69108

Фрактальні зображення

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Залежно від початкових умов функція що описує таку систему перетворень може наблизитися до нескінченності збігтися до певного скінченного числа числового діапазону або нескінченно варіюватися у певному діапазоні. Множина Мандельброта визначається таким рівнянням...

Украинкский

2014-09-30

49.5 KB

0 чел.

Лекція 17. Тема: Фрактальні зображення.

1. Фрактальні зображення

Фундатор напряму фрактальної геометрії Б. Мандельброт дав таке визначення фрактального зображення, або фрактала (від англ. fractionдріб): «Фракталом називається структура, що складається з частин, які подібні цілому». Можна взяти певну частину ідеального фрактала, збільшити її в будь-яку кількість разів, і вона в точності повторюватиме вихідний об'єкт або певну його частину. Візерунок, який зображено на рис. 5.5., називається множниою Мандельброта і є одним з найвідоміших фрактальних об'єктів.

Множина Мандельброта — представник групи фракталів, що називаються алгебричними, оскільки їх структура визначаєтъся алгебричними формулами. При побудові таких фракталів вхідні дані послідовно перетворюютъся за правилом, заданим цими формулами, і результати кожного наступного перетворення залежать від результатів, отриманих під час виконання попереднього. Залежно від початкових умов функція, що описує таку систему перетворень, може наблизитися до нескінченності, збігтися до певного скінченного числа (числового діапазону) або нескінченно варіюватися у певному діапазоні.

Множина Мандельброта визначається таким рівнянням:

Тут змінна Z і параметр С - комплексні числа, n - номер ітерації. Нагадаємо, що кожне комплексне число можна подати у вигляді w=a+bi де a i b – дійсні числа, і - уявна одиниця, тобто число, що задовольняє умову і2 =-1. Дійсні числа a=Re(w) i b=Im(w) називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа w. Піднесемо комплексне число до квадрата: w2=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+i2b2=a2+2abi-b2. Застосувавши цю формулу до рівняння, що описує множину Мандельброта, отримаємо

Re(Zn)=(Re(Zn-1))2-(Im(Zn-1))2+Re(C);

Im(Zn)=2Re(Zn-1)Im(Zn-1)+Im(C).

Комплексне число зручно зображувати точкою на площині, абсциса й ордината якої відповідають дійсній та уявній частині числа. Щоб отримати зображення множини Мандельброта, потрібно виконати певну кількість ітерацій за визначеними вище формулами для кожної точки w прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка             (-2;- 1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25). Ітерації тривають доти, доки не стане істинною умова |Zn|>2 або доки не буде виконано певну кількість ітерацій. При цъому числом ітерацій визначається колір точки w, а дійсна та уявна частини комплексної константи С дорівнюють відповідним координатам w: Re(C)= wx, Im(C)= wy. Зауважимо, що модуль комплексного числа дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його дійсної та уявної частин: .

Приклад 5.6.

Програма ех5_5 будує множину Мандельброта (рис. 5.5). Координати всіх точок екрана перетворюються так, щоб екран став зображенням прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка (-2; -1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25).

program ex5_5;

uses graph;

const  minx=-2;     {координати лівого нижнього кута}

          miny=-1.25;     {прямокутної множини точок}

maxx=1.25;     {координати правого верхнього кута}

 maxy=1.25;     {прямокутної множини точок}

 ScreenWidth=640;    {кількість пікселів на екрані}

 ScreenHeight=480;

var  dx, dy: real;     {приріст координат пікселів}

x, y, color: integer;    {поточні координати та колір піксела}

driver, mode: integer;    {графічний драйвер і режим}

{--------------------------------- визначення кольору піксела ---------------------------------}

function Calc_pixel (reC, imC: real): integer; 

{параметри – дійсна та уявна частини комплексного числа}

const

  max_iteration=128;     {кількість ітерацій}

var

  old_a: real;      {попереднє значення дійсної частини}

  iteration: integer;     {лічильник ітерацій}

  a, b: real;     {дійсна і уявна частини комплексного числа}

  z: real;      {довжина вектора z}

begin

  a:=0; b:=0; iteration:=0;

  repeat

     old_a:=a;      {запам’ятати попереднє значення}

     a:=a*a - b*b + reC;    {нова дійсна частина}

     b:=2*old_a*b + imC;    {нова уявна частина}

     iteration:= iteration+1;    {перейти до наступної ітерації}

     z:=a*a + b*b;     {квадрат модуля числа}

  until (z>4) or (iteration> max_iteration);

  Calc_pixel:= iteration;

end;

{--------------------------------- основна програма ---------------------------------}

begin

  driver:=detect;

  initgraph (driver, mode, ‘ ’);

  dx:=(maxx-minx)/ScreenWidth;

  dy:=(maxy-miny)/ScreenHeight;

  for y:=0 to ScreenHeight- 1 do

     for x:=0 to ScreenWidth-1 do

     begin

        color:=Calc_pixel (minx+x*dx, miny+y*dy);

        putpixel (x, y, color);

     end;

end.

