70760

Изучение статистических закономерностей на механических моделях

Лабораторная работа

Физика

Движение каждой молекулы определяется законами классической механики поэтому в принципе можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно то не только решить но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно.

Русский

2014-10-26

258.5 KB

5 чел.

                                           Лабораторная работа № 1-13

Тема:    Изучение статистических закономерностей на механических моделях.

Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.

Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.

Теоретическая часть:

1.  Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.

Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.

2.    Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до  равна отношению числа молекул , скорости которых лежат в указанном интервале к полному числу молекул в системе  , т.е.

                                                                 (13-1)

Выражение (13-1) можно представить через функцию распределения  молекулы по скоростям:

                                                        (13-2)

 Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.

Максвелл установил, что наиболее вероятное распределение определяется соотношением кинетической энергии молекулы  к средней энергии её теплового движения     :

                               , где - постоянная Больцмана, - абсолютная температура, - независящая от скорости постоянная.

Постоянная  находится из условия, что вероятность найти скорость молекулы в интервале от 0 до  равна единице (это вероятность достоверного события):

                                                 (13-4)

Вычислив с помощью (13-4) нормировочную постоянную   можно записать выражение для среднего числа молекул   скорости которых лежат в интервале от  до  в следующей форме:

                                               (13-5)

Если же интересоваться распределением молекул только по величине скорости, т. е. по  , то выражение (13-5) следует переписать с учётом того факта, что все направления движения молекул равновероятны, поэтому распределение точек в пространстве скоростей будет сферически симметричным относительно начала отсчёта. Следовательно молекулы, скорости которых заключены в интервале от  до  будут находиться в области, лежащей между сферами радиусов  ,,

объём которой равен  . Поэтому объём    в (13-5) следует заменить на объём   . Тогда формула (13-5) примет вид:

                                        (13-6)

Используя выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что функция распределения Максвелла по величине скорости  равна:

                                                  (13-7)

4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:

                                                                       (13-8)

Функция распределения Максвелла (13-7) позволяет вычислить статистические значения любой функции скоростей :

        ,где   - среднее значение функции         (13-9)

Используя (13-9) получаем, что средняя скорость молекул  и среднеквадратичная скорость  равна:

                      

Связь между характерными скоростями молекул:

                             

Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:

                                        (13-16)

где  - потенциальная энергия молекулы в поле внешних сил.

Число молекул, координаты которых лежат в интервале от  до  равно:

                                                        (13-17)

Пусть известна концентрация молекул  и  в двух точках  и  .Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:

                                                        (13-18)  (формула Больцмана).

Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:

 Пусть начальная точка , тогда  ; В качестве второй точки возьмём точку, отстоящую на расстоянии  от поверхности Земли, т.е. , тогда , Применим формулу (13-18) :

                                                     (13-19)

Используя далее основание уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде  и считая температуру воздуха одинаковой на всех высотах, переходим от формулы (13-19) к барометрической формуле, связывающей давления на разных высотах:

                                                  (13-20), где - средняя масса молекулы воздуха.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Ход работы.

  1.  Измеряем высоту уровня пшена в  каждой ячейке, все данные вносим в таблицу.

2. Определяем среднее значение уровня пшена в каждой ячейке:

   где k - число опытов

      I – номер ячейки

все данные вносим в таблицу.

  1.  Определяем вероятность нахождения пшена в I ячейке по формуле:

;   ;   ;  

все данные вносим в таблицу.

  1.  Таблица данных:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

1

0

1

5

7

20

32

57

65

64

45

11

5

3

2

1

(мм)

2

0

2

2

2

17

30

45

65

65

50

15

8

4

3

1

 

3

0

4

8

10

20

35

60

65

60

40

12

6

2

2

2

(мм)

 

0

2

5

6

19

32

54

65

63

45

13

6

3

2,3

1,3

(мм)

318

0,010

0,007

0,016

0,020

0,059

0,101

0,168

0,202

0,196

0,140

0,039

0,020

0,009

0,007

0,004

(мм)

6,603

0

0

0,01

0,04

0,09

0,14

0,16

0,15

0,13

0,1

0,08

0,05

0,04

0,027

0,018

5.  Построить график функции  Pi  от координаты i ячейки в виде гистограммы:

  1.  Построить график функции  (теоретическая зависимость):

  1.  График функции вероятного попадания пшена :

