69043

Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

До сих пор речь шла о сигналах со спектром не превышающим частоту и где ширина спектра сигнала.3 где отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала; и определяется соответственно через 2. среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Русский

2014-09-29

200.5 KB

13 чел.

Лекция 2.12

Тема 2. Сообщение и сигнал.

Занятие 12. Дискретизация непрерывных сигналов по теореме В.А. Котельникова

Условия дискретизации реальных сигналов.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

/1/. 54

/2/. 60-63

/6/. 39 (№ 2.5.1)

/7/. 170-171


Учебные вопросы.

Условия дискретизации реальных сигналов.

Сигналы с ограниченным спектром, не содержащим нулевой частоты.

До сих пор речь шла о сигналах со спектром, не превышающим частоту  и , где — ширина спектра сигнала.

В общем случаи сигнал может иметь спектр, ограниченный частотами , то есть

     (2.12.1)

В этом случае точки отсчета следуют через интервал

    (2.12.2)

При этом в каждой точке отсчета фиксируется две величины: амплитуда  и фаза .

Тогда сигнал может быть представлен рядом вида:

(2.12.3)

где ,— отсчетные значения соответственно амплитуды и фазы сигнала;

и  — определяется соответственно через (2.12.1) и (2.12.2).

— среднее значение круговой частоты в спектре сигнала.

Из выражения (2.12.3) следует, что функция отсчетов в данном случае представляет собой радиоимпульс амплитудой , и начальной фазой  с частотой заполнения  и огибающей, определяемой функцией вида  (рисунок 2.12.1)

Случайные сигналы.

Теорема Котельникова сохраняет свой смысл и применительно к случайным процессам (сигналам)  с ограниченым энергетическим спектром , но тогда — случайные числа, а ряд вида (2.11.23) или (2.12.3) понимается как сходящийся в среднем.

Сигналы с ограниченным спектром и конечной длительностью.

Энергия большинства реальных сигналов в основном сосредоточена в конечном интервале времени  и ограниченной полосе частот , хотя функция с ограниченным спектром имеет теоретически бесконечную длительность (см. Лекция 2.5)

Тогда разложение в ряд Котельникова (2.11.23) будет трансформировано в усеченный ряд:     (2.12.4)

где  — границы отсчетной области реального сигнала.

— необходимое число отсчетов в отсчетной области.

В частотности, если , то     (2.12.5)

т.е. по определению (2.3.5) параметр — это база сигнала.

Ряд Котельникова вида (2.12.3) при усечении имеет область изменения переменной , а следовательно, предусматривает  отсчетных точек.

Однако каждой точке соответствует 2 числа: отсчет амплитуды, и отсчет фазы.

Таким образом, всякий сигнал, имеющий реальную длительность  и реальную ширину спектра  , определяется с помощью  или  (2.12.6)

параметров, (чисел).

Такое определение раскрывает физический смысл понятия “база сигнала”.

Аналогичный результата получается при рассмотрении рядов Фурье.

Для сигнала длительностью  с ограниченным (усеченным) спектром коэффициенты разложения Фурье  практически равны 0 при , .

Тогда ряд Фурье вида (2.4.11) может быть записан    (2.12.7)

В более общем случаи, когда ,

   (2.12.8)

В случае (2.12.7) ряд содержит  слагаемых, каждое из которых содержит пару чисел  .

Таким образом, в разложении Фурье для описания сигнала необходимо  или   чисел. Изменение хотя бы одного из этих чисел приводит к новой (другой) реализации сигнала. Поэтому говорят, что сигнал с базой  имеет  степеней свободы.

Ряды (2.12.4), (2.12.7), (2.12.8) позволяют выражать конечными суммами случайные процессы, имеющие бесконечное число значений. Это позволяет заметно упростить решение многих задач теории связи, что и оправдывает замену реальных сигналов моделями с финитными спектрами и конечной длительностью.

Ограничение спектра реального сигнала путем его пропускания через фильтр с граничной частотой  приводит к потере части энергии сигнала, и как следствие, к потере части информации о сигнале (погрешности ). При этом

 (2.12.9) для детерминированной функции

и

 (2.12.10) для случайного процесса.

Примеры дискретизации детерминированных сигналов.

Задача.

Для колокольного импульса (рисунок 2.5.1)

    (2.12.11)

с параметрами , , найти интервал дискретизации при условии, что ошибка воспроизведения не должна превышать .

Решение.

Согласно (2.5.1), спектральная плотность сигнала (2.12.11) имеет вид,

,

где     (2.12.12)

При ограничении спектра сигнала с помощью фильтра с частотой среза   возникает погрешность , определяемая по формуле (2.12.9)

Известно, что — функция Крампа,

Тогда

 

Отсюда ; ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79672. My working day 15.6 KB
  I am usually get up at 6 o’clock. I go to the bathroom, wash my face and clean my teeth. At half past 6 I have breakfast.
79673. Higher education in Great Britain 16.91 KB
  In lecture the student is one of lrge number of students. In seminr he rises problem nd discusses them with his fellow students. If students pss their finl exm t the end of threeyer course they get their first degree. Students with first degree become Bchelors of rts or Sciene nd cn put B.
79674. My university 18.07 KB
  I`d like to tell you about my university. The Krasnodar Polytechnic Institute was founded in 1930. It is one of the oldest higher educational institutions in Krasnodar.
79675. Great Britain 18.08 KB
  Winters in Gret Britin re not cold nd summers re not hot. Gret Britin is highly developed industril country. Gret Britin is country with old culturl trditions nd customs.
79676. Alfred Nobel 19.57 KB
  Most of the fmily returned to Sweden in 1859 where lfred rejoined them in 1863 beginning his own study of explosions in his fthers lbortory.
79677. Формирование организационной культуры в Челябинской епархии 1.89 MB
  Организационная культура представляет собой опыт коллективной деятельности. А именно: опыт организации коллективной деятельности, опыт управления ею. Этот опыт может быть зафиксирован как в писаных документах, правилах, регламентах, уставах, так и в неписаных обычаях, нормах, привычках, устных преданиях и других формах регулирования поведения людей.
79678. Система нематериального стимулирования персонала для повышения эффективности работы организации 203 KB
  Сравнительный анализ российского и зарубежных опытов к мотивации персонала. Корпоративные мотиваторы. Потребности сотрудников и персональная мотивация. Внедрение поддержка и коррекция системы мотивации в компании...
79679. Технологии поиска и подбора кадров с учетом изменений по ТК РФ 1.53 MB
  Работа любой организации неизбежно связана с необходимостью комплектования штата. Отбор новых работников не только обеспечивает режим нормального функционирования организации, но и закладывает фундамент будущего успеха. От того, насколько эффективно поставлена работа по отбору персонала
79680. Технологии работы и управление персоналом 127.5 KB
  Предмет цели и задачи управления персоналом. Эволюция подходов к управлению персоналом.Особенности современного этапа эволюции управления персоналом.