69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47961. Технічна естетика. Предмет, завдання та зміст курсу 308.5 KB
  Розвиток станків форми машин завжди був повязаний із стилевим напрямком архітектури відповідно епохи. Зручність і краса форми важливі критерії композиції різного обладнання та предметів побуту призначених для забезпечення матеріальних та побутових благ і потреб людини. Яка вивчає закономірності утворення форми принципи і методи художнього конструювання направлені на створення оптимальної форми виробів. До головних якісних характеристик архітектоніки належать такі ознаки: q рівень вдосконаленості внутрішнього змісту обєкта; q ...
47962. Масообмінні процеси 1.96 MB
  Використання таких технологічних методів як повторний стиск пари дозволяє значно зекономити енергію. Трьохкорпусний випарний апарат з прямотечійним рухом пари і розчину 1 Явище перенесення тепла в рідинах газах або сипких середовищах потоками самої речовинине важливо вимушено чи мимоволі. В кожному корпусі кількість утвореної пари менша від кількості сконденсованої пари внаслідок збільшення прихованої теплоти пароутворення при зниженні тиску і температури. Труднощі пов'язані із транспортуванням в'язких розчинів можна вирішити шляхом...
47963. Оздоровча фізична культура 602 KB
  Стан та перспективи розвитку фізкультурнооздоровчої діяльності в Україні Здоров'я населення його фізична підготовленість є предметом уваги Верховної Ради та уряду України. Головними недоліками її функціонування є: недостатній обсяг рухової активності низька якість навчального процесу в навчальновиховній сфері; руйнація управління фізкультурнооздоровчою роботою з населенням яке раніше здійснювалося через систему взаємодії органів житловокомунального господарства та органів управління фізичною культурою в соціальнопобутовій сфері;...
47964. Організації. Об’єктивні причини виникнення та існування організацій 445.5 KB
  Метр польської і світової соціології Ян Щепанський у своїй праці Елементарні поняття соціології 1970 починає розгляд існуючих дефініцій організації з метафори. Спробуємо від метафори перейти до більш точного визначення змісту поняття соціальної організації. Соціологізувати визначення змісту поняття організації спробував Я. Щепанський ілюструє прикладами з організації життя групи студентів.
47965. Трудове право. Конспект лекцій 1.3 MB
  Переведення працівників. Зміна істотних умов праці. Розірвання трудового договору з ініціативи працівника ст. Розірвання трудового договору у звязку зі змінами в організації виробництва і праці у тому числі ліквідації реорганізації банкрутства або перепрофілювання підприємства установи організації скорочення чисельності або штату працівників ст.
47966. Цивільне процесуалне право 1000.5 KB
  Цивільне процесуальне право як галузь права це сукупність правових норм що регулюють діяльність суду загальної юрисдикції осіб які беруть участь у справі та інших учасників цивільного процесу щодо здійснення правосуддя у цивільноправових спорах щодо справ наказного окремого провадження а також такі що виникають у звязку із цією діяльністю суспільні відносини щодо розгляду та вирішення зазначених категорій справ1. Цивільний процес це сукупність процесуальних дій суду інших осіб які беруть участь у справі а також інших...
47967. Українська мова (за професійним спрямуванням) 544.5 KB
  Усі слова що вживаються в якійсь мові становлять її лексику від грецьк. Слова можуть називати предмети явища ознаки дії і стан тощо. Співвіднесеність слова з певним поняттям явищем дійсності називається лексичним значенням слова. Наприклад слово росинка є назвою поняття âкрапля водиâ слово пресумний означає âдуже сумнийâ лексичне значення слова розяснювати словник визначає як âробити щонебудь ясним зрозумілим; пояснюватиâ.
47969. Лекції з анатомії, фізіології дитини з основами генетики 544 KB
  Далі прибавки росту в довжину щороку зменшуються і в дошкільному віці становлять 7 8см а в дітей молодшого шкільного віку ще менше в середньому 4 5см за рік. Неодмінною умовою яка може забезпечити всебічний як фізичний так і психічний розвиток дитячого організму є правильна постановка фізичного виховання навчальних занять ігор та трудової діяльності дітей з урахуванням їх вікових анатомофізіологічних особливостей. Завдання педагогів використати у справі виховання і навчання дітей усі можливості які надають розвитку людського...