711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

52 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66873. Понятие расчетных правоотношений 133.5 KB
  Безналичные расчеты осуществляются на основании платежных инструкций клиента вид форма и обязательные реквизиты которых устанавливаются Национальным банком Республики Беларусь. В тех случаях когда счета плательщика и бенефициара открыты в одном банке либо если бенефициар не имеет счета в банке...
66874. Подготовка детей к обучению грамоте. Ознакомление детей со слоговым строением слова 238 KB
  Современная школа требует от детей, поступающих в первый класс, не столько какой-либо суммы знаний и умений, сколько способности к действию в умственном плане, которая формируется в процессе усвоения системы знаний, которая станет основой будущего изучения предмета.
66875. Устройство оптоэлектроники 702.06 KB
  Изобразить структуру фотоприемника. Изобразить ВАХ фотоприемника. Дать определение основным параметрам. Пояснить принцип работы фотоприемника. Фототиристор Фотоприемный прибор, имеющий три и более р-п перехода, в ВАХ которого имеется участок отрицательного дифференциального сопротивления, называются фототиристорами.
66876. Структура лексического значения 135 KB
  Так если денотатом слова птица в первом понимании является множество всех птиц то во втором понимании образ типичной птицы. В первом случае слова враги друзья указывают на конкретное окружение Онегина.
66877. Фонема. Система фонем 90.46 KB
  Один из важнейших аспектов учения о звуковой стороне языка состоит в различении понятий звука речи и фонемы. Звук речи – минимальная единица речевой цепи, являющаяся результатом сложной артикуляционной деятельности человека и характеризующаяся...
66878. Язык как система знаков 156 KB
  Знаки и образуемые ими знаковые системы изучает семиотика (семиология). Мысль о языке как системе знаков наиболее явно сформулировал Фердинанд де Соссюр. Система – это множество однородных элементов (в нашем случае – знаков), которые находятся между собой в определенных отношениях и образуют единство.
66879. ФАЗЫ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВАХ 38 KB
  Твердыми растворами называют фазы в которых один из компонентов сплава сохраняет свою кристаллическую решетку а атомы другого или других компонентов располагаются в решетке первого компонента растворителя изменяя ее размеры периоды.
66880. Споживчий ринок товарів 22.5 KB
  Основними тенденціями розвитку народного споживання можна вважати зростання обсягів споживання зміну структури в бік збільшення частки непродовольчих товарів. Слід відмітити тенденцію зростання питомої ваги суспільних фондів споживання.
66881. Продукційна модель представленнязнань 39.3 KB
  Вивчення представлення знань засобами С++ та ПАСКАЛЬ в рамках продукційної моделі. Папір - метод читання оптичний, обєм середній, перезапис неможливий. Перфокарта - метод читання оптичний, обєм малий, перезапис неможливий. ГМД - метод читання магнітний, обєм середній, перезапис можливий.