7157

Автоматизированные системы научных исследований

Конспект

Информатика, кибернетика и программирование

Автоматизированные системы научных исследований. Некоторые сведения из математического анализа. Геометрический смысл производной...

Русский

2013-01-17

1015.5 KB

43 чел.

Автоматизированные системы научных исследований.

1. Некоторые сведения из математического анализа.

1.1 Геометрический смысл производной.

                        

Существует три варианта нулевого наклона.

Локальный мах.

Локальный min.

  

Точка горизонтального перегиба.                                                       

Физический смысл производной – скорость.

V=Lim ΔS / Δt

Вторая производная , это производная от первой производной  y"=(y')'. Это скорость изменения скорости т.е. ускорение или замедление. Если производная положительна то скорость возрастает  и наоборот, когда отрицательна скорость убывает.

Если  у = 0, то скорость неизменна, угол наклона постоянный.

Через   у'  и   у"   вычисляется радиус кривизны. Чем больше вторая производная, тем больше кривизна по абсолютной величине.

1.2 Свойство степенного полинома.

             

у =∑аi xi                              х – Аргумент

                                             у – Функция

                                             аi – Числовые коэффициенты

1.2.1 Полином нулевой степени.

             у= а0                                                                                   у'=0   

                                         

1.2.2 Полином первой степени.

У= а0 + а1х

 tgα= а1                          y'= а1                                                   y"=0

                  

1.2.3 Полином второй степень (максимально 2 корня, одна точка экстремума)

У= а0 + а1х + а2х²                          у ' = а1+2а2 х      tgα=2a2                   

       у " = 2а2                                                                  у"' = 0

               

                                                                        

                                                                                

         

Симметрия: Парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через точку экстремума.

1.2.4 Посмотрим как ведет себя полином 3-ей степени (корней 3).

У полинома n степени может быть  n-1 точек мах и min; точек перегиба  n-2 (т.к. это корни второй производной).

Путем подбора коэффициентов смещения “в” и “c” (u=x+в, v=dy+c) и масштабного коэффициента “d” любой полином второй степени можно свести к виду V=u². График  полинома  второй степени имеет такой же вид, как и  V=u².

Отличие лишь в смещении относительно начала координат и масштабе.

Для полинома третей степени и выше такие преобразования провести нельзя т.к. в них число коэффициентов больше трех.

Ветви полинома четной степени уходят вверх при an > 0 и уходит вниз при  an<0

Полином третьей степени.

 у=а01х+а2х²+а3х³               у'= а1+2а2х+3а3х²

                                               

у"=2а2+6а3х   tgα=6a3                              у"'=6а3

                                        

График полинома третей степени симметричен относительно точки перегиба.

График полинома четвертой степени не симметричен.

1.3 Математическое понятие гладкости

(Отличают гладкость и плавность)

Связана с разрывом производных.

Если производные первой степени  У'+ ≠ У'-  слева и справа не разны, то это нарушение гладкости.

Многозвенные функции:

Каждый участок кривой между двумя соседними точками описывается своим уравнением.

            х1    х2     х3  .  .  .  .хn

     

y = f1(x)              X1XX2

y = f2(x)              X2 < XX3

y = f n-1(x)             Xn-1 < XXn

Spline функции – многозвенные функции, звенья которых описываются степенными полиномами.

На любом наборе заданных точек можно построить много кривых (им соответствует много уравнений).

Класс функций   Сº  - Это все возможные функции, построенные на данном наборе узловых точек, но может быть разрыв первых производных в узловых точках (а сама функция неразрывна).

          

Класс  С¹   - непрерывна функция и непрерывна первая производная в узловых точках.

 C0 :    У+ = У-

 C1 :    У+ = У-  ;   У'+ = У'-

Класс   С² - Непрерывна функция, первая и вторая производная в узловых точках

 C² :   У+ = У-  ;   У'+ = У-'  ;   У''+ = У-''                                                            

Можно утверждать, что: y=f(x)€ Cº  <= f(x)€ C¹ <= f(x)€ C² <= . . .  <= f(x)€ C°°

Геометрически это можно представить след. образом.

             с0      с1           с2           с3                                               

          

Чем больше индекс "n" в обозначении Сn , тем выше гладкость функции.

С¹- гладкость первого порядка.

С²- гладкость второго порядка.

. . .

С- гладкость n-го порядка

С°°- бесконечно гладкая функция

2. Интерполяция функции

2.1 Общая постановка задачи интерполяции.

2.1.1 Предварительная (бытовая) постановка задачи.

Дана таблица:

i

x

y

1

X1

Y1

2

X2

Y2

3

...

n

Xn

Yn

Надо найти кривую соотв. этим точкам.

       

2.1.2 Строгая математическая постановка задачи

Дана таблица точек, дан вид уравнений функции

Y=f (a0, a1, a2, . . . am, x), с неизвестными коэффициентами a0, a1, a2, . . . am

Пример:  Y = a0 sin (a1 x) +(a2/x3) +√ (а3 x) 

Количество неизвестных коэффициентов должно дыть равно количеству точек. Если коэффициентов больше, то задача имеет бесконечно много решений. Если коэффициентов меньше, то скорее всего задача вообще не будет иметь решений.

Требуется определить коэффициенты точек, чтобы график проходил через данные точки.


ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Постановка задачи:

Дано: две точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2).

Требуется: найти формулу вычисления координаты y* точки, лежащей на прямой проходящей через эти точки и имеющей заданную координату х= х*.

