6993

Проекции кривых линий и поверхностей

Реферат

Математика и математический анализ

Введение. Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена...

Русский

2013-01-11

412.5 KB

43 чел.

Введение.

Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Кривые линии можно разделить на:

  1.  Плоские
  2.  Пространственные
  3.  Алгебраические
  4.  Трансцендентные
  5.  Коробовые
  6.  Циркульные
  7.  Лекальные
  8.  Циклические
  9.  Гладкие
  10.  Негладкие
  11.  Закономерные
  12.  Незакономерные
  13.  Эквидистантные
  14.  Эквитангентные
  15.  Аппроксимированные
  16.  Неаппроксимированные

Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пространственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).

Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тригонометрическими функциями. Порядок кривой линии – это степень её уравнения или количество точек пересечения кривой линии с прямой линией (для плоских кривых) или количество точек пересечения с плоскостью (для пространственных линий). Кривые второго порядка иногда называются кониками.

Коробовыми линиями (или обводами) называются составные кривые линии, дуги которых последовательно определены парами точек обвода. Если на стыках можно построить общую касательную, то обвод называется гладким. Циркульными линиями называются линии, построение которых можно осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).

Лекальными кривыми называются плоские закономерные линии, при вычерчивании которых используются лекала (эллипс, парабола, гипербола и др.).

Циклические кривые линии – это линии, повторяющиеся в процессе образования (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.).

Гладкие кривые линии состоят из обыкновенных точек.

Обыкновенные точки кривой линии – это точки, в которых можно построить только одну касательную к кривой линии. Если кривая линия содержит особые точки, то линия называется негладкой.

Эквидистантные и эквитангентные линии – это линии, равноудаленные от некоей кривой линии и повторяющие её форму.

Аппроксимированные линии – это линии, приближенно замененные

другими более удобными для вычерчивания линиями (например, эллипс иногда заменяют овалом).


Плоские и пространственные кривые линии

Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и другие, примеры которых приведены на рисунке 1. Способы построения лекальных кривых обычно рассматривается в курсе технического

черчения.

Эвольвента – траектория точки касательной, перекатываемой без скольжения по окружности. Иногда её неправильно называют разверткой окружности.

Синусоида – кривая линия, описываемая уравнением y = sin x.

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Винтовая линия – траектория точки, перемещающейся по образующей цилиндра, конуса или тора, в то время как сама образующая равномерно вращается вокруг оси упомянутых поверхностей.

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.

Циклоида – траектория точки окружности, перекатываемой без скольжения по прямой линии. При построении эпи- и гипоциклоиды окружность перекатывают по окружности.

Рисунок 1 – Примеры лекальных кривых

Построение проекций кривой линии

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:

  1.  В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;
  2.  Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции

принадлежат одноименным проекциям кривой;

  1.  Касательная к кривой линии проецируется в касательную к

проекциям кривой линии.

ПРИМЕР 1. Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра.

Рисунок 2 – Пример 1.

РЕШЕНИЕ. Находим точку A/. Начиная с точки A/, делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра H делим на 12 частей, начиная с точки A//. На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем (рисунок 2).

Общие сведения о поверхностях

Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Поверхность считают заданной, если можно построить проекции любой её образующей. Одну и ту же поверхность можно образовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

  1.  Конус.
  2.  Цилиндр.
  3.  Однополостный гиперболоид.

  II. Поверхности вращения нелинейчатые.

  1.  Шар.
  2.  Тор (круговой, параболический, эллиптический).
  3.  Эллипсоид (вытянутый и сжатый).
  4.  Двуполостный гиперболоид.
  5.  Параболоид.
  6.  Поверхность вращения общего вида.

III. Поверхности с плоскостью параллелизма.

    1.  Цилиндроид.

  1.  Коноид (геликоид).
  2.  Гиперболический параболоид.

IV. Поверхности, задаваемые каркасом.

Поверхности вращения линейчатые

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения.

1. Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 3, а). Координатные плоскости XOZ  и YOZ  рассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Рис. 3 а)

Для построения точки, принадлежащей кривой поверхности, её поверхности располагаем на проекциях линии, лежащей на этой поверхности.

Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и её облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн,  электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, деталей вакуумных установок и так далее.

2. Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z (рис. 3, б, в)

Рис. 3      б)                          в)

Плоскости XOZ  и YOZ пересекают его по параллельным прямым ED, FK, NP, LM, а плоскость XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и (ENFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазеров, корпусов датчиков и так далее.

 3. Однополостный гиперболоид образуют вращением прямой ED вокруг скрещивающейся с ней оси Z (рис. 4).

   

Рис. 4

Плоскости XOZ и YOZ пересекают его по гиперболам FK, LM, PQ и RS, а плоскость XOY  и ей параллельные – по окружностям (GU, FPLR и KQMS). При вращении точек D и Е их проекции d и е перемещаются по окружности, а проекции d и e – по прямым, параллельным оси Х. Точка U прямой DE, ближе других расположенная к оси вращения, описывает окружность UU1 наименьшего диаметра. Эту окружность называют горлом поверхности. Лучи, проектирующие какую-либо поверхность, касаются её в точках, образующих контурную линию. Соответствующая проекция этой линии называется очерком поверхности.

Форму однополостного гиперболоида имеютнекоторые радиомачты. Он также образует форму вибрационных питателей, используемых в промышленной автоматике, кулачков, соединителей контактов и так далее.

Поверхности вращения нелинейчатые.

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

 1. Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 5)

Рис. 5

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенн, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле и так далее. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

 2. Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо, когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и тор-бочку.  

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

 Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

 Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

Торовые поверхности имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители и так далее.

  1.  Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большойоси. В первом случае получают сжатый (рис. 6, а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 6, б).

Рис. 6           а)                                            б)

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а плоскость XOY – по окружности DF.

Форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и так далее.

  1.  Двуполостный гиперболоид образуют вращением гиперболы DE  вокруг её действительной оси FF1 (рис. 7). 

                                                                 

Рис. 7

Плоскости XOZ и YOZ пересекают его по гиперболам DE и KE; плоскость XOY даёт в сечении мнимую точку О.

Форму его имеют зеркала антенн, поверхности положения объекта в пространстве и так далее.

5. Параболоид образуют вращением параболы OD вокруг её фокальной оси OF (рис. 8).

                                                                     Рис. 8

Зеркала антенн и лазеров чаще всего изготовляют параболическими.

6. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.                               

Поверхности с плоскостью параллелизма.

Все поверхности этого класса – линейчатые.

1. Цилиндроид образуют перемещением прямой по двум кривым направляющим, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости. Форму цилиндроида имеют некоторые объёмные графики, применяемые в теории оптимального регулирования, а также волноводы.

2. Коноид образуют перемещением прямой по кривой линии и прямой, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости. Частным случаем коноида является прямой геликоид, образуемый перемещением прямой по винтовой линии и её оси, когда образующая остаётся параллельной заданной плоскости.

3. Гиперболический параболоид или косую плоскость образуют перемещением прямой по двум скрещивающимся прямым, когда образующая остаётся параллельной некоторой плоскости. Получаемая поверхность имеет седлообразную форму (рис. 9).

                                                                                                                              

                                                                  Рис. 9

Плоскости XOZ и YOZ пересекают эту поверхность по параболам OD и OE; плоскости параллельные XOZ  и YOZ ,также дают в сечении параболы; плоскость XOZ пересекает поверхность по двум пересекающимся прямым OL и OK, а плоскости, параллельные XOZ,- по гиперболам (EN и DM).

Поверхности, задаваемые каркасом.

К ним относятся поверхности, образование которых не подчинено определённому геометрическому закону. Эти поверхности задают каркасом – семейством линий, принадлежащих им и параллельных координатным плоскостям ( рис. 10).

