71069

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными. Гиперболические уравнения в частных производных...

Русский

2014-11-01

276.5 KB

2 чел.

Лабораторная работа 3
Решение дифференциальных уравнений в частных производных

 

Метод конечных разностейГиперболические уравнения в частных производных ~ Параболические уравнения в частных производных ~ Эллиптические уравнения в частных производных ~ Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходиться прибегать к численным методам. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных численно используется метод конечных разностей.

 

Метод конечных разностей

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей состоит в следующем:

  1.  Построение в области решения равномерной сетки, содержащей узловых точек (Рисунок 12).

Рисунок 12. Двумерная сетка

 

  1.  Представление производных в конечно-разностной форме:

, ,

(1)

,  и т. д.,

где i,  ji + 1,  ji - 1,  j,  j + 1, i,  j  -  1 - значения функции f(x, y) в точках (xi, yj), (x+ h, yj), (x- h, yj), (xi, y+ l), (xi, y- l) соответственно.

Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с nнеизвестными.

  1.  Решение полученной системы с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Гиперболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения гиперболического типа является волновое уравнение. К исследованию волнового уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала и т. п.

Рассмотрим одномерное уравнение колебаний струны. В области  требуется найти решение уравнения:

,

(2)

Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять начальным условиям, описывающим начальную (t = 0) форму струны j(x) и скорость её точек y (x):

, , 0  x l

(3)

и граничным условиям, указывающим, что происходит на концах струны (х = 0 и х = l):

, , 0  tT.

(4)

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Для построения разностной схемы решения задачи (2) - (4) построим в области  сетку xi = i h= 0, 1, ..., n, l = h  n, tj = j t = 0, 1, ..., m, T= t   m и аппроксимируем уравнение (2) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне “крест” (Рисунок 13).

 

 

Рисунок 13. . Шаблон для волнового уравнения

 

Используя для аппроксимации частных производных выражения (1), получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (2):

.

(5)

Решая уравнение (6) относительно единственного неизвестного значения , получаем следующую схему:

,

l = а2t 2 / h2, i = 1, ..., n - 1, j = 1, ..., m - 1.

(6)

Схема (6) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения  функции u(x, t) на трех временных слоях с номерами: j - 1, jj + 1. Схема (6) является явной, т.е. позволяет в явном виде выразить  через значения uс предыдущих двух слоев.

Для начала счета по схеме (6) необходимы значения  функции u(x, t) на нулевом (j = 0) и первом (j = 1) временных слоях. Они определяются начальными условиями (3) и записываются в виде:

, , = 0, 1, ..., n.

(7)

Граничные условия (4) также записываются в сеточном виде:

, , = 0, 1, ..., m.

(8)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2) - (4) сводится к решению разностной задачи (6) - (8).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта .

 

Параболические уравнения в частных производных

 

Простейшим видом уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье. К исследованию уравнения теплопроводности, или уравнения Фурье, приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Задача состоит в отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области {} уравнению

(9)

начальному условию

(10)

и граничным условиям

(11)


Рисунок 14. Шаблон для уравнения теплопроводности

 

Построим в области  равномерную прямоугольную сетку с шагом в направлении х и шагом t - в направлении (Рисунок 14). Тогда xi = i h= 0,1, ..., n, h = l / n; tj = j t = 0,1, ..., m, t =T / m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (9) - (11) на четырехточечном шаблоне, в результате получаем явную двухслойную разностную схему:

= 1, 2, ..., n - 1, j = 0, 1, ..., m - 1

, i = 0, 1, ..., n,

, , = 0, 1, ..., m,

.

 

 

 

(12)

 

Схема устойчива при l  1/2.

 

Эллиптические уравнения в частных производных

 

К исследованию такого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Рассмотрим решения уравнения Пуассона и его однородной формы - уравнения Лапласа.

Решение уравнения Пуассона будем искать в некоторой ограниченной области W =  изменения независимых переменных x, y:

(13)

Граничные условия:

u(0, y) =m1(y), u(ay) = m2(y), y I [0, b],

u(x, 0) = m3(x), u(xb) = m4(x), y I [0, a],

(14)

где fm1m2m3m4 - заданные функции (задача, состоящая в решении эллиптического уравнения при заданных значениях искомой функции на границе расчётной области, называется задачей Дирихле.).

