69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2851. Работа в графическом режиме видеоадаптера в ОС MS-DOS 131 KB
  Работа в графическом режиме видеоадаптера в ОС MS-DOS Функции для работы в графическом режиме определены в стандартном заголовочном файле graphics.h. Так же, как и в текстовом режиме, графические функции оперируют с окнами. При запуске программы исх...
2852. Обработка системных ошибок 65.5 KB
  Обработка системных ошибок В стандартной библиотеке stdlib.h объявлена переменная errno типа int, которая содержит код системной ошибки, значение переменной устанавливается ОС после выполнения каждой системной операции. В стандартной библиотеке errn...
2853. Исчезающие меню и всплывающие окна 24.5 KB
  Исчезающие меню и всплывающие окна Меню представляет собой список строковых опций (пунктов меню), выводимых на экран и предлагаемых пользователю для выбора. При использовании меню по пунктам меню перемещается курсор-подсветка, показывающий пользоват...
2854. Потоковый ввод-вывод 91.5 KB
  Потоковый ввод-вывод Поток – это программный канал для обмена данными между приложением и ОС или другим приложением. При взаимодействии приложения с ОС потоки как правило используются для работы с устройствами и представляют собой абстрактный у...
2855. Первісне суспільство і початок цивілізації на території України 73 KB
  Первісне суспільство і початок цивілізації на території України. Зміст  Вступ. Предмет курсу. Первісний лад на території України. Перші державні утворення на Україні. Східні слов’яни в IV–ІХ ст.. Походження, основні етапи ...
2856. Зародження Української державності. Київська Русь 90.5 KB
  Зародження Української державності. Київська Русь. Зміст  Київська Русь, її місце в історії людства. Історичне значення та причина розпаду Київської Русі. Галицько-Волинське князівство як форма української державності. Київська Р...
2857. Литовсько-польська доба української історії. Виникнення українського козацтва 93 KB
  Литовсько-польська доба української історії. Виникнення українського козацтва. (XIV–XVIІ ст.) Зміст Українські землі в складі Великого князівства Литовського. Україна під владою Речі Посполитої. Виникнення українського козацтв...
2858. Козацько-гетьманська держава (1648 – кінець ХVІІI ст.) 161 KB
  Козацько-гетьманська держава (1648 – кінець ХVІІI ст.) Зміст  Національно-визвольна війна українського народу та її наслідки. Громадянська війна та поділ України на два гетьманства. Наступ царизму на українську державність у ро...
2859. Физика. Магнетизм. Конспект лекций 2.01 MB
  Содержит теоретический материал по разделу Магнетизм дисциплины Физика. Предназначен для оказания помощи студентам технических специальностей всех форм обучения в самостоятельной работе, а также при подготовке к упражнениям, коллоквиумам и экзам...