69321

Властивості власних значень і власних векторів матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Метод характеристичного рівняння матриці Коли на деякий вектор х діє матриця А то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах який відрізняється від вектора х як своїм модулем розміром так і орієнтацією в багатовимірному просторі.

Украинкский

2014-10-03

115 KB

1 чел.

Лекція 6. Властивості власних значень і власних векторів матриці

4.1. Метод характеристичного рівняння матриці

Коли на деякий вектор х діє матриця А, то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах, який відрізняється від вектора х як своїм модулем (розміром), так і орієнтацією в багатовимірному просторі. Але можуть бути випадки, коли компоненти вектора у будуть пропорційні компонентам вектора х з коефіцієнтом пропорційності λ, тобто вектор зберігає свою орієнтацію в просторі. Такі вектори х називають власними векторами матриці А, а коефіцієнти λ — власними значеннями (або числами) матриці А.

Власні значення матриць знаходяться з рівняння

або  (4.1)

звідки при x0 отримаємо умову тотожності (4.1) у вигляді: 

 (4.2)

Якщо цей визначник розкрити відносно власних значень, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці А у вигляді полінома n–степеня відносно власних значень.

4.1.1. Метод Фадєєва-Левер’є

Для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння крім прямого розкриття самого визначника існує декілька методів, серед яких виділяється метод Фадєєва–Левер’є, з допомогою якого:

1. Визначаються коефіцієнти характеристичного полінома:

det(pE - A) = pn +  (4.3)

2. Обчислюється обернена матриця

A - 1 = К0 0 (4.4)

3. Обчислюється резольвента матриці

A - 1 = К0 / (4.4)

(pE - A) - 1 = . (4.5)

Метод Фадєєва–Левер’є базується на обчисленні слідів матриці А і добутків матриць AKn - i де Kn - i — коефіцієнти чисельника резольвенти матриці (4.5).

Коефіцієнти чисельника і знаменника виразу (4.5) визначаються ітераційно (спочатку коефіцієнт чисельника Kn - i, а потом коефіцієнт знаменника λn - i) відповідно до наступної процедури, де E — одинична матриця, Sp(A) = — слід матриці:

Kn - 1 = E;

Kn - 2 = AKn - 1 + λn - 1E;

Kn - k = AKn - k + 1 + λn - k + 1E;

K0 = AK1 + λ1E;

O = AK0 + λ0  умова перевірки.

Приклад 4.1.

Побудувати характеристичне рівняння матриці

A = , n = 3

Відповідно до методу Фадєєва–Левер’є (4.5):

(pI - A) - 1 = ;

Коефіцієнти чисельника і знаменника визначаються так:

K2 = I, λ2 = - SpA = 7,

K1 = A + 7Е = ; AK1 = ;
= -
Sp(AK1) = 16.
K0 = AK1 + 16Е = ; AK0 = ;
= - Sp(AK0) = 12.

Для контролю перевіряємо умову АК0 + λ0I = 0;

Характеристичне рівняння має вигляд:

з якого можна знайти власні значення матриці λ = [ - 3, - 2, - 1]t.

Обернена матриця

A - 1 =

і резольвента матриці

4.1.2. Метод Крилова

Крім методу Фадєєва–Левер’є досить відомим є також і метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келлі–Гамільтона про те, що довільна матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння:

. (4.6)

Якщо вираз (4.6) помножити на довільний вектор х, то можна отримати:

 (4.7)

де введено вектори

...,  (4.8)

компоненти яких обчислюються за формулами:

. (4.9)

На основі матрично–векторного рівняння (4.7) формуємо наступну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (4.10)

Якщо виявиться, що система (4.10) вироджена, то необхідно замінити початковий вектор х, який для зручності звичайно обирають як x = [1,0,0,…,0]t.

Приклад 4.2.

Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці:

A = .

Обчислимо спочатку

А2 =  та А3 = .

