69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13664. Жениться - это значит наполовину уменьшить свои права и вдвое увеличить свои обязанности 16.27 KB
  Жениться это значит наполовину уменьшить свои права и вдвое увеличить свои обязанности. А. Шопенгауэр А. Шопенгауэр выдающийся философ нового времени был пессимистом. Он считает что женитьба и создание семьи лишь увеличивает обязанности. Семья это объединени...
13665. Индивидом рождаются, личностью становятся, индивидуальность – отстаивают 16.52 KB
  Индивидом рождаются личностью становятся индивидуальность отстаивают. А.Г.Асмолов Личностью не родятся личностью становятся. А.Н. Леонтьев Фундаментальная цель жизни человека развить и выразить себя. Но ребенок не самодостаточен. Он слаб и физически и духовно ...
13666. Дарендорф. Кто умеет справиться с конфликтами путем их признания, берет под свой контроль ритм истории 14.32 KB
  Кто умеет справиться с конфликтами путем их признания берет под свой контроль ритм истории. Р.Дарендорф. Зададимся вопросом: А что значит конфликт Ученые дают такие варианты определений Конфликты представляют собой особый тип социального взаимодействия субъе...
13667. Личность – это человек как носитель сознания 13.9 KB
  Личность это человек как носитель сознания К.К. ПлатоновЧеловек вечная проблема. Наши предки считали что человек предназначен для жизни бесконечной. И что свою суть он должен познавать в течение всей свой земной жизни а может быть и за пределами ее. И сейчас немало ...
13668. Личность человека, ни в каком смысле не является предсуществующей по отношению к его деятельности, как и его сознание, она ею порождается 13.85 KB
  Личность человека ни в каком смысле не является предсуществующей по отношению к его деятельности как и его сознание она ею порождается А.Н. ЛеонтьевЛеонтьев Алексей Николаевич советский психолог занимавшийся проблемами сознания и деятельности.Личность это конкр
13669. Люди рождаются только с чистой природой, лишь потом отцы делают их иудеями, христианами или огнепоклонниками 14.77 KB
  Люди рождаются только с чистой природой лишь потом отцы делают их иудеями христианами или огнепоклонниками. Саади Сложно не согласиться с данным высказыванием. Человек существо биосоциальное. От рождения мы обладаем по словам поэта Саади чистой природой. Мале...
13670. Люди существуют друг для друга 16.04 KB
  Люди существуют друг для друга Марк АврелийЧеловек по своей природе существо социальное. Такими нас сделала природа: с самых древних времен люди живут социумом т.е. коллективом. И даже когда не было создано речи люди общались с помощью жестов и звуков. Человек не мож
13671. Национализм малых народов есть проявление изоляции и самодовольства. Национализм больших народов есть империалистическая экспансия 14.14 KB
  Национализм малых народов есть проявление изоляции и самодовольства. Национализм больших народов есть империалистическая экспансия. Н. Бердяев На протяжении развития общества существовало много различных мнений по поводу того какой этнос считать нацией. Так н...
13672. Нация - это общество людей, которые через единую судьбу обретают единый характер 14.71 KB
  Нация это общество людей которые через единую судьбу обретают единый характер.О. ПауэрПомимо классов и других социальных групп социальную структуру общества составляют исторически сложившиеся общности людей: племена народности нации. Постараемся ответить на вопр...