69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

18 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25359. Особенности дыхания при мышечной работе 36.5 KB
  Увеличению транспорта кислорода при работе способствует также выбрасывание эритроцитов из кровяных депо и обеднение крови водой вследствие потения что ведет к некоторому сгущению крови и повышению концентрации гемоглобина а следовательно и к увеличению кислородной емкости крови. Из каждого литра крови протекающей по большому кругу клетки организма утилизируют в покое 60 80 мл кислорода а во время работы до 120 мл кислородная емкость 1 л крови равна около 200 мл 02. Повышенное поступление кислорода в ткани при мышечной работе...
25360. Значение пищеварения 33 KB
  Все функции органов пищеварения подчинены сложным нервным и гуморальным механизмам регуляции.Основы современной физиологии пищеварения разработаны преимущественно И. Павлова функции органов пищеварения находящихся в глубине тела и недоступных непосредственному наблюдению изучались в основном в острых опытах при которых производилось вскрытие живого животного и вследствие наносимой травмы нарушалось нормальное состояние организма.
25361. Пищеварение в полости рта 59.5 KB
  Расслабление кардиальной мускулатуры наблюдается также при резких сокращениях желудка брюшных мышц и диафрагмы во время рвоты. Здесь же происходят химические изменения некоторых питательных веществ под влиянием сока выделяемого железами желудка. Железы желудка расположены в слизистой оболочке его дна тела и привратника. В фундальной части желудка железы состоят главных добавочных и обкладочных клеток.
25362. ПИЩЕВАРЕНИЕ В ТОНКОМ КИШЕЧНИКЕ 32.5 KB
  Количество их огромно от 50 до 200 млн на 1 мм2 поверхности кишки что увеличивает внутреннюю поверхность тонкого кишечника в 300500 раз. Моторная деятельность тонкого кишечника обеспечивает перемешивание химуса с пищеварительными секретами и продвижение его по кишке благодаря сокращению круговой и продольной мускулатуры. При сокращении продольных волокон гладкой мускулатуры кишечника происходит укорочение участка кишки при расслаблении его удлинение. Такая периодичность обусловлена автоматией гладкой мускулатуры кишечника способностью...
25363. Пищеварение в толстых кишках 27 KB
  Железы толстого кишечника выделяют небольшое количество сока богатого слизью и бедного ферментами. Низкая ферментативная активность сока толстого кишечника обусловлена малым количеством непереваренных веществ в химусе поступающем из тонкого кишечника. Сокоотделение в этом отделе кишечника регулируется главным образом местными влияниями; механическое раздражение усиливает секрецию в 810 раз. Большую роль в жизнедеятельности организма и функций пищеварительного тракта играет микрофлора толстого кишечника где обитают миллиарды различных...
25364. Государственные гарантии социальной защиты населения в РФ 42 KB
  Государственные гарантии социальной защиты населения в РФ. В обществе рыночных отношений главную функцию социальной защиты берет на себя государство как главный субъект социальной политики и социальной работы. Основные социальные гарантии закреплены в Конституции РФ и находят свое подтверждение в социальной политике. 7 Основного закона РФ: В Российской Федерации охраняются труд и здоровье людей устанавливается гарантированный минимальный размер оплаты труда обеспечивается постоянная поддержка семьи материнства отцовства и детства инвалидов...
25365. Место и роль общественных объединений в реализации социальной работы 30.5 KB
  Место и роль общественных объединений в реализации социальной работы Современная парадигма социальной работы рассматривает ее как многосубъектную деятельность характеризующуюся активным участием наряду с государством общественных и благотворительных организаций в решении социальных проблем населения. В последние годы наблюдается значительный рост общественных организаций активизация их участия в осуществлении мероприятий по социальной защите населения. идея создания общественных объединений предполагала что они станут резервом...
25366. Социальное прогнозирование как метод научного познания: объект, предмет, его виды 14.26 KB
  В отечественной науке многочисленные попытки прогнозирования были осуществлены в 20х – начале 30х годов. Научные основы прогнозирования вообще и социального в частности стали разрабатываться в нашей стране в конце 50х – начале 60х годов что связано с творчеством таких ученых как Э. Цель прогнозирования не просто предвидеть те или иные явления а способствовать более эффективному воздействию на них в нужном направлении. В ходе научного прогнозирования решаются 2 задачи: 1 определяется и мотивируется цель вероятного...
25367. Антропологические основания социальной работы 23.5 KB
  Структура ответа: Вступление Понятие социальной работы Понятие антропологии. Антропологические основания социальной работы Вывод Социальная работа носит междисциплинарный характер поэтому она включает знания из различных областей. Социальная работа – специфический вид профессиональной деятельности оказание государственного и негосударственного содействия человеку с целью обеспечения культурного социального и материального уровня его жизни предоставление индивидуальной помощи человеку семье или группе лиц словарьсправочник по...