69321

Властивості власних значень і власних векторів матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Метод характеристичного рівняння матриці Коли на деякий вектор х діє матриця А то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах який відрізняється від вектора х як своїм модулем розміром так і орієнтацією в багатовимірному просторі.

Украинкский

2014-10-03

115 KB

1 чел.

Лекція 6. Властивості власних значень і власних векторів матриці

4.1. Метод характеристичного рівняння матриці

Коли на деякий вектор х діє матриця А, то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах, який відрізняється від вектора х як своїм модулем (розміром), так і орієнтацією в багатовимірному просторі. Але можуть бути випадки, коли компоненти вектора у будуть пропорційні компонентам вектора х з коефіцієнтом пропорційності λ, тобто вектор зберігає свою орієнтацію в просторі. Такі вектори х називають власними векторами матриці А, а коефіцієнти λ — власними значеннями (або числами) матриці А.

Власні значення матриць знаходяться з рівняння

або  (4.1)

звідки при x0 отримаємо умову тотожності (4.1) у вигляді: 

 (4.2)

Якщо цей визначник розкрити відносно власних значень, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці А у вигляді полінома n–степеня відносно власних значень.

4.1.1. Метод Фадєєва-Левер’є

Для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння крім прямого розкриття самого визначника існує декілька методів, серед яких виділяється метод Фадєєва–Левер’є, з допомогою якого:

1. Визначаються коефіцієнти характеристичного полінома:

det(pE - A) = pn +  (4.3)

2. Обчислюється обернена матриця

A - 1 = К0 0 (4.4)

3. Обчислюється резольвента матриці

A - 1 = К0 / (4.4)

(pE - A) - 1 = . (4.5)

Метод Фадєєва–Левер’є базується на обчисленні слідів матриці А і добутків матриць AKn - i де Kn - i — коефіцієнти чисельника резольвенти матриці (4.5).

Коефіцієнти чисельника і знаменника виразу (4.5) визначаються ітераційно (спочатку коефіцієнт чисельника Kn - i, а потом коефіцієнт знаменника λn - i) відповідно до наступної процедури, де E — одинична матриця, Sp(A) = — слід матриці:

Kn - 1 = E;

Kn - 2 = AKn - 1 + λn - 1E;

Kn - k = AKn - k + 1 + λn - k + 1E;

K0 = AK1 + λ1E;

O = AK0 + λ0  умова перевірки.

Приклад 4.1.

Побудувати характеристичне рівняння матриці

A = , n = 3

Відповідно до методу Фадєєва–Левер’є (4.5):

(pI - A) - 1 = ;

Коефіцієнти чисельника і знаменника визначаються так:

K2 = I, λ2 = - SpA = 7,

K1 = A + 7Е = ; AK1 = ;
= -
Sp(AK1) = 16.
K0 = AK1 + 16Е = ; AK0 = ;
= - Sp(AK0) = 12.

Для контролю перевіряємо умову АК0 + λ0I = 0;

Характеристичне рівняння має вигляд:

з якого можна знайти власні значення матриці λ = [ - 3, - 2, - 1]t.

Обернена матриця

A - 1 =

і резольвента матриці

4.1.2. Метод Крилова

Крім методу Фадєєва–Левер’є досить відомим є також і метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келлі–Гамільтона про те, що довільна матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння:

. (4.6)

Якщо вираз (4.6) помножити на довільний вектор х, то можна отримати:

 (4.7)

де введено вектори

...,  (4.8)

компоненти яких обчислюються за формулами:

. (4.9)

На основі матрично–векторного рівняння (4.7) формуємо наступну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (4.10)

Якщо виявиться, що система (4.10) вироджена, то необхідно замінити початковий вектор х, який для зручності звичайно обирають як x = [1,0,0,…,0]t.

Приклад 4.2.

Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці:

A = .

Обчислимо спочатку

А2 =  та А3 = .

Вибираючи x = [1,1,0]t знаходимо необхідні вектори: x(1) = Ax = [ - 1, - 3,2]t, x(2) = Ax(1) = [5,9, - 10]t, x(3) = Ax(2) = [ - 31, - 27,38]t.

