7087

Электростатическое поле в вакууме

Лекция

Физика

Тема: Электростатическое поле в вакууме. Основу электростатики составляют инвариантность электрического заряда к выбору системы отсчета, закон сохранения заряда, закон Кулона, принцип суперпозицииполейи теорема Остроградского...

Русский

2013-01-16

168.5 KB

65 чел.

PAGE  2

Тема: Электростатическое поле в вакууме.

Основу электростатики составляют инвариантность электрического заряда к выбору системы отсчета, закон сохранения заряда, закон Кулона, принцип суперпозиции полей и теорема Остроградского-Гаусса.

1. Закон сохранения электрического заряда.

   

   Закон Кулона

2. Электрическое поле. Основные характеристики электрического поля.

2.1. Напряженность электрического поля.

2.2 Работа перемещения электрического заряда в электростатическом поле.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

2.3 Потенциал и разность потенциалов.

2.4  Напряженность как градиент потенциала.

3. Принцип суперпозиции полей. Расчет электростатических полей с помощью принципа суперпозиции

,

;   

1. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.

Электрический заряд – это свойство тела, которое проявляется в электромагнитном взаимодействии. Одновременно электрический заряд – это физическая скалярная величина, которая определяет интенсивность электромагнитного взаимодействия. Единицей измерения электрического заряда в СИ является 1Кл (Кулон).

Экспериментально было установлено, что электрический заряд любого тела кратен элементарному заряду, равному 1,6∙10-19Кл. В природе существуют два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. В телах носителем элементарного отрицательного заряда является электрон, а положительного – протон.

Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в теле в равных количествах и распределены в нем с одинаковой плотностью. Поэтому алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме незаряженного тела равна нулю – тело электрически нейтрально. Если некоторый отрицательный заряд перенести (например, трением) от одного электрически нейтрального тела к другому, то появившийся на первом теле положительный заряд в точности будет равен перенесенному отрицательному заряду. В этом проявляется закон сохранения электрического заряда:

Алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах,  происходящих в этой системе.

Система зарядов называется электрически изолированной если не происходит переноса заряда через поверхность,  ограничивающую эту системы.

Закон сохранения электрического заряда связан  с инвариантностью его значения относительно выбора системы отсчета. (Значение заряда не зависит от его скорости. Справедливость такого утверждения можно показать на примере переходов электрона между энергетическими уровнями в атоме. Такие переходы сопровождаются изменением скорости электрона, но при этом изменение заряда атома не наблюдается.)

Обычно тела являются электрически нейтральными. Чтобы зарядить тело ему сообщают избыточный заряд. В электричестве используется модель заряженного тела, которая называется – точечный заряд.

Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. (Размеры взаимодействующих тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними).

Закон Кулона.

В 1785г. французским ученым Ш. Кулоном, с помощью крутильных весов, был установлен закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов в вакууме (закон Кулона):

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов Q1 и Q2, расположенных в вакууме, прямо пропорциональна произведению значений зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, проходящей через центры зарядов.

Математическая формула закона Кулона имеет следующий вид:

в векторной форме    в скалярной форме

(1)    (2),

где – радиус вектор, соединяющий заряды ();

= 9ּ109 м/Ф – коэффициент пропорциональности;

0 = 8,85ּ10-12Ф/м - электрическая постоянная в системе СИ;

Сила Кулона является центральной силой и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов.

2. Электрическое поле. Основные характеристики электрического поля.

2.1 Напряженность электростатического поля

В соответствии с концепцией поля, любой электрический заряд Q создает в окружающем его пространстве электростатическое поле. Если другой заряд Q0 поместить в это поле, то на него будет действовать сила F. Если теперь величину силы F разделить на величину заряда Q0, то получится новая физическая векторная величина Е, которая будет являться характеристикой поля. Полученная величина Е называется напряженностью электростатического поля.

Математическая формула для напряженности поля (3).

Размерность напряженности – , единица измерения –  (вольт на метр).

это напряженность такого поля, в котором на заряд в 1Кл действует сила 1Н.

(Здесь следует отметить, что чем меньше линейные размеры и величина заряда Q0, тем меньше он будет искажать поле и тем точнее будет измеряемое значение напряженности).

