69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

17 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33764. Свободные и обязательные договоры. Характеристика публичного договора 15.02 KB
  Заключение же обязательных договоров как это следует из самого их названия является обязательным для одной или обеих сторон. Обязательным участником публичного договора является коммерческая организация. При отсутствии хотя бы одного из указанных признаков договор не является публичным и рассматривается как свободный договор. Так если предприятие розничной торговли заключает с гражданином договор куплипродажи канцелярских товаров которыми торгует это предприятие то данный договор является публичным.
33765. Способы и порядок заключения гражданско-правовых договоров. Момент заключения договора 15.89 KB
  Способы и порядок заключения гражданскоправовых договоров. Момент заключения договора. Договор считается заключенным если между сторонами достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора. Понуждение к заключению договора не допускается за исключением случаев когда обязанность заключить договор предусмотрена ГК законом или добровольно принятым обязательством.
33766. Заключение договора в обязательном порядке 15.54 KB
  Заключение договора в обязательном порядке. Указанный порядок применяется в тех случаях когда заключение договора является обязательным для одной из сторон в силу закона т. Заинтересованная в заключении договора сторона для которой его заключение не является обязательным направляет другой стороне для которой заключение договора обязательно проект договора. Сторона для которой заключение договора является обязательным должна в течение 30 дней со дня получения оферты рассмотреть ее и направить другой стороне: либо извещение об...
33767. Основания, порядок и правовые последствия изменения и расторжения договора 15.14 KB
  Основания порядок и правовые последствия изменения и расторжения договора. Основаниями для расторжения договора служат соглашение сторон существенное нарушение договора либо иные обстоятельства предусмотренные законом или договором. Одним из способов расторжения договора является его расторжение или изменение по соглашению сторон которое совершается в той же форме что и договор. Законодательством Предусмотрено такое расторжение или изменение: вопервых когда нарушены условия договора которые могут быть квалифицированы как...
33768. Понятие, виды и элементы договора купли-продажи 16.52 KB
  Понятие виды и элементы договора куплипродажи. Договор куплипродажи это договор по которому одна сторона продавец обязуется передать имущество другой покупателю уплатив за него определенную денежную сумму. Виды договора куплипродажи: розничная купляпродажа; поставка; поставка товаров для государственных нужд; контрактация; энергоснабжение; продажа недвижимости; продажа предприятия. Характеристика договора куплипродажи: консенсуальный возмездный взаимный.
33769. Предмет, цена, форма и срок договора купли-продажи 15.11 KB
  Предмет цена форма и срок договора куплипродажи. Предметом договора куплипродажи могут быть имущество не изъятое из гражданского оборота и имущественные права п. Цена договора куплипродажи является договорной. Цена является существенным условием договора куплипродажи лишь в двух случаях: при продаже товара в рассрочку и при продаже объектов недвижимости.
33770. Основные права и обязанности сторон по договору купли-продажи 15.5 KB
  Продавец обязан передать покупателю: товар соответствующего качества в соответствующем количестве ассортименте комплектности и комплекте. Условие о количестве товара является существенным; моментом передачи товара является момент его вручения либо предоставления в распоряжение либо передачи его перевозчику; товар в таре или упаковке; относящиеся к передаваемому товару принадлежности и документы; товар свободный от прав третьих лиц на него. Если третье лицо имеющее право собственности на проданный товар покупателю реализует свое...
33771. Договор розничной купли-продажи и защита прав потребителей 15.73 KB
  Договор розничной куплипродажи и защита прав потребителей. Договор розничной куплипродажи договор по которому продавец осуществляющий предпринимательскую деятельность по продаже товаров в розницу обязуется передать покупателю товар предназначенный для личного семейного домашнего или иного использования не связанного с предпринимательской деятельностью. Разновидности договора розничной куплипродажи: продажа товаров по образцам; продажа товаров с использованием автоматов; продажа с условием принятия товара покупателем в...
33772. Ответственность по договору розничной купли-продажи 14.71 KB
  Ответственность по договору розничной куплипродажи. Особенности ответственности по договору розничной куплипродажи: ответственность за нарушение прав потребителя может быть возложена не только на продавца но и на изготовителя товара; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре отвечает и за недостатки товара возникшие после его передачи; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре обязан возместить убытки возникшие у покупателя; возмещение продавцом убытков покупателю не освобождает его от...