71068

Численное интегрирование и дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Дело в том что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач содержащих функции заданные таблично.

Русский

2014-11-01

150 KB

4 чел.

Лабораторная работа 2
Численное интегрирование и дифференцирование

 

Численное интегрирование Численное дифференцирование ~ Символьное интегрирование и дифференцирование ~Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Численное интегрирование

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Встречаются также и случаи, когда приходится прибегать к формулам приближенного интегрирования даже для таких интегралов, которые могут быть найдены в конечном виде, но такое выражение оказывается слишком сложным. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Квадратурные формулы

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла

(1)

является разбиение отрезка [a, b] на n равных частей а = х0 х1< . . . < хn = b c шагом h = , интерполирование функции f(x) на отрезке [a, b] (получение интерполяционного многочлена j (x)) и замена в (1) интеграла интегральной суммой:

In » I.

(2)

Соотношения вида (2) называют квадратурными формулами.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена j (x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции, а также полином степени k = n (j (x) = xk) для которых квадратурные формулы принимают вид (см. Пример 1 Рисунка 8):

Рисунок 8. Численное интегрирование и дифференцирование

 

формула прямоугольников:

  i = 1, 2, . . ., n;

(3)

формула трапеций:

;

(4)

формула Симпсона (n - четное число):

;

(5)

метод неопределенных коэффициентов состоит в вычислении определенного интеграла (1) с помощью формулы (2) коэффициенты Аi, которой находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(6)

Метод Монте-Карло

 

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода и построен метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло.

Пусть h - равномерно распределенная на отрезке [a, b] случайная величина, :

.

(7)

Для генерирования последовательности случайных чисел с нормальным законом распределения в Mathcad возможно использовать функцию rnd

rnd(x)

Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и х.

Для реализации метода Монте-Карло удобно использовать функцию mean

mean(A)

Возвращает среднее арифметическое значение элементов массива А.

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование аналитически или таблично заданной функции f(x) на отрезке [a, b] в точке х = Хзаключается в замене f(x) интерполяционным полиномом j (x), i?iecaiaiua  которого можно найти аналитически с помощью соответствующих формул:

.

(8)

Метод неопределенных коэффициентов (см. Пример 2 Рисунка 8) предполагает использование в качестве интерполяционного многочлена j (x) полином степени k = n (j (x) = (X - xi)k), а коэффициенты Вi формулы (8) находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(9)

 

Символьное интегрирование и дифференцирование

 

Для вычисления интегралов (или нахождения первообразных) аналитически заданной функции используется командаSymbolic Þ Integrate on Variable (Интегрировать по переменной). Она возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной маркером ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией.

Команда Symbolic Þ Differentiate on Variable (Дифференцировать по переменной) возвращает символьное значение производной выражения по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Результат символьного преобразования иногда содержит специальные функции, которые не являются частью спискавстроенных функций Mathcad. Вот определения некоторых из них:

g - константа Эйлера,

Ci(x) = g + ln(x) + , Si(x) = ,

Chi(x) = g + ln(x) + , Shi(x) = .

 

Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Задание 1. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = a + h i, i = 0, 1, ..., 8,

h=(b - a)/8 на отрезке [a, b].

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

[a, b]

[c, d]

1

[0.4, 0.8]

[2, 2.1]

2

2

[0.8, 1.6]

[-1, -0.9]

3

1/(x)

[0.18, 0.98]

[0.5, 0.6]

4

[0.8, 1.6]

[2, 2.1]

5

x2  

[0, 0.4]

[1.5, 1.6]

6

x2  

[0.8, 1.6]

[1, 1.1]

7

[0.4, 1.2]

[2, 2.1]

8

2

[0.8, 1.2]

[1, 1.1]

9

(x + 1) sin x

[1, 5]

[1, 1.1]

10

5x + x lg x

[0.2, 1]

[1.3, 1.4]

11

(2x + 3) sin x

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

12

[0.4, 1.2]

[1, 1.1]

13

1/(1 + x + x2)

[0, 4]

[2, 2.1]

14

[0.4, 0.8]

[1.5, 1.6]

15

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

Задание 2. Вычислить интеграл :

  •  с помощью встроенного оператора интегрирования;
  •  по формуле прямоугольников;
  •  по формуле Симпсона;
  •  с помощью встроенного оператора интегрирования и интерполяцией табличной функции кубическим сплайном(функции cspline и interp);
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного интегрирования.

