70572

Системы линейных уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Запишем систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными: Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы: Данная таблица элементов состоящая из строк и столбцов называется квадратной.

Русский

2014-10-22

693.5 KB

3 чел.

Лекция 3

Системы линейных уравнений

1.К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи.

Запишем систему  линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

        

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:

Данная таблица  элементов, состоящая из  строк и  столбцов, называется квадратной .матрицей порядка  . Если подобная таблица содержит  элементов, расположенных  в  строках и столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.

Используя понятие матрицы , систему уравнений   можно записать в матричном виде: , где  и - вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно:                                              

  

          .

Специальные виды матриц:

-симметрическая матрица (се элементы расположены симметрично относительно главной диагонали  ());

- верхняя треугольная матрица с равными нулю элементами, расположенными ниже диагонали;

- клеточная матрица (се ненулевые элементы составляют отдельные группы (клетки));

- ленточная матрица (ее ненулевые элементы составляют «ленту», параллельную диагонали);

- единичная матрица (частный случаи диагональной);

- нулевая матрица.

Определителем (детерминантом) матрицы  -го порядка называется число , равное: 

Здесь индексы  пробегают все возможные  перестановок номеров ; - число инверсий в данной перестановке.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие . В случае равенства нулю определителя системы матрица называется вырожденной; при этом система линейных уравнений  либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

2.О методах решении линейных систем.

Методы решения систем линейных уравнений делятся па две группы – прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти  методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т. е. пригодны для решения широкого класса линейных систем.

Вместе с тем прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях  расходуется много места в памяти. Далее, прямые методы обычно не учитывают структуру матрицы при большом числе нулевых элементов в разреженных матрицах (например, клеточных или ленточных) эти элементы занимают место в памяти машины, и над ними проводятся арифметические действия. Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям. Прямые методы используются обычно для сравнительно небольших  систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение - начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения линейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить трудно.

Тем не менее, итерационные методы в ряде случаев предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с  компонентами. Иногда элементы матрицы можно совсем не хранить, а вычислять их по мере необходимости. Погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. Эти достоинства итерационных методов делают их особенно полезными в случае большого числа уравнений, а также плохо обусловленных систем. Сходимость итераций может быть очень медленной; поэтому ищутся эффективные пути ее ускорения.

Итерационные методы могут использоваться для уточнения решений, полученных с помощью прямых методов. Такие смешанные алгоритмы обычно довольно эффективны, особенно для плохо обусловленных систем.  

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, расположенных на главной диагонали: . Определитель единичной матрицы равен единице(), а нулевой нулю().

Матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице , если их произведение равно единичной матрице: 

.

 Всякая невырожденная матрица (т.е. с отличным от нуля определителем ) имеет обратную матрице. При этом: 

Запишем исходную матрицу: 

 Минором элемента  называется определитель -го порядка, образованный   из   определителя   матрицы зачеркиванием ой строки и  -го столбца.

Алгебраическим дополнением  элемента  называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма - четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная, т. е. .

Каждый элемент обратной матрицы  равен отношению алгебраического дополнения  элемента  (а не ) исходной матрицы  к значению ее определителя :

3.Прямые методы

Одним из способов решения системы линейных уравнений является правило Крамера, согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей.                                  

            , где                         

При большом числе уравнений потребуется выполнить огромное число арифметических операций.(число операций =)

- количество арифметических операций.                            

Поэтому правило Крамера используется для решения систем, состоящих из нескольких уравнений.

 Метод Гаусса. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается  из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается  из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным , т. е. матрица системы будет приведена к треугольному виду. К такому виду приводится лишь невырожденная матрица. В противном случае метод Гаусса не применим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем  и т. д. Последним найдем  из первого уравнения.

       Рассмотрим применение метода Гаусса для системы:

                                            (1)

Для исключения  из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на . Затем, умножив первое уравнение на  и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него .Получим равносильную систему уравнений вида:     

                                                           (2)

 ,

где     ()  ,     ().

