71069

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными. Гиперболические уравнения в частных производных...

Русский

2014-11-01

276.5 KB

2 чел.

Лабораторная работа 3
Решение дифференциальных уравнений в частных производных

 

Метод конечных разностейГиперболические уравнения в частных производных ~ Параболические уравнения в частных производных ~ Эллиптические уравнения в частных производных ~ Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходиться прибегать к численным методам. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных численно используется метод конечных разностей.

 

Метод конечных разностей

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей состоит в следующем:

  1.  Построение в области решения равномерной сетки, содержащей узловых точек (Рисунок 12).

Рисунок 12. Двумерная сетка

 

  1.  Представление производных в конечно-разностной форме:

, ,

(1)

,  и т. д.,

где i,  ji + 1,  ji - 1,  j,  j + 1, i,  j  -  1 - значения функции f(x, y) в точках (xi, yj), (x+ h, yj), (x- h, yj), (xi, y+ l), (xi, y- l) соответственно.

Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными.

  1.  Решение полученной системы с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Гиперболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения гиперболического типа является волновое уравнение. К исследованию волнового уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала и т. п.

Рассмотрим одномерное уравнение колебаний струны. В области  требуется найти решение уравнения:

,

(2)

Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять начальным условиям, описывающим начальную (t = 0) форму струны j(x) и скорость её точек y (x):

, , 0  x l

(3)

и граничным условиям, указывающим, что происходит на концах струны (х = 0 и х = l):

, , 0  tT.

(4)

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Для построения разностной схемы решения задачи (2) - (4) построим в области  сетку xi = i h= 0, 1, ..., n, l = h  n, tj = j t = 0, 1, ..., m, T= t   m и аппроксимируем уравнение (2) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне “крест” (Рисунок 13).

 

 

Рисунок 13. . Шаблон для волнового уравнения

 

Используя для аппроксимации частных производных выражения (1), получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (2):

.

(5)

Решая уравнение (6) относительно единственного неизвестного значения , получаем следующую схему:

,

l = а2t 2 / h2, i = 1, ..., n - 1, j = 1, ..., m - 1.

(6)

Схема (6) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения  функции u(x, t) на трех временных слоях с номерами: j - 1, jj + 1. Схема (6) является явной, т.е. позволяет в явном виде выразить  через значения uс предыдущих двух слоев.

Для начала счета по схеме (6) необходимы значения  функции u(x, t) на нулевом (j = 0) и первом (j = 1) временных слоях. Они определяются начальными условиями (3) и записываются в виде:

, , = 0, 1, ..., n.

(7)

Граничные условия (4) также записываются в сеточном виде:

, , = 0, 1, ..., m.

(8)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2) - (4) сводится к решению разностной задачи (6) - (8).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта .

 

Параболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье. К исследованию уравнения теплопроводности, или уравнения Фурье, приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Задача состоит в отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области {} уравнению

(9)

начальному условию

(10)

и граничным условиям

(11)


Рисунок 14. Шаблон для уравнения теплопроводности

 

Построим в области  равномерную прямоугольную сетку с шагом в направлении х и шагом t - в направлении (Рисунок 14). Тогда xi = i h= 0,1, ..., n, h = l / n; tj = j t = 0,1, ..., m, t =T / m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (9) - (11) на четырехточечном шаблоне, в результате получаем явную двухслойную разностную схему:

= 1, 2, ..., n - 1, j = 0, 1, ..., m - 1

, i = 0, 1, ..., n,

, , = 0, 1, ..., m,

.

 

 

 

(12)

 

Схема устойчива при l  1/2.

 

Эллиптические уравнения в частных производных

 

К исследованию такого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Рассмотрим решения уравнения Пуассона и его однородной формы - уравнения Лапласа.

Решение уравнения Пуассона будем искать в некоторой ограниченной области W =  изменения независимых переменных x, y:

(13)

Граничные условия:

u(0, y) =m1(y), u(ay) = m2(y), y I [0, b],

u(x, 0) = m3(x), u(xb) = m4(x), y I [0, a],

(14)

где fm1m2m3m4 - заданные функции (задача, состоящая в решении эллиптического уравнения при заданных значениях искомой функции на границе расчётной области, называется задачей Дирихле.).