Из формулы (3) следует физический смысл напряженности: напряженность электростатического поля в некоторой точке пространства численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку.

Т.о. напряженность  является силовой характеристикой электростатического поля.

Если поле создано точечным зарядом Q, то формулу для напряженности этого поля можно получить из формул (1) и (2) закона Кулона приняв один из зарядов за Qо а другой – за Q. Формула для напряженности  электростатического поля точечного заряда 

в векторной форме    в скалярной форме

(4)     (5)

В общем случае, если задана напряженность  электростатического поля в некоторой точке пространства, то сила, действующая на заряд Q0 в этой точке, будет равна

(6).

Графически электрическое поле изображается с помощью линий напряженности, называемых силовыми линиями. При этом касательные к силовым линиям в каждой точке поля совпадают с направлением вектора  в этой точке,  а густота линий соответствует численному значению напряженности.

Однородным называется поле, напряженность которого не изменяется ни по величине, ни по направлению. В однородном поле силовые линии параллельны вектору .

Из формул (4) и (5) следует, что силовые линии электрического поля положительного заряда направлены от заряда, а силовые линии поля отрицательного заряда направлены к заряду. В общем случае силовые линии электростатического поля могут начинаться и заканчиваться на электрических зарядах, или начинаться на заряде и уходить в бесконечность.

2.2 Работа перемещения электрического заряда в электростатическом поле.

  Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.

Пусть имеется поле с напряженностью Е. Если в это поле поместить заряд Q0, то на него со стороны поля будет действовать сила F=Q0∙Е.  Под действием этой силы  заряд Q0 будет перемещаться, т.е. сила F будет совершать работу по перемещению заряда. Найдем выражение для работы по перемещению заряда из точки 1 с радиус вектором r1 в точку 2 с радиус вектором r2. 

В данном случае имеет место механическое движение. Поэтому можно использовать из механики общую формулу для работы силы F по перемещению тела из положения 1 в положение 2

(7) или , (8)

где  и  – работа на элементарном перемещении dr и dl.

Подставив в формулу (7) вместо F силу Q0·E, действующую на заряд в электрическом поле, получим формулу для расчета работы по перемещению заряда Q0       (9)  или для единичного заряда  (10)

Если электрическое поле создано точечным зарядом Q, то в формулу (9) вместо Е необходимо подставить напряженность поля точечного заряда, которая определяется формулами (4) или (5). Тогда получим формулу для работы по перемещению заряда Q0 в поле точечного заряда Q

 (11)

Из полученной формулы видно, что работа А1-2 определяется только положением заряда Q0.

При перемещении заряда Q0 из положения 1 в положение 2 по любой траектории будет совершаться одна и та же работа, определяемая формулой (11). Т.е. работа в электростатическом поле не зависит от вида траектории, а определяется начальным и конечным положениями заряда.

В механике было показано, что таким свойством обладает потенциальное поле. Также было доказано, что в потенциальном поле работа равна нулю при перемещении тела по замкнутой траектории (по контуру). Следовательно, электростатическое поле является потенциальным и в электростатическом поле работа равна нулю при перемещении заряда по замкнутой траектории (по контуру). С учетом этого можно записать

(12) или для единичного заряда , (13)

где знакозначает интегрирование по замкнутому контуру L, dl – элемент контура L.

Интеграл в формуле (13) называется циркуляцией вектора напряженности по контуру L. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Это является следствием того, что силовые линии электростатического поля не замкнуты и не пересекаются.

В случае одноименных зарядов величина работы по их сближению отрицательна, а при удалении – положительна. В случае разноименных зарядов, наоборот, величина работы при их сближении положительна, а по удалению – отрицательна.

2.3 Потенциал и разность потенциалов.

В механике было показано, что в потенциальном поле работа сил поля по перемещению тела равна убыли его потенциальной энергии. Исходя из этого формулу (11) можно записать в виде     (14),

где  (15) и  (16) – потенциальные энергии заряда Q0 на соответствующих расстояниях r1 и r2 от заряда Q.

