69327

Збіжність і точність процесу інтерполяції. Середньоквадратичне наближення

Лекция

Математика и математический анализ

Похибки інтерполяційної формули Лагранжа Різницю між функцією fx і її інтерполяційним наближенням Lnx називають залишковим членом інтерполяційноїформули або похибкою інтерполяції. 8 зрозуміло що у вузлах інтерполяції ця похибка дорівнює нулю тому похибку...

Украинкский

2014-10-03

297 KB

7 чел.

Лекція 12.

Збіжність і точність процесу інтерполяції. Середньоквадратичне наближення.

Похибки інтерполяційної формули Лагранжа

Різницю між функцією f(x) і її інтерполяційним наближенням Ln(x) називають залишковим членом інтерполяційноїформули або похибкою інтерполяції.

(5.10)

Виходячи з формули (5.8) зрозуміло, що у вузлах інтерполяції ця похибка дорівнює нулю, тому похибку (5.10) необхідно оцінювати в інших точках відрізка [a,b]. Для цього припускають, що інтерпольована функція f(x) має на [a,b] неперервніпохідні до порядку n + 1. Такі припущення виконуються для більшості випадків, з якими трапляється стикатися на практиці.

Будемо вважати, що f(x) відома функція. Побудуємо інтерполяційний поліном f(x)Ln(x), причому у n + 1 вузлах інтерполяції f(xi) = Ln(xi), i = 0,1,…,n. Потрібно оцінити похибку rn(x) у заданій точці [a,b], що не є вузлом інтерполяції:

Введемо допоміжну функцію

 (5.11)

у випадку, коли z = x, одержуємо φ(x) = 0 в силу співвідношення (5.10).

Будемо припускати, що похибка має вигляд:

де C  деяка постійна, котру можна визначити як

,

і\

З умови φ(x) = 0 і виразу (5.11)φ(xi) = 0 = f(xi) - Lnf(xi) - rn(xi)зрозуміло, що φ(z) обертається в нульпринаймні в n + 2 точках x,x0,x1,…,xn. По теоремі Ролля, якщо функція в точках α і β обертається в нуль, то знайдеться точка η навідрізку [α,β], похідна якої обернеться в нуль. Тобто всередині кожного проміжку x,x0,x1,…,xn знайдуться точки η0,η1,…,ηn, похідні в якихдорівнюють0. Можна стверджувати, що:

φ(z) = 0 не менш, ніж у n + 1 точках

φ(z) = 0 не менш, ніж у n точках

φ(n + 1)(z) = 0 принаймні, в одній точці η.

Можна вважати, що на[a,b] знайдеться точка ξ, для якої φ(n + 1)(ξ) = 0 . Знайдемо значення

Оскільки Ln(z) — поліном n–ступеня, то Ln(n + 1)(x) = 0, rn(z) — поліном n + 1 ступеня, тому rn(n + 1)(z) = (n + 1)!C.

Тоді φ(n + 1)(ξ) = f(n + 1)(ξ) - (n + 1)!C = 0. Звідси одержимо вираз для константи:

Тоді, у силу припущення про вид похибки

. (5.12)

Похибку інтерполяції полінома Лагранжа можна оцінити в такий спосіб:

 (5.13)

де .

Для випадку, коли f(x) є алгебраїчним поліномомступеня n, інтерполяція, проведена по будь–яких точках x0,x1,…,xn, здійснюється точно, тобто

Формула (5.13) дає можливість провести апріорну оцінку похибки, тобто для випадку аналітично заданої функції f(x) провести оцінку до початку обчислень. Приведемо приклад використання цієї формули.

Приклад 5.3.

Нехай треба побудувати інтерполяційний поліном для функції

f(x) =Exp( - 0,1x)∙sin(x)

на відрізку 0 ≤ x ≤ 1 такий, щоб похибка інтерполяції не перевищувала 0,000005.

