69043

Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

До сих пор речь шла о сигналах со спектром не превышающим частоту и где ширина спектра сигнала.3 где отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала; и определяется соответственно через 2. среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Русский

2014-09-29

200.5 KB

13 чел.

Лекция 2.12

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 12. Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Условия дискретизации реальных сигналов.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

/1/. 54

/2/. 60-63

/6/. 39 (№ 2.5.1)

/7/. 170-171


Учебные вопросы.

Условия дискретизации реальных сигналов.

Сигналы с ограниченным спектром, не содержащим нулевой частоты.

До сих пор речь шла о сигналах со спектром, не превышающим частоту  и , где — ширина спектра сигнала.

В общем случаи сигнал может иметь спектр, ограниченный частотами , то есть

     (2.12.1)

В этом случае точки отсчета следуют через интервал

    (2.12.2)

При этом в каждой точке отсчета фиксируется две величины: амплитуда  и фаза .

Тогда сигнал может быть представлен рядом вида:

(2.12.3)

где ,— отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала;

и  — определяется соответственно через (2.12.1) и (2.12.2).

— среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Из выражения (2.12.3) следует, что функция отсчетов в данном случае представляет собой радиоимпульс амплитудой , и начальной фазой  с частотой заполнения  и огибающей, определяемой функцией вида  (рисунок 2.12.1)

Случайные сигналы.

Теорема Котельникова сохраняет свой смысл и применительно к случайным процессам (сигналам)  с ограниченым энергетическим спектром , но тогда — случайные числа, а ряд вида (2.11.23) или (2.12.3) понимается как сходящийся в среднем.

Сигналы с ограниченным спектром и конечной длительностью.

Энергия большинства реальных сигналов в основном сосредоточена в конечном интервале времени  и ограниченной полосе частот , хотя функция с ограниченным спектром имеет теоретически бесконечную длительность (см. Лекция 2.5)

Тогда разложение в ряд Котельникова (2.11.23) будет трансформировано в усеченный ряд:     (2.12.4)

где  — границы отсчетной области реального сигнала.

— необходимое число отсчетов в отсчетной области.

В частотности, если , то     (2.12.5)

т.е. по определению (2.3.5) параметр — это база сигнала.

Ряд Котельникова вида (2.12.3) при усечении имеет область изменения переменной , а следовательно, предусматривает  отсчетных точек.

Однако каждой точке соответствует 2 числа: отсчет амплитуды, и отсчет фазы.

Таким образом, всякий сигнал, имеющий реальную длительность  и реальную ширину спектра  , определяется с помощью  или  (2.12.6)

параметров, (чисел).

Такое определение раскрывает физический смысл понятия “база сигнала”.

Аналогичный результата получается при рассмотрении рядов Фурье.

Для сигнала длительностью  с ограниченным (усеченным) спектром коэффициенты разложения Фурье  практически равны 0 при , .

Тогда ряд Фурье вида (2.4.11) может быть записан    (2.12.7)

В более общем случаи, когда ,

   (2.12.8)

В случае (2.12.7) ряд содержит  слагаемых, каждое из которых содержит пару чисел  .

Таким образом, в разложении Фурье для описания сигнала необходимо  или   чисел. Изменение хотя бы одного из этих чисел приводит к новой (другой) реализации сигнала. Поэтому говорят, что сигнал с базой  имеет  степеней свободы.

Ряды (2.12.4), (2.12.7), (2.12.8) позволяют выражать конечными суммами случайные процессы, имеющие бесконечное число значений. Это позволяет заметно упростить решение многих задач теории связи, что и оправдывает замену реальных сигналов моделями с финитными спектрами и конечной длительностью.

Ограничение спектра реального сигнала путем его пропускания через фильтр с граничной частотой  приводит к потере части энергии сигнала, и как следствие, к потере части информации о сигнале (погрешности ). При этом

 (2.12.9) для детерминированной функции

и

 (2.12.10) для случайного процесса.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

Задача.