Построим в области W равномерную прямоугольную сетку с шагами и l по х и соответственно: xi = i h= 0, 1, ..., n, h = q1 / n; yj = j l= 0, 1, ..., m, l=q 2 /m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (13) - (14) на шаблоне “крест” (Рисунок 13), в результате получаемнеявную трехслойную разностную схему:

,

 

(15)

Для решения уравнения Пуассона в Mathcad используется функция relax

 

relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac)

Возвращает квадратную матрицу решения уравнения Пуассона. Здесь a ,b ,c, d, e - квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты уравнения (15); f - квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения (15) в каждой точке по области W , в которой ищется решение; u- квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области и начальное приближение для решения внутри области; rjac- число между 0 и 1, которое управляет сходимостью алгоритма.

При f = 0 получаем уравнение Лапласа:

(16)

Если для уравнения Лапласа в области W ввести сетку с равным шагом по осям х и y, то разностная схема (16) существенно упрощается

,

 

(17)

Решение уравнения Лапласа с помощью функции relax показано на Рисунке 15.

 

 

Рисунок 15. Решение уравнения Лапласа

 

Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

Задание 1. Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(x), , 0  x  1

и нулевыми граничными условиями

u(0, t) = u(1, t) =0.

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

c

1

1

0.1

9

x sin ( 2 ( x - 1 ) )

 

 

 

2

2

0.1

10

x 3 ( x - 1 )

 

 

 

3

4

0.2

11

1

0.1

0.2

4

6

0.3

12

3

0.2

0.4

5

8

0.4

13

5

0.4

0.6

6

x 2 - 1)

 

 

14

7

0.6

0.8

7

sin ( p x 2 )

 

 

15

9

0.8

0.9

8

sin ( p ) cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 16 слоев по t(j = 0, 1, ... 16). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.05. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 5-ом, 10-ом и 16-ом временных слоях.

 

 

 

 

Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(х) 0   x   1

и граничными условиями

u(0, t) = a, u(1, t) = b.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 12 слоев по (j = 0, 1, ... 12). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.005. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 4-ом, 8-ом и 12-ом слоях и построить интегральную поверхность распределения температуры в стержне с помощью команды Graphics Þ Create Surface Plot.

 

Варианты задания 2

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

1

x x - 1 )

0

0

9

2 + 0.5) cos(2p x)

0.5

1.5

2

3 + 2 - x

0

1

10

sin( p ) cos x

0

0

3

2 ( 1 - x )

0

0

11

x sin( 2 ( x - 1) )

0

0

4

1 4

1

0

12

l n (0.5 + ) ( x -1)

0.7

0

5

x sin (2 p x)

0

- 0.3

13

x sin( 4 ( x - 1) ) - x

0

-1

6

x - 1) sin 2 x

0

0

14

x cos (2 p x)

0

1

7

2 ( x - 1 )

0

0.5

15

x e x ( 4 - 2)

0

- 0.4

8

10 3 ( x - 1 )

0.5

0

 

 

 

 

Задание 3. Найти стационарное распределение температуры в квадратной пластине со стороной 1, описываемое уравнением Лапласа

с краевыми условиями вида

u(0, y) = f1(y), (0   y   1), u(1, y) = f2(y), (0   y   1),

u(x, 0) = f3(x), (0   x  1), u(x, 1) = f4(x), (0   x   1).

Решать задачу с помощью функции relax.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по (j = 0, 1, ... 10). Отобразить графически с помощью команды Graphics Þ Create Contour Plot стационарное распределение температуры в пластине.