На відрізку [0,1] виберемо сітку з кроком h = 0,2. Для заданої функції f(x) на обраній сітці визначимо похибку. Знайдемо Мn + 1 за допомогою наступних операторів Mathematica. Введемо функцію

In = f[x_]; = Exp[-x/10]*sin[x];

Визначимо її похідну n–го порядку

Fn[x_,n_]: = Dt[f[x],{x,n}]

Оскільки таблиця в нашому прикладі містить 6 вузлів інтерполяції, то знайдемо похідну 6–го порядку:

f6[x_] = N[fn[x,6]];
Out = -0.58006 2.71828
-0.1xCos[z]-0.851499 2.71828-0.1xsin[x]

Побудуємо графік 6–ї похідної:

In = Plot[f6[x], {x,0,1}, AxesLabel→{“x”, “f6(x)”}]

Рис. 5.3 Графік похідної 6–го порядку функції f(x) =Exp( - 0.1x)*Sin(x) 

Знайдемо її мінімум :

In = m = FindMinimum[f6[x], {x,0.5}]
Out = {-0.939473, {x→0.873116}}

Максимум модуля 6–ї похідної буде дорівнювати M6=0,939473. Знайдемо максимум модуля функції ω(x). Спочатку визначимо цю функцію для загального випадку:

Введемо таблицю вузлів:

Ta = {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0}

і по ній побудуємо графік функції ω(x):

Plot[Ta,Lenghth[Ta], x,{x,0,1}, AxesLabel→{“x”, “ω(x)”}]

Рис. 5.4 Графік багаточлена ω(x), побудованого дляf(x) =Exp( - 0.1x)sin(x)

Знайдемо мінімум ω(x):

In = mω = FindMinimum[om[Ta,Lenghth[Ta],x], {x,0}]
Out = {-0.00108166, {x→0.0673106}}

Максимум її модуля дорівнює Mω = - [[1]]. Таким чином, помилка інтерполяції на обраній сітці складе:

In = ri = m[[1]]*mω[[1]]/6!
Out
= 1.41137*10-6

тобто поліном п'ятого ступеня, побудований по таблиці значень функції з обраними вузлами, забезпечить необхідну точність представлення заданої функції. Обчислимо цю таблицю:

In = Ty = Table[f[Ta[[i]]], {I,6}]
Out = {0,0.194735,0.374149,0.53176,0.662203,0.761394}

Утворимо з двох векторів Ta і Ty матрицю XY:

In = XY = {Ta,Ty}
Out = {0,0.194735,0.374149,0.53176,0.662203,0.761394}

Транспонуємо останню матрицю:

In = Tm = Transpose[XY]
Out = {{0,0},{0.2,0.194735},{0.4,0.374149},
{0.6,0.53176},{0.8,0.662203},{1.,0.761394}}

Тепер можемо скористатися оператором Mathematica для одержання інтерполяційного полінома:

In = lpol = InterpolatingPolynomial[Tm,x];

Знайдемо похибку інтерполяції:

r = f[x]-lpol;

і побудуємо її графік:

Plot[r,{x,0,1}, AxesLabel→{“x”, “R(x)”}]

Рис 5.5 Графік похибки інтерполяції функції f(x) =Exp( - 0.1x)*sin(x)

Похибка інтерполяції формул Ньютона

Оскільки поліноми Лагранжа і Ньютона, побудовані по одній і тій же таблиці, відрізняються тільки формою запису, представлення похибки у вигляді (5.13) справедливо як для формули Лагранжа, так і для формул Ньютона.

Можна виконати розрахунок залишкового члена інтерполяційних формул Ньютона, встановивши зв'язок між розділеною різницею (n + 1) порядку і (n + 1)–ї похідної функціїf(x). Для цього запишемо розділену різницю f(x,x0,x1,…,xn) в наступному вигляді [3]:

порядок якої дорівнює n. Звідси можна виразити:

Тоді похибку інтерполяційної формули можна представити у вигляді:

(5.24)

Порівнявши отриманий вираз з співвідношенням (5.13), можна стверджувати, що існує деяка точка ξ[a,b], для якої

.

