69488

Расчёт дисперсионных характеристик круглого оптического волновода

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Целью работы является получение уравнений характеризующих направляемые волноводом электромагнитные волны ЭМВ а также получение дисперсионного уравнения определяющего характеристики распространения ЭМВ по волноводу.

Русский

2014-10-05

809.5 KB

20 чел.

17

Рисунок 2.1 – Цилиндрическая система координат в ОВ

Ось волокна

Сердце
вина
волокна

Направление распространения волны

z 

x 

y 

r 

 α

Рисунок 1.1 – Схема  строения ОВ со ступенчатым ППП

Буферное покрытие

Оболочка

Сердцевина

Рисунок 3.3 – Структура электрического поля в поперечном сечении оптического волокна для мод низких порядков

Е01

НЕ21

Н01

НЕ11

Мода наименьшего порядка

Первые моды

более высокого

порядка

 

ЕН21

НЕ12;

ЕН11; НЕ31

E01; H01;НЕ21

РЕФЕРАТ

Курсовая работа 19 с., 5 рис., 2 источника.

КРУГЛЫЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД, ОПТИЧЕСКОЕ ВОЛОКНО, СТУПЕНЧАТЫЙ ПРОФИЛЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ, ДИСПЕРСИОННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Предметом исследования является распространение световых электромагнитных волн в круглом диэлектрическом волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления.

Цель работы — получение дисперсионных характеристик, позволяющих определить основные характеристики направляющей системы — оптического волновода.

В процессе работы был произведён численный расчёт фазовых и групповых скоростей, постоянной распространения для мод волновода с заданными параметрами. Получено дисперсионное уравнение для оптического волновода со ступенчатым профилем показателя преломления.

Приведены выражения для компонент поля, которые могут быть использованы для расчёта соотношений мощностей отдельных типов волн при проектировании датчиков, на основе маломодовых оптических волокон.


"УТВЕРЖДАЮ"

Зав. каф. СВЧиКР

________ Шарангович С.Н.

"___"___________2002г.

ЗАДАНИЕ № 04

на курсовую работу по дисциплине " Электромагнитные поля и волны"

студенту гр. 150 Замотаеву Леониду Сергеевичу

  1.  Тема работы: Расчёт дисперсионных характеристик круглого оптического волновода
  2.  Срок сдачи работы на кафедру: 20 мая 2002г.
  3.  Цель: получить дисперсионное уравнение для круглого оптического волокна со ступенчатым профилем показателя преломления, проанализировать структуру полей и характеристики направляемых волн.
  4.  Рекомендуемая литература:
    1.  Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1987.-656с.
    2.  Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн.- М.: Наука, 1989. - 568 с.

  1.  Дополнительную литературу студент ищет самостоятельно в зависимости от темы и сложности задания.
  2.  Задачи:
    1.  Вывести дисперсионное уравнение с учётом граничных условий.
    2.  Получить приближённые соотношения для расчёта характеристик распространения.
    3.  Определить типы направляемых волн.
    4.  Рассчитать характеристики первых восьми мод для оптического волокна с заданными параметрами.
    5.  Построить дисперсионные характеристики  и  (последний – с нормировкой по уровням и).

  1.  Исходные данные:
    1.  Параметры ОВ:

  1.  
    Состав пояснительной записки:
    1.  Титульный лист.
    2.  Аннотация.
    3.  Лист задания с подписью руководителя.
    4.  Содержание.
    5.  Введение. Постановка задачи.
    6.  Получение расчётных соотношений.
    7.  Результаты расчёта для заданного оптического волокна
    8.  Выводы по проделанной работе.
    9.  Список использованных источников.

  1.  Отчетность по работе:
    1.  Пояснительная записка, в обязательном порядке со всеми разделами по п.7. без исключения.
    2.  После оформления пояснительной записки – защита на кафедре.

Дата выдачи задания "___"__________2002г.

Подпись руководителя  ______________ Ефанов В.И.

