70696

Закон сохранения энергии в механике

Лекция

Физика

Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций. Связь между потенциальной энергией и силой. Закон сохранения энергии.

Русский

2014-10-24

461.5 KB

5 чел.

PAGE  9

1й курс. 2й семестр. Лекция 4


a

y

dr

z

mg

x

H

v

                        Лекция 4. Закон сохранения энергии в механике.

Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций. Связь между потенциальной энергией и силой. Закон сохранения энергии.

Рассмотрим движение материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета. Второй закон Ньютона имеет вид:

                                                                    .

Вектор скорости точки  направлен  по касательной к траектории. Поэтому вектор малого перемещения точки  тоже направлен по касательной к траектории (dt – малый промежуток времени). Умножим скалярно уравнение движения на вектор малого перемещения    и проинтегрируем вдоль пути:

                                                       .

Преобразуем левую часть равенства.

                               

                                         .

Кинетической энергией материальной точки массы  m, которая движется скоростью v, называется величина  . Кинетическая энергия материальной точки – это энергия её механического движения.

Единицы измерения кинетической энергии – Дж (Джоуль). Иногда кинетическую энергию полезно выразить через импульс тела  ():  .

Преобразуем правую часть равенства. Элементарной работой   постоянной силы  , действующей на материальную точку, при малом перемещении  точки приложения силы называется скалярное произведение    на  :

                               

где - угол между вектором силы и вектором перемещения. Единицы измерения работы – Дж (Джоуль).

Работу величиной в один Джоуль совершает постоянная сила в 1 Ньютон, совпадающая по направлению с перемещением длиной 1 метр.

Работа переменной силы:

                                                  ,

где  элементарное перемещение , а  сила  в общем случае может быть результирующей нескольких сил.

Итог.

Приравняем правую и левую части равенства:

                                                         или

с учётом приведённых преобразований:

                                                       .

Таким образом была доказана теорема об изменении кинетической энергии. Приращение  кинетической энергии материальной точки при некотором  перемещении равно алгебраической сумме  работ всех сил, действующих на нее на том же перемещении.

                                                  Мощность силы.

Средней мощностью силы   называется отношение работы этой силы к интервалу времени, за который была совершения эта работа:

                                                         .

Единицы измерения мощности Вт (Ватт); мощность силы в 1 Вт соответствует работе в 1 Дж, совершаемой силой за 1 секунду.

Мгновенной мощностью силы называется мощность этой силы за малый промежуток времени:

                                                           ,

где  - вектор скорости точки.

Следствие. Если в каждый момент времени  , то работа данной силы равна нулю.

                                           Кинетическая энергия твердого тела,

                                  вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае вращения твёрдого тела величина скорости вращения любой точки вокруг оси равна  , где   - расстояние от этой точки до оси вращения, поэтому суммарная кинетическая энергия всех точек равна:

                                     ,

где   - момент инерции тела относительно оси вращения.

Рассмотрим уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг оси  z:

                                                               .

Умножим левую и правую части этого уравнения на малый угол :

                                                               

Преобразуем левую часть равенства (учтём, что малый угол поворота ):

                                                       .

Если рассмотреть поворот на конечный угол , то получим:

                                                       ,

откуда

                                                    .

Слева стоит выражение для приращения кинетической энергии вращающегося тела, а справа -  выражение для работы внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол . Таким образом, если известен момент внешних сил  относительно оси вращения z, то работа этих сил при повороте тела вокруг оси вычисляется по формуле:

                                                               .

А мгновенная мощность сил:

                                                                .

Замечание. Если малый угол поворота задать в векторном виде  , то выражение для  работы и мощности при вращательном движении можно записать следующим образом:

                                                               ,      .

                       КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).

Рассмотрим систему движущихся точек. Кинетическая энергия системы - это суммарная энергия всех точек:

                                                          .

Скорость каждой точки можно представить в виде:  ,

где  - скорость центра масс системы (одинаковая для всех точек системы),

- относительная скорость точки (в системе отсчета, где центр масс покоится). Тогда

       .

