69332

Багатовимірні системи та метод змінних стану

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Загальні відомості про багатовимірні системи Метод змінних стану Методика розвязання рівнянь стану В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування...

Украинкский

2014-10-03

528 KB

11 чел.

Тема 7. Багатовимірні системи та метод змінних стану

  1.  Загальні відомості про багатовимірні системи
  2.  Метод змінних стану
  3.  Методика розв’язання рівнянь стану

В САК в загальному випадку можна одночасно виконувати керування декількома величинами. Такі системи називають багатовимірними, або системами багатозв’язного керування. Відповідно об’єкт керування називають багатовимірним об’єктом.

Лінійними багатовимірними системами називають системи автоматичного керування, в яких всі елементи мають лінійні характеристики і їх динамічні властивості описуються лінійними диференційними рівняннями. Якщо коефіцієнти таких рівнянь незмінні, то таку систему називають стаціонарною (в протилежному випадку – нестаціонарною).

Рівняння багатовимірної системи в загальному випадку можна записати у вигляді системи рівнянь у операторній формі

де x1xn – регульовані змінні, u1um – сигнали керування; f1fk – збурення; Pij(p), Qij(p), Cij(p) – поліноми від р із сталими коефіцієнтами.

Для багатовимірних систем найпоширенішою є матрична форма запису рівнянь, згідно з якою введемо такі матриці

,  ,  ,

,   ,

.

При цьому вихідну систему рівнянь багатовимірної системи можна записати у вигляді

.     (1)

Приклад 1

Двовимірна система описується рівняннями вигляду

;

.

Записати рівняння системи в матричній формі.

Поведінку багатовимірних систем можна описувати також за допомогою передаточних функцій.

Передаточною функцією по деякому і-му параметру та k-му виходу називають відношення зображення за Лапласом Xk(p) вихідного параметра xk до зображення Ui(p) вхідної величини ui при нульових початкових умовах. Згідно з цим

.      (2)

Обчислити цю передаточну функцію можна, якщо знехтувати у вихідній системі рівнянь зображеннями всіх сигналів та параметрів керування, крім Ui(p).

Аналогічно можна знайти передаточну функцію за збуренням fi відповідно до цього виходу xk

.      (3)

Зображення вектору керованих параметрів х можна записати

,    (4)

де

– матриця передаточних функцій за керуванням, або передаточна матриця;

– передаточна матриця за збуренням.

Відповідно до (1)

,   

Приклад 2

Знайти передаточні матриці за керуванням u та збуренням f для системи, заданої двома диференційними рівняннями в операторній формі

,

.

Відповідь:

.

2. У 1974 р. Г. Розенброком було закладено основи методу автоматизованого проектування САК, який потім дістав методу змінних стану.

Приклад 3

Рисунок 1 – Механічна система з лінійним переміщенням

На тіло масою М діє три сили – зовнішня сила , сила тертя, пропорційна швидкості – , та сила пружності, пропорційна переміщенню – . Під дією цих сил тіло масою М рухається згідно закону Ньютона, згідно з яким сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення.

З урахуванням сил, діючих на тіло, диференційне рівняння, що описує рух системи, має вигляд

,   (5)

а передаточна функція

.    (6)

Цей вираз визначає залежність положення  від діючої сили . Припустимо, що нам також потрібна інформація про швидкість системи. Тоді можна ввести наступні змінні

,

.    (7)

є положення маси, а  – її швидкість. На основі (5) та (6) можна записати

. (8)

Отже, динаміку системи можна описати за допомогою системи диференційних рівнянь першого порядку

,

,

.

Представимо систему у векторно-матричній формі

,

.

Стан системи в будь-який момент часу – це кількість інформації, яка разом з усіма вхідними змінними одночасно визначає поведінку системи при всіх .

Отже, при використанні методу змінних стану математичну модель об’єкту представляють у вигляді двох рівнянь – рівняння стану та рівняння виходу:

,

,      (9)

де  – вектор стану розмірності (), компоненти якого , …,  називають змінними стану об’єкту;

А – матриця стану розмірністю (), яка визначає вільні та вимушені рухи системи;

U(t) – вектор керування розмірністю ();

В – матриця керування (матриця входу) розмірністю (), яка визначає взаємозалежність входу системи і змінних стану;

Y(t) – вектор вихідних змінних об’єкту розмірністю ();

С – матриця виходу розмірністю (), яка визначає характер взаємозв’язку вихідних величин зі змінними стану;

Dматриця обходу розмірністю (), яка характеризує пряму залежність виходу від входу (для багатьох систем D =0).

При описі електричних і механічних об’єктів, які можуть накопичувати енергію, в якості змінних стану часто приймають струми через індуктивності, напруги на ємностях, переміщення та швидкості руху мас. Як відомо, саме ці величини визначають накопичену енергію (магнітну, електричну, потенціальну, кінематичну) і характеризують інерційні властивості об’єкту. Для одновимірного об’єкту n-го порядку змінними стану можуть бути вихідний сигнал та його похідні до (n-1) включно.

Однак в загальному випадку змінні стану можуть і не мати конкретного фізичного змісту – вони будуть формальними, абстрактними змінними, що лише задовольняють рівнянням стану.

В деяких часткових випадках змінні стану пов’язані між собою співвідношенням

,  (i = 1, 2,…, n-1),

тоді вони називаються фазовими змінними.

n-мірний простір, координатами якого є змінні стану , називають простором стану.

Структурна схема багатовимірної системи, що відповідає наведеним рівнянням стану, має вигляд

Приклад 4

Розглянемо систему, що описується диференційними рівняннями:

,

.