Полагая в формуле (14), что заряд Q0 перемещается из точки с радиус вектором r1 в бесконечность (,=0), получим, что потенциальная энергия заряда  Q0 в данной точке равна работе по его перемещению из этой точки в бесконечность .

Если теперь левую и правую части последнего равенства разделить на величину заряда Q0, то получится новая физическая скалярная величина φ, которая является характеристикой поля (созданного другим зарядом). Полученная величина φ называется потенциалом электростатического поля.

Математическая формула для потенциала поля (17).

Размерность потенциала– ,   единица измерения –

За единицу потенциала 1В принимается потенциал такой точки электростатического поля, для перемещения в которую заряда 1Кл нужно совершить работу в 1Дж.

Из формулы (17) следует физический смысл потенциала: потенциал электростатического поля в некоторой точке численно равен работе  по перемещению единичного положительного точечного заряда из этой точки в бесконечность.

В то же время потенциал электростатического поля в данной точке равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда, помещенного в эту  точку.

Потенциал поля точечного заряда определяется формулой

(18)

С учетом новой введенной величины φ формулу (14) можно записать в следующем виде

(19)

и работу А1-2 определить как работу по перемещению электрического заряда Q0 из точки электростатического поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2. Здесь  называется разностью потенциалов точек 1 и 2 поля.

Если работу А1-2 в формуле (19) поделить на величину заряда, то получим, что разность потенциалов численно равна работе по перемещению  единичного точечного  положительного заряда из точки электростатического поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2.

Так как работа по перемещению  единичного положительного заряда определяется формулой (10), то для разности потенциалов можно записать

(20).

Следует иметь в виду, что если работа по перемещению электрического заряда совершается кулоновской силой (со стороны поля), то потенциальная энергия заряда уменьшается. Т.е. изменение его потенциальной энергии отрицательно

(21).

2.4 Напряженность как градиент потенциала.

Работу dA на элементарном перемещении  заряда Q0 можно определить через напряженность поля по формуле dA=Q0Exdx и через разность потенциалов dφ между точками х2 и х1 по формуле dA=–Q0dφ. Здесь Ex – проекция вектора напряженности поля на ось х. Приравняв правые части последних формул, получим формулу, связывающую напряженность поля в некоторой точке с потенциалом

или более точно,   (22),

где  означает частную производную по координате (или градиент).

В общем (трехмерном) случае напряженность и потенциал электростатического поля связаны следующим выражением

(23)

или в символической форме , где .

Таким образом, напряженность в некоторой точке электростатического поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

3. Принцип суперпозиции полей. Расчет электростатических полей с помощью принципа суперпозиции.

Опыт показывает, что для электростатического поля справедлив принцип суперпозиции: напряженность Е в  некоторой точке электростатического поля, созданного системой N электрических точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей Еi, создаваемых в этой точке  каждым зарядом в отдельности

(24).

Соответственно для потенциала φ поля, созданного системой электрических точечных зарядов: потенциал φ в некоторой точке электростатического поля, созданного системой N электрических точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов  полей, создаваемых в этой точке  каждым зарядом в отдельности

(25).

В данном случае нужно учитывать поля, как свободных, так и связанных (индуцированных) зарядов, о которых речь пойдет позже.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим электрическое поле, созданное системой из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов +Q и –Q, расположенных друг от друга на расстоянии L.

Приведенная система зарядов называется электрическим диполем. Прямая, проходящая через центры зарядов, называется осью диполя, а вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, и равный расстоянию между зарядами называется плечом диполя.

Найдем напряженность поля, создаваемого электрическим диполем в точке О на некотором расстоянии r на перпендикуляре к середине его плеча. По определению (точечные заряды), расстояние r во много раз превосходит расстояние L. При этом точка О равноотстоит от обоих зарядов, поэтому  (26)

Из подобия треугольников ОАВ и ОСD следует, что , откуда получим .  С учетом формулы (26) получим окончательно выражение для напряженности поля электрического диполя в точке О

(27).

Из формулы (27) видно, что напряженность поля электрического диполя определяется не величиной заряда, а произведением величины заряда Q и плеча диполя L. Произведение величины заряда Q и плеча диполя  называется электрическим моментом диполя

(28).