В правой части равенства слагаемые имеют следующий физический смысл:

- кинетическая энергия центра масс системы;

- кинетическая энергия относительного движения точек;

, но , где  - относительная скорость центра масс в системе отсчета, где центр масс покоится. Очевидно, что , поэтому для этого слагаемого получаем:

.

Окончательно исходное равенство примет вид:

                                                  

Полная кинетическая энергия тела (системы точек) равна сумме кинетической энергии той же системы в её движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая систем, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

Это утверждение принято называть теоремой Кёнига. Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела и кинетической энергии вращения этого тела вокруг  центра масс.

Пример. Определить кинетическую энергию диска массой  m  и радиуса  R, катящегося без проскальзывания со скоростью .

Решение. Так как диск катится без проскальзывания, то скорость центра масс равна  и величина скорости вращения точек края диска относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости диска, тоже равна v. Следовательно, полная кинетическая энергия:

                                                     .

При вращении диска вокруг центра масс угловая скорость всех точек равна , поэтому кинетическая энергия вращения . Момент инерции диска относительно рассматриваемой оси вращения  равен . Тогда кинетическая энергия в поступательном движении со скоростью центра масс диска равна . Следовательно .

Математическое отступление

Пусть задана функция от нескольких аргументов, являющаяся непрерывно-дифференцируемой по каждому из них: . Производная такой функции по одному из аргументов (например, по x) при условии, что остальные не меняются, называется частной производной по данному аргументу и обозначается  .

Пусть в трёхмерном пространстве задана непрерывно дифференцируемая функция . Рассмотрим значения этой функции в двух соседних точках пространства, отстоящих друг от друга на малый вектор  :

                                      и    .

Тогда разложение в ряд Тейлора для функции  U  вблизи точки    имеет вид:

                                  

Если ввести вектор , который называется градиентом функции U,  и отбросить остальные слагаемые в разложении (которые обозначены точками), то для приращения функции U  можно записать:

                                  ,

где - угол между векторами   и  .

Свойства градиента функции

1) В каком направлении нужно двигаться, чтобы увеличение функции было максимальным? Видно, что при постоянных величинах  и  значение  будет максимальным если  или , т.е. вектор  должен быть сонаправлен  с вектором . Следовательно, вектор градиента функции  () направлен в сторону максимального роста функции U.

2) Поверхностью уровня функции  U  называется поверхность в пространстве, на которой

. Если сместиться вдоль поверхности уровня на малый вектор , то значение функции не изменится, поэтому . Это означает, что , т.е. векторы и   перпендикулярны. Следовательно, вектор градиента функции направлен перпендикулярно к поверхности уровня функции в каждой её точке.

                            ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.

В механике силы принято делить на  консервативные и неконсервативные.

Рассмотрим силы между телами, которые зависят только от  их взаимного положения. Такие силы называются консервативными или потенциальными.

Консервативными силами являются:

1) Сила всемирного тяготения. Она зависит только от расстояния между телами.

2) Сила тяжести. Она является частным случаем силы всемирного тяготения.

3) Сила кулоновского взаимодействия.

4) Сила упругости.

           Для каждой из консервативных сил можно определить потенциальную энергию. Работа   А, совершаемая консервативными силами при изменении конфигурации системы, т.е. расположения её частей (материальных точек) относительно системы отсчёта, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы в конечную. Работа  А  полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно её можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы  , называемой потенциальной энергией системы:

                                         .

Соответственно элементарная работа консервативных сил при малом изменении конфигурации системы равна:

                                                        .

              Если внешние консервативные силы нестационарны, то потенциальная энергия системы зависит не только от конфигурации системы, но также и от времени. Между тем работу эти силы совершают только при перемещении системы. Поэтому приведённые выше соотношения справедливы  лишь при условии стационарности внешних консервативных сил.

