69321

Властивості власних значень і власних векторів матриці

Лекция

Математика и математический анализ

Метод характеристичного рівняння матриці Коли на деякий вектор х діє матриця А то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах який відрізняється від вектора х як своїм модулем розміром так і орієнтацією в багатовимірному просторі.

Украинкский

2014-10-03

115 KB

1 чел.

Лекція 6. Властивості власних значень і власних векторів матриці

4.1. Метод характеристичного рівняння матриці

Коли на деякий вектор х діє матриця А, то в загальному випадку отримується новий вектор у = Ах, який відрізняється від вектора х як своїм модулем (розміром), так і орієнтацією в багатовимірному просторі. Але можуть бути випадки, коли компоненти вектора у будуть пропорційні компонентам вектора х з коефіцієнтом пропорційності λ, тобто вектор зберігає свою орієнтацію в просторі. Такі вектори х називають власними векторами матриці А, а коефіцієнти λ — власними значеннями (або числами) матриці А.

Власні значення матриць знаходяться з рівняння

або  (4.1)

звідки при x0 отримаємо умову тотожності (4.1) у вигляді: 

 (4.2)

Якщо цей визначник розкрити відносно власних значень, то отримаємо так зване характеристичне рівняння матриці А у вигляді полінома n–степеня відносно власних значень.

4.1.1. Метод Фадєєва-Левер’є

Для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння крім прямого розкриття самого визначника існує декілька методів, серед яких виділяється метод Фадєєва–Левер’є, з допомогою якого:

1. Визначаються коефіцієнти характеристичного полінома:

det(pE - A) = pn +  (4.3)

2. Обчислюється обернена матриця

A - 1 = К0 0 (4.4)

3. Обчислюється резольвента матриці

A - 1 = К0 / (4.4)

(pE - A) - 1 = . (4.5)

Метод Фадєєва–Левер’є базується на обчисленні слідів матриці А і добутків матриць AKn - i де Kn - i — коефіцієнти чисельника резольвенти матриці (4.5).

Коефіцієнти чисельника і знаменника виразу (4.5) визначаються ітераційно (спочатку коефіцієнт чисельника Kn - i, а потом коефіцієнт знаменника λn - i) відповідно до наступної процедури, де E — одинична матриця, Sp(A) = — слід матриці:

Kn - 1 = E;

Kn - 2 = AKn - 1 + λn - 1E;

Kn - k = AKn - k + 1 + λn - k + 1E;

K0 = AK1 + λ1E;

O = AK0 + λ0  умова перевірки.

Приклад 4.1.

Побудувати характеристичне рівняння матриці

A = , n = 3

Відповідно до методу Фадєєва–Левер’є (4.5):

(pI - A) - 1 = ;

Коефіцієнти чисельника і знаменника визначаються так:

K2 = I, λ2 = - SpA = 7,

K1 = A + 7Е = ; AK1 = ;
= -
Sp(AK1) = 16.
K0 = AK1 + 16Е = ; AK0 = ;
= - Sp(AK0) = 12.

Для контролю перевіряємо умову АК0 + λ0I = 0;

Характеристичне рівняння має вигляд:

з якого можна знайти власні значення матриці λ = [ - 3, - 2, - 1]t.

Обернена матриця

A - 1 =

і резольвента матриці

4.1.2. Метод Крилова

Крім методу Фадєєва–Левер’є досить відомим є також і метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келлі–Гамільтона про те, що довільна матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння:

. (4.6)

Якщо вираз (4.6) помножити на довільний вектор х, то можна отримати:

 (4.7)

де введено вектори

...,  (4.8)

компоненти яких обчислюються за формулами:

. (4.9)

На основі матрично–векторного рівняння (4.7) формуємо наступну систему лінійних рівнянь для коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (4.10)

Якщо виявиться, що система (4.10) вироджена, то необхідно замінити початковий вектор х, який для зручності звичайно обирають як x = [1,0,0,…,0]t.

Приклад 4.2.

Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці:

A = .

