70655

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Лекция

Физика

Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов можно установить взаимосвязь между параметрами состояния идеального газа в любом термодинамическом состоянии. Изменение хотя бы одного из параметров приводит к изменению остальных пара-метров.

Русский

2014-10-23

765.02 KB

18 чел.

1

ЛЕКЦИЯ 2.3 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

План:

2.3.1 Уравнение состояния среды и взаимозависимость физических параметров потока

2.3.2 Уравнение неразрывности движущегося потока ( Уравнение Л. Эйлера)

2.3.3 Уравнения сохранения энергии движущегося газового потока

2.3.4 Уравнение баланса энергии подвижного потока (уравнение Д. Бернулли)

2.3.5 Практическое использование основных уравнений аэродинамики

2.3.1 Уравнение состояния потока и взаимозависимость физических параметров потока

Состояние газа, как рабочего тела, характеризуется определенными значениями па-раметров состояния: давлением (p), температурой (Т) и удельным объемом(w) или массо-вой плотностью(ρ).

Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов можно уста-новить взаимосвязь между параметрами состояния идеального газа в любом термодинами-ческом состоянии.

Изменение хотя бы одного из параметров приводит к изменению остальных пара-метров.

В общем виде связь между термодинамическими параметрами может быть представ-лена зависимостью: f (p,T,w,ρ)=0.

Зависимость, связывающая параметры состояния газа называется уравнением сос-тояния газа и имеет вид:

p*w=RТ     или    и     ρ*w = 1

где

p-давление газа, Па;

w-удельный объем, ;

Т-температура газа, 0К;

ρ-массовая плотность, ;

R=287,14 , газовая постоянная, характеризует природу конкретного газа и не зависит от параметров его состояния.

Уравнение получено путем объединения частных законов Бойля-Мариотта и Гей-Люссака в общий закон и оно получило название уравнения Клайперона-Менделеева.

Для определения состояния идеального газа достаточно знать только два его пара-метра (p и w,ρ) или (p и Т) или (w,ρ и Т) третий параметр определяется из уравнений:

Т=;  w=  ;  p=;  ρ=;

Решение уравнения упрощается, если один из параметров состояния газа сохраняет-ся постоянным:

1 Для изохорического процесса: w = const, p2 = p1*  

2 Для изобарического процесса: p = const, w2 = w1*  

3 Для изотермического процесса Т = const, p2 = p1*  

4 Для адиабатического процесса Q = 0; p2 = p1*( ;  w2 = w1*( ;  Т2 = Т1*(

Наибольший интерес представляет определение неизвестного параметра по двум другим известным параметрам, которые можно определить при помощи определенных инструментальных приборов. Например, при давлении p =760 мм. рт. ст. (101320 Н/м2) температура T=288Т, плотность воздуха согласна уравнению состояния равна:

=

2.3.2 Уравнение неразрывности подвижного потока (уравнение Л. Эйлера)

Уравнение неразрывности отражает условие сохранения массы движущегося потока жидкости или газа. Для вывода уравнения мысленно выделим в потоке жидкости или газа замкнутый объём в виде трубки тока:

Рис 2.3.1 Схема трубки тока движущегося потока

Уравнение неразрывности выведено на основании закона сохранения материи, уста-новленного в 1748 г. русским ученным М.В. Ломоносовым. Уравнение неразрывности бы-ло опубликовано Л. Эйлером в 1770 г. и представляет собой применение закона сохране-ния энергии к струйке газа.

Пусть в сечении “1-1” площадь  параметры состояния газа равны  За время через сечение проходит масса воздуха

Через сечения “2–2” проходит за своя масса воздуха .

Так как через боковую поверхность трубки тока воздух не просачивается, то через любое сечение трубки за одинаковое время проходит одинаковая масса воздуха.

