69945

СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и операции над ними Основными неопределяемыми понятиями математики являются множество элемент множества. Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов объектов обладающих общим свойством. Договоримся называть их элементами множества.

Русский

2014-10-13

1.74 MB

3 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 19

ГЛАВА 1

СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

П.1. Множества и операции над ними

Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:

А= {x| свойство, которым обладают все элементы}.

В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.

Далее будем использовать следующие кванторы

  •   общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»
  •    существования вместо слов «существует» или «есть»

и общепринятые математические символы вместо слов:

  •  А В «если А, то В» или «из А следует В»
  •  АВ «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»
  •  ˄  знак конъюнкции, заменяет союз «и»
  •  ˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»

Множества между собой могут находиться или нет в следующих отношениях:

  •  пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;
  •  включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AB;
  •  равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Следствия

1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A  А.

1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A:   A.

Множества A и называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АВ. 

На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 1

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения  х  А  В  х  А ˅  х  В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È  = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств  обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АВ.

Согласно определению пересечения х  А В  х  А ˄  х  В.

Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2

Свойства пересечения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В  А, то В  А = В. Из определения пересечения следует: А  В = В  А,  т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А   = .

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В)  С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В)  С = А  (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В  С. В общем случае пересечение совокупности множеств  (i = 1, 2, …, n) обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам ,.

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В)  С = (А  С) (В  С);

2) (А  В)  С = (А  С) (В  С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А  В)  С. Значит, х ΠА  В и х ΠС. Из того, что х ΠА  В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х ΠА или х ΠВ. Когда х ΠА, то из того, что х ΠС, следует, что х ΠА  С. Значит, х Î (А  С) (В  С). Когда же х ΠВ, то из того, что х ΠС, следует, что х Î В  С, но тогда х Î (А Ç С) (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А  В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х ΠА Ç С или х Î В Ç С, т.е. х ΠА и х ΠС, или х Î В и х ΠС. Отсюда получаем, что х Î С и х ΠА В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат В. Обозначается: А \ В.

Согласно определению разности х ΠА \ В Û х ΠА ˄  х  В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 3

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ; А \ В  В \ А.

Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:

А \ В=САВ  или   или

Графическое изображение дополнения  множества В до множества А показано на рис. 4.

Рис. 4

П.2. Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия

Основным объектом математического анализа является «функция». Введем это понятие через понятие «соответствие».

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента а  Х указан (один, или несколько, или ни одного) элемент b  Y, с которым сопоставляется а, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие (бинарное отношение).

В основе понятия «соответствия» лежит «упорядоченная пара» (короче «пара»).

Определение 1.5. Упорядоченной парой называется множество, состоящее из двух элементов, для которых указан порядок следования. Обозначают (х;у); элемент х называют первой компонентой (координатой), увторой компонентой (координатой) пары.

Основное свойство пары: две пары равны равны соответственно их компоненты, т.е. (х1; у1)=( х2; у2) х1= х2,  у12.

Не следует путать множество {х;у} и пару (х;у): (х;у) (у;х), а {х;у}={у;х}.

Определение 1.6. Упорядоченной тройкой (тройкой) называется пара ((х;у), z), первая координата которой – пара (х;у), а вторая – z . Обозначают (х;у; z).

Аналогично определяются упорядоченные четвёрки, пятёрка, и т. д. n-ки.

Определение 1.7. Декартовым (прямым) произведением множеств Х и Y называется множество, состоящее из всех возможных пар (х;у), где ,  и обозначают .

C помощью символов это определение можно записать так:

=  {(х;у)| , }

Пример 1.1.

Пусть Х = {1, 2, 3}, Y = {k, l}.  Найти Х ´ Y и Y  Х.

Решение. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Х  Y = (1, k), (2, k), (3, k), (1, l), (2, l), (3, l).

Выпишем теперь декартовое произведение

Y  Х = (k, 1), (k, 2), (k, 3), (l, 1), (l, 2), (l, 3).

Таким образом, Х ´ Y  Y  Х (не выполняется ассоциативный закон). Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

Принято считать, что для любого множества Х справедливы равенства:

  •  ;
  •  .

Множество   называется декартовым квадратом.

Если множества X и Y  – числовые, то пары элементов (x; y) можно рассматривать как координаты точек на плоскости. В этом случае декартово произведение можно изобразить в декартовой системе координат.

Определение 1.8. Любое подмножество декартового произведения множеств  называется соответствием между множествами Х и Y или отношением (бинарным отношением) между элементами множеств Х и Y .