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на   и прибавим результат к третьему. Получим систему                                               

                                            (3)

                              

где    ,      .

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Заметим что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты  , и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме при его реализации на ЭВМ.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3): 

.

Используя это значение, можно найти  из второго уравнения, а затем из первого:

 ,    .

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений.

Блок-схема решения методом Гаусса системы линейных уравнений вида:

                                                                   рис.1.

                     

Левая часть блок-схемы соответствует прямому ходу. Поясним смысл индексов: -номер уравнения, из которого исключается неизвестное ; - номер столбца; - номер неизвестного, которое исключается из оставшихся  уравнений (а также номер того уравнения, с помощью которого исключается ). Операция перестановки уравнений (т. е. перестановки соответствующих коэффициентов) служит для предотвращения деления на нулевой элемент. Правая часть блок-схемы описывает процесс обратного хода. Здесь - номер неизвестного, которое определяется из -гo уравнения; - номера уже найденных неизвестных.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов   , на которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в -м столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента .

Блок-схема алгоритма выбора главного элемента. Она дополняет блок-схему метода Гаусса. Здесь введены новые индексы:- номер наибольшего по абсолютной величине элемента матрицы в столбце с номером (т.е. среди элементов );- текущий номер элемента, с которым происходит сравнение. Заметим, что диагональные элементы матрицы называются ведущими элементами; ведущий элемент  - это коэффициент при -м неизвестном в -м уравнении на -м шаге исключения.

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента  уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для сравнительно небольшого числа () уравнений.  И только для плохо  обусловленных систем  решения,  полученные  по  этому   методу,   ненадежны.

Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся  в  оперативной  памяти  машины.  Объем  вычислений определяется порядком системы :число арифметических операций примерно равно .

4. Определитель и обратная матрица. Ранее уже отмечалось, что непосредственное нахождение   определителя требует большого объема вычислений. Вместе с тем легко  вычисляется  определитель  треугольной   матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.

Для приведения матрицы к треугольному виду может быть использован метод исключения т. е. прямой ход метода Гаусса. В процессе исключения элементов величина определителя не меняется. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке его столбцов или строк. Следовательно, значение определителя после приведения матрицы к треугольному виду вычисляется по формуле    

.

Здесь диагональные элементы  берутся из преобразованной (а не исходной) матрицы. Знак зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк (или столбцов) матрицы при ее приведении к треугольному виду (для получения ненулевого или максимального по модулю ведущего элемента на каждом этапе исключения). Благодаря методу исключения можно вычислять определители 100-го и большего порядков, и объем вычислений значительно меньший, чем в проведенных ранее оценках.

5.Метод прогонки. Он является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – системы уравнении с трехдиагональной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнении. Запишем систему уравнений в виде

                                                                                  

                                                                    

                                                                                            (1)

……………………………………………………………..

                                                   

                                                                             

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы , над ней - элементы, , под ней — элементы . При этом обычно все коэффициенты  не равны нулю.

Метод прогонки, состоит из двух этапов - прямой прогонки (аналога прямого хода метода Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода метода Гаусса). Прямая прогонка состоит в том, что каждое неизвестное  выражается через  с помощью прогоночных коэффициентов ,:                  

            (2)

Из первого уравнения системы (1) найдем   

.

С другой стороны, по формуле (2)

.

Приравнивая коэффициенты в обоих выражениях для , получаем:    

                  (3).

Из второго уравнения системы  (1)   выразим  через ,заменяя  по формуле (2):                                                              .

Отсюда найдем       или   

,        ,        ,     

Аналогично можно вычислить прогоночные коэффициенты для любого номера :

,   ,   ,           (4).

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных . Сначала нужно найти . Для этого воспользуемся выражением (2) при  и последним уравнением системы (1). Запишем их     ,   .

Отсюда, исключая , находим   .

            

Далее, используя формулы (2) и выражения для прогоночных коэффициентов (3), (4), последовательно вычисляем все неизвестные .

Блок-схема решения системы линейных уравнений вида (1).

