711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

54 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7247. Проблемы творчества А.И. Солженицына 208.5 KB
  Проблемы творчества А.И. Солженицына В пособие включены тематический план, программное содержание лекционного курса, планы практических занятий, задания по самостоятельной контролируемой работе, контрольные вопросы и тесты к зачету, темы курсовых ра...
7248. Предмет и система советского гражданского права 269.47 KB
  Предмет и система советского гражданского права Настоящая работа является одним из томов курса советского гражданского права. В этом томе на основе обобщения и анализа законодательства, регулирующего гражданские отношения в СССР, и положений советск...
7249. Закон Ома в интегральной форме 86 KB
  Тема: Закон Ома в интегральной форме Однородный и неоднородный участки цепи. Вывод закона Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи Разность потенциалов, электрод...
7250. Тягово-динамический расчёт автомобиля ГАЗ - 3307 238.9 KB
  Содержание Технические характеристики автомобиля 1 Внешняя скоростная характеристика двигателя внутреннего сгорания. Свободная мощность двигателя. 2 Определение общего передаточного числа трансмиссии на каждой передаче. 3 Расчет скоростей движения м...
7251. Проектирование и расчет систем автоматики 34.85 MB
  Проектирование и расчет систем автоматики В пособии рассмотрены принципы проектирования систем автоматики, применяемой в горной промышленности. Основное внимание уделено технике проектирования структурных, функциональных и принципиальных схем автома...
7252. Основные принципы разработки управляющих программ для оборудования с ЧПУ 245 KB
  Основные принципы разработки управляющих программ для оборудования с ЧПУ Общие принципы построения программ Под ЧПУ оборудования понимают управление при помощи программ, заданных в алфавитно-числовом коде. При обработке на станках с ЧПУ инструмент п...
7253. Цифровое вещание. Основные параметры систем спутникового телевизионного вещания 270 KB
  Цифровое вещание 1. Основные параметры систем спутникового телевизионного вещания. Существуют два вида спутниковой связи, используемых для ТВ-вещания: фиксированная спутниковая служба и радиовещательная спутниковая служба. Фиксированная спутниковая ...
7254. Детали машин. Конспект лекций. Основные требования к конструкции деталей машин 2.83 MB
  Настоящий конспект лекций по курсу Детали машин следует рассматривать как краткое изложение программных вопросов курса, облегчающее усвоение учебного материала и подготовку к экзаменам. Конспект изложен на базе основных учебников Д.Н....
7255. Генератор прямоугольных импульсов 287.87 KB
  Задание на расчет Построить генератор прямоугольных импульсов (ГПИ) с видом характеристики типа меандр. Амплитуда сигнала стандартная для транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ). Установленная частота ступенями: 100Гц 1...