Будем обозначать соответствия маленькими буквами латинского (f, g,..) и греческого (φ, ψ…) алфавитов. Множество всех первых компонент пар из соответствия f  называют областью определения соответствия f (обозначают D(f)), а множество всех вторых компонент пар из соответствия f называют областью значения соответствия f (обозначают E(f)).

Пусть f соответствие между множествами Х и Y. Если , то говорят, что «при соответствии f элемент x соответствует элементу y». В этом случае элемент у называется образом элемента х, а элемент xпрообразом элемента y при соответствии f.

Пример 1.2. Между элементами множеств X = {2, 3, 5, 11} и Y = {6, 7, 9, 10} задано соответствие f : «число x является делителем числа y».

Очевидно, что f – множество пар элементов( f ={(2, 6), (2, 10), (3, 6), (3, 9), (5, 10)}), находящихся в заданном отношении, является подмножеством декартова произведения множеств

XY = {(2, 6), (2, 7), (2, 9), (2, 10), (3, 6), (3, 7), (3, 9), (3, 10), (5, 6),  (5, 7),  (5, 9),  (5, 10), (11, 6), (11, 7), (11, 9), (11, 10)}.

Полным образом элемента a из множества X называется множество всех элементов из Y, которые соответствуют элементу а. Обозначают f(а). В частности, для примера 1.2

f(2)={6, 10}, f(3)={6, 9}, f(5)={10}, f(11)=  .

Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов из Х, которым b соответствует. Обозначают f –1(b).  В частности, для примера 1.2

f –1 (6)={2, 3}, f –1 (7)= , f –1 (9)={3}, f –1 (10)= {2, 5} .

Множество всех элементов из X, имеющих непустые образы, называется множеством (областью) определения соответствия, и обозначают D(f), а множество всех элементов из Y, имеющих непустые прообразы – множеством (областью) значений соответствия и обозначают Е(f). Так, в примере 1.2 область определения соответствия f есть множество D(f) ={2, 3, 5}, а множество значений соответствия f есть множество Е(f) = {6, 9, 10}.

Если множества X и Y совпадают, то говорят об отношении между элементами множества X.

Замечание 1.1. Соответствие между множествами можно задавать

а) перечислением пар

Y

X

6

7

9

10

2

3

5

11

б) таблицей

в) графами

г) с помощью графика (если множества числовые)

Соответствия могут быть различных видов. Приступим к их изучению.

Пусть f соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие f называется всюду определенным, если множество D(f) = Х. Если E(f) = Y. Если же E(f) = Y, то соответствие называют сюръективным. На рис. 5 а и 5 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис. 5 в и 5 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 5 г, не всюду определенное.

Рис. 5

Соответствие называется инъективным, если любой элемент из E(f) соответствует единственному элементу из D(f). На рис. 5 а изображено инъективное соответствие.

Особое место занимают функциональные соответствия.

Определение 1.9. Соответствие f между множествами Х и Y, при котором каждому соответствует один и только один  называется функциональным (функцией). Элемент  называется аргументом функции f, а соответствующий ему элемент  называется значением функции f  в точке х.

Определение 1.10. Если область определения функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется функцией одной действительной переменной. Если область определения функции f состоит из упорядоченных n-ок действительных чисел, то f называется функцией n действительных переменных. Если область значений функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется действительной функцией.

Пример 1.3. Среди соответствий, изображенных на рис. 6, функциями будут f и p. Их областями определения будут, соответственно, D(f) = {a, b, c}, D(p) = {a, b, c}, а множествами значений E(f) = {1, 3}, E(p) = {1, 2, 3}.

Если ,  и f – функциональное соответствие между элементами x и y, то это записывают так:  y = f(x) или  или


Рис. 6

Определение 1.7. Соответствие между элементами множеств Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х, называется взаимно однозначным (или биективным).

Определение 1.8. Множества Х и Y называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность двух множеств обозначается так: X  Y.

Пусть задано соответствие f между множествами X и Y. Обратным ему называется соответствие  f –1между множествами Y и X, состоящее из таких пар (у; х), для которых верно, что (х; у) f. Соответствия f и f –1 называют взаимно обратными.

§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

П.1. Действительные числа и координатная прямая

Из СШ известны следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Z0 – множество целых неотрицательных чисел,

Q – множество рациональных чисел,

I – множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

В курсе СШ под действительным числом понимают бесконечную десятичную дробь без 9 в периоде. Если бесконечная десятичная дробь – периодическая, то это рациональное число, а если бесконечная десятичная дробь – непериодическая, то это иррациональное число.