Решение: Из подобия треугольников находим:

Если задано много узловых точек, то линейная интерполяция соответствует интерполяции сплайном первой степени класса С0. Сначала для заданного значения х* определяем участок (хi,xi+1,), на котором находится проекция искомой точки. Затем выполняем линейную интерполяцию по формуле:

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СТЕПЕННЫМ ПОЛИНОМОМ.

Степенным полиномом называется функция вида:

где: m - степень полинома.

Или:

Постановка задачи интерполяции полиномом.

Дана таблица в которой количество точек равно степени полинома +1.

i

x

y

1

x1

y1

2

x2

y2

3

x3

y3

…….

...

...

n=m+1

xn

yn

  Рис.1

Нужно подобрать такие коэффициенты, чтобы график проходил через все заданные точки.

Решение.

Подставим точку с номером 1 в уравнение:

следовательно точку с номером 2 в уравнение:

и т.д.:

последнее уравнение:  

здесь: x1, y1, x2, y2, …, xn, yn – известные значения координат точек.

          a0, a1, ….., am – искомые координаты.

Получилась система линейных алгебраических уравнений, решив её мы решим задачу. Очевидно, что для того, чтобы система могла иметь единственное решение, количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Следовательно степень полинома должна быть на единицу меньше, чем количество точек (m=n-1). Если взять степенной полином m>n-1, то система может не иметь решений. Если выбрать m<n-1, то система может не иметь решений. Решать систему с большим количеством уравнений очень неудобно.

Поэтому в математике придумали много интерполяционных формул. Было два математика, которые оставили великий след в этой области: Ньютон и Лагранж.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Он использовал аппарат “базисных функций” или “индексных функций”.

Преобразуем формулу линейной интерполяции к виду Лагранжа. Исходная формула имеет вид:

                  (1)

Если выполнить произведение подобных и вынести y1 и  y2 как сомножители, то получим следующею формулу:

             (2)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа для двух точек.

Формула (2) содержит базисные полиномы первой степени (в виде дробей) и коэффициенты перед ними. Значения коэффициентов известны. Если в формулу (2) подставить х1 вместо x, то первая дробь будет равна 1, а остальные обратятся в ноль. Останется только y1. Если подставить х2, то останется только y2. На этой идеи Лагранж построил уравнение:

Дроби должны обладать свойством:

  1.  Если подставить х1 вместо x, то все дроби будут равны нулю, кроме первой, она будет равна 1.
  2.  Если подставить х2 вместо x, то все дроби будут равны нулю, кроме второй, она будет равна 1.
  3.  И так далее.
  4.  Если подставить хn вместо x, то все дроби будут равны нулю, кроме nной, она будет равна 1.

Построим формулу для которой это свойство выполняется:

Если в эту дробь вместо x подставить не х1, а координату х какой-либо другой узловой точки, то вся дробь будет равна нулю, так как какой либо сомножитель в числителе будет равняться нулю.

Если на этом остановиться, то график пройдёт через точки 1 и 2. Для всех остальных xi узловых точек будет yi=0.

         (3)

Каждая из этих дробей является полиномом степени m.

Формула (3) называется “интерполяционная формула Лагранжа”.

Таким образом мы построим график, который проходит через все заданные точки (см. рис.1). В общем виде формула (3) выглядит следующим образом:

Здесь видно, что это полином в степени “n-1”.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНОМ.

Постановка задачи такая же как и в предыдущей задаче.

Мы сначала сформулируем классическую теорему о сплайнах, которая дала толчок, и привела к тому что интерполяция степенным полиномом перестала применяться. Интерполяция степенным полиномом не обладает свойством устойчивости.

Небольшое изменение какой-либо точки может до неузнаваемости  изменить график полинома. Особо ярко это представляется при высоких степенях.  

Чтобы решить эту проблему применяют сплайны. Сплайн обладает замечательным свойством: он даёт относительно плавные кривые и обладает некими условиями гладкости. График сплайна имеет такую форму, при которой потенциальная энергия изогнутой упругой линейки была бы минимальной. Речь идёт о кубических сплайнах класса С2.

 Теорема. Среди всех функций класса С2, графики которых проходят через заданные точки минимум интеграла

                       (1)

даёт полный кубический сплайн, построенный при двух дополнительных условиях:

; .

Два дополнительных условия означают, что вторые производные на концах равны нулю.

В формулировке этой теоремы главные члены предложения: подлежащее – кубический сплайн, сказуемое – даёт минимум интеграла.

Первая часть теоремы означает, что есть заданные точки, через которые будут проводить графики функций класса С2.

Вторая часть теоремы означает, что среди всех таких функций сплайн даёт минимум интеграла очень похожего на выражение для потенциальной энергии:

                 (2)

Самая хорошая форма будет при минимуме интеграла (2). При условии когда знаменатель будет равен единице (т.е. y’=0), интегралы будут одинаковы. Следовательно сплайн минимизирует потенциальную энергию только при малых значениях первой производной. Если есть участки, где первая производная значительно больше, чем на остальных участках, то эти формулы дадут разные значения и потенциальная энергия сплайна не будет минимальной.

Из этого положения выходят очень просто. Делают не y(x), а x(t) и y(t), где t – физический параметр, задаваемый приблизительно равномерным (например, длина кривой). Если t задать равномерно, то получится более или менее хороший результат. При плохом выборе t проявится тот же недостаток.