Система рівнянь (4.10) для нашого прикладу набуде вигляду:

,

звідки отримуємо вектор коефіцієнтів λ = [7,16,12]t, який співпадає з результатом, отриманим в Прикладі 4.1.

Примітка: Задача визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до погано обумовлених задач, оскільки потребує дуже високої точності обчислення цих коефіцієнтів. Це положення було проілюстровано в прикладі 1.2 глави 1 на базі штучного полінома, побудованого Уілкінсоном Д.

Тому розглянуті методи Фадєєва–Левер’є і Крилова підходять лише для досить невеликих порядків матриці А, тому що із зростанням її порядку n коефіцієнти характеристичного полінома звичайно збільшуються дуже швидко, ускладнюючи знаходження коренів цього полінома.

У зв’язку з цим в практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, які використовують характеристичний поліном, майже витіснені ітераційними методами, один з яких (найбільш ефективний) описано нижче.

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49818. ПРОГРАМНІ ЗАСОБИ В ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ СИСТЕМАХ 153.5 KB
  Створення та редагування елементів принципових схем у відповідності до ЄСКД. Створення та редагування елементів принципових схем у відповідності до ЄСКД у САПР ORCD 9. Розміщення елементів на робочому полі. Автоматична нумерація елементів.
49821. ПРОЕКТУВАННЯ СИСТЕМ ЕЛЕКТРОПОСТАЧАННЯ 1.07 MB
  Вибір кількості потужності і розташування цехових трансформаторних підстанцій Вибір та порівняння варіантів компенсації реактивної потужності Попереднє визначення розрахункових електричних навантажень економічно доцільної величини споживання реактивної потужності від електроенергетичної системи Qе орієнтовної кількості й потужності трансформаторів цехових ТП і розподільчих пристроїв. Вибір кількості та потужності трансформаторів цехових ТП компенсувальних устав КУ і розподільних пунктів РП.
49822. Значення мотивації для процесу управління. Методи та способи мотивації в управлінській діяльності 233.5 KB
  Визначити поняття «мотивація»; Проаналізувати основні мотиваційні теорії; Визначити роль потреб у процесі мотивації; Дослідити конкретні методи та способи мотивації персоналу в управлінській діяльності; Розкрити процес формування комплексної мотивації в сучасних умовах.
49823. Нейролінгвістичне програмування (НЛП) та управління колективом 176 KB
  Теоретичні засади НЛП в управлінні колективом організації. НЛП як інструмент управління колективом. Сфера застосування та цілі НЛП.
49824. Тактика прийняття управлінських рішень в складних ситуаціях 223.5 KB
  Характеристика рішення в психології управління. Поняття процесу управлінського рішення і його види. Етапи прийняття рішення в складній ситуації. Процес прийняття управлінського рішення керівником в залежності від його психологічних якостей.
49825. Стратегія управління стресом. Профілактика стресів та стратегія виходу зі стресових ситуацій 215 KB
  Виникнення стресу. Стрес його сутність та види. Причини виникнення стресів та динаміка розвитку внутрішнього напруження під час стресу. Висновки та рекомендації Список використаної літератури Додатки Вступ Переважна більшість людей в сучасному суспільстві знаходиться під впливом стресу бо у часи науковотехнічної революції в які ми живемо посилюється психічна діяльність людей. Тому й виникає проблема емоційного стресу тобто напруження і перенапруження...
49826. Использование нейронных сетей на рынке недвижимости 850.5 KB
  Представлен результат нейросетевого моделирования в графиках указывается ошибка обучения а также выведен закон зависимости цен на квартиры от удаленности от центра. Сама нейросеть представляет собой набор специальных математических функций с множеством параметров которые настраиваются в процессе обучения на прошлых данных. Другая существенная особенность нейронных сетей состоит в том что зависимость между входом и выходом находится в процессе обучения сети. Самые продвинутые симуляторы позволяют конструировать НС с экзотическими...