70834

Обработка результатов измерений. Оценка погрешностей

Лабораторная работа

Физика

Принято различать приборные погрешности обусловленные точностью измерительного прибора и его настройки и погрешности случайные вызванные неконтролируемыми внешними воздействиями может быть даже воздействием самого прибора. Причиной появления погрешности может быть и несовершенство принятой модели.

Русский

2014-10-28

494 KB

12 чел.

Лабораторная работа № 1

Обработка результатов измерений.

Оценка погрешностей

Цель работы: приобретение навыков обработки результатов измерений.

Продолжительность работы - 4 часа.

Погрешность измерений

Результат измерений любой физической величины не может быть абсолютно точен, обязательно имеется некоторая погрешность. При оценке результатов  физического эксперимента это обстоятельство имеет решающее значение. Например, для некоторой величины теория предсказывает значение 5,54, а в эксперименте получено 5,6. Можно ли отсюда сделать вывод о верности теории? Все зависит от точности теоретического предсказания и точности экспериментального результата. Предположим, что теория предсказывает значение некоторой величины 5,54 ± 0,01 и экспериментальный результат получен также с точностью до одной сотой: 5,60 ± 0,01. Тогда мы делаем вывод, что теория не подтверждается экспериментом. Если же точность предсказания и результата измерений меньше, например 5,54 ± 0,05 и 5,60 ± 0,06, то вывод, соответственно, будет другой.

Отчего возникает погрешность? Причины, кроме явных ошибок экспериментатора, могут быть самые разнообразные. Принято различать приборные погрешности, обусловленные точностью измерительного прибора и его настройки, и погрешности случайные, вызванные неконтролируемыми внешними воздействиями, может быть, даже воздействием самого прибора.

Например, при измерении некоторого размера штангенциркулем возможна деформация измеряемого объекта самим штангенциркулем: под его ″губки″ может попасть посторонний микроскопический предмет, возникнуть перекос и т.д. Причиной появления погрешности может быть и несовершенство принятой модели. Так, мы считаем объект измерения телом вращения, а в действительности его сечение может иметь форму эллипса. При этом в зависимости от конкретных условий эксперимента погрешность может быть в одном случае отнесена к приборным, а в другом - считаться вызванной внешними воздействиями, точной границы при таком разделении погрешностей нет.

Приборные погрешности в свою очередь могут быть случайными по величине и знаку или закономерными. Если погрешность закономерна, ее называют систематической и в принципе ее можно учесть в виде некоторой поправки к результату измерений.

По форме представления различают погрешность абсолютную и относительную. Смысл этих терминов очевиден. Например, если результат измерения некоторого промежутка времени записан так:

с;   с,

то в этом случае величина с представляет собой абсолютную погрешность; обозначается она, как и измеряемая величина, но со знаком Δ. В нашем примерес. С другой стороны, ясно, что время  определено точнее, так как больший промежуток времени сложнее определить с той же абсолютной погрешностью. Чтобы отразить это обстоятельство в записи величины погрешности, вводят относительную погрешность. Относительная погрешность может измеряться в процентах, тогда эту величину умножают на 100%.

В данной работе вы познакомитесь с одним из простейших способов обработки результатов измерений.

Практическое определение погрешности

измеряемой величины

Измерение физической величины может быть выполнено чувствительным (точным) прибором или не очень чувствительным (грубым) прибором.

Если измерительный прибор не очень чувствительный, погрешность измерений определяется приборной погрешностью. При этом нет необходимости проводить измерения многократно, так как это не повышает их точности. Приборная погрешность обычно указывается в описании прибора; если такого указания нет, то за нее принимается половина цены деления шкалы прибора. Так, при измерении длины миллиметровой линейкой принято в качестве погрешности брать величину 0,5 мм. Результат измерения длины некоторого объекта в этом случае надо записывать в следующем виде: (385,0 ± 0,5) мм.

В дальнейшем приборную погрешность будем обозначать  Погрешность может быть больше этой величины, если объект не имеет точной границы (например, при измерении размеров изображения предмета на экране). Точной рекомендации, какую при этом брать погрешность, нет. Все зависит от вида измеряемого объекта и целей измерения.

