69047

Раціональні корені многочленів.Звідність многочленів над даним полем

Лекция

Математика и математический анализ

Раціональні корені цілочисельних многочленів. Звідність многочленів над даним полем. Властивості незвідних многочленів. Основна теорема теорії подільності многочленів. Многочлени над полем дійсних чисел.

Украинкский

2017-02-21

433 KB

17 чел.

Лекція 4.

Тема.Раціональні корені многочленів.Звідність многочленів над даним полем.

План лекції.

  1. Раціональні корені цілочисельних многочленів.
  2. Звідність многочленів над даним полем.
  3. Властивості незвідних многочленів.
  4. Основна теорема теорії подільності многочленів.
  5. Многочлени над полем дійсних чисел.

Зміст лекції.

1.Теорема 1. Якщо ціле число с є коренем многочлена  з цілими коефіцієнтами, то с буде дільником вільного члену цього многочлена.

#Дійсно, нехай

Поділимо  на :

Виконуючи ділення методом Горнера, одержимо, що усі коефіцієнти частки, зокрема і , є цілими числами, атому що

,

то наше твердження доведено.#

Зауваження 1. Якщо серед дільників вільного члена жоден не є коренем даного многочлена, то цілих коренів такий многочлен взагалі не має.

Випробування усіх дільників вільного члену може стати досить громіздким. Наступне зауваження допоможе дещо спростити ці обчислення. Перш за все, тому що 1 і (-1) завжди є дільниками вільного члену, обчислимо  і . Якщо ціле числос є коренем для , то

,

то, як вказано вище, усі коефіцієнти частки  будуть цілими числами, і тому частки

повинні бути цілими числами. Отже, підлягають випробуванню лише ті дільникис вільного члену (з числа відмінних від 1 і -1), для яких кожна з часток

(1)

є цілим числом.

Приклад 1. Знайти раціональні корені многочлена

Розв’язування. У даного многочлена  Вільний член многочлена дорівнює 30. Дільники вільного члену утворюють множину чисел . Знаходимо значення многочлена в точках :  Перевіряємо умови:  (ці числа повинні бути цілими), де с – значення дільника вільного члену (крім ) з приведеної множини.

Одержуємо корені: 2,-3,5. Перевіряємо їх на кратність:

1

1

-11

-5

30

2

1

-3

-5

15

0

-3

1

0

-5

0

Маємо: .

Теорема 2. Якщо цілочисельний многочлен, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, має раціональний корінь, то цей корінь буде цілим числом.

# Нехай, дійсно, многочлен

з цілими коефіцієнтами має коренем нескоротний дріб , тобто

Звідси

тобто нескоротний дріб дорівнює цілому числу, що неможливо.#

Для знаходження дробових коренів многочлена на практиці будемо користуватися наступним твердженням:

Для того, щоб дріб  була коренем многочлена  з цілими коефіцієнтами, необхідно,щоб р було дільником , а  - дільником .

Аналогічно до вище зазначеного, так само можна одержати вирази

(2)

для перевірки дільників  (ці числа так само повинні бути цілими).

Приклад 2. Знайти раціональні корені многочлена

Розв’язування. В нашому випадку . Звідси одержуємо множину чисел, з якої виберемо корені даного многочлена:

Перевіряємо умови: , підставляючи комбінації чиселр і . Одержуємо два розв’язки: . Перевіряємо їх на кратність:

4

12

1

6

10

3

-3

4

0

1

3

1

0

4

-2

2

2

0

4

-4

4

0

Отже, маємо:

Відповідь:

2. Розглянемо многочлени з кільцяP[x], тобто . Відома властивість подільності:

1) ;

2) , де  іс - многочлен нульового степеня.

Якщо многочлен степеняn має дільниками лише дільникиn-го і0-го степеня, то його називаютьнезвідним в кільціP[x] абонезвідним над полемP.

