70737

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Современные дискретные системы обработки сигналов широко используются в аппаратуре связи, медицине (томография и ультразвуковое обследование), экономике (анализе и прогнозирование состояния отраслей экономики)...

Русский

2014-10-26

1.22 MB

4 чел.

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра вычислительной техники

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Лабораторная работа №1

по курсу «Методы и устройства обработки сигналов»

для студентов специальности 2201

г. Йошкар-Ола


Цель работы.
 Изучение практических приемов использования

z-преобразования для аналитического анализа

линейных дискретных систем

ВВЕДЕНИЕ

Современные дискретные системы обработки сигналов широко используются в аппаратуре связи, медицине (томография и ультразвуковое обследование), экономике (анализе и прогнозирование состояния отраслей экономики) и т.д., т.е. там, где требуются достаточно сложная обработка сигналов. Анализ таких систем выполняется на базе теории z-преобразования.

Основные характеристики линейных

дискретных фильтров

Математическая работа линейного дискретного фильтра описывается линейным разностным уравнением

   (1)

 

где M и N - натуральные числа аk и bm - вещественные постоянные коэффициенты, x(nT), y(nT) - отсчеты входного и выходного сигнала в моменты времени nT, T - период дискретизации.

Выполняя z-преобразование разносного уравнения (1), получаем передаточную функцию H(z)

   (2)

где Y(z), X(z) - z-преобразования выходной и входной последовательности соответственно.

Иногда функцию H(z) называют также системной функцией.

Характеристики ЦФ полностью определяются положением нулей и полюсов передаточной характеристики (2). Для их определения нужно найти корни алгебраических уравнений

нули: QN(z)=0 или

          (3)

нули: PМ(z)=0 или

если коэффициенты в этих уравнениях вещественные числа, то корни могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными числами.

Отклик ЦФ Y(nT) (выходной сигнал) на входное воздействие X(nT) можно определить используя (2),

Y(z) = H(z).X(z)

выполняя обратное z-преобразование можно определить временную последовательность Y(nT)

Y(nT) = Z-1{Y(z)}     (4)

 ЦФ называется устойчивым, если при любых начальных условиях, реакция фильтра Y(nT) на любое ограниченное воздействие X(nT) также ограничена. Можно показать, что фильтр является устойчивым, если все его полюса находятся внутри единичной окружности на z-плоскости.

|zp| < 1     (5)

 При анализе линейных фильтров интерес представляет амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная характеристики.

Они описывают свойства фильтра в частотной области. АЧХ показывает зависимость коэффициента передачи фильтра со входа на выход сигналов различных частот. ФЧХ характеризует сдвиг фазы сигналов различных частот на выходе фильтра относительно входа. Для определения АЧХ и ФЧХ используется передаточная функция H(z) (2) и свойство

z-1 = exp(-jT)     (6)

где - частота.

Подставляя (6) в (2) получим

   (7)

АЧХ определяется модулем этого выражения,

k(T) = |H(jT)| = H(jT).H*(jT)

H* - комплексное сопряжение

а ФЧХ определяется аргументом выражения (7)

где Im, Re - функции, выделяющие мнимую и вещественную части.

Во временной области фильтры характеризуются их импульсной характеристикой, которая является реакцией системы на единичный -импульс. Импульсная характеристика является обратным z-изображением от передаточной функции (2)

h(nT) = Z-1{Н(z)}

отсчеты их также можно вычислить выполняя деление полинома QN(z) на PM(z). При этом .

Третий, простейший способ определения импульсной характеристики - метод непосредственных вычислений, который заключается в следующем: на вход ЦФ с разностным уравнением (1) подают входную последовательность X(nT) {1, 0, 0, 0,...,0}, которая является аналогом -импульса. При этом отсчеты y(nT)=h(nT).

Структурная схема линейного фильтра при M=N=2 называется биквадратным блоком и представлена на рис. 1.


ЗАДАНИЕ

Найти разрастное уравнение и передаточную характеристику дискретного фильтра, реализованного в форме биквадратного блока с коэффициентами прямых связей а1 и а2, указанными в таблице 1; коэффициентами обратных связей b1 и b2, указанными в таблице 2.

