70760

Изучение статистических закономерностей на механических моделях

Лабораторная работа

Физика

Движение каждой молекулы определяется законами классической механики поэтому в принципе можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно то не только решить но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно.

Русский

2014-10-26

258.5 KB

5 чел.

                                           Лабораторная работа № 1-13

Тема:    Изучение статистических закономерностей на механических моделях.

Цель работы: изучить статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитать теоретическую кривую распределения случайных величин.

Приборы и принадлежности: установка для изучения статистических закономерностей, сыпучий материал, масштабная линейка.

Теоретическая часть:

1.  Движение каждой молекулы определяется законами классической механики, поэтому, в принципе, можно написать уравнение движения каждой молекулы. Однако поскольку число молекул огромно, то не только решить, но даже написать такое громадное число дифференциальных уравнений практически невозможно. Таким образом, динамический метод описания совокупности огромного числа частиц практически непригоден. Новый метод, позволяющий перейти от описания движения отдельных частиц системы к описанию в целом макроскопических свойств системы из огромного числа частиц, называется статистическим. Он основывается на использовании теории вероятности и определённой модели строения изучаемой системы.

Термодинамический метод описывает поведение системы из большого числа частиц, не касаясь её внутренней структуры. В основе термодинамического метода лежит несколько общих законов, называемых началами термодинамики, установленных на основе обобщения опытных данных.

2.    Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от  до  равна отношению числа молекул , скорости которых лежат в указанном интервале к полному числу молекул в системе  , т.е.

                                                                 (13-1)

Выражение (13-1) можно представить через функцию распределения  молекулы по скоростям:

                                                        (13-2)

 Распределение молекул по скоростям в принципе может оказаться любым, но вероятность различных распределений неодинакова. Среди всех возможных распределений имеется одно, вероятность которого больше чем всех других оно называется распределением Максвелла.

Максвелл установил, что наиболее вероятное распределение определяется соотношением кинетической энергии молекулы  к средней энергии её теплового движения     :

                               , где - постоянная Больцмана, - абсолютная температура, - независящая от скорости постоянная.

Постоянная  находится из условия, что вероятность найти скорость молекулы в интервале от 0 до  равна единице (это вероятность достоверного события):

                                                 (13-4)

Вычислив с помощью (13-4) нормировочную постоянную   можно записать выражение для среднего числа молекул   скорости которых лежат в интервале от  до  в следующей форме:

                                               (13-5)

Если же интересоваться распределением молекул только по величине скорости, т. е. по  , то выражение (13-5) следует переписать с учётом того факта, что все направления движения молекул равновероятны, поэтому распределение точек в пространстве скоростей будет сферически симметричным относительно начала отсчёта. Следовательно молекулы, скорости которых заключены в интервале от  до  будут находиться в области, лежащей между сферами радиусов  ,,

объём которой равен  . Поэтому объём    в (13-5) следует заменить на объём   . Тогда формула (13-5) примет вид:

                                        (13-6)

Используя выражения (13-1), (13-2), (13-6) находим, что функция распределения Максвелла по величине скорости  равна:

                                                  (13-7)

4. Наивероятнейшая скорость – скорость, при которой кривая Максвелла имеет максимум:

                                                                       (13-8)

Функция распределения Максвелла (13-7) позволяет вычислить статистические значения любой функции скоростей :

        ,где   - среднее значение функции         (13-9)

Используя (13-9) получаем, что средняя скорость молекул  и среднеквадратичная скорость  равна:

                      

Связь между характерными скоростями молекул:

                             

Функция распределения по координатам называется функцией распределения Больцмана:

                                        (13-16)

где  - потенциальная энергия молекулы в поле внешних сил.

Число молекул, координаты которых лежат в интервале от  до  равно:

                                                        (13-17)

Пусть известна концентрация молекул  и  в двух точках  и  .Используя выражения (13-17) и (13-16), получаем:

                                                        (13-18)  (формула Больцмана).

Закон изменения концентрации частиц с высотой в поле силы тяжести Земли:

 Пусть начальная точка , тогда  ; В качестве второй точки возьмём точку, отстоящую на расстоянии  от поверхности Земли, т.е. , тогда , Применим формулу (13-18) :

                                                     (13-19)

Используя далее основание уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде  и считая температуру воздуха одинаковой на всех высотах, переходим от формулы (13-19) к барометрической формуле, связывающей давления на разных высотах:

                                                  (13-20), где - средняя масса молекулы воздуха.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Ход работы.

  1.  Измеряем высоту уровня пшена в  каждой ячейке, все данные вносим в таблицу.

2. Определяем среднее значение уровня пшена в каждой ячейке:

   где k - число опытов

      I – номер ячейки

все данные вносим в таблицу.

  1.  Определяем вероятность нахождения пшена в I ячейке по формуле:

;   ;   ;  

все данные вносим в таблицу.

