69043

Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

До сих пор речь шла о сигналах со спектром не превышающим частоту и где ширина спектра сигнала.3 где отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала; и определяется соответственно через 2. среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Русский

2014-09-29

200.5 KB

13 чел.

Лекция 2.12

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 12. Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Условия дискретизации реальных сигналов.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

/1/. 54

/2/. 60-63

/6/. 39 (№ 2.5.1)

/7/. 170-171


Учебные вопросы.

Условия дискретизации реальных сигналов.

Сигналы с ограниченным спектром, не содержащим нулевой частоты.

До сих пор речь шла о сигналах со спектром, не превышающим частоту  и , где — ширина спектра сигнала.

В общем случаи сигнал может иметь спектр, ограниченный частотами , то есть

     (2.12.1)

В этом случае точки отсчета следуют через интервал

    (2.12.2)

При этом в каждой точке отсчета фиксируется две величины: амплитуда  и фаза .

Тогда сигнал может быть представлен рядом вида:

(2.12.3)

где ,— отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала;

и  — определяется соответственно через (2.12.1) и (2.12.2).

— среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Из выражения (2.12.3) следует, что функция отсчетов в данном случае представляет собой радиоимпульс амплитудой , и начальной фазой  с частотой заполнения  и огибающей, определяемой функцией вида  (рисунок 2.12.1)

Случайные сигналы.

Теорема Котельникова сохраняет свой смысл и применительно к случайным процессам (сигналам)  с ограниченым энергетическим спектром , но тогда — случайные числа, а ряд вида (2.11.23) или (2.12.3) понимается как сходящийся в среднем.

Сигналы с ограниченным спектром и конечной длительностью.

Энергия большинства реальных сигналов в основном сосредоточена в конечном интервале времени  и ограниченной полосе частот , хотя функция с ограниченным спектром имеет теоретически бесконечную длительность (см. Лекция 2.5)

Тогда разложение в ряд Котельникова (2.11.23) будет трансформировано в усеченный ряд:     (2.12.4)

где  — границы отсчетной области реального сигнала.

— необходимое число отсчетов в отсчетной области.

В частотности, если , то     (2.12.5)

т.е. по определению (2.3.5) параметр — это база сигнала.

Ряд Котельникова вида (2.12.3) при усечении имеет область изменения переменной , а следовательно, предусматривает  отсчетных точек.

Однако каждой точке соответствует 2 числа: отсчет амплитуды, и отсчет фазы.

Таким образом, всякий сигнал, имеющий реальную длительность  и реальную ширину спектра  , определяется с помощью  или  (2.12.6)

параметров, (чисел).

Такое определение раскрывает физический смысл понятия “база сигнала”.

Аналогичный результата получается при рассмотрении рядов Фурье.

Для сигнала длительностью  с ограниченным (усеченным) спектром коэффициенты разложения Фурье  практически равны 0 при , .

Тогда ряд Фурье вида (2.4.11) может быть записан    (2.12.7)

В более общем случаи, когда ,

   (2.12.8)

В случае (2.12.7) ряд содержит  слагаемых, каждое из которых содержит пару чисел  .

Таким образом, в разложении Фурье для описания сигнала необходимо  или   чисел. Изменение хотя бы одного из этих чисел приводит к новой (другой) реализации сигнала. Поэтому говорят, что сигнал с базой  имеет  степеней свободы.

Ряды (2.12.4), (2.12.7), (2.12.8) позволяют выражать конечными суммами случайные процессы, имеющие бесконечное число значений. Это позволяет заметно упростить решение многих задач теории связи, что и оправдывает замену реальных сигналов моделями с финитными спектрами и конечной длительностью.

Ограничение спектра реального сигнала путем его пропускания через фильтр с граничной частотой  приводит к потере части энергии сигнала, и как следствие, к потере части информации о сигнале (погрешности ). При этом

 (2.12.9) для детерминированной функции

и

 (2.12.10) для случайного процесса.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

Задача.

Для колокольного импульса (рисунок 2.5.1)

    (2.12.11)

с параметрами , , найти интервал дискретизации при условии, что ошибка воспроизведения не должна превышать .

Решение.

