711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39733. Товарный ассортимент и товарная номенклатура 18.24 KB
  Широта товарного ассортимента. Решение о наращивании товарного ассортимента. Товарный ассортимент любой фирмы является частью общего товарного ассортимента предлагаемого отраслью в целом. Наращивание ассортимента происходит тогда когда фирма выходит за пределы того что производит в настоящее время.
39734. Жизненный цикл товара 16.75 KB
  Характерным является небольшой рост объёмов продаж и соответственно прибыль минимальна или её вообще нет. Период быстрого роста объёма продаж если товар принят рынком и спрос на него растёт. Прибыль также возрастает по мере увеличения объёма продаж. Объемы продаж значительны но дальнейшего роста продаж не наблюдается.
39735. Ценообразующие факторы 16.94 KB
  Все многообразие ценообразующих факторов как показывает экономическая практика можно разделить на три группы: базовые неконъюнктурные; конъюнктурные; регулирующие связанные с государственной политикой. Действие этой группы факторов различно на рынках разных типов. Так в условиях товарного рынка неконъюнктурные факторы считаются внутрипроизводственными затратными стоимостными поскольку движение цен под воздействием лишь этих факторов однонаправлено с движением затрат. Действие конъюнктурных факторов объясняется изменчивостью...
39737. Возникновение и сущность маркетинга, сбытовой и маркетинговой подходы к деятельности фирмы, цели маркетинга 167.5 KB
  Возникновение и сущность маркетинга сбытовой и маркетинговой подходы к деятельности фирмы цели маркетинга. Становление маркетинга как основы экономического поведения фирмы следует отнести к периоду последующему за великой депрессией охватившей Запад в 19291933 годах . Основными понятиями сферы маркетинга являются следующие: нужды потребности запросы товар обмен сделка и рынок. Введение в практику предпринимательства концепции маркетинга позволяют решить целый комплекс вопросов: 1.
39738. Маркетинг. Общие понятия маркетинга 872 KB
  Спрос это совокупный запрос группы потребителей. Предвидеть прогнозировать спрос можно только постоянно изучая потребителей так чтобы разрабатывать и предлагать именно то что они хотят и в чем нуждаются. Стимулировать значит вызывать у потребителей стремление к тому что предлагает фирма привлекательно оформляя продукт интенсивно его рекламируя и так далее. Маркетинговая деятельность может быть направлена как на потребителей так и на население в целом.
39739. Воплощение черт неомифологизма в произведении Дюрренматта «Минотавр» 30.39 KB
  Вступление Сегодня мы с вами познакомимся с необыкновенным произведением Дюрренматта драматической балладой Минотавр об одиночестве главного героя а именно Минотавра и попробуем найти черты неомифологизма в этом произведении. Наша тема Воплощение черт неомифологизма в произведении Дюрренматта Минотавр . Дюрренматта.
39740. Воплощение черт неомифологизма в произведении Дюрренматта 25.53 KB
  Дюрренматт классик швейцарской литературы.Идейнохудожественный анализ произведения Дюрренматта Минотавр: жанровые особенности; образ дюрренматтовского Минотавра в сопоставлении с древнегреческим Минотавром; черты неомифологического сознания в произведении. Работа по теме урока Сегодня мы с вами проанализируем замечательное произведение швейцарского классика Дюрренматта Минотавр и попробуем проследить неомифологические черты в данном произведении.