Подпись студента  ______________ Замотаев Л.С.


Содержание


  1.  Введение

Целью работы является получение уравнений, характеризующих направляемые волноводом электромагнитные волны (ЭМВ), а также получение дисперсионного уравнения, определяющего характеристики распространения ЭМВ по волноводу.

Мир вступил в информационную эру. Это означает, что уровень развития любой страны будет определяться прежде всего уровнем информатизации, базирующейся на волоконно-оптических системах связи и передачи информации (ВОСП). Уже сейчас волоконно-оптические технологии определяют состояние таких важных сфер государственной деятельности, как экономика, образование, оборона. Другими словами, волоконно-оптическая связь является одной из тех областей современной техники, которые оказывают наибольшее воздействие на развитие общества.

Передача информации по оптическим волокнам с высокими скоростями (1–100 Гбит/с и выше) — исключительно сложная научно-техническая проблема. Использование оптического (лазерного) излучения для передачи информации вместо радиоволн позволяет увеличить скорость передачи информации примерно в сто тысяч раз. Движущей силой в развитии высокоскоростных ВОСП является Интернет. Потребность Интернета в скорости передачи информации удваивается каждые несколько месяцев.

На данный момент в мире произведено более 70 млн. км оптических волокон. Каждую минуту в системах связи прокладывают более 100 км оптических волокон. Все материки связаны между собой подводными волоконно-оптическими кабелями, общая длина которых достаточна, чтобы обмотать земной шар 6 раз. В настоящее время большая часть информации передаётся между континентами по оптическим волокнам, а не через спутниковую связь.

Один из наиболее важных компонентов в любой ВОСП – само оптическое волокно, так как его характеристики передачи играют большую роль в определении характеристики всей системы. Оптическое волокно — это диэлектрический волновод, работающий на оптических частотах. Обычно оптические волноводы имеют цилиндрическую форму. Оптическое волокно (ОВ) ограничивает электромагнитную энергию в форме света в пределах своей поверхности, проводя свет в направлении параллельном своей оси. Передающие свойства ОВ продиктованы характеристиками его строения. Строение, по сути, устанавливает информационную ёмкость волокна и так же определяет реакцию ОВ на воздействие окружающей среды.

Распространение света по ОВ может быть описано в виде множества направляемых им электромагнитных волн, называемых модами ОВ. Только определённое целое число мод способно распространяться по ОВ. Эти моды — это те электромагнитные волны, которые удовлетворяют уравнению однородной волны и граничным условиям поверхности ОВ.

Хотя множество различных видов оптических волокон обсуждается в литературе, наиболее признана структура в виде одного сплошного диэлектрического цилиндра радиуса a с показателем преломления n1, показанная на рисунке 1.1. Этот цилиндр называют сердцевиной волокна. Сердцевина окружена сплошной диэлектрической оболочкой с показателем преломления n2, меньшим чем n1. Хотя, в принципе, оболочка не является необходимой для прохождения света через сердцевину кабеля, она выполняет несколько важных функций. Оболочка уменьшает потери на рассеивание, возникающее в результате прерывистости диэлектрика на поверхности сердцевины, она добавляет механической прочности волокну, и она защищает сердцевину от поглощающих поверхностных загрязнений с которыми сердцевина может вступить в контакт.

В волокнах с низкими и средними потерями материалом сердцевины обычно является стекло, окружённое тоже стеклянной оболочкой.  Изменения в составе материала сердцевины порождают два обычно используемых типа волокна. В первом случаи показатель преломления сердцевины одинаков на всем протяжении и подвергается резкому изменению (ступени) на границе с оболочкой. Такое волокно называется волокном со ступенчатым профилем показателя преломления (ППП) или просто ступенчатым волокном. Во втором случае показатель преломления сердцевины является функцией от расстояния до центра волокна. Такое волокно называется волокном с градиентным ППП или просто градиентным волокном.

