69321

Властивості власних значень і власних векторів матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Метод характеристичного рівняння матриці Коли на деякий вектор х діє матриця А то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах який відрізняється від вектора х як своїм модулем розміром так і орієнтацією в багатовимірному просторі.

Украинкский

2014-10-03

115 KB

5 чел.

Лекція 6. Властивості власних значень і власних векторів матриці

4.1. Метод характеристичного рівняння матриці

Коли на деякий вектор х діє матриця А, то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах, який відрізняється від вектора х як своїм модулем (розміром), так і орієнтацією в багатовимірному просторі. Але можуть бути випадки, коли компоненти вектора у будуть пропорційні компонентам вектора х з коефіцієнтом пропорційності λ, тобто вектор зберігає свою орієнтацію в просторі. Такі вектори х називають власними векторами матриці А, а коефіцієнти λ — власними значеннями (або числами) матриці А.

Власні значення матриць знаходяться з рівняння

або  (4.1)

звідки при x0 отримаємо умову тотожності (4.1) у вигляді: 

 (4.2)

Якщо цей визначник розкрити відносно власних значень, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці А у вигляді полінома n–степеня відносно власних значень.

4.1.1. Метод Фадєєва-Левер’є

Для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння крім прямого розкриття самого визначника існує декілька методів, серед яких виділяється метод Фадєєва–Левер’є, з допомогою якого:

1. Визначаються коефіцієнти характеристичного полінома:

det(pE - A) = pn +  (4.3)

2. Обчислюється обернена матриця

A - 1 = К0 0 (4.4)

3. Обчислюється резольвента матриці

A - 1 = К0 / (4.4)

(pE - A) - 1 = . (4.5)

Метод Фадєєва–Левер’є базується на обчисленні слідів матриці А і добутків матриць AKn - i де Kn - i — коефіцієнти чисельника резольвенти матриці (4.5).

Коефіцієнти чисельника і знаменника виразу (4.5) визначаються ітераційно (спочатку коефіцієнт чисельника Kn - i, а потом коефіцієнт знаменника λn - i) відповідно до наступної процедури, де E — одинична матриця, Sp(A) = — слід матриці:

Kn - 1 = E;

Kn - 2 = AKn - 1 + λn - 1E;

Kn - k = AKn - k + 1 + λn - k + 1E;

K0 = AK1 + λ1E;

O = AK0 + λ0  умова перевірки.

Приклад 4.1.

Побудувати характеристичне рівняння матриці

A = , n = 3

Відповідно до методу Фадєєва–Левер’є (4.5):

(pI - A) - 1 = ;

Коефіцієнти чисельника і знаменника визначаються так:

K2 = I, λ2 = - SpA = 7,

K1 = A + 7Е = ; AK1 = ;
= -
Sp(AK1) = 16.
K0 = AK1 + 16Е = ; AK0 = ;
= - Sp(AK0) = 12.

Для контролю перевіряємо умову АК0 + λ0I = 0;

Характеристичне рівняння має вигляд:

з якого можна знайти власні значення матриці λ = [ - 3, - 2, - 1]t.

Обернена матриця

A - 1 =

і резольвента матриці

4.1.2. Метод Крилова

Крім методу Фадєєва–Левер’є досить відомим є також і метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келлі–Гамільтона про те, що довільна матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння:

. (4.6)

Якщо вираз (4.6) помножити на довільний вектор х, то можна отримати:

 (4.7)

де введено вектори

...,  (4.8)

компоненти яких обчислюються за формулами:

. (4.9)

На основі матрично–векторного рівняння (4.7) формуємо наступну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (4.10)

Якщо виявиться, що система (4.10) вироджена, то необхідно замінити початковий вектор х, який для зручності звичайно обирають як x = [1,0,0,…,0]t.

Приклад 4.2.

Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці:

A = .

Обчислимо спочатку

А2 =  та А3 = .

Вибираючи x = [1,1,0]t знаходимо необхідні вектори: x(1) = Ax = [ - 1, - 3,2]t, x(2) = Ax(1) = [5,9, - 10]t, x(3) = Ax(2) = [ - 31, - 27,38]t.

