71069

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными. Гиперболические уравнения в частных производных...

Русский

2014-11-01

276.5 KB

2 чел.

Лабораторная работа 3
Решение дифференциальных уравнений в частных производных

 

Метод конечных разностейГиперболические уравнения в частных производных ~ Параболические уравнения в частных производных ~ Эллиптические уравнения в частных производных ~ Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходиться прибегать к численным методам. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных численно используется метод конечных разностей.

 

Метод конечных разностей

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей состоит в следующем:

  1.  Построение в области решения равномерной сетки, содержащей узловых точек (Рисунок 12).

Рисунок 12. Двумерная сетка

 

  1.  Представление производных в конечно-разностной форме:

, ,

(1)

,  и т. д.,

где i,  ji + 1,  ji - 1,  j,  j + 1, i,  j  -  1 - значения функции f(x, y) в точках (xi, yj), (x+ h, yj), (x- h, yj), (xi, y+ l), (xi, y- l) соответственно.

Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными.

  1.  Решение полученной системы с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Гиперболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения гиперболического типа является волновое уравнение. К исследованию волнового уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала и т. п.

Рассмотрим одномерное уравнение колебаний струны. В области  требуется найти решение уравнения:

,

(2)

Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять начальным условиям, описывающим начальную (t = 0) форму струны j(x) и скорость её точек y (x):

, , 0  x l

(3)

и граничным условиям, указывающим, что происходит на концах струны (х = 0 и х = l):

, , 0  tT.

(4)

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Для построения разностной схемы решения задачи (2) - (4) построим в области  сетку xi = i h= 0, 1, ..., n, l = h  n, tj = j t = 0, 1, ..., m, T= t   m и аппроксимируем уравнение (2) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне “крест” (Рисунок 13).

 

 

Рисунок 13. . Шаблон для волнового уравнения

 

Используя для аппроксимации частных производных выражения (1), получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (2):

.

(5)

Решая уравнение (6) относительно единственного неизвестного значения , получаем следующую схему:

,

l = а2t 2 / h2, i = 1, ..., n - 1, j = 1, ..., m - 1.

(6)

Схема (6) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения  функции u(x, t) на трех временных слоях с номерами: j - 1, jj + 1. Схема (6) является явной, т.е. позволяет в явном виде выразить  через значения uс предыдущих двух слоев.

Для начала счета по схеме (6) необходимы значения  функции u(x, t) на нулевом (j = 0) и первом (j = 1) временных слоях. Они определяются начальными условиями (3) и записываются в виде:

, , = 0, 1, ..., n.

(7)

Граничные условия (4) также записываются в сеточном виде:

, , = 0, 1, ..., m.

(8)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2) - (4) сводится к решению разностной задачи (6) - (8).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта .

 

Параболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье. К исследованию уравнения теплопроводности, или уравнения Фурье, приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Задача состоит в отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области {} уравнению

(9)

начальному условию

(10)

и граничным условиям

(11)


Рисунок 14. Шаблон для уравнения теплопроводности

 

Построим в области  равномерную прямоугольную сетку с шагом в направлении х и шагом t - в направлении (Рисунок 14). Тогда xi = i h= 0,1, ..., n, h = l / n; tj = j t = 0,1, ..., m, t =T / m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (9) - (11) на четырехточечном шаблоне, в результате получаем явную двухслойную разностную схему:

= 1, 2, ..., n - 1, j = 0, 1, ..., m - 1

, i = 0, 1, ..., n,

, , = 0, 1, ..., m,

.

 

 

 

(12)

 

Схема устойчива при l  1/2.

 

Эллиптические уравнения в частных производных

 

К исследованию такого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Рассмотрим решения уравнения Пуассона и его однородной формы - уравнения Лапласа.

Решение уравнения Пуассона будем искать в некоторой ограниченной области W =  изменения независимых переменных x, y:

(13)

Граничные условия:

u(0, y) =m1(y), u(ay) = m2(y), y I [0, b],

u(x, 0) = m3(x), u(xb) = m4(x), y I [0, a],

(14)

где fm1m2m3m4 - заданные функции (задача, состоящая в решении эллиптического уравнения при заданных значениях искомой функции на границе расчётной области, называется задачей Дирихле.).

Построим в области W равномерную прямоугольную сетку с шагами и l по х и соответственно: xi = i h= 0, 1, ..., n, h = q1 / n; yj = j l= 0, 1, ..., m, l=q 2 /m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (13) - (14) на шаблоне “крест” (Рисунок 13), в результате получаемнеявную трехслойную разностную схему:

,

 

(15)

Для решения уравнения Пуассона в Mathcad используется функция relax

 

relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac)

Возвращает квадратную матрицу решения уравнения Пуассона. Здесь a ,b ,c, d, e - квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты уравнения (15); f - квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения (15) в каждой точке по области W , в которой ищется решение; u- квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области и начальное приближение для решения внутри области; rjac- число между 0 и 1, которое управляет сходимостью алгоритма.

При f = 0 получаем уравнение Лапласа:

(16)

Если для уравнения Лапласа в области W ввести сетку с равным шагом по осям х и y, то разностная схема (16) существенно упрощается

,

 

(17)

Решение уравнения Лапласа с помощью функции relax показано на Рисунке 15.

 

 

Рисунок 15. Решение уравнения Лапласа

 

Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

Задание 1. Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(x), , 0  x  1

и нулевыми граничными условиями

u(0, t) = u(1, t) =0.