При анализе алгоритма  метода прогонки надо учитывать возможность деления на нуль в формулах (4). Можно показать, что при выполнении условия преобладания диагональных элементов, т. е. если , причем хотя бы для одного значения  имеет место строгое неравенство, деления на нуль не возникает, и система (1) имеет единственное решение.

Приведенное условие преобладания диагональных элементов обеспечивает также устойчивость метода прогонки относительно погрешностей округлений. Последнее обстоятельство позволяет использовать метод прогонки для решения больших систем уравнений. Заметим, что данное условие устойчивости прогонки является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем вида (1) метод прогонки оказывается устойчивым даже при нарушении условия преобладания диагональных

элементов.

 

                       

           

                                                    

Итерационные методы

Уточнение решения. Решения, получаемые с помощью прямых методов, обычно содержат погрешности, вызванные округлениями при выполнении операций над числами с плавающей точкой на ЭВМ с ограниченным числом разрядов. В ряде случаев эти погрешности могут быть значительными, и необходимо найти способ их уменьшения. Рассмотрим здесь один из методов, позволяющий уточнить решение, полученное с помощью прямого метода.

Найдем решение системы линейных уравнений

                  (1)

Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислены приближенные значения неизвестных   .  Подставляя это решение в левые части системы (1), получаем некоторые значения

, отличные от  :

                          (2)

Введем обозначения:  - погрешности значений неизвестных,  - невязки, т. е.

,  ,              (3).

Вычитая каждое уравнение системы (2) из соответствующего уравнения системы (1), с учетом обозначений (3) получаем

                 (4)

Решая эту систему, находим значения погрешностей , которые   используем   в   качестве   поправок   к   решению. Следующие приближения неизвестных имеют вид :                    

Таким же способом можно найти новые поправки к решению и следующие приближения переменных  и  т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока все очередные  значения погрешностей   (поправок)  не станут достаточно малыми.

Рассмотренный процесс уточнения решения прёдставляет фактически итерационный метод решения системы линейных уравнений. При этом заметим, что для нахождения очередного приближения, т. е. на каждой итерации, решаются системы уравнений вида ,(4) с одной и той же матрицей, являющейся матрицей исходной системы (1); при разных правых частях. Это позволяет строить экономические алгоритмы. Например, при использовании метода Гаусса сокращается объем вычислений на этапе прямого хода.

Решение систем уравнений с помощью рассмотренного метода, а также при использовании других итерационных методов сводится к следующему. Вводятся исходные данные, например коэффициенты уравнений и допустимое значение погрешности. Необходимо также задать начальные приближения значений неизвестных. Они либо вводятся в ЭВМ, либо вычисляются каким-либо способом (в частности, путем решения системы уравнений с помощью прямого метода). Затем организуется циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новые значения неизвестных. При малом (с заданной допустимой погрешностью) изменении этих значений на двух последовательных итерациях процесс прекращается, и происходит вывод значений неизвестных, полученных на последней итерации.

Заметим, что в этой схеме не предусмотрен  случай отсутствия сходимости. Для предотвращения непроизводительных затрат машинного времени в алгоритм вводят счетчик числа итераций и при достижении им некоторого заданного значения счет прекращают.

Метод Гаусса — Зейделя.

Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод Гаусса Зейделя.

Проиллюстрируем сначала этот метод на примере решения системы

                   (5)

Предположим, что диагональные элементы  отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные  соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (5):

                   (6)

                 (7)

                  (8)

Зададим некоторые начальные   (нулевые)  приближения значений неизвестных: , , . Подставляя эти значения в правую часть выражения (6), получаем новое (первое) приближение для :

.

Используя это значение для и приближение  для , находим из (7) первое приближение для :

.

И наконец, используя вычисленные значения , , находим с помощью выражения (8) первое приближение для :

.

На этом заканчивается первая итерация решения системы (6-8). Используя  теперь  значения  можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению: , ,  и т. д.  Приближение с номером  можно  представить в виде

,

,

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения  не станут близкими с заданной погрешностью к значениям .

