70760

Изучение статистических закономерностей на механических моделях

Лабораторная работа

Физика

Движение каждой молекулы определяется законами классической механики поэтому в принципе можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно то не только решить но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно.

Русский

2014-10-26

258.5 KB

5 чел.

                                           Лабораторная работа № 1-13

Тема:    Изучение статистических закономерностей на механических моделях.

Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.

Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.

Теоретическая часть:

1.  Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.

Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.

2.    Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до  равна отношению числа молекул , скорости которых лежат в указанном интервале к полному числу молекул в системе  , т.е.

                                                                 (13-1)

Выражение (13-1) можно представить через функцию распределения  молекулы по скоростям:

                                                        (13-2)

 Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.

Максвелл установил, что наиболее вероятное распределение определяется соотношением кинетической энергии молекулы  к средней энергии её теплового движения     :

                               , где - постоянная Больцмана, - абсолютная температура, - независящая от скорости постоянная.

Постоянная  находится из условия, что вероятность найти скорость молекулы в интервале от 0 до  равна единице (это вероятность достоверного события):

                                                 (13-4)

Вычислив с помощью (13-4) нормировочную постоянную   можно записать выражение для среднего числа молекул   скорости которых лежат в интервале от  до  в следующей форме:

                                               (13-5)

Если же интересоваться распределением молекул только по величине скорости, т. е. по  , то выражение (13-5) следует переписать с учётом того факта, что все направления движения молекул равновероятны, поэтому распределение точек в пространстве скоростей будет сферически симметричным относительно начала отсчёта. Следовательно молекулы, скорости которых заключены в интервале от  до  будут находиться в области, лежащей между сферами радиусов  ,,

объём которой равен  . Поэтому объём    в (13-5) следует заменить на объём   . Тогда формула (13-5) примет вид:

                                        (13-6)

Используя выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что функция распределения Максвелла по величине скорости  равна:

                                                  (13-7)

4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:

                                                                       (13-8)

Функция распределения Максвелла (13-7) позволяет вычислить статистические значения любой функции скоростей :

        ,где   - среднее значение функции         (13-9)

Используя (13-9) получаем, что средняя скорость молекул  и среднеквадратичная скорость  равна:

                      

Связь между характерными скоростями молекул:

                             

Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:

                                        (13-16)

где  - потенциальная энергия молекулы в поле внешних сил.

Число молекул, координаты которых лежат в интервале от  до  равно:

                                                        (13-17)

Пусть известна концентрация молекул  и  в двух точках  и  .Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:

                                                        (13-18)  (формула Больцмана).

Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:

 Пусть начальная точка , тогда  ; В качестве второй точки возьмём точку, отстоящую на расстоянии  от поверхности Земли, т.е. , тогда , Применим формулу (13-18) :

                                                     (13-19)

Используя далее основание уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде  и считая температуру воздуха одинаковой на всех высотах, переходим от формулы (13-19) к барометрической формуле, связывающей давления на разных высотах:

                                                  (13-20), где - средняя масса молекулы воздуха.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Ход работы.

  1.  Измеряем высоту уровня пшена в  каждой ячейке, все данные вносим в таблицу.

2. Определяем среднее значение уровня пшена в каждой ячейке:

   где k - число опытов

      I – номер ячейки

все данные вносим в таблицу.

  1.  Определяем вероятность нахождения пшена в I ячейке по формуле:

;   ;   ;  

все данные вносим в таблицу.

  1.  Таблица данных:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

1

0

1

5

7

20

32

57

65

64

45

11

5

3

2

1

(мм)

2

0

2

2

2

17

30

45

65

65

50

15

8

4

3

1

 

3

0

4

8

10

20

35

60

65

60

40

12

6

2

2

2

(мм)

 

0

2

5

6

19

32

54

65

63

45

13

6

3

2,3

1,3

(мм)

318

0,010

0,007

0,016

0,020

0,059

0,101

0,168

0,202

0,196

0,140

0,039

0,020

0,009

0,007

0,004

(мм)

6,603

0

0

0,01

0,04

0,09

0,14

0,16

0,15

0,13

0,1

0,08

0,05

0,04

0,027

0,018

5.  Построить график функции  Pi  от координаты i ячейки в виде гистограммы:

  1.  Построить график функции  (теоретическая зависимость):

  1.  График функции вероятного попадания пшена :

  1.  По данным одной из ячеек определить среднеквадратичную ошибку измерений:

Ввод:  Изучили  статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитали теоретическую кривую распределения случайных величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24932. Гражданско-правовая ответственность транспортных организаций за утрату, порчу и повреждение перевозимых грузов 59 KB
  В случае утраты порчи либо повреждения груза надлежащее реальное исполнение обязательства оказывается невозможным. Законодатель точно фиксирует как следует устанавливать размер возмещения ущерба при полной и частичной утрате груза равно как и в случаях его порчи или повреждения. Перевозчики при перевозках грузов возмещают ущерб в следующих размерах: а за утрату или недостачу груза в размере действительной стоимости утраченного или недостающего груза; б за утрату груза сданного с объявленной ценностью в размере объявленной стоимости...
24933. Доверительное управление имуществом. Юридическая природа института доверительного управления 58.5 KB
  ДУ не входит в группу договоров об оказании юридических услуг а представляет собой самостоятельную разновидность гражданскоправового договора. В отношениях ДУ во многих случаях участвует выгодоприобретатель бенефициар который не становится стороной договора. Ни при каких обстоятельствах доверительный управляющий не может стать бенефициаром поскольку это противоречит существу рассматриваемого договора. Понятие договора ДУ.
24934. Гражданско-правовое регулирование совместной деятельности 36 KB
  Совместная деятельность регулируется договором о совместной деятельности – договором простого товарищества. Договор простого товарищества По договору простого товарищества о совместной деятельности двое или несколько лиц товарищей обязуются соединить свои вклады и совместно действовать без образования юридического лица для извлечения прибыли или достижения иной не противоречащей закону цели п. По своей юридической природе договор простого товарищества является консенсуальным многосторонним взаимным возмездным и фидуциарным. Договором...
24935. Учредительный договор 36.5 KB
  Учредительный договор Первым законодательным актом Российской империи рекомендовавшим купцам производить торговлю путем образования купеческих товариществ создаваемых на основе договора был Манифест Императора Александра I от 1 января 1807 г. Состав участников учредительного договора зависит от организационноправовой формы создаваемого юридического лица. Существенные условия учредительного договора: об организационноправовой форме создаваемого юридического лица; о порядке совместной деятельности учредителей по его созданию; о...
24936. Обязательства из неосновательного обогащения 58.5 KB
  Функциональное назначение обязательств возникающих из неосновательного обогащения состоит в обеспечении восстановления имущественных потерь потерпевшего приобретателем обогатившемся в результате необоснованного приобретения имущества потерпевшего или сбережения своего имущества за счет потерпевшего. Фактический состав порождающий обязательства из неосновательного обогащения или сбережения имущества состоит из следующих элементов: а одно лицо приобретает или сберегает имущество за счет другого; б имущество приобретается или сберегается...
24937. СУБЪЕКТЫ ПРАВООТНОШЕНИЙ 54 KB
  Идея коллективного участия физических лиц в имущественных отношениях путем образования различного рода объединений которые выступали бы как отдельный субъект права принадлежит еще юристам Древнего Рима хотя римское право еще не знало конструкции юридического лица. Признаки юридического лица это те его свойства которые необходимы и достаточны для того чтобы лицо выступало в качестве самостоятельного субъекта права. Определение юридического лица содержится в п. Основываясь на вышеприведенной дефиниции можно назвать следующие...
24938. Право собственности публично-правовых образований 49 KB
  Право собственности публичноправовых образований. Право собственности предоставляет одинаковые возможности всем своим субъектам. Известные ограничения влекущие особенности правового режима отдельных объектов этого права также по общему правилу являются одинаковыми для всех собственников например строго целевой характер использования находящихся в их собственности земли или других природных ресурсов либо жилых помещений; отчуждение и использование вещей ограниченных в обороте и т. В связи с этим отпадают основания для различия форм...
24939. Вещные права на земельные участки 41.5 KB
  Собственник земельного участка вправе использовать по своему усмотрению все что находится над и под поверхностью этого участка если иное не предусмотрено законами о недрах об использовании воздушного пространства иными законами и не нарушает прав других лиц. Гражданин обладающий правом пожизненного наследуемого владения владелец земельного участка имеет права владения и пользования земельным участком передаваемые по наследству. Если из условий пользования земельным участком установленных законом не вытекает иное владелец земельного...
24940. Понятие и виды ограниченных вещных прав 36.5 KB
  Вещное право включает право собственности и ограниченные вещные права. Право собственности является наиболее широким ограниченным правом но не единственным вещным правом. Отличие от права собственности – право на чужую вещь. Право на чужую вещь является не вполне точным выражением.