711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52264. АВСТРАЛІЯ – найменший материк Землі. Історія відкриття і дослідження 112 KB
  Визначити географічне положення Австралії, ознайомити учнів з історією відкриття, заселення Австралії європейцями, особливостями рельєфу, корисними копалинами...
52265. Австралія: загальна характеристика, специфіка ЕГП, особливості природи, населення і господарства 222 KB
  Мета: сформувати в учнів систему знань про природноресурсний потенціал австралії; систематизувати уявлення учнів про міжнародну спеціалізацію регіона. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ ТА УМІНЬ Який мореплавець відкрив Австралію Які крайні точки материка Австралія Дайте коротку характеристику географічного положення Австралії. Яка переважаюча форма рельєфу Австралії і чому ІІІ. Про ці та інші особливості Австралії ми дізнаємося на сьогоднішньому уроці.
52266. Австралія. Географічне положення, історія відкриття і дослідження 46.5 KB
  Географічне положення історія відкриття і дослідження. Географічне положення історія відкриття і дослідження. Мета: формувати знання про своєрідність географічного положення Австралії етапи відкриття і дослідження вдосконалювати практичні вміння та навички; пояснювати особливості географічного положення материків; формувати вміння порівнювати географічне положення Австралії та Африки; розвивати пізнавальний інтерес до вивчення теми. Який материк ви вивчали Що вам відомо про Африку Чому вивчення будьякої території починають з...
52267. Музична подорож до Австрії 117.5 KB
  Liebe Freunde Ich freue mich euch zu sehen. In der heutigen Stunde sprechen wirber die Musik und Mozrt. Heute erfhren wir mehrber ds Schffen und Leben dessterreichischen Komponisten. Республіка Австрія існує з 1918 Es besteht us neun Bundeslndern.
52268. Розвиток автентичної особистості як основна мета сучасної освіти 114.5 KB
  Якщо до серця все найкраще лине Ти особистість. На моїх очах відбувається справжнє диво: з невмілого не впевненого у собі малюка виростає особистість яка мислить багато знає вміє оцінює себе й інших людей. Тому під час планування навчального процесу намагаюсь організувати його так: щоб бачити зону найближчого розвитку кожної дитини; щоб особистість розвивалась в якісній зміні її діяльності; щоб були задіяні у навчальному процесі інтелектуальна активність та пізнавальні інтереси кожного учня. Сьогодні у світі існують дві...
52269. Методи та прийоми пошуку розв’язання текстових задач з математики 174 KB
  Навчальна програма факультативного курсу Тема Методи та прийоми пошуку розвязання текстових задач з математики для учнів 6 класу загальноосвітніх шкіл 2010 рік Автор чи укладач __Сторожук Валентина Миколаївна вчитель математики загальноосвітньої школи ІІІ ступенів №12 м. Науковометодична експертиза обласного центру практичної психології : тільки для програм з психології _________________________________________________________________________...
52270. Правила дорожнього руху 204 KB
  ТЕМА УРОКУ: Заборонні знаки. Які у вас існують асоціації спочатку діти висловлюють найстійкіші асоціації Закон України Про дорожній рух Учасники дорожнього руху правила дорожнього руху дорожні знаки а потім другорядні попереджувальні пріоритету забороні. Яку тему ми розпочали вивчати на минулому уроці Прогнозована відповідь: Забороні дорожні знаки. Кожен з вас обирає цифру під якою ховається запитання з теми Забороні дорожні знаки і надає усну відповідь.
52271. Азбука юного гражданина. Своя игра 45 KB
  Оборудование: иллюстративный материал видеофильм Народні свята Гимн Украины выставка книг по теме таблица экран флажки разных стран. Едины мы в своем стремленьи: Пусть это будет на века Трезубец в гербе Украины Страны любимой нашей лик. Беседа Что мы называем домом для народа Как называется наше государство Назовите столицу Украины. Можно включить фонограмму 50 Когда была принята Конституция Украины 28 июня 1996г.
52272. Азбука міста 75.5 KB
  Ведучий Дорогі діти сьогодні ви побуваєте на веселому святі де будемо вивчати дорожні знаки та правила вуличного руху. Діти Устає над містом сонце Будить все довкола Зазирає у віконце Кличе нас до школи. У зал заходить Баба Яга Баба Яга Фу фу фу Нас учили в школі Потягується ліниво Не спішіть ніко о о о ли Діти діти айайай Добрий день вам зазвичай Та чому смієтесь ви Не впізнали ви Яги Я колись була весела А тепер ось не до сміху Бо не можу вже вільно літати Знаки на моїй дорозі стали пропадати. Нову...