69108

Фрактальні зображення

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Залежно від початкових умов функція що описує таку систему перетворень може наблизитися до нескінченності збігтися до певного скінченного числа числового діапазону або нескінченно варіюватися у певному діапазоні. Множина Мандельброта визначається таким рівнянням...

Украинкский

2014-09-30

49.5 KB

0 чел.

Лекція 17. Тема: Фрактальні зображення.

1. Фрактальні зображення

Фундатор напряму фрактальної геометрії Б. Мандельброт дав таке визначення фрактального зображення, або фрактала (від англ. fractionдріб): «Фракталом називається структура, що складається з частин, які подібні цілому». Можна взяти певну частину ідеального фрактала, збільшити її в будь-яку кількість разів, і вона в точності повторюватиме вихідний об'єкт або певну його частину. Візерунок, який зображено на рис. 5.5., називається множниою Мандельброта і є одним з найвідоміших фрактальних об'єктів.

Множина Мандельброта — представник групи фракталів, що називаються алгебричними, оскільки їх структура визначаєтъся алгебричними формулами. При побудові таких фракталів вхідні дані послідовно перетворюютъся за правилом, заданим цими формулами, і результати кожного наступного перетворення залежать від результатів, отриманих під час виконання попереднього. Залежно від початкових умов функція, що описує таку систему перетворень, може наблизитися до нескінченності, збігтися до певного скінченного числа (числового діапазону) або нескінченно варіюватися у певному діапазоні.

Множина Мандельброта визначається таким рівнянням:

Тут змінна Z і параметр С - комплексні числа, n - номер ітерації. Нагадаємо, що кожне комплексне число можна подати у вигляді w=a+bi де a i b – дійсні числа, і - уявна одиниця, тобто число, що задовольняє умову і2 =-1. Дійсні числа a=Re(w) i b=Im(w) називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа w. Піднесемо комплексне число до квадрата: w2=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+i2b2=a2+2abi-b2. Застосувавши цю формулу до рівняння, що описує множину Мандельброта, отримаємо

Re(Zn)=(Re(Zn-1))2-(Im(Zn-1))2+Re(C);

Im(Zn)=2Re(Zn-1)Im(Zn-1)+Im(C).

Комплексне число зручно зображувати точкою на площині, абсциса й ордината якої відповідають дійсній та уявній частині числа. Щоб отримати зображення множини Мандельброта, потрібно виконати певну кількість ітерацій за визначеними вище формулами для кожної точки w прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка             (-2;- 1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25). Ітерації тривають доти, доки не стане істинною умова |Zn|>2 або доки не буде виконано певну кількість ітерацій. При цъому числом ітерацій визначається колір точки w, а дійсна та уявна частини комплексної константи С дорівнюють відповідним координатам w: Re(C)= wx, Im(C)= wy. Зауважимо, що модуль комплексного числа дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його дійсної та уявної частин: .

Приклад 5.6.

Програма ех5_5 будує множину Мандельброта (рис. 5.5). Координати всіх точок екрана перетворюються так, щоб екран став зображенням прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка (-2; -1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25).

program ex5_5;

uses graph;

const  minx=-2;     {координати лівого нижнього кута}

          miny=-1.25;     {прямокутної множини точок}

maxx=1.25;     {координати правого верхнього кута}

 maxy=1.25;     {прямокутної множини точок}

 ScreenWidth=640;    {кількість пікселів на екрані}

 ScreenHeight=480;

var  dx, dy: real;     {приріст координат пікселів}

x, y, color: integer;    {поточні координати та колір піксела}

driver, mode: integer;    {графічний драйвер і режим}

{--------------------------------- визначення кольору піксела ---------------------------------}

function Calc_pixel (reC, imC: real): integer; 

{параметри – дійсна та уявна частини комплексного числа}

const

  max_iteration=128;     {кількість ітерацій}

var

  old_a: real;      {попереднє значення дійсної частини}

  iteration: integer;     {лічильник ітерацій}

  a, b: real;     {дійсна і уявна частини комплексного числа}

  z: real;      {довжина вектора z}

begin

  a:=0; b:=0; iteration:=0;

  repeat

     old_a:=a;      {запам’ятати попереднє значення}

     a:=a*a - b*b + reC;    {нова дійсна частина}

     b:=2*old_a*b + imC;    {нова уявна частина}

     iteration:= iteration+1;    {перейти до наступної ітерації}

     z:=a*a + b*b;     {квадрат модуля числа}

  until (z>4) or (iteration> max_iteration);

  Calc_pixel:= iteration;

end;

{--------------------------------- основна програма ---------------------------------}

begin

  driver:=detect;

  initgraph (driver, mode, ‘ ’);

  dx:=(maxx-minx)/ScreenWidth;

  dy:=(maxy-miny)/ScreenHeight;

  for y:=0 to ScreenHeight- 1 do

     for x:=0 to ScreenWidth-1 do

     begin

        color:=Calc_pixel (minx+x*dx, miny+y*dy);

        putpixel (x, y, color);

     end;

end.