Таким чином, для оцінки похибки залишкового члена інтерполяційних формул Ньютона може бути використана залежність (5.13)

Інтерполяція в середині таблиці

Позначимо через x0, внутрішній вузол таблиці. Припустимо, що точка інтерполяції x лежить поблизу x0, з того чи іншого боку. Табличні точки для інтерполяції будемо залучати в наступному порядку: спочатку вибираємо x0,, а потім пари точок (x0 + h;x0 - h),(x0 + 2h;x0 - 2h),…, (x0 + kh;x0 - kh). Число взятих вузлів буде непарним і рівним . Позначимо, як і раніше,
t = (x - xo)/h, f(x0) = f0, f(x1) = f - 1… Формула Гаусса для випадку, коли x > x0 має наступний вигляд:

 (5.25)

Якщо шукана точка x знаходиться в середині таблиці і зв'язана із x0 співвідношенням
x < x0, то формула Гаусса використовується у вигляді:

(5.26)

З двох представлених формул Гаусса можна одержати в результаті перетворень формули Стирлінга, Бесселя і Еверетта[1].

Узявши середнє арифметичне першої і другий інтерполяційних формул Гаусса (5.25) і (5.26), одержимо формулу Стирлінга:

(5.27)

Легко бачити, що Sn(xi) = yi при i = 0,1,…,k.

Для виводу формули Бесселя використовується друга інтерполяційна формула Гаусса (5.26), після нескладних перетворень одержують:

(5.28)

У формулі Бесселя всі члени, що містять різниці непарного порядку, мають множник
t - 1/2, тому, якщо t = 1/2, формула (5.28) значно спрощується, тому що всі члени, що містять t - 1/2, обертаються в нуль.

При інтерполяції функцій, заданих таблично з постійним кроком аргументу h, рекомендується керуватися наступними правилами. Якщо значення x знаходиться близько до початку відрізка, на якому задана таблиця функцій, то при інтерполяції потрібно використовувати формулу Ньютона для інтерполяції вперед (5.22), а при x, близьких до кінця відрізка, формулу Ньютона для інтерполяції назад (5.23), тому що ці формули допускають використання правильних різниць до максимального порядку. Якщо аргумент x, для якого потрібно обчислити значення функції, знаходиться в середині таблиці, рекомендується використовувати формулу Стирлінга, якщо |t| ≤ 1/4 і формулу Бесселя, якщо 1/4 ≤ |t| ≤ 3/4. Крім того, рекомендується при використанні формули Стирлинга враховувати у формулі останню, правильну різницю непарного порядку, а у формулі Бесселя останню, правильну різницю парного порядку.

Залишкові члени інтерполяційних формул для середини таблиці будуть приблизно рівні першому невраховуваному члену [1].

Запишемо без доведення залишкові члени для формул Стирлінга і Бесселя [4]. Залишковий член інтерполяційної формули Стирлінга, якщо  — порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і x[x0 - kh,x0 + kh,], має вид:

(5.29)

де  і .

Залишковийчлен інтерполяційної формули Бесселя, якщо порядок максимальної використаної різниці таблиці дорівнює 2k + 1 і x[x0 - kh,x0 + kh,],, має вигляд:

 (5.30)

де  і .

Про вибір вузлів інтерполяції

Похибки інтерполяційних формул (5.23) з точністю дорівнюють добуткудвох множників, з яких один, f(n + 1)(ξ), залежить від властивостей функції f(x) і не піддається регулюванню, а розмір іншого ω(x) визначається винятково вибором вузлів інтерполяції.

