6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

66 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83683. Кримінологічна характеристика та запобігання статевим злочинам 194 KB
  Метою дослідження є визначення кримінологічної характеристики статевих злочинів, обґрунтування детермінант учинення цих злочинів у сучасній Україні, та розгляд заходів запобігання даної категорії злочинів. Об’єктом наукового дослідження виступає злочинність проти статевої свободи і статевої недоторканості особи.
83685. Управление ТРЦ «Светофор» 535.94 KB
  Этот вид управления ставит своей основной целью повышение доходности объекта и управление его стоимостью. Основной задачей property management является управление процессами маркетинговой, финансовой и юридической деятельности.
83686. Государственное регулирование внешней торговли и внешнеторговая политика Республики Беларусь 185.32 KB
  Цель курсовой работы – изучить государственное регулирование внешней торговли, зарубежный опыт государственного регулировния и внешнеторговую политику Республики Беларусь. В данной работе применяются аналитические и статистические методы исследования и обработки данных.
83687. Опричнина політика царя Івана Грозного в середині XVI століття 67.98 KB
  Формування передумов опричнини. Методи проведення опричної політики Відміна опричнини Наслідки опричнини Висновки Використані джерела та література Вступ Актуальність теми. Не варто й ототожнювати її з посилення самовладдя царя державною централізацією справі якої було завдано збитків у роки опричнини.
83688. Анализ прибыли и рентабельности 278 KB
  Анализ прибыли и рентабельности предприятия проводится с целью получения информации о способности предприятия зарабатывать прибыль и об его имущественном и финансовом состоянии, т. е. обеспеченности источниками для получения прибыли. Задачи работы: раскрыть факторный анализ прибыли и рентабельности...
83689. ОСОБЕННОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОПУЛЯРНОСТИ СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЕЙ РУНЕТА СРЕДИ РАЗЛИЧНЫХ СОЦИАЛЬНЫХ ГРУПП 305.81 KB
  Телекоммуникации с помощью социальных сетей принципиально новый пласт социальной реальности более подвижная и адаптивная форма организации способная развиваться вместе со своим окружением и эволюцией узлов которые составляют сети. Однако бум в развитии онлайновых социальных сетей начался в 2003-2004 гг.
83690. Исследование потребительских предпочтений молочной продукции на примере холдинга «Афанасий» 98.13 KB
  Качественные методы маркетинговых исследований направлены на изучение взглядов, отношений, мнений и интересов потребителей. Качественные методы позволяют исследователю разобраться в сложной и многообразной природе действий покупателей.