В данной работе рассматривается стеклянное ступенчатое оптическое волокно.


  1.  Вывод дисперсионного уравнения
    1.  Векторные волновые уравнения

Для анализа оптического волокна рассмотрим уравнения Максвелла, которые задают связь между электрическими и магнитными полями. Возьмём линейный изотропный материал не имеющий тока и свободных зарядов. Для него эти уравнения примут вид:

 

 

 

 

где D = E и B = H. Коэффициент - диэлектрическая постоянная, а - магнитная проницаемость среды. Так как поле является монохроматическим, можно перейти от векторов поля к их комплексным амплитудам избавившись, таким образом, от временной зависимости. Заменим для этого векторы поля в  и  на их комплексное представление:

, где

 

 

 

Связь определяющая волновое явление в виде электромагнитных полей может быть получена из уравнений Максвелла. Беря ротор уравнения  и используя уравнение  получаем:

 

Используя векторное тождество

 

и используя уравнение  (что), получим:

, где

- волновое число

Производя аналогичные действия для  получим:

 

Формулы  и  – это стандартные волновые уравнения.

  1.  Круглый оптический волновод

Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль цилиндрического волокна, показанного на рисунке 2.1. Для этого волокна определим цилиндрическую систему координат  так, что ось z лежит вдоль оси оптического волокна. Если электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, она имеет функциональную зависимость вида:

 

 

которая гармонична по времени t и координате z. Коэффициент - это z компонента вектора распространения и она определяется граничными условиями электромагнитного поля на переходе сердцевина-оболочка описанными далее.

 

При подстановке выражений  и  в уравнения Максвелла, имеем, из уравнения :

 

 

 

и из уравнения :

 

   

Исключая переменные эти уравнения могут быть переписаны так, что когда Ez и Hz известны, оставшиеся поперечные компоненты Er , E , Hr и H могут быть определены по известным. Например, E и Hr могут быть исключены из уравнения  и  так, что компоненты H или Er , соответственно, могут быть найдены через Ez или Hz . Проделав это получаем:

 

 

 

 

Подставляя уравнения  и  в формулу  получаем волновое уравнение в цилиндрических координатах

 

подстановка уравнений  и  в формулу  приводит к

 

Интересно отметить, что уравнения  и  содержат или только Ez  или Hz. Это похоже предполагает, что продольные составляющие Е и Н не соединены и могут быть выбраны произвольно, при условии, что они удовлетворяют уравнениям  и . Однако соединение Ez и Hz требуется граничными условиями составляющих электромагнитного поля, описанными далее. Если граничные условия не приводят к соединению между компонентами поля, модовое решение может быть получено когда или Ez = 0 или Hz = 0 . Когда Ez = 0 моды называют магнитными или Н модами, а когда Hz = 0 – электрическими или Е модами. Смешанные моды получаются если и Ez и Hz не нулевые. Их обозначают НЕ или ЕН, в зависимости от того, какая составляющая Hz или Ez , соответственно, вносит больший вклад в поперечное поле. Факт наличия в оптическом волокне смешанных мод делает анализ более сложным, чем в упрощенном случае с цельным металлическим волноводом, где присутствуют только Е и Н волны.

  1.  Поля мод волновода

Сейчас используем полученные выше выводы для нахождения направляемых мод в ступенчатом волокне. Стандартной математической процедурой для решения уравнений таких как  является метод разделения переменных, в котором решение принимает вид

 

Как уже было принято, коэффициенты, зависящие от времени и z заданы как

 

так как волна синусоидальна во времени и по направлению z. Кроме того, из-за круговой симметрии ОВ, каждая составляющая поля не должна изменяться, когда координата увеличивается на 2. Таким образом, принимаем периодическую функцию вида

 

Постоянная п может быть положительной или отрицательной, но она должна быть целой, так как поле должно быть периодичным по с периодом 2.

