69332

Багатовимірні системи та метод змінних стану

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Загальні відомості про багатовимірні системи Метод змінних стану Методика розв’язання рівнянь стану В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування...

Украинкский

2014-10-03

528 KB

11 чел.

Тема 7. Багатовимірні системи та метод змінних стану

  1.  Загальні відомості про багатовимірні системи
  2.  Метод змінних стану
  3.  Методика розв’язання рівнянь стану

В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Такі системи називають багатовимірними, або системами багатозв’язного керування. Відповідно об’єкт керування називають багатовимірним об’єктом.

Лінійними багатовимірними системами називають системи автоматичного керування, в яких всі елементи мають лінійні характеристики і їх динамічні властивості описуються лінійними диференційними рівняннями. Якщо коефіцієнти таких рівнянь незмінні, то таку систему називають стаціонарною (в протилежному випадку – нестаціонарною).

Рівняння багатовимірної системи в загальному випадку можна записати у вигляді системи рівнянь у операторній формі

де x1xn – регульовані змінні, u1um – сигнали керування; f1fk – збурення; Pij(p), Qij(p), Cij(p) – поліноми від р із сталими коефіцієнтами.

Для багатовимірних систем найпоширенішою є матрична форма запису рівнянь, згідно з якою введемо такі матриці

,  ,  ,

,   ,

.

При цьому вихідну систему рівнянь багатовимірної системи можна записати у вигляді

.     (1)

Приклад 1

Двовимірна система описується рівняннями вигляду

;

.

Записати рівняння системи в матричній формі.

Поведінку багатовимірних систем можна описувати також за допомогою передаточних функцій.

Передаточною функцією по деякому і-му параметру та k-му виходу називають відношення зображення за Лапласом Xk(p) вихідного параметра xk до зображення Ui(p) вхідної величини ui при нульових початкових умовах. Згідно з цим

.      (2)

Обчислити цю передаточну функцію можна, якщо знехтувати у вихідній системі рівнянь зображеннями всіх сигналів та параметрів керування, крім Ui(p).

Аналогічно можна знайти передаточну функцію за збуренням fi відповідно до цього виходу xk

.      (3)

Зображення вектору керованих параметрів х можна записати

,    (4)

де

– матриця передаточних функцій за керуванням, або передаточна матриця;

– передаточна матриця за збуренням.

Відповідно до (1)

,   

Приклад 2

Знайти передаточні матриці за керуванням u та збуренням f для системи, заданої двома диференційними рівняннями в операторній формі

,

.

Відповідь:

.

2. У 1974 р. Г. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування САК, який потім дістав методу змінних стану.

Приклад 3

Рисунок 1 – Механічна система з лінійним переміщенням

На тіло масою М діє три сили – зовнішня сила , сила тертя, пропорційна швидкості – , та сила пружності, пропорційна переміщенню – . Під дією цих сил тіло масою М рухається згідно закону Ньютона, згідно з яким сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення.

З урахуванням сил, діючих на тіло, диференційне рівняння, що описує рух системи, має вигляд

,   (5)

а передаточна функція

.    (6)

Цей вираз визначає залежність положення  від діючої сили . Припустимо, що нам також потрібна інформація про швидкість системи. Тоді можна ввести наступні змінні

,

.    (7)

є положення маси, а  – її швидкість. На основі (5) та (6) можна записати

. (8)

Отже, динаміку системи можна описати за допомогою системи диференційних рівнянь першого порядку

,

,

.

Представимо систему у векторно-матричній формі

,

.

Стан системи в будь-який момент часу – це кількість інформації, яка разом з усіма вхідними змінними одночасно визначає поведінку системи при всіх .

Отже, при використанні методу змінних стану математичну модель об’єкту представляють у вигляді двох рівнянь – рівняння стану та рівняння виходу:

,

,      (9)

де  – вектор стану розмірності (), компоненти якого , …,  називають змінними стану об’єкту;

А – матриця стану розмірністю (), яка визначає вільні та вимушені рухи системи;

U(t) – вектор керування розмірністю ();

В – матриця керування (матриця входу) розмірністю (), яка визначає взаємозалежність входу системи і змінних стану;

Y(t) – вектор вихідних змінних об’єкту розмірністю ();

С – матриця виходу розмірністю (), яка визначає характер взаємозв’язку вихідних величин зі змінними стану;

Dматриця обходу розмірністю (), яка характеризує пряму залежність виходу від входу (для багатьох систем D =0).