                                                          

Рис. 10

На рис. 10 изображён объёмный график, используемый в радиотехнике. Поверхность определена кривыми линиями, одно семейство которых (CD) параллельно плоскости XOZ, а другое (АВ) – плоскости YOZ. Точка М поверхности определена как точка пересечения кривых АВ и CD.

В радиоэлектронике и автоматике встречаются поверхности второго порядка общего вида: эллиптические конус и цилиндр, параболический и гиперболический цилиндры и так далее.

Список используемой литературы.

  1.  Анисимов И. К. Конспекты лекций по начертательной геометрии. – Р. 1970.
  2.  Фролов С. А. Начертательная геометрия: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81125. Лялька мотанка «Дзвіночок» 39 KB
  Обладнання: Шматки тканини круглої форми і різного розміру (одна менше другої), резинки для скручування, газета,шматок тканини білого кольору прямокутної форми, шматок тканини трикутної форми різного кольору. Ляльки для демонстрації: обрядові – 3 штуки, інші – 4 штуки.
81126. Шов «вперед голку», його призначення, прийоми виконання. Оброблення швом серветки 43 KB
  Мета: навчити виконувати шов вперед голку та оздоблювати ним виріб з тканини розвивати увагу мислення виховувати естетичні смаки культуру праці любов до матері націлювати шанобливе ставлення до професії вишивальниці та швачки. Чи хочете ви так навчитись шити і вишивати?
81127. Українська хата. Обереги 73 KB
  Мета: навчити розрізняти давню українську хату від будинків сьогодення; розширити і поглибити знання дітей про особливості українського інтерєру значення оберегів; розвивати мовленнєві уміння збагачувати словниковий запас засвоїти назви предметів українського побуту...
81128. Безопасное поведение дома. Пользование бытовой техникой. Причины возникновения пожаров, аварий. Осторожное отношение к лекарствам 61 KB
  Цель: обобщить и систематизировать знания детей о поведении в чрезвычайных ситуациях; научить учащихся действовать в экстремальных ситуациях; работать с памятками безопасного обращения с огнем, электроприборами, лекарствами, газом, поведения в ситуации «Один дома»...
81129. Человеческие добродетели. Добро начинается с тебя 43 KB
  Цель: продолжить знакомить учащихся с человеческими добродетелями; учить характеризовать действия и явления как проявление добра и зла; раскрыть моральное содержание доброты; воспитывать чувство доброты сопереживания щедрости.
81130. Зима щедра святами 49 KB
  Бесіда Які свята ми святкуємо взимку Якого свята чекаєте з нетерпінням Чому Вірш учень 1 Хоч рік Новий іще не близько Хоч холодно надворі й слизько Та до нас вже скоро Миколай прийде до школиІ принесе усім гостинці Та подарунки у торбинці. Бесіда Яке свято приходить у кожен дім разом з ялинкою?
81131. Надзвичайні ситуації. Дитина та аварійна ситуація 44.5 KB
  Мета: узагальнити знання учнів про аварії, їх негативний вплив на життя людини; навчити правил поведінки під час аварій на підприємствах; виховувати самодисципліну, рішучість, милосердя. Обладнання: зошит, підручник, картки, мультімідійна дошка.
81132. Узагальнення знань з теми «Усна народна творчість». Опрацювання казки А. Дімарова «Для чого людині серце». Добір спільнокореневих слів та зміна форми слова для перевірки слів з ненаголошеними (е, и) в корені слова 94.5 KB
  Розвивати увагу, спостережливість, уміння аналізувати, робити висновки. Виховувати почуття доброти. Таблиці, роздатковий матеріал для роботи в парах, групах, малюнок до казки, музика для проведення фізкульт-хвилинки, зірочки жовтого, помаранчевого і червоного кольорів, малюнки з різними виразами облич...
81133. Буква Єє на позначення звукосполучення «йе» 36.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з буквами Єє та їх звукоим значенням; формувати навички швидкого, правильного, свідомого читання; удосконалювати навички звукового аналізу слів; розвивати зв’язне мовлення учнів; виховувати в учнів бажання бачити красу рідної природи.