71206

Гармонический анализ сигналов

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Цель: Приобрести навыки проведения преобразования Фурье расчета характеристик спектра очистки сигнала от шумов в частотной области. Задачи: Прямое и обратное преобразование Фурье быстрое преобразование Фурье. Краткие теоретические сведения Дискретное преобразование Фурье...

Русский

2014-11-03

68.5 KB

6 чел.

3 Лабораторная работа №3. Гармонический анализ сигналов

Цель: Приобрести навыки проведения преобразования Фурье, расчета характеристик спектра, очистки сигнала от шумов в частотной области.

Задачи:

  1.  Прямое и обратное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье.
  2.  Расчет модуля спектра и аргумента спектра.
  3.  Сглаживание спектра.

Порядок выполнения работы

  1.  Прочитать теоретические предпосылки.
  2.  Выполнить практические задания.
  3.  Сделать выводы.

Краткие теоретические сведения

Дискретное преобразование Фурье

При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

Sn = sk exp(-j2pkn/N),     n = -N/2,…,0,…,N/2.                 (1)

sk = (1/N)Sn exp(j2pkn/N),    k = 0,1,…,N-1.                  (2)

Главный период спектра в (1) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±fN) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (2) устанавливается равным N/2.

Преобразования (1-2) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

Необходимо разделить сумму (1) из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.

Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2 [3]. Случай прореживания по времени.

В основе алгоритма БПФ лежат следующие формулы:

x[even]n = x2n,

x[odd]n = x2n+1,     

n = 0, 1,..., N/2-1

   

k=0,1,…,N/2-1

X{1}0=x0

Стандартные средства дискретных преобразований Фурье в системе Mathcad

Mathcad содержит функции для выполнения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения в вещественной и  комплексной области. В Mathcad имеется также одномерное дискретное волновое преобразование и его обращение. Все эти функции имеют векторные аргументы.

В Mathcad входят два типа функций для дискретного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft/icfft .

fft (v)

Возвращает дискретное преобразование Фурье 2m-мерного вещественнозначного вектора. Аргумент можно интерпретировать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала.

Вектор v должен иметь 2m элементов. Результат — комплекснозначный вектор размерности 1+2m-1.

ifft (v)

Возвращает обратное дискретное преобразование Фурье; результат — вещественнозначный.

Вектор v должен иметь 1+ 2m элементов, где m — целое. Комплексное преобразование Фурье требует следующих функций:

cfft (A)

Возвращает дискретное преобразование Фурье комплекснозначных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет тот же самый размер, что и массив, используемый как аргумент.

icfft (A)

Возвращается обращение дискретного преобразования Фурье вектора или матрицы данных. Функция icfft — обратная к функции cfft. Подобно cfft, эта функция возвращает массив того же самого размера, что и аргумент.

Задания

  1.  Получить дискретный сигнал из аналогового (см. лаб.раб 1,2) согласно варианту (таблица 1).
  2.  Добавьте шум в полученный сигнал, используя датчик случайных чисел (отсчёты с равномерным распределением). Построить графики.
  3.  Для полученного зашумлённого сигнала выполните (преобразование взять согласно варианту (таблица 1)):

a) написать программы на языке высокого уровня реализующие быстрое преобразование Фурье и дискретное преобразование Фурье.

b) Построить графики модуля спектра и аргумента спектра.

  1.  После прямого преобразования произвести фильтрацию спектра.
  2.  Реализовать обратное преобразование Фурье.
  3.  Проверить работу программы с помощью системы Mathcad (файл “furtr-преобразование Фурье.mcd”)

Таблица1 – Варианты сигналов

Вариант

Сигнал

и преобразование

Вариант

Сигнал

и преобразование

  1.  

  1.  

s(t) =Akcos(2pfkt+jk)

  1.  

s(t) = Asin (wоt+)

  1.  

s(t) = exp(-at) - exp(-bt)

  1.  

s(t) = Acos(wоt+j)

  1.  

s(t) = u(t) cos(2pfot+jo)

  1.  

s(t) =An sin (2pfnt+jn)

  1.  

s(t)=2A/T(t-kT),

(k-1/2)T<t<=(k+1/2)T

  1.  

s(t)=Asin(t/T)/(t/T)

  1.  

s(t)=A(1-4|t-kT|T),

(k-1/2)T<=t<(k+1/2)T

Список использованной литературы

1 Кирьянов, Д. В.  Самоучитель Mathcad И. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с: ил. ISBN 5-94157-348.0 c. 452-456

2 Справка системы Mathcad

3 Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов/Питер.-2003, 608 с.

