69321

Властивості власних значень і власних векторів матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Метод характеристичного рівняння матриці Коли на деякий вектор х діє матриця А то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах який відрізняється від вектора х як своїм модулем розміром так і орієнтацією в багатовимірному просторі.

Украинкский

2014-10-03

115 KB

1 чел.

Лекція 6. Властивості власних значень і власних векторів матриці

4.1. Метод характеристичного рівняння матриці

Коли на деякий вектор х діє матриця А, то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах, який відрізняється від вектора х як своїм модулем (розміром), так і орієнтацією в багатовимірному просторі. Але можуть бути випадки, коли компоненти вектора у будуть пропорційні компонентам вектора х з коефіцієнтом пропорційності λ, тобто вектор зберігає свою орієнтацію в просторі. Такі вектори х називають власними векторами матриці А, а коефіцієнти λ — власними значеннями (або числами) матриці А.

Власні значення матриць знаходяться з рівняння

або  (4.1)

звідки при x0 отримаємо умову тотожності (4.1) у вигляді: 

 (4.2)

Якщо цей визначник розкрити відносно власних значень, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці А у вигляді полінома n–степеня відносно власних значень.

4.1.1. Метод Фадєєва-Левер’є

Для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння крім прямого розкриття самого визначника існує декілька методів, серед яких виділяється метод Фадєєва–Левер’є, з допомогою якого:

1. Визначаються коефіцієнти характеристичного полінома:

det(pE - A) = pn +  (4.3)

2. Обчислюється обернена матриця

A - 1 = К0 0 (4.4)

3. Обчислюється резольвента матриці

A - 1 = К0 / (4.4)

(pE - A) - 1 = . (4.5)

Метод Фадєєва–Левер’є базується на обчисленні слідів матриці А і добутків матриць AKn - i де Kn - i — коефіцієнти чисельника резольвенти матриці (4.5).

Коефіцієнти чисельника і знаменника виразу (4.5) визначаються ітераційно (спочатку коефіцієнт чисельника Kn - i, а потом коефіцієнт знаменника λn - i) відповідно до наступної процедури, де E — одинична матриця, Sp(A) = — слід матриці:

Kn - 1 = E;

Kn - 2 = AKn - 1 + λn - 1E;

Kn - k = AKn - k + 1 + λn - k + 1E;

K0 = AK1 + λ1E;

O = AK0 + λ0  умова перевірки.

Приклад 4.1.

Побудувати характеристичне рівняння матриці

A = , n = 3

Відповідно до методу Фадєєва–Левер’є (4.5):

(pI - A) - 1 = ;

Коефіцієнти чисельника і знаменника визначаються так:

K2 = I, λ2 = - SpA = 7,

K1 = A + 7Е = ; AK1 = ;
= -
Sp(AK1) = 16.
K0 = AK1 + 16Е = ; AK0 = ;
= - Sp(AK0) = 12.

Для контролю перевіряємо умову АК0 + λ0I = 0;

Характеристичне рівняння має вигляд:

з якого можна знайти власні значення матриці λ = [ - 3, - 2, - 1]t.

Обернена матриця

A - 1 =

і резольвента матриці

4.1.2. Метод Крилова

Крім методу Фадєєва–Левер’є досить відомим є також і метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келлі–Гамільтона про те, що довільна матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння:

. (4.6)

Якщо вираз (4.6) помножити на довільний вектор х, то можна отримати:

 (4.7)

де введено вектори

...,  (4.8)

компоненти яких обчислюються за формулами:

. (4.9)

На основі матрично–векторного рівняння (4.7) формуємо наступну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (4.10)

Якщо виявиться, що система (4.10) вироджена, то необхідно замінити початковий вектор х, який для зручності звичайно обирають як x = [1,0,0,…,0]t.

Приклад 4.2.

Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці:

A = .

Обчислимо спочатку

А2 =  та А3 = .

Вибираючи x = [1,1,0]t знаходимо необхідні вектори: x(1) = Ax = [ - 1, - 3,2]t, x(2) = Ax(1) = [5,9, - 10]t, x(3) = Ax(2) = [ - 31, - 27,38]t.

Система рівнянь (4.10) для нашого прикладу набуде вигляду:

,

звідки отримуємо вектор коефіцієнтів λ = [7,16,12]t, який співпадає з результатом, отриманим в Прикладі 4.1.

Примітка: Задача визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до погано обумовлених задач, оскільки потребує дуже високої точності обчислення цих коефіцієнтів. Це положення було проілюстровано в прикладі 1.2 глави 1 на базі штучного полінома, побудованого Уілкінсоном Д.

Тому розглянуті методи Фадєєва–Левер’є і Крилова підходять лише для досить невеликих порядків матриці А, тому що із зростанням її порядку n коефіцієнти характеристичного полінома звичайно збільшуються дуже швидко, ускладнюючи знаходження коренів цього полінома.

У зв’язку з цим в практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, які використовують характеристичний поліном, майже витіснені ітераційними методами, один з яких (найбільш ефективний) описано нижче.

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84434. Методические указания: Основы управления персоналом 221 KB
  Целью курсовой работы является дальнейшее углубление и специализация знаний и навыков студентов в управлении персоналом в поэлементном, функциональном и объектном разрезах в условиях практического решения реальных проблем.
84436. МЕТОД РАСЧЕТА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДОБАВЛЕННОЙ СТОИМОСТИ (EVA) 56.72 KB
  Управление факторами влияющими на стоимость компании. Это объяснялось тем что существующие до этого времени методы оценки деятельности фирмы уже не могли удовлетворять растущим требованиям менеджеров поскольку не позволяли оценивать деятельность компании в долгосрочном периоде.
84437. БИЗНЕС-ПЛАН ФИРМЫ «ФОТОС» 369.5 KB
  Результатом настоящего проекта будет являться открытие нового фотосалона и реализация фото-продукции и фото-услуг. Данный фотосалон будет выгодно отличаться от конкурентов наличием новейшего оборудования, позволяющем печатать на множестве различных твердых материалов...
84438. Многофункциональные аварийно-спасательные суда 3.63 MB
  Многофункциональное аварийно-спасательное судно - предназначено для борьбы с аварийными разливами нефти и спасательных операций. Его характерной особенностью является «косой» дизайн с асимметричным корпусом и несколькими винторулевыми колонками, что позволяет судну работать на переднем и заднем ходу...
84439. Усилитель звуковых частот (УЗЧ) 1.56 MB
  Усилители низкой частоты наиболее широко применяются для усиления сигналов, несущих звуковую информацию, в этих случаях они называются, также, усилителями звуковой частоты, кроме этого УНЧ используются для усиления информационного сигнала в различных сферах: измерительной технике...
84440. Анализ финансового состояния ООО «ОКОР» 627 KB
  Особо внимание уделяется эффективности использования оборотных средств, так как рациональное оборотных средств влияет на основные показатели хозяйственной деятельности промышленного предприятия: на рост объема производства, снижение себестоимости продукции, повышение рентабельности...
84441. Решение инженерной задачи методами вычислительной математики 459 KB
  В результате выполнения курсовой работы должен появиться навык и умение практического использования полученных знаний для решения некоторых теоретических и практических задач. Результаты сравнения представить в виде таблицы относительных погрешностей решения.
84442. Понятие алгоритма. Алгоритмизация 118.84 KB
  Вывод об алгоритмизации как части этапа программирования Алгоритмизация Понятие алгоритма Алгоритм –- это последовательность команд выполнение которых приводит к решению поставленной задачи. Понятие алгоритма относится к первоначальным основным базисным понятиям математики.