6993

Проекции кривых линий и поверхностей

Реферат

Математика и математический анализ

Введение. Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена...

Русский

2013-01-11

412.5 KB

42 чел.

Введение.

Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Кривые линии можно разделить на:

  1.  Плоские
  2.  Пространственные
  3.  Алгебраические
  4.  Трансцендентные
  5.  Коробовые
  6.  Циркульные
  7.  Лекальные
  8.  Циклические
  9.  Гладкие
  10.  Негладкие
  11.  Закономерные
  12.  Незакономерные
  13.  Эквидистантные
  14.  Эквитангентные
  15.  Аппроксимированные
  16.  Неаппроксимированные

Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пространственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).

Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тригонометрическими функциями. Порядок кривой линии – это степень её уравнения или количество точек пересечения кривой линии с прямой линией (для плоских кривых) или количество точек пересечения с плоскостью (для пространственных линий). Кривые второго порядка иногда называются кониками.

Коробовыми линиями (или обводами) называются составные кривые линии, дуги которых последовательно определены парами точек обвода. Если на стыках можно построить общую касательную, то обвод называется гладким. Циркульными линиями называются линии, построение которых можно осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).

Лекальными кривыми называются плоские закономерные линии, при вычерчивании которых используются лекала (эллипс, парабола, гипербола и др.).

Циклические кривые линии – это линии, повторяющиеся в процессе образования (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.).

Гладкие кривые линии состоят из обыкновенных точек.

Обыкновенные точки кривой линии – это точки, в которых можно построить только одну касательную к кривой линии. Если кривая линия содержит особые точки, то линия называется негладкой.

Эквидистантные и эквитангентные линии – это линии, равноудаленные от некоей кривой линии и повторяющие её форму.

Аппроксимированные линии – это линии, приближенно замененные

другими более удобными для вычерчивания линиями (например, эллипс иногда заменяют овалом).


Плоские и пространственные кривые линии

Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и другие, примеры которых приведены на рисунке 1. Способы построения лекальных кривых обычно рассматривается в курсе технического

черчения.

Эвольвента – траектория точки касательной, перекатываемой без скольжения по окружности. Иногда её неправильно называют разверткой окружности.

Синусоида – кривая линия, описываемая уравнением y = sin x.

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Винтовая линия – траектория точки, перемещающейся по образующей цилиндра, конуса или тора, в то время как сама образующая равномерно вращается вокруг оси упомянутых поверхностей.

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.

Циклоида – траектория точки окружности, перекатываемой без скольжения по прямой линии. При построении эпи- и гипоциклоиды окружность перекатывают по окружности.

Рисунок 1 – Примеры лекальных кривых

Построение проекций кривой линии

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:

  1.  В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;
  2.  Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции

принадлежат одноименным проекциям кривой;

  1.  Касательная к кривой линии проецируется в касательную к

проекциям кривой линии.

ПРИМЕР 1. Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра.

Рисунок 2 – Пример 1.

РЕШЕНИЕ. Находим точку A/. Начиная с точки A/, делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра H делим на 12 частей, начиная с точки A//. На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем (рисунок 2).

Общие сведения о поверхностях

Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Поверхность считают заданной, если можно построить проекции любой её образующей. Одну и ту же поверхность можно образовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

  1.  Конус.
  2.  Цилиндр.
  3.  Однополостный гиперболоид.

  II. Поверхности вращения нелинейчатые.

  1.  Шар.
  2.  Тор (круговой, параболический, эллиптический).
  3.  Эллипсоид (вытянутый и сжатый).
  4.  Двуполостный гиперболоид.
  5.  Параболоид.
  6.  Поверхность вращения общего вида.

III. Поверхности с плоскостью параллелизма.

    1.  Цилиндроид.

  1.  Коноид (геликоид).
  2.  Гиперболический параболоид.

IV. Поверхности, задаваемые каркасом.

Поверхности вращения линейчатые

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения.

1. Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 3, а). Координатные плоскости XOZ  и YOZ  рассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Рис. 3 а)

Для построения точки, принадлежащей кривой поверхности, её поверхности располагаем на проекциях линии, лежащей на этой поверхности.

Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и её облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн,  электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, деталей вакуумных установок и так далее.

2. Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z (рис. 3, б, в)

Рис. 3      б)                          в)

Плоскости XOZ  и YOZ пересекают его по параллельным прямым ED, FK, NP, LM, а плоскость XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и (ENFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазеров, корпусов датчиков и так далее.

 3. Однополостный гиперболоид образуют вращением прямой ED вокруг скрещивающейся с ней оси Z (рис. 4).