Найти отклик дискретного фильтра на воздействие входного сигнала, заданного в форме, указанной в таблице 3.

Построить диаграмму нулей и полюсов входного сигнала, дискретного фильтра и выходного сигнала на z-плоскости.

Доказать устойчивость анализируемого дискретного фильтра.

Построить АЧХ, ФЧХ и импульсную характеристику дискретного фильтра.

Коэффициенты прямых связей (а0=1)

Таблица 1.

Первая буква

А Л Ц

Б М Ш

В Н Щ

Г О Э

Д П Ю

Е Р Я

Ж С Ч

З Т

И Ф

К Х

а1

-2

2

0

0

-0,5

-0,5

1,6

-1,6

2

-2

а2

1

1

-1

1

-0,5

-0,5

1

1

1

1

Примечание: Вариант выбирается по первой букве фамилии.

Коэффициент обратных связей

Таблица 2.

Номер вар.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а1

0,6

-0,6

1,8

-1,8

1,8

-1,8

0,4

-0,4

1,8

0,8

а2

-0,9

-0,9

-0,9

-0,9

-0,85

-0,85

-0,85

-0,85

-0,97

-0,97

Примечание: Вариант выбирается по указанию преподавателя.

Входные сигналы.

Входной сигнал, поступающий на вход фильтра является аддитивной смесью (суммой) двух составляющих — Si(nT) и Ri(nT).


Таблица 3

Номер варианта

1,5,9

2,6

3,7

4,8,10

Условие        

Первая буква

Сигнал S1 задержан на 1 такт относительно

Сигнал S1 опережает на 1 такт сигнал

Сигнал S2 задержан на 1 такт относительно

Сигнал S2 опережает на 1 такт сигнал

A, Д,И,Н,С,Ц,Ю

R1

R1

R1

R1

Б,Е,К,О,Т,Ш,Я

R2

R2

R2

R2

В,Ж,Л,П,Ф,Щ,Ч

R3

R3

R3

R3

Г,З,М,Р,Х,Э

R4

R4

R4

R4

Примечание: Сигнал Si и условие сдвига выбирается по указанию преподавателя, сигнал Rj выбирается по правой букве фамилии.


Приложение 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЯМОГО Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Поиск z-изображения по заданному сигналу x(nT) выполняется в соответствии с определением z-преобразования:

Основные свойства z-преобразования приведены в приложении 1. Вычисление прямого z-преобразования выполняется непосредственно по определению (1) с использованием свойств z-преобразования.

Отметим, что в изображении X(n) при z-n в качестве коэффициента стоит значение отсчета x(nT).

Пример 1. Найти изображение сигнала, заданного последовательностью отсчетов


 
x(nT) =( 1, -2, -0.5, 3)

В соответствии с (1) имеем

X(n)=1-2*z-1-0.5*z-2+3*z-3

Пример 2. Найти изображение сигнала, заданного формулой x(nT)=5*cos(0.25nT)

В соответствии с (1) имеем

 

Бесконечные суммы, получающиеся в изображениях, удобно аналитически вычеслить, используя формулы сумм рядов. С помощью аналитического суммирования бесконечных рядов получены z-изображения для наиболее часто встречающихся в практических исследованиях сигналов. Основная часть этих результатов приведена в приложении 2 в форме таблицы, связывающей аналитическую форму записи сигнала во времени с его изображением в z-области.

Использование таблицы z-преобразований - наиболее простой путь поиска изображения сигналов. Однако для применения данных таблицы необходимо учитывать свойства z-преобразования (см. Приложение 1).

Пример 3. Найти изображение сигнала, являющегося суммой двух дискретных экспонент

 x1(nT)=A*exp(-pn)  x2(nT)=B*exp(-qn)

Причем сигнал x2 запаздывает на 3 такта относительно сигнала x1.

Прежде всего найдем аналитическую запись такого сигнала во временной области. С этой целью рассмотрим графическое представление сигналов при A=2 и B=-1 (Рис. 1)

Рис.1  Графики сигналов x1(nT), x2(nT)  и их суммы y(nT).