При использовании чувствительного прибора (например, микрометра, миллисекундомера и т.д.) при повторных измерениях могут получаться неодинаковые результаты. Так, измерения времени падения шарика с высоты 1 м с помощью миллисекундомера дают результаты, приведенные в табл.1.

Таблица 1

Результаты измерений времени падения шарика с высоты 1 м

      Номер

опыта              

   1

   2

                

   3    

   

    4

   

     5

  

     6

  

    7

   

     8

  ti, с

0,460

0,446

0,452

0,456

0,448

0,454

0,446

0,458

   Δti, с

0,007

0,007

0,001

0,003

0,005

0,001

0,007

 0,005

Простейший расчет погрешности в этом случае проводиться следующим образом:

  •  найти среднее арифметическое значение измеряемой величины

с,

причем оно должно содержать столько значащих цифр, сколько их в измеряемой величине (в нашем примере - три);

  •  для каждого измерения найти модуль разности среднего значения  и измеренной величины ti и занести в таблицу ;

  •  найти среднее арифметическое значение погрешности

с;

  •  сравнить значение с приборной погрешностью миллисекундомера .

Если >, то результат измерения следует записать в виде

Если < , то результат измерения следует записать в виде

.

Например, если приборная погрешность равна  с, то

с,

если  с, то

с.

Вообще говоря, для расчета погрешности обоснованным является выражение

Однако если обратиться к числам, мы с большой степенью точности получим правило, изложенное выше, причем точность тем выше, чем больше разность между и . Действительно, если рассмотреть предыдущий пример, то для первого случая:

с,

для второго случая:

с.

При арифметическом расчете средних значений измеряемой величины и погрешности (особенно при использовании калькулятора) может получиться такой результат:

см.

Приведенная запись неграмотна. Для того чтобы правильно записать результат, поступают следующим образом:

  •  округляют погрешность до двух значащих цифр, если первой из них является единица, и до одной значащей цифры - во всех остальных случаях. Например:

 неправильно             правильно

см           см

  см                          см

                   см          см;

  •  при записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Например:

                неправильно              правильно

             см        см     

             см            см

             см       см   

см       см.

Таким образом, грамотной записью результата для приведенного выше примера является такая запись:

см.

Упражнение 1. Рассчитать среднее значение периода колебаний  математического маятника и его погрешность по результатам измерений,  приведенным в табл.2.

                         Таблица 2

Результаты измерений периода колебаний

математического маятника

Номер   опыта

1

2

3

4

5

Т, с

1,24

1,18

1,23

1,20

1,19

Результаты записать для случаев, когда измерения выполнены секундомером, имеющим погрешности: а)с; б)с.

Определение погрешности косвенных измерений

Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчитана с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкретного вида ее зависимости от измеряемых величин.

Пусть величину можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические величины и т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равны и т.д. Погрешность величиныможно рассчитать, воспользовавшись формулой

                                                         (1)

Здесь  - так называемые частные производные, которые вычисляются по обычным правилам в предположении, что остальные переменные (кроме той, по которой выполняется дифференцирование) зафиксированы.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть известны   и их погрешности .

Необходимо найти погрешность величины.

Решение.

       

Таким образом, при сложении или вычитании нескольких величин складываются их абсолютные погрешности:

Пример 2. Известны положительные величиныи их погрешности . Необходимо найти погрешность величины            .

Решение.

              

В скобках стоит сумма относительных погрешностей величин  и , а сомножитель перед скобкой равен величине. Отсюда следует

Таким образом, при умножении или делении нескольких величин складываются их относительные погрешности:

Это правило легко обобщается на произвольное число сомножителей.

Теперь рассмотрим конкретный случай. Измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле

                                                 (2)

(здесь g рассматривается как функция двух переменных H и t, определяемых экспериментально).

Пусть м,  с,  тогда

.

Относительная погрешность ускорения свободного падения (см. пример 2) равна

Обратите внимание на то, что перед относительной погрешностью  стоит множитель  2, так как время в формуле (2) стоит во второй степени.

Рассчитаем :

Из этого выражения  следует, что абсолютная погрешность равна

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

Эта запись означает, что истинное значение ускорения свободного падения лежит в пределах от  до .

Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала проволоки , из которого изготовлена пружина жесткостью , можно определить по формуле

           ,                                  

где  - радиус пружины; - радиус проволоки;  - число витков пружины. Пусть погрешности измерения величин  соответственно равны . Если использовать формулу (1) для расчета погрешности , то получим следующее выражение:

,

которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно:

Рассчитав и ,  легко определить:

.

