71529

Основные периоды истории математики

Конспект

Математика и математический анализ

Периодизация истории математики часто проводится по странам общественноэкономическим формациям наиболее выдающимся открытиям. Колмогоровым периодизации основанной на оценке содержания математики: ее важнейших идей методов и результатов.

Русский

2014-11-08

272.5 KB

48 чел.

Основные периоды истории математики

В развитии математики необходимо различать отдельные периоды. Периодизация истории математики часто проводится по странам, общественно-экономическим формациям, наиболее выдающимся открытиям. Мы будем следовать предложенной А.Н. Колмогоровым периодизации, основанной на оценке содержания математики: ее важнейших идей, методов и результатов.

В истории развития математики академик АН СССР А. Н. Колмогоров выделяет четыре основных периода: 1) зарождения математики, 2) элементарной математики, 3) создания математики переменных величин и 4) современной математики.

Намечая эти периоды, мы отнюдь не хотим ввести в историю математики какие-то грани, строго отделяющие один период от другого, но общее развитие культуры, обусловленное экономическим и социальным развитием человечества, вносило в каждую историческую эпоху свои особые черты, которые были присущи и любой отдельной отрасли этой культуры.

Первый период — период зарождения математики — мы, со своей стороны, делим на две эпохи: 1) предысторию математики и 2) эпоху накопления первых математических знаний.

Предыстория математики — это те времена, когда человечество создавало первые основные математические понятия,, но от которых не осталось никаких вещественных следов: ни записей, ни архитектурных и скульптурных памятников и пр. В этот период, самый большой в истории развития математики, человечество постепенно выработало понятие о натуральном числе, приемы счета и познакомилось с простейшими геометрическими образами.

К эпохе накопления первых математических знаний мы относим те времена, когда у человечества уже сформировались определенные общественные группировки, которые можно рассматривать как древнейшие государства. В этот период уже появляются записи чисел, арифметические операции над ними, устанавливаются некоторые практические сведения из геометрии и решаются простейшие задачи алгебраического характера. Однако математические записи не сопровождаются обобщениями и не имеют строгого теоретического обоснования.

Следующий исторический этап развития математики — период элементарной математики VI в. до н. э. до XVII в. н. э.) — можно было бы назвать также периодом развития учения о постоянных величинах. Его характерной особенностью является то, что добытые человечеством практические сведения из области математики получают теоретическое обоснование. В этот период постепенно оформляются основные разделы элементарной математики: арифметика, геометрия, алгебра и тригонометрия.

В период создания математики переменных величин (XVIIXIX вв.) в математику входит переменная величина на базе учения о бесконечно малых величинах и создаются новые разделы математики — аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, а также теории вероятностей.

На современном этапе развития математики (XIX-XX вв.) произошли коренные изменения во всех важнейших областях математики: алгебре, геометрии, мат. анализе.

Эпоха накопления первых математических знаний (Математика древних государств Востока: Египет, Вавилон, Китай)

Перейдем к описанию математики тех времен, от которых дошли до нас первые письменные свидетельства или достаточно достоверные сведения о них.  Упомянутые свидетельства (или, как мы их будем иногда называть, источники) являются частью истории стран, обладавших древними цивилизациями.

На обширных пространствах, где в наше время располагаются Китай, Индия, страны Среднего и Ближнего Востока, а также прибрежные государства средиземноморского бассейна, т. е. в полосе, где природные условия особо благоприятны для жизни людей, издавна существовали государственные формирования общественно-экономической жизни человеческих обществ. Уровень их экономического развития и административного устройства повышался раньше и быстрее, чем у других народов, живших в более суровых условиях. Развитие экономики сопровождалось относительно более быстрым ростом культуры и образованности. Об этом можно судить не только по дошедшим до нас прекрасным архитектурным, техническим памятникам, произведениям искусства, но и письменным памятникам. Среди последних сохранились (чаще всего в пересказах) такие, что были посвящены целиком или в значительной степени трактовке математических задач или даже теоретических проблем математики.

Примем следующий порядок описания этого материала:

источники, их датировка и место появления;

социально-экономическая обстановка, относящаяся к источникам;

сжатый обзор содержания источников;

общие выводы и заключения.

Материал будем группировать по месту происхождения, называя эти части условно: Египет, Вавилон (государства, располагавшиеся на территории современного Ирака, и соседние территории), Китай и Индия.

Начнем с описания источников. То, что нам известно о математике Древнего Египта, почерпнуто из рукописей, написанных черной и красной красками на папирусе — бумаге, выделанной из нильского тростника. Таких рукописей дошло до нас только две, если не считать еще нескольких коротких отрывков. Одну из рукописей, самую большую (размерами 5,5 X 0,35 м) называют папирусом Райнда, по имени английского египтолога, приобретшего ее в Египте. Находится эта рукопись в Лондоне, в Британском музее. Другой папирус, примерно такой же длины, но более узкий (около 0,03 м), находится в Москве, в Музее изобразительных искусств. Оба папируса датируются эпохой Среднего царства (около 2000 лет до н. э.). Вообще-то папирусов сохранилось довольно много,  но других математических — нет.

Документальной основой, позволяющей изучать математическое наследие Древнего Вавилона, являются глиняные таблички, на которых палочками выдавливался текст. Значки (буквы, цифры) были похожи на клинья, отчего вавилонское письмо называется клинописным. После нанесения текста таблички обжигали на огне, что придавало им прочность и долговечность. Всего сохранилось около 100 тысяч табличек. Однако табличек с текстами математического содержания известно лишь около 50, а математических таблиц, не содержащих словесных пояснений,— около 200. Временной интервал, к которому можно отнести клинописи, очень широк: от XX до II в. до н. э.

Все суждения о математике Древнего Китая опираются на единственный источник: сборник сочинений, в большинстве анонимных, с общим заголовком «Десять классических трактатов по математике», или «Десятикнижие». Издан этот сборник был в VIVII вв. н. э. В нем указано, что трактаты составлены были в основном во II в. до н. э. и что они в свою очередь являются обработкой более древних текстов.

Самыми ранними памятниками математических достижений народов Индии являются научно-религиозные сочинения: сутры и веды. В них математические сведения переплетены с астрономическими, изложение имеет религиозный оттенок и своеобразную стихотворно-легендарную форму. Написаны эти сочинения на давно уже умершем языке — санскрите. Традиция их написания восходит к VIIIVII вв. до н. э., а может быть, и к более раннему периоду времени.

Много различий можно увидеть в этих источниках: различные системы счисления, символика, манера преподнесения. Но, несмотря на все различия, есть во всех источниках общее: их практическая направленность. Например, унифицированный древнекитайский источник составлен так, что части, его составляющие, или книги, оформлялись в виде отдельных свитков. Их содержание было специализировано по роду предстоящих читателю занятий: сборщиков налогов, землемеров, руководителей землекопных и строительных работ, астрономов-наблюдателей. Позднейшие дополнения вносились в сборник, располагаясь по принципу единства тематики задач, а не логики математических доказательств.

В двух египетских математических папирусах содержится более 100 задач, посвященных вычислениям площадей фигур и объемов тел, а также операциям с дробями. Подбор задач и форма их преподнесения свидетельствуют о том, что, по всей вероятности, папирусы служили своеобразным учебно-справочным пособием. Ярко выражена вычислительная и измерительная проблематика в табличках Древнего Вавилона. Поскольку в математике Вавилона преобладала 60-ричная система счисления, то для облегчения вычислений и для справок существовали вспомогательные, не сопровождающиеся пояснениями таблицы умножения, а также таблицы значений типичных выражений, к которым приводили решения задач, например значения чисел вида п2+п при п =1, 2, 3, ... и др. Математические сведения в индийских сутрах и ведах были сгруппированы вокруг архитектурных проблем и астрономических сведений. Ни в одном из источников нет теорем, доказательств, есть только указания рецептурного типа, а в индийских источниках нередко нет даже пояснений или рецептов, просто чертеж и слово «смотри».

Все изложенное дает нам основание утверждать, что в различных странах, обладающих древними цивилизациями, происходил по существу общий процесс накопления конкретного математического материала: освоение вычислительной техники, способов определения размеров геометрических площадей и тел, отработка удобной символики. Процесс этот явным образом подчинялся внематематическим определяющим мотивам, непосредственным образом служил целям, вызываемым нуждами экономики и государственного устройства общества.