Подставляя уравнение  в формулу , уравнение волны для Ez (формула ) принимает вид

 

это стандартное дифференциальное уравнение функции Бесселя. Точно такое же уравнение получается для Hz .

В качестве конфигурации ступенчатого волокна примем однородную сердцевину с показателем преломления n1 и радиуса а, которая окружена безграничной оболочкой с показателем п2. Поводом для принятия бесконечной толщины оболочки является то, что направляемые моды сердцевины имеют экспоненциально затухающие поля за пределами сердцевины, которые должны иметь малые значения на другой границе оболочки. На практике оптическое волокно разрабатывается с достаточно толстой оболочкой, так что поля проводимых мод не достигают другой границы оболочки. Поля гармонически изменяются в направляющей зоне с показателем преломления п1 и экспоненциально затухают за пределами этой зоны.

Уравнение  должно быть решено для зоны внутри сердцевины и вне неё. Для внутренней зоны решения для проводимых мод должны быть конечны при  r0, тогда как решения для внешней зоны должны 0 при  r. Таким образом, для r < a решениями будут функции Бесселя первого рода порядка п. Для этих функций используем следующие обозначения, где  – поперечная составляющая  – волнового вектора в сердцевине . Выражения для Ez и Hz внутри сердцевины будут

 

 

где А и В – произвольные константы.

Вне сердцевины решения уравнения  задаются модифицированными функциями Ханкеля первого рода, где, а  – волновой вектор в оболочке. Функция Ханкеля выбрана из за того, что она является единственной цилиндрической функцией , быстро стремящейся к нулю при увеличении r. Выражения для Ez  и Hz вне сердцевины следовательно будут иметь вид:

 

 

где С и D – произвольные константы.

Из определения модифицированной функции Ханкеля видно, что при wr  . Так как  должно стремиться к нулю при r , то. Что, в свою очередь, означает, что, а это представляет собой состояние отсечки. Состояние отсечки – это состояние при котором мода больше не ограничивается зоной сердцевины. Второе условие для может быть получено из поведения. Внутри сердцевины параметр  должен быть вещественен для F1, чтобы она была вещественна, из чего следует, что . Следовательно, допустимым диапазоном для граничных решений будет являться:

 

где– волновое число в вакууме.

Решения для должны быть найдены из граничных условий. Граничные условия требуют, чтобы тангенциальные компоненты E  и Ez от Е внутри и снаружи диэлектрического перехода при r = a были равны, то же условие для тангенциальных компонент H и Hz. Вначале рассмотрим тангенциальные компоненты Е. Из формулы  для внутренней зоны (Ez =Ez1) и из формулы  для внешней зоны (Ez =Ez2) имеем, что

 

компонента может быть найдена из уравнения . Внутри сердцевины коэффициент задаётся как:

 

где, в то время, как вне сердцевины:

 

где. Подставим выражения  и  в формулу  для нахождения E 1, а так же используем выражения  и  для определения E 2, примем что r = a 

 

где разница главных показателей учитывает аргумент.

Так же для тангенциальных компонент Н получаем, что при r = a 

 

и

 

Формулы , ,  и  образуют четыре уравнения с четырьмя неизвестными коэффициентами A, B, C и D. Эти уравнения имеют решение только если определитель матрицы полученной системы линейных уравнений относительно этих коэффициентов равен нулю:

 

Раскрывая этот определитель получаем следующее уравнение для нахождения собственных значений для :

 

Только некоторые дискретные значения , найденные при решении уравнения , попадут в интервал заданный выражением . Хотя выражение  – это сложное трансцендентное уравнение, которое решается численными методами, его решение для любой отдельной моды даст все характеристики этой моды. Рассмотрим это уравнение для некоторых мод низкого порядка в ступенчатом оптическом волокне.