         или

= const

Тогда для установившегося движения уравнение имеет вид:

,       или    S = const/

где

удельный расход газа;

При небольших скоростях прямолинейного движения воздуха сжимаемостью можно пренебречь=, тогда уравнение примет вид:

изический смысл уравнения: при малых скоростях движения воздуха уменьшение площади поперечного сечения потока вызывает увеличение скорости движения.

Отсюда

Из уравнения следует, что при дозвуковой скорости потока скорость движения газа в струйке обратно пропорционально площади поперечного сечения, т.е. при уменьшении площади поперечного сечения струйки скорость течения возрастает, и наоборот.

В случае движения с большой дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой скорос-тью, когда проявляется свойство сжимаемости , изменение скорости зависит не только от площади поперечного сечения, но и от изменения плотности. Тогда выражение примет вид:

При сверхзвуковой скорости потока вследствие особенностей изменения физических параметров плотность газа меняется быстрее, чем скорость. Поэтому для получения сверзвуковой скорости и ее увеличения необходимо расширять струйку, увеличивать ее площадь поперечного сечения по определенному закону. Непрерывное увеличение ско-рости потока от дозвуковой до сверхзвуковой возможно лишь в струйке, имеющей форму сопла Лаваля.

При больших скоростях потока на сжимаемость воздуха оказывает влияние не только скорость воздушного потока, но и скорость звука в потоке. В качестве критерия сжимаемости движущегося воздуха используется число Маха ., причем чем больше скорость воздушного потока, тем больше его сжимаемость.

Таким образом, уравнение постоянства расхода, являясь частным выражением зако-на сохранения материи применительно к струйке газа, связывает между собой скорость, плотность и площадь того поперечного сечения струйки, в котором рассматриваються эти характеристики.

V=                                            V=

Рис 2.3.2 Схема течения потока вздуха в сопле Лаваля

2.3.3 Уравнения сохранения энергии движущегося газового потока

Масса движущегося газа в любом сечении потока обладает тремя видами энергии:

  1.  внутренней энергией - U = cw*Т, ккал/ кг;
  2.  энергией давления - Еп = p*w, кгм/кг;
  3.  кинетической энергией-Ек = , кгм/кг

Рис 2.3.3 Схема сохранения энергий движущегося потока

Баланс энергии для элементарного объема газа согласно І –го закона термодинамики имеет вид:

где,

– внешнее тепло подводимое к 1 кг массы газа, ккал;

– теплосодержание газа (энтальпия), кгм/кг;

V – скорость движения частиц газа, м/с;

– робота совершаемая газом, кгм/кг.

Внешнее тепло, подводимое к частице газа расходуется на увеличение теплосодер-жания, увеличения кинетической энергии и выполнения внешней работы.

Так как скорости движения частиц газа достаточно большие, то тепло не успевает подводиться снаружи к газу (), а значит и внешняя работа газом не произво-дится (), тогда уравнение сохранения энергии примет вид:

= 0

После интегрирования выражения, получим уравнения:

i +  = const,= E

Сумма внутренней энергии и энергии давления газа называется теплосодержанием или энтальпией газа:

i = U + A*p*w,

где,

А – коеффициент эквиваленности подводимого тепла внешней работе,

А = , ккал/кгм;

Учитывая, что внутренняя энергия равна U = cw*T , а энергия давления равна

Еп = p*w, которая согласно уравнения состояния идеального газа также равна

Еп = R*T, то можно записать:

i = cw*T  + ART = (cw +  AR)*T

(cw +  AR) = cp, тогда 

i = cp*T  

Таким образом, при установившемся движении газа без подвода и отвода тепла со стороны и при невыполнения газом механической работы, сумма энтальпии и кинетичес-кой энергии в любом сечении потока сохраняется неизменной:

i +  = cp*T + const

Физический смысл уравнения: изменение кинетической энергии газа в основном происходит за счет изменения его теплосодержания.

