69945

СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и операции над ними Основными неопределяемыми понятиями математики являются множество элемент множества. Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов объектов обладающих общим свойством. Договоримся называть их элементами множества.

Русский

2014-10-13

1.74 MB

1 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 19

ГЛАВА 1

СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

П.1. Множества и операции над ними

Основными неопределяемыми понятиями математики являются «множество», «элемент множества». Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов (объектов), обладающих общим свойством. Эти объекты бывают разной природы: числовые, геометрических фигур, людей и т.д. Договоримся называть их «элементами множества». Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита А,В, С,…, Х, У, Z, а элементы множеств – маленькими буквами латинского алфавита a, b, c, …, x, y, z. Если некоторый объект a является элементом некоторого множества A, то говорят, что «элемент а принадлежит множеству А» и обозначают а А. Таким образом, множества состоят из элементов и в зависимости от их числа бывают конечными и бесконечными, пустыми (). Для записи множеств используют фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются все элементы. Но если множество бесконечное, то перечислить все его элементы мы не сможем. В таких случаях мы будем использовать такую запись:

А= {x| свойство, которым обладают все элементы}.

В нашем курсе мы будем изучать в основном числовые множества.

Далее будем использовать следующие кванторы

  •   общности вместо слов «для любых» или «для всех (каждого)»
  •    существования вместо слов «существует» или «есть»

и общепринятые математические символы вместо слов:

  •  А В «если А, то В» или «из А следует В»
  •  АВ «А тогда и только тогда, когда В» или «А равносильно В»
  •  ˄  знак конъюнкции, заменяет союз «и»
  •  ˅ знак дизъюнкции, заменяет союз «или»

Множества между собой могут находиться или нет в следующих отношениях:

  •  пересечения – множества А и В находятся в отношении пересечения (А∩В), если существуют элементы, принадлежащие и одному и другому множествам одновременно и существуют элементы, принадлежащие только множеству А и только множеству В;
  •  включения – множества А и В находятся в отношении включения, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, говорят, что множество А является подмножеством множества В и обозначают AB;
  •  равенства – множества A и B называются равными (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Следствия

1.1. Каждое множество является подмножеством самого себя: A  А.

1.2. Пустое множество является подмножеством любого множества A:   A.

Множества A и называют несобственными подмножествами множества A, все остальные – собственными подмножествами множества A.

Пусть А и В — некоторые множества.

Определение 1.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначается: АВ. 

На рис. 1 показано объединение множеств А и В при помощи диаграммы Эйлера–Венна.

Рис. 1

Прежде, чем рассмотреть примеры объединения множеств, заметим, что согласно определению объединения  х  А  В  х  А ˅  х  В.

Свойства объединения множеств

Из определения следует, что в А È А входят те же самые элементы, т.е. А È А = А. Вообще, когда B Ì A, то А È В = А. В частности, А È  = А.

Операция объединения подчиняется переместительному закону:

А È В = В È А.

Операцию объединения можно распространить на любое число множеств. Когда А, В, С — три произвольные множества, то (А È В) È С есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В, С.

В общем случае объединение совокупности множеств  обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Операция объединения подчиняется сочетательному закону:

(А È В) È С = А È (В È С).

Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее их тех и только тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам A и B. Обозначается: АВ.

Согласно определению пересечения х  А В  х  А ˄  х  В.

Пересечение множеств А и В иллюстрируется на рис. 2.

Рис. 2

Свойства пересечения множеств

Очевидно, что А Ç А = А; вообще, когда В  А, то В  А = В. Из определения пересечения следует: А  В = В  А,  т.е. операция пересечения коммутативна.

Имеет место и следующее равенство: А   = .

Операцию пересечения легко распространить и на случай больше двух множеств. Рассмотри три множества А, В, С. Пересечение А Ç В есть множество общих элементов множеств А и В, поэтому (А Ç В)  С есть множество элементов, принадлежащих одновременно трём множествам А, В, С.

