7165

Определение момента инерции твердых тел при поступательном и вращательном движении

Лабораторная работа

Физика

Определение момента инерции твердых тел 1. Цель работы Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с рас...

Русский

2013-01-17

260 KB

12 чел.

Определение момента инерции твердых тел

1. Цель работы

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 3.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное -  риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 – грузы; 5 – средний кронштейн; 6 – фотодатчик; 7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 – регулировочная опора.

Рис. 3.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значение времени < t >  и  средние значение   квадрата времени < t2 > прохождения груза с перегрузом пути h:

                                                                                  

                                                       (3.1), (3.2)

                                                                           

 

       Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

                        

                               (3.3)

где  ti  − время прохождения  пути  при i –ом измерении ( i =1. … , n);

      n – число измерений;

           < t > – среднее значение времени прохождения  пути.

 

Абсолютная  случайная погрешность  измерения  времени прохождения  пути h:

σсл(t) = t(, n)  S(t)  ;                    (3.4)

где t(, n)  - коэффициент Стьюдента.

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h:

                                                                                                                (3.5)

Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути h:

  σ(t2) = 2 <t> σ(t)                     (3.6)

Исследуемая зависимость двух величин t2 и h является линейной, то есть удовлетворяет  в общем виде формуле:

                   (3.7)

 

 где k - константа, зависящая от параметров экспериментальной

установки:                     

(3.8)               

   где I − его момент инерции блока ;                                       

        R – радиус блока ;

                  M, m – масса груза и перегрузка ;

                  g – ускорение свободного падения.

Параметры линейной зависимости k и b, определенные аналитическим способом по методу наименьших квадратов (МНК):

      (3.9)

          где обозначено:                                                                                  

 

(3.10)

Где  n – число экспериментальных точек,

(hi) и (t2i) – результаты измерений.

Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:

               (3.11)

где

      .  (3.12)

          

 Момент инерции блока Iэ,  вычисленный в ходе эксперимента на основании формулы 3.8:

                                                 (3.13)

Абсолютная погрешности косвенного измерения момента инерции блока Iэ   ( вычисленного в ходе эксперимента):

Влиянием погрешностей определения величин m, M, R, g можно пренебречь, т.к. они определены с более высокой точностью

(3.14)

Момент инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр:

(3.15)

где R − радиус диска;

              m − масса диска.

Объём сплошного диска                          Vсд = πdR2             (3.16)

где d− толщина блока;

       

Масса сплошного диска                       mсд = pVсд           (3.17)

где ρ− плотность материала;

Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can  каждого диска находится по теореме Штейнера.

Объём каждого выреза                             V_can = πdr22   (3.18)

Масса каждого вырезанного диска         m_can= pV_can (3.19)

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:

Ic=1/2∙ m_canr22                                                                  (3.20)

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока

I_can=Ic+ m_can∙ r12                                                              (3.21)

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

          I_an= Iсд - 3∙ I_can                                                             (3.22)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

                                                                                                         Таблица 4.1

Номер изм.

h1 =10

см

h2 =15

см

h3 =20

см

h4 =25

см

h5 =30

см

1

2,374

2,807

3,176

3,699

4,136

2

2,797

2,728

3,151

3,598

3,983

3

2,227

2,803

3,356

3,697

3,804

4

2,195

2,893

3,078

3,628

3,839

5

2,317

2,861

3,198

3,603

3,930

2,382

2,818

3,191

3,645

3,938

5,673

7,943

10,187

13,286

15,510

По формулам 3.1, 3.2 рассчитываем средние значения времени < t >  и  средние значения квадрата времени < t >2.

Расчет для первой точки измерения (h1 =  10,0 см):

< t>1  = (2,374+2,797+2,227+2,195+2,317)/5 = 2,382 с.

< t>21 = (2,3742+2,7972+2,2272+2,1952+2,3172)/5 = 5,673 с2.

Расчет для второй точки измерения (h2 =  15,0 см):

< t>2  = (2,807+2,728+2,803+2,893+2,816)/5 = 2,818 с.

< t>22 = (2,8072+2,7282+2,8032+2,8932+2,812)/5 = 7,943 с2.