2.3.4 Уравнение баланса энергии подвижного потока (уравнение Д. Бернулли)

Уравнения Бернулли является дополнением к закону сохранения энергии движущих-ся жидкостей и газов. Данный закон сформулировал известный ученный Даниил Бернулли в 1738 году. Выделим в установившемся потоке жидкости трубку тока. Пусть в сечении “1 – 1” площадью (), которое находится на высоте ( относительно базового уровня параметры потока равны:V1, p1, ρ1.

В сечении площадью на высоте  параметры газа . Допустим, что обмен энергии между потоком и окружающей средой не осуществляется: через неко-торое время (: жидкость из сечения ( ) переместиться на некоторое расстояние по трубке , а из сечения  – на расстояние равное

Согласно уравнения неразрывности потока через выделенные сечение потока за вре-мя  проходит одинаковая масса жидкости

Определим работу, которую совершают силы давления в жидкости. В сечении “1-1”

,

аналогично для сечения 2–2 

Рис 2.3.4 Схема сохранения енергии движущегося потока

Работа выполненная над объемом жидкости между сечениями «1 – 1» и «2 – 2» будет равняться

.

Это работа увеличивает энергию массы жидкости  при прохождении ею рас-стояния от сечения  к сечению

 

где

и энергия массы движущегося в сечениях ,.

Энергия массы газа состоит из кинетической энергии, потенциальной и внутренней энергии  

Кинетическая энергия характеризует способность выделенной массы газа выполнять работу при его торможении от исходной скорости до нулевой скорости =

Потенциальная энергия характеризуетэнергию силы веса и показывает какую робо-ту масса газу ( может выполнить при изменении высоты сечения потока газа ( от-носительно выбранного уровня

= .

Внутренняя энергия характеризует способность выделенной массы газа выполнить работу при изменении температуры:

 

где

-  теплоемкость газа при постоянном объеме.

Учитывая уравнения состояния газа     и газовую постоянною газа

, получим

,

тогда выражение внутренней энергии газа можно записать в виде:

*                  при  k=

где

k=  - показатель адиабаты ( для воздуха = 1,4).

Тогда уравнение энергии массы газа в общем виде можно записать:

 

поставив в уравнение , получим;

Учитывая уравнение неразрывности и сгруппировав величины с одинаковыми ин-дексами получим уравнение Д. Бернулли с учетом сжимаемости:

Так как в аэродинамике струйки газового потока находятся практически на одном уровне, то изменение энергии положения в уравнении можно не учитывать, т.е., таким образом можно считать, что

 

Тогда уравнение Д. Бернулли с учетом сжимаемости будет иметь вид:

При движении газа с малой дозовой скоростью сжимаемостью его можно пренеб-речь, т.е.  и можно считать что температура массыжидкости не меняется, а значит внутренняя энергия по всем сечениям потока постоянная

тогда уравнения Бернулли без учета сжимаемости примет вид

где

статическим давлением, Н/

- динамическое давление или скоростной напор.

В общем виде уравнение Д. Бернулли без учета сжимаемости имеет вид:

-                      полное давление

Физический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что при установившемся дви-жении несжимаемого газа полное давление равно сумме статического и динамического давления и является величиной постоянной во всех сечениях одного и того же потока газа.

2.3.5 Практическое использование основных уравнений аэродинамики

Уравнения устанавливают очень важную для аэродинамики зависимость между ско-ростью потока, давлением в нем и основными газодинамическими параметрами газа.

1 Полное торможение потока

В случае полного торможения потока газа в сеченях кинетическая энергия газа пол-ностью превращается в потенциальную энергию давления.

Согласно уравнения Д. Бернулли:

, при  

Уравнение принимает вид:

       или           

Таким образом в случае полного торможения потока несжимаемого газа повышение давления  в месте торможения равняется скоростному напору, а давление заторможён-ного потока равно полному давлению

Рис 2.3.5 Схема полного торможения потока

2 Образование подъемной силы

На основании уравнения неразрывности и уравнения баланса энергии движущегося газа можно объяснить физическую сущность возникновения подъемной силы на обтекае-мом потоком газа теле.