Малочисленность и отрывочность источников, оставшихся от стран древних цивилизаций, разъединенность их по времени и по месту нахождения друг от друга делает затруднительным, а чаще невозможным конкретное, детальное воссоздание путей последовательного совершенствования математических знаний в такие далекие времена. В более позднее время, в пору колонизации, т. е. грабежей и порабощения, были уничтожены почти все памятники культурной жизни коренных обитателей континентов Америки, Африки, Австралии, многих других стран. Сильно пострадала от нашествий захватчиков и наша Родина.

История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества происходит под воздействием единых мотивов экономического развития. Это влияние сказывается в области математики, во множественности источников ее возникновения. Математика возникла и формировалась как наука во многих странах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собою, казалось бы, не связанных.

При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение математики из практической деятельности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний, образование логически последовательной системы абстракций, применение последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осуществления общих закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели много различий и особенностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы составить адекватное представление о путях и перспективах развития математических наук.

В применении к рассматриваемому периоду развития математики отметим, что накопление конкретных сведений как численного, так и геометрического характера создало следующие предпосылки для формирования математических теорий:

а) возможность предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами). На более поздней ступени это привело к развитию числовых систем и геометрических построений;

б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей более общего вида, решаемой по определенным правилам, охватывающим большую совокупность частных случаев. Так появляются первичные формы общих алгоритмов и связанных с ними математических исчислений.

Когда упомянутые предпосылки оказываются действующими в заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математических приемов, тогда появляются основания говорить о начале существования математики как науки.


Период элементарной математики

Общая характеристика периода

Период элементарной математики продолжается от VIV вв. до н. э. до XVI в. н. э. Он характеризуется изучением математики постоянных величин.

Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметические вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что этот процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически  последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа оказывается, как будет видно из дальнейшего, весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относится к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Даже в наше время, когда их реальное содержание и практическая польза общепризнаны, эти математические понятия воспринимаются начинающими не без труда и обычно только в результате систематического школьного обучения. Естественно, что их формирование потребовало от человечества больших усилий.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. французским математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии как плоской, так и сферической.

Период элементарной математики заканчивается (в Западной Европе в начале 17 в.), когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.  Естественно,  что этот переход был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в математике Древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости.  Но, например, представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + °°, и тригонометрических функциях от такого аргумента возникает только в  16 в. (у  Виета). Греческие математики (особенно  Архимед) подходят к идеям анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский ученый С. Стевин). Таким образом, весь период до 17 в. остается в основном периодом элементарной математики.

Начало рассматриваемого периода развития математики (греческая, эллинистическая и римская математика - ионийская, пифагорейская школы, Академия Платона, Ликей Аристотеля) относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая половина — к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Европе). После бурного расцвета греческая и эллинистическая математика, все более отрываясь от практики в условиях господства рабовладельческих  отношений и подчиняясь ограничительным тенденциям идеалистической философии, приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехникескими сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных: геодезических работах и более практическими тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона математики.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской математики оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к математике со стороны инженеров,  строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми, задач и более смелое развитие теории.

Математика в Древней Греции

В Древней Греции математика преобразовалась в абстрактную дедуктивную науку.

Характерная черта греческой математики заключается в переходе от одного предложения к другому с помощью доказательства. Так, если раньше решались задачи, как вычислить площадь треугольника или круга, то теперь обсуждается, как доказать результат. В Древней Греции появились первые математические теории.

Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, наука об общих свойствах операций с натуральными числами. Была разработана теория делимости, рассмотрены арифметические и геометрические прогрессии, отыскивались пифагоровы тройки чисел, удовлетворяющих условию а2 +b 2 = с2.

Одним из главных результатов греческой математики было открытие несоизмеримости. На основе теоремы Пифагора было показано, что диагональ а квадрата со стороной, равной единице, удовлетворяет равенству а2 = 12 +12 или а2 = 2. Затем, пользуясь теорией делимости, греки доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Других чисел, кроме рациональных, в математике еще не было. Таким образом, оказалось, что длина диагонали квадрата со стороной, равной единице, не выражается никаким числом.

Это открытие произвело на греческих ученых огромное впечатление. Поскольку выяснилось, что множество отрезков больше, чем множество чисел, то общую теорию греки строили в геометрической форме. Они разработали правила действий с отрезками.

Сложение отрезков давало новый отрезок, получающийся приставлением одного слагаемого отрезка к другому. Результат умножения отрезков а и b понимали как площадь прямоугольника со сторонами а и b. Произведение трех отрезков давало параллелепипед, а произведение большего числа отрезков нельзя было представить. Так была разработана геометрическая алгебра. Например, тождество (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 интерпретировалось геометрически, как это показано на рис. 15.1. Решение линейного уравнения ab = сх проводилось с помощью чертежа, подобного рис. 15.2. Легко доказать, что S1 = S2.

Греческие математики нашли общие методы решения квадратных уравнений. Все построения они проводили с помощью циркуля и линейки. Как было показано значительно позже, в XIX в., с помощью циркуля и линейки можно решить только квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным, например, биквадратные. Поэтому задача удвоения куба, приводящая к кубическому уравнению х3 = 3, не могла быть решена средствами геометрической алгебры. Для ее решения был развит метод конических сечений, в математику вошли новые линии — гипербола, эллипс, парабола.

Возможности геометрической алгебры были ограничены также тем, что нельзя было рассмотреть произведение четырех и более величин, и поэтому задачу решения уравнений четвертой степени и выше нельзя было даже поставить.

Открыв несоизмеримость, античные ученые впервые пришли к изучению понятия непрерывности. Заметим, что речь идет о теоретической проблеме. Длину диагонали квадрата можно найти приближенно с любой степенью точности, и вавилонян удовлетворяли приближенные вычисления. На практике инженеры и естествоиспытатели в своих расчетах также пользуются приближенными значениями; так, например, вместо  обычно берется его приближение. Но для теоретической математики греков важно было точное знание, необходимо было понять «диагональ в самой своей сущности» (выражение Платона), а не приближенное значение. Подчеркнем, что идеально точное измерение величин представляет собой абстракцию. Не имеет смысла уточнять длину линейки за пределы атомных масштабов. Вывод о несоизмеримости диагонали квадрата со стороной вытекает из теоремы Пифагора. Этот теоретический вывод получен с помощью логических рассуждений.

Открыв несоизмеримость, греки впервые встретились с противоположностью дискретного и непрерывного. Изучение дискретных предметов привело науку к понятию целого числа. При изучении линии на первый план выступает понятие непрерывности. Противоречия, связанные с непрерывностью и движением, были вскрыты греческими философами. Особенно известны парадоксы Зенона Элейского. Приведем один из них.

ДИХОТОМИЯ (от греч.  — разделяю на две части). «нет движения, потому что то, что движется, должно дойти до середины раньше, чем оно дойдет до конца». Если считать, что точка должна пройти отрезок, равный 1, то, согласно приведенным рассуждениям, она должна пройти сначала 1/2, затем 1/4 и т. д. Получаем бесконечный ряд , частичная сумма которого равна 1-1/2n и, следовательно, с ростом п неограниченно приближается к 1. Таким образом, суммирование геометрической прогрессии проводилось уже в Древней Греции.

Выяснение существа непрерывности являлось одной из центральных проблем в античной науке. Эта проблема была тесно связана с вопросом о строении материи, который в то время обсуждался. В греческой науке противостояли друг другу различные тенденции: считать материю безгранично делимой, считать ее состоящей из неделимых частиц, не имеющих протяженности, считать ее состоящей из мельчайших неделимых, но тем не менее протяженных частиц.

Первые математические теории побудили ученых систематизировать отдельные факты и изложить последовательно основы математики. В III в. до н. э. были написаны «Начала» Евклида — сочинение, логическая строгость которого получила всеобщее признание.       Подробно на семинарах.

«Начала» состоят из 13 книг. В них излагаются основы арифметики, планиметрии и стереометрии. В арифметике исходным понятием была единица. Число определялось как множество, составленное из единиц. Иначе была построена геометрия.

Почему ученые античности не сделали точку единственным исходным понятием геометрии и не рассматривали линию как множество, составленное из точек, а плоскость как множество, составленное из линий? Вопрос о том, состоит ли линия из точек, являлся предметом дискуссии. При определении линии как множества точек сразу же выступали противоречия, связанные с непрерывностью и движением. Именно поэтому ученые древности ввели в геометрию три исходных понятия: точку, прямую, плоскость и сформулировали аксиомы и постулаты, т.е. правила, по которым следует оперировать с введенными понятиями. Таким образом, в «Началах» Евклида геометрия построена аксиоматически.

В первой книге содержатся определения, постулаты и аксиомы. Определения — это пояснения, с помощью которых вводится понятие. Например, «точка есть то, что не имеет частей». Аксиомы у Евклида — это предложения об отношениях равенства и неравенства величин. В «Началах» содержится пять аксиом и пять постулатов.

АКСИОМЫ ЕВКЛИДА

I.     Равные одному и тому же равны между собой.

П.    Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

  1.  Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.
  2.  Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
  3.  Целое больше части.

ПОСТУЛАТЫ ЕВКЛИДА

I.     Через две точки можно провести прямую.

И.    Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.

  1.  Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.
  2.  Все прямые углы равны между собой.
  3.  Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

С помощью этих постулатов обоснованы геометрические построения.

Пятый постулат называется постулатом о параллельных. Еще до Евклида ученые пытались доказать его, т. е. вывести его справедливость из остальных постулатов. Такие попытки предпринимались затем на протяжении двадцати веков, пока в 1829 г. Н. И. Лобачевский не создал свою геометрию. Им было доказано, что пятый постулат не зависит от остальных предложений и доказать его нельзя.

В «Началах» Евклида изучаются только прямые линии и окружности. Конические сечения, которые к тому времени уже были изучены, в них не вошли. Это объясняется тем, что Евклид избегал рассуждений, связанных с непрерывностью и движением, которые приводили к парадоксам. Он ввел исходные объекты: прямую, точку, окружность, систему постулатов и аксиом, и затем построил математическую теорию, не касаясь вопроса о непрерывности.

(

Однако по существу Евклиду не удалось обойти понятие непрерывности. Так, решая задачу о построении равностороннего треугольника с данной стороной АВ (рис. 15.3), он пишет: «Из точки А как из центра радиусом АВ опишем окружность. Из точки В как из центра опишем окружность тем же радиусом АВ. Из точки С, в которой пересекаются оба круга, проведем к точкам А и В прямые АС и ВС. Треугольник ABC будет требуемым».

Утверждение того обстоятельства, что окружности пересекаются, безусловно, основано на их непрерывности. Нельзя было бы так считать, не прибегая к каким-либо дополнительным предположениям, если бы окружность состояла из дискретного ряда точек. Этот пробел в рассуждениях Евклида был замечен в XVII в. Г. Лейбницем.               )

«Начала» Евклида значительно повлияли на развитие математики. В течение многих веков они служили образцом математической строгости. До настоящего времени «Начала» Евклида составляют основу школьного курса геометрии.

Достижения греческой математики не исчерпываются результатами, изложенными в «Началах». Для удовлетворения потребностей астрономии греки построили геометрию сферы, создали начала тригонометрии. Для определения площадей криволинейных фигур они разработали метод исчерпывания — прообраз будущего интегрального исчисления.

Эти методы Древней Греции послужили исходным пунктом для работ ученых XVIXVII вв. по созданию математического анализа.

Греческие ученые разработали общую теорию конических сечений. Они рассматривали произвольные сечения конуса и записывали полученные кривые в виде уравнений на языке геометрической алгебры. Результаты античной теории конических сечений были использованы математиками XVII в. при создании аналитической геометрии.

Математика средневекового Востока

В более позднее время центр математических исследований переместился на Восток — в Китай, Индию, Среднюю Азию, арабские страны. Средневековая восточная математика представляла собой совокупность вычислительных приемов и методов для решения арифметических и геометрических задач.

Общие черты математики в странах Востока объясняются схожестью общественных структур этих государств. Везде население занималось земледелием, ремеслом, торговлей в рамках постепенно складывающегося феодального общества.

Для решения многочисленных задач, возникающих при строительстве систем орошения, дорог, военных укреплений, храмов и дворцов, требовалось умение измерять объемы и площади, вычислять необходимое количество материалов и рабочих. Разнообразные задачи возникали в связи с распределением налогов и разделами наследства, особенно в арабских странах в соответствии со сложными мусульманскими законами. Все эти практические вопросы приводили к необходимости составления и изучения линейных уравнений и их систем, решения задач на пропорциональное деление, извлечения квадратного и кубического корней, а также составления квадратных и кубических уравнений.

Сочинение китайского автора «Математика в девяти книгах» подвело итоги развития математики к началу нашей эры. В результате многих переработок это сочинение стало математической энциклопедией, к VIIX вв. оно сделалось основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, из которого исходили ученые в своих исследованиях.

В «Математике в девяти книгах» формулируются задачи, а затем дается алгоритм их решения. Объяснений и доказательств приведенных правил нет. Этот догматизм изложения объясняется тем, что учебная математическая литература предназначалась для земледельцев, чиновников, строителей, которым нужны были точные и краткие правила решения определенных задач. Об этом говорят и названия книг: «Измерение полей», «Соотношение между различными видами зерновых культур» и т. д.

Математики Китая работали над созданием алгоритмов, пригодных для решения возможно более широких классов задач. Они получили общий метод решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Основное достижение математики Китая — открытие общего метода решения системы п линейных уравнений с п неизвестными. Распространяя этот метод на любые линейные задачи, впервые в истории математики они ввели положительные и отрицательные числа. Для различения положительных и отрицательных чисел были введены специальные знаки.

Важно отметить, что отрицательные числа были введены для формального распространения алгоритма решения линейных уравнений на любые задачи этого типа. Аналогичные явления имеют место и в дальнейшей истории расширения понятия числа. Так, для развития общей теории решения уравнений третьей и четвертой степеней были впоследствии введены комплексные числа.

Важнейшим достижением математики Индии является позиционная система счисления. Для ее создания необходим был знак нуля, который показал бы отсутствие в данном числе какого-либо разряда. Введенный в Индии нуль изображался в виде кружка. Созданная в Индии единая позиционная десятичная система счисления позволила существенно упростить письменные вычисления.

Оригинальные приемы разработали математики Индии для решения в целых числах неопределенных уравнений. К таким уравнениям приводили задачи астрономии. Весьма вероятны связи между математиками Индии и Китая, где также решались подобные задачи.

В математике Индии преобладали вычислительные приемы. Ученых интересовали правила счета, практические выкладки, а не теоретические рассуждения. Так, в геометрии они вместо доказательств приводили чертежи, сопровождая их одним словом «смотри!». В этом принципиальное отличие средневековой математики от дедуктивной науки Древней Греции, ученые которой стремились к созданию строгих теорий и пренебрегали конкретными числовыми выкладками, так как последние дают только приближенные значения.

Заметим в связи с этим, что, развивая приемы приближенных вычислений, средневековые математики разрабатывали правила нахождения квадратных и кубических корней. В результате этого они свободно оперировали с радикалами, что способствовало развитию понятия об иррациональном числе, равноправном с целыми и рациональными числами. Так на базе вычислительной математики складывалось важнейшее понятие науки — действительное число.

В индийской математике, однако, нет никаких теоретических рассуждений о природе иррационального числа. Идея создания понятия действительного числа путем объединения рациональных и иррациональных чисел была развита в работах математиков Ближнего и Среднего Востока. Математические сочинения народов Средней Азии, Ближнего Востока, северной Африки в IXXV вв. были написаны на арабском языке, поэтому для их общей характеристики введен термин арабская математика. В центре внимания математики Ближнего и Среднего Востока стояли те же проблемы, что в Китае и Индии.

Преимущество арабских математиков заключается в том, что они овладели дедуктивным методом исследования греческой науки. Это позволило им привлечь к решению вычислительных проблем мощные средства математики. Вместо отдельных правил расчета, создаваемых в Китае и Индии, арабские ученые строили целые теории. Так, на основе теории конических сечений, разработанной в Древней Греции, они создали геометрическое учение об уравнениях третьей степени. Значительное место в арабских сочинениях занимают доказательства.

Математические сочинения арабов послужили впоследствии европейским ученым основным источником информации. Большая часть сведений об античной математике была почерпнута из арабских трактатов и в арабских переводах.

