69323

Власні значення симетричних матриць

Лекция

Математика и математический анализ

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцош довільний нормований вектор; При цьому вважається, що Якщо то було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів...

Украинкский

2014-10-03

174 KB

2 чел.

Лекція 8. Власні значення симетричних матриць

    Нехай

 ;

Лема.  Існує подібне перетворення  де у  всі  причому,  якщо у  T   то  а  інакше  (Доводиться безпосередньо множенням, зробити самостійно)

Теорема про алгоритм Ланцоша (Lanczos). Нехай існує подібне перетворення де   Тоді матриця А  та вектор  однозначно визначають матрицю Q (майже завжди).

   Доведення .   Розгляньмо  а  саме j-й стовпець

                                                  (1)

Будемо вважати, що

При j=1:  

         

Позначивши  вибираємо  так,  щоб   тобто .

Розгляньмо

  

Враховуючи,  що  маємо       

Остаточно маємо формули алгоритму Ланцоша :

- довільний нормований вектор;

При цьому вважається,що  Якщо  то  було випадково взято ортогональним одному з власних векторів. Тоді Т розпадається на дві тридіагональної матриці; характеристичний поліном – на добуток двох поліномів. Спектральну задачу розв’язують окремо для кожної підматриці. За  можна взяти довільний вектор,  ортогональний всім попереднім,  

                Метод послідовності Штурма для характеристичного поліному.

     Нехай  - підматриця Т з перших i рядків та стовпців.  Тоді поліном - характеристичний поліном ; 

- характеристичний поліном ;

………………………………….

     i=2,3,…,n,

- характеристичний поліном матриці Т.

Нехай формально .

Якщо  то поліном розпадається на добуток двох множників. Розгляньмо випадок

Теорема про чередування нулів.  Якщо  то .

 Доведення   Нехай  i=1.    ОК.

Нехай при деякому i  Тоді

тому    Позаяк  то якщо  то ідучи назад до i=1, маємо  але  Маємо протиріччя.

Dixi.

     Використання теореми.  Уважний аналіз послідовності  виявляє, що вона є послідовністю Штурма.

     Кількість змін знаку  у послідовності Штурма є функцією монотонно спадною; треба знайти знайти  Тоді - межі спектру.

                            Пошук власних векторів

     Якщо -власний вектор Т.  Тоді -власний вектор А.

Нехай  -наближене значення . Тоді  Нехай .  i=1,…,n – спектр матриці Т. Тоді  Матриця  має спектр   i=1,…,n.  Матриця має власні числа , вектори , тому .

Якщо , то член  домінуватиме і  х  можна вважати наближенням до . Вектор d може бути довільним,  з точністю  до множини міри нуль” (з нульовою ймовірністю). У крайньому разі, якщо х – погане наближення, можна знайшовши , взяти    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22490. Разработка методик визуализации для представления работы параллельных программ 582 KB
  Объект исследования: система RiDE, разрабатываемая для программирования в параллельных распределённых средах. Цель работы: разработка методик визуализации для представления работы параллельных программ, написанных для системы RiDE. Разработка программы-визуализатора.
22491. Разработка специализированной среды трехмерной динамической визуализации 479.62 KB
  Трехмерная графика реального времени связана с анимацией и интерактивным взаимодействием с пользователем. Одной из первых сфер применения трехмерной графики реального времени были военные авиатренажеры...
22492. Визуальная среда обучения программированию на языке Haskell 450 KB
  Язык программирования Haskell – это «ленивый» функциональный язык программирования с полиморфизмом типов. Основное понятие в нем – это функции. Но функции есть в любом языке программирования! В языках Pascal, Java...
22493. Разработка средств поддержки процесса проектирования интерфейсов 230 KB
  Однако качество цифровых продуктов с точки зрения взаимодействия с пользователем оставляло желать лучшего. Причина кроется в том, что определением конечной формы и поведения программ занимались программисты, ориентированные на качественное и быстрое выполнение технической стороны.
22494. SELECT в SQL Oracle. Основные возможности 335 KB
  1] Основные фразы запроса: SELECT и FROM [3.1] Фраза SELECT [3. В противном случае вы должны иметь привилегию SELECT по отношению к таблице.
22495. ОБРАБОТКА, ХРАНЕНИЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДАННЫХ ДЛЯ ЗАДАЧ КАРДИОМОНИТОРИНГА 1.92 MB
  В данной работе изучается задача кардиомониторинга; рассматриваются основные понятия, связанные с построением электрокардиограммы; вводится понятие кардиорегистратора, описываются виды регистрации показаний. Ставится задача о разработке программного обеспечения, которое будет принимать поток данных, разбивать его на отведения
22496. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОПОТОЧНОСТИ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ГРАФИЧЕСКОГО JAVA - ПЛАТФОРМЕРА 1.36 MB
  Android - это открытая платформа, основанная на ядре Linux. Установлена она на тысячах устройствах широкого круга производителей. Android предоставляет приложения для всех видов оборудования, которые только можно представить в виде современных мобильных устройств
22497. Разработка компилятора расширяемого языка системного программирования 194 KB
  В ходе работы были описаны лексика и синтаксис языка, а также были приведены ключевые алгоритмы этапы генерации кода и рассмотрен пример практического использования. Результатом стала реализация компилятора на C# и набора библиотек для нового языка, описывающих конструкции...
22498. Обязательное подтверждение соответствия в Таможенном союзе. Объекты, формы, схемы. Перечни продукции, подлежащей декларированию и обязательной сертификации 18.75 KB
  Суть принятых решений состоит в том, чтобы максимально минимизировать риски негативного воздействия на граждан и в целом на национальную безопасность государств - членов Таможенного союза при использовании потреблении) товаров, производимых за его пределами.