711

Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекция

Математика и математический анализ

Среднее арифметическое математических ожиданий. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики. Случайные величины имеют различные математические ожидания.

Украинкский

2013-01-06

49.5 KB

51 чел.

Лекция. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, если о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

1. Теорема Чебышева. Ее сущность и значение для практики.

 Теорема Чебышева. Еслипопарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

  

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Другими словами, в условиях теоремы

 .

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. Однако на практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. И если допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через ; в рассматриваемом случае, среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно . Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 Если – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число , вероятность неравенства

    

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу  (или к числу  в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок  содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой  его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

 

2. Теорема Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.

 Теорема Бернулли. Если в каждом из  независимых испытаний вероятность  появления события  постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

 Другими словами, если  – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

    .

 Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство . В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Вывод

Таким образом, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46081. Дизартрия. Этиология, механизмы нарушения, симптоматика 19.5 KB
  Этиология дизартрии определяется органическим поражением центральной и периферической нервной системы под влиянием различных неблагоприятных внешних экзогенных факторов воздействующих во внутриутробном периоде развития в момент родов и после рождения. Основными признаками дизартрии являются дефекты звукопроизношения и голоса сочетающиеся с нарушениями речевой моторики и речевого дыхания. При дизартрии в отличие от дислалии может нарушаться произношение как согласных так и гласных звуков. В зависимости от нарушений все дефекты...
46082. Классификация дизартрии, характеристика основных форм и степеней нарушения 35 KB
  У детей с описываемой формой дизартрии наблюдается атрофия мышц языка и глотки снижается также тонус мышц атония. Иногда при подкорковой дизартрии у детей наблюдается снижение слуха осложняющее речевой дефект. Наблюдается инертность иннервационного импульса. Наблюдается при поражении мозжечка и его связей с другими отделами ЦНС.
46083. Характеристика основных направлений коррекционной работы при различных формах дизартрии 29 KB
  Развитие артикуляционной моторики речевого дыхания постановка и закрепление звуков в речи. Важная задача – развитие слухового восприятия и звукового анализа а также восприятия и воспроизведения ритма. Основная цель: развитие речевого общения и звукового анализа. Проводится работа по коррекции артикуляционных нарушений: при спастичности – расслабление мышц артикуляционного аппарата выработка контроля над положением рта развитие артикуляционных движений развитие голоса; коррекция речевого дыхания; развитие ощущений артикуляционных движений...
46084. Этиология и классификация нарушений голоса 27.5 KB
  Этиология и классификация нарушений голоса. Проблема нарушений голоса у детей остается актуальной так как голосовые перегрузки связанные с коллективным воспитанием ребенка в д с участие в разнообразных вокальных и хоровых коллективах не имеющих опытных педагогов экологические и социальные проблемы приводят к тому что в фониатрической и логопедической практике нередко приходится сталкиваться с детьми страдающими заболеваниями голосового аппарата. Нарушения голоса – это отсутствие или расстройство фонации вследствие патологических...
46085. КОМПЛЕКС МЕДИКО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ ПРИ УСТРАНЕНИИ РАЗНЫХ ФОРМ НАРУШЕНИЯ ГОЛОСА 27 KB
  КОМПЛЕКС МЕДИКОПЕДАГОГИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ ПРИ УСТРАНЕНИИ РАЗНЫХ ФОРМ НАРУШЕНИЯ ГОЛОСА. Нарушение голоса – это отсутствие или расстройство фонации вследствие патологических изменений голосового аппарата. Восстановление голоса необходимо начинать как можно раньше. Восстановление голоса при парезах и параличах гортани.
46086. ХАРАКТЕРИСТИКА НАРУШЕНИЙ ТЕМПО-РИТМИЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ РЕЧИ 24.5 KB
  ХАРАКТЕРИСТИКА НАРУШЕНИЙ ТЕМПОРИТМИЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ РЕЧИ. К нарушениям темпа речи относятся брадилалия и тахилалия. При указанных расстройствах нарушается развитие как внешней так и внутренней речи. При тяжёлой степени нарушается процесс коммуникации и расстройства темпа речи определяются как патологические.
46087. ЗАИКАНИЕ. АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ТЕОРИЙ ЗАИКАНИЯ И СОВРЕМЕННЫХ ВЗГЛЯДОВ НА МЕХАНИЗМ ЗАИКАНИЯ 20.5 KB
  ЗАИКАНИЕ. Заикание – нарушение темпоритмической организации речи обусловленное судорожным состоянием мышц речевого аппарата. заикание пытались объяснить как следствие несовершенства периферического аппарата речи Санторини – отверстие в твёрдом нёбе Вутцер – ненормальное углубление нижней челюсти ЭрведеШегуан – неправильное соотношение между длиной языка и полостью рта. Другие исследователи связывали заикание с нарушениями в функционировании речевых органов: В начале 19 в.
46088. СОВРЕМЕННЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ПРЕОДОЛЕНИЮ И ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ ЗАИКАНИЯ 29 KB
  При изучении существовавших ранее приёмов средств и методов преодоления заикания целесообразно рассматривать их в зависимости от характера рекомендуемых средств воздействия на заикающегося – медицинские терапевтические хирургические ортопедические психотерапевтические или педагогические дидактические или сочетание лечебного и педагогического воздействия. Под современным комплексным подходом к преодолению заикания понимается лечебнопедагогическое воздействие на разные стороны психофизиологического состояния заикающегося разными...
46089. АНАЛИЗ МЕТОДИК ЛОГОПЕДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С ЗАИКАЮЩИМИСЯ ЛЮДЬМИ РАЗНЫХ ВОЗРАСТОВ 18 KB
  Авторы рекомендуют проводить работу от простого к сложному в зависимости от степени самостоятельной речи ребёнка.По мнению авторов все занятия по перевоспитанию речи заикающихся распределены по степени нарастающей сложности на 3 этапа. I этап предполагаются упражнения в совместной и отражённой речи в произношении заученных фраз стихов. III этап детям предоставляется возможность закрепить приобретённые навыки плавной речи.