7126

Понятие о вариационных задачах механики

Лекция

Физика

Понятие о вариационных задачах механики Принцип Гамильтона, рассмотренный выше, является одним из, так называемых, вариационных принципов механики. Эти принципы нашли широкое применение в математике, являясь основой вариационного исчисления. Так, на...

Русский

2013-01-16

269 KB

2 чел.

Понятие о вариационных задачах механики

Принцип Гамильтона, рассмотренный выше, является одним из, так называемых, вариационных принципов механики. Эти принципы нашли

широкое применение в математике, являясь основой вариационного исчисления. Так, например, попытаемся найти такую плоскую кривую y=y(x), которая на участке axb реализует экстремум (максимум или минимум) интеграла от заданной функции f(y,y',x), где y'=dy/dx. Эта задача похожа на задачу нахождения действительной траектории среди окольных, которая приводит к принципу Гамильтона, и решается аналогичным способом.

Рассмотрим интеграл  и пусть в плоскости x,y имеется однопараметрическое семейство кривых, проходящих через две точки плоскости (рис.1):

                                 ,                                                (1)

где - произвольный параметр.

                               y                                

               

                                                           y2  

                                           y1

                                       a                 b              x

                                                        Рис.1

Тогда, рассматриваемый определённый интеграл, на отрезке axb будет функцией только параметра , т. е.:

                                             (2)

При некотором значении параметра этот интеграл достигнет экстремального значения. Для функции одной переменной это условие имеет вид:

                                                                                       (3)

Произведём дифференцирование под знаком интеграла (2), учитывая, что x не зависит от :

                                                 (4)

Вычислим второй интеграл в правой части выражения (4), путём интегрирования по частям:

,        (5)

где величины (dy/d)a=( dy/d)b=0, так как все кривые семейства проходят через точки (a,y1) и (b,y2) (рис.1). На основании равенств (5) выражение (4) принимает следующий вид:          

                                   (6)                 

Условие экстремума (3) интеграла (2) будет выполнено только в том случае, когда подынтегральная функция в правой части выражения (6) равна нулю. Так как производная dy/d равна нулю только на концах отрезка [a,b], то, в общем случае, условие экстремума интеграла (2) запишется в виде уравнения:

                                                                (7)

Следовательно, интеграл  будет иметь экстремум только для таких кривых y(x), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (7). Это уравнение похоже на уравнение Лагранжа в форме (26) (Лекция 12).

Рассмотрим пример, заложивший основы вариационного исчисления. Это задача о, так называемой, брахистохроне (линии наибыстрейшего спуска), предложенная и решённая Иваном Бернулли в 1696 г.. Пусть материальная точка, начальная скорость которой V0=0, скользит под действием своего веса по некоторой гладкой кривой, проходящей через две заданные точки (рис.2). Требуется найти такую кривую, чтобы при движении по ней от верхней точки до нижней требовалось наименьшее время.   

                               1             x                    x

                          y              M,t      N  

                                        

                                            P                     2

                          y

                                                    Рис.2               

Используя формулу кинематики V=ds/dt, найдём:

                                                     (8)

Так как силы, действующие на точку, являются потенциальными, то, выбирая оси координат так, как показано на рис.2, запишем закон сохранения механической энергии точки (см. Лекция 6, (37)):

                                 ,                               (9)

где mgy - потенциальная энергия поля силы тяжести в произвольный момент времени t, если линия нулевого потенциала совпадает с осью x. Постоянная в правой части равенства (9) равна нулю, что следует из условия задачи и выбора линии нулевого потенциала. На основании этого из уравнения (9) находим:

                      и                                   (10)

Длина ds элементарной дуги искомой кривой найдётся по формуле:

                             (11)

С учётом равенств (10) и (11), выражение (8) для t1,2 запишется в следующем виде:

                                                                (12)

Следовательно, функция f(y,y',x), в данном случае, не зависит явно от x и равна:

                                                                          (13)

Составим, теперь, уравнение (7), найдя все производные от функции f:

 (14)

Подставив выражения (14) в уравнение (7), приведём его к следующему виду:

                                                               (15)

Таким образом, искомая кривая y(x), реализующая экстремум интеграла (12), должна удовлетворять уравнению (15). Это обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее в явной форме аргумента x. Путём замены y'=u и y''=(du/dy)(dy/dx)= (du/dy)u  приведём уравнение (15) к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:

                                                                     (16)

После разделения переменных и интегрирования получим для функции u2 следующее выражение:

           , или ,                (17)

где С1- первая постоянная интегрирования. Уравнение (17) так же является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделение переменных в этом уравнении и интегрирование приводит к соотношению:

                               ,                       (18)

где С2 - вторая постоянная интегрирования. Интеграл в левой части равенства (18) вычислим путём следующей тригонометрической подстановки:

                                                                     (19)

После подстановки выражения для y (19) в левую часть равенства (18) и приведения подкоренного выражения к синусу и косинусу половинного аргумента, придём к табличному интегралу в левой части этого равенства:

                                                        (20)

Вычисляя интеграл в равенстве (20), получим следующее выражение для координаты x:

                                                       (21)

Соотношения (19) и (21) являются параметрическими уравнениями циклоиды (кривой, которую описывает какая-либо точка окружности при её качении без скольжения по неподвижной плоской поверхности). Постоянные С1 и С2 могут быть найдены из условия, что циклоида проходит через две заданные точки.

