71068

Численное интегрирование и дифференцирование

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Дело в том что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач содержащих функции заданные таблично.

Русский

2014-11-01

150 KB

4 чел.

Лабораторная работа 2
Численное интегрирование и дифференцирование

 

Численное интегрирование Численное дифференцирование ~ Символьное интегрирование и дифференцирование ~Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Численное интегрирование

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Встречаются также и случаи, когда приходится прибегать к формулам приближенного интегрирования даже для таких интегралов, которые могут быть найдены в конечном виде, но такое выражение оказывается слишком сложным. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Квадратурные формулы

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла

(1)

является разбиение отрезка [a, b] на n равных частей а = х0 х1< . . . < хn = b c шагом h = , интерполирование функции f(x) на отрезке [a, b] (получение интерполяционного многочлена j (x)) и замена в (1) интеграла интегральной суммой:

In » I.

(2)

Соотношения вида (2) называют квадратурными формулами.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена j (x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции, а также полином степени k = n (j (x) = xk) для которых квадратурные формулы принимают вид (см. Пример 1 Рисунка 8):

Рисунок 8. Численное интегрирование и дифференцирование

 

формула прямоугольников:

  i = 1, 2, . . ., n;

(3)

формула трапеций:

;

(4)

формула Симпсона (n - четное число):

;

(5)

метод неопределенных коэффициентов состоит в вычислении определенного интеграла (1) с помощью формулы (2) коэффициенты Аi, которой находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(6)

Метод Монте-Карло

 

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода и построен метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло.

Пусть h - равномерно распределенная на отрезке [a, b] случайная величина, :

.

(7)

Для генерирования последовательности случайных чисел с нормальным законом распределения в Mathcad возможно использовать функцию rnd

rnd(x)

Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и х.

Для реализации метода Монте-Карло удобно использовать функцию mean

mean(A)

Возвращает среднее арифметическое значение элементов массива А.

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование аналитически или таблично заданной функции f(x) на отрезке [a, b] в точке х = Хзаключается в замене f(x) интерполяционным полиномом j (x), i?iecaiaiua  которого можно найти аналитически с помощью соответствующих формул:

.

(8)

Метод неопределенных коэффициентов (см. Пример 2 Рисунка 8) предполагает использование в качестве интерполяционного многочлена j (x) полином степени k = n (j (x) = (X - xi)k), а коэффициенты Вi формулы (8) находятся в результате решения следующей системы уравнений:

где , k = 0, 1, . . ., n.

(9)

 

Символьное интегрирование и дифференцирование

 

Для вычисления интегралов (или нахождения первообразных) аналитически заданной функции используется командаSymbolic Þ Integrate on Variable (Интегрировать по переменной). Она возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной маркером ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией.

Команда Symbolic Þ Differentiate on Variable (Дифференцировать по переменной) возвращает символьное значение производной выражения по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка нужно повторить вычисление необходимое число раз.

Результат символьного преобразования иногда содержит специальные функции, которые не являются частью спискавстроенных функций Mathcad. Вот определения некоторых из них:

g - константа Эйлера,

Ci(x) = g + ln(x) + , Si(x) = ,

Chi(x) = g + ln(x) + , Shi(x) = .

 

Порядок выполнения лабораторной работы 5

 

Задание 1. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = a + h i, i = 0, 1, ..., 8,

h=(b - a)/8 на отрезке [a, b].

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

[a, b]

[c, d]

1

[0.4, 0.8]

[2, 2.1]

2

2

[0.8, 1.6]

[-1, -0.9]

3

1/(x)

[0.18, 0.98]

[0.5, 0.6]

4

[0.8, 1.6]

[2, 2.1]

5

x2  

[0, 0.4]

[1.5, 1.6]

6

x2  

[0.8, 1.6]

[1, 1.1]

7

[0.4, 1.2]

[2, 2.1]

8

2

[0.8, 1.2]

[1, 1.1]

9

(x + 1) sin x

[1, 5]

[1, 1.1]