де  та  – вхідні змінні, а  та  – вихідні змінні. За змінні стану можна прийняти виходи системи і, якщо потрібно, їх похідні

;  ;  .

Тоді вихідну систему рівнянь можна представити у вигляді:

,

.

Остаточно рівняння приймають вигляд:

,

,

.

До них додаються рівняння для вихідних змінних:

,

.

Ці рівняння можні записати в векторно-матричній формі:

;   .

За допомогою змінних стану можна представити у вигляді моделі об’єкт, що має один вхід та один вихід, та описується диференційним рівнянням

.

Відповідно передаточна функція системи має вигляд

.

Розділивши чисельник та знаменник  на , отримаємо

.

Вихідна величина системи  може бути записана у вигляді

,

де

.

Звідси випливає, що

.

З наведених виразів ясно, що схема змінних стану повинна містити n послідовно включених інтегруючих ланок, вихідні величини яких відповідно з коефіцієнтами –а1, –а2, …, –аn підсумовуються з вхідним сигналом  і зменшуються в а0, утворюючи сигнал помилки .

Далі сигнал , підсилений в b0 разів, підсумовується з вихідними сигналами інтеграторів, взятими з коефіцієнтами b1, b2, …, bт, утворюючи вихідну величину . Отримана таким чином схема має вигляд, зображений на рис. 2.

3. Методика розв’язання рівнянь стану. Матрична форма запису рівнянь стану має вигляд:

.

Виконавши перетворення за Лапласом всіх рівнянь, що входять в систему, отримаємо кінцевий результат у матричній формі

,           (10)

де

.

Для рішення матричного рівняння згрупуємо всі члени, що містять , у лівій частині

Рисунок 2 – Схема моделювання системи

.           (11)

Далі необхідно виділити множник . Для цього введемо одиничну матрицю

.          (12)

Цей додатковий крок потрібен тому, що операція віднімання матриці А зі скалярної змінної не визначена. З рівняння (12) отримаємо

.           (13)

Тоді вектор стану  можна обчислити, виконавши зворотне перетворення Лапласа від .

На основі (9), вектор вихідних змінних дорівнює

.

Відповідно

.              (14)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55798. Розвиток особистісного потенціалу учнів на уроках з фізики 256 KB
  Як вчитель допомагаю учням на уроках та в неурочний час оволодіти технологіями життєтворчості прагну створити умови для розкриття внутрішнього потенціалу самооцінки самореалізації самоконтролю учнів...
55799. Розвиток пізнавальної активності в процесі рішення творчих задач 87 KB
  Дуже часто навчання зводиться до розуміння й відтворення прийомів дій типових способів вирішення завдань. Дуже часто при такому аналізі на перший погляд абсурдна ідея перевтілюється й відкриває шлях до вирішення проблеми.
55800. Може, маленька дитина повторює те, що було вже зроблено, створено іншими людьми, але якщо це діяння – плід її власних зусиль, – вона творець; її розумова діяльність – творчість 49 KB
  Щоб сформулювати творчі здібності дитині необхідно якнайбільше вражень про навколишній світ під час виконання різних видів діяльності який їй подобається найбільше а потім в усіх притаманних учням видах діяльності гра малювання конструювання...
55801. РОЗВИТОК КРЕАТИВНОГО МИСЛЕННЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ТА НАВЧАННЯ ГРАМОТИ 116 KB
  Бо стає важливим не стільки обсяг знань якими володіє людина скільки вміння застосовувати їх у конкретній ситуації. Скільки вовків було у норі Ізза пенька показалось 6 заячих вух. Скільки вух тепер видно Скільки вушок у зайців Скільки крил у горобців
55802. Розвиток творчого мислення молодших школярів як засіб формування життєвої компетентності 107 KB
  Научання предмету грань розумового розвитку учнів Розвиток одночасно із засвоєнням знань Читання джерело думки Значення предметів естетичного циклу та фізкультури для розвитку творчого мислення...
55803. Розвиток пізнавального інтересу на уроках математики як засіб підвищення якості знань учнів 241.5 KB
  Де вчитель там і школаМатематика служниця вчителяМатематика завжди незважаючи на всілякі вдосконалення в методі викладання залишиться для учнів важкою роботою. Вихідною умовою становлення досвіду роботи стали результати діагностики які свідчать про зниження інтересу учнів до уроків математики що спричиняє погіршення результатів навчання і якості знань з математики. Визначальною умовою становлення досвіду є створення умов що сприяють удосконаленню якості знань учнів з математики посилення їх мотивації...
55804. Розвиток мовленнєвої компетентності дітей під час нетрадиційної роботи за казками В. Сухомлинського 47 KB
  Хід заняття: Дітки давайте привітаємось з нашими гостями. Давайте ми зараз розкажемо про осінь яка вона. Подивіться на нашу берізку що на ній не вистачає Давайте прикрасимо її золотими стрічками. Давайте я почну а ви продовжите діти переказують казку за картинками.
55805. Зображення людини в русі. Різні художні техніки як засіб передачі руху людської фігури 610 KB
  Тема уроку з образотворчого мистецтва: Зображення людини в русі. Обладнання уроку: музичні записи навчальні роботи з методичного фонду магнітна дошка з рухомими моделями людських фігур таблиця пропорцій тіла людини репродукції зображень мистецьких творів...
55806. РУХ КРОВІ ПО СУДИНАХ 61.5 KB
  Мета уроку: обговорити з учнями можливі причини руху крові по судинах і зміни тиску крові; навчити вимірювати частоту пульсу і артеріальний тиск в стані спокою і після фізичного навантаження.