Согласно (2.5.1), спектральная плотность сигнала (2.12.11) имеет вид,

,

где     (2.12.12)

При ограничении спектра сигнала с помощью фильтра с частотой среза   возникает погрешность , определяемая по формуле (2.12.9)

Известно, что — функция Крампа,

Тогда

 

Отсюда ; ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68285. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ФІНІШНОЇ ОБРОБКИ ВНУТРІШНІХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ПОВЕРХОНЬ ДЕТАЛЕЙ РЕДУКТОРІВ 725.5 KB
  Створення сучасних високонадійних машин і систем вимагає застосування ефективних технологій механічної обробки деталей які забезпечують необхідну точність якість і продуктивність їх обробки.
68286. ПРОФІЛАКТИКА ПРОТЕЗНИХ СТОМАТИТІВ У ХВОРИХ НА ЦУКРОВИЙ ДІАБЕТ ПРИ КОРИСТУВАННІ ЗНІМНИМИ АКРИЛОВИМИ ЗУБНИМИ ПРОТЕЗАМИ (КЛІНІКО-ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ОБҐРУНТУВАННЯ) 181.5 KB
  Мета дослідження. Підвищення якості ортопедичного лікування хворих на цукровий діабет 2 типу шляхом удосконалення конструкцій часткових знімних пластинкових протезів, розроблення методу профілактики протезних стоматитів.
68287. ОСОБЛИВОСТІ ПРОТИДІЇ УКРАЇНСЬКИХ ГРЕКО-КАТОЛИКІВ РЕЛІГІЙНІЙ ПОЛІТИЦІ РАДЯНСЬКОЇ ВЛАДИ У 1946 – 1989 РОКАХ 153.5 KB
  Метою дисертаційного дослідження є встановлення особливостей поширення опору населення релігійній політиці радянської влади у середовищі грекокатоликів у західних областях України у 1946-1989х рр. на Закарпатті; дослідити характерні риси формування підпільної мережі грекокатоликів у другій половині...
68288. ПРИНЦИПИ АРХІТЕКТУРНО-ПЛАНУВАЛЬНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ ТОРГОВО-РОЗВАЖАЛЬНИХ КОМПЛЕКСІВ (НА ПРИКЛАДІ КРАЇН БЛИЗЬКОГО СХОДУ) 6.2 MB
  Найбільш чітко ця система реалізується в сучасних торгово-розважальних комплексах ТРК. Аналіз європейського і близькосхідного досвіду проектування ТРК свідчить про необхідність систематизації наукового обґрунтування і розробки основ проектування сучасних ТРК для країн регіону АльШам.
68289. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕХАНІЗМІВ ФУНКЦІОНУВАННЯ ДЕРЖАВНОГО ТЕХНІЧНОГО НАГЛЯДУ НА РЕГІОНАЛЬНОМУ РІВНІ 180 KB
  Важливою складовою останнього є реалізація державної політики щодо нагляду за технічним станом та дотриманням правил технічної експлуатації машин в агропромисловому комплексі яку покладено на органи державного технічного нагляду.
68290. УДОСКОНАЛЕННЯ СТРУКТУРИ ТА ЗМІСТУ ФІЗИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ ЛИЖНИКІВ-ДВОБОРЦІВ НА ЕТАПІ ПОПЕРЕДНЬОЇ БАЗОВОЇ ПІДГОТОВКИ 290 KB
  Зростання спортивних результатів у лижному двоборстві великою мірою залежить від ефективності системи багаторічної підготовки юних спортсменів. Проблемі фізичної підготовки юних спортсменів присвячено низку робіт вітчизняних і закордонних спеціалістів...
68291. Институциональные основы регулирования рынка рекламных и PR-услуг 577.5 KB
  В рекламе не следует поощрять и призывать детей увеличивать количество приемов пищи в день или заменять основное питание легкой пищей. Однако именно об этом идет речь в рекламе «Данон» - имеет место призыв заменить бифштекс рекламируемым йогуртом.
68292. Процесс и технологии правового обучения 284.5 KB
  Функции процесса обучения обусловлены базисным законом, детерминирующим само его существование: объективной общественной потребностью в обучении и усвоении молодым поколением социального опыта для его воспроизведения и развития.
68293. Проекты образования СССР Мдивани, Раковского, Султан-Галиева 28 KB
  Присоединение Финляндии к России. Особый статус Финляндии в Российском государстве Ништадский и Абосский мир постепенное присоединение Выборга и прилегающих территорий. Российское правительство не могло не учитывать традиции почти столетней истории так называемой...