   

Рис. 4

Плоскости XOZ и YOZ пересекают его по гиперболам FK, LM, PQ и RS, а плоскость XOY  и ей параллельные – по окружностям (GU, FPLR и KQMS). При вращении точек D и Е их проекции d и е перемещаются по окружности, а проекции d и e – по прямым, параллельным оси Х. Точка U прямой DE, ближе других расположенная к оси вращения, описывает окружность UU1 наименьшего диаметра. Эту окружность называют горлом поверхности. Лучи, проектирующие какую-либо поверхность, касаются её в точках, образующих контурную линию. Соответствующая проекция этой линии называется очерком поверхности.

Форму однополостного гиперболоида имеютнекоторые радиомачты. Он также образует форму вибрационных питателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителей контактов и так далее.

Поверхности вращения нелинейчатые.

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

 1. Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 5)

Рис. 5

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенн, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле и так далее. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

 2. Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо, когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и тор-бочку.  

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

 Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

 Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

Торовые поверхности имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители и так далее.

  1.  Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большойоси. В первом случае получают сжатый (рис. 6, а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 6, б).

Рис. 6           а)                                            б)

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а плоскость XOY – по окружности DF.

Форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и так далее.

  1.  Двуполостный гиперболоид образуют вращением гиперболы DE  вокруг её действительной оси FF1 (рис. 7). 

                                                                 

Рис. 7

Плоскости XOZ и YOZ пересекают его по гиперболам DE и KE; плоскость XOY даёт в сечении мнимую точку О.

Форму его имеют зеркала антенн, поверхности положения объекта в пространстве и так далее.

5. Параболоид образуют вращением параболы OD вокруг её фокальной оси OF (рис. 8).

                                                                     Рис. 8

Зеркала антенн и лазеров чаще всего изготовляют параболическими.

6. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.                               

Поверхности с плоскостью параллелизма.

Все поверхности этого класса – линейчатые.

1. Цилиндроид образуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости. Форму цилиндроида имеют некоторые объёмные графики, применяемые в теории оптимального регулирования, а также волноводы.

2. Коноид образуют перемещением прямой по кривой линии и прямой, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости. Частным случаем коноида является прямой геликоид, образуемый перемещением прямой по винтовой линии и её оси, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости.

3. Гиперболический параболоид или косую плоскость образуют перемещением прямой по двум скрещивающимся прямым, когда образующая остаётся параллельной некоторой плоскости. Получаемая поверхность имеет седлообразную форму (рис. 9).

                                                                                                                              

                                                                  Рис. 9

Плоскости XOZ и YOZ пересекают эту поверхность по параболам OD и OE; плоскости параллельные XOZ  и YOZ ,также дают в сечении параболы; плоскость XOZ пересекает поверхность по двум пересекающимся прямым OL и OK, а плоскости, параллельные XOZ,- по гиперболам (EN и DM).

Поверхности, задаваемые каркасом.

К ним относятся поверхности, образование которых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом – семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатным плоскостям ( рис. 10).

                                                          

Рис. 10

На рис. 10 изображён объёмный график, используемый в радиотехнике. Поверхность определена кривыми линиями, одно семейство которых (CD) параллельно плоскости XOZ, а другое (АВ) – плоскости YOZ. Точка М поверхности определена как точка пересечения кривых АВ и CD.

В радиоэлектронике и автоматике встречаются поверхности второго порядка общего вида: эллиптические конус и цилиндр, параболический и гиперболический цилиндры и так далее.

Список используемой литературы.

