7081

Нелинейные резистивные элементы

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Нелинейные резистивные элементы Цель работы: Изучение степенной (полиномиальной) и кусочно-линейной аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных резистивных элементов. Изучение спектрального состава тока, протекающего через нелинейный...

Русский

2013-01-14

105 KB

39 чел.

Нелинейные резистивные элементы

Цель работы:

Изучение степенной (полиномиальной) и кусочно-линейной аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных резистивных элементов. Изучение спектрального состава тока, протекающего через нелинейный элемент, под воздействием гармонического напряжения, при разных типах аппроксимации его ВАХ.

Рис.1. Вольт-амперная характеристика диода и его изображение (обозначение)

Таблица 1

Полиномиальная аппроксимация

 

 

I0

mA

Im1

mA

Im2

mA

Im3

mA

Полином

первой

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3,2

1,8

0

0

Полином

второй

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3

2,1

0,2

0

Полином

третьей

степени

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

3

2,2

0,2

0

               

а)                                                                                          б)

Рис.2.  Графики для полинома первой степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

График полинома первой степени:   

представляет собой прямую , параллельную оси абсцисс, и наклонную прямую  с коэффициентом наклона , смещенную по оси абсцисс на величину . Регулируя величины ,  и , можно перемещать аппроксимирующую прямую вниз, вправо и влево и менять ее наклон.

Для определения амплитуд гармоник тока подставим в выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу :  .

Сравнивая это выражение с рядом Фурье

,

видим, что ;  ;  . Таким образом, при аппроксимации ВАХ полиномом 1-ой степени ток содержит кроме постоянной составляющей I0 только основную (первую) гармонику, совпадающую по частоте с приложенным гармоническим напряжением.

                 

а)                                                                                              б)

Рис.3.  Графики для полинома второй степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

График полинома второй степени  содержит в дополнение к графику полинома первой степени квадратичную параболу , смещенную по оси абсцисс на величину . Квадратичный член служит для аппроксимации слабой нелинейности ВАХ параболического типа.

             

а)                                                                                        б)

Рис.4.  Графики для полинома третей степени:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

Для описания нелинейности ВАХ высокого порядка используется полином третьей степени , в котором добавляется так называемая кубическая парабола , смещенная по оси абсцисс на величину .

Состав спектра тока в нелинейном элементе при аппроксимации ВАХ степенным полиномом определяется степенью полинома и его коэффициентами.

Определить коэффициенты, , ... , полинома можно различными способами. Наиболее распространенным способом является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты , , ...   находятся из равенства значений полинома и аппроксимируемой ВАХ в выбранных точках (узлах интерполяции).

, ,    ,  .

Таблица 2

Кусочно-линейная аппроксимация

I0

mA

Im1

mA

Im2

mA

Im3

mA

Реальная

ВАХ

3

2,2

0,2

0

Аппроксим.

ВАХ

2,4

2,8

0,2

0,1

а)                                                                         б)

Рис.5.  Графики для кусочно-линейной аппроксимации

при Uо =5В, Um =5В, Uотс = 3,5В и S = 1,54 мА/В:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

а)                                                                                            б)

Рис.6.  Графики для кусочно-линейной аппроксимации

при Uо =2В, Um =6В, Uотс = 3В и S = 1,43 мА/В:

а - графики формы тока (зеленого цвета для реальной ВАХ,

синего цвета  для аппроксимированной);

б - графики спектра амплитуд тока, протекающего через диод

(зеленого цвета для реальной ВАХ, синего цвета  для аппроксимированной).

Спектр тока при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ зависит от угла отсечки. В тех случаях, когда нелинейный элемент работает как вентиль: есть ток или нет тока, используют кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ:

График тока при этом имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Половина той части периода в радианах (или градусах), в течение которой протекает ток, называется углом отсечки и обозначен буквой .

При  напряжение . Отсюда,

  и  .

Последнее равенство показывает, что угол отсечки можно изменить, меняя напряжение смещения , амплитуду гармонического сигнала  или выбирая параметр  аппроксимирующей функции.

Периодическую последовательность импульсов тока можно разложить в ряд Фурье:

.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока вычисляются по формуле:

,   k = 0, 1, 2, 3, ... ,

Выводы:

Из рис. 2 – 4 видно, что с увеличением степени полинома при полиномиальной аппроксимации, ВАХ аппроксимации приближается к реальной ВАХ, и при полиноме третьей степени значения ВАХ аппроксимации практически равны значениям реальной ВАХ. Поэтому, погрешность аппроксимации может быть тем меньше, чем больше число варьируемых параметров, входящих в аппроксимирующую функцию ( например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция). Но при этом растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи.

Из анализа кусочно-линейной аппроксимации видно, что ее целесообразней использовать при больших амплитудах гармонического напряжения, подводимого к нелинейному элементу, когда нелинейный элемент работает как вентиль: есть ток или нет тока.

Количество гармоник в спектре тока равно степени полинома, описывающего нелинейность ВАХ. Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома при четных степенях, а амплитуды нечетных гармоник – коэффициентами полинома при нечетных степенях.

Амплитуды спектральных составляющих тока в нелинейном элементе при кусочно-линейной аппроксимации его ВАХ зависят от угла отсечки. Количество гармоник при этом бесконечно большое. Чем меньше угол отсечки (чем уже импульс), тем медленнее убывают амплитуды гармоник тока.