  1.  По данным одной из ячеек определить среднеквадратичную ошибку измерений:

Ввод:  Изучили  статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитали теоретическую кривую распределения случайных величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38020. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ АТД «СПИСОК» 355.5 KB
  Краткая теория Реализация списка посредством массивов. При реализации списка посредством массивов используют два способа.n] of record pole1: integer; pole2: Boolen; end; vr :Spisok; Обращение к элементам такого списка будет выглядеть так. Тип для второй реализации списка посредством массивов рис 1.
38021. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ АТД «СТЕК», «ОЧЕРЕДЬ», «ДВУСВЯЗНЫЙ СПИСОК» 606.5 KB
  Реализация «стека» посредством указателей. Обычно ячейка стека состоит из двух полей. Первое поле информационное, т.е. хранит сам элемент списка, отсюда название – element, а второе содержит указатель на следующую ячейку, поэтому имеет название next. Для формирования структуры АТД «стек» используется составной тип и описывается в разделе описания типов type.
38022. Лабораторная работа № 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ АТД ДЕРЕВО Цель работы: исследовать и изучить АТД. 1.59 MB
  n] of integer; vr :tree; Реализация деревьев с использованием списков сыновей. Списки сыновей составляются для каждого узла.1 можно составить соответствующие списки сыновей рис.5 Тип для реализации АТД дерево через списки сыновей рис.
38023. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ «БИНАРНОГО ДЕРЕВА» 197.5 KB
  нет копий одного и того же элемента. Дерево бинарного поиска – это так же бинарное дерево узлы которого помечены элементами множеств. Свойство данного дерева заключено в том что все элементы левого поддерева любого узла x меньше элемента узла x а элементы правого поддерева больше чем x. Первое поле element – это поле в котором храниться значение самого элемента множества.
38024. ИЗУЧЕНИЕ АТД «СЛОВАРЬ», «ФАЙЛ» И «НАГРУЖЕННОЕ ДЕРЕВО» 341 KB
  Временами так же возникает необходимость проверки присутствия элемента в этом множестве. Словарь можно реализовать тремя способами: 1посредством сортированных или не сортированных связанных списков; 2при помощи двоичных векторов если элементы данного множества целые числа; 3используя массив фиксированной длины с указателем на последнюю заполненную ячейку этого массива если размер множества не превышает заданную длину массива в противном случае используются связанные списки. Начальное значение сегмента всегда меньше значений элементов его...
38025. Карты изображений 1.45 MB
  подробное описание областей нанесенных на контурную карту: mp nme= Mp re shpe= rect coords= 226074 href= ссылка на Google.ru re shpe= rect coords= 61411276 href= ссылка на мой сайт mp Примечание: жирным выделено то что должно присутствовать обязательно обычным текстом переменные параметры. mp nme= Mp2 re shpe= circle coords= 842826 href= http: google.ru re shpe= poly coords= 65351417858109481107177546345 href= http: srez.
38026. Элементарные таблицы 60 KB
  Если значение ноль то рамка не требуется; cellpdding= cellspcing= добавляют свободное пространство между данными ячейки и ее границами и между ячейками таблицы соответственно. th т th контейнер ячейки Заголовок : заголовок столбца или строки. Значения: left заголовок прижать к левому краю ячейки center заголовок расположить по центру ячейки right заголовок прижать к правому краю ячейки; vlign= задает положение данных в ячейке Заголовок по вертикали. Значения: bottom заголовок прижать к нижнему краю ячейки middle заголовок...
38027. Продолжение разговора о ссылках 63.5 KB
  Способ первый с помощью атрибута nme имя закладки тэга : Заголовки стих первый стих второй стих третий в нашем примере мы сделали закладками использовав атрибут тэга nme: Заметьте href= stih3 символ решетки перед именем закладки на которую мы ссылаемся обязателен.
38028. Создание форм 45.5 KB
  Помимо атрибута type большинство элементов управления требуют указания атрибутов nme и vlue для идентификации имени и исходного значения если таковое имеется. Вот пример кода создающего текстовое поле: input type=â€text†nme=â€usernme†vlue=â€â€ Этот код может пригодиться при создании текстового поля для ввода имени пользователя при подключении к Webузлу. Для полноты картины можно дополнить его полем пароля: input type=â€pssword†nme =“userpss†vlue=â€â€ обратите внимание что атрибуту vlue в обоих случаях присвоено...