 

Варианты задания 3

 

варианта

f1(y)

f2(y)

f3(x)

f4(x)

1

y2

cos y + (2 - cos 1) y

x3

1 + x

2

e y - e y2

y

1 - x3

x2

3

1 - y2

y

sin x + 1 - x3(1 + sin 1)

x

4

0

y

sin xxsin 1

x

5

e y + y2 (1 - e) - 1

y

0

x

6

y2

cos y + (3 - cos 1) y

x3

1 + 2x

7

0

y

sin xxsin 1

x2

8

2ey - (1+2e) y2 1

- y

1 - x3

x - 2

9

- 10y2 - 8y + 6

- 10y2 - 30y + 22

9x2 + 7+ 6

9x2 - 15- 12

10

- 7y2 - 5y + 3

- 7y2 - 21y + 13

6x2 + 4+ 3

6x2 - 12- 9

11

1

y + 1

1

1 + x

12

1

e y

1

e x

13

y2 - 5y

4 + 5y2

x2 + 3x

x2 + 3+ 4

14

3 - 7y

7 - 6y

4x + 3

5x - 4

15

0

sin y

0

sin x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52557. Інтегроване заняття на тему: Людина починається з добра (з використанням казок В. Сухомлинського) 57 KB
  Діти до кого я привіталася Так я привітала новий день все що оточує нас наших гостей. Добрий день Стук у двері відчинили і внесли лист Діти до нас листоноша приніс листа від Казкаря. Давайте пригадаємо разом ці прислівя діти пригадують прислівя. Молодці діти.
52558. Хто людям добра бажає, той сам його здобуває 36.5 KB
  Донести до дитини важливість слова людяний. Удосконалювати вміння добирати слова близькі за значенням. Мовленева вправа Добери слова з протилежним значенням Злий жорстокий співчутливий добрий милосердний. Малюючи кожну пелюсточку промовляйте такі слова щоб довести що кожен із вас справжній друг.
52559. Як розрізняють добро і зло 32.5 KB
  Допомогти учням усвідомити зміст етичних понять «добро» «доброчинність», робити вибір між добром і злом, давати оцінку добру і злу; формувати вміння учнів моделювати ситуації та розв’язувати їх; виховувати в учнів моральні цінності та орієнтири, правила культури поведінки.
52560. Людина починається з добра. Від усмішки іде до всіх тепло. Музика – нев’януча краса духовної культури усіх народів 74.5 KB
  Що ми можемо сказати Чи потрібні вони у житті людини Чи впливає музика на емоції людини Чи потрібні нам ці теми уроків Епіграф до уроків Бо ти на землі людина І хочеш того чи ні Усмішка твоя єдина Мука твоя єдина Очі твої одні. Дуже важливими є емоції людини які підтримують нас...
52562. Виховний захід для учнів початкової школи “Дорогою добра” 88 KB
  Збагатити знання учнів про чудодійні обереги нашого життя квіти і виховувати глибокі почуття добра і любові до рідного краю свого роду; Розширити знання учнів про звязок людини з природою її вплив на культуру нашого народу. Виходить дівчатка і збирає в кошик квіти які посадили на підлозі. Тому сьогодні ми поговоримо про вічні супутники людського життя і в горі і в радощах квіти. Я землі цієї паросток зелений Я землі цієї крапля дощова Заплелись у мене приросли до мене Жито і дерева квіти і трава.
52563. Поняття добро та зло 66 KB
  У цьому світі є тільки одна річ перед якою належить схилятися це геній і одна річ перед якою слід упасти на коліна це доброта. Одну звати Радість іншу Вдача третю Краса четверту Журба пяту Доброта. Вона задумалася а потім підійшла до дівчини Доброти і простягла їй руку.
52564. Людина починається з добра 76.5 KB
  Жердєва Людина починається з добра розробка виховної години для учнів 7 класу Підготувала учитель української мови та літератури...
52565. Літературно-інтелектуальна гра «Добро завжди перемагає…» 114 KB
  Про це свідчать казки О.Андерсена чудові казкиновели Івана Франка віршовані казки Наталі Забіли Оксани Іваненко. А чи замислювалися ви колинебудь над тим звідки беруться казки Цікаво на це запитання відповів відомий фінський письменник казкар Закаріас Топеліус. Потім на берег моря де на воді граються маленькі кучеряві хвилі з білими баранцями то й є казки.