711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75102. Реально ли стать футбольной знаменитостью, на примере голкипера С.В. Рыжикова 644 KB
  Объект исследования: футболисты действующих российских команд на примере представителя команды Рубин Казань Рыжикова С. Цель: выяснить возможность роста начинающего футболиста ДЮСШ в условиях малого города.
75103. Экологические проблемы автомобильного транспорта 61 KB
  Проблемы экологии: загрязнение атмосферы выхлопными газами автомобилей производств; истощение природных ресурсов; парниковый эффект; истончение озонового слоя; кислотные дожди; проблема частой пресной воды; почва; проблема мусора; проблема мирового океана; и др.
75105. История военной авиации в марках 637.5 KB
  Несколько лет назад я увидел у дедушки в шкафу несколько альбомов. Я подумал, что там хранятся фотографии и хотел их посмотреть. Но, дедушка засмеялся и открыл альбом. Там лежали маленькие кусочки бумаги. И я спросил, что это? И дедушка Слава начал рассказ.
75106. Мое родословие. История пяти поколений моей семьи в фотографиях, воспоминаниях и семейных преданиях 551 KB
  У них одна дочь - Светлана - моя мама. Шевчук Ананина Светлана Борисовна - моя мама. Моя мама - Шевчук Светлана Борисовна родилась 12 января 1971 года в г. И это правда бабушка работала до позднего вечера в дежурном магазине поэтому мама выросла в школе.
75108. История названия улицы Каюкова 117 KB
  Многим жителям посёлка Фабрика №2 известна улица Каюкова но мало кто знает что названа она в честь Каюкова Владимира Александровича. Каюкова Евдокия Петровна и Каюков Александр Андреевич Родился Каюков в Сухом Логу его родители вскоре переехали в село Курьи на улицу Путилова в домишко деда...
75109. Functional Stylistics 238 KB
  The subject of stylistics has so far not been definitely outlined. This is due to a number of reasons. First of all there is confusion between the terms style and stylistics. The first concept is so broad that it is hardly possible to regard it as a term.
75110. Лидерство и власть. Управление поведением: подкрепление, наказание, гашение 19.12 KB
  Лидерство и власть. Власть означает способность возможность влиять на поведение других людей людей с целью подчинить их своей воле. Власть позволяет руководителю распоряжаться действиями подчиненных направлять их в русло интересов организации побуждать сотрудников и более эффективной работе предотвращать возникающие в коллективе конфликты. Определение власти как организационного процесса подразумевает следующее: Власть существует у того кто может ее использовать потенциально т.