69333

Стійкість лінійних безперервних САК

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Поняття види і загальна умова стійкості Дослідження і аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння Алгебраїчні критерії стійкості САК Частотні критерії стійкості САК Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості Синтез САК виходячи з умов стійкості...

Украинкский

2014-10-03

319.5 KB

14 чел.

Тема 8. Стійкість лінійних безперервних САК

  1.  Поняття, види і загальна умова стійкості
  2.  Дослідження і аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння
  3.  Алгебраїчні критерії стійкості САК
  4.  Частотні критерії стійкості САК
  5.  Дослідження стійкості за допомогою побудови зон стійкості
  6.  Синтез САК виходячи з умов стійкості
  7.  Запас стійкості САК

1. Стійкість автоматичної системи – це властивість системи повертатися у початковий (або близький до нього) стан рівноваги після припинення дії факторів, які вивели системи з цього стану.

Якщо система є стійкою, вона протидіє зовнішнім силам, а після виведення зі стану початкової рівноваги вона з певною точністю повертається в нього. Якщо система є нестійкою, вона не повертається в стан рівноваги, при цьому вона або віддаляється від нього, або здійснює навколо нього неприпустимо великі коливання.

Система є стійкою «у великому», якщо визначено межі області можливих відхилень, в яких система повертається в початкове положення, і відомо, що початкові відхилення системи не виходять за межі цієї області. Система стійка «в малому», якщо межі області стійкості не визначені, а вказано лише факт її наявності. Система стійка «в цілому», якщо вона повертається в початкове положення рівноваги при будь-яких початкових відхиленнях.

В теорії автоматичного керування розрізняють поняття незбуреного стану рівноваги і збуреного стану, в який переходить система при дії збурення і наступному його зникненні.

Збурений рух системи можна описати відхиленням величин від тих значень, які вони мають при незбуреному русі

.     (1)

Незбурений рух системи називають стійким, якщо після зняття зовнішніх сил збурений рух через деякий час ввійде в задану область .

При цьому можна записати

.      (2)

У 1892 р. О.М. Ляпуновим було сформульоване наступне визначення стійкості:

Незбурений рух системи є стійким відносно змінних xi, якщо при будь-якому довільно заданому додатному числі , яким би малим воно не було, можна вибрати друге додатне число (), таке, що при будь-яких збуреннях xi0, що задовольняють умову

     (3)

і при довільних  виконуватиметься нерівність

.     (4)

Практично стійкість незбуреного руху за Ляпуновим означає, що при досить малих початкових збуреннях збурений рух буде як завгодно мало відрізнятися від незбуреного. Якщо незбурений рух нестійкий, то збурений рух буде все більше відходити від нього в разі найменших початкових збурень.

Якщо незбурений рух системи стійкий і при цьому будь-який збурений рух при достатньо малих початкових збуреннях прямує до незбуреного руху, тобто

,     (5)

то незбурений рух називають асимптотично стійким.

2. Диференційне рівняння лінійної системи автоматичного керування в загальному випадку має вигляд

,  (6)

або в операторній формі

.

Змінення регульованої величини y(t) при довільній зовнішній дії x(t) уявляє собою рішення рівняння (6)

.

yвим(t) – це вимушена складова, вона визначається як часткове рішення неоднорідного диференційного рівняння (6) з правою частиною

.

yв(t) – це вільна складова, яка визначається загальним рішенням однорідного диференційного рівняння (6) без правої частини

.   (7)

У відповідності з визначенням стійкості за Ляпуновим, система є асимптотично стійкою, якщо при  вільна складова буде наближатися до нуля, тобто .

Якщо вільна складова необмежено зростає, то система нестійка. Якщо вільна складова не наближається ні до нуля, ні до нескінченості, то система знаходиться на межі стійкості.

Знайдемо загальну умову, при якій система, що описується рівнянням (7), є стійкою. Рішення рівняння (7) дорівнює сумі

,    (8)

де Ck – постійні, які залежать від початкових умов; pk – корені характеристичного рівняння

.    (9)

Розв’язок характеристичного рівняння ступеня n містить n коренів. Корні характеристичного рівняння можуть бути дійсними, уявними, нульовими та комплексними, причому комплексні корені завжди попарно спряжені між собою. Якщо всі корені різні, їх називають простими. Якщо серед коренів є однакові, то їх називають кратними.

Розглянемо всі можливі випадки розташування коренів на комплексній площині та відповідні їм функції .

1. Кожному дійсному кореню  у розв’язку (8) відповідає доданок вигляду

.             (10)

Якщо  (корінь р1), то функція (10) при  прямує до нуля. Якщо  (корінь р3), то функція (10) необмежено зростає. Якщо  (корінь р2), то ця функція залишається сталою.

2. Кожній парі спряжених комплексних коренів  та  у розв’язку (8) відповідають два складових

.