Очевидно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый.

В заключение приведем таблицу формул для вычисления погрешностей в некоторых частных случаях (табл.3).

Еще раз напомним: при сложении (вычитании) некоторых величин складываются абсолютные погрешности; при умножении (делении) величин складываются относительные погрешности.

Таблица 3

Примеры вычисления абсолютной и относительной погрешностей

Математическая

операция

Абсолютная

погрешность

  Относительная

     погрешность

 

           

    

          

         

             

              

     

          

           

     

         

        

                                               

      

Домашнее упражнение. Получить выражения для расчета абсолютной и относительной погрешностей для следующих математических операций:

а) ; б) ; в)  гдеи- измеряемые величины.

Упражнение 2. Рассчитать ускорение свободного падения и его погрешность, зная длину  и период колебания математического маятника:м, с.  

Напомним, что

.

Графическое представление результатов измерений

В ряде случаев при обработке результатов измерений пользуются графическим методом. Графическое представление результатов позволяет быстро понять главные особенности наблюдаемой зависимости и обнаружить ошибки в измерениях.

Приведем основные правила построения графиков.

  1.  Необходимо пользоваться листом миллиметровой бумаги, размер которого не должен превышать размер тетрадного листа.

                 Неверно                                   Верно

Рис.1. Выбор масштаба и начала отсчета при построении графиков

  1.  Важно разумно  выбирать масштабы,  чтобы измеренные  точки

располагались на всей площади листа. На рис.1 изображены примеры неправильного и правильного построения графиков.

На левом (неправильно построенном) графике экспериментальные точки занимают правую нижнюю часть листа. Чтобы этого избежать, следует выбрать более крупный масштаб по оси Н и сместить нуль на оси абсцисс, как это сделано на правом графике.

Масштаб должен быть удобным. Клеточка миллиметровой бумаги должна соответствовать 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 и т.д. единицам измеряемой величины, но не  3; 4; 7 и т.д.

  1.  Следует стремиться к такому выбору величин, откладываемых по осям, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии. Так, исследуя закон падения тел, мы вправе ожидать, что результаты будут описываться законом . Если откладывать по осям  и или  и , или и , то график приобретает вид прямой линии. Одно из этих трех представлений и должно быть выбрано при построении графика.
  2.  Выполняя измерения, необходимо стремиться к тому, чтобы точки будущего графика располагались достаточно равномерно. Этого можно добиться следующим образом:
  •   первые два измерения провести при таких параметрах установок, при которых точки на графике будут максимально и минимально удалены от начала координат (например, измерить время падения тела с максимальной и минимальной высот, реализуемых в данной установке);
  •   с учетом полученных результатов выбрать удобный масштаб и нанести эти точки на график;
  •   соединить точки пунктирной линией и найти такие параметры установки, при которых точки на графике будут располагаться равномерно (ориентировочное число точек указано в описаниях лабораторных работ);
  •   провести измерения при этих параметрах, результаты занести в таблицу и построить график.

Мы изложили самый простой способ графической обработки результатов измерений.

В табл.4 представлена зависимость времени падения t тела от высоты Н, а также погрешности измерения этих величин и

Таблица 4

Экспериментальные данные и параметры, необходимые

для построения графика

Номер

строки

Параметры

Значения параметров

1

Н, м

0,50

1,00

1,50

2,0

2

ΔН, м

0,04

0,06

0,10

0,10

3

t, c

0,32

0,48

0,55

0,64

4

Δt, c

0,02

0,02

0,03

0,03

5

t2, c2

0,102

0,23

0,30

0,41

6

 Δ(t2), c2

0,013

0,02

0,03

0,04

Высота и время падения связаны соотношением

поэтому график удобно представить в координатах и так как в этих координатах зависимость будет линейной. Поэтому в 5-й строке табл.4 представлены значения .

При нанесении экспериментальных точек на график необходимо указать погрешности. Для расчета погрешности воспользуемся формулой (1) и получим:

.

С помощью этого выражения рассчитаем соответствующие погрешности и занесем их в 6-ю строку табл.4.