Построим в области W равномерную прямоугольную сетку с шагами и l по х и соответственно: xi = i h= 0, 1, ..., n, h = q1 / n; yj = j l= 0, 1, ..., m, l=q 2 /m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (13) - (14) на шаблоне “крест” (Рисунок 13), в результате получаемнеявную трехслойную разностную схему:

,

 

(15)

Для решения уравнения Пуассона в Mathcad используется функция relax

 

relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac)

Возвращает квадратную матрицу решения уравнения Пуассона. Здесь a ,b ,c, d, e - квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты уравнения (15); f - квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения (15) в каждой точке по области W , в которой ищется решение; u- квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области и начальное приближение для решения внутри области; rjac- число между 0 и 1, которое управляет сходимостью алгоритма.

При f = 0 получаем уравнение Лапласа:

(16)

Если для уравнения Лапласа в области W ввести сетку с равным шагом по осям х и y, то разностная схема (16) существенно упрощается

,

 

(17)

Решение уравнения Лапласа с помощью функции relax показано на Рисунке 15.

 

 

Рисунок 15. Решение уравнения Лапласа

 

Порядок выполнения лабораторной работы 7

 

Задание 1. Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(x), , 0  x  1

и нулевыми граничными условиями

u(0, t) = u(1, t) =0.

 

Варианты задания 1

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

c

1

1

0.1

9

x sin ( 2 ( x - 1 ) )

 

 

 

2

2

0.1

10

x 3 ( x - 1 )

 

 

 

3

4

0.2

11

1

0.1

0.2

4

6

0.3

12

3

0.2

0.4

5

8

0.4

13

5

0.4

0.6

6

x 2 - 1)

 

 

14

7

0.6

0.8

7

sin ( p x 2 )

 

 

15

9

0.8

0.9

8

sin ( p ) cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 16 слоев по t(j = 0, 1, ... 16). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.05. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 5-ом, 10-ом и 16-ом временных слоях.

 

 

 

 

Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(х) 0   x   1

и граничными условиями

u(0, t) = a, u(1, t) = b.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 12 слоев по (j = 0, 1, ... 12). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.005. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 4-ом, 8-ом и 12-ом слоях и построить интегральную поверхность распределения температуры в стержне с помощью команды Graphics Þ Create Surface Plot.

 

Варианты задания 2

 

варианта

f(x)

a

b

варианта

f(x)

a

b

1

x x - 1 )

0

0

9

2 + 0.5) cos(2p x)

0.5

1.5

2

3 + 2 - x

0

1

10

sin( p ) cos x

0

0

3

2 ( 1 - x )

0

0

11

x sin( 2 ( x - 1) )

0

0

4

1 4

1

0

12

l n (0.5 + ) ( x -1)

0.7

0

5

x sin (2 p x)

0

- 0.3

13

x sin( 4 ( x - 1) ) - x

0

-1

6

x - 1) sin 2 x

0

0

14

x cos (2 p x)

0

1

7

2 ( x - 1 )

0

0.5

15

x e x ( 4 - 2)

0

- 0.4

8

10 3 ( x - 1 )

0.5

0

 

 

 

 

Задание 3. Найти стационарное распределение температуры в квадратной пластине со стороной 1, описываемое уравнением Лапласа

с краевыми условиями вида

u(0, y) = f1(y), (0   y   1), u(1, y) = f2(y), (0   y   1),

u(x, 0) = f3(x), (0   x  1), u(x, 1) = f4(x), (0   x   1).

Решать задачу с помощью функции relax.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по (= 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по (j = 0, 1, ... 10). Отобразить графически с помощью команды Graphics Þ Create Contour Plot стационарное распределение температуры в пластине.

 

Варианты задания 3

 

варианта

f1(y)

f2(y)

f3(x)

f4(x)