Обчислимо спочатку

А2 =  та А3 = .

Вибираючи x = [1,1,0]t знаходимо необхідні вектори: x(1) = Ax = [ - 1, - 3,2]t, x(2) = Ax(1) = [5,9, - 10]t, x(3) = Ax(2) = [ - 31, - 27,38]t.

Система рівнянь (4.10) для нашого прикладу набуде вигляду:

,

звідки отримуємо вектор коефіцієнтів λ = [7,16,12]t, який співпадає з результатом, отриманим в Прикладі 4.1.

Примітка: Задача визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до погано обумовлених задач, оскільки потребує дуже високої точності обчислення цих коефіцієнтів. Це положення було проілюстровано в прикладі 1.2 глави 1 на базі штучного полінома, побудованого Уілкінсоном Д.

Тому розглянуті методи Фадєєва–Левер’є і Крилова підходять лише для досить невеликих порядків матриці А, тому що із зростанням її порядку n коефіцієнти характеристичного полінома звичайно збільшуються дуже швидко, ускладнюючи знаходження коренів цього полінома.

У зв’язку з цим в практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, які використовують характеристичний поліном, майже витіснені ітераційними методами, один з яких (найбільш ефективний) описано нижче.

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10036. Алгоритм криптографического преобразования 35 KB
  Алгоритм криптографического преобразования ГОСТ 2814789 далее ГОСТ производит зашифрование открытого текста представленного в виде двоичной последовательности. Текст зашифровывается поблочно 64х битовыми блоками. Процесс шифрования блока сводится к шифру гаммирова
10037. Алгоритм решения сравнения. Китайская теорема об остатках 44.5 KB
  Сравнения вида могут иметь несколько решений иметь единственное решение или не иметь решений вовсе. Если то решение единственно: Теорема. Решения сравнения существуют тогда и только тогда когда делит . При этом количество решений сравнения равно d. Алгорит...
10038. Определение и свойства символа Лежандра 46.5 KB
  Двучленным квадратичным сравнением называется сравнение вида где неизвестный вычет. Целое число a называется квадратичным вычетом по модулю n если сравнение разрешимо. Если сравнение разрешимо то для составного модуля количество решений как правило больше дву...
10039. Свойства символа Якоби 43 KB
  Символ Якоби числа x по модулю n, при, определяется как произведение значений символов Лежандра . Он обладает практически всеми теми же свойствами, что и символ Лежандра
10040. Криптографическая система RSA 54.5 KB
  Криптографическая система RSA является асимметричной криптосистемой основанной на односторонней функции с лазейкой в качестве которой выбрана степенная функция в кольце вычетов целых чисел по составному двупростому модулю . Стойкость системы сводится к сложности з...
10041. Смешанные криптосистемы 35 KB
  Смешанные криптосистемы. В настоящее время в системах связи общего назначения широко распространены смешанные гибридные криптосистемы у которых конфиденциальность сообщений обеспечивается за счет шифрования с помощью симметричной криптосистемы рассылка ключей д
10042. Функция Эйлера. Доказательство теорем Эйлера и Ферма 54.5 KB
  Пусть m>1 – целое число и а – вычет по модулю m. Порядок является наименьшим положительным числом для которого выполняется сравнение. Порядок числа по модулю обозначается. Функция Эйлера. Порядки чисел по модулю различны. Существуют числа являюще
10043. Цифровая подпись Ель Гамаля 37 KB
  Цифровая подпись Ель Гамаля основывается на односторонней функции дискретного возведения в степень обратной к которой является дискретный логарифм. Механизм цифровой подписи Эль Гамаля широко используется на практике для организации аналогичных схем цифровой подписи...
10044. Линейная двоичная рекуррентная последовательность 39 KB
  Линейная двоичная рекуррентная последовательность. В криптосхемах потоковых шифров широко применяются криптоузлы основанные на т.н. регистрах сдвига с обратной связью. Наиболее простым узлом является т.н. двоичный регистр сдвига с линейными обратными связями РСЛОС...