7081

Нелинейные резистивные элементы

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Нелинейные резистивные элементы Цель работы: Изучение степенной (полиномиальной) и кусочно-линейной аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных резистивных элементов. Изучение спектрального состава тока, протекающего через нелинейный...

Русский

2013-01-14

105 KB

39 чел.

Нелинейные резистивные элементы

Цель работы:

Изучение степенной (полиномиальной) и кусочно-линейной аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных резистивных элементов. Изучение спектрального состава тока, протекающего через нелинейный элемент, под воздействием гармонического напряжения, при разных типах аппроксимации его ВАХ.

Рис.1. Вольт-амперная характеристика диода и его изображение (обозначение)

Таблица 1

Полиномиальная аппроксимация

 

 

I0

mA

Im1

mA

Im2

mA

Im3

mA

Полином

первой

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3,2

1,8

0

0

Полином

второй

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3

2,1

0,2

0

Полином

третьей

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3

2,2

0,2

0

               

а)                                                                                          б)

Рис.2.  Графики для полинома первой степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

График полинома первой степени:   

представляет собой прямую , параллельную оси абсцисс, и наклонную прямую  с коэффициентом наклона , смещенную по оси абсцисс на величину . Регулируя величины ,  и , можно перемещать аппроксимирующую прямую вниз, вправо и влево и менять ее наклон.

Для определения амплитуд гармоник тока подставим в выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу :  .

Сравнивая это выражение с рядом Фурье

,

видим, что ;  ;  . Таким образом, при аппроксимации ВАХ полиномом 1-ой степени ток содержит кроме постоянной составляющей I0 только основную (первую) гармонику, совпадающую по частоте с приложенным гармоническим напряжением.

                 

а)                                                                                              б)

Рис.3.  Графики для полинома второй степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

График полинома второй степени  содержит в дополнение к графику полинома первой степени квадратичную параболу , смещенную по оси абсцисс на величину . Квадратичный член служит для аппроксимации слабой нелинейности ВАХ параболического типа.

             

а)                                                                                        б)

Рис.4.  Графики для полинома третей степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

Для описания нелинейности ВАХ высокого порядка используется полином третьей степени , в котором добавляется так называемая кубическая парабола , смещенная по оси абсцисс на величину .

Состав спектра тока в нелинейном элементе при аппроксимации ВАХ степенным полиномом определяется степенью полинома и его коэффициентами.

Определить коэффициенты, , ... , полинома можно различными способами. Наиболее распространенным способом является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты , , ...   находятся из равенства значений полинома и аппроксимируемой ВАХ в выбранных точках (узлах интерполяции).

, ,    ,  .

Таблица 2

Кусочно-линейная аппроксимация

I0

mA

Im1

mA

Im2

mA

Im3

mA

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

2,4

2,8

0,2

0,1

а)                                                                         б)

Рис.5.  Графики для кусочно-линейной аппроксимации

при Uо =5В, Um =5В, Uотс = 3,5В и S = 1,54 мА/В:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

а)                                                                                            б)

Рис.6.  Графики для кусочно-линейной аппроксимации

при Uо =2В, Um =6В, Uотс = 3В и S = 1,43 мА/В:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

Спектр тока при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ зависит от угла отсечки. В тех случаях, когда нелинейный элемент работает как вентиль: есть ток или нет тока, используют кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ:

График тока при этом имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Половина той части периода в радианах (или градусах), в течение которой протекает ток, называется углом отсечки и обозначен буквой .

При  напряжение . Отсюда,

  и  .

Последнее равенство показывает, что угол отсечки можно изменить, меняя напряжение смещения , амплитуду гармонического сигнала  или выбирая параметр  аппроксимирующей функции.

Периодическую последовательность импульсов тока можно разложить в ряд Фурье:

.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока вычисляются по формуле:

,   k = 0, 1, 2, 3, ... ,

Выводы:

Из рис. 2 – 4 видно, что с увеличением степени полинома при полиномиальной аппроксимации, ВАХ аппроксимации приближается к реальной ВАХ, и при полиноме третьей степени значения ВАХ аппроксимации практически равны значениям реальной ВАХ. Поэтому, погрешность аппроксимации может быть тем меньше, чем больше число варьируемых параметров, входящих в аппроксимирующую функцию ( например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция). Но при этом растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи.

Из анализа кусочно-линейной аппроксимации видно, что ее целесообразней использовать при больших амплитудах гармонического напряжения, подводимого к нелинейному элементу, когда нелинейный элемент работает как вентиль: есть ток или нет тока.

Количество гармоник в спектре тока равно степени полинома, описывающего нелинейность ВАХ. Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома при четных степенях, а амплитуды нечетных гармоник – коэффициентами полинома при нечетных степенях.

Амплитуды спектральных составляющих тока в нелинейном элементе при кусочно-линейной аппроксимации его ВАХ зависят от угла отсечки. Количество гармоник при этом бесконечно большое. Чем меньше угол отсечки (чем уже импульс), тем медленнее убывают амплитуды гармоник тока.

  

Защита:

Задача № 1.

Дан график проходной характеристики нелинейного элемента и значения U0 = 8 В и Um = 1 В входного сигнала, по которым построен график u(t). Выбрать тип аппроксимации ВАХ и определить параметры аппроксимирующей функции: напряжение отсечки и крутизну характеристики при кусочно-линейной аппроксимации либо степень полинома и узлы интерполяции при степенной аппроксимации.