Висновки

  •  Програма, що працює у графічному режимі, використовує графічні драйвери – файли, які містять інформацію про властивості відеоадаптерів. У середовищі Borland Pascal 7.0 графічні драйвери зберігаються у файлах з розширенням bgi.
  •  Бібліотека графічних підпрограм міститься в модулі Graph, записаному у файлі …\units\graph.tpu.
  •  Для використання графічних засобів комп’ютера слід ініціалізувати графічний режим роботи дисплейного адаптера.
  •  У графічному режимі кількість пікселів на екрані визначається роздільною здатністю відеоадаптера і дисплея. Роздільна здатність адаптерів VGA становить 640х480 пікселів. Лівий верхній кут екрана має координати (0, 0), правий нижній – (639б 479).
  •  Для зображення графічних об’єктів використовується кольорова палітра, що містить кольори, які кодуються цілочисловими значеннями 0, 1,…, maxcolor. На адаптері VGA одночасно може відображатися до 16 кольорів.
  •  Для виведення тексту в графічному режимі використовуються шрифти, записані у файлах з розширенням chr.
  •  При відображенні геометричних об’єктів використовуються формули перетворення логічних координат на екранні. Ці формули враховують зміни масштабу об’єкта і зсув початку координат.
  •  Для зсуву, повороту, стискання або розтягування геометричного об’єкта застосовують лінійні перетворення його координат. Лінійні перетворення характеризуються такими властивостями: прямі лінії залишаються прямими, паралельність прямих і пропорційність відстаней, а також відношення площ геометричних фігур зберігаються.
  •  Анімація об’єктів здійснюється копіюванням зображення в оперативну пам’ять і виведенням його копії на екран у нових координатах.
  •  Фракталом називається структура, що складається з частин, подібних до цілого.

Контрольні питання

  1.  Для чого призначені графічні драйвери?
    1.  Як ініціалізувати графічний режим?
    2.  Скільки кольорових відтінків можна відобразити за допомогою адаптера VGA?
    3.  Наведіть формули перетворення логічних координат на екранні.
    4.  Які перетворення координат об’єктів називаються лінійними?
    5.  Як відобразити текст у графічному режимі?
    6.  Як реалізувати анімацію?
    7.  Дайте визначення фрактального зображення.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65507. КУЛЬТУРНА ЕЛІТА ДОНБАСУ В 1953-1964 РОКАХ 197 KB
  Предметом дослідження є культурна еліта Донбасу конкретно літератори і митці музичнотеатральної та образотворчої сфери її творча діяльність участь у культурному і громадському житті регіону функціонування творчих спілок зусилля держави спрямовані на формування...
65508. ЗВ’ЯЗАНІ ТЕРМОМЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ В АПАРАТАХ ХІМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ 1.89 MB
  В багатьох конструкціях сучасного хімічного машинобудування застосовуються елементи у вигляді скінченних циліндричних тіл або масивних плит, які за конструктивними або технологічними міркуваннями можуть бути ослаблені отворами.
65509. РОЗВИТОК МЕТОДІВ РОЗРАХУНКУ МАЛОЦИКЛІЧНИХ РЕЖИМІВ ХОЛОДНОЇ ВАЛКОВОЇ ПРОКАТКИ І ПРАВКИ ПРИ ВИГОТОВЛЕННІ ТЕПЛООБМІННИХ ТРУБ З РЕГЛАМЕНТОВАНИМИ ПОКАЗНИКАМИ ЯКОСТІ 254 KB
  До безшовних теплообмінних труб які отримують на станах типу ХПТ, ставляться підвищені вимоги щодо точності розмірів, якості поверхні, механічних і структурних властивостей металу. Зазвичай, вони виготовляються у багатоциклічних технологічних процесах, які включають прокатку, термічну обробку та правку.
65510. СИСТЕМА МОДЕЛЮВАННЯ ПРОГНОЗУ РОСТУ ШТУЧНИХ СОСНОВИХ ЛІСОСТАНІВ ПОЛІССЯ УКРАЇНИ 365 KB
  Поглиблене вивчення закономірностей росту модальних деревостанів має особливе значення при проведенні безперервного лісовпорядкування оскільки воно враховує не лише сучасний стан насаджень а й їх зміну в динаміці.
65511. Індукція генних мутацій зразками копчених ковбасних виробів різних технологій виробництва 6.29 MB
  Мета дослідження встановити закономірності мутагенної дії зразків копчених ковбасних виробів трьох технологій виробництва. Вивчити сумарну мутагенну дію зразків неорганічної і органічної фракцій варенокопчених ковбас ВК.
65512. ЧЕРВОНИХ СТОЛОВИХ ВИН НА ОСНОВІ ВИКОРИСТАННЯ ВУГЛЕКИСЛОТНОЇ МАЦЕРАЦІЇ 932 KB
  Найважливішою тенденцією розвитку сучасної виноробної галузі є підвищення якості та розширення асортименту виноградних вин. Основний об'єм столових вин України складають вина, які випускають без витримки і реалізують не раніше 1 січня наступного за врожаєм року.
65513. СПЕЦИФІКА ЛЮДСЬКОГО ІСНУВАННЯ У РЕЛІГІЙНІЙ ФІЛОСОФІЇ В. РОЗАНОВА 211 KB
  Розанова провидця що у своїх численних замальовках зумів передбачити багато епохальних у тому числі й філософських подій ХХ ст. Розанова актуально й для сучасної культури. Розанова як ідеолога національного і особистого самовизначення який шукав зміст народної душі...
65514. ДЕРЖАВНИЙ КОНТРОЛЬ ЗА ДІЯЛЬНІСТЮ МІЛІЦІЇ 184.5 KB
  Держава керуючись невідкладними завданнями які вона ставить перед собою в певний період розвитку має контролювати їхнє виконання консолідувати зусилля на подолання перешкод а також визначати і завдання контролю та механізм його здійснення.
65515. МЕТОД РОЗРАХУНКУ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ КОМПОЗИТНИХ СТРИНГЕРІВ ПАНЕЛЕЙ ОБШИВКИ 1.26 MB
  Наукова новизна одержаних результатів полягає у такому: уперше виявлено і обґрунтовано механізм виникнення згинально-крутильних деформацій композитних стержнів з неоднорідним перерізом при зміні температури та або внаслідок усадки...