69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45869. Абразивные материалы и техническая характеристика абразивных инструментов. Особенности режима шлифования 42.39 KB
  Особенности режима шлифования. АБРАЗИ́ВНЫЕ МАТЕРИА́ЛЫ вещества повышенной твердости применяемые в массивном или измельченном состоянии для механической обработки шлифования резания истирания заточки полирования и т. Плоские круги прямого профиля ПП применяют для круглого наружного внутреннего и бесцентрового шлифования для плоского шлифования периферией круга и для заточки инструментов. Плоские круги с двухсторонним коническим профилем 2П применяют для вышлифовывания зубьев шестерен и шлифования резьбы.
45870. Особенности конструкций инструментов для автоматизированного производства 12.54 KB
  Особенности конструкций инструментов для автоматизированного производства. К этому инстрту предъявся повышенные требования е его качеству к точности размеровгеометрой формы качеству заточки. инструм. инстров с мехим креплением многогранных неперетаых пластинок из тверд.
45871. Литьё в кокиль (технология) 172.5 KB
  Литьё в кокиль { технология }. сплавов на долю кокильного литья приходится 40. Основной особенностью кокильного литья явл. При литье чугунных деталей в кокиль возможно получении отбелённого слоя что требует последующей термообработки.
45872. Автоматизация и механизация литейного производства – автоматическая линия литья в ПГФ 1.53 MB
  Автоматизация и механизация литейного производства автоматическая линия литья в ПГФ. Автоматич. процесса и соединённого автоматич. траспортом а также снабжённого автоматич.
45873. Основные понятия заготовок 36 KB
  Прогрессивные заготовки должны отвечать след.Формы и размеры заготовки должны быть так приближены формы и размерам детали. Технологический процесс получения заготовок заключается в последовательном изменении формы размеров шероховатости поверхности а также свойств исходной заготовки и её материала. процесса получения заготовки.
45874. Виды механической обработки материалов резанием 77.21 KB
  Виды обработки резанием Согласно действующему в нашей стране стандарту ГОСТ 25761 83 все виды механической обработки металлов и материалов резанием подразделяются на лезвийную и абразивную обработку. К лезвийной обработке относятся все виды обработки резанием которые осуществляются лезвийным инструментом: точение растачивание долбление сверление зенкерование развертывание фрезерование протягивание. Фрезерование применяют для обработки плоскостей пазов с прямолинейным и винтовым направлением шлицев тел вращения разрезки...
45875. Тепловые явления при резании. Баланс теплоты при резании металлов. Температура резания 860.6 KB
  Температура резания. Исследования процессов теплообразования при резании позволили определить направление и интенсивность тепловых потоков градиенты температур в контактных областях и характеристики температурного поля в зоне резания деталью и окружающей средой а также получить качественное и количественное представление о тепловом балансе при резании различных материалов. Ребиндера установлено что более 995 работы резания переходит в тепло. Температура резания.
45876. Качество обрабатываемой поверхности и поверхностного слоя детали 61.08 KB
  Качество обрабатываемой поверхности и поверхностного слоя детали. Качество детали можно определить геометрическими и физикомеханическими характеристиками её поверхности и поверхностного слоя. Показатели качества детали: геометрические характеристики шероховатость волнистость отклонение формы; физикомеханические характеристики микротвёрдость остаточное напряжение структура. Упрочнение поверхностного слоя: при обработке детали под действием сил резания поверхностный слой металла испытывает упругопластическое деформирование.
45877. Изнашивание режущего инструмента в процессе резания. Критерии и кривые износа 168.52 KB
  Изнашивание режущего инструмента в процессе резания. В процессе работы инструмента в результате высокого контактного давления высокой температуры в зоне резания и большой относительной скорости перемещения происходит износ лезвий инструмента. Различают следующие виды износа: 1 Износ по задней поверхности инструмента. 2 Износ по передней поверхности инструмента.