  1.  Типы направляемых волн и расчёт дисперсионных характеристик
    1.   Моды в волноводе со ступенчатым профилем показателя преломления

Решение полученного дисперсионного уравнения в общем виде достаточно сложно даже при использовании численных методов расчёта. Для облегчения описания мод, в начале исследуем поведение функции Бесселя J–типа. Функция Бесселя J–типа является гармонической функцией, так как она обладает колеблющимся поведением для действительных значений порядка, подобным случаю с синусоидальной функцией. Из за колеблющегося поведения Jn имеем корень mой степени из формулы  для заданного значения п. Этот корень будет определять nm, и соответствующие моды будут или Епm, Нпm, ЕНпm, или НЕnm. 

Индекс п для моды называется азимутальным и показывает число вариаций поля при изменении угла  (это непосредственно следует из уравнения ). Индекс т – радиальный индекс, который показывает число вариаций поля по радиусу ОВ.

Для диэлектрического оптического волокна все моды будут смешанными за исключением, тех для которых п = 0. Когда п = 0 правая часть выражения  исчезает и появляются два различных уравнения для нахождения собственных значений. Это:

 

или, используя соотношения для  и,

 

которое соответствует Н0m модам (Ez = 0), и

 

или

 

которое соответствует Е0m модам (Hz = 0).

Когда п 0 ситуация усложняется и численные методы необходимые для решения уравнения  также усложняются. Однако, упрощённое и очень точное приближение, базирующееся на принципе, что показатели преломления сердцевины и оболочки почти равны, было предложено Снайдером и Глогом. Условие  было получено Глогом, как вызывающее слабо направляемые моды.

Исследуем условие отсечки для мод оптического волновода. Как было упомянуто по отношению к формуле , мода относится к испытывающим отсечку, когда более не удерживается сердцевиной волокна, так что её поле больше не затухает вне сердцевины. Отсечка для различных мод может быть найдена как предел, к которому стремится выражение  при. Это, в общем случае, слишком сложно, поэтому были получены примерные результаты приведённые в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Условия отсечки для некоторых мод низкого порядка.

Моды

Условие отсечки

0

Н0m, Е0m

1

НЕ1m, ЕН1m

≥2

ЕНnm

НЕnm

  1.  Вывод расчётных соотношений для дисперсионных характеристик

Решая приведённые в таблице 3.1 уравнения для каждой моды получим предельное значение, получим зависимость  (приблизительную, так как точную получить невозможно). В режиме отсечки, тогда из выражения  получаем:

 

подставляя получены результат в  получаем:

 

преобразуем:

 

используя выражение для  и учитывая, что система находится в режиме отсечки получаем:

 

используя граничные условия для   получаем:

 

Общепринято изображать дисперсионные характеристики в терминах, преобразовав предыдущее  выражение получим:

 

Получим соотношения для фазовой и групповой скоростей.

 

 

где с – скорость света.

  1.  
    План расчёта характеристик проводимых волн

Приведём план для расчёта характеристик распространения проводимых волн.

Для начала выбираем тип исследуемой моды. (Для получения списка всех мод существующих в ОВ с заданными параметрами необходимо решить уравнения приведённые в таблице 3.1 для всех порядков проверяя получающиеся значения   на соответствие граничным условиям , применяя для перехода к  выражение .)

По типу моды выбираем уравнение из таблицы 3.1. И производим вычисление его корней. Из полученного множества корней выбираем тот, порядковый номер которого соответствует индексу т моды. Соответствие задаётся следующим правилом: нулевой корень всегда соответствует моде НЕ11, для мод нулевого порядка H0m, E0m корни одинаковые (такие моды называют вырожденными); для мод первого порядка тоже самое отбрасывая НЕ11, для мод высших порядков корни соответствующие ЕН и НЕ находятся по разным выражениям и отбрасывается первый (нулевой) корень.

Получив значение  и используя формулу  определяем длину волны отсечки. Проверяем выполнение условия распространения, где  – длина волны света запускаемого в ОВ.  Подставив полученное значение  в ,  и  определяем характеристики распространения проводимых мод: продольный коэффициент распространения, фазовую и групповую скорости.