Для колокольного импульса (рисунок 2.5.1)

    (2.12.11)

с параметрами , , найти интервал дискретизации при условии, что ошибка воспроизведения не должна превышать .

Решение.

Согласно (2.5.1), спектральная плотность сигнала (2.12.11) имеет вид,

,

где     (2.12.12)

При ограничении спектра сигнала с помощью фильтра с частотой среза   возникает погрешность , определяемая по формуле (2.12.9)

Известно, что — функция Крампа,

Тогда

 

Отсюда ; ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41658. Защита информации, антивирусная защита. Эксплуатационные требования к компьютерному рабочему месту 185.58 KB
  Лист № докум. Подпись Дата Лист 1 Лабораторная работа № 3 Разраб. Листов 3 47Э1 Цель работы Ознакомиться с теоретическими аспектами защиты информации от вредоносных программ: разновидности вирусов способы заражения и методы борьбы. Лист № докум.
41659. РАБОТА В ПРОГРАММНОЙ СРЕДЕ MICROSOFT OUTLOOK 757.34 KB
  Программная среда Microsoft Outlook пришла на смену разнообразным видам бумажных носителей которые использовали руководители и секретари для организации своей работы. Сегодня для организации документов и отправки почты планирования задач встреч событий и собраний ведения списка контактов а также учета всех выполненных работ используется программа Microsoft Outlook. Информация в среде Outlook организована в виде папок аналогичных по назначению своим бумажным предшественникам.
41660. Поверка средств измерений 39.3 KB
  Поверка средств измерений Цели и задачи работы: Изучение правил организации и порядка проведения поверки средств измерения. Краткие сведения из теории: Поверкой средств измерений называют совокупность действий выполняемых для определения и оценки погрешностей средств измерений. Вид поверки определяют в зависимости от того какой метрологической службой проведена поверка от характера поверки инспекционная экспертная каков этап работы средства измерений первичная периодическая внеочередная. Организацию и поверку средств измерений...
41661. Косвенные измерения. Определение показателей точности косвенных измерений 587.13 KB
  Косвенные измерения. Определение показателей точности косвенных измерений Цели и задачи работы: изучение методов измерения при которых искомое значение физической величины находят путем согласованных наблюдений других величин определяемых опытным путем связанных с искомой физической величиной известной зависимостью; ознакомление с правилами оценивания погрешностей косвенных измерений. При выполнении работы необходимо практически ознакомиться с системой допусков и посадок требованиями к точности линейных и угловых параметров изделий...
41662. Вставка и редактирование формул в редакторе WORD 73.64 KB
  Вставка и редактирование формул. Вставка формул. Вставка формул в редакторе WORD осуществляется с помощью формульного редактора. Вызов формульного редактора Eqution Editor из Word можно осуществить следующей последовательностью действий: поместите курсор в то место где должна быть вставлена формула; в меню вставка выберите команду обьект ; выберите закладку создание ; В окне тип обьекта выберите Microsoft Eqution 3.
41663. Теория электрической связи 263.74 KB
  Получение характеристик частотного модулятора при воздействии на его вход моногармонического сигнала. Напряжение смещения Есм являющееся постоянной составляющей модулирующего сигнала позволяет установить несущую частоту модулированного сигнала а переменная составляющая т. сам модулирующий сигнал поданный на гнезда КТ1 обеспечивает девиацию частоты fmx зависящую от амплитуды модулирующего сигнала. В схеме модулятора имеется блок автоматической регулировки усиления поддерживающий постоянную амплитуду ЧМ сигнала на схеме не показан.
41664. Исследование зависимости выходного напряжения усилительного каскада от амплитуды и частоты входного сигнала 155.55 KB
  Цель: Научиться определять и анализировать зависимости выходного напряжения усилительного каскада от амплитуды и частоты входного сигнала. Лабораторная работа №6 Тема: Исследование зависимости выходного напряжения усилительного каскада от амплитуды и частоты входного сигнала. Лабораторная работа №6 Тема: Исследование зависимости выходного напряжения усилительного каскада от амплитуды и частоты входного сигнала.