3. Якщо серед коренів характеристичного рівняння є l рівних між собою коренів pk, то в рішенні (8) замість l складових вигляду  з’явиться одна складова

          (11)

Враховуючи, що функція  при будь-якому pl зменшується швидше, ніж зростають складові вигляду tr, рішення буде прямувати до нуля лише при від’ємності дійсної частини кратних коренів pl.

На основі проведеного аналізу можна сформулювати загальну умову стійкості

Для стійкості лінійної автоматичної системи керування необхідно і достатньо, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння системи були від’ємними.

Стійкість системи залежить лише від вигляду коренів характеристичного рівняння і не залежить від характеру зовнішніх впливів на систему. Стійкість є внутрішньою властивістю системи.

Використовуючи графічне представлення коренів на комплексній площині можна дати друге формулювання загальної умови стійкості:

Для стійкості лінійної автоматичної системи керування необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння знаходилися у лівій півплощині.

Оскільки всі реальні САК є нелінійними, то про їх стійкість можна казати лише наближено за наближеними лінійними залежностями.

Теорема 1. Якщо лінеаризована система є стійкою, то стійка і вихідна нелінійна система.

Теорема 2. Якщо лінеаризована система нестійка, то нестійка й вихідна нелінійна система.

Теорема 3. Якщо лінеаризована система знаходиться на межі стійкості, то для визначення стійкості вихідної нелінійної системи необхідно провести додаткові дослідження за вихідними нелінійними рівняннями системи.

3. Алгебраїчні критерії стійкості.

В ТАК були розроблені методи, які дозволяють досліджувати стійкість САК без знаходження коренів характеристичного рівняння, які дістали назву критеріїв стійкості.

Необхідною умовою стійкості системи будь-якого порядку є додатні значення всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння a0>0, a1>0,…, an>0.

Алгебраїчні критерії стійкості дозволяють досліджувати стійкість САК за коефіцієнтами характеристичного рівняння:

– критерій Вишнєградського;

– критерій Гурвіца;

– критерій Льєнара-Шіпара;

– критерій Рауса.

Критерій Вишнєградського

Для систем третього порядку використовується критерій Вишнєградського.

Для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням

необхідно виконання двох умов

а) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними.

б) добуток середніх коефіцієнтів повинен бути більшим добутку крайніх

.

Критерій Гурвіца

Система з характеристичним рівнянням

буде стійкою, якщо визначник Гурвіца і всі діагональні мінори додатні:

,  … .

.

Приклад 1.

.

Критерій Льєнара-Шіпара

Є модифікацією критерію стійкості Гурвіца, запропонований у 1914 р.

Коли виконана необхідна умова стійкості, тобто a0>0, a1>0,…, an>0, необхідною і достатньою умовою стійкості є те, що серед визначників Гурвіца 1, 2, …, n були додатними всі визначники з парними (або всі визначики з непарними) індексами.

Критерій Рауса

Критерій Рауса, запропонований у 1877 р. англ. математиком Е.Дж. Раусом, доцільно використовувати для систем вище 4-го порядку.

З коефіцієнтів характеристичного рівняння

складають таблицю, в першому рядку якої записані коефіцієнти рівняння з парними індексами, в другому – коефіцієнти з непарними індексами, в наступних рядках – коефіцієнти Рауса, отримані як комбінації коефіцієнтів двох вищестоящих рядків за формулою

,

де iномер рядку, kномер стовпця.

Рядок

Стовпець

1

2

3

k

1

r11=a0

r12=a2

r13=a4

r1k

2

r21=a1

r22=a3

r23=a5

r2k

3

r31

r32

r33

r3k

i

ri1

ri2

ri3

rik

n+1

rn+1,1

rn+1,2

rn+1,3

rn+1,k

Якщо система стійка, то додатні всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса.

4. Частотні критерії стійкості

Частотні критерії стійкості дозволяють оцінювати стійкість САК за виглядом їх частотних характеристик. Ці критерії є графоаналітичними і отримали широке застосування, оскільки дозволяють достатньо легко досліджувати стійкість систем високого порядку, а також мають достатньо просту геометричну інтерпретацію та наочність.

Графоаналітичний метод Михайлова

Сформульований радянським вченим А.В. Михайловим у 1938 р.

Якщо підставити в характеристичний поліном чисто уявне число , то отримаємо комплексний поліном

,

де

,

.

При зміненні частоти вектор D(j), змінюючись за величиною і напрямком, буде описувати в комплексній площині деяку криву, яка називається кривою (годографом Михайлова).

Лінійна система автоматичного керування n-порядку буде стійкою, якщо крива (годограф) Михайлова при зміненні частоти від 0 до , починаючись на дійсній додатній піввісі, охоплює початок координат і послідовно тільки проти часової стрілки обходить n квадрантів координатної площини.

Частотний критерій Найквіста

Критерій був сформульований в 1932 р. американським фізиком Х. Найквістом, який займався дослідженням електронних підсилювачів зі зворотним зв’язком.

