69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24301. Этика в СМИ, теория свободы прессы 24 KB
  Этика в СМИ теория свободы прессы. Главная тенденция по итогам исследования 2010 года СМИ в теме социальной ответственности низкая доля внимания средств массовой информации к тематике в целом. встречаются редко и лишь на страницах отдельных СМИ. Причем если деятельность официально зарегистрированных организаций благотворительных и правозащитных объединений фондов помощи и общественных ассоциаций проводящих мероприятия имеющие статус официальных а также отдельные социальные акции крупных компаний или государственных структур еще...
24302. Состояние и развитие рекламного рынка в России и мире. Законодательное регулирование рекламных процессов 37 KB
  История рекламы исчисляется не годами а тысячелетиями. С момента возникновения такой экономической категории как товар и установления товарного производства началось развитие рекламы как искусства. Журнал Лаборатория рекламы маркетинга и PR №1. Мировой рекламный рынок: рынок мировой рекламы растет однако его рост замедлился.
24303. Планирование рекламной кампании 31.5 KB
  Планирование рекламной кампании. Планирование рекламной кампании разбивается на следующие этапы: Определение целей рекламной кампании; Разработка рекламной идеи и стратегии рекламной кампании; Исследование рынка; Разработка бюджета рекламной кампании; Выбор средств распространения рекламной информации; Выбор графика проведения рекламной кампании; Составление медиаплана рекламной кампании; Оценка эффективности рекламной кампании. Рекламные кампании различаются: По основному объекту рекламирования можно выделить кампании по рекламе:...
24304. Виды и формы рекламной информации и средств рекламы 30 KB
  ATL это мероприятия по размещению прямой рекламы которые задействуют 6 основных носителей ТВ пресса радио реклама на транспорте наружная реклама реклама в Интернет. Наружная реклама рекламные средства в виде вывесок наружных плакатов щитов перетяжек витрин козырьков световых установок на зданиях улицах и обочинах дороги. Наружная реклама содержит и использует лаконичный запоминающийся текст рисунок. Реклама на транспорте разновидность рекламы достигающей людей которые пользуются общественным транспортом.
24305. Оценка эффективности рекламной кампании 26.5 KB
  По этой причине оценка эффективности рекламы учитывает комплекс создавшихся на рынке условий и факторов способствующих или препятствующих решению маркетинговых задач. Основная задача исследований эффективности рекламы состоит в том чтобы научиться косвенно предсказывать ее влияние на коммерческую деятельность фирмы. Эти исследования прежде всего направлены на повышение эффективности рекламной деятельности снижения риска ее проведения лучшее использование финансовых средств.
24306. Правовой режим предвыборки, ответственность за нарушение законодательства 40.5 KB
  Владимир Евстафьев рассказал вицепрезидент Ассоциации коммуникационных агентств России академик рекламы Агитация предвыборная предвыборная агитация деятельность осуществляемая в период избирательной кампании и имеющая целью побудить или побуждающая избирателей к голосованию за кандидата кандидатов список кандидатов или против него них. Предвыборная агитация может принимать следующие формы: а призывы голосовать за или против кандидата списка кандидатов; б выражение предпочтения какомулибо кандидату избирательному...
24307. Защита репутации юридическими средствами 87.5 KB
  Защита репутации юридическими средствами Защита чести достоинства и деловой репутации Гражданин вправе требовать по суду опровержения порочащих его честь достоинство или деловую репутацию сведений если распространивший такие сведения не докажет что они соответствуют действительности. Правила настоящей статьи о защите деловой репутации гражданина соответственно применяются к защите деловой репутации юридического лица. Защита репутации: право и PR Репутация – это информационное по сути явление которое отчасти пытаются описать и защитить с...
24309. Импульс (количество движения) 165 KB
  Импульсом (количеством движения) частицы или импульсом АТТ при поступательном движении называется векторная физическая величина, равная произведению массы частицы (массы АТТ) m на вектор ее скорости (скорость центра инерции АТТ)