69332

Багатовимірні системи та метод змінних стану

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Загальні відомості про багатовимірні системи Метод змінних стану Методика розв’язання рівнянь стану В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування...

Украинкский

2014-10-03

528 KB

8 чел.

Тема 7. Багатовимірні системи та метод змінних стану

  1.  Загальні відомості про багатовимірні системи
  2.  Метод змінних стану
  3.  Методика розв’язання рівнянь стану

В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Такі системи називають багатовимірними, або системами багатозв’язного керування. Відповідно об’єкт керування називають багатовимірним об’єктом.

Лінійними багатовимірними системами називають системи автоматичного керування, в яких всі елементи мають лінійні характеристики і їх динамічні властивості описуються лінійними диференційними рівняннями. Якщо коефіцієнти таких рівнянь незмінні, то таку систему називають стаціонарною (в протилежному випадку – нестаціонарною).

Рівняння багатовимірної системи в загальному випадку можна записати у вигляді системи рівнянь у операторній формі

де x1xn – регульовані змінні, u1um – сигнали керування; f1fk – збурення; Pij(p), Qij(p), Cij(p) – поліноми від р із сталими коефіцієнтами.

Для багатовимірних систем найпоширенішою є матрична форма запису рівнянь, згідно з якою введемо такі матриці

,  ,  ,

,   ,

.

При цьому вихідну систему рівнянь багатовимірної системи можна записати у вигляді

.     (1)

Приклад 1

Двовимірна система описується рівняннями вигляду

;

.

Записати рівняння системи в матричній формі.

Поведінку багатовимірних систем можна описувати також за допомогою передаточних функцій.

Передаточною функцією по деякому і-му параметру та k-му виходу називають відношення зображення за Лапласом Xk(p) вихідного параметра xk до зображення Ui(p) вхідної величини ui при нульових початкових умовах. Згідно з цим

.      (2)

Обчислити цю передаточну функцію можна, якщо знехтувати у вихідній системі рівнянь зображеннями всіх сигналів та параметрів керування, крім Ui(p).

Аналогічно можна знайти передаточну функцію за збуренням fi відповідно до цього виходу xk

.      (3)

Зображення вектору керованих параметрів х можна записати

,    (4)

де

– матриця передаточних функцій за керуванням, або передаточна матриця;

– передаточна матриця за збуренням.

Відповідно до (1)

,   

Приклад 2

Знайти передаточні матриці за керуванням u та збуренням f для системи, заданої двома диференційними рівняннями в операторній формі

,

.

Відповідь:

.

2. У 1974 р. Г. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування САК, який потім дістав методу змінних стану.

Приклад 3

Рисунок 1 – Механічна система з лінійним переміщенням

На тіло масою М діє три сили – зовнішня сила , сила тертя, пропорційна швидкості – , та сила пружності, пропорційна переміщенню – . Під дією цих сил тіло масою М рухається згідно закону Ньютона, згідно з яким сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення.

З урахуванням сил, діючих на тіло, диференційне рівняння, що описує рух системи, має вигляд

,   (5)

а передаточна функція

.    (6)

Цей вираз визначає залежність положення  від діючої сили . Припустимо, що нам також потрібна інформація про швидкість системи. Тоді можна ввести наступні змінні

,

.    (7)

є положення маси, а  – її швидкість. На основі (5) та (6) можна записати

. (8)

Отже, динаміку системи можна описати за допомогою системи диференційних рівнянь першого порядку

,

,

.

Представимо систему у векторно-матричній формі

,

.

Стан системи в будь-який момент часу – це кількість інформації, яка разом з усіма вхідними змінними одночасно визначає поведінку системи при всіх .

Отже, при використанні методу змінних стану математичну модель об’єкту представляють у вигляді двох рівнянь – рівняння стану та рівняння виходу:

,

,      (9)

де  – вектор стану розмірності (), компоненти якого , …,  називають змінними стану об’єкту;

А – матриця стану розмірністю (), яка визначає вільні та вимушені рухи системи;

U(t) – вектор керування розмірністю ();

В – матриця керування (матриця входу) розмірністю (), яка визначає взаємозалежність входу системи і змінних стану;

Y(t) – вектор вихідних змінних об’єкту розмірністю ();

С – матриця виходу розмірністю (), яка визначає характер взаємозв’язку вихідних величин зі змінними стану;

Dматриця обходу розмірністю (), яка характеризує пряму залежність виходу від входу (для багатьох систем D =0).

При описі електричних і механічних об’єктів, які можуть накопичувати енергію, в якості змінних стану часто приймають струми через індуктивності, напруги на ємностях, переміщення та швидкості руху мас. Як відомо, саме ці величини визначають накопичену енергію (магнітну, електричну, потенціальну, кінематичну) і характеризують інерційні властивості об’єкту. Для одновимірного об’єкту n-го порядку змінними стану можуть бути вихідний сигнал та його похідні до (n-1) включно.

Однак в загальному випадку змінні стану можуть і не мати конкретного фізичного змісту – вони будуть формальними, абстрактними змінними, що лише задовольняють рівнянням стану.