Решение:

Аппроксимировать (т.е. описывать аналитически) нужно только тот участок ВАХ, по которому перемещается рабочая точка.

Определив максимум Umax=U0+Um  и минимум Umin=U0-Um  изменения напряжения на ВАХ мы видим, что данный нелинейный участок ВАХ, можно описать, используя полином второй степени (он имеет в своем составе квадратичную параболу). Выбираем узлами интерполяции:

Полученная  ВАХ аппроксимации совпадает с реальной ВАХ, на том участке, где происходит изменение напряжения смещения. Графики формы тока для реальной ВАХ и для аппроксимированной совпадают, как и графики спектра амплитуд тока.

 

Задача № 2.

Дан график проходной характеристики нелинейного элемента и значения U0 =1 В и Um = 1 В входного сигнала, по которым построен график u(t). Выбрать тип аппроксимации ВАХ и определить параметры аппроксимирующей функции: напряжение отсечки и крутизну характеристики при кусочно-линейной аппроксимации либо степень полинома и узлы интерполяции при степенной аппроксимации.

Решение:

Определив максимум Umax=U0+Um   и минимум Umin=U0-Um   изменения напряжения на ВАХ мы видим, что нелинейность рассматриваемого участка ВАХ минимальна – значит данный участок ВАХ можно принять за линейный. Для аппроксимации используем полином первой степени (представляет собой прямую , параллельную оси абсцисс, и наклонную прямую  с коэффициентом наклона , смещенную по оси абсцисс на величину ). Выбираем узлами интерполяции:

Полученная  ВАХ аппроксимации совпадает с реальной ВАХ, на том участке, где происходит изменение напряжения смещения. Графики формы тока для реальной ВАХ и для аппроксимированной совпадают, как и графики спектра амплитуд тока.

Задача № 3.

Дана проходная ВАХ нелинейного элемента и значение напряжения смещения U0=5В. Выбрать амплитуду гармонического воздействия так, чтобы в спектральном составе была одна гармоническая составляющая.

Решение:

Для определения амплитуд гармоник тока подставим в выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу :  .

Сравнивая это выражение с рядом Фурье

,

видим, что ;  ;  . Таким образом, при аппроксимации ВАХ полиномом 1-ой степени ток содержит кроме постоянной составляющей I0 только основную (первую) гармонику, совпадающую по частоте (f=0,1Гц) с приложенным гармоническим напряжением.

Получаем: Um=0,1 В

i, мА

u, B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17535. Індексований тип (одновимірні масиви) в С++ 77 KB
  Дослідження індексованого типу одновимірні масиви Мета лабораторної роботи дослідити опис ініціювання індексованого типу та навчитися виконувати практичні завдання над ним. Завдання Написати програму на мові Сі яка складається
17536. Дослідження індексованого типу (одновимірні масиви) в С++ 55.5 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5 Дослідження індексованого типу одновимірні масиви Мета лабораторної роботи дослідити опис ініціювання індексованого типу та навчитися виконувати практичні завдання над ним. Мета: набути умінь і навичок роботи зі статичними масивами
17537. ДОСЛІДЖЕННЯ ВКАЗІВНИКІВ ТА ДИНАМІЧНОЇ ПАМ’ЯТІ в С++ 85 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6 ДОСЛІДЖЕННЯ ВКАЗІВНИКІВ ТА ДИНАМІЧНОЇ ПАМЯТІ Мета роботи дослідити механізми створення та використання вказівників та механізми роботи з динамічною памяттю. Завдання Вивчити поняття вказівників та методи виділення динамічної п...
17538. Дослідження багатовимірних масивів на С++ 184 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7 Дослідження багатовимірних масивів на С. Мета лабораторної роботи ознайомитися з основними принципами роботи з багатовимірними масивами. Теоретичні положення Багатовимірний масив це масив який має дві чи більше розмірност
17539. Робота з рядками символів. Обробка масивів на С++ 71.5 KB
  Основи програмування та алгоритмічні мови Лабораторна робота №8 Лабораторна робота №8 Робота з рядками символів. Обробка масивів Мета роботи вивчити особливості опису і використання символьних маси...
17540. Системи числення (позиційні, непозиційні) 1.16 MB
  Лабораторна робота №1 Тема: Системи числення позиційні непозиційні. Мета: Виконати переведення чисел між різними системами числення та основні алгебраїчні операції між числами двійкової системи. Теоретичні відомості Сукупність прийомів та правил найменування й...
17541. Побудова схем за допомогою програми Electronics Workbench (EWB) та створення таблиць істинності в табличному процесорі Microsoft Excel 161 KB
  Лабораторна робота №2 Тема: побудова схем за допомогою програми Electronics Workbench EWB та створення таблиць істинності в табличному процесорі Microsoft Excel. Мета: використовуючи логічні функції табличного процесора Microsoft Excel створити таблиці істинності функцій заданих аналіт...
17542. Основні аксіоми та закони алгебри логіки 85 KB
  Лабораторна робота №3 Тема: основні аксіоми та закони алгебри логіки. Мета:довести аналітичним способом та методом повного перебору логічні функції за допомогою основних аксіом та законів алгебри логіки. Варіант 13 Теоретичні відомості Логічна функція це склад...
17543. Основні теореми підстановок та розкладання алгебри логіки 301.5 KB
  Лабораторна робота №4 Тема: основні теореми підстановок та розкладання алгебри логіки. Мета: вирішити задачі за допомогою теорем підстановок та розкладання. Варіант 13 Теоретичні відомості При побудові складних логічних схем із логічних елементів використовую