              Ещё раз подчеркнём, что потенциальная энергия для консервативной силы - это физическая величина, зависящая только от положения точки (тела), убыль которой равна работе соответствующей силы, действующей на точку (тело).

(Обратите внимание на порядок индексов). Потенциальная энергия, как и работа, измеряется в Джоулях. Потенциальная энергия – это энергия, определяемая положением тела. В одном и том же положении тело будет иметь одинаковую потенциальную энергию.

Замечание. Поскольку в определении сказано о разности энергий, то энергию можно определить только с точностью до произвольного постоянного слагаемого -  к определяющим соотношениям можно прибавить любую постоянную величину  С, которая при взятии разности пропадёт:

                                               .

1) Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до константы. Поэтому нельзя говорить об абсолютном значении потенциальной энергии без указания «начала отсчета» - точки, где указано конкретное значение энергии.

2) Работа консервативной силы не зависит от пути, вдоль которого двигалось тело, а только от его начального и конечного положений.

                                                      .

Следовательно, работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю. Действительно,

для замкнутого пути  , поэтому . (Кружок в знаке интеграла показывает, что путь замкнутый.)

Замечание. Нельзя сказать, что если работа силы по замкнутому контуру равна нулю, то эта сила – консервативная. Например, вектор магнитной составляющей силы Лоренца всегда направлен перпендикулярно вектору скорости частицы, поэтому работа этой силы по любой траектории (в том числе и по замкнутой) равна нулю. Но эта сила не является консервативной – она является гироскопической силой.

Рассмотрим две близкие точки в пространстве, смещённые друг от друга на малый вектор  , координаты этих точек:      и   .

           Работа консервативной силы  при перемещении между этими точками равна:

                               

Но изменение потенциальной энергии при перемещении между точками можно записать в виде:

                               

или

                               .

Так как вектор  произвольный, то поэтому , , ,

т.е. для консервативной должно выполняться равенство .

Изоэнергетической поверхностью в пространстве называется поверхность уровня энергии, т.е. поверхность на которой величина энергии остается постоянной. Изоэнергетическая поверхность для потенциальной энергии называется также эквипотенциальной поверхностью.

Таким образом, вектор консервативной силы направлен в сторону скорейшего убывания потенциальной энергии перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

                          Примеры потенциальной энергии

1) Найдем потенциальную энергию для силы гравитационного взаимодействия. Пусть  – радиус-вектор точки  m2  в системе отсчёта, связанной с точкой  m1. Тогда вектор гравитационной силы, действующей на материальную точку m2, направлен противоположно :  ,  где   - единичный вектор направления для вектора . Т.к. сила гравитации – консервативная, то должно выполняться равенство:

                                                .

Этот интеграл не должен зависеть от траектории, поэтому будем интегрировать вдоль радиус-вектора . Векторы    и    направлены противоположно, поэтому

                                                  .

         .

Сравниваем:  .

Следовательно, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек определяется выражением:

                                                    .

Обратите внимание на знак минус! (Обычно принимают, что С=0.)

2) Для силы тяжести    потенциальная энергия   WП = mgh.

Здесь высота h определяется выбором начала отсчета энергии.

Проверим соотношение  .

В системе отсчёта, связанной с Землёй , введем систему координат так, чтобы ось  z  была направлена вверх (против вектора силы тяжести), тогда потенциальная энергия тела равна , где С определяется началом отсчета координаты z.

Эквипотенциальная поверхность – горизонтальная плоскость z=const , поэтому вектор силы должен быть направлен ей перпендикулярно, т.е. вертикально. Величина энергии увеличивается вверх, поэтому вектор силы должен быть направлен вниз. Действительно,  ,  ,  . Т.е. вектор силы   в этой системе координат действительно направлен вертикально вниз.

3) Для силы кулоновского взаимодействия:    потенциальная энергия:

                                                   .

(Обычно  С=0.  В случае если заряды разного знака, то потенциальная энергия отрицательна.)

4) Для силы упругости  потенциальная энергия:   .  (Обычно С=0.)