В деяких часткових випадках змінні стану пов’язані між собою співвідношенням

,  (i = 1, 2,…, n-1),

тоді вони називаються фазовими змінними.

n-мірний простір, координатами якого є змінні стану , називають простором стану.

Структурна схема багатовимірної системи, що відповідає наведеним рівнянням стану, має вигляд

Приклад 4

Розглянемо систему, що описується диференційними рівняннями:

,

.

де  та  – вхідні змінні, а  та  – вихідні змінні. За змінні стану можна прийняти виходи системи і, якщо потрібно, їх похідні

;  ;  .

Тоді вихідну систему рівнянь можна представити у вигляді:

,

.

Остаточно рівняння приймають вигляд:

,

,

.

До них додаються рівняння для вихідних змінних:

,

.

Ці рівняння можні записати в векторно-матричній формі:

;   .

За допомогою змінних стану можна представити у вигляді моделі об’єкт, що має один вхід та один вихід, та описується диференційним рівнянням

.

Відповідно передаточна функція системи має вигляд

.

Розділивши чисельник та знаменник  на , отримаємо

.

Вихідна величина системи  може бути записана у вигляді

,

де

.

Звідси випливає, що

.

З наведених виразів ясно, що схема змінних стану повинна містити n послідовно включених інтегруючих ланок, вихідні величини яких відповідно з коефіцієнтами –а1, –а2, …, –аn підсумовуються з вхідним сигналом  і зменшуються в а0, утворюючи сигнал помилки .

Далі сигнал , підсилений в b0 разів, підсумовується з вихідними сигналами інтеграторів, взятими з коефіцієнтами b1, b2, …, bт, утворюючи вихідну величину . Отримана таким чином схема має вигляд, зображений на рис. 2.

3. Методика розв’язання рівнянь стану. Матрична форма запису рівнянь стану має вигляд:

.

Виконавши перетворення за Лапласом всіх рівнянь, що входять в систему, отримаємо кінцевий результат у матричній формі

,           (10)

де

.

Для рішення матричного рівняння згрупуємо всі члени, що містять , у лівій частині

Рисунок 2 – Схема моделювання системи

.           (11)

Далі необхідно виділити множник . Для цього введемо одиничну матрицю

.          (12)

Цей додатковий крок потрібен тому, що операція віднімання матриці А зі скалярної змінної не визначена. З рівняння (12) отримаємо

.           (13)

Тоді вектор стану  можна обчислити, виконавши зворотне перетворення Лапласа від .

На основі (9), вектор вихідних змінних дорівнює

.

Відповідно

.              (14)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9257. Подсудность гражданских дел 47 KB
  Тема № Подсудность гражданских дел. понятие и виды родовая подсудность территориальная подсудность передача дела и 1 суда в другой правовые последствия несоблюдения правил подсудности ФКЗ О военных судах в РФ от 23.06...
9258. Процессуальные сроки 52.5 KB
  Процессуальные сроки. понятие и значение процессуальных сроков виды процессуальных сроков исчисление процессуальных сроков приостановление, продление и восстановление процессуальных сроков. Постановление Пленума ВС РФ №...
9259. Судебное доказывание и доказательства по гражданским делам 105 KB
  Судебное доказывание и доказательства по гражданским делам. Постановление 2003 года о судебном решении Постановление 2008 о разрешении дел в судебных инстанциях понятие судебного доказывания предмет доказывания основания для освобо...
9260. Место искового производства в системе видов гражданского судопроизводства 70.5 KB
  Иск. Место искового производства в системе видов гражданского судопроизводства Понятие иска Признаки иска Виды исков Право на иск Обеспечение иска Средства защиты В соответствии со ст. 11 ГК РФ орг...
9261. Приказное производство 47 KB
  Тема № 15: Приказное производство. понятие и сущность приказного производства требования, по которому выдается судебный приказ порядок подачи заявления о вынесении приказа порядок вынесения и выдачи судебного приказа...
9262. Возбуждение гражданского судопроизводства. Подготовка ГД к судебному разбирательству 46.5 KB
  Возбуждение гражданского судопроизводства. Подготовка ГД к судебному разбирательству. Литература: ПП ВС РФ от 24.06.2008 г. О подготовке ГД к судебному разбирательству. ГПП РФ: учебник. Викут порядок предъявления иска. Последстви...
9263. Судебное разбирательство 86.5 KB
  Тема №17:Судебное разбирательство - Постановление от 26.06.2008 г. О применении норм ГПК при рассмотрении и разрешении дел в суде первой инстанции Сущность и значение судебного разбирательства. В соответствии с действующим законодательст...
9264. Постановление суда 1 инстанции 73 KB
  Постановление суда 1 инстанции понятие и виды сущность и значение судебного решения содержание СР требования, предъявляемые к СР законная сила СР устранение недостатков решения вынесшим его судом определение...
9265. Постановление суда первой инстанции 71.5 KB
  Постановление суда первой инстанции. Обязательная литература: Постановление пленума ВС О судебном решении от 19.12.2003 г. Постановление пленума ВС от 20.06.2008 г. О применении норм ГПК при рассмотрении и разрешении дел в суде...