В соответствии с графиком на рис. 1 можно записать

Более удобную запись можно получить с помощью ступенчатой функции (график ступенчатой функции представлен на рис. 2)

 y(nT)=A*exp(-pn)*u(n)+B*exp(-p(n-3)*u(n-3)


Рис. 2 График ступенчатой функции.

Умножение на ступенчатую функцию эквивалентно «включению» соответствующего сигнала в тот момент времени, когда аргумент ступенчатой функции становиться равен нулю.

Изображение сигнала легко получить с помощью таблицы z-преобразований и свойств линейности и сдвига (задержки) во временной области. Из таблицы имеем 

 

С учетом задержки получаем искомое изображение

Пример 4. Найти изображение сигнала x(nT)=C*(n+2). Этот сигнал похож на табличный линейно возрастающий сигнал x(nT)=n, сдвинутый влево (опережающий) на 2 такта (рис.3). Поэтому используя свойства сдвига и линейности, получаем

  

Рис.3 К примеру 4.

Необходимо отметить, что слагаемые в круглых скобках служат для компенсации (уничтожения) ненулевых отсчетов функции x(nT)=n, появляющихся при n<0 в результате сдвига ее влево (опережения) во времени. Появление ненулевых отсчетов в отрицательные моменты времени в соответствии с определением (1) одностороннего z-преобразования запрещено и приводит к некорректным результатам. Поэтому при всяком сдвиге функции времени влево по оси времени следует обеспечивать, чтобы x(nT)=0 при n<0.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ Z-ИЗОБРАЖЕНИЙ

В теории z-преобразований переменная z рассматривается как комплексная переменная, имеющая вещественную и мнимую части. Поэтому z описывает плоскость с двумя измерениями. В декартовой системе вещественную часть z принято откладывать на оси абсцисс, а мнимую часть - по оси ординат.

Используя z-плоскость, можно получить компактное геометрическое описание временного сигнала или линейной дискретной системы.

В большинстве практических интересных случаях изображение имеет вид дробно-рациональной функции вида

X(z)=Qn(z)/Pm(z)      (2)

где Qn(z) b Pm(z) - полиномы от z степеней n и m соответственно. Изображение X(z) можно представить в виде

   (3)

где z0i - нули (в общем случае комплексные числа) функции X(z), являющиеся корнями уравнения Qn(z)=0; zpi -полюса (также могут быть комплексными числами) функции X(z), являющиеся корнями уравнения Pn(z)=0. Отметим, что часть нулей и/или полюсов могут совпадать друг с другом. Совокупность нулей и полюсов полностью определяет кратность нуля или полюса соответственно. Объединяя кратные нули и полюса, представление (3) можно привести к виду

  (4)

где mai, mpi -кратность нулей и полюсов.

В качестве примера найдем графическое представление для линейно возрастающего сигнала x(nT)=n+2. Используя результаты примера 4 найдем нули и полюса этого сигнала. Из решения уравнения


2*(
z2-z)=0;  (z-1)2=0;

имеем z01=0; z02=1; zp1=1; zp2=1. Откладывая координаты этих точек на z-плоскости, получим искомое графическое представление сигнала (рис. 4). На рисунке положение нулей отмечено символом «0», а положение полюсов - символом «+». Отметим, что два полюса и один ноль рассматриваемого сигнала совпали в одной точке, причем кратность двух различных нулей равна 1, а кратность полюса в точке z=1 равна 2

Рис.4. Положение нулей и полюсов линейно возрастающего сигнала.

Нули и полюса называют особыми точками изображения. Координаты нулей определяют значения z, при которых функция изображения X(z) обращается в ноль. Координаты полюсов указывают точки z-плоскости, в которых функция x(z) обращается в бесконечность.

Вычисление обратного z-преобразования

Переход от изображения на z-плоскости к его временному преставлению или оригиналу осуществляется с помощью обратного z-преобразоваения.

X(nT)=1/(2*j) X(z)*zn-1dz=Z-1(X(z))    (5)

Где Г — контур, охватывающий все полюса изображения X(z) на Z-плоскости; j=. Поиск обратного  z-преобразования в общем случае требует вычисления контурного интеграла. Однако в практически значимых случаях, когда изображение X(z) имеет вид дробно-линейной функции (2), функцию x(nT) (оригинал) можно получить более простыми методами.

Метод вычетов. Если изображение X(z) представлено в виде (3), то на основании теоремы о вычетах контурный интеграл (4) является суммой вычетов

 L(z)=X(z)*zn-1

где Res[L(z)] — вычет подинтегральной функции, вычисленный в полюсе zpi. Для вычисления вычетов существует формула

с помощью которой вычисление контурного интеграла заменяется (m-1)-кратным дифференцированием и вычислением предела.

При вычислении вычетов следует отдельно исследовать случаи n=0 и n=1, так как при этих значениях n функция L(z) может иметь дополнительные полюса в точке z=0.

В качестве  примера рассмотрим задачу, обратную задаче Примера 4. Пусть требуется найти оригинал x(nT) изображения вида

При n=0 имеем    

т.е подинтегральная функция имеет полюс zp0=0 кратности m=1 полюс zp0=1 кратности m=2. Для полюса в точке z=0 из (7) получаем

Для полюса в точке z=1 кратности 2, выполняя в (7) дифференцирование: получим (некоторые правила дифференцирования и производные приведены а Приложении 3)

Итак, при n=0 получаем  

При n=1 имеем   

В этом случае подинтегральная функция имеет только полюс zp1=1 кратности m=2. Для этого полюса, выполняя в (7) дифференцирование, получим

Поэтому

Рассматривая теперь случай n>1, получаем

Окончательно имеем x(nT)=n+2, что совпадает с исходным оригиналом в Примере 4.

Метод деления многочленов. Деление многочленов в (2) можно выполнить столбиком по правилу, аналогичному правилу деления в арифметике.

В качестве примера рассмотрим задачу определения отсчетов сигнала во временной области, если известно его изображение

Выполняя действие, последовательно получаем

В общем случае процесс деления может продолжаться бесконечно. Представив X(z) в виде многочлена с последовательно убывающими степенями z, несложно перечислить отчеты сигнала во времени x(nT)={5/2; 3/2; -5/2; -3/2; ....}

Недостаток этого метода состоит в том, что он не дает аналитической записи сигнала,- получаются только численные значения отсчетов сигнала во времени. Причем, вследствие неизбежных ошибок округления в ходе вычислений значения отсчетов сильно искажаются по мере увеличения номера отсчета.

Метод разложения на элементарные дроби. При поиске изображения по оригиналу при вычислении прямого z-преобразования используется таблица z-преобразований (приложение 2). Естественно стремление использовать эту же таблицу и при выполнении обратной операции — вычислении обратного z-преобразования. С этой целью отношение двух многочленов в (2) необходимо привести к сумме элементарных дробей

Где Si(z) — простая дробь, знаменатель которой имеет вид либо двучлена (z-a), либо является трехчленом вида (z*z+b*z+c) c комплексно-сопряженными корнями, где a,b,c — вещественные числа.

После разложения на элементарные дроби каждое слагаемое Si(z) можно сопоставить с табличным изображением и с учетом свойств сдвига для z-преобразования определить искомый сигнал как сумму соответствующих оригиналов.

В качестве примера опять рассмотрим задачу, обратную задаче примера 4. Пусть требуется найти оригинал x(nT) изображения вида

Представим X(z) в виде суммы X(z)=S1(z)+S2(z), где элементарные дроби имеют вид

Изображение S2(z) совпадает с табличным. Поэтому сразу получаем S2(nT)=-n*u(n). В S1(z), вынося z за скобки получаем

Выражение в квадратных скобках -табличное, а умножение его на z обозначает сдвиг оригинала в области времени влево (опережение). Поэтому получаем S2(nT)2*(n+1)*u(n+1).

При сдвиге влево обязательно следует убедиться, что  в отрицательные моменты времени (n<0) значение временного сигнала - ноль. В рассматриваемом случае при n=-1 имеем S2(-T)=0, так как (n+1)=0, хотя u(n+1)=1, при n<=-2 также S2(nT)=0, поскольку u(n+1)=0.

