711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71115. Выравнивание и восстановление формы покрытия с добавлением новой смеси 20.94 KB
  Нагрев асфальтобетонного покрытия производится газовыми горелками инфракрасного излучения которые объединены в блоки или панели. Подготовка к постоянному режиму: Вначале в течение 67 минут производится подогрев покрытия. Количество панелей расстояние от покрытия...
71116. Уширение дорожной одежды 588.96 KB
  Способ уширения дорожной одежды обычно определяется способом уширения земляного полотна а также зависит от необходимости произвести усиление дорожной одежды. Уширение начинают со срезки обочины и откоса ниже дорожной одежды. Одновременно с устроенным слоем дорожной...
71117. Подготовительные работы к реконструкции земляного полотна 479 KB
  Подготовительные работы к реконструкции земляного полотна В состав основных подготовительных работ входят создание геодезической разбивочной основы перенос коммуникаций; расчистка дорожной полосы и территорий отведенных под карьеры и резервы...
71118. Тепловой эффект ферментации и тепловой баланс ферментера (классификация ферментеров). Тепловой эффект процесса ферментации 84.5 KB
  Основой роста и размножения клеток является ассимиляция веществ из окружающей среды. Это – т.н. конструктивный (строительный) обмен или анаболизм. Он немыслим без расхода энергии. Он также невозможен без процессов противоположного типа - катаболизма.
71119. Отделение клеток для получения конечного продукта 87 KB
  Наиболее желательно фильтрование с образованием слоя осадка. В производственных условиях при эксплуатации установок систематически проводят промывку продувку и сушку осадка на фильтрах. В процессе фильтрования движущая сила и сопротивление осадка меняются поэтому скорость м с величина...
71120. Некоторые особенности механического разделения культуральной жидкости 1.76 MB
  Для улучшения отделения жидкости от мицелиальной массы, с целью минимального содержания жидкости в массе предлагается обрабатывать ферментационное сусло на гидравлических прессах (рис. 2). Гидравлическому уплотнению под действием перепада давления подвергают фильтрующий слой...
71121. Экстракция и адсорбция. Флотация. Вакуум-выпарка 696 KB
  Жидкость каждый раз отделяется на решётке а к сырью подаются новые порции растворителя и газ. Культуральную жидкость с аминокислотой пропускают через колонну. В вертикальной конструкции культуральная жидкость подаётся на разных уровнях.
71122. СУШКА И СУШИЛКИ 1.6 MB
  Для сушки микробиологических суспензий и жидкостей применяют распылительные сушилки. Для сушки пастообразных веществ вакуумные аппараты кипящего слоя вальцеленточные и сублимационные сушилки. Распылительные сушилки При распылении продукта на мелкие частицы создаётся большая...
71123. МОДЕЛИРОВАНИЕ И МАСШТАБИРОВАНИЕ 1.14 MB
  Моделированием называется исследование проблем применения к промышленному оборудованию результатов лабораторных исследований и данных по опытным установкам Это необходимо для правильного конструирования аппаратов. Некоторые такие вопросы уже были нами рассмотрены.