6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

65 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83043. Зовнішня морфологія пагона 308.54 KB
  У пазухах розміщені пазушні бруньки. Первинний пагін бере початок із зародкової брунькию. Головний пагін є першим за походженням; його розвиток починається від початку формування зародку до відмирання його конусу наростання; бічний пагін пагін що утворився з бічної бруньки...
83044. Методы экспертных оценок в прогнозировании 72 KB
  Их использование позволяет получить продуктивные результаты за короткий период времени и вовлечь всех экспертов в активный творческий процесс. Дельфийский метод В последние два десятилетия созданы отдельные методики позволяющие в определенной мере организовать статистическую обработку мнений...
83045. РАЗРАБОТКА ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТА АВТОМАТИЧЕСКОГО СБОРОЧНОГО ОБОРУДОВАНИЯ 144 KB
  Разработчики изделий и создатели оборудования не имеют единой методологии, не достаточно освещены методы анализа степени подготовленности изделий к автоматизированному производству, методы анализа линий, их оснащенности средствами контроля и автоматического управления.
83046. Кредитні операції комерційних банків 61.95 KB
  Безготівкові розрахунки - це перерахування банками певної суми коштів із рахунків платників на рахунки одержувачів коштів а також перерахування банками за дорученням підприємств і фізичних осіб коштів унесених ними готівкою в касу банку на рахунки одержувачів коштів.
83047. Золото и его сплавы 42.72 KB
  Примерно два с половиной тысячелетия назад появились первые золотые монеты. Родиной их стала Лидия – могущественное рабовладельческое государство, располагавшееся в западной части Малой Азии. Лидия вела обширную торговлю с Грецией и своими восточными соседями.
83048. Местное управление и самоуправление в идеологических процессах 48.44 KB
  Местное самоуправление в Республике Беларусь является существенным элементом конституционного строя республиканской Беларуси и одной из форм осуществления власти народа: это форма активного участия, организации и деятельности граждан для самостоятельного решения непосредственно или через избираемые...
83049. Биосфера как глобальная экосистема 41.99 KB
  Воздействие человека на биосферу сопровождающееся ухудшением качества воды сведением лесов или выбросом в атмосферу загрязняющих веществ может создать угрозу жизни на Земле. Первичный состав атмосферы Земли определили газообразные продукты химических реакций происходивших в первичном веществе...
83050. Семья как социальный институт 123.5 KB
  Характерные признаки семьи ее структура и функции. В свою очередь институт семьи включает множество более частных институтов а именно институт брака институт родства институт материнства и отцовства институт собственности институт социальной защиты детства и опеки и другие.
83051. Деятельность сотрудников ИУ при выявлении и на первоначальном этапе расследования убийства 81.9 KB
  Поэтому говоря о соблюдении прав осужденных следует помнить что по своему правовому статусу лица осужденные к отбыванию наказания в виде лишения свободы приговором суда частично ограничены в своих конституционных правах а оперативные работники действуя в пределах своих полномочий ограничивают...