  1.  Анисимов И. К. Конспекты лекций по начертательной геометрии. – Р. 1970.
  2.  Фролов С. А. Начертательная геометрия: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81465. Представление о пентозофосфатном пути превращений глюкозы. Окислительные реакции (до стадии рибулозо-5-фосфата). Распространение и суммарные результаты этого пути (образование пентоз, НАДФН и энергетика) 135.5 KB
  Окислительные реакции до стадии рибулозо5фосфата. Распространение и суммарные результаты этого пути образование пентоз НАДФН и энергетика Пентозофосфатный путь называемый также гексомонофосфатным шунтом служит альтернативным путём окисления глюкозо6фосфата. Пентозофосфатный путь состоит из 2 фаз частей окислительной и неокислительной.
81466. Свойства и распространение гликогена как резервного полисахарида. Биосинтез гликогена. Мобилизация гликогена 173.81 KB
  Биосинтез гликогена. Мобилизация гликогена. Таким образом в молекуле гликогена имеется только одна свободная аномерная ОНгруппа и следовательно только один восстанавливающий редуцирующий конец.
81467. Особенности обмена глюкозы в разных органах и клетках: эритроциты, мозг, мышцы, жировая ткань, печень 110.65 KB
  Метаболизм глюкозы в эритроцитах. В эритроцитах катаболизм глюкозы обеспечивает сохранение структуры и функции гемоглобина целостность мембран и образование энергии для работы ионных насосов. Около 90 поступающей глюкозы используется в анаэробном гликолизе а остальные 10 в пентозофосфатном пути.
81468. Представление о строении и функциях углеводной части гликолипидов и гликопротеинов. Сиаловые кислоты 110.57 KB
  Сиаловые кислоты Гликопротеины – сложные белки содержащие помимо простого белка или пептида группу гетероолигосахаридов. К полипептидуприсоединяются гетероолигосахаридные цепи содержащие от 2 до 10 реже 15 мономерных остатков гексоз галактоза и манноза режеглюкоза пентоз ксилоза арабиноза и конечный углевод чаще всего представленный Nацетилгалактозамином Lфукозой или сиаловой кислотой; в отличие от протеогликанов гликопротеины не содержат уроновых кислот и серной кислоты. Сиа́ловые кисло́ты ациальные производные...
81469. Наследственные нарушения обмена моносахаридов и дисахаридов: галактоземия, непереносимость фруктозы и дисахаридов. Гликогенозы и агликогенозы 139.56 KB
  Гликогенозы и агликогенозы Нарушения метаболизма фруктозы Неактивный фермент Блокируемая реакция Локализация фермента Клинические проявления и лабораторные данные Фруктокиназа Фруктоза АТФ → Фруктозе1фосфат АДФ Печень Почки Энтероциты Фруктоземия фруктозурия Фруктозе1фосфатальдолаза Фруктозе1фосфат → Дигидроксиацетон3 фосфат Глицеральдегид Печень Рвота боли в животе диарея гипогликемия Гипофосфатемия фруктоземия гиперурикемия хроническая недостаточность функций печени почек. Наследственная непереносимость...
81470. Важнейшие липиды тканей человека. Резервные липиды (жиры) и липиды мембран (сложные липиды). Жирные кислоты липидов тканей человека 113.78 KB
  Жирные кислоты липидов тканей человека. Жирные кислоты структурные компоненты различных липидов. В составе триацилглицеролов жирные кислоты выполняют функцию депонирования энергии так как их радикалы содержат богатые энергией СН2группы. В составе фосфолипидов и сфинголипидов жирные кислоты образуют внутренний гидрофобный слой мембран определяя его свойства.
81471. Незаменимые факторы питания липидной природы. Эссенциальные жирные кислоты: ω-3- и ω-6-кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов 125.89 KB
  Эссенциальные жирные кислоты: ω3 и ω6кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов. В эту группу входит комплекс полиненасыщенных жирных кислот которые принимают значительное участие в биологических процессах: линолевая кислота омега6 линоленовая кислота омега3 арахидоновая кислота омега6 эйкозапентаеновая кислота омега3 докозагексаеновая кислота омега3 Полиненасыщенные жирные кислоты препятствуют развитию атеросклероза и снижают уровень триглицеридов липопротеидов низкой плотности в крови холестерина и его...
81472. Биосинтез жирных кислот, регуляция метаболизма жирных кислот 192.83 KB
  Источником углерода для синтеза жирных кислот служит ацетилКоА образующийся при распаде глюкозы в абсорбтивном периоде. Образование ацетилКоА и его транспорт в цитозоль. Активный гликолиз и последующее окислительное декарбоксилирование пирувата способствуют увеличению концентрации ацетилКоА в матриксе митохондрий. Так как синтез жирных кислот происходит в цитозоле клеток то ацетилКоА должен быть транспортирован через внутреннюю мембрану митохондрий в цитозоль.
81473. Химизм реакций β-окисления жирных кислот, энергетический итог 170.76 KB
  βОкисление специфический путь катаболизма жирных кислот при котором от карбоксильного конца жирной кислоты последовательно отделяется по 2 атома углерода в виде ацетилКоА. Реакции βокисления и последующего окисления ацетилКоА в ЦТК служат одним из основных источников энергии для синтеза АТФ по механизму окислительного фосфорилирования. связаны макроэргической связью с коферментом А: RCOOH HSKo АТФ → RCO КоА АМФ PPi. Реакцию катализирует фермент ацилКоА синтетаза.