1

y2

cos y + (2 - cos 1) y

x3

1 + x

2

e y - e y2

y

1 - x3

x2

3

1 - y2

y

sin x + 1 - x3(1 + sin 1)

x

4

0

y

sin xxsin 1

x

5

e y + y2 (1 - e) - 1

y

0

x

6

y2

cos y + (3 - cos 1) y

x3

1 + 2x

7

0

y

sin xxsin 1

x2

8

2ey - (1+2e) y2 1

- y

1 - x3

x - 2

9

- 10y2 - 8y + 6

- 10y2 - 30y + 22

9x2 + 7+ 6

9x2 - 15- 12

10

- 7y2 - 5y + 3

- 7y2 - 21y + 13

6x2 + 4+ 3

6x2 - 12- 9

11

1

y + 1

1

1 + x

12

1

e y

1

e x

13

y2 - 5y

4 + 5y2

x2 + 3x

x2 + 3+ 4

14

3 - 7y

7 - 6y

4x + 3

5x - 4

15

0

sin y

0

sin x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81805. Смена типов научной рациональности 41.37 KB
  С научной картиной мира связывают широкую панораму знаний о природе включающую в себя наиболее важные теории гипотезы и факты. Структура научной картины мира предлагает центральное теоретическое ядро фундаментальные допущения и частные теоретические модели которые постоянно достраиваются. Когда речь идет о физической реальности то к сверхустойчивым элементам любой картины мира относят принципы сохранения энергии постоянного роста энтропии фундаментальные физические константы характеризующие основные свойства универсума: пространство...
81807. Главные характеристики современной, постнеклассической науки 33.24 KB
  В ходе развития науки в последней трети XX в. Ее фундамент составляют ставшие общенаучными принципы развития и системности. Такое понимание процессов развития исходит из синергетики. Вопервых принцип развития эволюции в современной науке получил статус фундаментальной мировоззренческой и методологической константы.
81808. Новые стратегии научного поиска. Глобальный эволюционизм и современная научная картина мира 33.72 KB
  Концепция глобального эволюционизма оформилась в 80е гг. Наряду со стремлением к объединению представлений о живой и неживой природе социальной жизни и технике одной из целей глобального эволюционизма явилось стремление интегрировать естественнонаучное обществоведческое гуманитарное а также техническое знание. В этом своем качестве концепция глобального эволюционизма претендует на создание нового типа целостного знания сочетающего в себе научнометодологические и философские основания. Обоснованию глобального эволюционизма...
81809. Этические проблемы науки XXI века. Проблемы гуманитарного контроля в науке и высоких технологиях. Экологическая этика 29.07 KB
  Проблемы гуманитарного контроля в науке и высоких технологиях. Этические проблемы в области биоэтики оформились как чрезвычайно острые требуюшие своего неотлагательного решения и реакции общества. Проблемы биоэтики возникли на стыке биологии и медицины.
81810. Этика науки и ответственность учёного. Нормы научной деятельности и расширение этоса науки 43.55 KB
  Нормы научной деятельности и расширение этоса науки. В процессе вершения науки этически оцениваемые объекты производят этически оцениваемые деяния и тогда деяния порождают этически оцениваемые отношения а объекты становятся субъектами этих отношений. Римскими цифрами обозначены классы отношений: I – личные отношения ученых; II – заочные отношения ученых внутри мира науки; III – отношения между миром науки с одной стороны и человечеством и природой – с другой.
81811. Сциентизм и антисциетизм. Наука и паранаука 34.61 KB
  Эйнштейн ищут основания знания в философии и художественной литературе. Анти-фундаменталистская тенденция просматривается в истолковании всех важнейших областей научного познания: математического естественнонаучного гуманитарного. В то время как сциентизм базируется на абсолютизации рациональнотеоретических компонентов знания антисциентизм опирается на ключевую роль этических правовых культурных ценностей по отношению к идеалу научности. Следует отметить направление теории познания имеющее долгую историю в котором акцент делается на...
81812. Наука как социокультурный феномен. Становление науки как социального института 38.59 KB
  Становление науки как социального института. Именно деятельностное понимание науки особо отмечал В. Вернадский: Ее содержание не ограничивается научными теориями гипотезами моделями создаваемой ими картиной мира в основе она главным образом состоит из научных фактов и их эмпирических обобщений и главным живым содержанием является в ней научная работа живых людей Во втором истолковании когда наука выступает как система знаний отвечающих критериям объективности адекватности истинности научное знание пытается обеспечить себе...
81813. Историческое развитие институциональных форм научной деятельности. Научные сообщества и их исторические типы 37.76 KB
  Возникновение науки как социального института связывают с кардинальными изменениями в общественном строе и в частности с эпохой буржуазных революций которая дала мощный толчок развитию промышленности торговли строительству горному делу мореплаванию. Способы организации и взаимодействия ученых менялись на протяжении всего исторического развития науки. Само существование науки в качестве социального института говорило о том что в системе общественного разделения труда она должна выполнять специфические функции а именно отвечать за...