69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78940. Соотношение науки, философии, искусства, обыденного познения 36 KB
  Соотношение науки философии искусства обыденного познения. Проблема отличия науки от других форм познавательной деятельности это проблема демаркации т. 5 Для науки характерна постоянная методологическая рефлексия. Иногда можно выделить конденсат народной науки в виде заветов примет наставлений ритуалов и пр.
78941. Стратегии порождения научных знаний 29 KB
  Иными словами элементы предпосылки ростки будущей науки формировались в недрах другой духовной системы но они еще не выделялись из них как автономное самостоятельное целое. Действительно предпосылки науки создавались в древневосточных цивилизациях Египте Вавилоне Индии Китае Древней Греции в форме эмпирических знаний о природе и обществе в виде отдельных элементов зачатков астрономии этики логики математики и др. Постепенно складываются в самостоятельные отрасли знания астрономия механика физика химия и другие...
78942. Культура античного полиса и становление первых форм теоретической науки 31.5 KB
  Так в древнеегипетской цивилизации носителями знаний были жрецы в зависимости от уровня посвящения обладавшие той или иной суммой знаний. Знания существовали в религиозномистической форме и только жрецы могли читать священные книги и как носители практических знаний имели власть над людьми. Предпосылкой возникновения научных знаний многие исследователи истории науки считают миф. Особенности греческого мышления которое было рациональным теоретическим что в данном случае равносильно созерцательному наложили отпечаток на формирование...
78943. Развитие форм научного мышления в средние века 41 KB
  Но в это время существуют уже области знаний которые подготавливали возможность рождения науки. Каковы особенности интеллектуальной атмосферы Средневековья и кто являлся основными представителями средневековой науки Эпоху Средневековья относят к началу II в. Важными остаются вопросы о соотношении разума и веры науки и религии. К особенностям средневековой науки ученые причисляют ее ориентацию на совокупность правил в форме комментариев тенденцию к систематизации и классификации знаний.
78944. Формирование эмпирического метода исследования 26.5 KB
  Некоторый фрагмент действительности объективные события результаты относящиеся либо к объективной реальности факты действительности либо к сфере сознания и познания факты сознания. В научном познании факты играют двоякую роль: вопервых совокупность фактов образует эмпирическую основу для выдвижения гипотез и построения теорий; вовторых факты имеют решающее значение в подтверждении теорий если они соответствуют совокупности фактов или их опровержении если тут нет соответствия. При этом недопустимо выхватывать отдельные...
78945. Формирование рационал. метода исследования 30.5 KB
  Мышление осуществляющийся в ходе практики активный процесс обобщенного и опосредованного отражения действительности обеспечивающий раскрытие на основе чувственных данных ее закономерных связей и их выражение в системе абстракций понятий категорий и др. Человеческое мышление осуществляется в теснейшей связи с речью а его результаты фиксируются в языке как определенной знаковой системе которая может быть естественной или искусственной язык математики формальной логики химические формулы и т. Что такое мышление и каковы его основные...
78946. Общие проблемы структуры научного знания 26 KB
  С точки зрения взаимодействия объекта и субъекта научного познания последнее включает в себя четыре необходимых компонента в их единстве: а Субъект науки ключевой ее элемент: отдельный исследователь научное сообщество научный коллектив и т. в Система методов и приемов характерных для данной науки или научной дисциплины и обусловленных своеобразием их предметов. Выявление структуры науки в этом ее аспекте ставит проблему классификации наук. По предмету и методам познания выделяют науки о природе естествознание об обществе ...
78948. Роль государства в управлении научно-техническим потенциалом 43 KB
  Четко проступает ряд новых сформировавшихся за последние десятилетия тенденций во взаимоотношениях науки и государства внутри самой сферы науки между отдельными ее составляющими и наконец между наукой и обществом в целом. Государство выступает сегодня по отношению к науке по крайней мере в шести ипостасях: как законодатель устанавливающий фундаментальные правовые основы функционирования общества и в том числе его научнотехнической сферы; как один из основных источников финансирования научных исследований и разработок; как массовый...