ЛЕКЦИЯ 16

Элементы теории малых колебаний механических систем

  1.  Понятие об устойчивости равновесия

Рассмотрим равновесие механической системы под действием сил, имеющих потенциал. Согласно соотношениям (22), (25) (Лекция 12) и, принимая во внимание, что при равновесии системы её кинетическая энергия Т=0, получим:

                                ,                              (1)

где s - число степеней свободы системы. Уравнения (1) являются условиями равновесия механической системы в обобщённых координатах при действии на неё потенциальных сил. В частности, для поля силы тяжести имеем:

             ,                     (2)

где М - масса системы, С - центр масс системы, плоскость нулевого потенциала совпадает с координатной плоскостью xy. Если координату zC выразить через обобщённые координаты, т.е. , то условие равновесия (1), с учётом (2), примет следующий вид:

                                                                   (3)

Это означает, что полный дифференциал функции   равен нулю, т.е.:

                                                                                          (4)

Равенство (4) выражает необходимое и достаточное условия существования экстремума функции . Условия (3) или (4) являются математической формулировкой принципа Торичелли: Если на механическую систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то система будет находиться в равновесии только тогда, когда высота её центра тяжести имеет экстремальное значение. 

Кроме определения положений равновесия системы, большое значение имеет выяснение вида данного положения равновесия. Различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Они различаются по характеру того движения, которое приобретёт система при малых отклонениях точек системы от положения равновесия. Если при малых отклонениях системы от положения равновесия, она через некоторое время снова возвращается в это же положение, то данное положение равновесия будем называть устойчивым. В противном случае, т.е. при удалении системы от данного положения равновесия, оно будет неустойчивым. При этом система, как правило, переходит в другое положение равновесия, которое является устойчивым. При безразличном равновесии малое отклонение системы от этого положения приведёт опять к равновесию системы, но уже в другом, близком к первоначальному, положении равновесия.

Примером устойчивого равновесия может служить покоящийся маятник, а неустойчивого равновесия карандаш, поставленный на столе вертикально. В безразличном равновесии будет находиться однородный шар на горизонтальной поверхности. Наибольший интерес представляет определение устойчивых положений равновесия системы, так как только в этом случае, достаточно малые отклонения системы от этого положения приведут к появлению периодических или колебательных движений точек системы около их положений равновесия, исследование которых имеет большое практическое значение.

Предположим, что в начальный момент времени система с голономными, идеальными связями находилась в равновесии и имела потенциальную энергию П0. Примем положение равновесия точек системы за начало отсчёта их обобщённых координат, т.е. при отклонении системы от положения равновесия обобщённые координаты системы будут увеличиваться. В некоторый момент времени точки системы получили небольшие начальные скорости и система приобрела начальную кинетическую энергию Т0. По закону сохранения механической энергии при t>0 выполняется равенство:

       или                        (5)

Рассмотрим теперь два случая: первый, когда в положении равновесия системы её потенциальная энергия минимальна, т.е. П0min и второй, когда в положении равновесия потенциальная энергия системы максимальна, т.е. П0max. В первом случае, согласно равенству (5), имеем:

                                                            (6)

Из неравенств (6) следует, что при увеличении отклонения системы от положения равновесия, т.е. при увеличении потенциальной энергии системы П, кинетическая энергия системы, а следовательно и скорости точек системы будут уменьшаться до нуля.

Таким образом, если в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, то движение точек системы будет ограничено некоторой замкнутой областью. При этом, чем меньше минимум потенциальной энергии, тем меньше размеры этой области. Отсюда следует, что минимуму потенциальной энергии системы соответствует устойчивое положение её равновесия.

Во втором случае, как следует из равенств (5)

                                                            (7)

Из неравенств (7) видно, что отклонение системы от положения равновесия, т. е. уменьшение потенциальной энергии системы П, приведёт к увеличению кинетической энергии системы Т, а значит и к увеличению скоростей её точек. Значит, в данном случае, области движения точек системы будут с течением времени увеличиваться. Таким образом, если в положении равновесия имеется максимум потенциальной энергии системы, то такое положение равновесия будет неустойчивым.  Строгие доказательства теорем  о необходимых и достаточных условиях устойчивого положения равновесия системы были даны Лежен Дирихле и Ляпуновым. Приведём формулировки этих теорем.

Теорема Лежен Дирихле: Если на механическую систему с идеальными голономными связями действуют потенциальные силы, то те положения равновесия системы, в которых её потенциальная энергия достигает минимума, являются устойчивыми.