 Третья часть теоремы: сплайн построен при двух дополнительных условиях.

Через любой заданный набор точек можно провести бесконечное множество сплайнов класса С2.

Сплайн – это многозвенная функция, каждый участок которой описывается полином третьей степени, т.е.:

   ,

где второй индекс означает номер участка.

Кривую на втором участке описывает уравнение:

    <,

И та далее.

На последнем участке:        

   <.

Решить задачу интерполяции означает найти все коэффициенты.

Здесь количество коэффициентов больше чем точек. Количество участков равно n-1. Коли-чество коэффициентов равно 4(n-1).

Условие интерполяции (прохождение графиков участков через заданные точки) дает 2(n-1) уравнений:

Это условие читается так: “y” даёт 2(n-1) условий.

График первого полинома проходит через точки 1 и 2:

Второй участок:

Третий участок:

И так далее.

Последний, (n-1) участок:

Итого 2(n-1) условий.

Здесь все “x” и “y” известны, но неизвестны “a”.

Условие гладкости (отсутствие изломов) даёт ещё n-2 условий:

Условие гладкости для  второй точки:

Для третьей точки:

И так далее.

Для предпоследней, (n-1) точки:

Итого условий неразрывности первой производной.

Второе условие гладкости (непрерывность второй производной, т.к. функция класса С2):

 Для второй точки:

И так далее.

Для предпоследней, (n-1) точки:

Итого  условий неразрывности второй производной.

Сложим три условия:

+

      

Не хватает ещё двух условий. Уравнений получается на два меньше, чем коэффициентов. Поэтому в теореме существует два дополнительных условия. Приравняем нулю вторые производные на концах (два дополнительных условия):

Теперь мы можем решить задачу. Число уравнений равно числу коэффициентов.

С помощью алгебраических преобразований задачу можно свести к решению системы линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей:  

   Трехдиагональная матрица.

Очевидно, такая система решается очень просто. Для её решения разработаны специальные компактные алгоритмы и программы для ЭВМ.

Физический смысл: если , то кривизны нет.

Это соответствует форме упругой линейки или балки со свободными концами, т. е. с отсутствием каких-либо условий, кроме точек опоры. Такая балка на концах не будет иметь кривизны.


Следствие из основной теоремы о сплайнах

Следствие полезнее, чем основная теорема. Имеет большое практическое значение. Речь идет о дополнительных условиях. Если вместо условий  из основной теоремы о сплайнах задать два других дополнительных недостающих условия для коэффициента, то можно решить систему уравнений. Если нет дополнительных условий, то на концах происходит выполаживание.

Следствие из основной теоремы о сплайнах:

Среди всех функций класса С2 , графики которые проходят через заданный набор узловых точек и выполняются два дополнительных условия, минимум интеграла дает кубический сплайн класса С2 , построенный при этих условиях.

Т.о., следствий можно сформулировать очень много, задавая различные пары дополнительных условий.

Наиболее типичные дополнительные условия:

1. Мы знаем значение производной на одном конце и другом:

;

Этот вариант можно использовать для задания необходимых геометрических углов входа и выхода средней линии профиля лопасти гидротурбины или насоса.

2. Известны значения вторых производных на концах (скорость изменения).

 ; 

Физический аналог этой модели на примере упругой изогнутой балки – это задание изгибающих моментов или заделки на концах. Как и в основной теореме о сплайнах: потенциальная энергия изогнутой упругой балки близка к минимуму. Минимум интеграла => нет лишних изгибов, лишней кривизны.

С помощью этого варианта можно управлять кривизной того же профиля на входе и выходе. В частности, если задать нулевые значения второй производной, то получаем основную теорему о сплайнах.

3. Нет коэффициента при третьей степени (полином второй степени) на крайних звеньях . Т.е. задана равномерно распределенная нагрузка на концах (можно задать ее в любом месте), но знать величину нагрузки не надо – нам достаточно появления двух новых уравнений для решения системы:

 ; 

4. Совпадают уравнения на двух соседних участках. Должно быть два таких условия. Например, на первых звеньях:

Физически эти уравнения эквивалентны выражению:

- нет разрыва третьей производной => все коэффициенты одинаковы, поскольку всего получено 4 условия в точке стыка (еще 3 условия, т.к. функция класса C2). То же самое и на другом конце. Приведенное выше выражение является условием увеличения гладкости.

Большим преимуществом данного условия, определившим его большое распространение на практике, является то, что не нужно знать значения третьей производной на стыках, достаточно того, что она непрерывна, т.е. появилось еще два уравнения в системе и она замкнулась, а => ее можно решить (не задавая никаких новых числовых значений и не зная значения третьей производной!).

В отличие от основной теореме о сплайнах и от варианта 3, где также не нужно задавать числовые значения, в этом варианте не загрубляется форма крайних звеньев.

Физический аналог из сопромата: балка без опоры в предпоследней точке с каждого края => вторая производная на концах не равна нулю => есть кривизна => наложен изгибающие моменты в крайних точках, такие, чтобы балка проходила через предпоследние точки (там, где нет опоры).

Здесь вторая производная на концах не равна нулю и есть кривизна, кривая проходит гладко, с потенциальной энергией изгиба, близкой к минимуму (см.рис.). Т.о., наложив два дополнительных условия, получили хороший сплайн с потенциальной энергией, близкой к минимуму (минимум интеграла от квадрата второй производной). При этом не задается дополнительных числовых значений и не находятся производные на концах, что привело к значительному распространению на практике.