Для построения дисперсионной характеристики для данной моды воспользуемся формулой .

Если необходимо построить картину поля в ОВ необходимо подставить найденное значение  в определитель , решить полученную систему линейных уравнений, найдя таким образом постоянные А,В,С и D. Затем подставляя их в выражения  и ;  и  найдём продольные составляющие электрического и магнитного полей в сердцевине и оболочке ОВ, соответственно. Далее используя формулы  и ,  и  найдём поперечные компоненты полей. Для мод порядка выше 0 (гибридные НЕ и ЕН волны) построение картины поля достаточно сложно.

  1.  Расчёт заданного многомодового волновода

Для расчёта возьмём следующие параметры волновода:

Пользуясь методикой раздела 3.3 произведём анализ первых восьми мод волновода. Рассчитав корни для уравнений таблицы 3.1 выбираем ноль и 5 наименьших (так как моды попарно вырождаются):

Таблица 3.2 - Значения  для требуемых мод

п

т

Корень

Моды

0

1

2.405

E01, H01 

1

1

0

НЕ11

2

3.831

НЕ12, ЕН11

2

1

5.136

ЕН21

1

2.413

НЕ21

3

1

3.842

НЕ31

Данные последующих расчётов сведены в таблицу 3.3.


Таблица 3.3 - Значения некоторых характеристик распространения
исследуемых мод

Моды

, мкм

1/м

м/с

E01, H01

13,4

7.037

2.061

НЕ11

0

7.031*

2.062

НЕ12, ЕН11

8.42

7.036

2.061

ЕН21

6.28

7.034

2.061

НЕ21

13.4

7.037

2.061

НЕ31

8.39

7.035

2.061

* расчет произведен по выражению  численными методами

Произведём построение дисперсионных характеристик:

На рисунках 3.1 и 3.2 приведены полученные дисперсионные характеристики для исследуемых мод низких порядков. Необходимо отметить, что первый график не может отобразить разницу между функциями в силу относительной малости их различия. По второму графику можем заметить что группы мод (E01; H01;НЕ21) и (НЕ12; ЕН11; НЕ31) вырождаются (что соответствует теории [2]), то есть распространяются с одинаковыми характеристиками, но имеют разную структуру поля. Второй график так же отображает состояние отсечки в достаточно наглядной форме.

На рисунке 3.3 взятом из монографии [2] показано распределение поперечной компоненты электрического поля для некоторых из исследованных мод.

Из проведённого анализа получили, что основным типом волны в оптическом волноводе является волна НЕ11, которая не испытывает состояние отсечки и присутствует во всём диапазоне рабочих длин волн


  1.  Заключение

В результате выполнения работы был получен практический навык расчёта электромагнитных полей в направляющих системах — в данном случае оптического волокна. Выполнен детальный расчёт компонент поля, получены трансцендентные уравнения — дисперсионные уравнения. Выполнен численный расчёт постоянной распространения волноводных мод.

Проведённый анализ модового состава имеет практическую ценность для маломодовых волноводов, где можно рассчитать и построить структуру всех существующих полей, в то время как для многомодовых большую ценность имеют дисперсионные характеристики так же полученные в ходе анализа.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании датчиков измеряющих физические величины такие как масса, скорость, давление и др., основанных на оптическом волокне работающем в маломодовом режиме.

Знание волновой дисперсии в оптическом волокне позволяет подбирать параметры волокна для получения требуемых дисперсионных зависимостей, например волокно со сдвигом дисперсии и с компенсацией дисперсии.

Полученные в ходе выполнения работы соотношения позволяют определить распределение энергии ЭМВ по модам в оптическом волокне, что существенно при построении устройств на связанных волнах, например направленных ответвителей.



Список использованных источников

1    Боков Л.А. Электродинамика и распространение радиоволн.- Томск: ТМЦДО, 2001.-217 с.

2    Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1987.-656с.

