69108

Фрактальні зображення

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Залежно від початкових умов функція що описує таку систему перетворень може наблизитися до нескінченності збігтися до певного скінченного числа числового діапазону або нескінченно варіюватися у певному діапазоні. Множина Мандельброта визначається таким рівнянням...

Украинкский

2014-09-30

49.5 KB

0 чел.

Лекція 17. Тема: Фрактальні зображення.

1. Фрактальні зображення

Фундатор напряму фрактальної геометрії Б. Мандельброт дав таке визначення фрактального зображення, або фрактала (від англ. fractionдріб): «Фракталом називається структура, що складається з частин, які подібні цілому». Можна взяти певну частину ідеального фрактала, збільшити її в будь-яку кількість разів, і вона в точності повторюватиме вихідний об'єкт або певну його частину. Візерунок, який зображено на рис. 5.5., називається множниою Мандельброта і є одним з найвідоміших фрактальних об'єктів.

Множина Мандельброта — представник групи фракталів, що називаються алгебричними, оскільки їх структура визначаєтъся алгебричними формулами. При побудові таких фракталів вхідні дані послідовно перетворюютъся за правилом, заданим цими формулами, і результати кожного наступного перетворення залежать від результатів, отриманих під час виконання попереднього. Залежно від початкових умов функція, що описує таку систему перетворень, може наблизитися до нескінченності, збігтися до певного скінченного числа (числового діапазону) або нескінченно варіюватися у певному діапазоні.

Множина Мандельброта визначається таким рівнянням:

Тут змінна Z і параметр С - комплексні числа, n - номер ітерації. Нагадаємо, що кожне комплексне число можна подати у вигляді w=a+bi де a i b – дійсні числа, і - уявна одиниця, тобто число, що задовольняє умову і2 =-1. Дійсні числа a=Re(w) i b=Im(w) називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа w. Піднесемо комплексне число до квадрата: w2=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+i2b2=a2+2abi-b2. Застосувавши цю формулу до рівняння, що описує множину Мандельброта, отримаємо

Re(Zn)=(Re(Zn-1))2-(Im(Zn-1))2+Re(C);

Im(Zn)=2Re(Zn-1)Im(Zn-1)+Im(C).

Комплексне число зручно зображувати точкою на площині, абсциса й ордината якої відповідають дійсній та уявній частині числа. Щоб отримати зображення множини Мандельброта, потрібно виконати певну кількість ітерацій за визначеними вище формулами для кожної точки w прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка             (-2;- 1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25). Ітерації тривають доти, доки не стане істинною умова |Zn|>2 або доки не буде виконано певну кількість ітерацій. При цъому числом ітерацій визначається колір точки w, а дійсна та уявна частини комплексної константи С дорівнюють відповідним координатам w: Re(C)= wx, Im(C)= wy. Зауважимо, що модуль комплексного числа дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його дійсної та уявної частин: .

Приклад 5.6.

Програма ех5_5 будує множину Мандельброта (рис. 5.5). Координати всіх точок екрана перетворюються так, щоб екран став зображенням прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка (-2; -1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25).

program ex5_5;

uses graph;

const  minx=-2;     {координати лівого нижнього кута}

          miny=-1.25;     {прямокутної множини точок}

maxx=1.25;     {координати правого верхнього кута}

 maxy=1.25;     {прямокутної множини точок}

 ScreenWidth=640;    {кількість пікселів на екрані}

 ScreenHeight=480;

var  dx, dy: real;     {приріст координат пікселів}

x, y, color: integer;    {поточні координати та колір піксела}

driver, mode: integer;    {графічний драйвер і режим}

{--------------------------------- визначення кольору піксела ---------------------------------}

function Calc_pixel (reC, imC: real): integer; 

{параметри – дійсна та уявна частини комплексного числа}

const

  max_iteration=128;     {кількість ітерацій}

var

  old_a: real;      {попереднє значення дійсної частини}

  iteration: integer;     {лічильник ітерацій}

  a, b: real;     {дійсна і уявна частини комплексного числа}

  z: real;      {довжина вектора z}

begin

  a:=0; b:=0; iteration:=0;

  repeat

     old_a:=a;      {запам’ятати попереднє значення}

     a:=a*a - b*b + reC;    {нова дійсна частина}

     b:=2*old_a*b + imC;    {нова уявна частина}

     iteration:= iteration+1;    {перейти до наступної ітерації}

     z:=a*a + b*b;     {квадрат модуля числа}

  until (z>4) or (iteration> max_iteration);

  Calc_pixel:= iteration;

end;

{--------------------------------- основна програма ---------------------------------}

begin

  driver:=detect;

  initgraph (driver, mode, ‘ ’);

  dx:=(maxx-minx)/ScreenWidth;

  dy:=(maxy-miny)/ScreenHeight;

  for y:=0 to ScreenHeight- 1 do

     for x:=0 to ScreenWidth-1 do

     begin

        color:=Calc_pixel (minx+x*dx, miny+y*dy);

        putpixel (x, y, color);

     end;

end.

