70760

Изучение статистических закономерностей на механических моделях

Лабораторная работа

Физика

Движение каждой молекулы определяется законами классической механики поэтому в принципе можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно то не только решить но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно.

Русский

2014-10-26

258.5 KB

5 чел.

                                           Лабораторная работа № 1-13

Тема:    Изучение статистических закономерностей на механических моделях.

Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.

Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.

Теоретическая часть:

1.  Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.

Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.

2.    Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до  равна отношению числа молекул , скорости которых лежат в указанном интервале к полному числу молекул в системе  , т.е.

                                                                 (13-1)

Выражение (13-1) можно представить через функцию распределения  молекулы по скоростям:

                                                        (13-2)

 Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.

Максвелл установил, что наиболее вероятное распределение определяется соотношением кинетической энергии молекулы  к средней энергии её теплового движения     :

                               , где - постоянная Больцмана, - абсолютная температура, - независящая от скорости постоянная.

Постоянная  находится из условия, что вероятность найти скорость молекулы в интервале от 0 до  равна единице (это вероятность достоверного события):

                                                 (13-4)

Вычислив с помощью (13-4) нормировочную постоянную   можно записать выражение для среднего числа молекул   скорости которых лежат в интервале от  до  в следующей форме:

                                               (13-5)

Если же интересоваться распределением молекул только по величине скорости, т. е. по  , то выражение (13-5) следует переписать с учётом того факта, что все направления движения молекул равновероятны, поэтому распределение точек в пространстве скоростей будет сферически симметричным относительно начала отсчёта. Следовательно молекулы, скорости которых заключены в интервале от  до  будут находиться в области, лежащей между сферами радиусов  ,,

объём которой равен  . Поэтому объём    в (13-5) следует заменить на объём   . Тогда формула (13-5) примет вид:

                                        (13-6)

Используя выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что функция распределения Максвелла по величине скорости  равна:

                                                  (13-7)

4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:

                                                                       (13-8)

Функция распределения Максвелла (13-7) позволяет вычислить статистические значения любой функции скоростей :

        ,где   - среднее значение функции         (13-9)

Используя (13-9) получаем, что средняя скорость молекул  и среднеквадратичная скорость  равна:

                      

Связь между характерными скоростями молекул:

                             

Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:

                                        (13-16)

где  - потенциальная энергия молекулы в поле внешних сил.

Число молекул, координаты которых лежат в интервале от  до  равно:

                                                        (13-17)

Пусть известна концентрация молекул  и  в двух точках  и  .Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:

                                                        (13-18)  (формула Больцмана).

Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:

 Пусть начальная точка , тогда  ; В качестве второй точки возьмём точку, отстоящую на расстоянии  от поверхности Земли, т.е. , тогда , Применим формулу (13-18) :

                                                     (13-19)

Используя далее основание уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде  и считая температуру воздуха одинаковой на всех высотах, переходим от формулы (13-19) к барометрической формуле, связывающей давления на разных высотах:

                                                  (13-20), где - средняя масса молекулы воздуха.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Ход работы.

  1.  Измеряем высоту уровня пшена в  каждой ячейке, все данные вносим в таблицу.

2. Определяем среднее значение уровня пшена в каждой ячейке:

   где k - число опытов

      I – номер ячейки

все данные вносим в таблицу.

  1.  Определяем вероятность нахождения пшена в I ячейке по формуле:

;   ;   ;  

все данные вносим в таблицу.

  1.  Таблица данных:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

1

0

1

5

7

20

32

57

65

64

45

11

5

3

2

1

(мм)

2

0

2

2

2

17

30

45

65

65

50

15

8

4

3

1

 

3

0

4

8

10

20

35

60

65

60

40

12

6

2

2

2

(мм)

 

0

2

5

6

19

32

54

65

63

45

13

6

3

2,3

1,3

(мм)

318

0,010

0,007

0,016

0,020

0,059

0,101

0,168

0,202

0,196

0,140

0,039

0,020

0,009

0,007

0,004

(мм)

6,603

0

0

0,01

0,04

0,09

0,14

0,16

0,15

0,13

0,1

0,08

0,05

0,04

0,027

0,018

5.  Построить график функции  Pi  от координаты i ячейки в виде гистограммы:

  1.  Построить график функции  (теоретическая зависимость):

