69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

19 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72232. ИСТОРИЯ ЗООПСИХОЛОГИИ И СРАВНИТЕЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ 254.5 KB
  История развития знаний о психике животных и происхождении психики человека неразрывно связана с историей всей психологической науки поскольку зоопсихология и сравнительная психология решают фундаментальные психологические проблемы: определение психики ее возникновение и развитие в эволюции...
72233. Избирательная система Республики Казахстан 96 KB
  Цель лекции: ознакомить студентов с отношениями, возникающими при подготовке и проведении выборов Президента, депутатов Сената и Мажилиса Парламента, маслихатов и членов органов местного самоуправления Республики Казахстан, а также с гарантиями, обеспечивающими свободу волеизъявления граждан Республики.
72234. Административное право Республики Казахстан 159 KB
  Административное право являясь профилирующей фундаментальной отраслью составным эвеном системы права Республики Казахстан выступает гораздо большим явлением чем обычная форма реализации воли исполнительной власти. Административное право безусловно должно ограничить свои действия сферой...
72235. Государственное управление Республики Казахстан 44 KB
  Государственное управление, как один из видов государственной деятельности, заключается в исполнительно-распорядительной деятельности специальных государственных органов в целях руководства различными областями общественной жизни.
72236. Основные понятия конституционного права Республики Казахстан 71.5 KB
  Конституционное право регулирует общественные отношения возникающие в процессе осуществления государственной власти Предмет конституционного права общественные отношения связанные с осуществлением государственной власти и ее организации устройством государства а также между человеком и государством.
72237. Основы конституционного строя Республики Казахстан 90.5 KB
  Устройство государства характеризуется определенными отношениями экономическим политическими социальными которые лежат в основе этого строя. Светский характер государства верховенство права социальный характер государства унитарность политический и идеологический плюрализм.
72238. Нелинейные регрессионные модели 443 KB
  Во-первых зависимость между x и y во всех уравнениях нелинейная. Как всё сказанное влияет на методы отыскания неизвестных коэффициентов β0 β1 Если оба коэффициента входят в уравнение линейно а случайная составляющая e аддитивно то исходная нелинейная функция путем замены переменных...
72239. Логит- и пробит-модели 532 KB
  Как мы уже обсуждали в эконометрическом моделировании работают с переменными которые могут быть измерены в: Метрической шкале являться количественными. В этой главе мы рассмотрим в частности эконометрические модели которые используют в том случае когда...