71068

Численное интегрирование и дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Дело в том что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач содержащих функции заданные таблично.

Русский

2014-11-01

150 KB

4 чел.

Лабораторная работа 2
Численное интегрирование и дифференцирование

 

Численное интегрирование Численное дифференцирование ~ Символьное интегрирование и дифференцирование ~Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Численное интегрирование

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Встречаются также и случаи, когда приходится прибегать к формулам приближенного интегрирования даже для таких интегралов, которые могут быть найдены в конечном виде, но такое выражение оказывается слишком сложным. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Квадратурные формулы

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла

(1)

является разбиение отрезка [a, b] на n равных частей а = х0 х1< . . . < хn = b c шагом h = , интерполирование функции f(x) на отрезке [a, b] (получение интерполяционного многочлена j (x)) и замена в (1) интеграла интегральной суммой:

In » I.

(2)

Соотношения вида (2) называют квадратурными формулами.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена j (x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции, а также полином степени k = n (j (x) = xk) для которых квадратурные формулы принимают вид (см. Пример 1 Рисунка 8):

Рисунок 8. Численное интегрирование и дифференцирование

 

формула прямоугольников:

  i = 1, 2, . . ., n;

(3)

формула трапеций:

;

(4)

формула Симпсона (n - четное число):

;

(5)

метод неопределенных коэффициентов состоит в вычислении определенного интеграла (1) с помощью формулы (2) коэффициенты Аi, которой находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(6)

Метод Монте-Карло

 

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода и построен метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло.

Пусть h - равномерно распределенная на отрезке [a, b] случайная величина, :

.

(7)

Для генерирования последовательности случайных чисел с нормальным законом распределения в Mathcad возможно использовать функцию rnd

rnd(x)

Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и х.

Для реализации метода Монте-Карло удобно использовать функцию mean

mean(A)

Возвращает среднее арифметическое значение элементов массива А.

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование аналитически или таблично заданной функции f(x) на отрезке [a, b] в точке х = Хзаключается в замене f(x) интерполяционным полиномом j (x), i?iecaiaiua  которого можно найти аналитически с помощью соответствующих формул:

.

(8)

Метод неопределенных коэффициентов (см. Пример 2 Рисунка 8) предполагает использование в качестве интерполяционного многочлена j (x) полином степени k = n (j (x) = (X - xi)k), а коэффициенты Вi формулы (8) находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(9)

 

Символьное интегрирование и дифференцирование

 

Для вычисления интегралов (или нахождения первообразных) аналитически заданной функции используется командаSymbolic Þ Integrate on Variable (Интегрировать по переменной). Она возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной маркером ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией.

Команда Symbolic Þ Differentiate on Variable (Дифференцировать по переменной) возвращает символьное значение производной выражения по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Результат символьного преобразования иногда содержит специальные функции, которые не являются частью спискавстроенных функций Mathcad. Вот определения некоторых из них:

g - константа Эйлера,

Ci(x) = g + ln(x) + , Si(x) = ,

Chi(x) = g + ln(x) + , Shi(x) = .

 

Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Задание 1. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = a + h i, i = 0, 1, ..., 8,

h=(b - a)/8 на отрезке [a, b].

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

[a, b]

[c, d]

1

[0.4, 0.8]

[2, 2.1]

2

2

[0.8, 1.6]

[-1, -0.9]

3

1/(x)

[0.18, 0.98]

[0.5, 0.6]

4

[0.8, 1.6]

[2, 2.1]

5

x2  

[0, 0.4]

[1.5, 1.6]

6

x2  

[0.8, 1.6]

[1, 1.1]

7

[0.4, 1.2]

[2, 2.1]

8

2

[0.8, 1.2]

[1, 1.1]

9

(x + 1) sin x

[1, 5]

[1, 1.1]

10

5x + x lg x

[0.2, 1]

[1.3, 1.4]

11

(2x + 3) sin x

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

12

[0.4, 1.2]

[1, 1.1]

13

1/(1 + x + x2)

[0, 4]

[2, 2.1]

14

[0.4, 0.8]

[1.5, 1.6]

15

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

Задание 2. Вычислить интеграл :

  •  с помощью встроенного оператора интегрирования;
  •  по формуле прямоугольников;
  •  по формуле Симпсона;
  •  с помощью встроенного оператора интегрирования и интерполяцией табличной функции кубическим сплайном(функции cspline и interp);
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного интегрирования.

Задание 3. Вычислить интеграл  методом Монте-Карло. Для этого необходимо:

  •  определить диапазон случайных чисел, например j: = 0..1000;
  •  определить с помощью функции rnd равномерно распределенную случайную величину h на отрезке интегрирования [a, b];
  •  создать вектор Fj = f(h j);
  •  с помощью функции mean вычислить интеграл.

Задание 4. Найти первообразную аналитически заданной функции f(x), используя команду Symbolic Þ Integrate on Variable.

Задание 5. Вычислить значения первой и второй производных функции f(x) в точке Х = с:

  •  с помощью операторов дифференцирования Mathcad;
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного дифференцирования. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = с + h? i, i = 0, 1, ..., 10, h = 0.01 на отрезке [c, d].

Задание 6. Определить символьное значение первой и второй производных f(x), используя команду Symbolic ÞDifferentiate on Variable.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72693. Дослідження мультивібратора на напівпровідникових транзисторах 2.58 MB
  Відповідно, параметри транзисторів повинні бути повністю ідентичні. І така ідеальна схема буде непрацездатною: обидва транзистори будуть відкриті. Неможливість реально забезпечити абсолютну симетрію і наявність додатного зворотного зв’язку призводять до того, що після подачі напруги живлення...
72696. Знайомство з можливостями баз даних Excel 103 KB
  Уявіть себе власником невеличкого магазину. Необхідно вести постійний облік приходу і витрати товарів, щодня мати перед очима реальний залишок, мати можливість роздрукувати найменування товарів по відділах і т.д. Допомогти у цьому може Excel.
72697. ДОСЛІДЖЕННЯ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ ВИПРЯМЛЯЧІВ 823 KB
  Трансформатор використовується для перетворення напруги мережі до необхідної величини а також для розділення кіл постійного і змінного струмів. Електричний вентиль здійснює перетворення змінної напруги в пульсуючу де частота пульсації залежить від використання схеми за якою побудовано випрямляч.
72698. ДОСЛІДЖЕННЯ ПІДСИЛЮВАЧА НА ТРАНЗИСТОРІ 650 KB
  Схема підсилювача із загальним емітером наведена на рис. Так як схема підсилювача містить у собі реактивні елементи а якості транзистора залежать від частоти то коефіцієнт підсилення має різнізначення на різних частотах. Це явище називається частотними викривленнями підсилювача.
72699. Дослідження транзисторів по схемі із спільним емітером 104 KB
  Зняти вхідну і вихідну статичні характеристики визначати коефіцієнт підсилення по струму і вхідний опір транзистора. Як основну схему включення біполярного транзистора застосовують схему включення із спільним емітером. Схема для зняття характеристик транзистора із спільним емітером приведена на малюнку.
72700. Электричество и магнетизм 16.86 MB
  Сила тока проходящего через организм зависит от приложенного напряжения и от сопротивления того участка тела через который проходит ток. Необходимо помнить что предел безопасной величины переменного тока с частотой 50 Гц равен 10 мА.
72701. Исследование демографической структуры популяции 263 KB
  Популяция представляет собой группу организмов одного и того же вида, занимающих определенную территорию и обладающих особыми признаками, которые поддаются статистической обработке. Эти признаки - плотность, рождаемость, смертность, биотический потенциал, расселение...