Аналогично определяется и операция пересечения любого числа множеств. Из приведенного правила пересечения трех множеств следует, что операция пересечения ассоциативна: (А Ç В)  С = А  (В Ç С). Поэтому используется запись А Ç В  С. В общем случае пересечение совокупности множеств  (i = 1, 2, …, n) обозначается  и состоит из элементов, принадлежащих сразу всем множествам ,.

Заметим, что относительно двух операций пересечения и объединения множеств выполняются два дистрибутивных (распределительных) закона:

1) (А Ç В)  С = (А  С) (В  С);

2) (А  В)  С = (А  С) (В  С).

Докажем второй из этих законов (первый доказывается аналогично).

Пусть х Î (А  В)  С. Значит, х ΠА  В и х ΠС. Из того, что х ΠА  В, следует, что обязательно выполняется по крайней мере одно из двух утверждений: х ΠА или х ΠВ. Когда х ΠА, то из того, что х ΠС, следует, что х ΠА  С. Значит, х Î (А  С) (В  С). Когда же х ΠВ, то из того, что х ΠС, следует, что х Î В  С, но тогда х Î (А Ç С) (В Ç С).

Таким образом, любой элемент множества (А  В) Ç С является элементом и множества (А Ç С) È (В Ç С).

Докажем теперь обратное. Пусть х Î (А Ç С) È (В Ç С). Возможен один из случаев: х ΠА Ç С или х Î В Ç С, т.е. х ΠА и х ΠС, или х Î В и х ΠС. Отсюда получаем, что х Î С и х ΠА В, а это свидетельствует о том, что х Î (А È В) Ç С. Таким образом, второй дистрибутивный закон доказан полностью.

Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат В. Обозначается: А \ В.

Согласно определению разности х ΠА \ В Û х ΠА ˄  х  В.

Графическое изображение разности А \ В множеств А и В показано на рисунке 3 (заштрихованная область — это А \ В).

Рис. 3

Из определения разности следует, в частности, что А \ А = ; А \ В  В \ А.

Определение 1.4. Если множество B является подмножеством множества A, то разность множеств A и B называется дополнением множества B до множества A. Обозначается:

А \ В=САВ  или   или

Графическое изображение дополнения  множества В до множества А показано на рис. 4.

Рис. 4

П.2. Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия

Основным объектом математического анализа является «функция». Введем это понятие через понятие «соответствие».

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента а  Х указан (один, или несколько, или ни одного) элемент b  Y, с которым сопоставляется а, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие (бинарное отношение).

В основе понятия «соответствия» лежит «упорядоченная пара» (короче «пара»).

Определение 1.5. Упорядоченной парой называется множество, состоящее из двух элементов, для которых указан порядок следования. Обозначают (х;у); элемент х называют первой компонентой (координатой), увторой компонентой (координатой) пары.

Основное свойство пары: две пары равны равны соответственно их компоненты, т.е. (х1; у1)=( х2; у2) х1= х2,  у12.

Не следует путать множество {х;у} и пару (х;у): (х;у) (у;х), а {х;у}={у;х}.

Определение 1.6. Упорядоченной тройкой (тройкой) называется пара ((х;у), z), первая координата которой – пара (х;у), а вторая – z . Обозначают (х;у; z).

Аналогично определяются упорядоченные четвёрки, пятёрка, и т. д. n-ки.

Определение 1.7. Декартовым (прямым) произведением множеств Х и Y называется множество, состоящее из всех возможных пар (х;у), где ,  и обозначают .

C помощью символов это определение можно записать так:

=  {(х;у)| , }

Пример 1.1.

Пусть Х = {1, 2, 3}, Y = {k, l}.  Найти Х ´ Y и Y  Х.

Решение. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Х  Y = (1, k), (2, k), (3, k), (1, l), (2, l), (3, l).