3. Аппроксимация

Будем рассматривать задачи обработки данных при условии, что координаты исходных точек содержат ошибки (например, погрешность эксперимента), которые желательно исправить.

3.1.Классы задач:

I. Имеется очень большое количество точек с большим шумом.

Полученная кривая - приблизительный результат

Имеется два подхода к решению этой задачи:

1.а. Разложение функции вблизи исходных точек в ряд Тейлора или Маклорена с использованием приближенных значений функции и производных. Для периодических функций используют анализ Фурье (разложение в тригонометрические ряды).

1.б. Математические фильтры.

Простейший вариант - линейный интерполяционный фильтр. Через каждую пару соседних точек проводят отрезок прямой и соединяют середины этих отрезков. Для полученных таким образом точек процедуру можно повторять. Каждый раз количество точек уменьшается на единицу.

Линейный аппроксимационный фильтр: вблизи группы первых трех или более точек проводят аппроксимирующую прямую (см. класс задач II).

Первая точка фильтра имеет значение “х” равное среднему значению координаты “х” исходных точек группы, а значение “y” вычисляется по аппроксимирующей прямой.

Для вычисления координат следующей точки группа смещается на одну точку (удаляется первая точка группы и добавляется одна следующая точка). И так далее. Полученные точки фильтра соединяют методом интерполяции. Процедуру также можно повторять многократно, на каждом шаге количество точек уменьшается на 2 и более.

Существует множество различных фильтров. Как интерполяционный, так и аппрок-симационный фильтры могут быть нелинейными. Для нелинейного интерполяционного фильтра вместо отрезка, проходящего через две соседних точки, проводят интерполяционный полином степени “n” через “n-1” соседние точки. Для нелинейного аппроксимационного фильтра “n” соседних точек аппроксимируют степенным полиномом степени “n-2” или меньше.

II. В этом классе задач точек мало при небольшом уровне шума. Этот класс задач будем изучать подробно.

3.2. Постановка задачи аппроксимации:

1-й вариант – предварительная постановка.

Дано: таблица значений координат исходных точек.

i

х

у

1

х1

у1

2

х3

у2

3

х3

у3

n

уn

у n

Требуется провести кривую вблизи этих точек (так как они с ошибками), по возможности устранив эти ошибки, т.е. приблизиться к истине. Проблема в том, что не известна величина погрешности в каждой точке и не известно какими уравнениями описывается кривая.

2-й вариант – строгая математическая постановка задачи.

i

x

у

1

х1

y1

2

х2

y2

3

х3

y3

n

xn

yn

Дано:

  1.  Таблица данных.
  2.  Уравнение аппроксимирующей функции с неизвестными коэффициентами.
  3.  Задан критерий близости, который требуется минимизировать.

- мера близости

В аппроксимации количество коэффициентов в большинстве случаев должно быть существенно меньше, чем количество точек, в отличие от интерполяции, где коэффициентов столько же, сколько точек. Проблема в выборе формулы аппроксимирующей функции и формулы критерия близости. Если вид функции известен из физики задачи, то следует применять аппроксимирующую функцию именно такого вида. Что делать, если вид функции не известен из физики задачи? Строгих математических методов для выбора формулы аппроксимирующей функции не существует. Некоторые рекомендации в зависимости от внешнего общего вида кривой можно найти в справочнике по высшей математике Бронштейна и Семендяева.

Часто используется аппроксимация степенным полиномом. При этом учитывают свойства полиномов. Например, количество возможных точек экстремума и точек перегиба. Полином третьей степени рекомендуется использовать в том случае, если график функции симметричен относительно единственной, возможной точки перегиба.

Для выбора критерия близости используют строгие математические методы на основе теории вероятностей и математической статистики.

3.3. Общий подход к выбору критерия близости.

3.3.1. Метод наибольшего правдоподобия.

Могут быть самые разные функции распределения ошибок. Как правило, хотя и не обязательно, чем больше отклонение от нуля, тем вероятность меньше.

Метод заключается в том: что строятся алгоритмы (последовательные приближения) с помощью которого снижают вероятность отклонения аппроксимирующей величины от истины, с учетом конкретной функции распределения. Этот метод чрезвычайно сложен и на практике применяется очень редко. В то же время для каждой конкретной функции распределения ошибок можно вывести конкретный критерий близости.

3.3.2 Равномерное распределение – любая ошибка равновероятна.

Критерий близости для него:

- критерий минимакса.

     При равномерном распределении отклонений метод минимакса дает результат, совпадающий с результатом метода наибольшего правдоподобия

yi – исходные значения функции.

- аппроксимирующие значения функции.

n-количество точек.

Каждому набору коэффициентов соответствует свое значение наибольшего отклонения. Максимум должен иметь минимальное значение: из всех наборов коэффициентов необходимо выбрать такой набор, при котором наибольшее отклонение минимально, т.е. сначала для каждого набора вычисляется наибольшее отклонение, а затем из всех наборов выбирают такой набор, при котором это отклонение наименьшее. Конечно, такой перебор всех возможных наборов значений коэффициентов выполнить невозможно, это лишь иллюстрация для понимания метода.

Разработаны математические методы, которые позволяют сразу вычислять искомый набор значений коэффициентов. В исследование и разработку этих методов большой вклад внес великий русский математик П.Л.Чебышев.

3.3.3. Метод наименьших квадратов. Нормальный закон распределения.