Основне формулювання критерію Найквіста є справедливим для систем, які в розімкненому стані є стійкими:

Система автоматичного керування є стійкою, якщо амплітудно-фазова характеристика Wр(j) розімкненого контуру не охоплює точку з координатами (-1, j0).

Для судження про стійкість систем, які мають АФХ складної форми, коли характеристика перетинає дійсну вісь лівіше точки (-1, j0) декілька разів, можна використовувати правило переходів, сформульоване Я.З.  Ципкіним:

АФХ не охоплює точку (-1, j0), тобто система є стійкою, якщо при зростанні різниця між кількістю додатних (зверху вниз) та від’ємних (знизу вверх) переходів АФХ через вісь абсцис зліва від точки (-1, j0) дорівнює нулю.

Частота, при якій амплітудна характеристика A() (модуль функції W(j)) приймає значення 1, називають частотою зрізу та позначають зр. Частота, при якій фазовий зсув () = –, позначають .

Основні властивості АФХ розімкненої системи:

  1.  Якщо розімкнена система не має інтегруючих ланок, то її АФХ починається на уявній вісі. При цьому P(0) = k.
  2.  При  =  АФХ прямує до початку координат.
  3.  Якщо розімкнена система має одну інтегруючу ланку, то її АФХ починається в нескінченості на від’ємній піввісі і закінчується на початку координат.

5. Синтез САК виходячи з умов стійкості

При синтезі САК виникає задача вибору таких параметрів її елементів, при яких система буде стійкою. Для того, щоб зробити такий вибір, потрібно підставити значення параметрів, які цікавлять, в характеристичне рівняння системи або в передаточну функцію в загальному вигляді. Далі потрібно використати обраний критерій (записати умову, при якій система буде стійкою). В результаті отримують рівняння, за яким визначають параметри, які нас цікавлять.

Допустимі межі варіювання параметрів системи можна визначити шляхом побудови областей стійкості. Областю стійкості називають область, яка виділяє зі всіх можливих значень параметрів лише ті, при яких система є стійкою. Поверхня, що обмежує область стійкості, називається межею області стійкості.

Приклад: Нехай характеристичне рівняння має вигляд:

.

Визначити допустимі значення параметрів системи, що задовольняють умовам стійкості.

Фактори, які впливають на стійкість:

а) Структура системи.

Існують системи, які є нестійкими при будь-яких значеннях параметрів. Такі системи називають структурно-нестійкими. Структурно нестійку систему можна зробити стійкою, змінивши її структуру.

Деякі ланки погіршують стійкість системи, а деякі – покращують. До першої групи відносяться наступні ланки

– ідеальна інтегруюча

;

– нестійка статична першого порядку

;

– консервативна (ідеальна коливальна)

.

Ланками, які покращують стійкість системи, є форсуючі ланки. Звичайно використовують форсуючі ланки першого порядку

.

б) Коефіцієнт підсилення розімкненої системи.

Нехай передаточна функція розімкненої системи

.

де R(p), Q(p) – поліноми від р, в яких вільний член дорівнює одиниці; k – коефіцієнт підсилення розімкне

Збільшуючи k, ми збільшуємо модуль АФХ

.

При збільшенні коефіцієнта k точка перетину кривої з уявною віссю буде зміщуватися вліво.

7. Запас стійкості

Запас стійкості – це кількісна оцінка відстані значень параметрів системи або її характеристик від зони, небезпечної з точки зору стійкості.

Запас стійкості за критерієм Михайлова дорівнює радіусу кола а, в яке не повинна входити крива Михайлова. Центром кола є небезпечна точка при використанні кривої Михайлова – (0, 0).

При використанні критерію Найквіста небезпечною точкою є т. (-1, 0j). Оцінка виходячи з цього критерію здійснюється за амплітудою та за фазою. Запас стійкості за амплітудою дорівнює відстані від точки перетину АФХ розімкненої системи уявної вісі до точки з координатами (-1, 0j), а запас за фазою дорівнює куту між уявно віссю та вектором, проведеним з початку координат в точку перетину з колом одиничного радіусу.

,

.

При оцінюванні стійкості за ЛАЧХ та ЛФЧХ запас стійкості за амплітудою визначається як ордината ЛАЧХ при фазі –. Запас стійкості за фазою визначається на основі фазової характеристики при частоті зрізу.

дБ,

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60451. Орієнтація на творчу реалізацію особистості методом проектів 81.5 KB
  Усе своє життя ми відшуковуємо та накопичуємо знання піднімаємо свій освітній рівень. При цьому знання це не тільки те що дають нам книги телебачення школа а й те що ми отримуємо та використовуємо у процесі праці та спілкування з людьми накопичуючи життєвий досвід.
60454. Writing Esseys 81.5 KB
  I think that writing can be a challenge for most of the students. I don’t find it is an easy process. Even though I myself enjoy writing as it is a way to make connections with the world outside.