  

Защита:

Задача № 1.

Дан график проходной характеристики нелинейного элемента и значения U0 = 8 В и Um = 1 В входного сигнала, по которым построен график u(t). Выбрать тип аппроксимации ВАХ и определить параметры аппроксимирующей функции: напряжение отсечки и крутизну характеристики при кусочно-линейной аппроксимации либо степень полинома и узлы интерполяции при степенной аппроксимации.

Решение:

Аппроксимировать (т.е. описывать аналитически) нужно только тот участок ВАХ, по которому перемещается рабочая точка.

Определив максимум Umax=U0+Um  и минимум Umin=U0-Um  изменения напряжения на ВАХ мы видим, что данный нелинейный участок ВАХ, можно описать, используя полином второй степени (он имеет в своем составе квадратичную параболу). Выбираем узлами интерполяции:

Полученная  ВАХ аппроксимации совпадает с реальной ВАХ, на том участке, где происходит изменение напряжения смещения. Графики формы тока для реальной ВАХ и для аппроксимированной совпадают, как и графики спектра амплитуд тока.

 

Задача № 2.

Дан график проходной характеристики нелинейного элемента и значения U0 =1 В и Um = 1 В входного сигнала, по которым построен график u(t). Выбрать тип аппроксимации ВАХ и определить параметры аппроксимирующей функции: напряжение отсечки и крутизну характеристики при кусочно-линейной аппроксимации либо степень полинома и узлы интерполяции при степенной аппроксимации.

Решение:

Определив максимум Umax=U0+Um   и минимум Umin=U0-Um   изменения напряжения на ВАХ мы видим, что нелинейность рассматриваемого участка ВАХ минимальна – значит данный участок ВАХ можно принять за линейный. Для аппроксимации используем полином первой степени (представляет собой прямую , параллельную оси абсцисс, и наклонную прямую  с коэффициентом наклона , смещенную по оси абсцисс на величину ). Выбираем узлами интерполяции:

Полученная  ВАХ аппроксимации совпадает с реальной ВАХ, на том участке, где происходит изменение напряжения смещения. Графики формы тока для реальной ВАХ и для аппроксимированной совпадают, как и графики спектра амплитуд тока.

Задача № 3.

Дана проходная ВАХ нелинейного элемента и значение напряжения смещения U0=5В. Выбрать амплитуду гармонического воздействия так, чтобы в спектральном составе была одна гармоническая составляющая.

Решение:

Для определения амплитуд гармоник тока подставим в выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу :  .

Сравнивая это выражение с рядом Фурье

,

видим, что ;  ;  . Таким образом, при аппроксимации ВАХ полиномом 1-ой степени ток содержит кроме постоянной составляющей I0 только основную (первую) гармонику, совпадающую по частоте (f=0,1Гц) с приложенным гармоническим напряжением.

Получаем: Um=0,1 В

i, мА

u, B


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57757. Населення України 89.5 KB
  Актуалізація опорних знань та вмінь учнів План на мультимедійній дошці Кількість населення. Природний рух населення. Статевовікова структура населення.
57758. Запліднення. Будова насінини 52.5 KB
  Мета уроку: ознайомити учнів із процесом запліднення у квіткових рослин; розкрити його біологічне значення; дослідним шляхом ознайомити із будовою насінини на прикладі пшениці і квасолі...
57759. Фізика і хімія - науки, що визначають сучасний науково – технічний прогрес 50.5 KB
  Мета уроку: розкрити величезне визначальне значення наук фізики та хімії в розв’язанні глобальних проблем сучасності: енергетичної, продовольчої, технічної, проблеми збереження миру в усьому світі...
57760. Робота з рухомою картою зоряного неба 149.5 KB
  Рухома карта складається з двох частин: рухомого диска (зоряної карти), який може обертатись навколо вісі, що проходить через його центр, і нерухомо розташованого над ним накладного круга.
57761. Изучение звёздного неба 95 KB
  Цели урока: Создать условия для: изучения созвездий наблюдения интересных объектов в этих созвездиях отработки навыков уверенного нахождения созвездий и самых ярких звёзд северного неба...
57762. Розв’язування нерівностей з однією змінною 114.5 KB
  Мета: відтворити знання про лінійні нерівності з однією змінною; удосконалювати вміння учнів розвязувати нерівності з однією змінною формувати навички самостійної роботи...
57763. Решение иррациональных неравенств 1.41 MB
  Формировать умения и навыки решения иррациональных неравенств различными способами. Формировать социальную компетентность: предоставлять учащимся возможность проявлять инициативу.
57764. Der Gemüsegarten 38.5 KB
  Практична: ввести лексичні одиниці за темою уроку та тренувати їх вживання в усному та писемному мовленні, закріпити вживання сильних дієслів у теперішньому часі на прикладі дієслова essen.
57765. Текст-переклад. Бінарний урок з інформатики та англійської мови 143.5 KB
  А зараз давайте пригадаємо пристрій, який допоможе нам друкувати текст. Називається він?(клавіатура). На клавіатурі знаходиться багато клавіш. Це алфавітно-цифрове поле (демонструється малюнок клавіатури).