- критерий близости

Каждому набору коэффициентов соответствует свое значение суммы квадратов отклонений. Метод наименьших квадратов позволяет вычислить такие значения коэффициентов, при которых сумма квадратов отклонений будет иметь наименьшее значение. Метод дает тот же результат, что и метод наибольшего правдоподобия, если закон распределения нормальный.

3.3.4. Обоснование применения метода наименьших квадратов:

Пример: стрельба по мишени.

Математическое обоснование:

Центральная предельная теорема математической статистики:

Сумма большого числа случайных отклонений стремится к нормальному закону распределения.

Метод наименьших квадратов, поэтому, применяется в двух случаях:

1. Когда известно, что главная причина отклонений дает нормальную функцию распределения, а отклонения, вызванные другими причинами, незначительны по величине.

2. Если есть много причин, вызывающих случайные отклонения, и отклонения, вызванные разными причинами сопоставимы по величине.

3.3.5.Построим алгоритм метода наименьших квадратов:

Возьмем аппроксимирующую функцию следующего вида:

a0,a1,a2 – неизвестные коэффициенты, которые надо найти

Найдем аппроксимирующее значение координаты “y” для первой точки:

Аналогично вычислим аппроксимирующие значения координаты “y” для остальных точек.

Найдем разности исходных и аппроксимирующих значений функции:

Для первой точки:

Для второй точки:

и так далее:

.

.

.

Для последней точки:

Найдем сумму квадратов отклонений:

yi,xi – известные числа из таблицы

Чтобы найти минимум, возьмем производные этого выражения по а0 , a1 и a2:

   

Упростим эти уравнения, сократим на (-2):

      

       

Выполним приведение подобных:

     

               

                    

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а0 , a1 и a2:

   

      

Метод свелся к решению линейной системы алгебраических уравнений.

Очевидно, что решение этой системы дает именно минимум отклонений, так как максимум суммы квадратов отклонений не существует.

Вывод:

Для того, чтобы найти коэффициенты аппроксимирующего полинома второй степени данным методом, достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений.


Лекция за 21.04.04

Выполнил ст гр 5201 Корнеев Ф.Л.

Продолжение темы “Аппроксимация”.

После того, как получили систему линейных уравнений (см предыдущую лекцию), её можно записать в матричном виде:

    

Это в случае полинома 2-ой степени. Если полином степени m, т.е.

                                                 y= a0+a1x+a2x2+…+amxm ,                                   (*)

то матрицы выглядят следующим образом:

    

Для того, чтобы аппроксимировать полином степени m необходимо решить эту  систему линейных алгебраических уравнений.

Однако при решении таких систем происходит потеря точности. Чаще всего их решают методом Челоски (Chelosky). Это модифицированный метод квадратного корня. Матрица левой части преобразуется в произведение двух транспонированных друг другу треугольных матриц.

Типичная потеря точности при вычислениях на ЭВМ проявляется при  вычитании. Происходит это в том случае, когда цифры в нескольких первых разрядах слева совпадают в уменьшаемом и вычитаемом.

Пример:

  35947,246

ˉ 35921,146

----------------------

26,100739

  Здесь потеряно три разряда. Последние три цифры 739 не верны.

Точность теряется и в том случае, когда матрица начинает вести себя как матрица Гилберта (Hilbert). У матрицы Гилберта все  коэффициенты равны 1:

Рассмотрим поведение коэффициентов в уравнении (*). Видно, что при больших по абсолютной величине значениях “x” кривые выполаживаются и становятся похожими друг на друга.

Матрица приближается к матрице Гилберта, откуда и потери. Чтобы избежать этого необходимо провести нормализацию функции (по оси Х), т.е. сместить график по горизонтали так, чтобы х=0 попало в диапазон (xmin, xmax).

Аппроксимация произвольной функции.

Пусть имеется произвольная функция y= f(x,a0,a1,a2,…,am). Задача ставится аналогично предыдущим, но степень сложности решения зависит от формы правой части уравнения, т.е.:

y=a0f0(x)+a1f1(x)+a2f2(x)+…+amfm(x) – линейная форма или форма, линейная по коэффициентам, решение простое.

Здесь:

a0, a1, a2, …, an – искомые коэффициенты;

f0, f1, f2, … ,fm – базисные функции. Это сколь угодно сложные функции (может быть даже разрывные), но не содержащие внутри себя неизвестных коэффициентов.

y= a0+sin(a1x)+xa2+…+am /           -  пример нелинейной формы.

Если взять производные по коэффициентам, то получится система нелинейных уравнений (решение очень сложное и не единственное).

В случае линейной формы можно записать матрицы:

   

Система симметрична относительно главной диагонали, т.е. можно применять тот же метод решения Челоски.

Чебышев разработал метод ортогонализации полиномов, в результате чего коэффициенты не на главной диагонали становятся нулевыми, что упрощает решение задачи.

Если функции близки к ортогональным (когда коэффициенты на главной диагонали значительно больше остальных), то потеря точности будет незначительной. Например, такими функциями являются сплайны.

 

Разложение сплайна в виде линейной формы.

Необходимо для аппроксимации сплайном. При этом необходимо, чтобы у сплайна было меньше звеньев:

Разложить можно как локальный (С1), так и полный (С2) сплайн.

Локальный кубический сплайн.

Допустим, есть какой-нибудь сплайн. Предста-

вим его в виде :

                  y = y1f1+y2f2+y3f3+…+ymfm

Построим базисные сплайны f0, f1, f2, … ,fm такие, что каждый из них принимает значение ноль во всех узловых точках, кроме точки с тем же индексом, для которой значение равно единице, а производные во всех узловых точках равны нулю.

Точка:   1  2  3  …  m

    f1   : 1  0  0  …  0

             f2   : 0  1  0  …  0

    f3   : 0  0  1  …  0

    …     

    fm   : 0  0  0  …  1

Очевидно, что такие базисные сплайны построить можно, т.к. для каждого звена заданы значения функтции и производных в двух точках.

 

                  

Если провести интерполяцию по таким базисным функциям, то график будет иметь плохой вид , т.к. производные во всех узловых точках будут равны нулю.

Для устранения этого недостатка необходимо добавить еще столько же функций gi. При этом при построении дополнительных базисных сплайнов будем считать, что во всех узловых точках функции равны нулю и производные также  равны нулю, кроме одной точки с тем же индексом, для которой производная равна единице. Базисные сплайны будут иметь вид:

Таким образом, разложение будет иметь вид:

y = y1f1+y2f2+y3f3+…ymfm+ y1g1 + y2g2 +…+ ymgm

(всего 2∙m базисных сплайнов).

Линейная форма, построенная на базисных сплайнах любого класса гладкости, дает сплайн того же класса.

Очевидно, что во всех узловых точках  у такого сплайна значения у и у’ будут совпадать со значениями для исходного сплайна.

Следовательно, сплайны полностью совпадут  и задача разложения решена.

Здесь хорошо видно, почему сплайны класса С1 называют локальными. Это происходит потому, что каждая узловая точка со своей производной влияет только на два базисных сплайна.

Полный кубический сплайн.

Разложение полного сплайна аналогично разложению локального, но базисные сплайны полного сплайна будут сплайнами класса С2. Кроме этого на концах сплайнов добавлено условие y´1,m = 0. Получаем:

По выше описанной схеме получим следующую кривую:

По границам производные не обеспечены, поэтому добавляем функции gi :

Таким образом, разложение будет таким:

y = y1f1+y2f2+y3f3+…ymfm+ y1g1 + ymgm

(всего 2+m базисных сплайнов).

Полученный сплайн совпадет с исходным на основании следствия из основной теоремы о сплайнах.

Таким образом, чтобы аппроксимировать функцию сплайном необходимо:            

- выбрать значения хi для узловых точек

- разложить сплайн в виде линейной формы

- найти неизвестные yi (координаты узловых точек, через которые пройдёт сплайн), решив систему линейных алгебраических уравнений.

При аппроксимации функции на базе локального и полного сплайна сумма квадратов отклонений меньше при локальном, а гладкость выше при полном.

Аппроксимация сплайном с уменьшением количества узловых точек является одним из методов аппроксимации функций, следующим из которых является:

Аппроксимация с управлением отклонениями

(с использованием коэффициента сглаживания).

При рассмотрении основной теоремы о сплайнах говорилось о том, что интеграл   близок к выражению для потенциальной энергии. Значит, с помощью такого интеграла можно управлять плавностью.

В этом методе целевая функция (критерий близости) задается в виде:       

        (**)

где α – коэффициент сглаживания          0≤α<1

Это аппроксимация методом наименьших квадратов с управлением  отклонениями.

Если в левом слагаемом вместо  поставить выражение из какой-либо другой классической целевой функции (например,  - критерий минимакса), то получим аппроксимацию соответствующим методом с управлением отклонениями.

Из (**) видно, что с увеличением α улучшается плавность кривой, но увеличиваются отклонения точек и наоборот.

Следующим методом является:

Аппроксимация сплайном в заданном коридоре.

Основан метод на том, что при обработке результатов эксперимента известна его точность, т.е. задаются максимально допустимые отклонения в каждой точке (коридор).

  1.  заданный коридор отклонений
  2.  кривая, полученная рассматри-

    ваемым методом

  1.  истинная зависимость (во время экспери-

мента не известна).

                                                                              (коридор может иметь разную ширину в разных точках)

Постановка задачи:

Даны точки с допустимыми отклонениями. Построить полный кубический сплайн таким образом, чтобы график не выходил за пределы коридора и минимизировалось значение интеграла .

В процессе решения используется , и задача решается методом последовательных приближений.

Недостатки :

  1.  отсутствует условие приближения к истине (нет критерия близости)
  2.  строятся максимально плавные функции с минимальной потенциальной энергией (излишне выполаживаются, особенно на концах – см. рисунок).

Аппроксимация функций нескольких переменных.

Пусть функция двух аргументов аппроксимируется по методу наименьших квадратов степенным полиномом  , тогда матрица этой функции будет иметь вид:

Подобная матрица состоит из “квадратов”, в которых коэффициенты симметричны относительно своей главной диагонали. Сами эти квадраты также расположены симметрично относительно главной диагонали всей матрицы. Из этих “квадратов” составляется система уравнений. Решение аналогично предыдущим методам.

Количество аргументов может быть и больше двух. В этом случае симметрия также имеет место.

Точность решения системы с увеличением количества аргументов не падает, если эти аргументы являются независимыми друг от друга. В этом случае увеличение количества аргументов не влияет на ортогональность базисных функций.


                       ФУНКЦИИ     МНОГИХ    ПЕРЕМЕННЫХ.

