69332

Багатовимірні системи та метод змінних стану

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Загальні відомості про багатовимірні системи Метод змінних стану Методика розв’язання рівнянь стану В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування...

Украинкский

2014-10-03

528 KB

8 чел.

Тема 7. Багатовимірні системи та метод змінних стану

  1.  Загальні відомості про багатовимірні системи
  2.  Метод змінних стану
  3.  Методика розв’язання рівнянь стану

В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Такі системи називають багатовимірними, або системами багатозв’язного керування. Відповідно об’єкт керування називають багатовимірним об’єктом.

Лінійними багатовимірними системами називають системи автоматичного керування, в яких всі елементи мають лінійні характеристики і їх динамічні властивості описуються лінійними диференційними рівняннями. Якщо коефіцієнти таких рівнянь незмінні, то таку систему називають стаціонарною (в протилежному випадку – нестаціонарною).

Рівняння багатовимірної системи в загальному випадку можна записати у вигляді системи рівнянь у операторній формі

де x1xn – регульовані змінні, u1um – сигнали керування; f1fk – збурення; Pij(p), Qij(p), Cij(p) – поліноми від р із сталими коефіцієнтами.

Для багатовимірних систем найпоширенішою є матрична форма запису рівнянь, згідно з якою введемо такі матриці

,  ,  ,

,   ,

.

При цьому вихідну систему рівнянь багатовимірної системи можна записати у вигляді

.     (1)

Приклад 1

Двовимірна система описується рівняннями вигляду

;

.

Записати рівняння системи в матричній формі.

Поведінку багатовимірних систем можна описувати також за допомогою передаточних функцій.

Передаточною функцією по деякому і-му параметру та k-му виходу називають відношення зображення за Лапласом Xk(p) вихідного параметра xk до зображення Ui(p) вхідної величини ui при нульових початкових умовах. Згідно з цим

.      (2)

Обчислити цю передаточну функцію можна, якщо знехтувати у вихідній системі рівнянь зображеннями всіх сигналів та параметрів керування, крім Ui(p).

Аналогічно можна знайти передаточну функцію за збуренням fi відповідно до цього виходу xk

.      (3)

Зображення вектору керованих параметрів х можна записати

,    (4)

де

– матриця передаточних функцій за керуванням, або передаточна матриця;

– передаточна матриця за збуренням.

Відповідно до (1)

,   

Приклад 2

Знайти передаточні матриці за керуванням u та збуренням f для системи, заданої двома диференційними рівняннями в операторній формі

,

.

Відповідь:

.

2. У 1974 р. Г. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування САК, який потім дістав методу змінних стану.

Приклад 3

Рисунок 1 – Механічна система з лінійним переміщенням

На тіло масою М діє три сили – зовнішня сила , сила тертя, пропорційна швидкості – , та сила пружності, пропорційна переміщенню – . Під дією цих сил тіло масою М рухається згідно закону Ньютона, згідно з яким сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення.

З урахуванням сил, діючих на тіло, диференційне рівняння, що описує рух системи, має вигляд

,   (5)

а передаточна функція

.    (6)

Цей вираз визначає залежність положення  від діючої сили . Припустимо, що нам також потрібна інформація про швидкість системи. Тоді можна ввести наступні змінні

,

.    (7)

є положення маси, а  – її швидкість. На основі (5) та (6) можна записати

. (8)

Отже, динаміку системи можна описати за допомогою системи диференційних рівнянь першого порядку

,

,

.

Представимо систему у векторно-матричній формі

,

.

Стан системи в будь-який момент часу – це кількість інформації, яка разом з усіма вхідними змінними одночасно визначає поведінку системи при всіх .

Отже, при використанні методу змінних стану математичну модель об’єкту представляють у вигляді двох рівнянь – рівняння стану та рівняння виходу:

,

,      (9)

де  – вектор стану розмірності (), компоненти якого , …,  називають змінними стану об’єкту;

А – матриця стану розмірністю (), яка визначає вільні та вимушені рухи системи;

U(t) – вектор керування розмірністю ();

В – матриця керування (матриця входу) розмірністю (), яка визначає взаємозалежність входу системи і змінних стану;

Y(t) – вектор вихідних змінних об’єкту розмірністю ();

С – матриця виходу розмірністю (), яка визначає характер взаємозв’язку вихідних величин зі змінними стану;

Dматриця обходу розмірністю (), яка характеризує пряму залежність виходу від входу (для багатьох систем D =0).

При описі електричних і механічних об’єктів, які можуть накопичувати енергію, в якості змінних стану часто приймають струми через індуктивності, напруги на ємностях, переміщення та швидкості руху мас. Як відомо, саме ці величини визначають накопичену енергію (магнітну, електричну, потенціальну, кінематичну) і характеризують інерційні властивості об’єкту. Для одновимірного об’єкту n-го порядку змінними стану можуть бути вихідний сигнал та його похідні до (n-1) включно.

Однак в загальному випадку змінні стану можуть і не мати конкретного фізичного змісту – вони будуть формальними, абстрактними змінними, що лише задовольняють рівнянням стану.

В деяких часткових випадках змінні стану пов’язані між собою співвідношенням

,  (i = 1, 2,…, n-1),

тоді вони називаються фазовими змінними.

n-мірний простір, координатами якого є змінні стану , називають простором стану.