Задача про раціональний вибір вузлів інтерполяції xi (при заданому числі вузлів n) для того, щоб поліном ωn + 1(x) мав найменше максимальне значення по абсолютній величині на відрізку [a,b], була вирішена Чебишевим [3], який довів, що найкращий вибір задається формулою:

 (5.31)

де .

У цьому випадку можна стверджувати, що |ωn + 1(x)|≤((b - a)/4)n + 1. За допомогою цих залежностей можна зменшити похибку інтерполяції.

Приклад 5.5.

Скористаємося вихідними даними з прикладу 5.1, у якому розглядалася похибка інтерполяції для функції з регулярно заданими вузлами, побудувати чебишевську систему вузлів. Використавши для вибору вузлів інтерполяції співвідношення (5.31), кількість вузлів при цьому залишимо таким же, як і в прикладі 5.1. За допомогою наступних операторів можна побудувати чебишевську систему вузлів:

In = Do[y[i] = -cos[(2*(i-1) + 1)/(2*n + 2)*π];
Uzel[i] = N[(b + a)/2 + (b-a)/2*y[i]], {i,1,n + 1}];
Ta = Table[Uzel[i], {I,n + 1}]
Out = {0.0170371, 0.146447, 0.37059, 0.62941, 0.853553, 0.982963}

Далі скористаємося всіма вже описаними змінними і функціями і побудуємо графік ω(x):

In = Plot[om[Ta,Lenghth[Ta],x,, {x,Ta[[1]],Ta[[n + 1]]}, AxesLabel→{“x”,”ω(x)”}]

Рис. 5.7 Графік багаточлена ω(x), побудованого для функції f(x) =Exp(-0.1x)*sin(x) з чебишевським розташуванням вузлів 

Порівнявши отриманий графік з рис. 5.4, можна стверджувати, що амплітуда функції ω(x) скоротилася. Знайдемо мінімум ω(x):

In = mω = FindMinimum[om[Ta,Lenghth[Ta],x], {x,0}]
Out = {-0.000488281, {x→0.0669871}}

Максимум її модуля дорівнює Mω =-[[1]]. Таким чином, помилка інтерполяції на вибраній сітці складе:

In = ri = m[[1]]*mω[[1]]/6!
Out
= 6.37121*10-6

Точність багаточлена п'ятого ступеня, побудованого по таблиці значень функції з нерегулярними вузлами, буде вище. Виконаємо ту ж послідовність дій, що і раніше:

In = Ty = Table[f[Ta[[i]]], {i,6}]
In = XY = {Ta,Ty}
In = Tm = Transpose[XY]

і одержимо остаточну таблицю:

Out = {{0.0170371,0.0170073},{0.146447,0.143902},{0.37059,0.34899},
{0.62941,0.552758},{0.853553,0.691964},{0.982963,0.754239}}

Тепер можемо скористатися оператором Mathematica для одержання інтерполяційного полінома:

In = lpol = InterpolatingPolynomial[Tm,x];

Знайдемо похибку інтерполяції:

r = f[x]-lpol;

і побудуємо її графік

Plot[r,{x,0,1}, AxesLabel→{“x”, “R(x)”}]

Рис. 5.8 Графік похибки інтерполяції функції f(x) =Exp( - 0.1x)*sin(x) з чебишевським розташуванням вузлів

Порівнявши рис. 5.3 і 5.8, можна стверджувати, що похибка зменшилася більш ніж у 2 рази. Тому у випадку, коли виникає необхідність наближення відомої функції, вузли рекомендується вибирати за допомогою співвідношень (5.31).

Збіжність інтерполяційного процесу

Збільшення кількості вузлів інтерполяції з метою зменшення похибки f(x) - Ln(x) не завжди виправдане. У зв'язку з цимвиникає задача про дослідження збіжності інтерполяційного процесу шляхом введення на заданому відрізку [a,b] послідовності сіток із зростаючим числом вузлів, а саме:

(5.32)

де ax0 < x1 <…< xnb.

