69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57787. Пошук інформації в Інтернеті 113 KB
  Мета: розглянути пошукові системи мережі Інтернет правила пошуку інформації в глобальній мережі Інтернет сформувати вміння пошуку необхідної інформації розвивати навички роботи у мережі виховувати інформаційну культуру учнів.
57788. Права ребенка, согласно с международным законодательством 58 KB
  В представленной методической разработке предполагается закрепить знания учащихся о правах детей полученных на уроках правоведения из СМИ; сформировать правовую позицию по проблеме прав ребенка...
57789. Правопис не з іменниками 52 KB
  Мета уроку: з’ясувати правила написання не з іменниками; виробляти вміння застосовувати правила на практиці, спираючись на смисловий аналіз слів; відпрацьовувати вміння робити синтаксичний та морфологічний розбори іменників...
57790. Арифметическая прогрессия 384 KB
  Развивающие цели: развитие исследовательских навыков учащихся, умений анализировать полученные данные и делать выводы; развитие умений осуществлять самопроверку и взаимопроверку, работу в группах...
57791. Геометрична прогресія 109 KB
  Ціль нашого уроку: застосування формул nго члена геометричної прогресії визначення геометричної прогресії а також властивостей членів геометричної прогресії для розвязування задач.
57792. Прокаріоти 47.5 KB
  Мета: Засвоєння нових знань та уявлень про прокаріоти. Охарактеризувати усі середовища існування прокаріот на планеті. Пояснити особливості будови, фізіології та життєвих циклів бактерій.
57793. Пропорція 33 KB
  Мета уроку: створення проекту «Пропорція»; повторити, узагальнити й систематизувати знання з теми «Пропорція», розвивати здібності учнів, правильність і чіткість мови...
57794. Відношення і пропорції 49 KB
  Мета: повторити і систематизувати знання учнів з теми; перевірити вміння складати пропорції; розвязувати прикладні задачі; розвивати творчі здібності; практичні навички роботи з компютером...
57795. Пропорція. Основна властивість пропорції 551.5 KB
  Сьогодні ми розширимо з вами знання про відношення розглянемо особливості вживання цього терміна в українській мові та вивчимо поняття пропорції її основну властивість. Мерзляк Графічний диктант Замініть відношення дробових чисел відношенням натуральних...