Выпишем теперь декартовое произведение

Y  Х = (k, 1), (k, 2), (k, 3), (l, 1), (l, 2), (l, 3).

Таким образом, Х ´ Y  Y  Х (не выполняется ассоциативный закон). Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

Принято считать, что для любого множества Х справедливы равенства:

  •  ;
  •  .

Множество   называется декартовым квадратом.

Если множества X и Y  – числовые, то пары элементов (x; y) можно рассматривать как координаты точек на плоскости. В этом случае декартово произведение можно изобразить в декартовой системе координат.

Определение 1.8. Любое подмножество декартового произведения множеств  называется соответствием между множествами Х и Y или отношением (бинарным отношением) между элементами множеств Х и Y .

Будем обозначать соответствия маленькими буквами латинского (f, g,..) и греческого (φ, ψ…) алфавитов. Множество всех первых компонент пар из соответствия f  называют областью определения соответствия f (обозначают D(f)), а множество всех вторых компонент пар из соответствия f называют областью значения соответствия f (обозначают E(f)).

Пусть f соответствие между множествами Х и Y. Если , то говорят, что «при соответствии f элемент x соответствует элементу y». В этом случае элемент у называется образом элемента х, а элемент xпрообразом элемента y при соответствии f.

Пример 1.2. Между элементами множеств X = {2, 3, 5, 11} и Y = {6, 7, 9, 10} задано соответствие f : «число x является делителем числа y».

Очевидно, что f – множество пар элементов( f ={(2, 6), (2, 10), (3, 6), (3, 9), (5, 10)}), находящихся в заданном отношении, является подмножеством декартова произведения множеств

XY = {(2, 6), (2, 7), (2, 9), (2, 10), (3, 6), (3, 7), (3, 9), (3, 10), (5, 6),  (5, 7),  (5, 9),  (5, 10), (11, 6), (11, 7), (11, 9), (11, 10)}.

Полным образом элемента a из множества X называется множество всех элементов из Y, которые соответствуют элементу а. Обозначают f(а). В частности, для примера 1.2

f(2)={6, 10}, f(3)={6, 9}, f(5)={10}, f(11)=  .

Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов из Х, которым b соответствует. Обозначают f –1(b).  В частности, для примера 1.2

f –1 (6)={2, 3}, f –1 (7)= , f –1 (9)={3}, f –1 (10)= {2, 5} .

Множество всех элементов из X, имеющих непустые образы, называется множеством (областью) определения соответствия, и обозначают D(f), а множество всех элементов из Y, имеющих непустые прообразы – множеством (областью) значений соответствия и обозначают Е(f). Так, в примере 1.2 область определения соответствия f есть множество D(f) ={2, 3, 5}, а множество значений соответствия f есть множество Е(f) = {6, 9, 10}.

Если множества X и Y совпадают, то говорят об отношении между элементами множества X.

Замечание 1.1. Соответствие между множествами можно задавать

а) перечислением пар

Y

X

6

7

9

10

2

3

5

11

б) таблицей

в) графами

г) с помощью графика (если множества числовые)

Соответствия могут быть различных видов. Приступим к их изучению.

Пусть f соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие f называется всюду определенным, если множество D(f) = Х. Если E(f) = Y. Если же E(f) = Y, то соответствие называют сюръективным. На рис. 5 а и 5 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис. 5 в и 5 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 5 г, не всюду определенное.

Рис. 5

Соответствие называется инъективным, если любой элемент из E(f) соответствует единственному элементу из D(f). На рис. 5 а изображено инъективное соответствие.

Особое место занимают функциональные соответствия.

Определение 1.9. Соответствие f между множествами Х и Y, при котором каждому соответствует один и только один  называется функциональным (функцией). Элемент  называется аргументом функции f, а соответствующий ему элемент  называется значением функции f  в точке х.

Определение 1.10. Если область определения функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется функцией одной действительной переменной. Если область определения функции f состоит из упорядоченных n-ок действительных чисел, то f называется функцией n действительных переменных. Если область значений функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется действительной функцией.