Структурна схема багатовимірної системи, що відповідає наведеним рівнянням стану, має вигляд

Приклад 4

Розглянемо систему, що описується диференційними рівняннями:

,

.

де  та  – вхідні змінні, а  та  – вихідні змінні. За змінні стану можна прийняти виходи системи і, якщо потрібно, їх похідні

;  ;  .

Тоді вихідну систему рівнянь можна представити у вигляді:

,

.

Остаточно рівняння приймають вигляд:

,

,

.

До них додаються рівняння для вихідних змінних:

,

.

Ці рівняння можні записати в векторно-матричній формі:

;   .

За допомогою змінних стану можна представити у вигляді моделі об’єкт, що має один вхід та один вихід, та описується диференційним рівнянням

.

Відповідно передаточна функція системи має вигляд

.

Розділивши чисельник та знаменник  на , отримаємо

.

Вихідна величина системи  може бути записана у вигляді

,

де

.

Звідси випливає, що

.

З наведених виразів ясно, що схема змінних стану повинна містити n послідовно включених інтегруючих ланок, вихідні величини яких відповідно з коефіцієнтами –а1, –а2, …, –аn підсумовуються з вхідним сигналом  і зменшуються в а0, утворюючи сигнал помилки .

Далі сигнал , підсилений в b0 разів, підсумовується з вихідними сигналами інтеграторів, взятими з коефіцієнтами b1, b2, …, bт, утворюючи вихідну величину . Отримана таким чином схема має вигляд, зображений на рис. 2.

3. Методика розв’язання рівнянь стану. Матрична форма запису рівнянь стану має вигляд:

.

Виконавши перетворення за Лапласом всіх рівнянь, що входять в систему, отримаємо кінцевий результат у матричній формі

,           (10)

де

.

Для рішення матричного рівняння згрупуємо всі члени, що містять , у лівій частині

Рисунок 2 – Схема моделювання системи

.           (11)

Далі необхідно виділити множник . Для цього введемо одиничну матрицю

.          (12)

Цей додатковий крок потрібен тому, що операція віднімання матриці А зі скалярної змінної не визначена. З рівняння (12) отримаємо

.           (13)

Тоді вектор стану  можна обчислити, виконавши зворотне перетворення Лапласа від .

На основі (9), вектор вихідних змінних дорівнює

.

Відповідно

.              (14)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16267. Телевизионные испытательные строки 1.01 MB
  Телевизионные испытательные строки Тракт телевизионного вещания очень специфичен: он отличается большой протяженностью и включает в себя огромное количество оборудования обслуживаемого различными службами. В тоже время необходимо знать характеристики не только
16268. Исследование кодера MPEG-2 552.3 KB
  Лабораторная работа №6.1 Исследование кодера MPEG2 1 Цель работы: Ознакомиться с назначением и характеристиками кодера PBI DCH3000EC 40. Ознакомиться с составом и назначением интерфейсов кодера PBI DCH3000EC 40. Ознакомиться с типовой схемой включения кодера PBI DCH3000EC 40. ...
16269. Исследование элементов синхрогенератора 610.5 KB
  Лабораторная работа №2 Исследование элементов синхрогенератора 1 Цель работы: Изучить принцип работы и выходные сигналы синхрокомплекта ПБ99. Исследовать форму и структуру сигналов на выходе синхрогенератора. 2 Литература: 2.1. Колин К....
16270. Исследование устройства декодирующего системы SECAM 681.5 KB
  Лабораторная работа №4 Исследование устройства декодирующего системы SECAM 1 Цель работы: Изучить принцип работы МЦ и СМЦ. Снять осциллограммы в контрольных точках. Сделать выводы о работоспособности блоков. 2 Литература: 2.1 Джакония...
16271. Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 808 KB
  Лабораторная работа №3 Исследование устройства кодирующего системы SЕCАМ 1 Цель работы: Изучить состав устройства кодирующего ПБ29. Получить практические навыки по работе с устройством кодирующим. 2 Литература: 2.1 Джакония В.Е. Телевиде...
16272. Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1.7 MB
  Лабораторная работа №4 Исследование спектра сигнала спутника Hot Biord 1 Цель работы: 1.1 Научиться пользоваться спутниковым ресивером. 1.2 Научиться настраиваться на выбранный транспондер и фиксировать его в памяти прибора DL4. 1.2 Научиться заносить данные прибора в ...
16274. Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 290 KB
  Лабораторная работа №8 Стандарт цифрового телевидения 4:2:2 1 Цель работы: 1.1 Изучить метод аналогоцифрового преобразования в стандарте 4:2:2. 2 Литература: 2.1 Приложение А. 2.2 Приложение Б. 3 Подготовка к работе: 3.1 Повторить теоретический материал по стандар
16275. Исследование спутникового приемника DCH-4000P-42-S2 354 KB
  Лабораторная работа №100 Исследование спутникового приемника DCH4000P42S2 1 Цель работы: 1.1 Научиться пользоваться спутниковым ресивером. 1.2 Научиться настраиваться на выбранный транспондер 2 Литература: 2.1 Приложение А. 2.2 Приложение Б. 2.3 Приложение В. 3