69042

Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени без потери сведений о форме сигнала рис.3 с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС: цифровой сигнал подлежит регенерации восстановлению формы с точностью до шага...

Русский

2014-09-29

220.5 KB

19 чел.

Лекция 2.11

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 11. Дискретное представление непрерывных сигналов. Теорема В.А.Котельникова.

  1.  Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывных сигналов.

/1/. 51-54

/4/. 74-79


Учебные вопросы.

Постановка задачи о дискретном представлении непрерывных сигналов.

В лекции 2.2 было определено, что непрерывные сигналы задаются на непрерывном несчетном множестве значений по уровню и по оси времени (рис. 2.2.1)

Дискретный сигнал задан на счетном (дискретном) множестве значений времени. (рис. 2.2.2)

Дискретизация непрерывного сигнала означает переход от непрерывного к дискретному способу задания сигнала на оси времени (без потери сведений о форме сигнала) (рис. 2.11.1)

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

  1.  с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)
    1.  дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)
    2.  цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)
  2.  с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:
    1.  цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);
    2.  цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному для повышения помехоустойчивости;
  3.  с точки зрения защиты информации в ТКС
    1.  только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи
  4.  с точки зрения технологичности ТКС
    1.  цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи
    2.  устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Теорема В. А. Котельникова о дискретном представлении непрерывного сигнала.

В 1936 году В. А. Котельников опубликовал работу, в которой впервые было доказано, что непрерывную функцию времени можно в точности восстановить по ее дискретным отсчетам. Центральным условием такого восстановления является ограниченность (конечность, финитность)  спектра этой временной функции. Строгая формулировка теоремы будет приведена ниже.

Предварительные замечания.

Примером простейшего случая функции с ограниченным спектром является функция, имеющая КСП вида (рис. 2.11.4)

   (2.11.1)

Этой функции соответствует во временной области сигнал:

 (2.11.2)

Введем обозначение    (2.11.3)

перейдем к другой паре спектрально временного описания сигнала (рис 2.11.5):

 (2.11.4)

В общем виде для сигнала, подлежащего дискретизации, должно быть справедливо

   (2.11.5)

где — верхняя граница сперта сигнала;

— ненулевая КСП сигнала в границах спектра.

Для произвольного непрерывного сигнала с КСП , отвечающей условию (2.11.5), синтезируем математическую модель его дискретизации: переход к дискретному представлению без ущерба (без потерь) сведений о его форме.

Дискретизация по Фурье.

В рамках теории спектрального представления сигналов была решена задача представления непрерывного сигнала через ряд дискретных гармонических функций:

   (2.11.6)

где — ортогональный базис; то есть система гармонических функций удовлетворяющих условию:  (2.11.7)

где — интервал ортогональности функции .

В силу (2.11.7) из (2.11.6):

или    (2.11.8)

где — норма функции  .

Для непериодического (в общем виде) :

   (2.11.9)

   (2.11.10)

Для гармонического базиса .

Задача дискретизации.

Она формулируется сходно (2.11.6):

Для обобщенного ряда Фурье:

   (2.11.11)

исходя из условий:

!!!!!!!!!!!!!!!!!

  1.  ,  (рис. 2.11.5) (2.11.13)

— при этом КСП  обозначим  (2.11.14)

Найти :

ортогональный базис

интервал дискретизации  

Процедура синтеза.

В соответствии с (2.11.10), (2.11.13), (2.11.8)

(2.11.15)

Согласно (2.11.15) свойству преобразования Фурье (2.5.17а)

(2.11.16)

где — знак комплексного сопряжения функции для КСП .

Тогда, исходя из (2.11.15) и (2.11.16)

 (2.11.17)

можно записать что:

или

   (2.11.18)

Отсюда, согласно (2.11.10) и (2.11.2), (2.11.18)

(2.11.20)

С учетом условия (2.11.14)

;  (2.11.20)

Окончательно для  и

 (2.11.21)

  (2.11.23)

где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках.

Геометрическая интерпретация выражения (2.11.23), представляющего сущность теоремы В.А. Котельникова, приведена на рисунке (2.11.6)

Теорема Котельникова.

Сигнал , спектральная плотность которого отличается от нуля только в интервале  полностью определяется своими отсчетами, отсчитанными в дискретных точках через интервал:

   (2.11.24)

где — максимальная или верхняя граничная частота спектра сигнала (равная ширине спектра, если он начинается с нуля)

Значения сигнала в любой точке  выражается формулой (2.11.23), где — отсчеты непрерывной функции в дискретных точках отсчета.

Анализ результатов.

Анализ выражения (2.11.23) и рисунка (2.11.6) показывает, что в отсчетных точках  функция  определяется лишь одним слагаемым суммы (2.11.23), все остальные отсчетные функции дают в этих точках нулевой вклад.

Значения функции между отсчетными точками определяются точно только при учете вклад всех функций отсчета.

