69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

19 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11451. КВАНТОВА ФІЗИКА 194.5 KB
  КВАНТОВА ФІЗИКА 1. ВСТУП Закони квантової фізики квантової механіки складають фундамент вивчення будови речовини. Вони дозволили зясувати будову атомів встановити природу хімічного звязку властивості напівпровідників та ін. Квантова фізика наука про будов
11452. Исследование скважин методом последовательной смены установившихся притоков 750 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Исследование скважин методом последовательной смены установившихся притоков. Целью данного исследования скважин является определение коэффициента продуктивности скважин гидропроводности и проницаемости призабойной части пласта. В з
11453. ИНФОРМАТИКА В 6 КЛАССЕ. ВСЕ КОНСПЕКТЫ УРОКОВ 2.74 MB
  Учебное методическое пособие для учителя предполагает наличие в школьном кабинете информатики IBM-совместимых компьютеров, организованных в локальную сеть, а также программного обеспечения: операционной системы Windows 2000 (Windows NT, XP и т.д.), графического редактора Paint, текстового редактора Microsoft Word (или WordPad), системы программирования Pascal ABC с исполнителем Чертежник. Допустимое время работы школьников за компьютером – 20 минут.
11454. УЧАСТИЕ АФК В ОТКРЫТИИ СЛЕДОВ КРОВИ НА СТОМАТОЛОГИЧЕСКОМ ИНСТРУМЕНТАРИИ В РЕАКЦИИ С АЗОПИРАМОМ 32 KB
  Участие АФК в Открытии следов крови на стоматологическом инструментарии в реакции с азопирамом ПРИНЦИП МЕТОДА. При взаимодействии азопирама с гемоглобином в присутствии пероксида водорода как окислителя образуются цветные продукты с хара
11455. Определение йодного числа жира для общей оценки ненасыщенных связей 31 KB
  Лабораторная работа Определение йодного числа жира для общей оценки ненасыщенных связей Принцип. Определение основано на способности ненасыщенных жирных кислот присоединять йод по месту двойных связей. Йодное число это количество йода в граммах присоединяемое ...
11456. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ МЕТАБОЛИТОВ МОНООКСИДА АЗОТА (НИТРИТОВ) В СЛЮНЕ 28.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Определение содержания метаболитов монооксида азота нитритов в слюне НитрогенIIоксид NO это свободный радикал который образуется в организме из аргинина и выполняет роль мессенджера в ряде биологических процессов. Аргинин цитрулин NO ...
11457. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЛИЧИЯ ХОЛИНСОДЕРЖАЩИХ ФОСФОЛИПИДОВ В СМЕСИ ЛИПИДОВ 30 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Определение наличия холинсодержащих фосфолипидов в смеси липидов ПРИНЦИП МЕТОДА. Холинсодержащие фосфолипиды имеющие четвертичный атом азота проявляют свойства сильных органических оснований поэтому способны связывать красители бром...
11458. Определение содержания ТБК-реактивных продуктов перекисного окисления липидов в сыворотке крови 90.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Определение содержания ТБКреактивных продуктов перекисного окисления липидов в сыворотке крови метод А. Кона и В. Ливерсейджа в модификации Ю. Владимирова и А. Арчакова Вследствие индукции перекисного окисления липидов ПОЛ клеточных мембран и ...
11459. РЕАКЦИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ГИСТАМИНА СОЛЯМИ КОБАЛЬТА 25 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Реакция идентификации гистамина солями кобальта ПРИНЦИП МЕТОДА. Гистамин реагирует с солями кобальта с образованием окрашенных комплексных солей. Реактивы: 1 раствор гистамина; 2 раствор кобальта нитрата или кобальта хлорида; 3 раствор натри...