Теорема Ляпунова: Положения равновесия системы в поле потенциальных сил, в которых потенциальная энергия системы не достигает минимума, неустойчивы, если отсутствие минимума определяется уже членом второго порядка в разложении потенциальной энергии по степеням малых приращений обобщённых координат. Последняя оговорка в теореме Ляпунова с практической точки зрения не имеет большого значения, так как случаи, когда разложение потенциальной энергии не содержит членов второго порядка (так же, как и членов первого порядка) крайне редки.

Рассмотрим критерии устойчивости равновесия для систем с одной и двумя степенями свободы. Для системы с одной степенью свободы П=П(q) и условие равновесия имеет вид . Если обобщённую координату, соответствующую равновесию системы обозначить через q0, то П(q0)=Пmin, если (d2П/dq2)(q0)>0.

Для системы с двумя степенями свободы П=П(q1,q2). Положение равновесия системы возьмём за начало отсчёта обобщённых координат и примем его за нулевой уровень потенциальной энергии, т.е. при q10=q20=0, П(0,0)=0. Разложим потенциальную энергию в ряд Тэйлора по степеням обобщённых координат в окрестности q10=q20=0, ограничивая его слагаемыми, содержащими квадраты и произведения координат (напомним, что рассматриваются малые отклонения точек системы от их положения равновесия):

        (8)

По условию равновесия системы величины . Величина П(0,0)=0 вследствие выбора нулевого уровня потенциальной энергии. Введём следующие обозначения:

            

         (9)

Тогда, выражение потенциальной энергии системы (8) примет следующий вид:

                                         (10)

Выражение (10) представляет известную в математике квадратичную форму, для которой условие минимума представляется неравенством (критерий Сильвестра):

                                                       (11)

Таким образом, при выполнении условия (11) равновесие механической системы с двумя степенями свободы, находящейся в потенциальном силовом поле, будет устойчивым.

Пример.  Система состоит из однородного стержня ОА весом Р, который может вращаться в плоскости чертежа вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О. Стержень оттягивается гибкой нерастяжимой нитью АВС длиной 2l, переброшенной через неподвижный блок В, к концу С которой присоединён груз весом Q. Блок В и ось вращения стержня О, расстояние между которыми равно 2l,   расположены на одной вертикали. Определить положения равновесия системы и исследовать их устойчивость (рис.1). 

                                               В     

                                             С

                                    2l                 A   

                                             Q 

                                                              h2

                                              Р   h1

                                                        

                                       О

                                                         Рис.1

Найдём необходимые для расчётов геометрические параметры системы при отклонении стержня ОА от вертикального положения:

    (12)

Определим область изменения угла , учитывая, что величина отрезка нити АВ изменяется в пределах . С учётом найденного выражения АВ из формул (12), получим следующий интервал изменения cos:

                                                                               (13)

Найдём потенциальную энергию системы как сумму потенциальных энергий сил тяжести Р и Q, приняв за нулевой уровень энергии горизонтальную плоскость, проходящую через т. О, и выразив её через обобщённую координату , с помощью равенств (12):

                  (14)

Углы  , соответствующие равновесию системы, определятся из условия (1), что приведёт к уравнению:

                                                   (15)

Это уравнение имеет два решения:

               и                       (16)

Из уравнений (16), с учётом области изменения угла  (13) находим:

,     (17)

Причём, при условии выполнения неравенств (13), область значений сил тяжести стержня и груза должна удовлетворять неравенствам:

                                                                (18)

Из неравенств (18) находим необходимые соотношения между силами P и Q:

                                                                              (19)     

Исследуем устойчивость найденных положений равновесия системы. Для этого найдём вторую производную от потенциальной энергии (14) по обобщённой координате   и определим её знак:

                 (20)

Исследуем устойчивость равновесия при 1=0. В этом случае имеем:

                                                               (21)

Из равенства (21) следует, что , если P<4Q и  , если P>4Q. Второй случай (P>4Q) здесь невозможен, так как выходит за пределы допустимой области изменения угла (19). Таким образом, физически возможен только такой вариант, при котором P<4Q, что обеспечивает устойчивость равновесия при =0. Пограничный случай, когда P=4Q, даёт и, согласно теореме Ляпунова, требует проведения дополнительного исследования, так как отсутствие минимума потенциальной энергии не определяется слагаемым второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в степенной ряд по малым углам отклонения стержня ОА от положения равновесия при угле =0.

Перейдём теперь к исследованию устойчивости равновесия системы при угле =2, определяемом равенствами (17). В этом случае имеем:

                                   (22)

Рассмотрим два варианта: (3P2-16Q2)2-64P2Q2>0, что соответствует устойчивому положению равновесия, и (3P2-16Q2)2-64P2Q2<0, что соответствует неустойчивому положению равновесия. Для этого представим числитель выражения (21) в виде полинома четвёртой степени относительно Р и найдём его корни:

 (23)

Этот полином имеет четыре вещественных корня Р1,2=4Q, Р3,4=(4/3)Q. На этом основании представим его в следующем виде:

    (24)

Данный полином будет положительным, если: Р>4Q или Р<4Q, P<(4/3)Q. Эти неравенства не удовлетворяют условиям (17) и не могут быть реализованы. Отрицательный знак полинома (24) будет в том случае, когда:  Р<4Q, Р>4/3Q. Эти неравенства удовлетворяют условиям (17), поэтому равновесие системы при угле =2 будет неустойчивым. Пограничный случай, когда Р=4Q опять требует дополнительного исследования.