Потенциальная энергия для обобщенного закона Гука.

Из соотношений  ,  ,  получаем    .

Учитывая, что объём деформируемого тела  , находим энергию при возникновении относительной деформации величиной  :

                                                      .

               ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.

Определение. Полной механической энергией тела (системы) называется сумма потенциальной и кинетической энергий системы:

                                                      WМЕХАН = WКИН +WПОТ.

Рассмотрим тело, на которое действуют только консервативные силы. Приращение кинетической энергии тела равно алгебраической сумме работ всех действующих на нее сил:

                                               .

Но, так как в системе действуют только консервативные силы, то для них можно ввести потенциальную энергию и выразить работу через убыль потенциальной энергии:

                                                .

Следовательно,          или

        ,     т.е.    .

Сформулируем закон сохранения механической энергии, но сначала введём понятие консервативной механической системы. Механическая система называется консервативной, если все действующие на неё внешние и внутренние неконсервативные силы не совершают работы (), а все внешние консервативные силы стационарны. Потенциальная энергия консервативной системы может изменяться только при изменении  конфигурации системы.  Следовательно, частная производная по времени от потенциальной энергии консервативной системы, характеризующая быстроту изменения этой энергии с течением времени при условии постоянства  конфигурации системы, тождественно равна нулю:  .

Формулировка закона сохранения механической энергии: Механическая энергия консервативной  системы не изменяется с течением времени.  

В частности, этот закон справедлив для замкнутых консервативных систем: Механическая энергия  замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы консервативны либо не совершают работы. Например, силы трения покоя и гироскопические силы работы не совершают. Поэтому действие таких сил на систему не вызывает изменения её механической энергии.

 Пример. Найти величину второй космической скорости для Земли. (Второй космической скоростью называется наименьшая скорость старта тела с поверхности планеты, при которой тело может улететь от планеты «навсегда» – т.е. уйти на бесконечно большое расстояние, так что сила притяжения к планете обратится в ноль.)

Решение. Когда тело массой m стартует со скоростью  V  с Земли, полная механическая энергия системы тело-Земля равна . (Здесь принято, что постоянная С=0). Предположим, что тело улетело от Земли на бесконечно большое расстояние и там остановилось. Тогда полная механическая энергия должна быть равна нулю. Гравитационная сила является консервативной, поэтому в системе планета-тело выполняется закон сохранения механической энергии:   или

                                            ,  откуда   .

С учетом выражения для ускорения свободного падения близи поверхности Земли:: , получаем . Видим, что эта скорость больше первой космической  в .

Таким образом, консервативные силы сохраняют механическую энергию. Поэтому они так и называются. (Название «консервативные» – переводится как «сохраняющие»).

Помимо консервативных сил в механике вводятся также диссипативные силы  - силы «рассеивающие» механическую энергию. Диссипация – это перевод энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов (в конце концов – в тепло).

К диссипативным силам относятся, в частности, сила трения скольжения и сила сопротивления движению тела в жидкости или газе.

Во всех системах тел, независимо от типа действующих сил, всегда выполняется основной закон природы – закон сохранения энергии. Энергия замкнутой системы не убывает и не увеличивается – она только переходит из одной формы в другую.

Пусть в замкнутой системе действуют консервативные и неконсервативные силы. Тогда

                                                   .

Для консервативных сил:  .     Поэтому

   или     ,  т.е.

                                                   .

Закон изменения механической энергии замкнутой системы: изменение механической энергии замкнутой системы равно алгебраической сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на систему.

Если на систему действуют внешние нестационарные консервативные силы, то изменение механической энергии системы будет происходить также за счёт изменения потенциальной энергии системы за рассматриваемый промежуток времени, обусловленного нестационарностью внешних консервативных сил.

 Пример. Диск массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с горки высотой H. Найти скорость диска в конце спуска. (Силой сопротивления воздуха пренебречь).