Задание 3. Вычислить интеграл  методом Монте-Карло. Для этого необходимо:

  •  определить диапазон случайных чисел, например j: = 0..1000;
  •  определить с помощью функции rnd равномерно распределенную случайную величину h на отрезке интегрирования [a, b];
  •  создать вектор Fj = f(h j);
  •  с помощью функции mean вычислить интеграл.

Задание 4. Найти первообразную аналитически заданной функции f(x), используя команду Symbolic Þ Integrate on Variable.

Задание 5. Вычислить значения первой и второй производных функции f(x) в точке Х = с:

  •  с помощью операторов дифференцирования Mathcad;
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного дифференцирования. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = с + h? i, i = 0, 1, ..., 10, h = 0.01 на отрезке [c, d].

Задание 6. Определить символьное значение первой и второй производных f(x), используя команду Symbolic ÞDifferentiate on Variable.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1570. Финансовая система Российской Федерации 199.5 KB
  Финансовая система РФ: понятие, структура. Фонды социального страхования. Пособие по временной нетрудоспособности. Единовременное пособие женщинам, вставшим на учет в женской консультации в ранние сроки беременности. Пособие по беременности и родам выплачивается застрахованной женщине за весь период отпуска по беременности и родам продолжительностью.
1571. Підприємницька діяльність як суб’єкт господарювання 204.27 KB
  Охарактеризувати сфери і напрямки діяльності підприємств. Розкрити сутність добровільних об’єднань підприємств. Розкрити сутність життєвого циклу підприємства та характеристика його етапів. Характеристика соціальної інфраструктури підприємства. Охарактеризувати організаційні структури управління підприємством.
1572. Реконструкція житлового кварталу в центральній частині міста 58.25 KB
  Місцеположення кварталу відносно центру міста – квартал знаходиться в центральній частині міста і розміщається у ІІ зоні містобудівної цінності. Планувальна структура, границі й розміри території (га), функціональне зонування.
1573. Супружеские конфликты в молодых семьях 712.55 KB
  Особенности стиля поведения и механизмов психологических защит в супружеских конфликтах у членов молодых семей. Мужчины и женщины из молодых семей в конфликтной ситуации реже всего используют сотрудничество, как стиль поведения, и наиболее часто проявляют такие психологические защиты как проекция и отрицание.
1574. Особенности профессии Электромеханик по ремонту и обслуживанию счетно–вычислительных машин 217 KB
  Служебные обязанности практиканта. Техническое обслуживание и ремонт лазерного принтера. Замена и ремонт печки. Чистка поверхности от пыли и грязи. Типовые проблемы с лазерными принтерами HP.
1575. Сети ЭВМ 154.93 KB
  Основные характеристики корпоративных компьютерных систем. Производительность корпоративных компьютерных сетей. Надёжность, отказоустойчивость и безопасность корпоративных компьютерных сетей. Расширяемость и масштабируемость корпоративных компьютерных сетей. Исследование и выбор базового метода при построении системы информационного обеспечения объекта.
1576. Бойова служба варт з охорони лікувальних закладів під час епідемій 491.94 KB
  Завдання, які виконують внутрішні війська щодо забезпечення карантинних заходів у районі надзвичайного стану. Організація дій підрозділів внутрішніх військ для забезпечення проведення карантинних заходів у районі надзвичайного стану. Бойова служба варт з охорони лікувальних закладів під час епідемій.
1577. Схемотехника аналоговых электронных устройств 201.68 KB
  Усилитель низкой частоты для телефонной системы связи. Усилитель низкой частоты для проводной телефонной связи. Усилитель высокой частоты для входного блока приемника. Транзисторный двухчастотный усилитель высокой частоты. УВЧ для портативного приемника ЧМ сигналов.
1578. Синтез плоских кулачковых механизмов 119.55 KB
  Построение кинематических диаграмм графическим методом. Синтез кулачкового механизма с роликовым толкателем. Синтез кулачкового механизма с тарельчатым толкателем. Построение зубчатого зацепления. Определение кинематических характеристик всех звеньев. Построение и анализ диаграммы Виттенбауэра. Силовой расчет для рычажно-шарнирного механизма.