711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47174. Информационное обеспечение менеджмента 73.5 KB
  Инвестиции: определение виды Инвестиции в объекты предпринимательской деятельности осуществляются в различных формах. По объектам вложения денежных средств выделяют реальные и финансовые инвестиции. Реальные инвестиции авансирование денег в материальные и нематериальные активы. Финансовые инвестиции вложения средств в ценные бумаги: долевые акции и долговые облигации.
47175. Ймовірність складних подій 73.5 KB
  Знайти: а імовірність того що деталь яку вилучили з третоьго ящика буде стандартною; б імовірність того що деталь яку вилучили з третього ящика належала першому ящику коли вона виявилась стандартною.93856 Задача 6 1 деталь 1 деталь а Для розвязання цієї задачі скористаємося формулою повної ймовірності. Позначимо через А подію âз третього ящика вилучена стандартна детальâ. Шукана ймовірність того що з третьої...
47177. Профессиональные объединения издателей. Международная роль ассоциаций. Специализированные ассоциации 74.5 KB
  Профессиональные объединения издателей На Западе ассоциации союзы занимают важное место в общей системе издательского дела. Вопросов которыми занимаются ассоциации издателей довольно много: осуществление связи с правительственными органами имеющими отношение к книгоизданию представительство интересов издательского дела как отрасли перед правительством; осуществление связей с книготорговой и полиграфической отраслями с профессиональными объединениями книготорговцев и полиграфистов; разработка юридических вопросов касающихся...
47178. КЛЕТКА КАК ОТКРЫТАЯ СИСТЕМА 74.5 KB
  Для поддержания сложной динамической структуры живой клетки требуется непрерывная затрата энергии. Так же энергия необходима для осуществления большинства функций клетки. Различают: Анаболизм ассимиляция эндотермический процесс уподобления поступающих в клетку веществ веществам самой клетки.
47179. Субъекты и объекты природопользования 74.68 KB
  Бринчука 1 может выступать в двух основных качествах: а как возможный по закону обладатель такого права пользования и б как обладатель субъективного права пользования природными ресурсами носитель установленных законом прав и обязанностей который является субъектом правоотношений пользования землей ее недрами водами и лесами объектами животного мира и атмосферным воздухом. В качестве субъекта права общего природопользования выступают граждане Российской Федерации иностранцы и лиц без гражданства поскольку они обладает...
47181. Принципы государственного управления в сфере охраны окружающей среды и природопользования 75.34 KB
  Правовая охрана земель Неоценимое значение земли для существования биосферы и жизнедеятельности человека предполагает необходимость ее всесторонней охраны. Правовая охрана земель это система закрепленных законом мер направленных на обеспечение рационального использования земель сохранение и повышение их плодородия защиту от истощения и разрушения. Охрана земель осуществляется на основе комплексного подхода к земельным угодьям как к сложным природным образованиям и ставит следующие цели: предотвратить деградацию и разрушение...
47182. Ответственность за экологические преступления 75.39 KB
  Право собственности на природные объекты: понятие виды объекты субъекты основания возникновения. Земля и другие природные ресурсы могут находиться в частной государственной муниципальной и иных формах собственности. Земли которые не находятся в собственности граждан юридических лиц или муниципальных образований представляют собой государственную собственность. Право собственности на природные ресурсы возможность владения пользования и распоряжения данными природными ресурсами.