70760

Изучение статистических закономерностей на механических моделях

Лабораторная работа

Физика

Движение каждой молекулы определяется законами классической механики поэтому в принципе можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно то не только решить но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно.

Русский

2014-10-26

258.5 KB

5 чел.

                                           Лабораторная работа № 1-13

Тема:    Изучение статистических закономерностей на механических моделях.

Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.

Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.

Теоретическая часть:

1.  Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.

Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.

2.    Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до  равна отношению числа молекул , скорости которых лежат в указанном интервале к полному числу молекул в системе  , т.е.

                                                                 (13-1)

Выражение (13-1) можно представить через функцию распределения  молекулы по скоростям:

                                                        (13-2)

 Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.

Максвелл установил, что наиболее вероятное распределение определяется соотношением кинетической энергии молекулы  к средней энергии её теплового движения     :

                               , где - постоянная Больцмана, - абсолютная температура, - независящая от скорости постоянная.

Постоянная  находится из условия, что вероятность найти скорость молекулы в интервале от 0 до  равна единице (это вероятность достоверного события):

                                                 (13-4)

Вычислив с помощью (13-4) нормировочную постоянную   можно записать выражение для среднего числа молекул   скорости которых лежат в интервале от  до  в следующей форме:

                                               (13-5)

Если же интересоваться распределением молекул только по величине скорости, т. е. по  , то выражение (13-5) следует переписать с учётом того факта, что все направления движения молекул равновероятны, поэтому распределение точек в пространстве скоростей будет сферически симметричным относительно начала отсчёта. Следовательно молекулы, скорости которых заключены в интервале от  до  будут находиться в области, лежащей между сферами радиусов  ,,

объём которой равен  . Поэтому объём    в (13-5) следует заменить на объём   . Тогда формула (13-5) примет вид:

                                        (13-6)

Используя выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что функция распределения Максвелла по величине скорости  равна:

                                                  (13-7)

4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:

                                                                       (13-8)

Функция распределения Максвелла (13-7) позволяет вычислить статистические значения любой функции скоростей :

        ,где   - среднее значение функции         (13-9)

Используя (13-9) получаем, что средняя скорость молекул  и среднеквадратичная скорость  равна:

                      

Связь между характерными скоростями молекул:

                             

Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:

                                        (13-16)

где  - потенциальная энергия молекулы в поле внешних сил.

Число молекул, координаты которых лежат в интервале от  до  равно:

                                                        (13-17)

Пусть известна концентрация молекул  и  в двух точках  и  .Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:

                                                        (13-18)  (формула Больцмана).

Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:

 Пусть начальная точка , тогда  ; В качестве второй точки возьмём точку, отстоящую на расстоянии  от поверхности Земли, т.е. , тогда , Применим формулу (13-18) :

                                                     (13-19)

Используя далее основание уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде  и считая температуру воздуха одинаковой на всех высотах, переходим от формулы (13-19) к барометрической формуле, связывающей давления на разных высотах:

                                                  (13-20), где - средняя масса молекулы воздуха.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Ход работы.

  1.  Измеряем высоту уровня пшена в  каждой ячейке, все данные вносим в таблицу.

2. Определяем среднее значение уровня пшена в каждой ячейке:

   где k - число опытов

      I – номер ячейки

все данные вносим в таблицу.

  1.  Определяем вероятность нахождения пшена в I ячейке по формуле:

;   ;   ;  

все данные вносим в таблицу.

  1.  Таблица данных:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

1

0

1

5

7

20

32

57

65

64

45

11

5

3

2

1

(мм)

2

0

2

2

2

17

30

45

65

65

50

15

8

4

3

1

 

3

0

4

8

10

20

35

60

65

60

40

12

6

2

2

2

(мм)

 

0

2

5

6

19

32

54

65

63

45

13

6

3

2,3

1,3

(мм)

318

0,010

0,007

0,016

0,020

0,059

0,101

0,168

0,202

0,196

0,140

0,039

0,020

0,009

0,007

0,004

(мм)

6,603

0

0

0,01

0,04

0,09

0,14

0,16

0,15

0,13

0,1

0,08

0,05

0,04

0,027

0,018

5.  Построить график функции  Pi  от координаты i ячейки в виде гистограммы:

  1.  Построить график функции  (теоретическая зависимость):

  1.  График функции вероятного попадания пшена :

  1.  По данным одной из ячеек определить среднеквадратичную ошибку измерений:

Ввод:  Изучили  статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитали теоретическую кривую распределения случайных величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81365. Звільнення майна боржника з-під арешту, зняття арешту 27.57 KB
  Особа яка вважає що майно на яке накладено арешт належить їй а не боржникові може звернутися до суду з позовом про визнання права на майно і про звільнення майна зпід арешту. У разі прийняття судом рішення про звільнення майна зпід арешту або сплати боржником повної суми боргу за виконавчим документом до реалізації арештованого майна боржника майно звільняється зпід арешту за постановою державного виконавця яка затверджується начальником відповідного органу державної виконавчої служби додаток 40 не пізніше наступного дня коли...
81366. Поняття виконавчого провадження та його місце в системі права України 24.12 KB
  Виконавче провадження це врегульовані законодавством України суспільні відносини що виникають і реалізуються в процесі примусового виконання між органами державної виконавчої служби і посадовими особами які здійснюють примусову реалізацію рішень ухвал постанов судових і несудових органів з одного боку та між особами котрі беруть участь у виконавчому провадженні і залучаються до проведення виконавчих дій з другого боку на підставах у спосіб та в межах встановлених законом. Закону України Про виконавче провадження визначає...
81367. Принципи виконавчого провадження : поняття, зміст та значення 30.61 KB
  Принципи виконавчого провадження це закріплені у правових нормах основні засади керівні положення які визначають організацію органів державної виконавчої служби зміст і спрямованість її діяльності правовий статус учасників виконавчого провадження. На підставі теоретичних положень аналізу чинного законодавства та практики його застосування можна виокремити такі принципи виконавчого провадження: принцип гуманізма полягає у тому що заборонено у будьякій формі посягати на права і свободи фізичних осіб які беруть участь у виконавчому...
81368. Поняття, сутність та елементи правовідносин у виконавчому провадженні 28.23 KB
  Правовідносини у виконавчому провадженні виникають між державним виконавцем з одного боку та іншими субєктами виконавчого провадження стягувачем боржником з іншого. До ознак правовідносин що виникають у виконавчому провадженні слід віднести такі: вони виникають при примусовому виконанні рішень судів та інших юрисдикційних органів та регламентовані законодавством про виконавче провадження; без волі стягувана фізичної або юридичної особи державний виконавець не має права відкривати виконавче провадження. У випадку звернення...
81369. Суб’єкти виконавчого провадження та їх класифікація 25.45 KB
  Субєкти виконавчого провадження субєкти виконавчих правовідносин учасники виконавчого провадження це носії процесуальних прав та обовязків у виконавчому провадженні. Закону учасниками виконавчого провадження є державний виконавець сторони представники сторін прокурор експерти спеціалісти перекладачі субєкти оціночної діяльності субєкти господарювання. Прокурор бере участь у виконавчому провадженні у випадку здійснення представництва інтересів громадянина або держави в суді та відкриття виконавчого провадження на підставі...
81370. Органи і посадові особи Державної виконавчої служби, їх правове становище та повноваження 24.9 KB
  Органами державної виконавчої служби є: Департамент державної виконавчої служби Міністерства юстиції України до складу якого входить відділ примусового виконання рішень; управління державної виконавчої служби Головного управління юстиції Міністерства юстиції України в Автономній Республіці Крим головних управлінь юстиції в областях містах Києві та Севастополі до складу яких входять відділи примусового виконання рішень; районні районні у містах міські міст обласного значення міськрайонні відділи державної виконавчої служби відповідних...
81371. Державний виконавець як обов’язковий суб’єкт виконавчого провадження, його обов’язки та права 29.09 KB
  Державний виконавець у процесі здійснення виконавчого провадження має право: проводити перевірку виконання боржниками рішень що підлягають виконанню відповідно до цього Закону; здійснювати перевірку виконання юридичними особами всіх форм власності фізичними особами фізичними особами підприємцями рішень стосовно працюючих у них боржників; з метою захисту інтересів стягувача одержувати безоплатно від органів установ організацій посадових осіб сторін та учасників виконавчого провадження необхідні для проведення виконавчих дій...
81372. Роль суду у виконавчому провадженні 22.06 KB
  Роль суду у виконавчому провадженні є досить важливою і багатоаспектною. Це полягає в тому що суд не лише здійснює контроль у виконавчому провадженні але й вирішує цілий ряд питань виконавчого провадження. Специфіка судового контролю полягає в тому що він здійснюється лише при розгляді конкретної цивільної справи судом і лише у випадку звернення особи за захистом.