Из курса математики СШ известно, что множество, состоящее и рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел (R). На множестве R вводятся операции «сложения», «умножения», отношение порядка (сравнение). Формулируются 3 группы аксиом:

I. Аксиомы сложения и умножения

1. a+ b = b + a

2. a+ (b + c )= (a + b) + c

3. a  b = b  a

4. a  (b ∙ c )= (a ∙ b)  c

5. (a + b)c= a c + b c

6. Существует число 0 такое, что а + 0 = а  для любого действительного числа а

7. Для любого действительного числа а существует число – а такое, что а + (– а) = 0

8. Существует число 1≠0 такое, что а  1 = а  для любого действительного числа а

9. Для любого действительного числа а≠0 существует число  а –1 такое, что а ∙ а –1 = 1

II. Аксиомы порядка

Для любых

1. Для любых либо , либо.

2. Если , то x=y.

3. Если , то .

4. Если ху, то для любого z выполняется х + zу + z

5. Если ху, то для любого z > 0 выполняется х  zу   z,

а для любого z < 0 выполняется х  z  ≥  у   z.

III. Аксиома непрерывности.  Пусть X и Y два непустых множества действительных чисел. Если выполняется неравенство, то , такое, что   .

Все остальные свойства можно получить из этих аксиом.

Такой подход к определению множества действительных чисел называется аксиоматическим, действительные числа – это множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам групп IIII.

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x>0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины x. Правый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

2) x<0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (– x). Левый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Возьмем произвольную точку х на координатной прямой. Возможны случаи:

1) точка x попала на положительный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x>0, равное расстоянию от точки 0 до точки x.

2) точка x попала на отрицательный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x<0, равное расстоянию от точки 0 до точки x, взятому со знаком минус

3) точка x попала в начало атсчета координатной прямой. Тогда ей соответствует число x=0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т.е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числа х рассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называют геометрическим изображением числа х и обозначают так же через х.

П.2. Расширение множества действительных чисел

Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и –,  и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом:

1. выполняется неравенство –<x<+.

2.

3. 

4. Если x>0, то ; если x<0, то .

5. ;

6. Операции    неопределенны.

Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается  или .

§ 3. МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х| и определяется следующим образом:

Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0.

Свойства модуля

Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства:

1о.

Доказательство.

2о. Пусть а>0, тогда

Доказательство.

3о. Пусть  а>0, тогда

4о.

Доказательство.

5о.

Доказательство.

6о.

7о.

Доказательство 6о и  7о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.

§ 4. ПРОМЕЖУТКИ

Определение 4.1. Пусть a,b действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств

отрезок    

интервал   

полуинтервал     или

полупрямая (луч) или

открытая полупрямая (открытый луч)  или

прямая

Множество [a;b] называется отрезком с началом a  и концом b; (a;b) – интервалом с началом a  и концом b; [a;b), (a;b] – полуинтервалом с началом a  и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.

Множества называются бесконечными промежутками.

Изобразим эти множества на числовой прямой:

[a;b]

[a;a]

(a;b)

[a;b)

(a;b]

Определение 4.2. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

Геометрически окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.3. Пусть . -окрестностью точки а называется интервал  (а – ; а + ), т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству |х – а|< . При этом число  называется радиусом окрестности, а точка ацентром окрестности. Обозначают U(a; ).

Геометрически -окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.4. Пусть . Выколотой-окрестностью точки а называется интервал  (а – ; а + ) без точки а, т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству 0<|х – а|< . Обозначают

Геометрически изображают следующим образом:

Пример. Построить на координатной прямой U(2; 0,5)

§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что  (). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х. 

Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

Определение 5.2. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m , что .  В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3. Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что . Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число , что  .

Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х  и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).

Свойства верхней и нижней граней множества

1о. Если  a* = sup X, то

1) выполняется неравенство .

2) такое, что выполняется неравенство .

2о. Если  = inf X то

1) выполняется неравенство .

2) такое, что выполняется неравенство

Теорема 5.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.

Дано.

Доказать.

Доказательство.

Замечание 5.1. Если множество Х неограниченно сверху (снизу), то будем считать sup X =+ (inf X =–).

В заключение приведем

Аксиому Архимеда. Каким бы ни было действительное число  k, всегда есть натуральное число n, которое больше k.

Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.

Пример 5.2. Найти верхнюю и нижнюю грани множеств:

§ 6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

П.1. Понятие функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 6.1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует один и только один элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f. Множество всех таких элементов х Î Х называют областью определения функции f и обозначают D(f)  (D(f) ). А элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х). Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f) (Е(f) ).

Заметим, что если у  Е(f), то существует по крайней мере один такой х  D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Определение 6.2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х  D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f  Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y. 

Если X = D(f) и Е(f)  Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.

Определение 6.3. Функция f , область определения и область значений которой состоят из некоторого множества действительных чисел, называется действительной функцией одной действительной переменной.

Ниже для краткости будем говорить «функция», подразумевая действительную функцию одной действительной переменной.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

  1.  заданы два числовых множества Х и Y;
  2.  задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

П.2. Способы задания функции.

1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами. Пример 6.1. Функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

Пример 6.2. Функция Дирихле

Пример 6.3. y=sgn x

2. Табличный способ.

3. Словесный (описывают словами закон, по которому находятся значения функции).

Пример 6.4. Функция f каждому квадрату со стороной а ставит в соответствие его площадь.S(a)=a2, a>0.

 Пример 6.5. Каждому действительному числу х поставим в соответствие наибольшее целое число, которое не превосходит y. Эта функция – Антье, обозначается E(x)=[x], её график.

4. Графами.

5. Графический (только для числовых функций числового аргумента).

Определение 6.4. Графиком функции , заданной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости с координатами , где х ΠD(f).

Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–либо функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

 Рис. 10      Рис. 11

П.3. Основные свойства

1.Монотонные функции

Определение 6.5. Пусть функция  задана на некотором множестве Х. Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е  Х, если для любых х1 и х2 из множества Е, таких что х1  х2, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 12).

Рис.12

Если же для любых значений х1, х2, взятых из некоторого множества Е Ì Х и удовлетворяющих условию х1  х2, вытекает некоторое неравенство f(х1)  f(х2) (или f(х1)  f(х2)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Пример 6.6. Доказать, что сумма двух возрастающих ( убывающих ) на множестве Е функции есть функция возрастающая ( убывающая) на этом множестве.

2. Функции чётные и нечётные

Определение 6.6. Функция  называется четной (нечетной), если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

 

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.7. Доказать, что произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

3. Периодические функции

Определение 6.7. Функция  называется периодической, если существует такое число l  0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Пример 6.8. Доказать, что если число l - период функции, то число kl (k=-1, ±2, …) также является периодом.

4. Ограниченные и неограниченные функции

П.4. Операции над функциями

Определение 6.8. Суммой (разностью, произведением) функций f  и g  называется функция  f+g (fg,  fg), область определения которой  (,  ), а значения вычисляются по формуле (f+g)(х)=f(x)+g(x),   (fg)(x) =f(x)–g(x),  (fg)(x)=f(x) g(x).   

Пример 6.9.

Определение 6.9. Частным функций f  и g  называется функция  , область определения которой , причём исключаем  те х,  для которых

g (х)=0, а значения вычисляются по формуле .

Пример 6.10.

Определение 6.10. Пусть y является функцией переменной u, а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть  и . Тогда функция  называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции . Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Пример 6.11.

П.5. Обратная функция

Определение 6.11. Пусть функция  определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у0 из промежутка Y будет соответствовать одно значение х0  Х такое, что  (рис. 13). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция  называется обратной для функции  и, наоборот, функция  является обратной для функции .

Рис. 13

Переход от функции  к обратной функции  сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций  и  (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо  пишут . Графики функции  и обратной функции  в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 14).

Рис. 14

Пример 6.12.

П.6. Основные числовые функции и их графики

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где любое действительное число; показательная функция , где а>0, a≠1; логарифмическая функция , где а>0, a≠1; тригонометрические функции y = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx; обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Линейная функция.

Квадратичная функция.

Степенная функция. Область определения степенной функции  зависит от показателя . Эта функция при любом a определена в интервале 0  х  +, то есть для всех положительных значений х. При a натуральном областью определения является вся числовая ось. Множеством значений функции будет интервал 0  у  + при a четном и промежуток –  у  + при нечетном (рис. 15).

Рис. 15

Показательная функция. Областью определения показательной функции  является вся числовая ось, то есть промежуток (–; + ), а множеством значений функции - промежуток (0; + ) (рис. 16).

Рис. 16

Логарифмическая функция. Областью определения логарифмической функции  является промежуток , а множеством значений функции - промежуток  (рис. 17).

Рис. 17

Тригонометрические функции. Областью определения функций y = sinx и y = cosx является промежуток , а множеством значений функций –– отрезок –1; 1 (рис. 18 и 19).

   

Рис. 18     Рис. 19

Функция  определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции есть совокупность интервалов

.

Функция  определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции состоит из интервалов

.

Множеством значений функций  и  является промежуток  (рис. 20 и 21).

