6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

62 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67840. Суб’єкти кримінального процесу 175.5 KB
  Розглянувши та уяснив основні положення перших двох тем з яких Ви взнали поняття кримінального процесу та його принципи ми переходимо до вивчання більш важкої теми конкретизуючої більш посередньо учасників кримінального процесу.
67841. Доказательства в уголовном процессе 134.5 KB
  При расследовании любого уголовного дела и рассмотрение его в суде необходимо установить в точном соответствии с действительностью все фактические обстоятельства совершенного преступления. Вся сложность этой работы заключается в том, что следователь, прокурор и суд...
67842. Види джерел доказів 125 KB
  Показання осіб які приймають участь у процесі як джерело доказів показання свідків потерпілого підозрюваного і обвинуваченого Речові докази як джерело доказів. Протоколи слідчих і судових дій інші документи як джерела доказів у кримінальному процесі.
67843. Порушення кримінальної справи 196.5 KB
  У період переходу до ринкової економіки, побудови правової держави одним із завдань є забезпечення судового додержання законності у всіх сферах діяльності суспільства. Це, зокрема, стосується правоохоронної діяльності, розширення і поглиблення досліджень проблем кримінально-процесуального права...
67844. Дізнання та досудове слідство 135 KB
  Всебічність повнота і об’єктивність розгляду кримінальної справи в суді та її вирішення потребують великої і кваліфікованої підготовчої роботи. Тому за законом переважна більшість кримінальних справ повинна проходити стадію досудового розслідування.
67845. Дізнання та попереднє слідство 148.5 KB
  Органи попереднього розслідування виконують свою діяльність на основі законності. Вони повинні дотримуватися Конституції України ті інших законів. Конституцією гарантуються такі права та свободи громадян, як недоторканість особи, житла, які можуть бути затронуті в ході попереднього слідства.
67846. Слідчі дії 160 KB
  Досудове слідство являє собою сукупність різноманітних процесуальних дій, тобто цілого комплексу дій органів слідства, дізнання, прокурора, пов’язаних з розслідуванням злочинів при провадженні в кримінальних справах, дій - регламентованих кримінально-процесуальним законом.
67847. Притягнення особи як обвинуваченого 95 KB
  Головною умовою досудового слідства є забезпечення суворого дотримання законності. На жаль, у діяльності слідчих органів внутрішніх справ зустрічаються випадки порушення законності і прав громадян, у тому, числі, зокрема при виконанні комплексу дій.
67848. Зупинення і закінчення досудового розслідування 134 KB
  Про затримання обвинуваченого, якого розшукували і щодо якого обрано запобіжний захід у вигляді взяття під варту, орган розшуку негайно доповідає судді за місцем затримання. Суддя протягом двадцяти чотирьох годин зобов’язаний перевірити, чи дійсно затриманий є тією особою, яка розшукується...