69151

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Лекция

Астрономия и авиация

Основной особенностью пластинки является её способность воспринимать только распределённую нагрузку действующую главным образом в её плоскости рис. Нагружение пластины граничные условия для пластинки более разнообразны так как включают опирание продольных кромок рис.

Русский

2014-09-30

779.5 KB

14 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 157

Министерство образования и науки Украины

Национальный авиационный университет

Аэрокосмический институт

Кафедра конструкции летательных аппаратов

 

ЛЕКЦИЯ № 11 (3)

по дисциплине "Конструкция и прочность летательных аппаратов"

11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Составитель проф. Радченко А.И.

 

Киев  2009

11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК

Пластинка является наиболее характерным элементом конструкции самолёта и двигателя. С ней обычно отождествляют элемент обшивки крыла, фюзеляжа, оперения летательного аппарата, стенку лонжерона, нервюры, шпангоута.

Основной особенностью пластинки является её способность воспринима-ть только распределённую нагрузку, действующую главным образом в её плоскости, (рис. 11.1)

Обычная пластинка при действии распределенной поперечной нагрузки

работает как широкополая; балка сплошного поперечного сечения, но при этом наблюдаются две особенности:

- при изгибе из-за стеснения поперечных деформаций пластинка оказывается несколько более жесткой, чем узкая балка той же площади

цилиндрическая жёсткость -  выше обычной ;

 Рис. 11.1. Нагружение  пластины  - граничные условия для пластинки более разнообразны, так как включают опирание продольных кромок (рис. 11.2), свободных у балки.

Распределённую попе-речную нагрузку пластинка   воспринимает плохо и в этом отношении не является рациональным элементом, поскольку работает на изгиб.  По этой причине пластинке присущи все недостатки балки сплошного попереч-ного сечения. Обычно применяют пластинки, под-креплённые рёбрами жёсткости (стрингерами,       Рис. 10.2. Схемы опирания пластины                      нервюрами) - панели.

Значительно лучше пластинка работает на восприятие нагрузок, прило-женных в её плоскости (растяжение, сжатие, сдвиг).

При растяжении пластинки разрушаются при достижении в материале напряжений уровня   σb (предел прочности при растяжении).

При сжатии и сдвиге пластинки разрушаются из-за потери устойчивости. Нагрузки и напряжения, действующие в момент потери устойчивости, принято называть критическими.

Рассчитать величину указанных напряжений можно с использованием дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба.

 11.1.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО
                    ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ
.

При условии выполнения для материала закона Гука уравнение имеет вид:

          (11.1)

где:  W, D- прогиб и цилиндрическая жесткость пластинки;

  - распределённая по площади поперечная нагрузка;

 Nx - распределённые по ширине пластинки погонные усилия;

ny - распределённые по длине пластинки погонные усилия;

 q- погонные касательные усилия.

Решение дифференциального уравнения (11.1) заключается в нахождении такой функции W(x,y) , которая в каждой точке, взятой внутри пластинки, обращает данное уравнение в верное равенство, а на контуре удовлетворяет ещё и граничным условиям (11.2).

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (11.1) в упрощённом виде при действии распределённой сжимающей нагрузки только в
направлении оси
X (рис. 11.3). Граничные условия - шарнирное опирание по
4-м кромкам ( рис. 11.2,
в).

                     (11.2)

Рис.11.3 Нагружение и опирание сжатой пластинки

Применим метод подбора решения. Можно проверить, что по крайней мере граничным условиям (1.2в) удовлетворяет функция:

                         (11.3)

где  m и п - целые числа I, 2 …

 f - некоторый коэффициент.

Эта же функция похожим образом описывает и форму поверхности пластинки после потери устойчивости.

Будем поэтому считать (11.3) приближённым решением (11.1). Нас будет интересовать вопрос, при каких значениях нагрузки начальная форма плоского равновесия перестаёт быть устойчивой (w 0)

Для этого в дифференциальное уравнение (11.1) подставим (11.3).

Подготовим значения производных для подстановки.

Результаты подстановки после сокращения на общий множитель

  После очевидных преобразований имеем:

и

Обычно n = 1 (вдоль оси y образуется только одна полуволна), поэтому

.

Учитывая, что

имеем

.

Величина

,

а величина обозначается как  k.

 Окончательно             (11.5)

График функции Кσ = f(а/b) для различных форм потери устойчивости при шарнирном опирании по 4 кромкам приведен на рис.1.4.

