6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

64 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36663. Організаційно-методичні принципи сертифікації в Україні 115 KB
  Прискоренню розвитку національної системи сертифікації сприяє активне міжнародне співробітництво України в галузі технічного регулювання, безпосередня участь у роботі міжнародних і регіональних організацій та їх технічних комітетів.
36664. Термореактивные полимеры и материалы на их основе 59.5 KB
  Термореактивные полимеры (смолы) применяются в качестве связующих веществ, в которые вводят обычно отвердители, наполнители, пластификаторы и другие модифицирующие добавки. Основными требованиями к связующим веществам являются: высокая клеящая способность (адгезия)
36665. Фінансова звітність, її зміст та інтерпретація 250 KB
  Методика аналізу фінансового стану підприємства на базі звітності. Фінансова звітність – це система взаємопов’язаних узагальнюючих показників що відображають фінансовий стан підприємства установи організації та результати діяльності за звітний період. Таблиця 1 Призначення компонентів фінансової звітності Компонент Призначення Баланс Інформація про фінансове становище підприємства на певну дату. Звіт про прибутки та збитки Інформація про доходи витрати та фінансові результати діяльності підприємства за звітний період Звіт про зміни у...
36666. Загальноприйняті принципи і системи обліку 255.5 KB
  Загальноприйняті принципи і системи обліку. ПЛАН Роль обліку в системі управління користувачі облікової інформації. Загальноприйняті принципи бухгалтерського обліку. Міжнародні організації зі стандартизації бухгалтерського обліку і звітності Склад та загальна характеристика міжнародних стандартів бухгалтерського обліку.
36667. Педагогіка вищої школи. Тексти лекцій 179.46 KB
  Структура методів навчання за джерелами знань ПЕДАГОГІЧНА МАЙСТЕРНІСТЬ Моральнодуховні якості гуманістична спрямованість; національна гідність; інтелігентність; життєві ідеали; совісність; чесність; правдивість; об’єктивність; толерантність. Професійні знання навчального предмета; анатомії і фізіології людини; психології; педагогіки; методики навчання. pais – дитя ago – веду керую – наука про навчання та виховання дітей.
36668. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРЕДПРИЯТИЙ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА 773.5 KB
  Стоимость зданий и сооружений по подгруппам производственные здания административнобытовые помещения складские помещения закрытая стоянка трансформаторная компрессорная склад газовых баллонов прочие отапливаемые помещения открытая стоянка определяется по формуле: Цз=цзi Vзi 1 где Цз – общая стоимость зданий и сооружений руб м3; цзi – стоимость одного м3 iой группы зданий или сооружений руб м3; Vзi – объем iой подгруппы зданий м3; N – количество всех оцениваемых зданий и сооружений ед. Стоимость открытой стоянки и затраты...
36669. Термодинамика и тепломассообмен 2.83 MB
  Первоначально же в середине XIX века она возникла как техническая термодинамика изучающая закономерности взаимного превращения теплоты в механическую работу и являющаяся теоретическим 4ундаментом теплотехники. На ее основе производится расчет и проектирование технологического оборудования для осуществления процессов деформации сушки термообработки и других формируются методы прямого преобразования теплоты в электрическую энергию проводится анализ эффективности термодинамических циклов процессов теплообмена изучаются...
36670. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Линейные системы управления 5.19 MB
  В учебном пособии излагаются методы анализа и синтеза линейных линеаризованных систем автоматического управления САУ базирующиеся на применении принципа обратной связи по выходной управляемой координате или по вектору координат состояния объекта управления. Продемонстрированы современные методы математического описания линейных объектов и систем во временной и частотной области показана взаимосвязь различных методов описания приведены наиболее распространенные в инженерной практике методы анализа и синтеза непрерывных и дискретных...
36671. СПЕЦИАЛЬНАЯ СЕМЕЙНАЯ ПЕДАГОГИКА 2.13 MB
  Типы семейного воспитания и их влияние на формирование личности ребенка. Проблема воспитания в семье ребенка с нарушением зрения182 6. Создание в семье оптимальных условий для полноценного развития ребенка с нарушениями речи. Семейное воспитание ребенка с ДЦП в раннем возрасте .