Пример 1.3. Среди соответствий, изображенных на рис. 6, функциями будут f и p. Их областями определения будут, соответственно, D(f) = {a, b, c}, D(p) = {a, b, c}, а множествами значений E(f) = {1, 3}, E(p) = {1, 2, 3}.

Если ,  и f – функциональное соответствие между элементами x и y, то это записывают так:  y = f(x) или  или


Рис. 6

Определение 1.7. Соответствие между элементами множеств Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х, называется взаимно однозначным (или биективным).

Определение 1.8. Множества Х и Y называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность двух множеств обозначается так: X  Y.

Пусть задано соответствие f между множествами X и Y. Обратным ему называется соответствие  f –1между множествами Y и X, состоящее из таких пар (у; х), для которых верно, что (х; у) f. Соответствия f и f –1 называют взаимно обратными.

§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

П.1. Действительные числа и координатная прямая

Из СШ известны следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Z0 – множество целых неотрицательных чисел,

Q – множество рациональных чисел,

I – множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

В курсе СШ под действительным числом понимают бесконечную десятичную дробь без 9 в периоде. Если бесконечная десятичная дробь – периодическая, то это рациональное число, а если бесконечная десятичная дробь – непериодическая, то это иррациональное число.

Из курса математики СШ известно, что множество, состоящее и рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел (R). На множестве R вводятся операции «сложения», «умножения», отношение порядка (сравнение). Формулируются 3 группы аксиом:

I. Аксиомы сложения и умножения

1. a+ b = b + a

2. a+ (b + c )= (a + b) + c

3. a  b = b  a

4. a  (b ∙ c )= (a ∙ b)  c

5. (a + b)c= a c + b c

6. Существует число 0 такое, что а + 0 = а  для любого действительного числа а

7. Для любого действительного числа а существует число – а такое, что а + (– а) = 0

8. Существует число 1≠0 такое, что а  1 = а  для любого действительного числа а

9. Для любого действительного числа а≠0 существует число  а –1 такое, что а ∙ а –1 = 1

II. Аксиомы порядка

Для любых

1. Для любых либо , либо.

2. Если , то x=y.

3. Если , то .

4. Если ху, то для любого z выполняется х + zу + z

5. Если ху, то для любого z > 0 выполняется х  zу   z,

а для любого z < 0 выполняется х  z  ≥  у   z.

III. Аксиома непрерывности.  Пусть X и Y два непустых множества действительных чисел. Если выполняется неравенство, то , такое, что   .

Все остальные свойства можно получить из этих аксиом.

Такой подход к определению множества действительных чисел называется аксиоматическим, действительные числа – это множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам групп IIII.

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x>0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины x. Правый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

2) x<0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (– x). Левый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Возьмем произвольную точку х на координатной прямой. Возможны случаи:

1) точка x попала на положительный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x>0, равное расстоянию от точки 0 до точки x.

2) точка x попала на отрицательный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x<0, равное расстоянию от точки 0 до точки x, взятому со знаком минус

3) точка x попала в начало атсчета координатной прямой. Тогда ей соответствует число x=0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т.е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числа х рассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называют геометрическим изображением числа х и обозначают так же через х.

П.2. Расширение множества действительных чисел

Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и –,  и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом:

1. выполняется неравенство –<x<+.

2.

3. 

4. Если x>0, то ; если x<0, то .

5. ;

6. Операции    неопределенны.

Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается  или .

§ 3. МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х| и определяется следующим образом:

Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0.

Свойства модуля

Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства:

1о.

Доказательство.

2о. Пусть а>0, тогда

Доказательство.

3о. Пусть  а>0, тогда

4о.

Доказательство.

5о.

Доказательство.

6о.

7о.

Доказательство 6о и  7о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.