3    Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика и распространение радиоволн.- М.: Наука, 1989. - 568 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46131. Сигматизм. Определение, этиология, виды. Логопедические технологии устранения сигматизма у детей 40 KB
  Кончик языка упирается в нижние резцы передняя часть спинки языка выгнута. При таком укладе образуется узкий проход круглая щель между кончиком языка и передними верхними зубами. Вдоль языка по его средней линии образуется желобок. Для звука характерна сложная язычная артикуляция: он начинается со смычного элемента как при т при этом кончик языка опущен и касается нижних зубов.
46132. Вивчення властивостей альгінату натрію з метою використання його у технології десертної продукції молодіжного кафе "Граціо" 2.03 MB
  Створення такого підприємства харчування як кафе це крок вперед на шляху до гідного дозвілля молоді а отже і добробуту майбутньої нації 1. ОБГРУНТУВАННЯ ПРОЕКТУ КАФЕ 1. Маркетингове обґрунтування проекту кафе що проектується 1. Характеристика маркетингового середовища кафе що проектується Науково розроблена концепція аналізу та обліку вимог покупців вимог конкретного сегменту ринку розробка відповідно до виявлених вимог нового товару система організації його продажу включаючи заходи стимулювання та реклами а також система...
46133. Учебно-методический комплекс «Дискретная математика» 1.5 MB
  Множество элементами которого являются множества обычно называется классом или семейством. Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного достаточно широкого множества U своего для каждого случая которое называется универсальным множеством или универсумом. Множество X называется конечным если оно эквивалентно Jn при некоторомn. Число n называется количеством или числом элементов множества X.
46134. Практичне використання контролінгу в плануванні виробничої програми підприємства 636.46 KB
  Використання контролінгу в планування виробничої програми підприємства Організаційноекономічна характеристика підприємства Визначення пріоритетних напрямів розвитку підприємства
46135. Понятие, предмет и метод налогового права 26.5 KB
  Таким образом предметом налогового права является группа однородных отношений складывающихся между государством налогоплательщиками и иными лицами по поводу установления введения и взимания налогов. Однако применение в налоговом праве преимущественно императивного способа не исключает использования рекомендаций согласований и права выбора в поведении подчиненного субъектаналогоплательщика метод координации. С учетом вышеизложенного представляется возможным дать определение понятию налогового права.
46136. Учет и отчетность в банках. Учебное пособие 271.09 KB
  Содержит основные положения по организации бухгалтерского учета в банках типовые бухгалтерские проводки по операциям осуществляемым банками такие как: кассовые расчетные депозитные кредитные операции. Бухгалтерский учет предоставления денежных средств клиентузаемщику в балансе банкакредитора 8. Бухгалтерский учет операций по возврату погашению денежных средств в балансе банкакредитора 8.
46137. Связь самооценки школьника с его статусным положением в системе межличностных отношений 1.79 MB
  Понятие самооценки. Развитие самооценки в онтогенезе. Роль самооценки в развитии межличностных отношений. Общая характеристика методик определения самооценки личности.
46138. Определение, структура и виды перевода 63 KB
  В процессе перевода происходит не просто замена одного языка другим в нем сталкиваются различные культуры разные личности разные склады мышления разные литературы разные эпохи разные уровни развития разные традиции и установки. Точный перевод уже по определению невозможен потому что разные языки отличаются как по грамматическому строю так и по простому количеству слов не говоря уже о различии культур что тоже может иметь влияние на способ и результат перевода. Предпосылки появления теории перевода Основы научной теории перевода...
46139. Математика народов Средней Азии, Ближнего и Среднего Востока 279.86 KB
  Теория отношений и действительные числа. Арабские купцы часто записывали числа словами. Дроби записывали на индийский манер: знаменатель над числителем а целую часть числа писали над числителем. Александрийские астрономы применяли смешанную десятичную – шестидесятиричную систему: целые числа в том числе числители дробей они писали по десятичной системе.