69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

18 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73775. Профессионально-этические принципы работы практического психолога 25.21 KB
  Очевидные самоочевидные и даже в чемто банальные принципы типа не кричи на клиента не бей клиента не плюй в клиента не наноси ему увечий и т. Например психологконсультант неоправданно оскорбляет клиента доводя его до истерики или использует в некоторых случаях совершенно не адекватные методы был случай когда один весьма солидный специалист в профконсультации под видом инноваций применил метод иглоукалывания да еще в затемненной комнате при свечах и с полуобнаженным телом ошарашенного подростка. Роджерса пишет:...
73776. Этические проблемы в научной деятельности психолога 22.64 KB
  Проблема в том что для чистоты исследования часто приходится работать в режиме субъектобъектных отношений что предполагает повышенную этическую готовность и нравственную ответственность психологаисследователя. Проблема недобросовестности исследования. Этическая проблема заключается в вынужденной необходимости истинных авторов соглашаться на такое соавторство ради того чтобы книга вообще была издана. Очень непростой является проблема семейственности в науке когда с одной стороны создаются благоприятные условия для откровенных...
73777. Важнейшие требования к личности практического психолога 14.66 KB
  Иными словами превалирующая роль отводится психологическому и психотерапевтическому а также психокоррекционному и психодиагностическому инструментарию при этом личностные характеристики психолога считаются чемто вторичным. Подобная позиция присуща теоретическим концепциям рассматривающим психологическую помощь как воздействие психолога на клиента. Обобщая многочисленные исследования профессионально важных личностных черт психотерапевтов и психологов можно выделить следующие личностные черты желательные для практического психолога: ...
73778. Проблема «модели специалиста» и индивидуального стиля деятельности психолога 22.45 KB
  Обычно приводится примерно такое обоснование: невозможно втиснуть в модель все характеристики профессиональной деятельности вместе с необходимостью импровизировать в труде а также невозможно выделить общепризнанный стандартнообразцовый профиль личностных и профессиональных качеств специалиста под который можно было бы подгонять будущих психологов. Маркова выделяет следующие основные составляющие модели специалиста: 1 профессиограмму то есть описание самой деятельности психолога; 2 профессиональнодолжностные требования...
73779. Профессиональные деструкции в развитии психолога 22.97 KB
  Работа может способствовать личностному развитию но может иметь и отрицательные для личности последствия. Проблема в балансе соотношении позитивных и негативных изменений личности работника. Профессиональные деструкции проявляются в снижении эффективности труда в ухудшении взаимоотношений с окружающими в ухудшении здоровья и главное в формировании отрицательных личностных качеств и даже в распаде целостной личности работника. Специалисты обычно выделяют и анализируют негативные качества формирующиеся в работе школьных учителей: ...
73780. Эффективность труда психолога 20.5 KB
  Сложность оценки эффективности труда психолога связана с тем что основной результат его работы существует сокрыт во внутреннем мире других людей. Центральные вопросы связанные с оценкой эффективности деятельности профессионального психолога состоят в следующем: кто и по каким критериям может и должен производить эту оценку По всей видимости официально оценивать эффективность работы психолога должны четыре типа лиц или общественных групп: администрация организации где психолог работает профессиональное сообщество клиенты сам...
73781. Работа психолога в образовании: цели и направления работы 20.26 KB
  В рамках актуального направления обсуждаются и решаются злободневные проблемы и вопросы связанные с конкретными трудностями в обучении и воспитании детей с нарушениями в их поведении с трудностями в обшении в той или иной системе отношений и т. Разработано и используется много программ комплексного обследования детей. Психологическое просвещение направлено на приобщение взрослых и детей к психологическим знаниям. Психо-профилактическая работа формирование педагогов детей родителей или лиц их заменяющих общей психологической культуры...