Тоді можна задати послідовність інтерполяційних поліномів Ln[f(x)], побудованих для функції f(x) по її значеннях у вузлах сітки Sn, для кожного n–го рядка послідовності (5.32).

Інтерполяційний процес для функції f(x) збігається в точці ξ[a,b] (поточкова збіжність), якщо

.

Рівномірна збіжність на відрізку [a,b] означає, що

при

Властивість збіжності інтерполяційного процесу залежить як від гладкості функції f(x), так і від вибору послідовності сіток. Існують функції, для яких послідовність інтерполяційних поліномів, побудованих по будь–якій сітці з послідовності (5.32), не наближається із зростанням n до f(x) у жодній точці (інтерполяційний процес розходиться).

Більш загальне твердження сформульоване в теоремі Фабера: яка б не була послідовність сіток Sn, знайдеться неперервна на [a,b] функція f(x) така, що послідовність інтерполяційних поліномів Ln[f(x)] не збігається до f(x) рівномірно на відрізку [a,b].

І, навпаки, можна привести приклади функцій, наприклад, цілих (тобто представлених у виді степеневого ряду), що сходяться рівномірно на будь–якій сітці (5.21). Тобто існують функції, для яких послідовність побудованих по сітках (5.32) інтерполяційних поліномів з елементами, що належать відрізку [a,b], рівномірно сходяться до f(x).

На практиці намагаються не використовувати інтерполяційні поліноми високого ступеня. Замість цього застосовують кусково–поліноміальну інтерполяцію.

отримані результати.

PAGE  106


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51035. Разработка тестов в программеPower Point 37.5 KB
  Индивидуальные данные для выполнения работы: 2 вариант Результаты выполнения работы Открыла программу Power Point; выбрала шаблон оформления слайдов для теста. Оформила титульный слайд. Как рассчитать количество нужных слайдов при оформлении теста в Power Point Количество слайдов =: количество вопросов 3сам вопрос правильно неправильно два титульных листа 1 заключительный; 4. Что необходимо выбрать в настройках слайда с результатом неправильного ответа чтобы вернуться на слайд с вопросом Добавить управляющую...
51036. Разработка тестов в программе Excel 37 KB
  Разработка тестов в программе Microsoft Excel на основе индивидуальных данных минимум 6 тестовых заданий. Индивидуальные данные для выполнения работы: 2 вариант Результаты выполнения работы Создала тест в Microsoft Excel 2010 по образцу данному в задании лабораторной работы Контрольные вопросы 1. Какие этапы создания тестовых заданий выделяют в технологии составления компьютерных тестов средствами Excel Можно выделить следующие этапы создание теста.
51038. Автоматизація та компютерно-інтегровані технології. Методичні вказівки 44.28 MB
  По статичним характеристикам перетворення визначити абсолютну відносну та приведену похибки по діапазону вимірювання для обох приладів та побудувати графіки для обох приладів: а реальної статичної характеристики перетворення; б залежності приладів похибок по діапазону вимірювання.
51039. Налоговая декларация. Налоговый контроль 72.01 KB
  Налоговая декларация представляет собой письменное заявление налогоплательщика о полученных доходах и произведенных расходах, источниках доходов, налоговых льготах и исчисленной сумме налога и (или) другие данные, связанные с исчислением и уплатой налога.
51040. Спектры видеоимпульсов 1.48 MB
  ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСОВ Различают импульсы высокочастотных колебаний называемые радиоимпульсами и видеоимпульсы не связанные с высокочастотными колебаниями. В дальнейшем при отсутствии оговорок под импульсами следует понимать видеоимпульсы положительной или отрицательной полярности. Резкий подъем импульса называется фронтом резкий спад срезом а верхняя часть вершиной. Иногда после среза импульса наблюдается выброс противоположной полярности за которым может следовать медленно меняющаяся часть называемая хвостом...