Итерационный процесс можно продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных  в двух последовательных итерациях.

Рассмотрим систему  линейных уравнений с  неизвестными. Запишем её в виде

      ,      

Здесь также будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля. Тогда в соответствии с методом Гаусса — Зейделя -е приближение к решению можно представить в виде

,    (9)

Итерационный  процесс продолжается  до  тех  пор,  пока все значения не станут близкими . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности . Тогда при заданной допустимой погрешности  критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде  

        (10).

Это критерий по абсолютным отклонениям.

При выполнении условия (10) итерационный процесс Гаусса — Зейделя называется сходящимся. В этом случае максимальные разности  между значениями переменных в двух последовательных итерациях убывают,   а сами эти значения стремятся к решению системы уравнений.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

 ,       (11)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми, т. е. для некоторых систем итерации сходятся и при нарушении условий (11).

Блок-схема алгоритма решения системы  линейных уравнений методом Гаусса — Зейделя. В качестве исходных данных вводятся коэффициенты и правые части уравнений системы, погрешность , допустимое число итераций , а также начальные приближения переменных  (). Начальные приближения можно не вводить в ЭВМ, а полагать их равными некоторым значениям (например, нулю).

Обозначения: - порядковый номер итерации; - номер уравнения, а также переменного, которое вычисляется в данном цикле; - номер члена вида  в правой части соотношения (9). Итерации прекращаются либо после выполнения условия (10), либо при . В последнем случае итерации не сходятся, и после  итераций счет прекращается без выдачи результатов. Можно предусмотреть в этом случае также и вывод на печать некоторой поясняющей информации.

Системы уравнений.

1. Вводные замечания. Ранее рассматривались системы линейных уравнений. Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных  требуется решить систему  нелинейных уравнений

        (1)

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1)  можно решить непосредственно.   Например,   для   случая   двух уравнений  иногда  удается   выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного  уравнения  относительно  одного  неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. Ниже будут рассмотрены два из них — метод простой итерации и метод Ньютона.

2. Метод простоя итерации. Систему уравнений  (1) представим в виде

      (2)

Алгоритм решения этой системы методом простои итерации напоминает метод  Гаусса — Зейделя,  используемый для решения систем линейных уравнений.

Пусть в  результате  предыдущей  итерации получены значения неизвестных . Тогда для неизвестных на следующей итерации имеют вид

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е. абсолютные величины их разностей не станут меньшими заданного малого числа.

При использовании метода простой итерации успех во многом определяется удачным  выбором   начальных приближений неизвестных: они должны быть достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.

3. Метод Ньютона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В случае одного уравнения алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнения касательной к кривой . В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (1) (например, полученные на предыдущей  итерации)

равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям

, благодаря которым решение системы (1) запишется в виде

           (3).

Проведем разложение левых частей уравнений (1) учетом (3) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку в соответствии с (1) левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:

           (4).

Значения  и их производные вычисляются при .

Определителем системы (4) является якобиан

.

Для существования единственного решения системы (4) он должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений  (1)  методом Ньютона состоит в определении приращений  к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается,  если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:.В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости.  Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера рассмотрим использование метода ньютона для решения системы двух уравнений

         (5)

Пусть приближенные значения неизвестных равны . Предположим, что якобиан системы (5) при  отличен от нуля, т.е.

.