Таким образом, теорема Котельникова построена ан строгом математическом обосновании свойств ортогонального базиса (функций вида ), а не на допущении о “гладкости” функции  и гипотетических “экстраполирующих” ее свойствах. Важные и интересные замечания по этому поводу содержатся в /3/, с.50-60.

По аналогии с преобразованием Фурье, имеющим физическую реализацию через МНГО, преобразование вида (2.11.23) также физически реализуется.

Материальным носителем отклика вида (2.11.22) на одиночное импульсное воздействие является идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой вида (2.11.21).

Реально по каналу передаются дискретные отсчеты которые воздействуют на ФНЧ с ЧХ, (2.11.21). На входе фильтра реализуются преобразования фильтра (2.11.23), то есть воспроизводится передаваемый исходный непрерывный сигнал.

Умножение интервала дискретизации

фактически означает переход к базисным функциям с более широким спектром с граничной частотой :

При этом, очевидно, равенство вида (2.11.15)

 (2.11.25)

не нарушается, поскольку  определяется внутри интервала меньшего интервала , где .

Напротив, переход к

приводит к базису с границей спектра , следовательно КСП  в границах  оказывается усеченной и не может в точности соответствовать сигналу  .

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43505. Состояние психологической готовности ребенка к школе 355.5 KB
  Развитие в школе альтернативных методик позволяет обучать детей по более интенсивной программе. Важнейшей задачей является всестороннее развитие личности ребёнка и подготовка его к школе. Готовность ребенка к обучению в школе в одинаковой мере зависит от физиологического социального и психического развития ребенка.
43506. Теория телетрафика 276.5 KB
  Как видно из расчетов, величина расчетной нагрузки возрастает с увеличением математического ожидания, но зависимость эта не линейна. С увеличением значения нагрузки, относительное отклонение расчетной нагрузки от ее математического ожидания уменьшается.
43507. ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ 66 KB
  Последовательность выполнения работы Разработку курсового задания рекомендуется проводить в следующей последовательности: математическая формулировка задачи; выбор численного метода ее решения; построение схемы алгоритма решения задачи; разработка программы; проведение испытаний отладка программы; анализ результатов счета; оформление расчетнопояснительной записки. Указания к оформлению расчетнопояснительной записки Отчет по работе оформляется в виде расчетнопояснительной записки которая должна содержать следующие черты: титульный лист;...
43509. СОЗДАНИЕ МАРКШЕЙДЕРСКОГО–ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ СЪЕМКИ В МАСШТАБЕ 1:2000 ГОРНОДОБЫВАЮЩЕГО ПРЕДПРИЯТИЯ 39.5 KB
  Высоты пунктов съемочного обоснования определить методом технического или спутникового нивелирования. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: Топографическая карта растр масштаба 1:100 000 с нанесенными на ней: территория горнодобывающего предприятия; пункты исходного геодезического обоснования ГГС: полигонометрия или триангуляция 4 класса точности с отметками определенными из нивелирования III класса все доступные на исходной топографической карте. Проект опорного планововысотного обоснования.
43510. Финансирование энергосберегающих проектов предприятий электроэнергетики за счёт собственных средств 313 KB
  Ухта мощностью 150 Гкал ч объект: Ухтинские тепловые сети; 2 Реконструкция теплоснабжения поселка Бельгоп г.Ухта объект: Ухтинские тепловые сети; 3 Оснащение дутьевых вентиляторов котлоагрегатов частотными приводами объект: Сосногорская ТЭЦ; 4 Внедрение системы непрерывной очистки трубокконденсаторов шарикоочистка с эластичными шариками объект: Сосногорская ТЭЦ; 5 Оснащение насосного оборудования центральных тепловых пунктов частотными приводами объект: Сосногорская ТЭЦ; 6 Подача тепла на теплофикационную установку...
43511. Внутренний аудит процесса «Управление записями в отделе сервисного обслуживания» на ЗАО «Компания Новгородский Завод ГАРО» 882 KB
  Основным процессом поставщиком для данного процесса является «Оформление и предоставление актов работ», в ходе которого инженеры, совместно с потребителями продукции ГАРО, составляют акты о проведенных работах, а секретарь ОС ведет реестр актов работ и является ответственным за хранение записей и предоставление их для дальнейшего использования.
43512. Анализ технико-экономического показателей работы промышленного предприятия 755.5 KB
  Одним из важнейших разделов анализа работы предприятия является анализ трудовых ресурсов. Его цель - в выявлении резервов роста производительности труда, улучшении нормирования, организации и условий труда, снижении себестоимости продукции, то есть важнейших технико-экономических показателей.
43513. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН И АНТЕННО-ФИДЕРНЫЕ УСТРОЙСТВА 264.5 KB
  Технические требования на проектируемую антенну номер канала дБ коэффициент усиления бортовой передающей антенны дБВт уровень мощности на входе малошумящего приемного устройства м протяженность радиолинии ИСЗ Земля модуль характеризующий потери в атмосфере Земли. С тех пор двойные зеркальные телескопы носят название телескопов Кассегрена и это название было распространено на антенны с аналогичным принципом конструкции зеркал. Антенны Кассегрена в настоящее время являются широко...