Система рівнянь (4.10) для нашого прикладу набуде вигляду:

,

звідки отримуємо вектор коефіцієнтів λ = [7,16,12]t, який співпадає з результатом, отриманим в Прикладі 4.1.

Примітка: Задача визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до погано обумовлених задач, оскільки потребує дуже високої точності обчислення цих коефіцієнтів. Це положення було проілюстровано в прикладі 1.2 глави 1 на базі штучного полінома, побудованого Уілкінсоном Д.

Тому розглянуті методи Фадєєва–Левер’є і Крилова підходять лише для досить невеликих порядків матриці А, тому що із зростанням її порядку n коефіцієнти характеристичного полінома звичайно збільшуються дуже швидко, ускладнюючи знаходження коренів цього полінома.

У зв’язку з цим в практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, які використовують характеристичний поліном, майже витіснені ітераційними методами, один з яких (найбільш ефективний) описано нижче.

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10842. Корисна інформація для подорожуючого 54 KB
  УРОК 27 Тема: Життя суспільства Підтема: Корисна інформація для подорожуючого. Мета: Практикувати учнів в усних діалогічних висловлюваннях. Вчити отримувати та користуватися необхідною для подорожуючого інформацією. Вчити реагувати на репліки співрозмовника висл...
10843. Урок. У готелі. Займенник some та його похідні 51.5 KB
  Тема. Життя суспільства УРОК 28 Підтема: У готелі. Мета: Практикувати учнів у вживанні фраз необхідних у ситуаціях спілкування. Узагальнити граматичний матеріал: Займенник some та його похідні. Обладнання: підручник граматична таблиця Займенник some та його похід...
10844. Новий рік. Різдво 44.5 KB
  Тема: КУЛЬТУРА. ДОЗВІЛЛЯ Підтема: Новий рік. Різдво. Мета: Виховувати повагу до народних традицій. Обладнання: підручник текст для аудіювання Christmas in Ukraine HO текст для читання New Year in England and Scotland HO2. ХІД УРОКУ I.ПІДГОТОВКА ДО СПРИЙНЯТТЯ ІНШОМОВНОГО МОВЛЕННЯ ...
10845. Чекаючи на Різдво. Життя суспільства 38.5 KB
  Урок 29 Тема: Життя суспільства Підтема: Чекаючи на Різдво. Мета: Навчати непідготовленому висловлюванню за темою уроку. Проконтролювати та обговорити тексти домашнього читання. Націлювати учнів на виконання тесту тематичної атестації.Обладнання: підручник. ХІД У...
10846. Святкування Нового року та Різдва 41 KB
  Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів Тема: КУЛЬТУРА. ДОЗВІЛЛЯ Підтема: Святкування Нового року та Різдва. Мета: Вчити учнів активно використовувати недавно вивчений матеріал працюючи в групі у парах індивідуально. Обладнання: підручник ка...
10847. Спорт в житті суспільства 60.5 KB
  Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів Тема: Люди. Життя суспільства. Підтема: Спорт. Мета: Розвивати вміння вживати активну лексику за темою в діалогічному та монологічниму мовленні. Тренувати учнів у вживанні прийменників. Обладнання: підручни...
10848. Спорт як професія 41.5 KB
  Тема: Люди. Життя суспільства. Підтема: Спорт як професія. Мета:Розвивати вміння вживати активну лексику у вивчених граматичних структурах.Практикувати учнів у читанні та обговоренні газетних текстів за темою уроку. Обладнання: підручник текст для читання Fr...
10849. Урок Природа й людина 71 KB
  Практикувати учнів в аудіюванні, мовленні, читанні. Тренувати учнів у вживанні конструкцій з герундієм (Gerund).
10850. Наша Земля - наш дім 32 KB
  Тема. Природа й людина УРОК 56 ПІдтема:Наша Земля наш дім. Мета:Закріпляти та розвивати мовні навички. Підкреслити необхідність захисту оточуючого середовища. Обладнання: підручник плакати малюнки за темою Our Planet Is Our Home. ПРОВЕДЕННЯ КОНФЕРЕНЦІЇ ЗА ТЕМ...