69108

Фрактальні зображення

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Залежно від початкових умов функція що описує таку систему перетворень може наблизитися до нескінченності збігтися до певного скінченного числа числового діапазону або нескінченно варіюватися у певному діапазоні. Множина Мандельброта визначається таким рівнянням...

Украинкский

2014-09-30

49.5 KB

0 чел.

Лекція 17. Тема: Фрактальні зображення.

1. Фрактальні зображення

Фундатор напряму фрактальної геометрії Б. Мандельброт дав таке визначення фрактального зображення, або фрактала (від англ. fractionдріб): «Фракталом називається структура, що складається з частин, які подібні цілому». Можна взяти певну частину ідеального фрактала, збільшити її в будь-яку кількість разів, і вона в точності повторюватиме вихідний об'єкт або певну його частину. Візерунок, який зображено на рис. 5.5., називається множниою Мандельброта і є одним з найвідоміших фрактальних об'єктів.

Множина Мандельброта — представник групи фракталів, що називаються алгебричними, оскільки їх структура визначаєтъся алгебричними формулами. При побудові таких фракталів вхідні дані послідовно перетворюютъся за правилом, заданим цими формулами, і результати кожного наступного перетворення залежать від результатів, отриманих під час виконання попереднього. Залежно від початкових умов функція, що описує таку систему перетворень, може наблизитися до нескінченності, збігтися до певного скінченного числа (числового діапазону) або нескінченно варіюватися у певному діапазоні.

Множина Мандельброта визначається таким рівнянням:

Тут змінна Z і параметр С - комплексні числа, n - номер ітерації. Нагадаємо, що кожне комплексне число можна подати у вигляді w=a+bi де a i b – дійсні числа, і - уявна одиниця, тобто число, що задовольняє умову і2 =-1. Дійсні числа a=Re(w) i b=Im(w) називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа w. Піднесемо комплексне число до квадрата: w2=(a+bi)(a+bi)=a2+abi+abi+i2b2=a2+2abi-b2. Застосувавши цю формулу до рівняння, що описує множину Мандельброта, отримаємо

Re(Zn)=(Re(Zn-1))2-(Im(Zn-1))2+Re(C);

Im(Zn)=2Re(Zn-1)Im(Zn-1)+Im(C).

Комплексне число зручно зображувати точкою на площині, абсциса й ордината якої відповідають дійсній та уявній частині числа. Щоб отримати зображення множини Мандельброта, потрібно виконати певну кількість ітерацій за визначеними вище формулами для кожної точки w прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка             (-2;- 1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25). Ітерації тривають доти, доки не стане істинною умова |Zn|>2 або доки не буде виконано певну кількість ітерацій. При цъому числом ітерацій визначається колір точки w, а дійсна та уявна частини комплексної константи С дорівнюють відповідним координатам w: Re(C)= wx, Im(C)= wy. Зауважимо, що модуль комплексного числа дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його дійсної та уявної частин: .

Приклад 5.6.

Програма ех5_5 будує множину Мандельброта (рис. 5.5). Координати всіх точок екрана перетворюються так, щоб екран став зображенням прямокутника, лівим нижнім кутом якого є точка (-2; -1,25), а правим верхнім - точка (1,25; 1,25).

program ex5_5;

uses graph;

const  minx=-2;     {координати лівого нижнього кута}

          miny=-1.25;     {прямокутної множини точок}

maxx=1.25;     {координати правого верхнього кута}

 maxy=1.25;     {прямокутної множини точок}

 ScreenWidth=640;    {кількість пікселів на екрані}

 ScreenHeight=480;

var  dx, dy: real;     {приріст координат пікселів}

x, y, color: integer;    {поточні координати та колір піксела}

driver, mode: integer;    {графічний драйвер і режим}

{--------------------------------- визначення кольору піксела ---------------------------------}

function Calc_pixel (reC, imC: real): integer; 

{параметри – дійсна та уявна частини комплексного числа}

const

  max_iteration=128;     {кількість ітерацій}

var

  old_a: real;      {попереднє значення дійсної частини}

  iteration: integer;     {лічильник ітерацій}

  a, b: real;     {дійсна і уявна частини комплексного числа}

  z: real;      {довжина вектора z}

begin

  a:=0; b:=0; iteration:=0;

  repeat

     old_a:=a;      {запам’ятати попереднє значення}

     a:=a*a - b*b + reC;    {нова дійсна частина}

     b:=2*old_a*b + imC;    {нова уявна частина}

     iteration:= iteration+1;    {перейти до наступної ітерації}

     z:=a*a + b*b;     {квадрат модуля числа}

  until (z>4) or (iteration> max_iteration);

  Calc_pixel:= iteration;

end;

{--------------------------------- основна програма ---------------------------------}

begin

  driver:=detect;

  initgraph (driver, mode, ‘ ’);

  dx:=(maxx-minx)/ScreenWidth;

  dy:=(maxy-miny)/ScreenHeight;

  for y:=0 to ScreenHeight- 1 do

     for x:=0 to ScreenWidth-1 do

     begin

        color:=Calc_pixel (minx+x*dx, miny+y*dy);

        putpixel (x, y, color);

     end;

end.

