711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

50 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33457. Оценки предпринимательского риска 22.62 KB
  Количественная оценка предпринимательского риска с помощью методов математической статистики устанавливается главными инструментами данного метода оценки дисперсией стандартным отклонением коэффициентом вариации. Преимуществом данного метода оценки предпринимательского риска является несложность математических расчетов а недостатком необходимость большого количества исходных данных чем больше массив тем достовернее оценка риска. Кроме статистического метода существует метод экспертной оценки риска который может быть реализован путем...
33458. Собственный капитал 23.88 KB
  Структура капитала это соотношение между собственным и заемным каплом и характериз. капитала. Характеризует первоначальную сумму собственного капитала предприятия инвестированную в формирование его активов для начала осуществления хозяйственной деятельности. Представляет собой зарезервированную часть собственного капитала предприятия предназначенную для внутреннего страхования его хозяйственной деятельности.
33459. Призначення покарання за сукупністю злочинів 33.5 KB
  У зв'язку з цим можливі різні підходи до призначення покарання за таку сукупність. Існують різні законодавчі системи призначення покарання при сукупності. Серед них можна вирізнити такі: а система повного абсолютного складання покарань; б система обмеженого складання покарань; в система поглинення; г система обов'язкового або факультативного підвищення покарання; д змішані системи призначення покарання за сукупністю злочинів.
33460. Примусові заходи виховного характеру 27 KB
  Метою застосування примусових заходів виховного характеру є забезпечення інтересів неповнолітнього які полягають в одержанні ним необхідного виховання освіти лікування захисту від насильства та жорстокості соціальної допомоги а також у наявності можливості пристосуватися до реалій навколишнього життя підвищити свій культурний соціальний та загальноосвітній рівень набути професії та працевлаштуватися. За наявності підстав для застосування виховних заходів суд може застосувати: застереження обмеження дозвілля і встановлення особливих...
33461. Примусовими заходами медичного характеру 31.5 KB
  93 КК примусові заходи медичного характеру можуть бути застосовані судом лише до осіб: 1 які вчинили у стані неосудності суспільне небезпечні діяння; 2 які вчинили у стані обмеженої осудності злочини; 3 які вчинили злочин у стані осудності але захворіли на психічну хворобу до постановлення вироку або під час відбування покарання. Стаття 94 КК передбачає вичерпний перелік примусових заходів медичного характеру. Вибір конкретного заходу визначається судом виходячи із: а характеру і тяжкості захворювання б тяжкості вчиненого діяння та...
33462. Причинний зв‘язок 32 KB
  У кримінальноправовому розумінні причинний зв‘язок означає що злочинний наслідок породжується суспільно небезпечним і протиправним діянням суб‘єкта. Якщо ж навпаки суспільнонебезпечні наслідки настали незалежно від того чи було вчинене діяння причинний зв‘язок відсутній. Причинний зв‘язок можливий не тільки між діями і наслідками.
33463. Система покарань 28.5 KB
  Передбачені чинним кримінальним законодавством окремі види покарань утворюють певну систему. Система покарань встановлена ст. 51 КК і є тією юридичною базою на якій ґрунтується діяльність судів по застосуванню покарань.
33464. Співучастю у злочині 29 KB
  Таким чином, при окресленні обєктивних і субєктивних ознак співучасті має місце вказівка на спільність
33465. Субєкт злочину 29 KB
  Передусім субєктом злочину може бути тільки фізична особа, тобто людина. Нести кримінальну відповідальність можуть громадяни України, іноземці й особи без громадянства. Тому не можуть бути визнані субєктом злочину юридичні особи (підприємства, установи, громадські організації і т. ін.).