6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

65 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79336. Размножение папоротников в оранжерейных условиях 198 KB
  Целью настоящей работы является освоение методики выращивания папоротников и изучение начальных этапов их онтогенеза. Для достижения этой цели потребовалось выполнение следующих задач: Познакомиться со способами размножения растений. Дать ботаническую характеристику исследуемых видов папоротников.
79337. Функционирование рынка ценных бумаг и деятельность фондовой биржи на рынке Кыргызской Фондовой Биржи 1.28 MB
  Цель данной дипломной работы изучить функционирование рынка ценных бумаг, деятельность фондовой биржи на этом рынке, как можно шире ознакомиться с ней и в последствие применить на практике. В дипломной работе используется практический материал, представленной Кыргызской Фондовой Биржей.
79338. Отладка эффективности OpenMP-программ 1.07 MB
  В современных условиях необходимость обработки все больших и больших объемов информации постоянно ставит перед программистами задачи повышения производительности разрабатываемых ими систем. Поскольку сейчас широкое распространение получили многоядерные процессоры, практически в любой системе используются SMP-элементы.
79339. Созданию формализованной системы управления на ЗАО “Смайл Интернешнэл” 1.92 MB
  В сложившейся ситуации гибкая и оперативная реакция на малейшие изменения рыночной конъюнктуры, отслеживание тенденций, настроений участников рынка, квалифицированный брендинг и маркетинг – необходимые условия финансовой устойчивости и рентабельности любой компании-производителя.
79340. Фестиваль хімічних елементів 48 KB
  Відома вам вона мабуть Всі запросила елементи До нас у гості вже вона. Настроїли ми інструменти І линь музико чарівна Хімічна мова ця чудова І букв палітра кольорова Всіх зачарує вас. У всіх спереду прикріплено великі таблички з написами відповідних елементів.
79341. Хімічна мозаїка 69.5 KB
  Мета: показати різноманітність хімічних речовин, їх широке застосування у господарській діяльності людини, у побуті; у ігровій формі вивчити формули речовин; познайомити учнів із шкідливим впливом деяких з них.
79342. Через терни до зірок 779.5 KB
  Мета: зацікавити учнів космонавтикою, фізикою, астрономією. Розповісти про вчених – земляків, які освоювали космос. Розвивати інтерес учнів, розширити кругозір, формувати уміння аналізувати, робити висновки. Виховувати патріотичні почуття, гордість за співвітчизників.
79344. Площадь прямоугольника 30.1 KB
  Цели урока: формирование совокупности компетенций, необходимых для вычисления площади прямоугольника развивать мыслительные операции; воспитывать прилежание, аккуратность, стремление к выполнению всех заданий; уважение друг к другу...