Построим график. Для этого, выбрав масштаб вдоль координатных осей (рис.2), нанесем экспериментальные точки и погрешности.

Рис.2. Пример построения графика

Погрешность  откладывается по горизонтали вправо и влево от точки, а погрешность - по вертикали вверх и вниз. В результате получаются ″поля ошибок″ (прямоугольники на графике). Сплошной линией представлена изучаемая зависимость. Тот факт, что она проходит через все ″поля ошибок″, подтверждает, что.

При графической обработке результатов измерений часто определяют угловой коэффициент  прямой, который для нашего примера равен

                                               .                                                  (3)

Определив из графика , по формуле (3) можно найти ускорение свободного падения. Для нахождения углового коэффициента необходимо выполнить следующие операции:

  •  провести пунктирные прямые, имеющие максимальный и минимальный наклоны и проходящие через все ″поля ошибок″, и рассчитать максимальное и минимальное значения углового коэффициента:

  •  вычислить среднее значение и абсолютное значение их полуразности:

Из (3) и (1) следует

      ,                    

Таким образом, получим:

Упражнение 3. Измерен период колебаний математического маятника в зависимости от его длины Результаты измерений представлены в табл.5.

Таблица 5

Зависимость периода колебаний математического маятника

от его длины

l, м

0,50

1,00

1,50

2,00

Т, с

1,4

2,0

2,5

2,8

   м; с.

Необходимо:

  •  построить график зависимости ;
  •  определить максимальный и минимальный угловые коэффициенты;
  •  рассчитать ускорение свободного падения .

Литература

1.  Лабораторные занятия по физике / Под ред. Л.Л.Гольдина. - М.: Наука, 1983. - С.11 - 39.

        2. Берестов А.Т., Куклин С.Ю. Методы обработки результатов измерений: Методические указания к лабораторным занятиям по курсу ″Общая физика″ - М.: МИЭТ, 1998.

PAGE  19


EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2

1

3

4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78219. Концептуальная технология анализа и проектирования информационных систем на базе СУБД 218 KB
  Банк данных это система специальным образом организованных данных: баз данных программных средств технических средств языковых средств предназначенных для централизованного накопления и коллективного иного целевого использования данных. СУБД – это совокупность языковых и программных средств предназначенных для создания ведения и совместного использования Баз данных многими пользователями...
78220. Общая характеристика банков данных 619.5 KB
  Взаимосвязь реального мира информации и данных. Рассмотрим 3 области с которыми мы имеем дело когда проектируем базу данных: Реальный мир и его явление. Представление этой информаций посредством данных.
78222. Модели данных. Общие сведения о моделях данных 320 KB
  Примером отношения является двухмерная таблица. Каждая строка отношения является множеством значений взятых по одному из домена каждого имени атрибута. Строки отношения называются кортежами. Строки отношения Рейсы...
78225. Метаболизм простых белков и аминокислот 232 KB
  В настоящее время установлено что 8 аминокислот являются незаменимыми. Суточная потребность в каждой незаменимой аминокислоте. а всего организму необходимо 69 граммов незаменимых аминокислот в сутки.
78226. МЕТАБОЛИЗМ УГЛЕВОДОВ И ЕГО РЕГУЛЯЦИЯ 314.5 KB
  В печени основное количество глюкозы откладывается запасается в виде гликогена а остальная глюкоза идёт в общий кровоток для питания других клеток. В состоянии натощак вне приёма пищи гликоген в печени постепенно распадается до глюкозы и глюкоза из печени уходит в общий кровоток к другим тканям. Эти механизмы поддерживают концентрацию глюкозы в крови на постоянном уровне. Это реакция фосфорилирования глюкозы за счёт АТФ.
78227. Синтез пуриновых нуклеотидов 145.5 KB
  Пурины выводятся в разном виде – у беспозвоночных в виде аммиака у рыб и моллюсков – мочевины реже аллантоиновой кислоты у человека приматов ящериц и зме в виде мочевой кислоты. Человек выводит в сутки около 15 граммов мочевой кислоты в день причем не более 60 эндогенных пуринов остальное пурины пищи. При гиперурикемии и нарушениях почечной экскреции уратов усиленное кишечное выведение и бактериальное превращение мочевой кислоты и мочевины имеют отношение к возникновению язвенных поражений ЖКТ при уремии. Продукция мочевой кислоты в...