§ 4. ПРОМЕЖУТКИ

Определение 4.1. Пусть a,b действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств

отрезок    

интервал   

полуинтервал     или

полупрямая (луч) или

открытая полупрямая (открытый луч)  или

прямая

Множество [a;b] называется отрезком с началом a  и концом b; (a;b) – интервалом с началом a  и концом b; [a;b), (a;b] – полуинтервалом с началом a  и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.

Множества называются бесконечными промежутками.

Изобразим эти множества на числовой прямой:

[a;b]

[a;a]

(a;b)

[a;b)

(a;b]

Определение 4.2. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

Геометрически окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.3. Пусть . -окрестностью точки а называется интервал  (а – ; а + ), т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству |х – а|< . При этом число  называется радиусом окрестности, а точка ацентром окрестности. Обозначают U(a; ).

Геометрически -окрестность изображают следующим образом:

Определение 4.4. Пусть . Выколотой-окрестностью точки а называется интервал  (а – ; а + ) без точки а, т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству 0<|х – а|< . Обозначают

Геометрически изображают следующим образом:

Пример. Построить на координатной прямой U(2; 0,5)

§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что  (). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х. 

Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

Определение 5.2. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m , что .  В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3. Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что . Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число , что  .

Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х  и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).

Свойства верхней и нижней граней множества

1о. Если  a* = sup X, то

1) выполняется неравенство .

2) такое, что выполняется неравенство .

2о. Если  = inf X то

1) выполняется неравенство .

2) такое, что выполняется неравенство

Теорема 5.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.

Дано.

Доказать.

Доказательство.

Замечание 5.1. Если множество Х неограниченно сверху (снизу), то будем считать sup X =+ (inf X =–).

В заключение приведем

Аксиому Архимеда. Каким бы ни было действительное число  k, всегда есть натуральное число n, которое больше k.

Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.

Пример 5.2. Найти верхнюю и нижнюю грани множеств:

§ 6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

П.1. Понятие функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 6.1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует один и только один элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f. Множество всех таких элементов х Î Х называют областью определения функции f и обозначают D(f)  (D(f) ). А элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х). Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f) (Е(f) ).

Заметим, что если у  Е(f), то существует по крайней мере один такой х  D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Определение 6.2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х  D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f  Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y. 

Если X = D(f) и Е(f)  Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.

Определение 6.3. Функция f , область определения и область значений которой состоят из некоторого множества действительных чисел, называется действительной функцией одной действительной переменной.

Ниже для краткости будем говорить «функция», подразумевая действительную функцию одной действительной переменной.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

  1.  заданы два числовых множества Х и Y;
  2.  задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

П.2. Способы задания функции.

1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами. Пример 6.1. Функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

Пример 6.2. Функция Дирихле

Пример 6.3. y=sgn x

2. Табличный способ.

3. Словесный (описывают словами закон, по которому находятся значения функции).

Пример 6.4. Функция f каждому квадрату со стороной а ставит в соответствие его площадь.S(a)=a2, a>0.

 Пример 6.5. Каждому действительному числу х поставим в соответствие наибольшее целое число, которое не превосходит y. Эта функция – Антье, обозначается E(x)=[x], её график.

4. Графами.

5. Графический (только для числовых функций числового аргумента).

Определение 6.4. Графиком функции , заданной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости с координатами , где х ΠD(f).

Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–либо функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

 Рис. 10      Рис. 11

П.3. Основные свойства

1.Монотонные функции

Определение 6.5. Пусть функция  задана на некотором множестве Х. Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е  Х, если для любых х1 и х2 из множества Е, таких что х1  х2, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 12).

Рис.12

Если же для любых значений х1, х2, взятых из некоторого множества Е Ì Х и удовлетворяющих условию х1  х2, вытекает некоторое неравенство f(х1)  f(х2) (или f(х1)  f(х2)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Пример 6.6. Доказать, что сумма двух возрастающих ( убывающих ) на множестве Е функции есть функция возрастающая ( убывающая) на этом множестве.