Рис. 11.4. График функции Кσ = f(а/b)

Реализуется всегда наименьшее значение критических напряжений, отсюда всегда можно определить заранее, по какой форме пластинка потеряет устойчивость, если её размеры известны.

При пользовании формулой (11.5) следует учитывать, что небезразлично, как ориентирована пластинка в системе координат X, У . Размер "а" следует брать в направлении действующей сжимающей нагрузки    (Рис.11. 4).

В случае других форм опира-ния следует пользоваться специаль-ными таблицами и графиками, в частности, графиком, приведенным на рис. 11.5.

11.2. КРИТИЧЕСКИЕ
        НАПРЯ ЖЕНИЯ  СДВИГА

Аналогично тому, как было получено выражение для критичес-ких напряжений сжатия, можно получить выражения для критических напряжений сдвига.

Для этого в уравнении(11.1) следует справа удержать только член  , остальные принять равными 0. 

Рис. 11.5. График функции Кσ = f(а/b) для

                различных форм опирания

Результат решения:

                         (11.6)

 

Размер "b" при использовании (11.6) - всегда наименьший.

Величина Кτ, также как и Кσ  для различных, случаев опирания пластинки по контуру берётся из таблиц, для наиболее употребительного случая - шарнирного опирания по 4-м кромкам, может рассчитываться по. формуле:

Физическая картина потери устойчивости при сдвиге иллюстрируется на рис. 11.6.

Сдвиг - это плоское напряжённое состояние, которое в окрестности каждой точки пластинки можно представить комбинацией растяжения и сжатия по 2-м взаимно перпендикулярным направлениям. Напряжения по обеим главным площадкам одинаковы по модулю σ1 = - σ2

Потеря устойчивости происходит под действием сжимающих напряжений σ2, поэтому гребни волн образующихся при этом, направлены под углом 45° к основанию пластинки.

Рис. 11.6. Потеря устойчивости пластины при сдвиге

 11.3.  КРИТИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СОВМЕСТНОМ  
                   ДЕЙСТВИИ  СЖАТИЯ И СДВИГА

 Совместное действие сжатия и сдвига наблюдается при одновременном изгибе и кручении крыла, фюзеляжа, оперения и т.д.

При этом каждый элемент обшивки опёртый на два соседних стрингера и две нервюры, работает на сжатие, растяжение и сдвиг. Наиболее опасна комбинация сжатия и сдвига, т.к. растяжение способствует повышению критических напряжений. Общее решение можно получить, удерживая в правой части дифференциального уравнения (1I.I) члены  и

 Оно имеет вид

       (11.8)

где  σкр, τкр- критические напряжения сжатия и сдвига при их раздельном совместном действии,

n = 1…2 ( обычно для алюминиевых сплавов n = 1,7 ).

Одно из напряжений ( σ или τ ) должно быть задано как действующее, второе определяется.

 

 11.4.  КРИТИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПЛАСТИНКИ,
              РАБОТАЮЩЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ  ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
.

Всё сказанное выше о расчёте критических напряжений справедливо для случая относительно тонких пластинок, теряющих устойчивость в пределах пропорциональности. Толстые пластинки теряют устойчивость за пределом пропорциональности, когда основное допущение, принятое при выводе дифференциального уравнения (11.1) (деформации материала подчиняются закону Гука), не выполняется. Расчёт критических напряжений в этом случае проводятся с использованием эмпирических зависимостей:

     (11.9)

где σкр и τкр определяются обычным способом.

Таким образом, расчёт критических напряжений пластинки включает в себя этапы:

1. Расчёт σкр или τкр в предположении работы материала в пределах пропорциональности.

2. Проверка выполнимости принятого предположения.

3. Пересчёт в случае необходимости критических напряжений σкр и τкр с использованием эмпирических зависимостей (9).

 

ВОПРОСЫ

  1.  Какие нагрузки хорошо воспринимает пластинка?
  2.  Опишите способы опирания пластинок?
  3.  Причины разрушения пластинки при растяжении, сжатии и сдвиге?
  4.  Укажите, какие параметры входят в дифференциальное уравнение поперечного  изгиба пластины? В чем заключается решение этого уравнения? В чем заключается метод подбора решения?
  5.  Опишите уравнение для определения критического напряжения при сжатии?
  6.  Опишите график функции Кσ = f(а/b) при шарнирном опирании 4 кромок.

  1.