69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

19 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3971. ІНФОРМАЦІЙНА БЕЗПЕКА WEB 2.0 359.9 KB
  ІНФОРМАЦІЙНА БЕЗПЕКА WEB 2.0. Що таке Web 2.0 WEB 2.0 – це методика проектування систем, котрі шляхом врахування мережевих взаємодій стають тим краще, чим більше ними користуються. Web 2.0 - не технологія і не особливий ...
3972. АЭРОНАВИГАЦИЯ Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ 355.61 KB
  Дисциплина «Аэронавигация» является профилирующей, которая определяет уровень профессиональной подготовки студентов специализации «Летная эксплуатация гражданских воздушных судов». Она является основой для изучения других дисциплин, формирующих профессиональную подготовку.
3973. Знайомство з пакетом Swing 350.08 KB
  Лабораторна робота №7 (Знайомство з пакетом Swing) Тема роботи: Знайомство з пакетом Swing Мета роботи: Дослідити пакет Swing. План роботи. Ознайомлення з компонентами бібліотеки Swing. Навчитися добавляти компоненти до контейнерів Озн...
3974. ОСОБЕННОСТИ УЧЕТА ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ СУБЪЕКТАМИ МАЛОГО И СРЕДНЕГО БИЗНЕСА 336.63 KB
  Развитие малого предпринимательства является одним из условий перехода России к полноценным рыночным отношениям, устойчивому развитию экономики, а также обеспечению стабильности в социальной сфере. Особая роль отводится бизнесу в развитие сферы услуг, которая является своего рода индикатором оценки уровня развития экономики любой страны....
3975. Системы линейных неравенств 331.41 KB
  Лекция Системы линейных неравенств Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из m с n неизвестными x1 ,x2 ,...
3976. Створення простого текстового редактора 331.12 KB
  Лабораторна робота №9 (Створення простого текстового редактора.) Мета роботи: Створення простого текстового редактора. Мета: Написати програму на Java простого текстового редактора на Java План роботи. Вивчення додаткових компонентів для створе...
3977. Java. Типи даних 329.05 KB
  Лабораторна робота №5 (Java. Типи даних.) Тема роботи: Java. Типи даних. Мета роботи: Навчитися писати прості програми на Java 2SE. План роботи. Ознайомитися з структурою JDK. Ознайомитися з інтерфейсом програми IDEA. Написати просту...
3978. Система спутникового телевизионного вещания 326.67 KB
  Системы спутникового телевизионного вещания начали интенсивно развиваться с начала девяностых годов. Передаваемые ретранслятором геостационарного спутника телевизионные сигналы предназначены для непосредственного приема на сравнительно простые и недорогие установки (тюнеры)...
3979. Структура файлу boot.ini 319.29 KB
  Лабораторна робота № 2 (домашня) З дисципліни системне програмне забезпечення. Тема роботи: Файл boot.ini Мета роботи: Вивчити структуру файлу boot.ini, призначення його параметрів, навчитись редагувати даний файл Характеристика робочого місця (за...