69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42192. Моделирование процесса измерения основных параметров волоконно-оптических трасс по рефлектометрическим данным 291.5 KB
  Если среда в которой распространяется импульс в данном случае оптическое волокно содержит неоднородности то на рефлектограмме появятся изломы и всплески. Как было сказано выше если неоднородности в волокне отсутствуют то рефлектограмма будет представлять из себя прямую с некоторым наклоном. Ступеньки говорит о наличии неоднородности на которой происходит поглощение мощности светового импульса1. Обычно такие неоднородности наблюдаются в местах сварки оптических волокон.
42193. Электрическая цепь с одним источником питания и смешанным соединением элементов 130 KB
  Основные теоретические положения Основными элементами любой электрической цепи являются: а источники электрической энергии электромашинные генераторы аккумуляторные батареи термоэлементы и т. С помощью закона Ома описывается связь между током напряжением и сопротивлением заданного участка цепи . Согласно 1му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов сходящихся в любом узле цепи равна нулю т. Так как при параллельном соединении все элементы находятся под одним и тем же напряжением то используя закон Ома это уравнение можно...
42194. Вимірювання опорів на постійному струмі 115 KB
  Ознайомлення з основними видами та методами вимірювання активних електричних опорів на постійному струмі. Дослідження методичних похибок основних методів вимірювання опорів та шляхи їх усунення. Завдання на вимірювання опорів кожен студент одержує від викладача.
42195. Калібрування і повірка засобів вимірювання тиску 86 KB
  1 Мета роботи Ознайомитись з будовою і принципом дії технічних засобів для вимірювання тиску. Набути практичних навиків при повірці і калібруванні систем вимірювання тиску.2 Програма роботи Під час заняття студент повинен самостійно ознайомитись з будовою і принципом дії технічних засобів які використовуються в системах для вимірювання тиску.
42196. Обробка результатів прямих багаторазових вимірювань 263.5 KB
  Вивчення методів і набуття практичних навиків в обробці результатів багаторазових вимірювань які містять випадкові похибки. Програма роботи Під час роботи студенти вимірюють активні опори за допомогою універсального цифрового вимірювача Ф 480 так щоб досягти при цьому одержання найбільш точних результатів шляхом визначення і виключення систематичних і випадкових похибок вимірювань параметра з рівноточними значеннями відліку. З цією метою використовується методика багатократного вимірювання однієї і тієї ж величини з...
42197. Вивчення будови, принципу дії амперметрів та вольтметрів. Визначення їх метрологічних характеристик 93 KB
  Якщо статична характеристика лінійна у=кх то коефіцієнт к називається чутливістю вимірювального приладу; ціна поділки ЗВ ; ціна одиниці найменшого розряду числа в показах цифрового приладу ; 2 похибки ЗВ: Абсолютна відносна приведена похибки ЗВ; Похибки поділяються на статичні які виникають при вимірюванні постійних величин динамічні які виникають при вимірюванні змінних величин. До числа характеристик похибок відноситься також варіація вихідного сигналу або варіація показів вимірювального приладу.8485]: метод порівняння з...
42198. Повiрка цифрових та аналогових омметрiв 144.5 KB
  Програма роботи У процесі підготовки до заняття студенту потрібно ознайомитись з методикою повірки омметрів згідно ГОСТ 9. Здійснити повірку цифрових універсальних омметрів типу В7 20 та В7 16А.1 Будова аналогових омметрів Омметрами називають прилади прямої дії які служать для безпосереднього вимірювання активних опорів. Перевага двохрамочних омметрів у тому що їх покази не залежать від напруги джерела живлення.
42199. Калібрування і повірка термометрів опору 286.5 KB
  Засвоїти методику отримання практичних навиків при проведенні досліджень динамічних характеристик термометрів опору при нагріванні і охолодженні повірці термометрів опору та калібруванні напівпровідникових термометрів опору термісторів.2 Програма роботи Під час заняття студент повинен ознайомитись з будовою та принципом дії термометрів опору. Визначити динамічну похибку термометрів опору типу ТСП і ТСМ.
42200. Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення 71.5 KB
  У процесі заняття провести вимірювання різних електричних величин різними способами і засобами визначити систематичні похибки ввести поправки до результатів вимірювань обчислити дійсні значення вимірюваних величин і впевнитись у правильності отриманих значень.1 Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення Процес пізнання матеріального світу відбувається через експериментальне визначення вимірювання кількісних оцінок фізичних величин що характеризують досліджувані процеси явища. Таким чином результат...