Вибираючи x = [1,1,0]t знаходимо необхідні вектори: x(1) = Ax = [ - 1, - 3,2]t, x(2) = Ax(1) = [5,9, - 10]t, x(3) = Ax(2) = [ - 31, - 27,38]t.

Система рівнянь (4.10) для нашого прикладу набуде вигляду:

,

звідки отримуємо вектор коефіцієнтів λ = [7,16,12]t, який співпадає з результатом, отриманим в Прикладі 4.1.

Примітка: Задача визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до погано обумовлених задач, оскільки потребує дуже високої точності обчислення цих коефіцієнтів. Це положення було проілюстровано в прикладі 1.2 глави 1 на базі штучного полінома, побудованого Уілкінсоном Д.

Тому розглянуті методи Фадєєва–Левер’є і Крилова підходять лише для досить невеликих порядків матриці А, тому що із зростанням її порядку n коефіцієнти характеристичного полінома звичайно збільшуються дуже швидко, ускладнюючи знаходження коренів цього полінома.

У зв’язку з цим в практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, які використовують характеристичний поліном, майже витіснені ітераційними методами, один з яких (найбільш ефективний) описано нижче.

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5972. Информационные технологии в металлургии. Курс лекций 332 KB
  Введение Понятие об информатике, ее предмете и задачах Современный этап развития человеческого общества - это эпоха постиндустриального информационного общества. Если на предыдущих этапах развития прогресс общества зависел от развития производс...
5973. Племенной учет в овцеводстве. Справочное пособие 1.56 MB
  Справочное пособие содержит основные сведения о биологических особенностях овец, о племенной работе в овцеводстве, информацию о программном продукте Племенной учёт в овцеводстве и инструкцию работы с программой. Справочное пособие будет инте...
5974. Арсенид индия. Свойства, применение. Особенности получения эпитаксиальных пленок 54.06 KB
  Введение. Эпитаксиальный арсенид индия - перспективный материал электронной техники. Высокая подвижность электронов в арсениде индия прямозонная структура позволяют использовать его для изготовления высокоэффективных электронных и оптоэлектронных пр...
5975. Процессы горения и взрыва 1.59 MB
  Процессы горения и взрыва Книга написана применительно к действующей программе по дисциплине Теория горения и взрыва для высших учебных заведений. В ней изложены основные разделы современной теории горения: химические и тепло-массообменные процесс...
5976. Методы амортизации основных производственных фондов на предприятии 82.91 KB
  Для осуществления хозяйственной деятельности и нормального функционирования любое современное предприятие должно обладать необходимыми ресурсами, то есть иметь определенные средства и источники, с помощью которых можно производить и реализо...
5977. Жилищное право. Конспект лекций 990.5 KB
  Краткий конспект лекций содержит основные положения Жилищного права. В нем раскрываются определения понятий Жилищного права, его предмета и метода, проводится анализ основных принципов в сфере жилищных правоотношений, рассматриваются вопросы жилищно...
5978. Проблемы корпоративного права. Корпоративные правоотношения 85.58 KB
  Проблемы корпоративного права. Корпоративные правоотношения Основные понятия Корпорация – от лат. corpus habere - в Римском праве им обозначался статус юр. лица. Римск. право не знало учения о юр. лицах. Корпорация в РФ - ст. 71 ФЗ «О...
5979. Влияние легирующих элементов на механические и химические свойства стали 455 KB
  Следуя в ногу с техническим прогрессом, требующим удовлетворения растущих потребностей вновь создаваемых и развивающихся отраслей промышленности, ОАО ТАГМЕТ наращивал объем производства за счет расширения старых и строительства новых цехо...
5980. МЕХАНИЗМ МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ 104.69 KB
  Мышечные ткани (обзор). Физиологические свойства поперечно-полосатых скелетных мышц. Структурно-функциональная характеристика мускулатуры (поперечно-полосатых мышц), их иннервация. Механизм мышечного сокращения. Явления, сопровождающие мышечное сокращение.