Висновки

  •  Програма, що працює у графічному режимі, використовує графічні драйвери – файли, які містять інформацію про властивості відеоадаптерів. У середовищі Borland Pascal 7.0 графічні драйвери зберігаються у файлах з розширенням bgi.
  •  Бібліотека графічних підпрограм міститься в модулі Graph, записаному у файлі …\units\graph.tpu.
  •  Для використання графічних засобів комп’ютера слід ініціалізувати графічний режим роботи дисплейного адаптера.
  •  У графічному режимі кількість пікселів на екрані визначається роздільною здатністю відеоадаптера і дисплея. Роздільна здатність адаптерів VGA становить 640х480 пікселів. Лівий верхній кут екрана має координати (0, 0), правий нижній – (639б 479).
  •  Для зображення графічних об’єктів використовується кольорова палітра, що містить кольори, які кодуються цілочисловими значеннями 0, 1,…, maxcolor. На адаптері VGA одночасно може відображатися до 16 кольорів.
  •  Для виведення тексту в графічному режимі використовуються шрифти, записані у файлах з розширенням chr.
  •  При відображенні геометричних об’єктів використовуються формули перетворення логічних координат на екранні. Ці формули враховують зміни масштабу об’єкта і зсув початку координат.
  •  Для зсуву, повороту, стискання або розтягування геометричного об’єкта застосовують лінійні перетворення його координат. Лінійні перетворення характеризуються такими властивостями: прямі лінії залишаються прямими, паралельність прямих і пропорційність відстаней, а також відношення площ геометричних фігур зберігаються.
  •  Анімація об’єктів здійснюється копіюванням зображення в оперативну пам’ять і виведенням його копії на екран у нових координатах.
  •  Фракталом називається структура, що складається з частин, подібних до цілого.

Контрольні питання

  1.  Для чого призначені графічні драйвери?
    1.  Як ініціалізувати графічний режим?
    2.  Скільки кольорових відтінків можна відобразити за допомогою адаптера VGA?
    3.  Наведіть формули перетворення логічних координат на екранні.
    4.  Які перетворення координат об’єктів називаються лінійними?
    5.  Як відобразити текст у графічному режимі?
    6.  Як реалізувати анімацію?
    7.  Дайте визначення фрактального зображення.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6971. Объединение Руси и формирование централизованного государства (XIV–XVI вв.) 35.78 KB
  Объединение Руси и формирование централизованного государства (XIV–XVI вв.) Возвышение Москвы и процесс объединения русских земель: а) возвышение Москвы. Иван Калита, Дмитрий Донской б) борьба московских князей с противниками объединен...
6972. Энергия электромагнитного поля. Плотность энергии ЭМ поля. Плотность потока энергии ЭМ поля. Вектор Умова-Пойтинга 31.2 KB
  Энергия электромагнитного поля. Плотность энергии ЭМ поля. Плотность потока энергии ЭМ поля. Вектор Умова-Пойтинга. Электромагнитные волны переносят энергию из одной точки пространства в другую за конечное время из-за конечности скорости распростран...
6973. Особенности досуговых предпочтений рабочей молодежи 32.13 KB
  Особенности досуговых предпочтений рабочей молодежи В сегодняшней социально-культурной ситуации молодежный досуг предстает как общественно осознанная необходимость. Общество кровно заинтересовано в эффективном использовании свободного времени людей ...
6974. Правила поведения работников рудника (шахты) при возникновении пожара (аварии) в горных выработках 33.5 KB
  Правила поведения работников рудника (шахты) при возникновении пожара (аварии) в горных выработках При обнаружении очага возгорания, работник обязан сообщить об этом лицу технического надзора или сменному мастеру и, по возможности прист...
6975. История жизни и деятельности Л. Уитмера 32.87 KB
  Введение В современном мире известно немало имен, которые внесли вклад в развитие клинической психологии. В их числе и Лайтнер Уитмер - выдающийся американский психолог. Лайтнер Уитмер является первооткрывателем в области клинической псих...
6976. Главные оси и главные моменты инерции 32.5 KB
  Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...
6977. Важнейшие проблемы хозяйства России 54.13 KB
  Введение Производители отмечают, что бизнес за последние два-три года стал более разумным, более ориентированным на долгосрочные цели. Профессионализм стал цениться выше хороших связей, желание потратить...
6978. План ликвидации аварий на горнорудном предприятии 45.5 KB
  План ликвидации аварий на горнорудном предприятии План ликвидации аварии (далее ПЛА) - это документ, определяющий меры и действия, необходимые для спасения людей и ликвидации аварий в начальной стадии их возникновения. Каждая его п...
6979. Трехступенчатый контроль и расследование несчастных случаев на производстве 46.92 KB
  Содержание Порядок проведения трехступенчатого контроля. Порядок расследования и учета несчастных случаев на производстве Обеспеченность рабочих санитарно-бытовыми помещениями: классификация и назначение СПБ Техника безопасности на...