10

5x + x lg x

[0.2, 1]

[1.3, 1.4]

11

(2x + 3) sin x

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

12

[0.4, 1.2]

[1, 1.1]

13

1/(1 + x + x2)

[0, 4]

[2, 2.1]

14

[0.4, 0.8]

[1.5, 1.6]

15

[0.4, 1.2]

[0.5, 0.6]

Задание 2. Вычислить интеграл :

  •  с помощью встроенного оператора интегрирования;
  •  по формуле прямоугольников;
  •  по формуле Симпсона;
  •  с помощью встроенного оператора интегрирования и интерполяцией табличной функции кубическим сплайном(функции cspline и interp);
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного интегрирования.

Задание 3. Вычислить интеграл  методом Монте-Карло. Для этого необходимо:

  •  определить диапазон случайных чисел, например j: = 0..1000;
  •  определить с помощью функции rnd равномерно распределенную случайную величину h на отрезке интегрирования [a, b];
  •  создать вектор Fj = f(h j);
  •  с помощью функции mean вычислить интеграл.

Задание 4. Найти первообразную аналитически заданной функции f(x), используя команду Symbolic Þ Integrate on Variable.

Задание 5. Вычислить значения первой и второй производных функции f(x) в точке Х = с:

  •  с помощью операторов дифференцирования Mathcad;
  •  методом неопределенных коэффициентов для численного дифференцирования. Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi) в точках хi = с + h? i, i = 0, 1, ..., 10, h = 0.01 на отрезке [c, d].

Задание 6. Определить символьное значение первой и второй производных f(x), используя команду Symbolic ÞDifferentiate on Variable.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16984. Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE 7.02 MB
  Практична робота №5 Тема: Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE. Мета: Ознайомитися з технологією OLE і загальним використовуванням даних додатками Windows. Устаткування: ПК. Операційна система Windows. Індивідуальне завдання ...
16985. Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word 222.5 KB
  Практична робота № 11 Тема: Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word Мета: засвоїти засоби створення редагування та форматування двовимірних таблиць а також організацію обробки та сортування табличних даних у програмі Word. Обладнання: персональний ...
16986. Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних 676.5 KB
  Практична робота №14 Тема: Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних. Мета: Навчитися використовувати функцію авто заповнення формулами та сортувати дані у таблицях. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Правила ТБ Індивідуальне з
16987. Побудова діаграм 308 KB
  Практична робота №15 Тема: Побудова діаграм. Мета: Навчитися будувати діаграми змішаного типу та кругові діаграми. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Індивідуальне завдання 1. За даними табл. 3 побудувати діаграму зміша...
16988. Фільтрація даних. Критерії фільтрації 1.03 MB
  Практична робота №16 Тема: Фільтрація даних. Критерії фільтрації. Мета: Навчитися використовувати фільтрацію даних та навчитися використовувати Автофильтр та Расширенный фильтр. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Інд
16990. Рішення задач матричної і векторної алгебри в Maple 356.5 KB
  Практична робота №30. Тема: Рішення задач матричної і векторної алгебри в Maple. Мета: Навчитися обчислювати визначників вирішувати системи лінійних рівнянь методом Крамера і матричним способом а також знаходити значення матричного многочлена використовуючи можлив
16991. Диференціальне і інтегральне числення функцій одного і декількох змінних в Maple 430.5 KB
  Практична робота №31. Тема: Диференціальне і інтегральне числення функцій одного і декількох змінних в Maple. Мета: Навчитися обчислювати межі часткову суму послідовностей похідні функцій і інтеграли в середовищі Maple. Обладнання: ПК зі встановленим математичним па
16992. Команди MS-DOS: cls, date, time, copy, del, dir, find, mem, mkdir, label, rd 72.5 KB
  Практична робота №1 Тема: Команди MSDOS: cls date time copy del dir find mem mkdir label rd. Мета: навчитися використовувати основні команди MSDOS при роботі з ОС. Устаткування: ПК. Операційна система MSDOS та Windows. Правила ТБ. Методичні рекомендації. Індивідуальне завда