Итак окончательно

x(nT)=S1(nT)+S2(nT)=2*(n+1)*u(n+1)-n*u(n)=n+2.

Этот прием разложения на элементарные дроби применим только тогда, когда дробь - правильная (n<m) и знаменавтель изображения -двучлен или трехчлен.

В более общем случае следует использовать следующее представление

      (8)

где Cki - постоянные коэффициенты, mk- кратность полюса zpi.

  (9)

Формула (9) упрощается, если все полюса zpi имеют кратность mk=1. Тогда

Cki=Qn(zpi)/P’m(zpi)     (10)

где P’m(zpi) - производная от Pm(z), вычисленная в точке z=zpi.

Отметим , что в (8) должно строго выполняться условие n<m. Если же степень числителя равна или больше степени знаменателя, то предварительно необходимо выделить целую часть дроби с помощью деления многочленов.

В качестве примера определим оригинал следующего изображения

Нетрудно заметить, что n=m+3 и требуется выделение целой части. Выполняя деление многочленов, имеем

Теперь n=1<m=3 и можно использовать формулы (8)-(10), находим полюса zp1=0.9, zp2=j0.5, zp3=-j0.5. Все они имеют кратность m1=m2=m3=1, что позволяет воспользоваться формулой (10). Итак, ищем разложение в виде

Pm(z)=(z-0.9)(z*z+0.25)   P’m(z)=2*z*(z-0.9)+ (z*z+0.25)   Qn(z)=z

Из (10) получаем

С11=0.9/1.06; C21=-0.5/(0.9-j0.5); C31=-0.5/(0.9+j0.5)

Полученное разложение целесообразно проверить на справедливость с помощью приведения его к общему знаменателю и сравнения с исходным выражением. Убедившись в правильности вычислений, приступим к поиску оригинала. Домножая выражение в скобках на z/z=1 и внося z внутрь скобок, приходим к табличным изображениям.

Учитывая свойство сдвига (задержка на 1 такт), получаем

x(nT)=(nT)-[C11*(0.9)n-1+C21*(j0.5) n-1+C31*(-j0.5) n-1]*u(n-1)

Метод разложения на элементарные дроби и метод вычетов являются универсальными методами поиска аналитического выражения оригиналов.

ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА

Это важнейшая временная характеристика линейной дискретной системы и является реакцией системы на единичный импульс (nT)

Нетрудно показать, что импульсная характеристика — это z-преобразования передаточной функции фильтра.

Действительно, т.к. H(z)=Y(z)/X(z) и X(z)=Z{x(nT)}=Z{(nT)}=1,
то
H(z)=Y(z)=Z{h(nT)}, где h(nT) — импульсная характеристика (по определению) или h(nT)=Z-1{H(z)} — это первый способ вычисления h(nT) т.е. по известной передаточной характеристики H(z) выполняя обратное z-преобразования получаем импульсную характеристику (аналитическое выражение).

H(z) в общем случае является дробно-рациональной функцией H(z)=QN(z)/PM(z). Выполняя деление полинома QN(z) на PM(z), получим

(т.к. коэффициент при z-n равен временному отсчету в момент времени).

Очевидно, что Cn совпадают с h(nT). Поэтому можно записать h(nT)=Cn

 

это второй способ вычисления h(nT). Этот способ дает числовой ряд.

Третий, простейший способ определения h(nT) — метод непосредственных вычислений.

Например, для фильтра с разностным уравнением y(nT)=-0,5y(nT-T)+x(nT)

n=0  y(-T)=0; x(0)= (0) y(0)=1=h(o)
n=1  y(0)=1; x(1)= (0)   y(1)=-0,5=h(1)
n=2  y(1)=0,5; x(2)= (0)   y(2)=(-0,5)(-0,5)=h(2)

и т.д.

В общем случае импульсная характеристика фильтра бесконечна. Таковы обычно импульсные характеристики рекурсивных фильтров — фильтры с бесконечной памятью — один входной сигнал — множество выходных сигналов.

В частном случае полиномы QN(z) и PM(z) делятся без остатка (например при PM(z)=1) и тогда 

что свидетельствует о конечной импульсной характеристике (КИХ). КИХ имеют не рекурсивные фильтры. Поэтому их называют фильтрами с конечной памятью.

С помощью импульсной характеристики можно рассчитать отклик фильтра на любые воздействия во временной области. Действительно, дискретный сигнал имеет вид

т.е. являются суммой сдвинутых - импульсов с соответствующим множителем x(mT) (nT-mT). В соответствии со свойством линейности реакцией фильтра на такой элементарный сигнал будет x(mT)h(nT-mT) n=0,1,2,.....

Суммируя отклики на все элементарные воздействия, получим (n-m=k m=n-k)

Т.о. выходной сигнал y(nT) определяется как свертка входного сигнала x(nT) с импульсной характеристикой h(nT).

Пример: Найти отклик фильтра с импульсной характеристикой h(nT) на x(nT)=Uo(nT)

Замечания: Этот же результат следует из свойства z-преобразований (свойство свертки). По свойствам z преобразований произвидение двух z изображений на z-плоскости (сигнал импульсной передаточной характеристики) во временной области эквивалентно свертке их оригинала. Оригиналом H(z) — является импульсная характеристика.

Действительно, z-изображение входного сигнала Y(z) есть произвидение передаточной характеристики H(z) на z-изображение входного сигнала x(z).

Y(nT)=Z-1{Y(z)}=Z-1{H(z)X(z)}=x(mT)h(nT-mT)Z-1{H(z)}=h(nT)

Поскольку h(nT)=0 при n<0 и x(nT)=0 при n<0, то Y(nT)=x(nT-mT)h(mT)

УРАВНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА

В одномерной дискретной системе связь между входным x(nT) и выходными y(nT) сигналами задается оператором Ф:

y(nT)=Ф[x(nT)]

Математическая   — линейного дискретного (цифрового) фильтра, описывается линейным разностным уравнением:

y(nT)=—bmy(nT-mT)+ akx(nT-kT)    (1)

где M и N — натуральные числа; ak, bm вещественные или комплексные коэффициенты не зависящие от n и x(nT) и y(nT).

Если хотя бы один коэффициент ak или bm зависит от n, то уравнение (1) описывает фильтр, называемый параметрическим, т.е. фильтр с переменными коэффициентами.

Из (1) следует, что y(nT) в момент времени n определяется N значениями входного сигнала x(nT), x[(n-1)T]... и т.д., а также M-1 значениями y[(n-1)],y[(n-2)]... и т.д.

ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ (ЦФ).

Цифровой фильтр полностью определяется своим разностным уравнением. Это означает, что все выходные отсчеты фильтра можно вычислить по входным отчетам используя алгоритм, заданный разностным уравнением.

Чтобы получить частотную характеристику системы на ее вход подается комплексное синусоидальное колебание и исследуют сигнал на выходе. В линейной системе на выходе будет существовать колебание той же частоты, но с другой амплитудой и фазой. Учитывая это найдем выражение для частотной характеристики цифрового фильтра.

Пусть на вход подается комплексный синусоидальный сигнал x(kT)=ejwkT k=0,1,2... Учитывая свойство линейности, сигнал на выходе может быть только вида y(wT)=H(w)*ejwkT k=0,1,2,..., где H(w) — комплексный коэффициент, зависящий только от w.

При этом разностное уравнение (1) преобразуется к виду

H(w)*ejwrT= a0ejwrT+a1ejw(k-1)T+...+anejw(k-n)T -

- (b1H(w)ejw(k-1)T+...+bmH(w)ejw(k-m)T)

Преобразовав, получим выражение для частотной характеристики цифрового фильтра.

   (2)

Модуль этого выражения дает амплитудно-частотную характеристику, а аргумент — фазочастотную.

Цифровой фильтр удобно описывать в z-плоскости. Формально z-преобразование частотной характеристики (2) можно получить из Z-1=e-jwT. Тогда (2) превращается в дробно-линейную функцию вида:

  (3)

Выражение (3) позволяет определить физическую сущность оператора Z-1 как элемента задержки выборки сигнала на время, равное интервалу дискретизации.