Якщо многочлен крім зазначених дільників має дільниками дільники степеняm, де0<m<n, то такий многочлен називаєтьсязвідним над полемP абозвідним в кільціP[x]. Іншими словами:

Означення 1. Многочлен  називаєтьсянезвідниму кільціP[x], якщо всяке розкладання його в добуток двох многочленів складається  з многочлена нульового степеня й многочлена степеняn.

Означення 2. Многочлен називаєтьсязвідним у кільці , якщо він може бути представлений у вигляді добутку двох многочленів з кільцяP[x] менших степенів.

Наприклад,  може бути розглянутий над полемQ, R, C (тому що його коефіцієнти належатьQ, R, C) і в будь-якому з полів , тобто він звідний над кожним із цих полів. А многочлен  є незвідним над полемQ, тому що при розкладанні цього многочлена маємо ірраціональні коефіцієнти:

Многочлени нульового степеня, так само, як і нуль - многочлен не відносять ні до числа звідних, ні до числа незвідних.

3. Розглянемовластивості незвідних многочленів.

  1. Многочлени першого степеня є незвідними над будь-яким полем.
  2. Якщо  незвідний над полемP , то  також незвідний над полемP.
  3. Якщо  і  - незвідні надP# Дійсно, нехай всі умови виконуються, тоді ,  - незвідний  надP . #
  4. II. Нехай  і - взаємно прості, тоді , тому що якщо допустити противне, тобто , , тоді  - спільний дільник, але  - незвідний многочлен, його степінь вище нульового. Звідси маємо протиріччя з умовою.#
  5. Допустимо противне, тобто що  і , тоді (див. властивість 4)  і  - взаємно прості, тоді й , тобто многочлен  взаємно простий з кожним з многочленів  й , отже,  взаємно простий з добутком цих многочленів, тобто , тоді (за властивістю 4) , але це суперечить умові. Значить теорема вірна. #

4.Теорема (основна теорема теорії подільності многочленів).Усякий многочленвище нульового степеня з  може бути поданий у вигляді добутку незвідних многочленів тільки в цьому кільці, до того ж єдиним образом (з точністю до множників 0-го степеня й з точністю до порядку слідування множників).

Наприклад,

# Нехай

а)  незвідний в , тоді, очевидно, , тобто теорема очевидна.

б)  звідний в кільці , тоді , де .

Якщо  і  - незвідні, тоді  можна представити у вигляді . Якщо хоча б один з многочленів  і  незвідний, наприклад, тоді , якщо кожний звідний, то  і т.д.

Покажемо одиничність такого подання.

Нехай  - незвідні й  - незвідні в . Доведемо, що вони відрізняються множником 0-го степеня й порядком слідування. Із цих двох відношень слідує, що

.(1)

Допустимо, що , нехай . Використовуючи властивість подільності многочлена й властивість взаємно простих незвідних многочленів, дійдемо висновку:  (многочлени  і асоціюють)

Тоді рівність (1) набуде вигляду:

.

Аналогічно міркуючи, прийдемо до рівності:

.

Після k кроків описаного процесу одержимо рівність:

.

В лівій частині якого стоїть многочлен нульового степеня, в правій частині – многочлен степеня, вище нульового, що не можливо, отже умова  не вірна. аналогічно доводиться, що умова  також не вірна, отже , тобто число множників обох розкладань однакове і кожний множник одного розкладання асоційований з деяким множником іншого розкладання. #

5.Теорема.Якщо  - многочлен вище нульового степеня з дійсними коефіцієнтами, то спряженим значенням змінної з ненульовою уявною частиною відповідають спряжені значення многочлена.

# Нехай  - многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня  від комплексної змінної . Нехай  - комплексне значення аргументу з ненульовою уявною частиною, тоді знайдемо значення многочлена в точці , одержуємо: . Розглянемо значення цього многочлена в точці :    , тобто  і це вірно лише для многочленів з дійсними коефіцієнтами. #

Слідства (очевидні).

  1. Якщо комплексне уявне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то й спряжене до нього комплексне уявне є коренем цього многочлена.