  1.  Таблица данных:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

1

0

1

5

7

20

32

57

65

64

45

11

5

3

2

1

(мм)

2

0

2

2

2

17

30

45

65

65

50

15

8

4

3

1

 

3

0

4

8

10

20

35

60

65

60

40

12

6

2

2

2

(мм)

 

0

2

5

6

19

32

54

65

63

45

13

6

3

2,3

1,3

(мм)

318

0,010

0,007

0,016

0,020

0,059

0,101

0,168

0,202

0,196

0,140

0,039

0,020

0,009

0,007

0,004

(мм)

6,603

0

0

0,01

0,04

0,09

0,14

0,16

0,15

0,13

0,1

0,08

0,05

0,04

0,027

0,018

5.  Построить график функции  Pi  от координаты i ячейки в виде гистограммы:

  1.  Построить график функции  (теоретическая зависимость):

  1.  График функции вероятного попадания пшена :

  1.  По данным одной из ячеек определить среднеквадратичную ошибку измерений:

Ввод:  Изучили  статистические закономерности на механических моделях,  получить экспериментальную и рассчитали теоретическую кривую распределения случайных величин.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52737. Створення ситуації успіху в навчальній діяльності школярів 378.5 KB
  Створення ситуації успіху в навчальній діяльності школярів – це проблема до якої все частіше звертається сучасна педагогічна наука. Провівши огляд та аналіз літератури з теми Створення ситуації успіху на уроках стверджую що обрана тема є актуальною для освіти залишається лише допомогти дитині в період формування її особистості ні в якому разі не позбавляти школяра чекання завтрашньої радості віри у свої можливості...
52738. Формування творчої особистості молодшого школяра через використання інтерактивних технологій на уроках читання у початкових класах 69.5 KB
  В теорії і практиці навчання особливо гостро стоїть питання про розвиток творчих здібностей учнів. Під час такого діалогу важливо навчити кожну дитину розмірковувати гнучко підходити до розв’язання проблем знаходити нові оригінальні рішення для того щоб відчути задоволення від навчання. Зацікавленість є ефективним засобом успішного навчання необхідною умовою досягнення позитивних наслідків. Ефективне навчання неможливе без активізації пізнавальної діяльності розвитку творчих здібностей.
52739. Формування комунікативно-мовленнєвих умінь і навичок молодших школярів на уроках читання 165 KB
  Розвиток мовленнєвокомунікативних умінь та навичок учнів на нетрадиційних уроках читання. Формування зв’язного мовлення та навичок міжособистісного спілкування у процесі роботи з художнім текстом Уроки читання має великі можливості для реалізації мети розвитку комунікативної культури дітей. На уроках читання та позакласного читання учні вчаться усвідомлювати фактичний зміст твору переказувати прочитане виділяти основних персонажів обговорювати оповідання та стисло висловлювати своє ставлення до нього.
52740. Компетентностный подход к формированию личности средствами проектных технологий 470.5 KB
  Использование проектного метода делает студента самостоятельным приспособленным к жизни умеющим ориентироваться в разнообразных ситуациях способствует развитию познавательных творческих навыков умений самостоятельно конструировать свои знания умений ориентироваться в информационном пространстве; развитию критического мышления навыков информационной деятельности. Концепция компетенции выходит за рамки квалификации и представляет компетенцию как комбинацию знаний умений навыков и отношений соответствующих определенному содержанию...
52741. Диференційоване навчання в початковій школі 89.5 KB
  Працюючи в школі я впевнилась що особистісно–розвивальна спрямованість освіти реалізація якої є головним завданням сучасної школи неможлива без диференційованого навчання. Головне завдання вчителів початкової ланки – не забути жодної дитини дати можливість розкрити все краще закладене природою сім’єю школою. Враховуючи те що рівень готовності учнів до навчальної діяльності різний необхідно конструювати диференційовані завдання для школярів з різними навчальними можливостями. Такі завдання мають поєднувати навчальний процес усього...
52742. Формування предметно-культурологічних компетентностей учнів через моделювання культурно-освітнього середовища 139 KB
  предметнокультурологічних компетентностей учнів має особливу практичну значущість та дозволяє досягти нової якості освіти. Основна ідея досвіду її інноваційна значущість Формування компетентної особистості учня в процесі вивчення літератури здійснюється через моделювання культурноосвітнього середовища як дидактичної одиниці інноваційного освітнього процесу на засадах поєднання дІяльнісного особистісноорієнтованого компетентнісного підходів шляхом забезпечення міжпредметної інтеграції використання розвиваючих інтерактивних технологій...
52743. Орієнтоване читання як компонент технології розвитку критичного мислення учнів в системі 501.5 KB
  Ефективність – А працюють всі учні; Б розвивається логічне мислення; В використання опорних ключових слів в багаткратному повторенні під час уроку полегшує засвоєння матеріалу при виконанні домашніх завдань; Г для здібних учнів залишається простір для самостійного оволодіння додатковою інформацією. А на практиці є учні які приходять на урок без виконаного домашнього завдання які за своїм рівнем відстають від основної групи дітей. Пояснюють факти правила прогнозують наслідки які базуються на отриманих даних Які слова матері...
52744. Інтерактивні уроки історії в навчальному процесі 583 KB
  Втретіх виховується почуття колективізму відповідальності взаємодопомоги поваги до чужої думки бо інколи завдання які розглядаються на таких уроках можуть мати декілька альтернативних варіантів відповіді. Першим завданням як правило є кросворд або чайнворд. На виконання даної роботи відводиться певний час тому за раніше виконане завдання при наявності всіх правильних відповідей присуджується додаткове очко. Зазвичай учень який відповідає призначається вчителем тому навіть слабкі чи не підготовлені до цього уроку школярі...
52745. ІНТЕГРАЦІЙНІ ПРОЦЕСИ НА УРОКАХ СВІТОВОЇ ЛІТЕРАТУРИ 552.5 KB
  Інтеграційні процеси на уроках світової літератури. Автор досвіду ставив мету у даній роботі систематизувати та описати методологію впровадження інтеграційних процесів на уроках світової літератури. Практичне бачення інтеграційних процесів на уроках світової літератури автор відобразив схемами.