                                                                             m  n

    Рассмотрим функцию двух переменных:   Z =∑∑aijxiyj

                                                                                                                   i=0j=0

    При аппроксимации этой функции степенным полиномом матрица функции выглядит следующим образом:

             

 

  Если интерполируем функцию двух переменных сплайном, то это возможно только,  если исходные точки образуют  регулярную сетку (см. рис 1). На каждом прямоугольнике этой сетки у нас будет свой бикубический полином. Также и интерполяция полиномом Лагранжа – возможна  только на регулярной сетке.

    При аппроксимации  сплайном (по методу с уменьшением количества узловых точек),  либо степенным полиномом, регулярная сетка уже не требуется.

    При аппроксимации  сплайном сетку базисных сплайнов строим так, чтобы в каждый четырёхугольник сетки попала хотя бы одна точка (рис.2). Это необходимое условие для построения математической модели поверхности.

    В противном случае, если хоть в один прямоугольник сетки точка не попадёт (рис.3), то построить поверхность правильно нам не удастся. Количество уравнений для определения коэффициентов будет меньше, чем количество самих неизвестных коэффициентов.

    Для уменьшения погрешностей вычислений желательно иметь базисные функции, близкие к ортогональным. В случае функции двух переменных X и Y изначально ортогональны, что упрощает задачу и не снижает точность построения математической модели поверхности.

                                  НАТУРАЛЬНЫЕ     СПЛАЙНЫ.

    У сплайна есть недостаток - интерполяция сплайном не возможна, если точки расположены произвольно,  нам нужна регулярная сетка. Этим недостатком не обладает натуральный сплайн.

   Для каждого из звеньев обычного сплайна для функции одной переменной можно записать:

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…..+anxn

    Его можно представить в виде линейной формы:

F(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+a2f2(x)+…..+anfn(x), где f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x2, fn(x)=xn.

    Натуральный сплайн строится иначе.

                    Решим задачу интерполяции натуральным сплайном.

    У нас есть исходные точки. Для каждой точки (каждого”х”) выписываем свой базисный натуральный сплайн. Его график имеет вид “ горбушки”, а уравнение выглядит так же, как и у степенного сплайна, но в слагаемые при нечётных степенях входит натуральный логарифм.

fi(x)=a0if0i(x-xi)+a1if1i(x-xi)+…..+anifni(x-xi)

    Коэффициенты a0i, a1i, a2i и т.д.  подбираются так, чтобы натуральный сплайн имел “горбушку”.

    График натурального сплайна для одной точки изображён на рис.4:

Ветви  “ горбушки” асиметрически приближаются к оси  0х при х→∞ и  х→-∞.

    Для других точек строим такие же “ горбушки”, а общий вид уравнения - это сумма всех     “ горбушек” (см. рис.5), помноженных на неизвестные коэффициенты:

f(x)=b1f1(x)+b2f2(x)+…+bnfn(x)

T.к. количество точек равно количеству “горбушек”, то коэффициенты bn можем подобрать так, чтобы график проходил через все точки.

    Для функции многих переменных, “ горбушки”  выглядят следующим образом                                            (см. Рис 6 ):

    Здесь регулярность сетки не важна т.к. поверхность и так пройдёт через все точки.

Получается, что у поверхности есть набор точек,  у каждой точки есть свои xi, yi, zi, строим для каждой точки свои “ горбушки”, где верх горбушки лежит на точке zi=1, при заданном xi, yi.

        Достоинства:

  1.  Не требуется регулярности в исходных точках, они могут располагаться произвольно (а бикубический сплайн не может быть построен без регулярной сетки).

  1.  С увеличением числа аргументов, количество неизвестных коэффициентов в интерполирующей функции не меняется, оно равно количеству заданных точек.

        Задача аппроксимации.

    Для задачи интерполяции вид результирующего сплайна зависит от результата сложения “горбушек” (см. рис 7),  сглаживающими свойствами этот сплайн не обладает.

      Решим задачу  аппроксимации;

     Предварительная постановка задачи:

 

     Дано:              таблица точек;

                             выражение для натурального сплайна;

                             критерий близости;

      Надо:             найти коэффициенты так, чтобы сплайн проходил вблизи заданных                     

                             точек, и по возможности исправлять ошибки эксперемента.

       В более строгой математический постановке задачи минимизируем функционал:

    F(x)=(1-α)∑(z-zi)2+α[∫zxxdx2+∫zxydxdy+∫zyydy2]

                                 i

где α, -коэффициент сглаживания. Его можно варьировать, меняя  плавность. С увеличением α плавность повышается, но удаляемся от исходных точек, и наоборот.

      Параметр Харди (h) входит в выражение: fi(x)=a0if0i(x-xi)+a1if1i(x-xi)+…+anifni(x-xi),

где x-xi  на самом деле выглядит: x-xi+h. С ним можно придать “горбушке” более сложный вид.

     Рассмотрим третий параметр - степень многочлена.

    Производим аппроксимацию функцией двух переменных

                i=m

                 j=n

F(x,y)=∑aijxiyj+N(x)     , где m=n - степень многочлена (полинома)

                 i=0

                 j=0

и где N(x)- натуральный сплайн для функции одной переменной.

    Степень полинома определяет экстремальные свойства сплайна (за пределами области исходных точек),  а степень сплайна определяет локальные свойства сплайна.


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  МОДЕЛЬ  УНИВЕРСАЛЬНОЙ                                  ХАРАКТИКИ        ГИДРОТУРБИНЫ
.