Расчет для третьей точки измерения (h3 =  20,0 см):

< t>3  = (3,176+3,151+3,356+3,078+3,198)/5 = 3,191 с.

< t>23 = (3,1762+3,1512+3,3562+3,0782+3,1982)/5 = 10,187 с2.

Расчет для четвертой точки измерения (h4 =  25,0 см):

< t>4  = (3,699+3,598+3,697+3,628+3,603)/5 = 3,645 с.

< t>24 = (3,6992+3,5982+3,6972+3,6282+3,6032)/5 = 13,286 с2.

Расчет для пятой точки измерения (h5 =  30,0 см):

< t>5  = (4,136+3,983+3,804+3,839+3,930)/5 = 3,938 с.

< t>25 = (4,1362+3,9832+3,8042+3,8392+3,9302)/5 = 15,510 с2.

Для расчета случайной погрешности сначала находим стандартную погрешность измерения по формуле 3.3.

Расчет для первой точки измерения.

         Δt1= t1< t>1 = 2,3742,382 =-0,008 с;  

Δt12 = ( -0,008)2 = 0,000064 с2;

Δt2= t2< t>1 = 2,7972,382 =0,415 с;  

Δt22 = ( 0,415)2 = 0,172 с2;

Δt3= t3< t>1 = 2,2272,382 =-0,155 с;  

Δt32 = ( -0,155)2 = 0,024 с2;

Δt4= t4< t>1 = 2,1952,382 =-0,187 с;  

Δt42 = ( -0,014)2 = 0,033 с2;

Δt5= t5< t>1 = 2,3172,382 =0,065 с;  

Δt52 = ( 0,067)2 = 0,004 с2;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения  пути определяется по формуле 3.4.

Так как доверительная вероятность в задании не указана, то опираясь на таблицу коэффициентов Стьюдента, согласно проведенного нами количества попыток, доверительная вероятности  =0,95 и коэффициент Стьюдента t(, n)  = 2,8:

σсл(t) = 2,8 0,21 = 0,6 с.

         Так, как  на миллисекундомере  не  обозначен класс точности прибора и он является цифровым, то его погрешность составляет 1 единица младшего разряда, т. е. 0.001 с.

Тогда согласно формуле 3.5 общая погрешность составит:

Для первой точки измерения (h1=10см):

.

Абсолютную суммарную  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути, рассчитываем по формуле 3.6:

σ(t2) = 2×2,382 ×0,6 =2,8 с2.

Результаты расчетов для первой точки измерения сведены в таблицу 4.2.

                                             

                   Таблица 4.2

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,008

0,000064

2

0,415

0,172

3

-0,155

0,024

4

-0,187

0,033

5

-0,065

0,004

S(t)

0,21 с

σсл

              0,6 с

σ

              0,6 с2

σ(t2 )

              2,8 с2

Для остальных точек измерения расчет производится аналогично.

Результаты расчетов для второй точки измерения сведены в таблицу 4.3.               Таблица 4.3

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,011

0,0001

2

-0,09

0,0081

3

-0,015

0,0002

4

0,075

0,0056

5

0,043

0,0018

S(t)

0,056 с

σсл

              0,156 с

σ

              0,156 с2

σ(t2 )

              0,879 с2

Результаты расчетов для третьей точки измерения сведены в таблицу 4.4.                   Таблица 4.4

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,015

 0,000225

2

-0,040

 0,0016

3

-0,165

 0,02722

4

-0,113

 0,012769

5

0,007

0,0000493

S(t)

0,091 с

σсл

              0,254 с

σ

              0,254 с2

σ(t2 )

              1,621 с2

Результаты расчетов для четвертой точки измерения сведены в таблицу 4.5.               Таблица 4.5

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

0,054

0,002916

2

-0,047

0,002209

3

0,052

0,002704

4

-0,017

0,000289

5

-0,042

0,001764

S(t)

0,044 с

σсл

              0,123 с

σ

              0,123 с2

σ(t2 )

              0,896 с2

Результаты расчетов для пятой точки измерения сведены в таблицу 4.6.               Таблица 4.6

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,198

0,039204

2

0,045

0,002025

3

-0,134

0,017956

4

   -0,001

0,000001

5

-0,008

0,000064

S(t)

0,108 с

σсл

              0,302 с

σ

              0,302 с2

σ(t2 )

              2,378 с2

Так как прибор для измерения расстояния у нас не цифровой, то абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(h)  = 0,05см.