ЛЕКЦИЯ 17

2. Малые колебания системы с одной степенью свободы

Для устойчивого положения равновесия системы с одной степенью свободы при значении обобщённой координаты q=q0 имеют место условия:

                                                                (1)

В силу произвольности выбора начала отсчёта обобщённой координаты системы, совместим начало её отсчёта с положением равновесия точек системы, т. е. q0=0. Дадим системе малое отклонение от положения равновесия и сообщим точкам системы малые скорости. Для исследования дальнейшего движения системы с одной степенью свободы запишем одно уравнение Лагранжа в форме (26) (Лекция 12):

                                            (2)

Выразим кинетическую энергию системы через обобщённые скорости и обобщённые координаты по формулам:

            (3)

     ,       (4)

где .

Разложим функцию F(q) в ряд Тэйлора в окрестности точки q0=0:

                                          (5)

Будем определять кинетическую энергию системы с точностью до квадратов малых величин и . Тогда в разложении (5) следует сохранить только первое слагаемое F(0). В этом случае выражение кинетической энергии системы примет следующий вид:

           , где                                          (6)

Выражение кинетической энергии системы (6) в случае её малых колебаний напоминает выражение кинетической энергии материальной точки, в котором скорость точки заменена обобщённой скоростью системы , а масса точки заменена коэффициентом а, который, в данном случае, называется инерционным коэффициентом. 

Разложим теперь потенциальную энергию системы П(q) в ряд Тэйлора в окрестности точки q0=0, ограничивая его слагаемыми второго порядка малости и принимая во внимание равенства (1):

                         (7)

Если потенциальную энергию в точке q0 принять равной нулю, то выражение потенциальной энергии системы вблизи её устойчивого положения равновесия будет внешне похоже на выражение потенциальной энергии упругой или квазиупругой силы (см. Лекция 6, пункт 3, мелкий шрифт). Поэтому по аналогии с потенциалом упругой силы величина с называется квазиупругим коэффициентом или обобщённым коэффициентом жёсткости.

После подстановки выражений кинетической и потенциальной энергий (6) и (7) в уравнение (2), получим дифференциальное уравнение относительно обобщённой координаты:

                                                             (8)

Полученное дифференциальное уравнение аналогично дифференциальному уравнению свободных незатухающих колебаний (см. Лекция 2, (3)). Решение этого уравнения (см. там же) имеет вид:

                                                                     (9)

Уравнение (9) является уравнением гармонических колебаний с циклической частотой  и периодом .

Можно показать, что при малых колебаниях системы с одной степенью свободы каждая точка системы так же будет совершать гармонические колебания около своего положения равновесия с одной и той же частотой . При этом колебания всех точек системы будут происходить в одной и той же фазе.

  1.  Малые колебания системы с двумя степенями свободы

Малые колебания системы с несколькими степенями свободы, в частности двумя, существенно отличаются от рассмотренных выше малых колебаний системы с одной степенью свободы. Это отличие обусловлено тем, что колебания системы по каждой степени свободы оказывают взаимное влияние друг на друга.

Предположим, что для системы с двумя степенями свободы значения обобщённых координат q1=0 и q2=0 определяют устойчивое положение равновесия системы, в котором потенциальная энергия системы П=0. Радиус-векторы и скорости точек системы в декартовой системе координат выражаются через обобщённые координаты и обобщённые скорости по формулам:

              (10)

Кинетическая энергия системы Т равна:

   (11)

Введём обозначения:

 

  (12)

С учётом обозначений (12), выражение кинетической энергии (11) примет следующий вид:

                                                   (13)

Так же как и в предыдущем случае (раздел 2) разложим функции F1, F2, F3 в ряды Тэйлора в окрестности нулевых значений обобщённых координат. Поскольку будем определять кинетическую энергию системы с точностью до квадратов малых величин (обобщённых координат и скоростей), то в этих рядах сохраним только первые члены, которые обозначим соответственно:

                          (14)

С учётом обозначений (14) перепишем выражение кинетической энергии системы (13) в следующем виде:

                                                (15)

Потенциальную энергию системы с двумя степенями свободы запишем в виде соотношения (10), (Лекция 16):

                                       (16)

Как и ранее назовём постоянные коэффициенты  инерционными коэффициентами, а постоянные коэффициенты  квазиупругими коэффициентами. Для исследования движения системы с двумя степенями свободы составим два уравнения Лагранжа вида (26), (Лекция  12):

                         (17)

Подстановка выражений кинетической (15) и потенциальной (16) энергий системы в уравнения (17) приведёт их к системе дифференциальных уравнений малых колебаний:

                                           (18)

Будем искать решение системы уравнений (18) в таком же виде как и в случае малых колебаний системы с одной степенью свободы , т. е.:

            ,                  (19)

где А, В, к и   постоянные величины. Подставим эти выражения обобщённых координат q1 и q2 в уравнения (18). В результате придём к следующей системе тождеств:

   (20)

Так как тождества (20) имеют место для любого момента времени, то  , в этом случае, сумма коэффициентов при функции sin(kt+) в левой части этих тождеств , будет равна нулю. В результате придём к следующей системе алгебраических уравнений:  

                                          (21)

Если систему уравнений (21) рассматривать как линейную систему относительно постоянных А и В, то эта система будет иметь решение отличное от нуля только в том случае, когда определитель этой системы будет равен нулю. На этом основании получим уравнение для определения циклической частоты колебаний к:

                         (22)

Можно показать, что это уравнение является биквадратным с двумя вещественными положительными корнями. Для других корней решение дифференциальных уравнений (18) не будет иметь вид (19), что противоречило бы характеру движения механической системы около устойчивого положения равновесия. Таким образом, получим две пары частных решений дифференциальных уравнений (18), соответствующих вещественным положительным корням к1 и к2 биквадратного уравнения (22):

                 (23)

Колебания системы, определяемые частными решениями (23) дифференциального уравнения (18), называются главными колебаниями, а их частоты к1 и к2 называются собственными частотами системы. При этом собственная частота к1 всегда меньше собственной частоты к2. Колебание системы с частотой к1 называется первым главным колебанием, а колебание системы с частотой к2  вторым главным колебанием.

Из системы уравнений (21) видно, что постоянные А и В пропорциональны, т. е.:

                                                                                              (24)

Каждой паре амплитуд А11 и А22 будет соответствовать своё значение коэффициента n, который называется коэффициентом формы. Так как дифференциальные уравнения (18) являются линейными, то сумма частных решений этих уравнений для каждой обобщённой координаты будет их общим решением:

                        (25)

В выражении (25) постоянные А1, А2, 1 и 2 определяются из начальных условий задачи.

Пример. К телу массой М, находящемуся на гладкой, горизонтальной плоскости, прикреплена горизонтально расположенная пружина жёсткостью с. К этому же телу прикреплён маятник массой m на нити длиной l. Найти собственные частоты данной системы (рис.1).  

                                                                               

                                             x1 

                                   O                   M    x2    x

                                  

                                                  m

                                            y2        

                                                   

 Система, показанная на рис.1 имеет две степени свободы. Её положение в пространстве полностью определяется двумя независимыми координатами: линейной координатой x1, определяющей положение тела массы M на горизонтальной плоскости, и угловой координатой , определяющей положение маятника массы m по отношению к телу. Примем эти координаты за обобщённые.

На данную систему наложены следующие связи: гладкая горизонтальная плоскость, пружина, и гибкая, нерастяжимая нить. Так как пружина не является идеальной связью (элементарная работа упругой силы пружины не равна нулю на возможных перемещениях системы), то освободимся от этой связи, включив упругую силу в число активных сил. Все активные силы, действующие на систему (силы тяжести тела и маятника, упругая сила пружины), являются потенциальными силами.

Определим кинетическую и потенциальную энергию системы, выразив их через обобщённые координаты и обобщённые скорости. Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии тела массы M, совершающего поступательное движение по горизонтальной плоскости со скоростью , и кинетической энергии маятника массы m совершающего сложное движение со скоростью , т.е.:

                                                                            (26)    

Проще всего эту скорость определить координатным способом, выразив декартовы координаты маятника x2 и y2 через обобщённые координаты x1 и , а затем , продифференцировав выражения декартовых координат по времени. На основании вышеизложенного и рис.1, запишем:

                                            (27)

                           (28)

       (29)    

Таким образом, для кинетической энергии системы (26), получим выражение:

                               (30)

Найдём потенциальную энергию системы, которая равна взятой со знаком минус сумме работ потенциальных сил при перемещении их точек приложения из точек нулевого потенциала в данные точки поля (см. Лекцию 6). Потенциальная энергия П1 силы тяжести равна нулю, так как её точка приложения перемещается по горизонтали и работа силы тяжести А1=0. Для определения потенциальной энергии П2 силы  примем, что точки нулевого потенциала расположены на горизонтальной плоскости, проходящей через нижнее вертикальное положение маятника. В этом случае работа по перемещению  маятника из наинизшего положения в произвольное, показанное на рис.1, равна А2=-mg(l-lcos). Значит  П2=mg(l-lcos).

При определении потенциальной энергии упругой силы пружины П3 возьмём точку нулевого потенциала в конце недеформированной пружины. Эта точка О совпадает с началом отсчёта обобщённой координаты x1 (рис.1). Работа А3 по перемещению точки приложения упругой силы из т. О в произвольное положение, показанное на рис.1, определяется в соответствии с формулой (28) (Лекция 6), где начальная деформация пружины, а конечная деформация. На этом основании имеем: А3=-сx12/2, П3x12/2. Сложив все найденные выражения потенциальных энергий активных сил, найдём потенциальную энергию системы:

                                            (31)

Приведём теперь выражения кинетической энергии (30) и потенциальной энергии (31) системы, соответственно, к виду (15) и (16). Для этого достаточно функцию разложить в степенной ряд в окрестности нуля. В выражении кинетической энергии (30) следует удержать только первый член ряда, т. е. единицу, а в выражении потенциальной энергии (31) удержать два члена ряда, т. е. . После этого выражения кинетической и потенциальной энергий системы примут следующий вид:

                              (32)

                                                 (33) 

    Найдём значения инерционных коэффициентов и  квазиупругих коэффициентов , используя выражения (15), (16), (32) и (33):  

                                    (34)

Подставив найденные значения коэффициентов в систему уравнений (18), получим следующую систему дифференциальных уравнений:

                                                       (35)

Решение данной системы линейных уравнений ищем в виде (19), т. е.:

                            (36)

Подставляя искомые функции (36) в систему уравнений (35), и учитывая, что постоянные интегрирования А1 и А2 не равны нулю, получим биквадратное уравнение для определения собственных частот системы:

                                   (37)

     

                

 

ЛЕКЦИЯ 18

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА

  1.  Мгновенные силы. Действие мгновенной силы на материальную точку

Под явлением удара будем понимать весьма кратковременное механическое взаимодействие тел с очень большими силами взаимодействия, в результате которого происходит конечное изменение скоростей взаимодействующих тел, без заметного изменения их взаимного расположения в процессе взаимодействия. Рассмотрим явление удара на процессе столкновения двух биллиардных шаров.

Представим себе покоящийся шар, о который ударяется другой шар, движущийся с некоторой скоростью. Столкнувшись, шары находятся в соприкосновении в течение ничтожно малого времени, которое называется временем удара. За это время они, практически, не изменяют своего взаимного расположения, а затем  отскакивают один от другого. С момента первого соприкосновения между шарами начинают действовать силы взаимодействия, которые продолжают действовать во всё время удара, изменяясь от нуля до максимума и опять до нуля.

Экспериментальные исследования показывают, что обычно время удара измеряется тысячными и даже десятитысячными долями секунды. За это время величины ударных сил могут достигать очень больших величин и превосходить в сотни и тысячи раз вес ударяющего тела. Такие силы, которые, действуя в течение ничтожно малого промежутка времени, достигают очень больших величин, называются мгновенными или ударными силами.

Что бы дать оценку величины мгновенных сил, рассмотрим явление удара применительно к материальной точке. Пусть в некоторый произвольный момент времени t на точку, кроме обычных сил, начинает действовать мгновенная сила в течение времени . Обозначив скорость точки в момент t через , а скорость в момент t +  через , запишем для неё теорему об изменении количества движения (Лекция 5, (3)):

                         ,                                  (1)

где полный импульс обычных сил, а импульс мгновенной силы.

Полный импульс обычных сил запишем в форме (8) (Лекция 5), т. е. . При ничтожно малых значениях времени удара величина вектора   так же ничтожно мала, и в равенстве (1) ей можно пренебречь. Это значит, что заметное изменение количества движения точки при ударе может произойти только за счёт действия мгновенных (ударных) сил. Полный импульс мгновенной силы так же представим через её среднее значение, и, с учётом вышеизложенного, перепишем равенство (1):

                                                            (2)

Так как левая часть равенства (2) является конечной, то чтобы и правая часть этого равенства была конечной, необходимо, чтобы среднее значение мгновенной силы  было пропорционально величине обратной времени удара , т. е. . Отсюда видно, что за ничтожно малое время удара среднее значение ударной силы может достигает значительных величин.

Так как ударные силы достигают очень больших величин и могут изменяться в широких пределах за время удара, то в качестве меры взаимодействия тел при ударе удобнее пользоваться не самими ударными силами, а их импульсами. Импульсы ударных сил (ударные импульсы) определяются обычным способом (см. Лекция 5, (5) или (8)), например:

                                                                         (3)

Если на точку действует несколько ударных сил, то теорему об изменении количества движения точки можно записать в следующем виде:

                                                                         (4)

Равенство (4) читается: Изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме ударных импульсов сил, действующих на точку. Уравнение (4) является основным уравнением теории удара и имеет такое же значение в теории удара, как основное уравнение динамики точки при изучении её движения под действием обычных сил.

  1.  Общие теоремы динамики в теории удара

а) Теорема об изменении количества движения системы

В Лекции 7 была получена теорема об изменении количества движения системы, записанная в дифференциальной форме (уравнение (4)). Эта же теорема имеет место и в теории удара. Однако, как было сказано выше, в теории удара мерой взаимодействия тел являются не ударные силы, а ударные импульсы. Поэтому в теории удара теорему об изменении количества движения системы удобно записывать в интегральной форме. Для этого левую и правую части уравнения (4) (Лекция 7) умножим на дифференциал времени и возьмём интегралы с переменными верхними пределами от его левой и правой части:

                              

В результате интегрирования, принимая во внимание определение импульса силы (Лекция 5) и пренебрегая импульсами обычных сил по сравнению с импульсами ударных сил, получим:

                                                               (5)

где через обозначены импульсы внешних ударных сил.

б) Теорема моментов

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Обозначим векторную сумму внешних ударных импульсов, действующих на каждую k-ю материальную точку через , а векторную сумму внутренних ударных импульсов, действующих на эти же точки, через . Затем, применим равенство (4) к каждой k-й точке системы, умножив векторно его левую и правую части на радиус - векторы точек системы:

          (6)

Слагаемые, находящиеся в левой части равенства (6) представляют моменты начального и конечного количеств движения точек системы относительно некоторого неподвижного центра О, принятого за начало координат. Слагаемые, находящиеся в правой части этого же равенства, по аналогии, можно назвать моментами внешних и внутренних ударных импульсов.

Просуммировав левую и правую части равенств (6) по всем точкам системы, и вспоминая определение кинетического момента системы относительно центра (Лекция 7, раздел 2, пункт 2), получим:

          ,                         (7)

где вектор кинетического момента системы относительно данного центра в начальный момент времени, вектор кинетического момента системы относительно данного центра в конечный момент времени; через  обозначены моменты внешних ударных импульсов относительно данного центра, а через  обозначены моменты внутренних ударных импульсов относительно данного центра.

По свойству внутренних сил , поэтому равенство (7) примет следующий вид:  

                                               (8)

Данное соотношение представляет теорему моментов в теории удара, которая читается: Изменение за время удара вектора кинетического момента системы относительно данного центра равно сумме моментов импульсов всех внешних ударных сил относительно того же центра.

  1.  Коэффициент восстановления

Значение ударного импульса, возникающего при соударении двух тел, зависит не только от их масс и скоростей до удара, но и от упругих свойств соударяющихся тел. Эти свойства при ударе характеризуются величиной, называемой коэффициентом восстановления. Рассмотрим процесс соударения шара с неподвижной, жёсткой, горизонтальной плитой при его вертикальном падении на плиту (рис.1).

                                                   n

                                                  

                                                          

                                                   

                                                

                                                       

                                                          Рис.1

Считаем, что движение шара до соударения и после соударения с плитой является поступательным (прямой удар). В этом случае процесс соударения можно разделить на две стадии. На первой стадии скорости точек шара убывают от V1, в момент его соприкосновения с плитой, до нуля. При этом шар деформируется, и вся его начальная кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию шара (часть кинетической энергии переходит в тепло, т. е. рассеивается, часть идёт на необратимые пластические деформации, а часть переходит в потенциальную энергию упругих сил).

На второй стадии удара происходит восстановление или частичное восстановление формы шара под действием упругих внутренних сил. При этом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения частиц шара. В конце второй стадии все частицы шара приобретают скорость , направленную вверх. Поскольку часть начальной кинетической энергии шара теряется, то численно .

Величина k, равная при прямом ударе тела о неподвижную преграду отношению модулей скоростей тела в конце удара и в начале удара, называется коэффициентом восстановления, т. е.:

                                                                                       (9)

Значения k определяются экспериментально для каждой пары тело - преграда. Для выяснения зависимости коэффициента k только от свойств данного материала, испытуемое тело и преграда должны быть сделаны из одинакового материала.

В качестве предельных случаев соударения тел рассматриваются случаи абсолютно упругого удара (k=1) и абсолютно неупругого удара (k=0). При абсолютно упругом ударе не происходит потери кинетической энергии тела, а при абсолютно неупругом ударе этот процесс заканчивается на первой стадии, т. е. вся начальная кинетическая энергия тела идёт на его необратимую деформацию и нагревание.

  1.  Удар тела о неподвижную преграду

Рассмотрим процесс удара шара массой m о неподвижную преграду (плиту), показанный на рис.1. Ударной силой, действующей на тело, будет реакция плиты . Ударный импульс этой силы обозначим через . Если нормаль n к поверхности тела, проведённая через точку его касания с поверхностью плиты, проходит через центр масс тела, то такой удар называется центральным. Для однородного шара это условие всегда выполняется. Если в начале удара скорость центра масс тела  направлена по нормали к поверхности плиты, то удар будет прямым, в противном случае  косым.

 1) прямой удар. Примем тело (шар) за материальную точку и запишем для него уравнение (4) в проекции на нормаль n (рис.1):

                                                            (10)

Используя соотношение (9), выразим  конечную скорость шара  через начальную скорость :

                                                                                            (11)

Из системы уравнений (10), (11) найдём ударный импульс:

                                                                                 (12)

Зная ударный импульс  и время удара , которое можно определить экспериментально, найдём среднее, за время удара, значение ударной силы (в данном случае реакции плиты N). Для этого используем равенство (3), заменив в нём на  и записав его в скалярной форме:. Подставив в это соотношение значение  из (12), получим для среднего значения силы реакции плиты следующее выражение:

                                                                            (13)

Из соотношения (13) следует, что при прямом ударе тела о неподвижную преграду среднее значение силы реакции преграды прямо пропорционально начальному количеству движения тела и обратно пропорционально времени удара. Кроме того, среднее значение силы реакции преграды пропорционально коэффициенту восстановления k.