4 http://psi-logic.narod.ru/fft/fft2.htm Быстрое преобразование Фурье. Теория, программа, разъяснение


PAGE  

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21977. Англия в XI-XV вв. 184.5 KB
  В Англии шла борьба за влияние на короля между Годвинами и норманнами. – подробно информировать короля о размерах и распределении богатств земель и доходов его вассалов. Некоторые из этих поместий были непосредственным владением короля остальные он раздавал своим многочисленным вассалам те в свою очередь имели большее или меньшее число субвассалов которые и являлись фактическими держателями поместий. Это объяснялось наличием большого королевского домена особенностью вассальной системы – все рыцари – вассалы короля Солсберийская присяга...
21978. Англия в XVI-XVII вв. 121 KB
  XVI век занимает особое место в истории Англии хмель лавр пиво и реформация пришли в Англию одновременно. Особенности этого периода заключаются в аграрном перевороте совпадавшем с мануфактурной стадией развития капитализма в промышленности что способствовало ускорению генезиса капитализма в Англии. Эти особенности экономического развития наложили свой отпечаток на социальную и политическую историю Англии. в связи с коммутацией в Англии исчезло крепостничество.
21979. Аравия к началу VII в. Арабские завоевания и арабский халифат (VII-X вв.) 87.5 KB
  Завоевания арабов новых территорий сопровождалось перераспределением земельного фонда: к ним перешли земли Хосроев т. Сасанидских царей и земли убитых в сражении дехканов. Остальные земли были присвоены арабской знатью. Так семейство Али – зятя Мухаммеда получило земли в Ираке сыновья халифов Абу Бекра и Омара – тоже в Ираке Омейяды – в Сирии.
21980. Болгария в XIII-XV вв. 62 KB
  как и в предшествующий период основной отраслью хозяйства Болгарии являлось земледелие. Особенно животноводство процветало в ЮгоЗападной Болгарии. Письменные источники упоминают о наличии в Болгарии городов причем большого числа. Во внешнеторговых связях Болгарии главное место было отдано Дубровнику.
21981. История средних веков 54 KB
  Историки эпохи Просвещения рассматривали феодализм как строй господствовавший в средние века в Европе и объясняли его как политическую или правовую систему и выделяли главные черты феодализма – политическую раздробленность папскую теократию; по другой концепции Монтескье Мабли – феодализм – это система феодов и феодальной иерархии. концепции сущности феодализма упорядочились: германисты романисты система государственнополитических институтов марковая вотчинная система ленных связей личных бенефициальных в XX в. – возникла...
21982. Великие географические открытия 75 KB
  захватил царя страны инков Атахуальпу вмешавшись на его стороне в войну между ним и его братом брат погиб потом за Атахуальпу потребовал выкуп и получил золота на 1 1 3 млн. – на 3 млн. – 19 млн. – 23 млн.
21983. Великое переселение народов (II-(375 г.) – VII вв. Варварские королевства 86.5 KB
  Земли населенные ими составляли значительную часть Римской империи. часть свевов переселилась на Пиренейский полуостров. переправилась и часть племени свевов. Испанский автор Идаций писал что в конечном итоге после опустошений и вандалыхасдинги и свевы заняли Галисию причем свевы получили западную часть этой территории аланы – Лузитанию и Картахену а вандалы силинги – Бетику прочие территории Пиренейского полуострова осталась у испаноримлян.
21984. Венгрия, Валашские, Молдавские княжества в IX-XV вв. 71 KB
  замковые люди – зависимые крестьяне. Особую категорию крестьян XIIXIII вв. магнатам принадлежало 33 населения жупов 34 крестьянских хозяйств; средним и мелким феодалам – 39 поселений; церковным феодалам – 121 ; королю – 15 . Происходит унификация категорий зависимых крестьян – исчезают либертины сервы замковые люди и удворники все они теперь частновладельческие крестьяне.
21985. Византийская культура 39.5 KB
  Но для культуры Византии характерно единство – языковое конфессиональное. В Византии были популярны и исторические сочинения. Отличительной чертой системы образования в ранней Византии было сохранение в значительных масштабах античных традиций. В ранней Византии происходило накопление эмпирических знаний по географии навигационному делу ботанике зоологии картографии.