  1.  График функции вероятного попадания пшена :

  1.  По данным одной из ячеек определить среднеквадратичную ошибку измерений:

Ввод:  Изучили  статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитали теоретическую кривую распределения случайных величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32564. Центральная память ПЛК 60.65 KB
  Очень часто особенно в простых микроконтроллерах типа SIMTIC S7200 их центральная память бывает организована в виде стековой памяти. Стековая память Пример реализации логической функции управления c использованием стековой памяти На рис. 35 показан последовательный механизм программной реализации логической функции управления Y с использованием стековой памяти ПЛК.
32565. Память ПЛК SIMATIC S7-220 51.19 KB
  В сегменте памяти программы хранится программа пользователя и содержится список команд которые должны выполняться в CPU для реализации разработанного решения по системе управления. Память данных содержит область временных данных программы и область памяти объектов. В этом же сегменте памяти хранятся результаты вычислений промежуточные данные и константы а также таймеры счетчики высокоскоростные счетчики и аналоговые входы выходы. К конфигурируемым параметрам относятся такие элементы как уровень защиты пароль адрес станции и...
32566. Модули ввода/вывода (МВв/МВыв) 36.68 KB
  Модули выпускают в различном исполнении: входные выходные или комбинированные ввода вывода дискретные логические аналоговые и специальные в обычном или безопасном исполнении и пр. Модуль ввода вывода дискретных сигналов. 36 показан возможный вариант модуля ввода вывода логических сигналов для 8разрядного микроконтроллера.
32567. Аналого-цифровые (АЦП) и цифро-аналоговые (ЦАП) преобразователи 38.92 KB
  Для этой цели в модулях ввода вывода аналоговых сигналов используются аналогоцифровые АЦП и цифроаналоговые ЦАП преобразователи. Основной характеристикой ЦАП и АЦП является их разрядность определяемая длиной двоичного кода применяемого для представления аналогового сигнала. В схеме использован 8разрядный АЦП выходы которого соединены с входами регистра порта ввода. Для согласования уровня входного сигнала АЦП используется усилитель входного сигнала.
32568. Программаторы 43.12 KB
  Программаторы – это устройства, предназначенные для ввода управляющих программ, их редактирования и отладки, параметрирования системы
32569. Программно-математическое обеспечение (ПМО) контроллеров 248.4 KB
  Алгоритм программы Монитор Прикладное промышленное программное обеспечение Прикладное программное обеспечение рассмотрим на примере SIMTIC Soft фирмы Siemens это система тесно связанных инструментальных средств для программирования и обслуживания систем автоматизации SIMTIC S7 C7 а также систем компьютерного управления SIMTIC WinC. Интегрирование всех пакетов программ в единый интерфейс позволяет существенно повысить эффективность использования промышленного программного обеспечения SIMTIC и использовать однородные операции на всех...
32570. АСУ ТП на базе промышленных сетей 218.52 KB
  В условиях бурно растущего производства микропроцессорных устройств альтернативным решением стали цифровые промышленные сети Fieldbus состоящие из многих узлов обмен между которыми производится цифровым способом. Использование промышленной сети позволяет расположить узлы в качестве которых выступают контроллеры и интеллектуальные устройства вводавывода максимально приближенно к оконечным устройствам датчикам и исполнительным механизмам благодаря чему длина аналоговых линий сокращается до минимума. Каждый узел промышленной сети...
32571. Общие сведения о ТСА. Основные понятия и определения 15.82 KB
  Основные понятия и определения Целью курса Технические средства автоматизации ТСА является изучение элементной базы систем автоматического управления технологическими процессами. Элемент устройство конструктивно законченное техническое изделие предназначенное для выполнения определённых функций в системах автоматизации измерение передача сигнала хранение информации ее обработка выработка команд управления и т. Система автоматического управления САУ совокупность технических устройств и программнотехнических средств...
32572. Тенденции развития ТСА 29.04 KB
  Увеличение функциональных возможностей ТСА: в функции управлении от простейшего пуска останова и автоматического реверса к цикловому и числовому программному и адаптивному управлению; в функции сигнализации от простейших лампочек до текстовых и графических дисплеев; в функции диагностики от индикации обрыва цепи до программного тестирования всей системы автоматики; в функции связи с другими системами от проводной связи до сетевых промышленных средств.