С учетом формулы  (28) напряженность поля диполя можно выразить через электрический момент диполя

(29)

Вектор  направлен противоположно вектору электрического момента диполя.

Потенциал φ0 поля электрического диполя в точке О равен нулю т.к. заряды разноименные и равноотстоят от этой точки.

Можно показать, что в произвольной точке поля его напряженность Е  и потенциал φ определяются следующими формулами

(30)   (31),

где – угол между плечом диполя и направлением на рассматриваемую точку.

Вопросы для самопроверки:

  1.  Что такое электрический заряд?
  2.  Для каких электрических зарядов применим закон Кулона?
  3.  Что такое напряженность поля? В чем состоит физический смысл напряженности электрического поля? Какой характеристикой поля является его напряженность? Каковы размерность и единица измерения напряженности?
  4.  Какой формулой определяется сила, действующая на заряд в поле с напряженностью Е?
  5.  Какой формулой определяется работа кулоновской силы по перемещению электрического заряда? От чего зависит величина работы?
  6.  Что такое потенциал поля? В чем состоит физический смысл потенциала электрического поля? Какой характеристикой поля является его потенциал? Каковы размерность и единица измерения потенциала?
  7.  Как связаны между собой напряженность и потенциал электростатического поля?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73574. Информация о магнитных свойствах, которая может быть получена из нейтронографических данных (магнитные фазовые переходы, температурные зависимости намагниченности 955 KB
  Зависимость величины намагниченности Co подрешетки от внешнего поля отчетливо видна на рис. Подчеркнем что полевая зависимость спонтанной намагниченности монокристалла ErCo2 измеренная при 36 K с помощью магнитометра имеет вид типичный для парамагнитного состояния.
73576. Малоугловое рассеяние нейтронов. Домены. Наноматериалы. Фракталы (пространственные и поверхностные) 2.4 MB
  Цель этой лекции дать представления о методе малоуглового рассеяния нейтронов МУРН как методе исследования непериодических систем. МУРН имеет дело с изучением неоднородностей в материалах. Масштабы неоднородностей Физические принципы рассеяния нейтронов при МУРН те же что и при рассеянии на большие углы. рассеивающая среда была периодической в трех направлениях причем с очень большим числом повторений тогда как в МУРН рассеивающие центры не упорядочены периодически.
73577. Фінансовий механізм і фіскальна політика 97.5 KB
  Суть і форми кредиту. Структура сучасної кредитної системи. Однією із форм бюджетного фінансування є бюджетний кредит – надання бюджетних засобів суб’єктам господарювання й органам влади на засадах поворотності та платності. Суть і форми кредиту.
73578. Економічне зростання і макроекономічна нестабільність 72.5 KB
  Економічне зростання і макроекономічна нестабільність. Економічне зростання його суть типи і фактори. Економічне зростання його сутьтипи і фактори. Прикладна значимість вивчення проблем економічного зростання зумовлена тим що однією з найважливіших довгострокових цілей економічної політики уряду будьякої країни є підтримка і стимулювання економічного зростання що ставить за мету з ясування його суті типів та факторів забезпечення зростання економіки.
73579. Магнитное критическое рассеяние нейтронов. Корреляционный радиус. Парамагнитное рассеяние 409 KB
  Результаты нейтронографических измерений указывали на резкое увеличение магнитного рассеяния нейтронов вблизи Брегговских пиков когда ферро или антиферромагнетик приближался к точке фазового перехода. Области корреляции в ферромагнетиках Теория критического рассеяния нейтронов на ферромагнетиках была построена Vn Hove. Общее выражение для магнитного рассеяния имеет вид.
73580. Світове господарство та його еволюція 49.5 KB
  Він охопив: а індустріально розвинені країни; б економічно слабо розвинені; в колоніальні залежні. У цей період проходить поділ країн світу на дві системи: світове капіталістичне господарство та країни соціалістичного табору. Країни з розвинутою ринковою економікою. Країни з ринковою економікою що розвиваються.
73581. Линейная алгебра. Основные определения 3.44 MB
  Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
73582. Дифференциальное исчисление функции 2.73 MB
  Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций