7148

Основное уравнение передачи по световоду

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Основное уравнение передачи по световоду. Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис...

Русский

2013-01-17

81 KB

7 чел.

Основное уравнение передачи по световоду.

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1

  

                                             b

                       n2  n1          a

                           Рис. 1

Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0<r<a) и в оболочке (a<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле.

Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа , скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики - уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:

                                        (1)

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:

                  (2)

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Еz и Hz.  Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду

.

Тогда, используя соотношение  , а также учитывая, что divH=0, получим

,

где - волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим   .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez и Hz удовлетворяют уравнениям

Где  -  оператор Лапласа.

,

Тогда для продольных составляющих Ez и Hz в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

            (3)

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. , где А - любая составляющая векторов Е или Н; j- коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся

.

Для составляющей Еz

.  

Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим

Введем обозначение  - поперечное волновое число световода.  Тогда для сердечника световода имеем

          (4)

где  (без учета затухания) - поперечное волновое число сердечника; k1 - волновое число сердечника с коэффициентом преломления n1,  .

Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода - функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать

                 (5)

где Аn и Вn - постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Еr имеем

 

Возьмем производную от второго выражения по

Учитывая, что , а  , то

Тогда

   или  

Подставим данное выражение в уравнение для Еr

 или

.

Окончательно получим       .

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля

Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные

Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что , имеют вид (множитель не пишем):

      (6)

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

где  (без учета затухания) - поперечное волновое число оболочки световода; k2 - волновое число оболочки с коэффициентом преломления n2, .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при  поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода - функции Ганкеля:

где Сn , Dn - постоянные интегрирования.

Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:

     (7)

Постоянные интегрирования Аn, Вn, Сn, Dn могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):

               

               

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

 (8)

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63193. Узагальнення знань за темою «Київська Русь наприкінці X — у першій половині XI ст.» 8 MB
  Мета: повторити та узагальнити матеріал, вивчений учнями з теми «Київська Русь наприкінці X - у першій половині XI ст.», підготуватися до тематичного оцінювання; розвивати в учнів уміння аналізувати та узагальнювати історичні факти...
63196. Київська Русь за наступників Ярослава 33.25 KB
  Мета: формувати в учнів уявлення про внутрішнє і зовнішньополітичне становище Київської Русі після смерті Ярослава Мудрого за правління Ярославичів; розвивати в учнів уміння працювати з джерелами інформації аналізувати...
63197. Право власності 26.77 KB
  Мета: пояснити зміст права власності; розповісти про те як дитина стає власником і як вона може розпорядитися майном яке їй належить; навчити аналізувати правові ситуації на підставі окремих положень цивільного законодавства...
63198. Київська Русь за Володимира Мономаха 25.89 KB
  Мета: характеризувати процес посилення великокнязівської влади за Володимира Мономаха та довести що за його правління Київська Русь зазнає періоду піднесення; розвивати в учнів уміння давати характеристику історичному...
63200. Роздробленість Київської Русі, політична роздробленість 27.35 KB
  Сизначати причини роздробленості Київської Русі її сутність та наслідки; розвивати в учнів уміння встановлювати причинно-наслідкові звязки працювати з джерелами інформації аналізувати історичний матеріал...
63201. Захист особистих немайнових і майнових прав 28.06 KB
  Мета: сформувати в учнів поняття про особисті немайнові та майнові права навчити їх розрізняти; розвивати вміння аналізувати ситуації і правильно їх оцінювати; виховувати в учнів розуміння цінності особи необхідності поваги і дотримання її прав.