Решение. В данном случае в системе есть сила трения, которая заставляет вращаться диск. Но т.к. диск катится без скольжения, то скорость в точке касания равна нулю. Поэтому мощность силы трения равна нулю, следовательно, и её работа равна нулю. Тогда

,   но   ,  т.е.         или   .

                                                        Откуда , .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29257. ФУНКЦИИ КУЛЬТУРЫ 33.5 KB
  совокупность ролей которые выполняет культура по отношению к сообществу людей. Четвертый и последующие уровни функций культуры связаны с дифференциацией культуры на специализированные функциональные сегменты: экономическая культура военная культура культура торговли религиозная культура педагогическая культура и т. системы критериев качества осуществления тех или иных социальных функций культура труда и потребления культура быта культура языка культура научного мышления культура худож.
29258. Йохан Хейзинга (1872-1945) 46 KB
  Игра старше культуры игра предшествует культуре игра творит культуру таков лейтмотив концепции Хейзинги. Свой интерес к человеку играющему Хейзинга обосновывает следующим образом: люди оказались не столь разумными как наивно внушал светлый 18 век в своем почитании Разума. Человек играющий выражает такую же существенную функцию жизнедеятельности как и человек созидающий и должен занять свое место рядом с Homo faber.
29259. Христианский тип культуры 31 KB
  Православие как культурноисторический феномен. В целом несмотря на большое влияние Византии русская культура уже с первых шагов своего развития обнаруживает заметные черты своеобразия это проявилось и двоеверии – причудливом сплаве который образовало греческое православие и славянское язычество и в многоглавии первых русских соборов и в эпосе и в самом строе повседневной жизни оставшемся неизменным у подавляющего большинства населения. Православие хочет быть полным откровением христианства. По своему внутреннему упованию православие...
29261. Элитарная и массовая культура 36.5 KB
  Когда уровень образования населения растет круг потребителей высокой культуры расширяется. Одни и те же виды искусства могут принадлежать высокой и массовой культуре: классическая музыка высокой а популярная музыка массовой фильмы Феллини высокой а боевики массовой картины Пикассо высокой а лубок массовой. Однако существуют такие жанры литературы в частности фантастика детективы и комиксы которые всегда относят к популярной или массовой культуре но никогда к высокой. Органная месса Баха относится к высокой культуре но...
29262. Немецкий философ Карл Ясперс 40.5 KB
  Он также отвергал и материалистическое толкование истории марксизмом утверждая что в истории культуры значительную роль играют не экономические факторы а духовные. Марксом Ясперс отстаивает приоритет духовной составляющей в истории культуры а в полемике со Шпенглером утверждает ее единство. Таким образом Ясперс возвращается к линейной схеме истории культуры. Рисуя схему мировой истории К.
29263. Ментальность как ядро культурно-исторического типа 31.5 KB
  Культурные картины мира. КАРТИНА МИРА система интуитивных представлений о реальности. Каждому отрезку исторического времени соответствует своя картина мира. Можно выделить универсальную картину мира свойственную всему человечеству.
29264. Межкультурные коммуникации 35.5 KB
  Необходимыми условиями и структурными компонентами социокультурной коммуникации является наличие общего языка у субъектов коммуникации каналов передачи информации правил осуществления коммуникации семиотических этических. Однако собственно коммуникативными являются лишь действия осуществляемые со специальной целью коммуникации т. По его мнению все участники коммуникации ориентируются на обобщенные интерсубъективно понятые нормы коммуникации что в совокупности с коммуникативной компетентностью и наличием рациональных мотивов делает...
29265. Конфуцианско-даосский тип культуры 36.5 KB
  Первая её основа учения Конфуция а вторая даосизм учение даосов а также буддизм но он отличается от индийского. Конфуцианство учение Конфуция китайского мудреца он жил в VIV веках до н. Конфуций создал учение об идеальном человеке учение о благородном муже он должен быть гуманным милосердным почтительным честным и т. Таким образом конфуцианство это скорее этическое учение чем религия но это учение и о государстве .