2. Функции чётные и нечётные

Определение 6.6. Функция  называется четной (нечетной), если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

 

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.7. Доказать, что произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

3. Периодические функции

Определение 6.7. Функция  называется периодической, если существует такое число l  0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Пример 6.8. Доказать, что если число l - период функции, то число kl (k=-1, ±2, …) также является периодом.

4. Ограниченные и неограниченные функции

П.4. Операции над функциями

Определение 6.8. Суммой (разностью, произведением) функций f  и g  называется функция  f+g (fg,  fg), область определения которой  (,  ), а значения вычисляются по формуле (f+g)(х)=f(x)+g(x),   (fg)(x) =f(x)–g(x),  (fg)(x)=f(x) g(x).   

Пример 6.9.

Определение 6.9. Частным функций f  и g  называется функция  , область определения которой , причём исключаем  те х,  для которых

g (х)=0, а значения вычисляются по формуле .

Пример 6.10.

Определение 6.10. Пусть y является функцией переменной u, а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть  и . Тогда функция  называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции . Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Пример 6.11.

П.5. Обратная функция

Определение 6.11. Пусть функция  определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у0 из промежутка Y будет соответствовать одно значение х0  Х такое, что  (рис. 13). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция  называется обратной для функции  и, наоборот, функция  является обратной для функции .

Рис. 13

Переход от функции  к обратной функции  сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций  и  (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо  пишут . Графики функции  и обратной функции  в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 14).

Рис. 14

Пример 6.12.

П.6. Основные числовые функции и их графики

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где любое действительное число; показательная функция , где а>0, a≠1; логарифмическая функция , где а>0, a≠1; тригонометрические функции y = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx; обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Линейная функция.

Квадратичная функция.

Степенная функция. Область определения степенной функции  зависит от показателя . Эта функция при любом a определена в интервале 0  х  +, то есть для всех положительных значений х. При a натуральном областью определения является вся числовая ось. Множеством значений функции будет интервал 0  у  + при a четном и промежуток –  у  + при нечетном (рис. 15).

Рис. 15

Показательная функция. Областью определения показательной функции  является вся числовая ось, то есть промежуток (–; + ), а множеством значений функции - промежуток (0; + ) (рис. 16).

Рис. 16

Логарифмическая функция. Областью определения логарифмической функции  является промежуток , а множеством значений функции - промежуток  (рис. 17).

Рис. 17

Тригонометрические функции. Областью определения функций y = sinx и y = cosx является промежуток , а множеством значений функций –– отрезок –1; 1 (рис. 18 и 19).

   

Рис. 18     Рис. 19

Функция  определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции есть совокупность интервалов

.

Функция  определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции состоит из интервалов

.

Множеством значений функций  и  является промежуток  (рис. 20 и 21).

  Рис. 20    Рис. 21

Обратные тригонометрические функции. Областью определения функций y = arcsinx и

y = arccosx является отрезок – 1; 1. Множеством значений функции y = arcsinx является отрезок , а функции y = arccosx –– отрезок  (рис. 22 и 23).

Рис. 22    Рис. 23

Областью определения функций y = arctgx и y = arcсtgx является промежуток . Множеством значений функции y = arctgx будет интервал , а функции y = arcсtgx –– интервал  (рис. 24 и 25).