При описі електричних і механічних об’єктів, які можуть накопичувати енергію, в якості змінних стану часто приймають струми через індуктивності, напруги на ємностях, переміщення та швидкості руху мас. Як відомо, саме ці величини визначають накопичену енергію (магнітну, електричну, потенціальну, кінематичну) і характеризують інерційні властивості об’єкту. Для одновимірного об’єкту n-го порядку змінними стану можуть бути вихідний сигнал та його похідні до (n-1) включно.

Однак в загальному випадку змінні стану можуть і не мати конкретного фізичного змісту – вони будуть формальними, абстрактними змінними, що лише задовольняють рівнянням стану.

В деяких часткових випадках змінні стану пов’язані між собою співвідношенням

,  (i = 1, 2,…, n-1),

тоді вони називаються фазовими змінними.

n-мірний простір, координатами якого є змінні стану , називають простором стану.

Структурна схема багатовимірної системи, що відповідає наведеним рівнянням стану, має вигляд

Приклад 4

Розглянемо систему, що описується диференційними рівняннями:

,

.

де  та  – вхідні змінні, а  та  – вихідні змінні. За змінні стану можна прийняти виходи системи і, якщо потрібно, їх похідні

;  ;  .

Тоді вихідну систему рівнянь можна представити у вигляді:

,

.

Остаточно рівняння приймають вигляд:

,

,

.

До них додаються рівняння для вихідних змінних:

,

.

Ці рівняння можні записати в векторно-матричній формі:

;   .

За допомогою змінних стану можна представити у вигляді моделі об’єкт, що має один вхід та один вихід, та описується диференційним рівнянням

.

Відповідно передаточна функція системи має вигляд

.

Розділивши чисельник та знаменник  на , отримаємо

.

Вихідна величина системи  може бути записана у вигляді

,

де

.

Звідси випливає, що

.

З наведених виразів ясно, що схема змінних стану повинна містити n послідовно включених інтегруючих ланок, вихідні величини яких відповідно з коефіцієнтами –а1, –а2, …, –аn підсумовуються з вхідним сигналом  і зменшуються в а0, утворюючи сигнал помилки .

Далі сигнал , підсилений в b0 разів, підсумовується з вихідними сигналами інтеграторів, взятими з коефіцієнтами b1, b2, …, bт, утворюючи вихідну величину . Отримана таким чином схема має вигляд, зображений на рис. 2.

3. Методика розв’язання рівнянь стану. Матрична форма запису рівнянь стану має вигляд:

.

Виконавши перетворення за Лапласом всіх рівнянь, що входять в систему, отримаємо кінцевий результат у матричній формі

,           (10)

де

.

Для рішення матричного рівняння згрупуємо всі члени, що містять , у лівій частині

Рисунок 2 – Схема моделювання системи

.           (11)

Далі необхідно виділити множник . Для цього введемо одиничну матрицю

.          (12)

Цей додатковий крок потрібен тому, що операція віднімання матриці А зі скалярної змінної не визначена. З рівняння (12) отримаємо

.           (13)

Тоді вектор стану  можна обчислити, виконавши зворотне перетворення Лапласа від .

На основі (9), вектор вихідних змінних дорівнює

.