По виду частной характеристики (3) цифровой фильтр можно подразделить на два типа: рекурсивные и не рекурсивные.

Выходной сигнал рекурсивного фильтра определяется, кроме текущего и предыдущего значений сигналов, еще и предыдущими значениями выходного сигнала. Это эквивалентно введению задержанной обратной связи. Рекурсивному фильтру соответствует характеристика вида (2).

Не рекурсивный фильтр имеет все коэффициенты b1....bm=0, т.е. выходные отсчеты не рекурсивного фильтра зависят только от конечного числа предшествующих значений входного сигнала.

Выражение (2) для передаточной (частотной) характеристики можно получить строго, используя определение z-преобразования и свойство сдвига (задержки).

Выполним z-преобразование разностного уравнения (1)

Y(z)= —bmY(z)+ ak(z-kX(z)}

или

Как следует из этого определения, z-изображение выходного сигнала дискретного фильтра определяется с помощью передаточной характеристики H(z)

Y(z)=H(z)X(z)

Передаточной функцией H(z) называется отношение z-образов выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра в установившемся режиме.

Поэтому, если известны y(-T),y(-2T)...y[-(M-1)T], то можно вычислить любое y(nT) по заданному входному сигналу x(nT).


ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Свойства Z-пробразования.

Приняты следующие обозначения: X(z)=Z(x(nT)), X1(z)=Z(x1(nT)), X2(z)=Z(x2(nT)), где  через x(nT), x1(nT), x2(nT) обозначены сигналы во временной области, а через X(z), X1(z), X2(z) — их изображения в z-области.

1.Линейность.

Пусть a, b — константы, тогда  Z(a*x1(nT)+b*x2(nT))=a*X1(z)+b*X2(z) т.е. изображение взвешенной суммы сигналов есть сумма их изображений, взятых с теми же весами.

2.1 Сдвиг сигнала во времени (Задержка).

Z(x(nT-mT))=z-m*X(z)

т.е. задержка сигнала на m тактов во времени (сдвиг вправо по оси времени на m тактов) эквивалентна в Z-области умножению изображения этого сигнала на z-m

2.2 Сдвиг сигнала во времени (Опережение).

Z(x(nT+mT))=zm*[X(z)-x(iT)*z-i]

т.е. сдвиг сигнала на m тактов (опережение во времени на m тактов) эквивалентен  умножению на zm  изображения этого сигнала с уничтоженными отсчетами x(kT) при k=(n+m)<0.

3. Свертка временных последовательностей.

Свертка двух временных последовательностей вычисляется по правилу

x(nT)=x1(mT)*x2(nT-mT)= x1(nT-mT)*x2(mT)

Тогда Y(z)=Z(x(nT)=X1(z)*X2(z)

т.е. изображением свертки двух временных последовательностей является произвидение изображений этих последовательностей.


ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Таблица Z-преобразований.

Ном. N/n

x(nT) область времени-оригиналы

X(z) Z-плоскость — изображения

1

(nT)

1

2

u(nT)

z/(z-1)

3

(-1)n

z/(z+1)

4

n

z/(z-1)2

5

n2

z*(z+1)/(z-1)3

6

n*(n-1)/2

z/(z-1)3

7

exp(-anT)

z/[z-exp(-aT)]

8

an

z/(z-a)

9

n*a

z/(z-a)2

10

exp(-anT)*cos(wnT+f)


ПРИЛОЖЕНИЕ
4

Формулы дифференцирования.