Рис 2.3.6 Схема образования аэродинамической силы

При обтекании тела газовым потоком на верхней его поверхности скорость потока увеличивается из-за уменьшения площади сечения струек что приводит к уменьшению давления. На нижней поверхности, сужение струек может не происходить, и поэтому ско-рость течения не увеличивается, а значит давление не изменяется. Таким образом на обте-каемом теле возникает разность давлений, что приводит к возникновению подъемной си-лы Yа , направленной вверх.

3 Измерение скорости полета

На основании закона Д. Бернулли используется принцип изменения скорости полета летательного аппарата. Измерение скорости осуществляется при помощи приемника воз-душного давления (ПВД), состоящей из 2-х трубок: внутренней трубки 1, которая является приемником полного давления и внешней, которая является приемником стати-ческого давления:

Обе трубки соединены с указателем скорости 3,под действием разности давлений мембранная коробка 4 деформируется и через передаточный механизм передвигает стрел-ку прибора 5

отсюда                                        Vпр= ;

Рис 2.3.7 Схема измерения скорости воздушного потока

Скорость измеренная ПВД называется приборной скоростью ЛА. С увеличением вы-соты полета, в связи с уменьшением плотности воздуха показания прибора становится не-верным. Поэтому воздушная скорость ЛА  на некоторой высоте (H) будет несколько большей, чем скорость показываемая прибором. С этой целью для определения истинной воздушной скорости вводится поправка 1\Δ

        воздушная скорость

где

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2459. Відокремлені прикладки, урок для 8 класу 76.5 KB
  Мета організації уроку: сформувати в учнів поняття про відокремлену прикладку на основі відтворення і поглиблення знань, умінь і навичок учнів з тем, отриманих на попередніх заняттях, навчити восьмикласників обґрунтовано вживати розділові знаки при відокремлених прикладках, знаходити і виправляти пунктуаційні помилки на вивченні правила.
2460. Особливості побудови наукового і художнього описів. Опис тварини. Усний вибірковий переказ тексту, що містить опис тварини 35.72 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про особливості побудови художнього і наукового описів тварини, навчити правильно будувати текст-опис тваринки, знаходити основне, неповторне в образі тваринки і описувати свої спостереження, навчити школярів сприйняття та відтворення текстів, що містять опис тварини.
2462. Присвійні, вказівні займенники, їх відмінювання 74 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття присвійних та вказівних займенників, уміння їх відмінювати.
2463. Відокремлені додатки 59.5 KB
  Мета організації уроку. Сформувати поняття про відокремлений додаток, навчити оформляти відокремлені додатки на письмі та використовувати набуті уміння на практиці.
2464. Степан Васильченко. Свекор 54 KB
  Ознайомити учнів з фактами життя письменника, які вплинули на формування світогляду, специфікою його майстерності та із змістом оповідання Свекор, розвивати навички виразного читання, переказу прозових творів; виховувати почуття любові, злагоди, взаємодопомоги та турботи у сім’ї.
2465. Письмовий твір-роздум на морально-етичну чи суспільну теми публіцистичного стилю 39 KB
  Мета організації уроку. Удосконалювати вміння учнів продукувати письмовий твір-роздум на морально-етичну тему, розвивати усне і писемне мовлення, сформувати в учнів вміння виділяти в тексті всі компоненти роздуму, розуміти їх призначення в організації висловлювання, а потім свідомо відтворювати їх у власному мовленні.
2466. Усний твір, що містить опис тварини. 33.38 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про опис зовнішності тварини; навчити правильно будувати текст-опис зовнішності тварини, через зовнішність описати її характер, знаходити основне, неповторне в образі конкретної тварини і описувати свої спостереження.
2467. Загальновживані (нейтральні) та стилістично забарвлені слова. 33.86 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про загальновживані та стилістично забарвлені слова, навчити розпізнавати і використовувати їх у власному мовленні, виховувати любов до слова.