Висновки

  •  Програма, що працює у графічному режимі, використовує графічні драйвери – файли, які містять інформацію про властивості відеоадаптерів. У середовищі Borland Pascal 7.0 графічні драйвери зберігаються у файлах з розширенням bgi.
  •  Бібліотека графічних підпрограм міститься в модулі Graph, записаному у файлі …\units\graph.tpu.
  •  Для використання графічних засобів комп’ютера слід ініціалізувати графічний режим роботи дисплейного адаптера.
  •  У графічному режимі кількість пікселів на екрані визначається роздільною здатністю відеоадаптера і дисплея. Роздільна здатність адаптерів VGA становить 640х480 пікселів. Лівий верхній кут екрана має координати (0, 0), правий нижній – (639б 479).
  •  Для зображення графічних об’єктів використовується кольорова палітра, що містить кольори, які кодуються цілочисловими значеннями 0, 1,…, maxcolor. На адаптері VGA одночасно може відображатися до 16 кольорів.
  •  Для виведення тексту в графічному режимі використовуються шрифти, записані у файлах з розширенням chr.
  •  При відображенні геометричних об’єктів використовуються формули перетворення логічних координат на екранні. Ці формули враховують зміни масштабу об’єкта і зсув початку координат.
  •  Для зсуву, повороту, стискання або розтягування геометричного об’єкта застосовують лінійні перетворення його координат. Лінійні перетворення характеризуються такими властивостями: прямі лінії залишаються прямими, паралельність прямих і пропорційність відстаней, а також відношення площ геометричних фігур зберігаються.
  •  Анімація об’єктів здійснюється копіюванням зображення в оперативну пам’ять і виведенням його копії на екран у нових координатах.
  •  Фракталом називається структура, що складається з частин, подібних до цілого.

Контрольні питання

  1.  Для чого призначені графічні драйвери?
    1.  Як ініціалізувати графічний режим?
    2.  Скільки кольорових відтінків можна відобразити за допомогою адаптера VGA?
    3.  Наведіть формули перетворення логічних координат на екранні.
    4.  Які перетворення координат об’єктів називаються лінійними?
    5.  Як відобразити текст у графічному режимі?
    6.  Як реалізувати анімацію?
    7.  Дайте визначення фрактального зображення.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13676. Общество – свод камней, который обрушился бы, если бы один не поддержал другого 14.8 KB
  Общество свод камней который обрушился бы если бы один не поддержал другого СенекаФраза Сенеки для меня является ключом к ответу на вопрос что же такое общество. Существует много определений понятия общества. Рассмотрим одно из них. Общество это динамическая сист...
13677. Примеры эссе по курсу обществознания. Общество – свод камней, который обрушился бы, если бы один не поддерживал другого 18.33 KB
  Общество свод камней который обрушился бы если бы один не поддерживал другого Сенека. Эссе № 1Я не согласна с данной точкой зрения. Вопервых общество понятие многозначное. Общества бывают разные. Я сама столкнулась в жизни с одной ситуацией. В городе есть два обще
13678. Подлинное национальное самосознание может быть лишь творческим, оно обращено вперед, а не назад 14.46 KB
  Подлинное национальное самосознание может быть лишь творческим оно обращено вперед а не назад.Н. БердяевПод национальным самосознанием понимается отражение сознаниянации в индивидуальном сознании ее членов выражающих усвоениепоследними представлений о месте и р
13679. Положительное и отрицательное влияние маргинальности на общество 16.55 KB
  Положительное и отрицательное влияние маргинальности на общество. Прежде всего дадим определение понятия маргинальность на котором будет основываться последующее рассуждение на предложенную тему. Классическое и наиболее часто используемое определение данного я...
13680. Семья - один из шедевров природы 14.29 KB
  Семья один из шедевров природы. Дж. Сантаяна Попытаемся ответить на вопрос почему Дж. Сантаяна считает семью одним из шедевров природы. Для начала укажем определение семьи это объединение людей основанное на браке кровном родстве или усыновлении и связанное меж...
13681. Семья является первичным лоном человеческой культуры 14.87 KB
  Семья является первичным лоном человеческой культурыИ. Ильин.Данное высказывание посвящено весьма актуальной социологической проблеме. Автор поднимает проблему семьи как самой ценной ячейке общества.Русский философ Иван Ильин придавал большое значение семье как в
13682. Создает человека природа, но развивает и образует его общество. В.Т. Белинский 16.16 KB
  Создает человека природа но развивает и образует его общество. В.Т. Белинский Человек это высшая ступень развития живых организмов на земле субъект общественноисторической деятельности и культуры но важнейшей его характеристикой является биосоциальная сущн
13683. Счастье. Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастна по-своему 14.69 KB
  Все счастливые семьи похожи друг на друга каждая несчастливая семья несчастна по-своему Л.Толстой. Важнейшим соц. институтом и основной ячейкой общества является семья общность людей основанная на единой общесемейной деятельности супружеских узах и кровном родстве....
13684. Гуманность, есть только привычка, плод цивилизации. Она может совершенно исчезнуть 14.56 KB
  Гуманность есть только привычка плод цивилизации. Она может совершенно исчезнуть. Ф.М. Достоевский Гуманность гуманизм это человеколюбие осознание собственной ценности и ценности другого человека. Гуманизм подчеркивает именно человеческие качества личности то