Відповідно

.              (14)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29032. Определение размеров подошвы внецентренно нагруженных фундаментов мелкого заложения. Эпюры давлений под подошвой фундамента. Порядок расчёта 33 KB
  Эпюры давлений под подошвой фундамента. При расчёте давление по подошве внецентренно нагруженного фундамента принимают изменяющимся по линейному закону а его краевые значения при действии момента сил относительно одной из главных осей определяют как для случая внецентренного сжатия по формуле: 1 Подстановкой значений А=l·b W=b2l 6 и M=NII·e формула 1 приводится к виду 2 2 где NII суммарная вертикальная нагрузка на основание включая вес фундамента и грунта на его уступах; A площадь подошвы фундамента; е эксцентриситет...
29033. Гидроизоляция фундаментов. Защита подвальных помещений от сырости и подтопления подземными водами 42 KB
  Гидроизоляция фундаментов. Гидроизоляция предназначается для обеспечения водонепроницаемости сооружений антифильтрационная гидроизоляция а также защиты от коррозии и разрушения материалов фундаментов и подземных конструкций от агрессивных подземных вод антикоррозионная гидроизоляция. Гидроизоляция от сырости и грунтовых вод подвальных и заглубленных помещений является значительно более сложной выбор такой гидроизоляции зависит от гидрогеологических условий строительной площадки уровня подземных вод их агрессивности особенностей...
29034. Расчёт фундаментов по второй группе предельных состояний. Определение конечной осадки фундаментов мелкого заложения методом послойного суммирования 34 KB
  Расчёт оснований фундаментов по второй группе предельных состояний по деформациям производится исходя из условия: s ≤ su 1 где s конечная стабилизированная осадка фундамента определённая расчётом; su предельное значение осадки устанавливаемое соответствующими нормативными документами или требованиями проекта. После определения размеров подошвы фундамента и проверки условия pII ≤ R где рII среднее давление на основание по подошве фундамента a R расчётное сопротивление грунта ось фундамента совмещают с литологической колонкой...
29035. Расчёт фундаментов по второй группе предельных состояний. Определение конечной осадки фундаментов мелкого заложения методом эквивалентного слоя 31.5 KB
  Расчёт фундаментов по второй группе предельных состояний по деформациям заключается в выполнении условия s ≤ sw 1 где s конечная стабилизированная осадка фундамента определённая расчётом; sw предельное значение осадки устанавливаемое соответствующими нормативными документами или требованиями проекта. Конечная стабилизированная осадка фундамента может быть определена методом эквивалентного слоя. Осадка с учётом жёсткости и формы подошвы фундамента в случае однородного основания определяется по формуле: s=p0hэmv 2 где p0 ...
29036. Определение расчётного сопротивления грунтов основания по таблицам СНиП 23 KB
  Тип песчаного грунта пески гравелистые крупные средней крупности и т. Плотность сложения песчаного грунта плотный средней плотности рыхлый. Устанавливается по таблице в зависимости от типа песчаного грунта и его коэффициента пористости: 1 где γ – удельный вес грунта; γs – удельный вес твердых частиц; w – влажность грунта. Степень влажности песчаного грунта Sr маловлажный влажный насыщенный водой: 2 где γs – удельный вес воды.
29037. Условия применения свайных фундаментов. Конструктивные решения. Виды свайных фундаментов в зависимости от расположения свай в плане 32 KB
  Условия применения свайных фундаментов. Виды свайных фундаментов в зависимости от расположения свай в плане. В этих условиях чаще всего прибегают к устройству фундаментов из свай. Группы или ряды свай объединённые поверху распределительной плитой или балкой образуют свайный фундамент.
29038. Условия применения свайных фундаментов. Классификация свай по материалу, форме продольного и поперечного сечения 42.5 KB
  Сваи погружаемые в грунт в готовом виде в зависимости от материала из которого они изготовляются подразделяются на железобетонные деревянные стальные и комбинированные. Железобетонные сваи получившие наибольшее распространение в практике строительства подразделяются: по форме поперечного сечения на квадратные квадратные с круглой полостью полые круглого сечения прямоугольные тавровые и двутавровые рис.1; по форме продольного сечения на призматические цилиндрические с наклонными боковыми гранями пирамидальные...
29039. Понятие о висячих сваях и сваях-стойках. Определение несущей способности свай-стоек 28.5 KB
  По характеру передачи нагрузки на грунт сваи подразделяются на висячие сваи и сваистойки. К сваямстойкам относятся сваи прорезающие толщу слабых грунтов и опирающиеся на практически несжимаемые скальные или малосжимаемые грунты крупнообломочные грунты с песчаным заполнителем глины твёрдой консистенции. Сваястойка практически всю нагрузку на грунт передаёт через нижний конец так как при малых вертикальных перемещениях сваи не возникают условия для проявления сил трения на её боковой поверхности рис. Сваястойка работает как сжатый...
29040. Определение несущей способности висячих свай по таблицам СНиП. Понятие о негативном трении и его учёт при определении несущей способности свай 35.5 KB
  Расчёт несущей способности вертикально нагруженных висячих свай производится как правило только по прочности грунта так как по прочности материала сваи она всегда заведомо выше.0385 широко применяемый в практике проектирования и известный под названием практического метода позволяет определять несущую способность сваи по данным геологических изысканий. Метод базируется на обобщении результатов испытаний большого числа обычных и специальных свай вертикальной статической нагрузкой проведенных в различных грунтовых условиях с целью...