Так же, как в Китае и Индии, математики арабских стран были одновременно астрономами. Для нужд астрономии составлялись таблицы тригонометрических функций. Индийцы ввели понятие синуса угла и составили таблицу синусов. Арабские ученые, хорошо знакомые и с греческой, и с индийской математикой, пошли значительно дальше. Они создали тригонометрию как большую стройную математическую теорию.

В арабских странах проводились не только исследования, связанные с вычислительными проблемами, но и другие. Так, интересные результаты были получены в учении о параллельных. Еще в Древней Греции предпринимались попытки доказать пятый постулат. Арабские математики продолжили эту работу. При этом они основывались на каком-либо явном или неявном допущении, равносильном пятому постулату. Так было проведено доказательство, основанное на допущении — если при пересечении двух прямых какой-нибудь третьей накрест лежащие углы равны, то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. На этой основе была доказана теорема о том, что через любую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Интересно, что именно на скрытом допущении этого предложения основано «доказательство» пятого постулата, предложенное в 1800 г. А. Лежандром.

Арабские математики были далеки от мысли о построении геометрической системы, отличной от евклидовой. Они только стремились доказать пятый постулат на основе предложений, которые считали очевидными. Но при этом они сделали ряд важных открытий, так как фактически пришли к некоторым простейшим предложениям неевклидовой геометрии, хотя и рассматривали эти предложения как невозможные.

Примерно в середине XV в. развитие математики на Востоке замедляется и постепенно прекращается. Народы этих стран надолго оказались задержанными на феодальной стадии развития, они подверглись колониальному нажиму капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и математики, в XVXVI в. был приостановлен.

Математика европейского Средневековья и эпохи Возрождения

В Европе математики достигли важных результатов только в эпоху Средневековья, начавшуюся в XVXVI вв. и длившуюся до середины XVII в. Это было время феодализма, в недрах которого в XVXVII вв. зарождались капиталистические отношения. Период XVXVI вв. называется эпохой Возрождения.

Это было время важнейших технических достижений, время великих географических открытий. В Европе появляются компас, часы, порох, дешевая бумага и книгопечатание. В связи с практическими запросами техники и мореплавания дальнейших успехов достигла математика.

Важную роль в ее развитии сыграло открытие университетов. Ученые и студенты усваивали достижения Древней Греции, стран Востока и Средней Азии.

Значительным событием было внедрение десятичной позиционной нумерации. Первоначально в Европе господствовал неудобный для вычислений способ записи чисел с помощью римских цифр; при этом вычисления проводились с помощью счетного прибора — абака. Внедрение десятичной позиционной системы позволило разработать простые правила письменных вычислений. Так записи постепенно вытесняли использование счетных приборов. Этому способствовало также изготовление бумаги и появление книгопечатания.

Развитие письменного счета в свою очередь привело к появлению сокращений и специальных символов. Прежде всего появились знаки операций: плюс, минус, знак равенства, затем знаки радикалов, обозначения для неизвестных в уравнениях. В результате этого долгого процесса, длившегося несколько столетий и в основном завершенного Р. Декартом, словесные правила были заменены формулами.

Значение этого явления в истории науки трудно переоценить. Именно с этого времени начинается собственно развитие алгебры — науки о буквенных вычислениях, о преобразовании формул, об алгебраических уравнениях, в отличие от арифметики — науки о действиях с конкретными числами.

Создание развитой символики, введение знака радикала и разработка правил операций со степенями позволили европейским ученым подойти к проблеме решения уравнений степени выше второй. Именно в этой области были получены первые значительные успехи: найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

В Италии в эпоху Возрождения было решено сначала уравнение х3+ рх + q = 0, где р и q — произвольные числа, а затем было показано, каким образом с помощью подстановки у = х - а/3 к этому виду можно привести любое уравнение третьей степени:

у3 + ay2 + by + с = 0.

Спор о приоритете в решении этой проблемы между учеными Н. Тарталья и Дж. Кардано затянулся на несколько столетий. Вскоре Л. Феррари нашел способ решения уравнения четвертой степени:

х4 + ах3 + bx2 + cx + d = 0.

Успех итальянских математиков произвел большое впечатление на их современников. Это был первый случай, когда европейская наука превзошла достижения древних.

Ученые эпохи Средневековья получили также ряд интересных результатов в тригонометрии, которая, по существу, в то время являлась частью астрономии. Они приступили к изучению и усовершенствованию античных теорий о конических сечениях и интеграционных методов. В математике зарождалась идея функциональной зависимости.

Главное же состоит в том, что в этот период математика используется не только для практических нужд земледелия и торговли. Она становится мощным средством новой техники и естествознания — орудием изучения законов природы.

Долгий период математики постоянных величин подошел к завершению. Открылась новая эпоха — эпоха математики переменных величин, изучающей процессы движения, изменения, развития.


Создание математики переменных величин

Общая характеристика периода.

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Ф. Энгельс по этому поводу писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление»  (Энгельс  Ф. Диалектика природы / Маркс К., Энгельс Ф. Соч.—2-е изд.—Т. 20.-С. 573). Круг количественных отношений  и  пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в  алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами  (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции,  играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит  далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и  преобразования  фигур.  Одно и то  же движение  или одно и то же преобразование может перемещать  или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например,  в проективной геометрии одним из основных предметов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и началу 19 в.  Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был  найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например, при графическом изображении функциональных зависимостей. Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части «чистой» математики, определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, например, механике) «прикладной»  математики, применяющей результаты «чистой» математики и вырабатывающей свои методы для  специального изучения  геометрических  фигур и геометрических преобразований. На следующем этапе развития такое подчиненное положение геометрии было вновь устранено.

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения F(х) = 0 как функцию переменного х. Этот  подход к делу позволил изучить  вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближенного вычисления, в комплексной же  области привел французского .математика Ж. Д.'Аламбера к не вполне строгому, но для  математиков 18  в. достаточно убедительному доказательству «основной теоремы алгебры» о существовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня. Достижения «чистой» алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17 —18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраических фактов и методов от фактов и методов математического анализа типично лишь для более позднего времени (2-я половина 19 в.—20 в.). В 17 — 18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой математики переменных величин в 17 в. было делом ученых передовых стран Западной Европы. В 18 в. одним из основных центров научных математических исследований становится также Петербургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли), и постепенно складывается русская математическая школа, блестяще развернувшая свои исследования с начала 19 в.

Математика в 17 веке

В XVII в. начинается новый период истории математики — период математики переменных величин. Его возникновение связано прежде всего с успехами астрономии и механики.

И. Кеплер в 1609—1619 гг. открыл и математически сформулировал законы движения планет. Г. Галилей к 1638 г. создал механику свободного падения тел, основал теорию упругости, применил математические методы для изучения движения, для отыскания закономерностей между путем движения, его скоростью и ускорением. И. Ньютон к 1686 г. сформулировал закон всемирного тяготения.

Успехи естествознания (больше всего в механике и оптике*) привели к необходимости создания математического аппарата для изучения процессов движения. Ученые XVII в. были одновременно математиками, естествоиспытателями, механиками. Нужно также отметить, что важнейшие открытия века, принадлежащие P. Декарту, И. Ньютону, Г. Лейбницу, неразрывно связаны с общей системой философских взглядов этих ученых.

*Актуальные задачи ставились перед математикой 17 века также картографией, баллистикой, гидравликой.

*Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов. Шотландский математик Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614 г., обосновывает их построение не ссылкой на давно известные свойства арифметических и геометрических прогрессий, а рассматривает непрерывное «течение» логарифма при изменении числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебраическим выражением или геометрическим построением.

Первым решительным шагом в создании математики переменных величин было появление в 1637 г. книги Р. Декарта «Геометрия», в которой заложены основы метода координат и введена общая идея переменной величины. (*содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные)

Исследования Р. Декарта были вызваны насущными потребностями науки и техники. К этому времени И. Кеплер показал, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, Г. Галилей установил, что брошенное в сторону тело падает по параболе. Изучение конических сечений стало необходимостью.

Для развития астрономии необходимо было также вычислять криволинейные площади, ограниченные дугами эллипса, так как, согласно законам Кеплера, радиусы-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные площади. И.Кеплер в 1615г. разработал метод вычисления площадей криволинейных фигур, каждую из которых он представлял состоящей из множества бесконечно малых частей. Например, по И. Кеплеру, круг состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый из которых можно рассматривать как равнобедренный треугольник. Так был создан интеграционный метод для вычисления криволинейных площадей и объемов, основанный на представлении о бесконечно малых.

Изучение законов механики также требовало создания новых математических методов. Ученик Г. Галилея Б. Кавальери разработал интеграционный метод, основанный на представлении о неделимых. Он считал, что точка (неделимая) при движении порождает линию, а линия — плоскость. При изучении объемов геометрических тел неделимыми являются плоскости. Метод Кавальери позволил ему решать задачи, равносильные отысканию определенных интегралов от многочленов.

К 60-м гг. XVII в. были разработаны многочисленные методы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями: алгебраическими и тригонометрическими. Нужен был только один толчок — рассмотрение всей совокупности методов с единой точки зрения, чтобы из разрозненных приемов создать единое интегральное исчисление.

Так же обстояло дело и с развитием дифференциальных методов. В механике для изучения неравномерного движения было введено понятие мгновенной скорости, что привело в свою очередь к задачам на проведение касательных к кривым. Для решения этих задач в школе Г. Галилея применялись кинематические методы. Значительные успехи в этом направлении принадлежат П. Ферма. * Исследования французского математика П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приемы  дифференциального  исчисления, но  самые эти приемы еще не выделены и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются еще не произнесенными

Дифференциальные методы решали основную задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи: зная касательные к кривой, найти соответствующую кривую. В процессе решения обратной задачи выяснилось, что к ней применимы интеграционные методы. Так была установлена глубокая связь между дифференциальными и интеграционными методами, что создало основу для возникновения единого исчисления.

Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления является теория флюксий, построенная И. Ньютоном (1670-1671). Почти одновременно математический анализ был создан Г. Лейбницем (1673) в виде исчисления дифференциалов.

И. Ньютон изучал переменные величины, возникающие в результате непрерывного механического движения. Он называл их флюентами, т. е. текущими. По И. Ньютону, все флюенты зависят от времени. Затем он ввел скорости течения флюент, т. е. производные по времени, которые назвал флюксиями. Теория И. Ньютона основана на изучении движения.

Г. Лейбниц, так же как и И. Ньютон, открыл взаимообратную связь между методами проведения касательных и отыскания криволинейных площадей. Его символика оказалась очень удобной. Г. Лейбницем введены в науку термины дифференциал, функция, координаты, алгоритм. Оперативная простота исчисления Г. Лейбница привлекла внимание ученых.

*Ньютон и Лейбниц впервые общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона — Лейбница) и разработали для них общий  единообразный  алгоритм. Подход к делу у Ньютона и Лейбница, однако, различен. Для Ньютона исходными понятиями являются понятия «флюенты» (переменной  величины)  и  ее  «флюксии» (скорости ее изменения). Прямой задаче нахождения  флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т.е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения  = f(x). Такая точка зрения была вполне естественна для Ньютона, как  создателя  математического  естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы  природы  выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот,  Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной  коллективной  работы  над дифференциальным  и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, французский математик Г. Лотшталь и др. Здесь создается современный стиль математической работы,  при котором полученные результаты  немедленно публи куются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других ученых.

Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия (в области последней следует отметить, в частности, введение понятия радиуса кривизны у Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса (1673) и т. п.), в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Французский математик Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), развил целую систему представлений о бесконечно удаленных элементах, ввел понятие инволюции и т. д. Теория конических сечений разрабатывается с проективной точки зрения французскими математиками Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лагиром (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел — формулировку принципа математической индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки; разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [итальянский математик П. Катальди (1613), немецкий математик Д. Швентер (1617, 1618), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопределенных коэффициентов (Р. Декарт, 1637); формулировку так называемой теоремы Эйлера о многогранниках (Р. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать еще на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74) первых счетных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.

Создание исчисления бесконечно малых в XVII в. было основано на глубоких общих идеях, что сближало математику с философией. Г. Лейбниц исходил из философской цели отыскания универсального метода научного познания. Он стремился к разработке общего логико-математического аппарата суждений. Для И. Ньютона, крупнейшего естествоиспытателя, математика представляла собой часть общей науки о природе — натуральной философии. Он разрабатывал общий метод, основанный на изучении непрерывного движения и связанных с ним понятий скорости и ускорения.

Развитие математики в XVIII в.

XVIII век характеризуется решительной победой в Европе капиталистического способа производства. Решение научно-технических задач становится делом общегосударственной важности, и математика в этот период оказывается необходимой для развития промышленности, военной техники, кораблестроения, составления географических карт.

* Математики 18 в.—это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математическими способностями, с быстро развивающейся академической карьерой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23 лет становится там же профессором, 37 лет — председателем физико-математического класса Берлинской академии наук; Лагранж — сын французского офицера, 18 лет — профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математического класса Берлинской академии наук; Лаплас — сын французского крестьянина, 18 лет -— преподаватель математики в военной школе в Бомоне, 20 лет — профессор военной школы в Париже, 37 лет — член Парижской академии наук).

Математики XVIII в. работали одновременно в области естествознания и техники. Л. Эйлер получил выдающиеся результаты в механике, занимался кораблестроением и оптикой. Ж. Лагранж создал основы аналитической механики. Его труд, появившийся через сто лет после работ И. Ньютона, показал, как много результатов можно получить в механике благодаря мощным методам математического анализа. Монументальное произведение П. Лапласа «Небесная механика» подвело итоги всех предшествующих работ в этой области.

XVII век дал математике мощный аппарат — анализ бесконечно малых. Новые идеи довольно быстро получили широкое распространение.

Важнейшим отличием созданного исчисления была глубокая систематичность его алгоритмов, удобная символика, сравнительно легкая выполнимость действий. Разработанные методы позволяли решать большое число новых задач. Так, если в древности для отыскания площади, ограниченной параболой, нужен был гений Архимеда, то теперь гораздо более сложные задачи стали доступны каждому, изучившему приемы интегрального исчисления. Результаты дифференциального и интегрального исчисления успешно использовались в науке и технике, и это заставляло ученых стремиться к новым достижениям. Для успешного продвижения вперед необходимо было в первую очередь усовершенствовать математический аппарат, обобщить существующие методы, разработать новые приемы, распространить их на более общие задачи.

В этот период Л. Эйлер ввел в математику символ f(x) для функции и показал, что функциональная зависимость является основным объектом изучения математического анализа. Были введены и изучены функции многих переменных. Соответственно обобщалась теория дифференцирования и интегрирования функций. Разрабатывались способы вычисления частных производных, кратных и криволинейных интегралов, дифференциалов от функций многих переменных.

Основным инструментом в изучении функций стал аппарат их разложения в бесконечные степенные ряды. В XVIII в. были найдены степенные ряды для всех элементарных функций.

В математическом анализе систематически использовались комплексные числа, которые раньше появлялись в науке лишь эпизодически в связи с решением алгебраических уравнений. Было замечено, что корни алгебраических уравнений всегда имеют вид , и введен символ i = . Сравнивая разложения функций в ряды, Л. Эйлер установил глубочайшую зависимость между показательной и тригонометрическими функциями е = cos  + i sin .

В XVIII в. из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин, имеющих большое прикладное значение: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теория функций комплексного переменного. Из геометрических приложений анализа выделилась дифференциальная геометрия. В XVIII в. началась разработка теории вероятностей.

Более подробно

Переходя к  обзору достижений математики 18  века по отдельным областям, начнем с теории чисел. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и французского математика А. Лежандра, теория чисел впервые приобретает характер систематической науки. Лагранж дал (1769г., опубликовано в 1771 г.) общее решение неопределенных уравнений второй степени. Эйлер установил (1772 г., опубликовано в 1783 г.) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлек (1737, 1748, 1749 гг.) для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитической теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л.Эйлер доказал (1737 г.,опубликовано в 1744г.) иррациональность е и е2, а немецкий ученый М. Ламберт (1766 г., опубликовано в 1768 г.) — иррациональность . В алгебре швейцарский математик Г. Крамер  (1750)  ввел для решения систем линейных уравнений определители (известные ранее Лейбницу, не опубликовавшему своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной  алгебры занимались П. Лаплас и французский математик А. Вандермонд. И. Ньютон, Л. Эйлер и французский математик Э. Безу развивали теорию делимости многочленов и теорию исключения. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраического уравнения корня вида . Д'Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (так называемая лемма Д'Аламбера), считая это за доказательство существования корня у любого алгебраического уравнения.  Формулы английского математика А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрические функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, шотландский математик Дж. Стирлинг и Л. Эйлер заложили основы исчисления  конечных разностей. Лагранж развивал символическое исчисление, рассматривая положительные и отрицательные степени операторов  и d; Лаплас дал общие методы решения разностных уравнений. Английский математик Б. Тейлор открыл  (1715)  свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д'Аламбера начинается серьезное изучение условий сходимости рядов.  Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр  заложили основы исследования эллиптических интегралов — первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. И. Бернулли, итальянский математик Дж. Риккати, Д. Бернулли, Л. Эйлер и французский  математик А. Клеро интегрируют новые типы обыкновенных  дифференциальных  уравнений  первого и второго порядка. Эйлер дал (1739 г., опубликовано в 1743 г.) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений. Лагранж и Лаплас развивали общую   теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Эйлер, французский математик Г. Монж и Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — второго порядка. Специальный интерес представляет уравнение колебания струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций  в тригонометрические ряды,  так  как в  связи с этой задачей между Эйлером, Д. Бернулли, Д'Аламбером, Монжем и Лагранжем развернулась  полемика  по вопросу о понятии  функции,  подготовившая  фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем, А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас и английский математик Т. Байес на основе отдельных достижений 17—18 вв. заложили начала теории вероятностей.

В области геометрии Эйлер привел к завершению систему элементарной аналитической геометрии. Начиная с Ньютона, систематически изучаются кривые третьего порядка. Английский математик Э. Варинг установил ряд свойств алгебраических кривых любого порядка. В работах Эйлера, Клеро, Монжа и французского математика Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии явились одним из основных источников упомянутого выше развития теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ламберт развил теорию перспективы, а Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.

Из приведенного обзора видно, что математика 18 века,  основываясь на идеях 17 века, по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет математики был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдаленность крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Эйлера и Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в организацию науки внесла в конце 18 в. французская буржуазная революция. Крупнейшие ученые (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к созданию метрической системы мер, связанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению новых тригонометрических таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития математики оказалось учреждение в  1794 г. Политехнической школы в Париже, возглавленной Монжем и сделавшейся для Франции в начале 19 в. основным рассадником математической культуры.

Проблемы обоснования математики переменных величин

Слабой стороной математики XVIII в. было отсутствие обоснования ее важнейших частей. Был развит аппарат анализа бесконечно малых без достаточной работы над его строгим логическим обоснованием.

Так, в интегральном исчислении для подсчета длин кривые линии заменялись многоугольниками. Аналогично при вычислении площадей криволинейные фигуры разбивали на бесконечно малые части, каждую из которых считали прямоугольной. При этом фактически отбрасывали бесконечно малые более высокого порядка, чем длины отрезков разбиения.

Корректность этой операции объяснялась различными путями. Так, Г. Лейбниц апеллирует к движению. Он пишет, что, строго говоря, покой не есть род движения, равенство не есть частный случай неравенства, равно как и круг не есть правильный многоугольник. Но можно сказать, что покой, равенство, круг ограничивают движения, неравенства и правильные многоугольники, которые приходят к первым, исчезая при непрерывном изменении. Понятие бесконечно малой величины оставалось невыясненным. И. Ньютон для его объяснения также прибегал к движению. Он говорил о величинах в момент их зарождения и в момент их исчезновения.

Теория неделимых Кавальери также вызывала серьезные возражения. Она была неприменима для вычисления длин кривых, так как неделимые точки безразмерны. Аналогичные логические трудности возникали, если площади представлялись линиями, не имеющими ширины. Само понятие неделимого было не выяснено.

В процессе обоснования понятия производной также остро вставал вопрос о существе бесконечно малой величины. Так, при вычислении производной от функции у=х2 переменной х давали бесконечно малое приращение h. Затем приращение функции  + h)2 - х2 делили на приращение аргумента h:

.

Отбрасывая величину h, получали окончательный результат — производная от функции у = х2 равна 2х.

Корректность отбрасывания бесконечно малой величины оставалась совершенно неясной. Если h = 0, то нет самого процесса перехода от х к соседней точке. Если h , то h нельзя отбрасывать.

Этот период развития исчисления бесконечно малых называют мистическим. Исчисление существовало, давало много важных результатов, но логические основы его оставались невыясненными.

Была предложена теория компенсации ошибок: в методе бесконечно малых исчисление исправляет само допускаемые в нем ложные предположения. Когда, например, рассматривают кривую как многоугольник с бесконечным числом малых сторон, то явным образом делают ложное допущение. Но ошибка погашается при вычислении другой ошибкой, состоящей в пренебрежении как равными нулю количествами, предполагаемыми лишь бесконечно малыми.

В 1734 г. с критикой основ анализа выступил епископ Беркли. Он писал о том, что исчисление бесконечно малых ошибочно, ложно и приводит к цели лишь случайным образом. Критикуя теорию флюксий И. Ньютона, Д. Беркли писал: «Тот, кто может переварить вторую и третью флюксию, не может придираться к чему-нибудь в богословии».

В XVIII в. неясность основ стала тормозить развитие анализа. В математике накопилось большое число противоречий, парадоксов, возникающих прежде всего в теории бесконечных рядов, служивших основным орудием анализа. Так, при изучении ряда, являющегося геометрической прогрессией     полагали х=1. Из этого следовало равенство

1-1 + 1-1 + 1...=.

Если же члены ряда 1-1 + 1-1 + 1... сложить попарно, то в сумме получается нуль.

Это приводило к нелепости 1/2 = 0 и служило иногда для подкрепления теории о сотворении богом мира из ничего.

Накопившиеся противоречия явно показывали, что с бесконечными рядами нельзя обращаться как с конечными суммами. Вопросы бесконечного требовали строго логического обоснования.

В XVIII в. математики использовали много различных способов изложения анализа, но ни один из них не мог удовлетворительно объяснить его основы. Только по отношению к методам, основанным на понятии предельного перехода, критика не обнаружила логических пробелов. Сторонники теории пределов — Ж. Даламбер, С. Люилье, С. Е. Гурьев и другие — неустанно ее совершенствовали.

Решающие изменения произошли в первой половине XIX в., когда трудами О. Коши, Н. Абеля и других ученых исчисление бесконечно малых было обосновано на базе теории пределов. Было выяснено существо бесконечно малой величины. По О. Коши, это переменная величина, предел которой равен нулю. С помощью предела получили объяснение важнейшие понятия анализа: производная, интеграл, непрерывность функции, сумма ряда.

Нужно заметить, что понятие предела у О. Коши основано на представлениях, связанных с движением. Бесконечно малая у него — это движущаяся, бесконечно убывающая величина. Используя интуитивное представление о бесконечно малой текущей величине, О. Коши, однако, в ряде случаев пришел к неверным теоремам. Так, он доказал, что если функция многих переменных непрерывна по каждому переменному в отдельности, то она непрерывна по совокупности аргументов.

Однако вскоре был найден пример, опровергающий теорему О. Коши. Ошибка О. Коши объясняется использованием представлений о текущих бесконечно малых, отсутствием точных оценок. Чтобы избежать ошибок такого рода, потребовалось дальнейшее уточнение понятий предела и бесконечно малой. Оно было проведено К. Вейерштрассом в 70-х гг. XIX в.

По К. Вейерштрассу, бесконечно малую нельзя рассматривать просто текущей во времени, а необходимо указывать каждый раз, в каком процессе происходит изменение переменной. Так, например, ап = 1/п2 — бесконечно малая последовательность в процессе неограниченного увеличения номера п. Функция у = sin x является бесконечно малой в процессе неограниченного уменьшения аргумента х. Для получения строгих определений К. Вейерштрасс разработал систему  неравенств. Эта уточненная теория пределов лежит в основе современного изложения основ математического анализа.

Таким образом, современный анализ заменил использование интуитивных представлений, связанных с движением, строгим математическим аппаратом неравенств, и так как все вопросы были сведены к неравенствам с числами, то перед математикой встала новая проблема — уточнить понятие действительного числа.

