69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22405. Введение в математический анализ 1.32 MB
  Числовые множества 1. Числовые множества. Числовые функции Числовые множества. Числовая последовательность и ее предел Числовая последовательность и свойства последовательностей.
22406. Непрерывность функции в точке 383 KB
  Функция f называется непрерывной в точке a если она определена в точке a и ее некоторой окрестности и если существует предел этой функции f при x при x  a и он равен fa т. Функция f называется непрерывной слева в точке a если она определена в точке a и в левой половине некоторой окрестности точки a если левый предел этой функции f при x  a0 существует и равен fa т. Функция f называется непрерывной справа в точке a если она определена в точке a и в правой половине некоторой окрестности точки a если правый предел этой функции...
22407. Дифференцируемость и производные функции 291 KB
  Дифференцируемость и производные функции Приращение аргумента и приращение функции. Понятие функции дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Производная функции.
22408. Производные высших порядков. Формулы Тейлора. Применение производной. Производные и дифференциалы высших порядков 652 KB
  Линеаризация функции. Приближенное вычисление значений функции. Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции на промежутке.
22409. Первообразная и неопределенный интеграл 454 KB
  Корни многочлена. Кратность корней многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители. Если a0  0 то число n называется степенью многочлена fx.
22410. Определенный интеграл 635.5 KB
  Определенный интеграл План Определенный интеграл Определение определенного интеграла. Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
22411. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 860.5 KB
  Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных План Функции нескольких переменных Пространство Rn. Функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции и их свойства.
22412. Кратные интегралы 1.14 MB
  Пусть функция z = fx y = fP задана dв замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D на n элементарных областей Di i = 1 2n площади которых обозначим через Si а диаметры наибольшие расстояния между точками области Di через di. Совокупность частичных областей Di назовем разбиением T области D. В каждой области Di разбиения T выберем точку Pixi yi для i = 1 2n.
22413. Множества. Числовые множества 256 KB
  Множества. Числовые множества План 1. Множества. Подмножества.