  Рис. 20    Рис. 21

Обратные тригонометрические функции. Областью определения функций y = arcsinx и

y = arccosx является отрезок – 1; 1. Множеством значений функции y = arcsinx является отрезок , а функции y = arccosx –– отрезок  (рис. 22 и 23).

Рис. 22    Рис. 23

Областью определения функций y = arctgx и y = arcсtgx является промежуток . Множеством значений функции y = arctgx будет интервал , а функции y = arcсtgx –– интервал  (рис. 24 и 25).

Рис. 24     Рис. 25


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42408. Работа с простыми объектами в Corel Draw 66 KB
  Порядок выполнения работы Для того чтобы нарисовать линию необходимо воспользоваться горячей клавишей [F5] или иконкой на панели инструментов. Для того чтобы вставить прямоугольник можно воспользоваться иконкой на панели инструментов или горячей клавишей [F6]. Для того чтобы вставить окружность можно воспользоваться горячей клавишей [F7] или воспользоваться иконкой на панели задач. Как и с прямоугольником можно воспользоваться дополнительными клавишами [Ctrl и или Shift].
42409. Работа с текстом и заливкой в Corel Draw 383.5 KB
  Для того чтобы залить объект заливкой можно воспользоваться одним из инструментов: Fill Color Dilog [ShiftF11] Fountin Fill Dilog [F11] Pttern Fill Dilog Texture Fill Dilog PostScript Fill Dilog Not Fill. Fill Color Dilog Fountin Fill Dilog Pttern Fill Dilog Texture Fill Dilog PostScript Fill Dilog Not Fill – убирает заливку Содержание отчета Тема и цель лабораторной работы Отчет о проделанной работе Вывод Контрольные вопросы Как с помощью горячих клавиш вставить текст Какие параметры текста можно выставить на...
42410. Создаем иллюзию стекла в Corel Draw 356.5 KB
  Создайте продолговатый треугольник. Выделите созданный вами треугольник откройте панель Effects Extrude выдавливание и нажмите кнопку Edit редактирование. Под вашим треугольником пунктирной линией будет отображаться копия. Если вы точно следовали инструкциям ваш осколок должен быть похож на тот что изображен на рисунке: Теперь выделите исходный треугольник на созданном вами осколке.
42411. КОМПОЗИЦИЯ. Симметричные и ассиметричные композиции 81 KB
  Характеристики композиции Вы можете грамотно построить тени и перспективу подобрать цветовые сочетания шрифтовое оформление но работа не станет своеобразной и выразительной. Это и есть характеристики композиции. Формы элементов композиции и форма композиции в целом могут оказывать огромное эмоциональное воздействие.
42412. Композиция в технике 149 KB
  Например литая несущая конструкция должна быть такой формы чтобы не возникало сомнений это именно литье а не сварная или какаялибо иная конструкция. Поэтому можно говорить о тектонике литой формы тектонике легких штампованных несущих элементов и тектонике пластмассовых конструкций. Образно говоря тектоника это искренность формы в отношении конструкции и материала. Объемнопространственную структуру можно определить как эстетически осмысленную взаимосвязь формы предмета с его внутренним строением и внешним пространством рассмотрите...
42413. Построение изображения на плоскости 183.5 KB
  Точка съемки определятся следующими параметрами координатами: а удаленностью от объекта т. расстоянием с которого ведется съемка; б высотой установки фото или видеокамеры; в смещением фото или видеокамеры в сторону от ее центрального положения относительно снимаемого объекта определяющем направление съемки. Удаленность от объекта определяет масштаб изображения который увеличивается с приближением точки съемки к объекту и уменьшается с увеличением расстояния между точкой установки камеры и снимаемым объектом.
42414. Компьютерная дискретная математика 180.5 KB
  Высказывание  повествовательное утверждение которое имеет значение истинности т. Простое высказывание называется атомом сложное молекулой. Например: не Р это высказывание земля не плоская; Р или Q земля плоская или Маша доктор; Р и Q земля плоская и Маша доктор. Обозначим через Р высказывание логика забава а через Q сегодня пятница.
42415. Логика и доказательство. Доказательство: прямое, обратное, от противного. Метод математической индукции 73 KB
  Метод математической индукции. Рассмотреть метод математической индукции. Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Принцип математической индукции  это следующая теорема: Пусть мы имеем бесконечную последовательность утверждений P1 P2 .
42416. Теория множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна 758 KB
  Тип данных представляет собой множество объектов со списком стандартных операций над ними. Множество  это совокупность объектов называемых элементами множества. Объекты которые образуют множество называются элементами этого множества. Пример: Множество S = {3 2 11 5 7}  элементы множества записывают в фигурных скобках.