Дифференцирование дроби

di=(i+1)ai+1

(U.V)’=UV’+U’V

ejT=cosT+jsinT


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80865. Особенности разрешения конфликтов в системе государственного и муниципального управления 46.19 KB
  Управление конфликтами – процесс целенаправленного воздействия на персонал с целью устранения причин породивших конфликт и перевод конфликта в рациональное русло для достижения желаемых результатов. Управление конфликтами включает в себя: прогнозирование конфликтов предупреждение одних и стимулирование других прекращение и подавление конфликтов их регулирование и разрешение. Прогнозирование конфликта – представление о будущем конфликте с определенной вероятностью указания времени и места действий. культуры нетерпимой к конфликтам в...
80866. Понятие и основные теории местного самоуправления 47.27 KB
  МСУ составляет одну из основ конституционного строя РФ. МСУ в РФ форма осуществления народом своей власти обеспечивающая в пределах установленных Конституцией РФ федеральными законами а в случаях установленных федеральными законами законами субъектов РФ самостоятельное и под свою ответственность решение населением непосредственно и или через органы МСУ вопросов местного значения исходя из интересов населения с учетом исторических и иных местных традиций ФЗ. МСУ является первичным уровнем публичной власти и системы управления в...
80867. Местные интересы, роль и функции местного самоуправления в обществе 45.02 KB
  Ориентация на учет местных интересов предопределяет роль и функции местного самоуправления в современном обществе. Политологи разделяют общество на три основных сектора каждому из которых отведены своя роль и свои функции. Если под этим углом зрения взглянуть на местное самоуправление то можно сделать вывод что в современном обществе оно выполняет все три перечисленные функции.
80868. Проблемы становления и развития местного самоуправления в России на современном этапе 43.35 KB
  Одной из главных проблем сдерживающих развитие местного самоуправления в России является слабость гражданского общества низкий уровень общественной активности низкая правовая культура населения дефицит знаний о сущности и возможностях самоуправления. В обществе которое столетиями жило в условиях тоталитарного правления не имея глубоких демократических традиций идеи местного самоуправления воспринимаются далеко не всеми. Для того чтобы граждане восприняли идеи местного самоуправления необходима огромная разъяснительная работа.
80869. Правовые основы местного самоуправления 42.55 KB
  По вопросам осуществления отдельных государственных полномочий переданных органам местного самоуправления федеральными законами и законами субъектов Российской Федерации могут приниматься муниципальные правовые акты на основании и во исполнение положений установленных соответствующими федеральными законами и или законами субъектов Российской Федерации. За неисполнение муниципальных правовых актов граждане руководители организаций должностные лица органов государственной власти и должностные лица органов местного самоуправления несут...
80870. Территориальная организация местного самоуправления 46.64 KB
  МСУ осуществляется на всей территории РФ в городских сельских поселениях муниципальных районах городских округах и на внутригородских территориях городов федерального значения. В городах районного значения поселках волостях и сельсоветах на территории района имеются территориальные администрации подчиненные администрации района. 2 территории всех поселений за исключением территорий городских округов а также возникающие на территориях с низкой плотностью населения межселенные территории входят в состав муниципальных районов; 3...
80871. Предметы ведения и полномочия местного самоуправления 44.5 KB
  Предметы ведения и полномочия местного самоуправления. ФЗ №131 Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации от 6. Это основополагающий базовый закон устанавливающий общие правовые территориальные организационные и экономические принципы организации местного самоуправления в России определяющий предмет ведения и полномочия его органов. Предметы ведения местного самоуправления необходимый элемент правового статуса каждого муниципального образования.
80872. Формы участия граждан в осуществлении местного самоуправления в муниципальном образовании 46.48 KB
  Предусматривает что МСУ осуществляется гражданами путем референдума выборов других форм прямого волеизъявления через выборные и другие формируемые ОМСУ. включает формы непосредственной демократии когда сам гражданин непосредственно принимает участие в решении того или иного вопроса. группу составляют формы представительной демократии – выборные и другие ОМСУ когда участие гражданина состоит в выборах своих представителей для решения вопросов местной жизни.
80873. Организация территориального общественного самоуправления в муниципальном образовании 45.57 KB
  В соответствии с 131ФЗ Об общих принципах организации местного самоуправления в РФ: ТОС самоорганизация граждан по месту их жительства на части территории муниципального образования территориях поселений не являющихся муниципальными образованиями микрорайонов кварталов улиц дворов и других территориях для самостоятельного и под свою ответственность осуществления собственных инициатив в вопросах местного значения непосредственно населением или через создаваемые им органы территориального общественного самоуправления. Границы...