   В данном задании строится математическая модель универсальной характеристики гидротурбины. Будет использоваться двухпараметрическая модель, так можно строить математическую модель универсальной характеристики радиально-осевой гидротурбины, а также, пропеллерной и главной универсальной характеристик поворотнолопастной гидротурбины.    Главная универсальная характеристика гидротурбины представляет собой огибающую семейства пропеллерных характеристик, и соответствует  комбинаторному режиму для поворотнолопастных турбин (см. рис.1).  

    

     Исходный материал для выполнения задания - копия универсальной характеристики на бумаге.

                                      Работа состоит из следующих частей:

  1.Подготовительная часть: снятие исходных данных, предварительный контроль в Microsoft Excel . Необходимо строго придерживаться правила ввода каждой единицы информации один раз (дублирование информации - источник ошибок).

  2.Построение математической модели: выполняется с помощью специализированной подсистемы САПР (АСНИ).

    Математическая модель представляет собой поверхность, она различна для разных функций   и для каждой функции строится отдельно: σ,η,φ,ao=f(Q1’  , n1).

    Для построения математической модели используются сплайны. Для выбора исходных данных создаём  “сетку” в координатах Q1, n1. Теоретически  возможно ограничение зоны математической модели прямоугольником (см. рис.2) и ограничение криволинейным четырёхугольником  (см. рис.3).

  

    Программа, с которой будем работать, строит математическую модель в области прямоугольника. Однако на последующих этапах при использовании этой модели в САПР приходится делать переход к другой форме модели, заданной в области криволинейного четырёхугольника. Поэтому вначале работы строим криволинейный четырёхугольник, описанный вокруг исходных линий уровня. В дальнейшем при снятии координат точек линий уровня, эти  точки должны быть заданы во всей области криволинейного четырёхугольника.

    Программа построения математической модели создана с использованием современных математических методов на основе натуральных сплайнов. Программа не требует регулярности исходных точек и может строить модель по любому набору точек.

    В АСНИ этой программой пользуются для построения математических моделей универсальных характеристик по результатам модельных испытаний в лаборатории гидротурбин.

    Поскольку в задании в качестве исходного материала выдаётся уже нарисованная на  бумаге универсальная характеристика, то удобнее выбирать  точки непосредственно на  линиях уровня. Причём задавать круглое значение одной из координат Q1’   или  n1.

   При построении модели поверхности задаём точки (координаты) по следующим правилам съёма координат:

                                    ПРАВИЛА  СЪЁМА КООРДИНАТ  

1.Для удобства проверки и поиска ошибок точки должны быть упорядочены, т.е. надо выбрать последовательность сьёма точек и придерживаться этого принципа по всей характеристике (см. рис. 4) .

2.Точки снимаем по жирным линиям сетки с учётом наклона.  Задаём точки с такой густотой, что бы задать характер кривой. Близкое расположение точек (густое) нежелательно (см. рис. 5), т.к. небольшие ошибки в наших точках резко изменяют наклон касательной.

 

3.Если исходная  кривая имеет местные неплавности, то точки в данном месте делаем гуще, что бы не было сглаживания этих участков  (случай местной кривизны)  (рис. 6).

4.Чтобы не было экстраполяции при построении математической модели, если кривая вышла на край зоны, мы задаём точку, которая лежит либо на границе, либо снаружи, за     границей криволинейного четырёхугольника,  но так, чтобы не было двух точек рядом (см. рис. 7).

5.Если на исходной характеристике есть внутренние участки, где отсутствуют линии   уровня (например, это бывает для σ), то на этих участках следует задавать дополнительные линии уровня, чтобы избежать лишней немонотонности.

   Для таких  дополнительных линий уровня правило №4 можно не соблюдать (см. рис.8).

                                                                     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51002. Основні тенденції розвитку країни Австралія в міжнародному економічному інтеграційному простору 138.01 KB
  Базою міжнародної економіки є теорія ринкової економіки, мікро- і макроекономіка. Поєднання їх з прикладними економічними дисциплінами, такими, як міжнародний маркетинг, фінанси, облік тощо, дало змогу створити універсальну теорію міжнародної відкритої економіки
51004. Проектирование вторичного источника электропитания 3.83 MB
  Изучить структуру и основные типы промышленных источников питания. По заданию составить структурную схему ИП, рассчитать и выбрать основные элементы: общая компоновка, трансформатор или преобразователь, выпрямитель, фильтр, электронный стабилитрон. Составить общую электрическую схему ИП и рассмотреть принцип действия его элементов...
51005. Изучение газовых законов. Определение показателя адиабаты и политропы 55 KB
  Цель работы: изучение газовых законов, опытное определение показателя адиабаты и политропы воздуха. Приборы и принадлежности: баллон, манометр, насос Камовского.
51007. Изучение распределения Больцмана 44 KB
  Цель работы: изучение распределения Больцмана определение постоянной Больцмана. Компьютер выдал: Вывод: изучили распределение Больцмана определили постоянную Больцмана.
51009. Методи підвищення технічної експлуатації суднових газотурбонагнетачів 3.04 MB
  Суднові двигуни внутрішнього згоряння (ДВЗ) підрозділяють на поршневі і газотурбінні. Робочим тілом у них є гази, які утворюються при згоранні палива безпосередньо в циліндрах поршневих ДВЗ або спеціальних камерах газових турбін. Якщо теплову енергію, преобразуемую двигуном в механічну, використовують для обертання рушіів (на транспортних судах) або для основних виробничих цілей (на суднах технічного флоту)