711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48513. ИСТОРИЯ ПОЛИТИЧЕСКИХ И ПРАВОВЫХ УЧЕНИЙ 702.5 KB
  Фрейд биологизирует уровни сознания личности вводя понятия оно я и сверх я. Существование личности человеческого сознания представляется ни чем иным как раскрытием сущности следовательно сущность первична и существованиевторично вариант идеализма. Психодинамика учение о реакциях сводится к тому что развитие индивидуума происходит в результате отделения стимулов от реакций кпониманию болезней как разных типов реакции личности отрицанию качественных различий между психикой здорового человека и психикой больного неврозом и...
48514. КОНСТРУКЦИЯ СУДОВЫХ ТУРБОМАШИН. ПРОТОЧНЫЕ ЧАСТИ ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН 731 KB
  Соплами называют направляющие лопатки активных ступеней. Часто фрезерованные сопловые лопатки 3 регулировочной ступени рис. Сопловые лопатки перегородки в таком кольце выполнены штампованными и залиты своими концами в чугунные наружную и внутреннюю обоймы.
48515. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ 525 KB
  В одномерном установившемся течении все параметры потока зависят только от одной пространственной переменной. Наиболее строго уравнения одномерного течения записываются для элементарной струи параметры газа в которой изменяются только от перехода от одного сечения к другому. Если параметры меняются в пределах поперечного сечения струи то в уравнения вводят их средние значения. В случае когда нет трения и отсутствуют потери скорости и другим параметрам часто приписывают индекс t и называют их теоретическими.
48516. УГОЛОВНОЕ ПРАВО 614.5 KB
  Размер наказания за приготовление к преступлению не может превышать половины а за покушение трех четвертей максимального срока наказания предусмотренного соответствующей статьей Особенной части за оконченное преступление ч. Следовательно при определении опасного рецидива учитываются те же показатели что и при формировании понятия рецидива а также вид назначенного наказания категории преступлений и число ранее совершенных преступлений. Рецидив признается особо опасным при совершении лицом: а умышленного преступления за которое оно...
48517. Средневековая, религиозно-христианская философия 53.04 KB
  Особенно Платоновское учение о сверхъестественных сущностях Аристотелевская концепция Бога как перводвиготеля всего сущего учение о форме как организующей силе и Аристотелевская концепция Логоса стоическая теория судьбы с предопределенностью Бытия человека. Вера в существование реальности Бессмертия Бога и при определенных условиях вера в бессмертие человека. А поскольку человек неизбежно вступает в отношения с Богом то и познание человека его сущности и его души отыскание истинного пути человека к Богу также входит в предмет и...
48518. Финансовый учет. Конспект лекций 2.88 MB
  ФИНАНСОВЫЙ УЧЕТ Конспект лекции Утверждено на заседании кафедры БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА Протокол № 13 от 20. Утверждено на заседании кафедры бухгалтерского учета. Финансовый учет. Излагаются основные вопросы учета денежных и расчетных операций предприятий; текущих и долгосрочных обязательств; собственного капитала и обеспечения обязательств; основных средств и нематериальных активов; инвестиций и прямых необоротных активов; запасов; труда и его оплаты; расходов основной деятельности и калькулирования себестоимости продукции; прочих...
48519. Органічні сполуки 291.2 KB
  Хімічні властивості: реакція горіння. CH4 O2 = CO2 H2O; при нагріванні метану до 1000С без доступу кисню відбувається реакція розкладу. CH4 = C H2; метан реагує з хлором відбувається реакція галогенування. реакція нітрування взаємодія з азотною кислотою.
48520. ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ПРАВО 31 KB
  Основные понятия окружающей природной среды и экологии. Механизм природопользования и охраны окружающей природной среды. Понятие механизма природопользования и охраны окружающей природной среды. Структура механизма природопользования и охраны окружающей природной среды.
48521. Экономика недвижимости 737 KB
  Для эффективного ведения бизнеса предприниматель должен хорошо разбираться в вопросах экономики недвижимости. Предметом экономики недвижимости как научной дисциплины является изучение теории и практики проведения операций с недвижимостью а также изучение организации и функционирования хозяйственного механизма в этой области деятельности. Учебная дисциплина Экономика недвижимости преследует следующие цели: 1.