2) косой удар. Рассмотрим процесс соударения шара и жёсткой, неподвижной преграды (плиты), показанный на рис.2.                                                    

                                                 n 

                                                         

                                                          

                                                         

                                                                             

                                                

                                                                  

                                                          Рис.1

В начальный момент времени скорость шара образует с нормалью к плите угол , который называется углом падения, а в конце удара угол , называемый углом отражения.

Спроектируем левую и правую части векторного уравнения (4) на касательную и нормаль к поверхности плиты (рис.2):

                                                   (14)

Определим коэффициент восстановления k как отношение модулей проекций на нормаль конечной и начальной скоростей шара, поскольку удар происходит только по направлению нормали к поверхности плиты. Таким образом, имеем:

                                                                                      (15)

Определив из соотношения (15) модуль конечной скорости (), и подставив это выражение в первое из равенств (14), найдём:

                                                                                               (16)

Так как k<1, то < , т. е. угол падения всегда меньше угла отражения. При коэффициенте восстановления равным единице (абсолютно упругий удар) угол падения равен углу отражения. Этот результат имеет место при отражении света, если принять его корпускулярную теорию, поскольку при отражении света не происходит потери скорости.

Из первого соотношения (14) следует так же, что проекции конечной и начальной скоростей точки на касательную к поверхности плиты одинаковы, т. е. . Приравнивая друг к другу правые части соотношений (15) и (16), с учётом того, что числитель и знаменатель дроби в (15) представляют модули проекций соответствующих скоростей на нормаль, получим следующий результат:

          

                                                                           (17)

Исключив конечную скорость  из второго равенства (14) и соотношения (15), найдём ударный импульс силы реакции плиты:

                                                    (18)

При угле падения =0 (прямой удар) формула (18) переходит в формулу (12), полученную ранее для случая прямого удара. Точно так же, как и ранее в п.1, может быть определена средняя сила реакции плиты.

Самостоятельно по учебнику С.М. Тарга Краткий курс теоретической механики, изд. 1986г. предлагается рассмотреть раздел "Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)", §155, стр. 401 - 403.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48673. Модель регулятора уровня жидкости 99 KB
  Подводящая и отводящая труба – объекты одного класса TTube. Верхний и нижний датчик – объекты одного класса TSensor. Поэтому вводится понятие модели объект Relity класса TRelity. При этом отпадает необходимость в наличии класса TSignl.
48674. Определение стоимости поставок товара на склад 501 KB
  Структура проектируемой базы данных. Создание базы данных программными средствами. Создание базы данных Создание модуля данных
48676. Исследование прохождения сигналов через линейную электрическую цепь 417.5 KB
  Произвести нормирование параметров и переменных цепи. Составить уравнения состояния цепи. Определить переходную характеристику цепи для реакции используя: а аналитический; б численный расчет. Оценить время переходного процесса в цепи по 5 критерию от .
48678. Расчет концентраций и расходов исходной и очищенной газовой смеси и количество поглощаемого СО2 279 KB
  VG н м3 ч Степень поглощения ψ Размеры колец Рашига характеристический размер N мм Коэффициент избытка поглотителя r Отношение скорости газа к скорости захлёбывания n Абсорбтив Вещество Молекулярная масса M кг кмоль Степень поглощения ψ Молярный поток абсорбтива на входе газовой фазы n н кмоль с Молярный межфазный поток Δn кмоль с Молярный коэффициент распределения m кмоль кмоль Абсорбат Вещество G Молекулярная масса MG кг кмоль Молярная доля на входе низ колонны yn н мол. доля Относительная молярная доля на входе низ колонны Yn н...
48679. Основи теорії кіл. Методичні вказівки 1.31 MB
  Технічне завдання на проектування фільтру та графік виконання курсової роботи. За технічним завданням необхідно виконати синтез і аналіз двох типів фільтрів: фільтру нижніх частот або верхніх частот а також смугового або загороджувального фільтру. Смуга частот яка призначена для виділення частотних складових спектру сигналу називається смугою пропускання фільтру.1 Класифікація і частотні характеристики електричних фільтрів Частотновибіркові властивості фільтру прийнято характеризувати частотною залежністю його комплексного коефіцієнта...
48680. Цифровые системы передачи непрерывных сообщений. Методические указания 488 KB
  Основная задача курсовой работы – закрепление навыков расчёта характеристик системы передачи непрерывных сообщений цифровыми сигналами. Содержание работы Исходными данными для выполнения работы являются: 1 статистические характеристики сообщения; 2 допустимое значение относительной среднеквадратичной ошибки искажений сообщения при его преобразовании в цифровую форму и действии помех; 3 вид модуляции сигнала во второй ступени. С учётом заданного вида модуляции сигнала определить его параметры характеризующие форму и требуемое...
48681. Исследование характеристик линейных электрических цепей 2.58 MB
  Задание к курсовой работе Нормирование параметров и переменных цепи Определение передаточной функции цепи Hs Расчет частотных характеристик цепи Hj Определение переходной h1t и импульсной ht характеристик Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе Определение спектра периодического входного сигнала Приближенный расчет реакции при...