изображений осуществляется точками и линиями. Возможность преобразования точек и линий является основой компьютерной графики. При использовании компьютерной графики можно изменять масштаб изображения, вращать его, смещать и трансформировать для улучшения наглядности изображения объекта.
68910. Аффинные преобразования координат при моделировании динамики объектов 197 KB
  Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица R единицы на главной диагонали остальные члены нули. Новые координаты x y высчитываются в процедуре NEW_XY которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой PICT.=
68911. Преобразования в пространстве 54.5 KB
  В трехмерном случае (3D) рассмотрим однородные координаты. Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х, у, z, 1).
68912. Виды проектирования 92.5 KB
  Линия горизонта и точка схода являются особенностью изображения и реально не существуют в трёхмерном пространстве. Однако наша задача получить картину трёхмерного изображения, т.е. двухмерную твердую копию (на экране, на бумаге).
68914. Вывод текста 54 KB
  Вывод текста на экран в графическом режиме имеет ряд отличий от подобных действий в текстовом режиме. Отличие состоит в том, что все действия производятся только со строковыми константами и переменными, числовая же информация должна предварительно преобразовываться в строковую (процедуру Str).
68916. Завантаження файлів 48 KB
  Завантаження файлів на сервер по протоколу HTTP здійснюється набагато чаші, чим ви можете подумати: Web-інтерфейси поштових сервісів дозволяють додати до листа вкладення, а для цього потрібно спершу завантажити файл на сервер, а тільки після цього додавати до листа.