6976

Главные оси и главные моменты инерции

Доклад

Физика

Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае...

Русский

2013-01-11

32.5 KB

65 чел.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 6.8).

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых:

так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J

(относительно оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20560. Оптимизация многостадийных процессов. Постановка задачи 35.5 KB
  Записывая уравнение состояния каждой стадии в случае mстадийного процесса придем к системе уравнений высокой размерности. Если требуется найти управление на каждой стадии из условия min или max некоторой целевой функции то решение такой задачи встречает значительные трудности поскольку уравнения стадий представляют собой как правило систему нелинейных уравнений и ее решение на каждом шаге итерационного процесса поиска управления сложно. Математическое уравнение некоторой стадии представляет собой зависимость выходных параметров iой...
20561. Принцип оптимальности Беллмана 40.5 KB
  При применении принципа оптимальности критерий эффективности зависит от х0: 1 2 3 Обозначим через 4. формулировкой принципа оптимальности для дискретных процессов.
20562. Звільнення України від німецько-фашистських загарбників. Участь України в створенні ООН 25 KB
  Звільнення України від німецькофашистських загарбників. Участь України в створенні ООН. Після перемоги під Сталінградом радянське командування силами Південного ПівденноЗахідного та Воронезького фронтів почало визволення України від німецьких окупантів.Новий етап визволення України розпочався влітку 1943 р.
20563. Україна після другої світової війни. Перехід до мирного будівництва 25.5 KB
  Особлива увага приділялась відродженню важкої промисловості і залізничного транспорту вугільної промисловості республіки.Відбудова промисловості відбувалася виключно за рахунок зусиль населення і примусових заходів уряду щодо нього. була проведена грошова реформа що мала на меті примусове вилучення коштів у населення на відбудову промисловості.
20564. Повоєнний сталінський режим в Україні, репресії 40-50 рр 56 KB
  В цей же час сотні тисяч селян України інших республік вмирали від голоду. Поряд із цим у повоєнному розвитку України існувало чимало проблем. Серйозною проблемою для влади стала колективізація в селах Західної України котра викликала масовий спротив місцевого населення. Малося на увазі зокрема добровільне переселення українців Закерзоння назва походить від лінії Керзона за якою знаходилися землі Лемківщини Надсяння Холмщини та Підляшшя до радянської України.
20565. Національне питання в Радянській Україні в 60-х першій половині 80-х років. Дисидентський рух і його придушення 52.5 KB
  Через самвидав громадськість України СРСР закордону познайомилася з творами І. Так починався в СРСР рух який згодом одержав назву правозахисного й охопив переважно інтелігенцію. Метою правозахисного руху було: захист прав людини і прав народів СРСР боротьба проти русифікації боротьба за незалежну Україну та національне відродження. Першою в СРСР легальною організацією що виступила на захист прав людини була ініціативна група захисту прав людини в СРСР до якої належав харків'янин Г.
20566. Курс на перебудову: плани та реальності його здійснення в Україні 43.5 KB
  Перш ніж горбачовські реформи дійшли до України тут сталася катастрофа глобального значення: 26 квітня 1986 р. Величезна радіоактивна хмара незмірне більша ніж хіросимська покрила багато районів України Росії Білорусії а згодом поширилася на землі Польщі та Скандинавії. Компартію України очолив С. Постали Українська республіканська партія Демократична партія України партія зелених та ін.
20567. Проголошення незалежності України. Розпад СРСР 38 KB
  Проголошення незалежності України. Прийняття Верховною Радою УРСР _Декларації про державний суверенітет України Криза союзних структур політичне протиборство погіршення економічної ситуації зростання національної самосвідомості неухильно посилювали потяг до суверенності відновлення незалежної української держави. було ухвалено закон про економічну незалежність України. Консерватори в союзних структурах активно протидіяли зростанню суверенності й самостійності національних республік у тому числі й України.
20568. Визнання Української держави світовим співтовариством. Міжнародне співробітництво незалежної України. Взаємодія з членами СНД 66 KB
  Міжнародне співробітництво незалежної України. Швидке визнання державної незалежності України десятками країн світу певною мірою породжувало ілюзію того що труднощі пов'язані з перехідним періодом будуть розв'язані безболісно і в короткий термін. Політичні партії і рухи України обстоювали різні нерідко полярні позиції в питаннях зовнішньої політики. Основним документом який визначав принципові засади розбудови державотворчих процесів у тому числі в сфері зовнішньої політики став Акт проголошення незалежності України прийнятий 24 серпня...