6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

66 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70799. Анализ платёжеспособности и ликвидности на предприятии ИП Беливанцева А.А. 131.69 KB
  Денежные средства организаций находятся в кассе в виде наличных денег и денежных документов на счетах в банках, в выставленных аккредитивах и на открытых особых счетах, чековых книжках и т.д. Основными задачами бухгалтерского учёта денежных средств являются: точный, полный и своевременный учёт...
70800. Управление дебиторской и кредиторской задолженностью предприятия как элемент финансовой политики 171.04 KB
  Важная роль в реализации предотвращения кризиса отводится управлению дебиторской и кредиторской задолженности предприятий. В ходе исследования были поставлены и решены следующие задачи: изучены теоретические основы анализа и управления кредиторской и дебиторской задолженностью...
70801. Оценка состояния и эффективности конституционной защиты социальных прав граждан РФ 94.69 KB
  Актуальность заключается в том, что проблема конституционной защиты социальных прав волнует большинство граждан в наше время. Так как все граждане обладают социальными правами и, соответственно, могут столкнуться с их нарушением.
70802. Разработка маркетинговой стратегии продвижения в строительной отрасли услуги по производству промышленных полов на примере ООО «Бетоникум» 1.33 MB
  В основе маркетинга лежит идея человеческих нужд. Нужды людей многообразны и сложны. Они не формируются усилиями рекламных агентств, а исходят от природы человека. Если нужда человека не удовлетворена, то он чувствует себя обездоленным и несчастным.
70804. ОСНОВНІ ТЕХНІКО-ЕКОНОМІЧНІ ПОКАЗНИКИ ДІЯЛЬНОСТІ ПАТ «ОБОЛОНЬ» 75.78 KB
  Завданням даного звіту з виробничої практики є дослідження всіх техніко-економічних показників даного підприємства. На основі даного дослідження розробити висновки, щодо діяльності підприємства.
70805. ДОКУМЕНТИРОВАНИЕ КАДРОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ПРЕДПРИЯТИИ ОПТОВО-РОЗНИЧНОЙ ТОРГОВЛИ (на примере ЗАО «Роспечать-Алтай») 448.5 KB
  Современные тенденции развития общества и становления российского предпринимательства во многом обусловлены формированием не только экономико-правового фундамента но и базы нормативно-трудового регулирования кадрового обеспечения деятельности организации.
70806. КРИМИНОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УБИЙСТВА МАТЕРЬЮ НОВОРОЖДЁННОГО РЕБЁНКА 163.48 KB
  Цели и задачи дипломного исследования. Основная цель дипломного исследования состоит в разработке теоретических основ квалификации убийства матерью новорождённого ребенка путем подробного анализа юридических признаков рассматриваемого преступления...
70807. ОСОБЕННОСТИ КУПЛИ-ПРОДАЖИ ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ 492.5 KB
  Цель настоящего исследования заключается в разработке на основе анализа существующей законодательной базы и судебной практики теоретических и практических положений, направленных на совершенствование гражданско-правового регулирования договора продажи жилых помещений.