В теории пределов, как известно, ряд теорем основан на утверждении: если переменная величина возрастает и ограничена, то она имеет предел. Интуитивно ясное, это утверждение потребовало для своего доказательства построения теории действительного числа.

Такие теории появились. Почти одновременно в 1872 г. были построены теории действительного числа Г. Кантором, К. Вейерштрассом и Р. Дедекиндом. Различные по форме, эти теории выясняли одну и ту же проблему — существо непрерывности числовой прямой.

Р. Дедекинд пишет по этому поводу: «Мы приписываем прямой полноту, отсутствие пробелов, непрерывность. В чем же собственно состоит эта непрерывность? Все заключается в ответе на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное основание для исследования всех непрерывных областей. Смутными разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, ничего не достигнешь».

Изучение действительных чисел, в свою очередь, привело математику к рассмотрению бесконечных множеств. Как показала теория множеств, развитая в конце XIX в. Г. Кантором, Р. Дедекиндом и др., множество действительных чисел не является счетным. В процессе развития теории множеств в ней выявились парадоксы, противоречия, связанные в особенности со свойствами несчетных множеств.


Современная математика

Математика в 19 веке, проблемы Гильберта и математика 20 века

В XIX в. начинается новый период в развитии математики — современный. Интересно отметить, что к концу XVIII в. некоторые ученые утверждали, что область математических исследований уже в основном истощена, что все главное уже сделано, изложено в классических монографиях, и будущим поколениям ученых остается только решить незначительные задачи. Это объясняется тем, что развитие математики было связано с развитием механики и астрономии, и в конце XVIII в. казалось, что процесс изучения этих областей в основном завершен: законы движения уже открыты и соответствующий математический аппарат разработан.

Однако в XIX в. математика получила новый мощный импульс для своего развития. Расцвет естествознания — изучение магнетизма, электричества, теплопроводности — потребовал расширения математического аппарата. В первой половине XIX в. в этой области было получено большое число важнейших результатов. Была развита теория уравнений в частных производных, обобщены методы вариационного исчисления, разработана теория дифференцирования и интегрирования в комплексной области. В XIX в. сложился аппарат разложения функций в тригонометрические ряды, который позволил представить в виде бесконечного ряда всякую непрерывную функцию, тогда как аппарат степенных рядов применим только к функциям, имеющим производные всех порядков.

Произошли коренные изменения во всех важнейших областях математики: алгебре, геометрии, математическом анализе.

Основной задачей алгебры до XIX в. было решение алгебраических уравнений. После того как в эпоху Возрождения были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, математики приложили много усилий к отысканию аналогичных формул для решения уравнений пятой степени и выше. Однако работа в этом направлении в течение нескольких столетий не давала положительных результатов. Это поставило перед математикой вопрос: существуют ли вообще такие формулы? Крупнейшие ученые — Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, занимавшиеся теорией алгебраических уравнений, — заметили, что вопрос о разрешимости каждого уравнения сводится к изучению подстановок из его корней.

Опираясь на эти результаты, в XIX в. Н. Абель доказал теорему о том, что уравнения пятой степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. показал, что не существует общей формулы для решения всякого уравнения степени п при п > 5. Полное решение проблемы получено Э. Галуа, который нашел критерий, позволяющий по отношению к каждому конкретному уравнению решить вопрос, разрешимо это уравнение в радикалах или нет. Теория Галуа основана на изучении группы подстановок корней уравнения.

Так в математику вошло понятие группы. В результате предмет алгебры значительно расширился. Если до этого изучали операции с числами — сложение, умножение, вычитание, деление, — то в конце XIX в. алгебра стала изучать умножение подстановок, сложение векторов, сложение движений и вообще любых преобразований.

Современная алгебра изучает общее понятие операции. Ее результаты применимы к объектам любой природы, и поэтому она находит самое широкое применение как в остальных областях математики, так и в физике, химии, биологии и других науках.

Еще более существенное воздействие на развитие математики оказала геометрия Н. И. Лобачевского, развитая им к 1829 г. В течение тысячелетий ученые пытались доказать пятый постулат Евклида, утверждающий, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В XVIII в. многие ученые пытались доказать его способом от противного. Они предполагали, что постулат несправедлив, и стремились прийти к противоречию.

Н. И. Лобачевский подошел к проблеме по-новому. Он принял все постулаты Евклида, кроме пятого, и присоединил к ним допущение, противоположное пятому постулату: через точку, лежащую вне прямой, можно провести более одной прямой, каждая из которых параллельна заданной. На основе этих допущений Н. И. Лобачевский построил новую геометрию. Идеи Н. И. Лобачевского смелы и неожиданны, и они не были поняты его современниками. Новая геометрия получила признание лишь в конце XIX в. Значительный вклад в ее создание внесли К. Гаусс, Г. Риман, А. Пуанкаре и многие другие ученые.

Так математика подошла к изучению многих различных геометрий и тем самым получила аппарат не только для изучения пространства в рамках Евклида, но и для изучения других форм и отношений действительности, сходных с пространственными. Слово пространство приобрело в математике новый смысл. Современная математика изучает пространство функций, векторов, пространство решений данного уравнения и др. Геометрические методы проникли во все важнейшие области математики. Геометрия — мощный инструмент познания окружающего нас физического пространства.

Глубокие сдвиги произошли в XIX в. также в области математического анализа. Была выяснена его логическая основа — теория пределов. Уточнение основ анализа привело математику к изучению бесконечных множеств.

Теория множеств, созданная в конце XIX в., сыграла большую роль в развитии новых идей математики. На ее основе сформировалось общее понятие функции как соответствия между множествами М и N произвольной природы.

В классическом математическом анализе М и N — это множества действительных чисел. В XIX в. были заложены основы более общего анализа — функционального, в котором под множеством М понимали множество функций. Были подвергнуты изучению важнейшие совокупности, или пространства функций.

Функциональный анализ, возникший как обобщение математического анализа, соединил основные методы анализа, алгебры и геометрии. Он успешно развивается в настоящее время и имеет важные практические приложения.

Функциональный анализ, теория функций и топология — три направления в математике, которые родились в XX в. и играют выдающуюся роль в современной науке. Благодаря их развитию классические области (алгебра, геометрия, математический анализ, теория чисел, теория вероятностей) существенно обогатили свое содержание.

В XX в. А. Эйнштейн открыл теорию относительности, была создана квантовая механика. Математический аппарат для этих великих открытий был найден немецкими математиками Д. Гильбертом, Г. Минковским, французским ученым А. Пуанкаре и их последователями.

В 40-е гг. XX в. было создано новое направление в математике — теория информации. Американский ученый Н. Винер включил ее в более общую научную дисциплину, которую он назвал кибернетикой.

XX век унаследовал от прошлых времен несколько великих проблем. Самая старая из них — поставленная в XVII в. задача доказательства теоремы Ферма, утверждающей, что уравнение  при п > 2 неразрешимо в натуральных числах. Теорема Ферма была доказана в 1995 г. средствами алгебраической геометрии. Вклад в доказательство внесли многие математики. Но окончательно проблему решил английский математик Э. Уайлс.

В первой половине XX в. возникла идея аксиоматического построения всей математики на базе теории множеств. Великий математик XX столетия, Д. Гильберт создал аксиоматику элементарной геометрии, крупнейший русский ученый А. Н. Колмогоров — аксиоматику теории вероятностей.

Подчеркнем принципиальную особенность, которая отличает математику XX в. от математики предыдущих столетий: создание электронных математических машин и их математического обеспечения.

На протяжении истории человечества математика три раза получала мощные импульсы от действительного мира.

Впервые это произошло в древности. Занятия земледелием, строительством простейших сооружений, торговлей привели к созданию арифметики и геометрии.

Второй импульс математика получила в XVII в. Потребности механики, оптики, техники, географии, связанные с необходимостью изучать движение, привели к понятиям производной и интеграла, к созданию математического анализа.

Третий мощный толчок математика испытала в середине XX столетия, когда были созданы первые ЭВМ и возникла необходимость их программного обеспечения. В наши дни идет процесс бурного развития вычислительной математики. Но до аксиоматического построения этой области еще далеко — это проблема будущего развития науки.

