71206

Гармонический анализ сигналов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Цель: Приобрести навыки проведения преобразования Фурье расчета характеристик спектра очистки сигнала от шумов в частотной области. Задачи: Прямое и обратное преобразование Фурье быстрое преобразование Фурье. Краткие теоретические сведения Дискретное преобразование Фурье...

Русский

2014-11-03

68.5 KB

9 чел.

3 Лабораторная работа №3. Гармонический анализ сигналов

Цель: Приобрести навыки проведения преобразования Фурье, расчета характеристик спектра, очистки сигнала от шумов в частотной области.

Задачи:

  1.  Прямое и обратное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье.
  2.  Расчет модуля спектра и аргумента спектра.
  3.  Сглаживание спектра.

Порядок выполнения работы

  1.  Прочитать теоретические предпосылки.
  2.  Выполнить практические задания.
  3.  Сделать выводы.

Краткие теоретические сведения

Дискретное преобразование Фурье

При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

Sn = sk exp(-j2pkn/N),     n = -N/2,…,0,…,N/2.                 (1)

sk = (1/N)Sn exp(j2pkn/N),    k = 0,1,…,N-1.                  (2)

Главный период спектра в (1) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±fN) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (2) устанавливается равным N/2.

Преобразования (1-2) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.

Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2 [3]. Случай прореживания по времени.

В основе алгоритма БПФ лежат следующие формулы:

x[even]n = x2n,

x[odd]n = x2n+1,     

n = 0, 1,..., N/2-1

   

k=0,1,…,N/2-1

X{1}0=x0

Стандартные средства дискретных преобразований Фурье в системе Mathcad

Mathcad содержит функции для выполнения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения в вещественной и  комплексной области. В Mathcad имеется также одномерное дискретное волновое преобразование и его обращение. Все эти функции имеют векторные аргументы.

В Mathcad входят два типа функций для дискретного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft/icfft .

fft (v)

Возвращает дискретное преобразование Фурье 2m-мерного вещественнозначного вектора. Аргумент можно интерпретировать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала.

Вектор v должен иметь 2m элементов. Результат — комплекснозначный вектор размерности 1+2m-1.

ifft (v)

Возвращает обратное дискретное преобразование Фурье; результат — вещественнозначный.

Вектор v должен иметь 1+ 2m элементов, где m — целое. Комплексное преобразование Фурье требует следующих функций:

cfft (A)

Возвращает дискретное преобразование Фурье комплекснозначных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет тот же самый размер, что и массив, используемый как аргумент.

icfft (A)

Возвращается обращение дискретного преобразования Фурье вектора или матрицы данных. Функция icfft — обратная к функции cfft. Подобно cfft, эта функция возвращает массив того же самого размера, что и аргумент.

Задания

  1.  Получить дискретный сигнал из аналогового (см. лаб.раб 1,2) согласно варианту (таблица 1).
  2.  Добавьте шум в полученный сигнал, используя датчик случайных чисел (отсчёты с равномерным распределением). Построить графики.
  3.  Для полученного зашумлённого сигнала выполните (преобразование взять согласно варианту (таблица 1)):

a) написать программы на языке высокого уровня реализующие быстрое преобразование Фурье и дискретное преобразование Фурье.

b) Построить графики модуля спектра и аргумента спектра.

  1.  После прямого преобразования произвести фильтрацию спектра.
  2.  Реализовать обратное преобразование Фурье.
  3.  Проверить работу программы с помощью системы Mathcad (файл “furtr-преобразование Фурье.mcd”)

Таблица1 – Варианты сигналов

Вариант

Сигнал

и преобразование

Вариант

Сигнал

и преобразование

  1.  

  1.  

s(t) =Akcos(2pfkt+jk)

  1.  

s(t) = Asin (wоt+)

  1.  

s(t) = exp(-at) - exp(-bt)

  1.  

s(t) = Acos(wоt+j)

  1.  

s(t) = u(t) cos(2pfot+jo)

  1.  

s(t) =An sin (2pfnt+jn)

  1.  

s(t)=2A/T(t-kT),

(k-1/2)T<t<=(k+1/2)T

  1.  

s(t)=Asin(t/T)/(t/T)

  1.  

s(t)=A(1-4|t-kT|T),

(k-1/2)T<=t<(k+1/2)T

Список использованной литературы

1 Кирьянов, Д. В.  Самоучитель Mathcad И. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с: ил. ISBN 5-94157-348.0 c. 452-456

2 Справка системы Mathcad

3 Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов/Питер.-2003, 608 с.

4 http://psi-logic.narod.ru/fft/fft2.htm Быстрое преобразование Фурье. Теория, программа, разъяснение


PAGE  

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6731. Определение страны происхождения товаров из стран, которым Республика Беларусь (государства-участники Таможенного союза) во взаимной торговле предоставляет (-ют) торговый режим свободной торговли 28.4 KB
  Определение страны происхождения товаров из стран, которым Республика Беларусь (государства-участники Таможенного союза) во взаимной торговле предоставляет (-ют) торговый режим свободной торговли. На основании соглашения о создании зоны свободной то...
6732. Правовые основы определения таможенной стоимости товаров 29.82 KB
  Правовые основы определения таможенной стоимости товаров. Таможенная стоимость товаров применяется в качестве основы для обложения товаров таможенными пошлинами и налогами, исчисляемыми по адвалорной ставке либо адвалорной составляющей комбинированн...
6733. Методы определения таможенной стоимости товаров 27.97 KB
  Методы определения таможенной стоимости товаров. От выбора метода определения таможенной стоимости зависит не только размер рассчитываемой в таможенных целях цены пересекающего границу товара, но и величина платежей, базой для расчета которых выступ...
6734. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами 28.93 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами. Согласно ст.2 Соглашения от 25.01.2008г., основой определения таможенной стоимости ввозимых товаров должна быть в максимально возможной степени стоимость сделки с этими това...
6735. Ограничения в использовании метода определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами 28.92 KB
  Ограничения в использовании метода определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами. Для определения таможенной стоимости товаров не применяется метод по цене сделки если: Существуют ограничения в отношении прав покупателя ...
6736. Дополнительные начисления к цене сделки. Суммы, подлежащие вычитанию из цены сделки 29.48 KB
  Дополнительные начисления к цене сделки. Суммы, подлежащие вычитанию из цены сделки. В соответствии со ст. 5 Соглашения от 25.01.2008 г. при определении таможенной стоимости ввозимых товаров по стоимости сделки с ними к цене, фактически уплаченной и...
6737. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с идентичными товарами 29.04 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с идентичными товарами. Цена сделки с идентичным товаром может быть принята в качестве определения таможенной стоимости только в том случае, если на момент определения таможенной стоимости товара...
6738. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с однородными товарами 23.29 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с однородными товарами. Под однородными товарами понимаются товары, не являющиеся идентичными во всех отношениях, но имеющие сходные характеристики и состоящие из схожих компонентов, произведенны...
6739. Метод определения таможенной стоимости на основе вычитания стоимости 23.32 KB
  Метод определения таможенной стоимости на основе вычитания стоимости. Рассмотренные выше методы ОТСТ базировались на цене сделки с ввозимыми, идентичными или однородными товарами. В случаях, когда первые три метода определения таможенной стоимости н...