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

c

1

1

0.1

9

x sin ( 2 ( x - 1 ) )

 

 

 

2

2

0.1

10

x 3 ( x - 1 )

 

 

 

3

4

0.2

11

1

0.1

0.2

4

6

0.3

12

3

0.2

0.4

5

8

0.4

13

5

0.4

0.6

6

x 2 - 1)

 

 

14

7

0.6

0.8

7

sin ( p x 2 )

 

 

15

9

0.8

0.9

8

sin ( p ) cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 16 слоев по t(j = 0, 1, ... 16). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.05. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 5-ом, 10-ом и 16-ом временных слоях.

 

 

 

 

Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(х) 0   x   1

и граничными условиями

u(0, t) = a, u(1, t) = b.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 12 слоев по (j = 0, 1, ... 12). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.005. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 4-ом, 8-ом и 12-ом слоях и построить интегральную поверхность распределения температуры в стержне с помощью команды Graphics Þ Create Surface Plot.

 

Варианты задания 2

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

1

x x - 1 )

0

0

9

2 + 0.5) cos(2p x)

0.5

1.5

2

3 + 2 - x

0

1

10

sin( p ) cos x

0

0

3

2 ( 1 - x )

0

0

11

x sin( 2 ( x - 1) )

0

0

4

1 4

1

0

12

l n (0.5 + ) ( x -1)

0.7

0

5

x sin (2 p x)

0

- 0.3

13

x sin( 4 ( x - 1) ) - x

0

-1

6

x - 1) sin 2 x

0

0

14

x cos (2 p x)

0

1

7

2 ( x - 1 )

0

0.5

15

x e x ( 4 - 2)

0

- 0.4

8

10 3 ( x - 1 )

0.5

0

 

 

 

 

Задание 3. Найти стационарное распределение температуры в квадратной пластине со стороной 1, описываемое уравнением Лапласа

с краевыми условиями вида

u(0, y) = f1(y), (0   y   1), u(1, y) = f2(y), (0   y   1),

u(x, 0) = f3(x), (0   x  1), u(x, 1) = f4(x), (0   x   1).

Решать задачу с помощью функции relax.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по (j = 0, 1, ... 10). Отобразить графически с помощью команды Graphics Þ Create Contour Plot стационарное распределение температуры в пластине.

 

Варианты задания 3

 

варианта

f1(y)

f2(y)

f3(x)

f4(x)

1

y2

cos y + (2 - cos 1) y

x3

1 + x

2

e y - e y2

y

1 - x3

x2

3

1 - y2

y

sin x + 1 - x3(1 + sin 1)

x

4

0

y

sin xxsin 1

x

5

e y + y2 (1 - e) - 1

y

0

x

6

y2

cos y + (3 - cos 1) y

x3

1 + 2x

7

0

y

sin xxsin 1

x2

8

2ey - (1+2e) y2 1

- y

1 - x3

x - 2

9

- 10y2 - 8y + 6

- 10y2 - 30y + 22

9x2 + 7+ 6

9x2 - 15- 12

10

- 7y2 - 5y + 3

- 7y2 - 21y + 13

6x2 + 4+ 3

6x2 - 12- 9

11

1

y + 1

1

1 + x

12

1

e y

1

e x

13

y2 - 5y

4 + 5y2

x2 + 3x

x2 + 3+ 4

14

3 - 7y

7 - 6y

4x + 3

5x - 4

15

0

sin y

0

sin x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70716. Расчёт и проектирование металлорежущих инструментов 2.17 MB
  Целью данного курсового проекта является расчет и проектирование металлорежущих инструментов: протяжка шестигранная, шлицевая фреза, комбинированное свело и метчик. Протягивание является одним из наиболее высокопроизводительных процессов обработки деталей резанием.
70719. SpectraLab 426.5 KB
  SpectraLAB - мощный двойной анализатор спектра канала. Программа связывается с любой звуковой платой и благодаря Windows-совместимому интерфейсу обеспечивает спектральный анализ в реальном масштабе времени (Real Time) без сохранения спектра сигнала на диск, в режиме Записи...
70721. Дослідження параметричних стабілізаторів напруги 65.5 KB
  Для стабілізації напруги використовується ліва частина вольтамперної характеристики із збільшанням струму напруга майже не міняється. Проста схема стабілізатора напруги подана на рис. Для оцінки якості стабілізатора напруги вводиться величина R яку називають коефіцієнтом...
70722. Дослідження кон’юнктора ДТЛ 5.71 MB
  Мета: ознайомлення з методикою роботи; вивчення принципу дії; перехідних процесів; вивчення впливу напруги живлення і величин компонентів; освоєння методики визначення основних характеристик; статичних параметрів кон’юктора.
70723. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВА ПО УГЛУ БРЮСТЕРА 81.5 KB
  Цель работы - определить показатель преломления призмы по углу Брюстера. Из теории следует (см. раздел 2), что если поляризованный свет, колебания вектора Е которого происходят в плоскости падения луча, падает на призму под углом Брюстера...
70724. Оценка условий труда по показателям вредности и опасности факторов производственной среды 146 KB
  Целью работы является закрепление ранее изученных методов и средств контроля изучения критериев оценки условий труда организации работ по исследованию отдельных факторов производственной среды изучения методики и порядка определения классов условий труда а также методики общей оценки условий труда.