Для XX в. характерен расцвет не только теоретической, но и прикладной математики. Общеизвестна ее роль в астрономии, физике, технике, военном деле. В наши дни математика применяется также в экономике, экологии, социологии, психологии, лингвистике и других науках. Экономика не только использует существующий математический аппарат. Она способствовала созданию линейного программирования — новой области математики. Его основные идеи сформулировал Л. В. Канторович, получивший совместно с американским ученым Т. Купмансом в 1975 г. Нобелевскую премию по экономике за приложение методов линейного программирования.

Поскольку Нобелевская премия в области математики не присуждается, в том же 1975 г. премией фон Нейманна были отмечены исследования Дж. Данцига, создателя симплекс-метода.

Одна из важных особенностей математики XX в. — ее внимание к проблемам управления. Решая любую задачу, необходимо стремиться к эффективному использованию природных богатств, людских ресурсов, технических средств. Так возникает проблема наилучшего, или, как говорят, оптимального управления. В XX в. особую актуальность приобрели также задачи управления летательными аппаратами.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули целую серию новых задач, которые не удавалось решить средствами классического математического анализа. Нужно было развить его, обобщить и создать новый раздел: выпуклый анализ. Соответствующая математическая теория была создана Л. С. Понтрягиным во второй половине XX в.

В любом обществе люди хранят, обрабатывают и передают информацию. Однако только в середине XX в. создана информатика — совокупность наук об информационных процессах. В математике разработаны принципы измерения информации. Разведчикам и дипломатам всегда была нужна шифровка информации. В XX в. теория защиты информации — криптография — стала точной математической наукой.

Новая математическая дисциплина — теория игр — создана в XX в. Она анализирует конфликтные ситуации при столкновении интересов двух и более сторон, преследующих различные цели. Такие ситуации возникают в военной сфере, спортивных соревнованиях, в судебных процедурах и в экономике.

Уже в древних государствах велся учет населения, способного платить налоги. С усложнением жизни потребовались научные методы обработки и анализа самых разнообразных сведений об обществе, в том числе и связанных с учетом налоговых поступлений.

Демографическая статистика изучает численность населения, его возрастной и профессиональный состав. Экономическая статистика разрабатывает методы прогнозирования роста и спада производства. Имеются другие виды статистики — медицинская, финансовая, страховая. В XX в. на основе теории вероятностей создана новая область математики — математическая статистика. Ее методы широко используются в народном хозяйстве и военном деле, в социологии, психологии и лингвистике.

Именно поэтому в наши дни математику преподают будущим специалистам гуманитарного профиля. Она не только развивает способность к абстрактному мышлению. Математика — это инструмент, позволяющий глубоко проникать в сущность любой области человеческой деятельности.

Приведем в заключение слова замечательного ученого и педагога И. Г. Петровского, который в течение многих лет был ректором Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова: «Великий математик Карл Фридрих Гаусс в свое время назвал математику «царицей всех наук». Математика скорее добрая фея, только получить у нее можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент — математические методы».

Проблемы Гильберта

8 августа 1900 года в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков Д. Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы».

Доклад был необычен. Он не включал в себя новых теорем, не предлагал решений никаких проблем. Напротив, он содержал формулировки двадцати трех проблем, решение которых, по замыслу докладчика, должно было стать главным стимулом развития математики в 20 столетии.

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? — такими словами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. — История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт предлагает вниманию слушателей двадцать три проблемы из различных областей математики, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта, даже каждый частичный успех в их решении принимаются всем математическим миром как крупное математическое достижение. В чем секрет такой популярности гильбертовских проблем, той значимости, которое придается их решению? Ведь число нерешенных задач,   поставленных   в   математической   литературе,   огромно,   и   лишь некоторые   из   них   (как,   например, проблема   Ферма)   приобретают   широкую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи,  некоторые из которых — не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических направлений!

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке — проблема континуума — была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К.Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них — гипотеза о нулях дзета-функции— был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, — еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе,— здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь «представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблем, сделанный Гильбертом, был в основном правильным: разработка идей, связанных с их содержанием, составила значительную часть математики XX века. В решении этих проблем принимали участие очень многие талантливые математики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его многочисленные ученики. Замечательное место среди них принадлежит отечественным математикам. В то время Россия не была еще мощной математической державой, подобной Германии или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и дала миру ряд выдающихся математиков, среди них — величайших математических гениев — Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отечественной математики был еще впереди. На конгрессе в Париже русская делегация была сравнительно небольшой— 9 человек (сравните: Франция — 90, Германия — 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали — о нулях — С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профессор   М. А. Тихомандрицкий.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12397. КОНФИГУРИРОВАНИЕ И КАЛИБРОВКА МИКРОПРОЦЕССОРНОГО ИНДИКАТОРА ИТМ-11 ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИГНАЛИЗАЦИИ 1.55 MB
  Лабораторная работа № 6 КОНФИГУРИРОВАНИЕ И КАЛИБРОВКА МИКРОПРОЦЕССОРНОГО ИНДИКАТОРА ИТМ11 ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИГНАЛИЗАЦИИ 1. Постановка задачи по лабораторной работе. Индикатор технологический микропроцессорный ИТМ11 необходимо настроить как однок...
12398. Зібрати і дослідити схеми системи ТУ з комбінаційним методом обирання 1.15 MB
  РОБОТА № 7 Дешифратори Мета роботи: Зібрати і дослідити схеми системи ТУ з комбінаційним методом обирання. Теоретичні положення Телекерування є управління на відстані при якому по одних і тих же лініях звязку передаються різні сигнали наказів. Управління о
12399. ДОСЛІДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАШИННОГО ПІДСИЛЮВАЧА З ПОПЕРЕЧНИМ ПОЛЕМ 755.5 KB
  РОБОТА № 8 ДОСЛІДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАШИННОГО ПІДСИЛЮВАЧА З ПОПЕРЕЧНИМ ПОЛЕМ Мета роботи. Ознайомитися із принципом дії й визначити статичні характеристики электромашинного підсилювача з поперечним полем. Короткі теоретичні відомості. У сучасному автоматизованому е...
12400. Керування напруги генератора вугільним регулятором 446.5 KB
  Лабораторна работа № 9 Керування напруги генератора вугільним регулятором Мета работи. Дослідження статичних та динамичних характеристик генератора керованного вугільним регулятором. Скорочені конструктивні та теоретичні відомості. Лабораторна у
12401. ГРАФІЧНІ АНИМАЦІЇ КОМПОНЕНТОЮ Animate 147 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА ГРАФІЧНІ АНИМАЦІЇ КОМПОНЕНТОЮ Animate Ціль лабораторної роботи складається з вивчення: структури і призначення елементів інтегрованого середовища С Buіlder для розробки прикладних програм С з відеороликами та мультіпликаціями на основі компоне
12402. РОДОСЛІДЖЕННЯ АЛГОРИТМУ ДИНАМІЧНОЇ ГРАФІКИ 75 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7 РОДОСЛІДЖЕННЯ АЛГОРИТМУ ДИНАМІЧНОЇ ГРАФІКИ Ціль лабораторної роботи складається з вивчення: структури і призначення елементів інтегрованого середовища С Buіlder для розробки функцій прикладної програми С до блоксхем алгоритмів з динамічної...
12403. Моделювання роботи мікропроцесорного прибору ІТМ-11 в середовищі С++Builder 203 KB
  Лабораторна робота № 8 Моделювання роботи мікропроцесорного прибору ІТМ11 в середовищі СBuilder Мета: навчитися створювати комп’ютерну імітаційну модель роботи мікропроцесорного приладу ІТМ11 використовуючи стандартні компоненти С Builder. 1. Відомості по приладу ...
12404. РОБОТА С ФРАГМЕНТАМИ IMAGE 77.5 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 9 РОБОТА С ФРАГМЕНТАМИ IMAGE Ціль лабораторної роботи складається з вивчення: структури і призначення елементів інтегрованого середовища С Buіlder для розробки прикладних програм С по роботі на формі вікна з фрагментами зображення з файлу .bmp на осн
12405. Компоненты отображения иерархических данных 165 KB
  Лабораторная работа № 10 Компоненты отображения иерархических данных Цель лабораторной работы состоит в изучении методики работы с компонентами отображения произвольных иерархических данных. Общие сведения о компонентах В библиотеке VCL для отображения иерар...