# Нехай  - многочлен  з дійсними коефіцієнтами, ,  - комплексне число з ненульовою уявною частиною є коренем многочлена , тоді значення  (за означенням кореня), відповідно до доведеної теореми , отже - корінь .

  1. Якщо  - комплексне число з ненульовою уявною частиною є коренем кратності  многочлена  з дійсними коефіцієнтами, то й число  є коренем тієї самої кратності  многочлена .
  2. Якщо  - многочлен з дійсними коефіцієнтами непарного степеня, то він має щонайменше один дійсний корінь.
  3. Многочлен з дійсними коефіцієнтами парного степеня може мати тільки парне число дійсних коренів.

Теорема.Незвідними над полем дійсних чисел (многочлени з дійсними коефіцієнтами) є всі многочлени I степеня з дійсними коефіцієнтами й ті з многочленів II степеня, дискримінант яких <0.

# Нехай  - многочлен з дійсними коефіцієнтами, незвідний над полем .

  1. Нехай  має дійсний корінь , тоді (наслідок з теореми Безу) цей многочлен ділиться на двочлен , отже : , але  - незвідний над полем , значить  - многочлен нульового степеня, тому що  - многочлен I степеня, тоді , отже .
  2. Нехай  - комплексний уявний корінь многочлена , тоді  є його комплексним уявним коренем, тоді  й , але  і  - взаємно прості, отже .

, де  і , тоді ; маємо: , тобто існує многочлен  такий, що , тому що  - незвідний в , то , тобто , . #

Слідство. Усякий многочлен з дійсними коефіцієнтами вище II степеня, звідний над полем дійсних чисел. У його розкладання в добуток незвідних многочленів, можуть входити лише лінійні двочлени і ті многочлени II степеня, дискримінант яких <0.

Приклад. Нехай  - незвідний над . Представимо його у вигляді добутку:  .

D<0D<0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46920. Complex sentence, its definition and composition. The two approaches to the principles of classification of subordinate clauses. Connection of the clauses in a complex sentence 37 KB
  Subordination is usually defined as a non-symmetrical relation, that is, in a complex sentence with a minima composition of two clauses, one is the basic element, whereas the other is a constituent or part of the first. The first one is called the main (or principal) clause, the second the subordinate clause
46922. Subordinate clauses of primary nominal positions 37 KB
  Subordinte cluses of primry nominl positions. Cluses of primry nominl positions The subject cluse. The predictive cluse. The object cluse.
46923. Балканская война (1912-1913) 37 KB
  Слабость Османской империи проявлявшаяся в аннексии АвстроВенгрией Боснии и Герцеговины захвате Италией Триполитании и Киренаики нацосв движения в Македонии Албании и на о. Балканский союз направлен и против АвстроВенгрии освободительные задачи. АвстроВенгрия и Германия заинтересованности в сохранении Османской империи которая все в большей степени подпадала под германское влияние негативно. Россия поддержала образование Балканского союза Англии и Франции двойственным боязнью усиления позиций России на Ближнем Востоке...
46924. События в Сараево 28 июня 1914 37 KB
  5 июля во время встречи германского и австрийского императоров в Потсдаме кайзер одобрил план расправы с Сербией т. Пуанкаре в Петербург 20 июля было принято окончательное решение о том что в случае чрезвычайных обстоятельств Россия поддержит Сербию и в свою очередь будет поддержана Францией. В день отъезда Пуанкаре из России 23 июля 1914 австрийский посол барон Гизль вручил сербскому премьеру Пашичу ноту носившую характер ультиматума Принятие австрийских требований означало бы отказ Сербии от политической самостоятельности. Однако 25...
46926. Языковая норма 37 KB
  Различают нормы письменные и устные. Письменные языковые нормы это прежде всего орфографические и пунктуационные нормы. Устные нормы:грамматические лексические и орфоэпические. Грамматические нормы это правила использования форм разных частей речи а также правила построения предложения.