Висновки

  •  Програма, що працює у графічному режимі, використовує графічні драйвери – файли, які містять інформацію про властивості відеоадаптерів. У середовищі Borland Pascal 7.0 графічні драйвери зберігаються у файлах з розширенням bgi.
  •  Бібліотека графічних підпрограм міститься в модулі Graph, записаному у файлі …\units\graph.tpu.
  •  Для використання графічних засобів комп’ютера слід ініціалізувати графічний режим роботи дисплейного адаптера.
  •  У графічному режимі кількість пікселів на екрані визначається роздільною здатністю відеоадаптера і дисплея. Роздільна здатність адаптерів VGA становить 640х480 пікселів. Лівий верхній кут екрана має координати (0, 0), правий нижній – (639б 479).
  •  Для зображення графічних об’єктів використовується кольорова палітра, що містить кольори, які кодуються цілочисловими значеннями 0, 1,…, maxcolor. На адаптері VGA одночасно може відображатися до 16 кольорів.
  •  Для виведення тексту в графічному режимі використовуються шрифти, записані у файлах з розширенням chr.
  •  При відображенні геометричних об’єктів використовуються формули перетворення логічних координат на екранні. Ці формули враховують зміни масштабу об’єкта і зсув початку координат.
  •  Для зсуву, повороту, стискання або розтягування геометричного об’єкта застосовують лінійні перетворення його координат. Лінійні перетворення характеризуються такими властивостями: прямі лінії залишаються прямими, паралельність прямих і пропорційність відстаней, а також відношення площ геометричних фігур зберігаються.
  •  Анімація об’єктів здійснюється копіюванням зображення в оперативну пам’ять і виведенням його копії на екран у нових координатах.
  •  Фракталом називається структура, що складається з частин, подібних до цілого.

Контрольні питання

  1.  Для чого призначені графічні драйвери?
    1.  Як ініціалізувати графічний режим?
    2.  Скільки кольорових відтінків можна відобразити за допомогою адаптера VGA?
    3.  Наведіть формули перетворення логічних координат на екранні.
    4.  Які перетворення координат об’єктів називаються лінійними?
    5.  Як відобразити текст у графічному режимі?
    6.  Як реалізувати анімацію?
    7.  Дайте визначення фрактального зображення.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75311. Происхождение термина «средние века» 28 KB
  Происхождение термина средние века. Термин средние века перевод с латинского выражения medium evum средний век 1 был впервые введен итальянскими гуманистами. С позиций высоких достижений культуры Возрождения средние века им виделись как период одичания и варваризации античного мира как время испорченной кухонной латыни. Келлер ввел термин средние века в общую периодизацию всемирной истории разделив ее на античность средневековье и новое время.
75313. Отечественная историография о феодализме 39.5 KB
  Гуревича многих других исследователей продвинулось вперед выяснение отдельных явлений и событий истории средневекового мира прогрессировало теоретическое осмысление проблематики феодализма. Конрад хотя он сам как и другие востоковеды сталкивался с трудноразрешимыми проблемами при рассмотрении феодализма во всемирноисторическом масштабе. Но подобное понимание феодализма оказывается крайне обедненным сводимым к малосодержательной социологической абстракции....
75314. Периодизация истории средних веков и феодализма в отечественной и зарубежной историографии 34.5 KB
  Западной Римской империи. Встреча двух миров античного грекоримского и варварского германского кельтского славянского стала началом глубокого переворота который открыл новый средневековый период в истории Западной Европы. В практике преподавания пока принято считать условным концом средневековья первую буржуазную революцию общеевропейского значения английскую революцию 1640-1660х годов положившую начало господству капитализма в Западной Европе и совпавшую с окончанием первой общеевропейской Тридцатилетней войны 16181648 гг....
75315. Источники по истории средних веков (V-XV вв) 41.5 KB
  Источники по истории средних веков VXV вв. Законодательные и документальные источники по истории средних веков. Они являлись ценными источниками по истории VI в. Источники по истории XI XV вв.
75317. Понятие “феодализма” в западноевропейской историографии 39.5 KB
  Понятие феодализма в западноевропейской историографии. Понимание феодализма в историографии XVIII в. Главными чертами феодализма некоторые из них считали политическую раздробленность и как следствие ее господство в средние века папской теократии. в определении сущности феодализма недалеко ушли от историков эпохи Просвещения хотя в отличие от них оценивали феодализм как положительное историческое явление: реакционные романтики потому что видели в нем свой политический идеал...
75318. Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии 46.5 KB
  Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии. Проблема генезиса феодализма и связанный с нею вопрос о путях складывания феодально зависимого крестьянства представляет трудность и с источниковедческой и с теоретической точек зрения. В советской историографии становление феодализма рассматривалось в первую очередь в аспекте вскрытия сдвигов в производительных силах в отношениях собственности...
75319. Образование государства и возникновение писаного права у франков 38.5 KB
  Образование государства и возникновение писаного права у франков. В исторических памятниках имя франков появилось начиная с III в. Франки распадались на две большие ветви приморских или салических франков от латинского слова slum что значит море живших у устья Рейна и прибрежных или рипуарских франков от латинского слова rip что значит берег живших южнее по берегам Рейна и Мааса. Из вождей франков известен Меровей при котором франки сражались против Аттилы на Каталаунских полях 451 г.