Рис. 24     Рис. 25


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24475. Потребности и мотивы. Направленность личности 54.5 KB
  Возникновение потребности является механизмом запускающим активность человека на поиск и достижение цели которая может удовлетворить эту потребность. Существуют различные классификации потребностей человека которые чаще всего строятся на основе таких критериев как зависимость организма или личности от какихто объектов а также по нуждам которые он испытывает. Деятельность человека направляется не одним мотивом а их совокупностью т. В основе внутренних мотивов лежат потребности человека его эмоции интересы.
24476. Стратегия и этапы индивидуальной психологической помощи клиентам с проблемами нарко/алко-зависимости 55.5 KB
  Важнейшими мотивами воздержания являются: стремление быть социально полезным способствовать изменениям в обществе самореализация поиск единомышленников из чувства долга за полученную в прошлом помощь интересно провести досуг решить собственные проблемы. Предлагается поэтапное продвижение к открытому рассмотрению проблемы а затем к намерению изменить ситуацию. Потенциальные ресурсы преодоления проблемы. В качестве потенциальных ресурсов преодоления проблемы важно оценить следующие области: 1.
24477. Психология в системе наук о человеке. Предмет и структура психологической науки. Прикладная психология и её задачи 43 KB
  Психология в системе наук о человеке. Прикладная психология и её задачи. В наиболее общем виде психология может быть определена как наука направленная на изучение закономерностей развития и функционирования психики как особой формы жизнедеятельности. Современная психология находится в системе наук занимая промежуточное положение между философскими науками с одной стороны естественными – с другой социальными – с третьей.
24478. Классификация методов психологического исследования 36.5 KB
  Классификация методов психологического исследования. Метод – путь познания опирающийся на некую совокупность ранее полученных знаний принципов. Существуют различные подходы к описанию и классификации методов психологического исследования. Наиболее общепризнанной классификацией методов психологического исследования в отечественной психологии является классификация Б.
24479. Эволюция психики в филогенезе. Стадии развития психики 28.5 KB
  Эволюция психики в филогенезе. Стадии развития психики. Развитие психики в филогенезе – это качественные изменения психики происходящие в рамках эволюционного развития живых существ обусловленные усложнением их взаимодействия с окружающей средой. Леонтьева объективным критерием психики является способность организма реагировать на биологически нейтральные абиотические свойства внешней среды.
24480. Бихевиоризм и необихевиоризм.Теория оперантного бихевиоризма 47 KB
  Предмет бихевиоризма или поведенческой психологии – поведение которое понималось как совокупность реакций индивида на стимулы внешней среды. Основная задача бихевиоризма по Уотсону заключается в накоплении наблюдений над поведением человека для того чтобы в каждом данном случае – при данном стимуле – психолог мог предсказать какова будет реакция или если дана реакция какой ситуацией данная реакция вызвана...
24481. Психоаналитическое направление в психологии 42.5 KB
  Структура личности по Фрейду состоит из трех компонентов – Ид Оно Эго Я и Суперэго СверхЯ. Задача Эго – адаптация к воздействиям со стороны Ид и к требованиям окружающей реальности. Суперэго включает моральные запреты нормы традиционные ценности и идеалы общества. Инстинкты содержащиеся в Ид диктуют человеку желания которые входят в противоречия с содержанием Суперэго вызывая внутренний конфликт и трудно переносимое личностью состояние тревоги.
24482. Гештальтпсихология. Описание эмпирических методов 38.5 KB
  Gestalt – целостная форма образ структура является основным в гештальтпсихологии и выступает в качестве единицы анализа сознания и психики которое обозначает целостные несводимые к сумме своих частей образования сознания. Непосредственное начало гештальтпсихологии положено проведёнными М. Согласно гештальтпсихологии в случае совпадения этих структур наступает момент инсайта озарения и возникшая задача оказывается решенной. Объяснение этой зависимости выводило за рамки исходных принципов гештальтпсихологии и резко подчеркнуло...
24483. Культурно-историческая психология. Индивидуальность 35 KB
  Культурноисторическая психология. Культурноисторическая концепция разрабатывалась Выготским и его школой Леонтьев Лурия Эльконин Запорожец и др. Согласно культурноисторической концепции в психическом развитии существует как бы две переплетенных линии. Для проверки основных положений культурноисторической теории Выготским с сотрудниками была разработана €œметодика двойной стимуляции€ с помощью которой моделировался процесс знакового опосредствования прослеживался механизм €œвращивания€ знаков в структуру психических функций –...