Тогда  следующие  приближения   неизвестных  можно  записать в виде

Величины, стоящие в   правой   части,   вычисляются   при . В блок-схеме в качестве исходных данных задаются начальные приближения неизвестных , погрешность  и допустимое число итераций . Если итерации сойдутся, то выводятся значения ; в противном случае происходит вывод .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30703. И. А. Бунин. Тема любви 15.98 KB
  Тема любви. В теме любви Бунин раскрывается как человек удивительного таланта тонкий психолог умеющий передать состояние души раненной любовью. На протяжении столетий многие художники слова посвящали свои произведения великому чувству любви и каждый из них находил чтото неповторимое индивидуальное этой теме. Эта тайна бытия становится темой бунинского рассказа Грамматика любви1915.
30704. Образ нигилиста Базарова и тема смены поколений в романе И.С. Тургенева «Отцы и дети». Тургеневский принцип «тайной психологии» в изображении человеческих характеров 13.82 KB
  Сюжет строится на столкновение двух враждебных идеологий – разночиннодемократической к которой относится Евгений Базаров и либеральнодворянской.Взгляды Базарова главного героя романа сводятся к резкой критике того положения которое сложилось в стране. Но Базаров не видит силы и в народе.
30705. Философское звучание стихотворения А.С. Пушкина «Вновь я посетил…» 12.03 KB
  Так в стихотворении начинает звучать мотив жизни и смерти. Мотив семьи таким образом перерастает в тему смены поколения вечного непрестанного обновления жизни. Так к финалу стихотворения мотив смерти преобразуется в мотив памяти а воспоминание о своем личном приобретает характер всеобщий философский.
30706. Новая социалистическая «волна» в Западной Европе: приход к власти лейбористов в Великобритании, социалистов во Франции, социал-демократов в Германии (опыт 1990-х гг.) 27.5 KB
  Германия В Западной Германии СоцДемокрПартГерм выиграла выборы в ФРГ в 1969 и находилась у власти до 1982 правительства в эти годы возглавлял Вилли Брандт а затем с 1974 Гельмут Шмидт. Вначале СДПГ выступала против перевооружения Западной Германии и вступления её в НАТО но впоследствии её позиция резко изменилась. В советском секторе оккупации где впоследствии была провозглашена ГДР СДПГ и Коммунистическая партия Германии объединились в Социалистическую единую партию Германии.
30707. Буржуазно-демократические революции в Германии, Австрии, Венгрии (1918): общее и особенное 23.5 KB
  Вслед за Германией буржуазнодемократические революции начались в Австрии и Венгрии что привело к свержению монархии и провозгласило республику во главе с коалиционным правительством и с буржуазнодемократическими правами и свободами. В Венгрии была объявлена республика а потом ее провозгласили Советской республикой по примеру России но она не сумела удержать власть и распалась в 1919 г. в Венгрии была установлена авторитарная диктатура и она была провозглашена монархическим государством.
30708. Политика правящих кругов и усиление левой оппозиции во Франции (1919 – 1923 гг.) 22.5 KB
  В отношении рабочего класса применялась политика уступок которые чередовались репрессиями. Политика правящих кругов также отразилась и на политическом уровне – впервые были проведены выборы в парламент и объединение в Национальный блок целью которого стала борьба с большевизмом.
30709. Проблемы антифашистской борьбы в Европе 1920 – 1930 гг 23.5 KB
  В 1935 во Франции был создан Народный фронт в состав которого вошли как коммунистические и социалистические партии так и левобуржуазные политические организации. Народный фронт представляет собой политический союз который как правило объединяет левые и центральные силы для осуществления противодействия правым силам представителей власти. Основной целью возникновения народных фронтов стала борьба за защиту экономических интересов рабочего класса и противопоставление войне и фашизму. Самый первый народный фронт был образован во...
30710. Основные тенденции и итоги развития Европейского Сообщества в 1990-е 23.5 KB
  ЕЕА провозгласил создание Европейского Союза на основе существующих Сообществ и углубление компетенции союза ЕС в области координации экономической валютной социальной политики социальноэкономического сплочения исследований и технологического развития защиты окружающей среды а также развитие европейского сотрудничества в области внешней политики. Амстердамский договор 1997 подтвердил основные цели Союза и дополнил раздел общей внешней политики и политики безопасности. При анализе политики Европейского Союза...
30711. Создание и основные направления деятельности антигитлеровской коалиции 24 KB
  Черчилль и США – Рузвельт заявили о своем желании оказать помощь Сов. Великобритания и США подписывают Атлантическую Хартию о совместных действиях против Гитлера СССР присоединилась к ней. Нападение Японии на США ускорило формирование Антигитлеровской коалиции. В декабре 1941 США официально вступает во 2у мировую войну.