                                                                                                        Таблица 4.7.                                                                                                              

n/n

h , см (S1)

t2,c2(S2)

(t2)2, c4(S5)

t2∙h, см∙c2(S3)

h2, cм2(S4)

1

10,0

5,673

32,182

56,73

100,0

2

15,0

7,943

63,091

119,145

225,0

3

20,0

10,187

103,774

203,74

400,0

4

25,0

13,286

176,517

332,15

625,0

5

30,0

15,510

240,560

465,3

900,0

100,0

52,599

616,124

1177,065

2250,0

Строим график зависимости  h= f(t2) с нанесением экспериментальных точек.  Погрешности указываем в виде доверительных интервалов.

Параметры k и b линейной зависимости t2= f(h), определяем аналитическим способом  по формуле 3.9:

на основании данных таблицы 4.3 по формулам 3.10:

       D = 5×2250,0 – 1002 =1250 cм2.

угловой коэффициент прямой:

       

отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

                                      Искомая зависимость имеет вид:   t2= 0,5h, с2                 (3.7)

Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h:

h01 = 10 см,   t201= 0,5×10= 5,0 c2  

h02 = 30 см,   t202= 0,5×30=15,0 c2   

      Погрешность косвенного измерения параметра прямой линии k определяем по формулам 3.11, 3.12:

  S5 = 616,124 c4,

   

Вычислим момент инерции блока Iэкс, по формуле 3.13 на основании экспериментальных данных:

М=100г.

m=2г.

         R=7,5см.

         g =980,67 см/с2

Экспериментальное значение момента инерции блока по формуле 3.13:

Iэкс = 0,5×2×7,52×980,67×0,500(2+2×100)×7,52=16218,84 г∙см2

Абсолютная погрешность косвенного определения  момента инерции блока Iэ  в ходе эксперимента, по формуле 3.14:

Δ(Iэкс) = 0,5×2×7,52×980,67×0,002 = 110,32 г∙см2

Экспериментальное значение момента инерции блока с учетом погрешности:

Iэкс = (16218,84  ± 110,32) г∙см2 

Используя  геометрические параметры блока,  аналитически рассчитываем его момент инерции.

Толщина блока сантиметрах                    d = 6мм=0,6 см.

Радиус каждого выреза в сантиметрах      r2 = 30мм=3 см.

Плотность металла (латунь)                        = 8400 кг/м3=8,4 г/см3

Радиус диска                                            R=75мм=7,5 см.

Расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого вырезанного диска в сантиметрах                      r1=40мм=4см.

Объём сплошного диска (3.16)                        Vсд = 1,06  см3

Масса сплошного диска (3.17)                         mсд = 8,90 г   

                            

Момент инерции сплошного диска (3.15)       Iсд = 25031 г∙см2

По теореме Штейнера определяем момент инерции каждого диска.

Объём каждого выреза (3.18)                            V_can = 16,95 см3  

              

Масса каждого вырезанного диска (3.19)         m_can=142,38 г        

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс (3.20)                                                               Ic = 6409 г∙см2 

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока (3.21)                                         I_can = 2919,81 г∙см2

Получаем момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков, аналитическим способом (3.22)          I_an = 16298 г∙см2

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ.

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения  t2 = f(h)= 0,5h с2.

Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

 

Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,62 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,63 кг∙м2

Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей  силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние r от оси вращения до линии  действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерции - характеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит  от распределения его массы относительно оси вращения.   

Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением:   dI = r2dm,                                                                         

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

2. Моменты каких сил действуют на блок?

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M1= T1R,    M2= T2R . 

Где Т1 и Т2 –  силы натяжения нитей.

Вращательное движение блока описывается уравнением:

где ε - угловое ускорение блока,   I- его момент инерции,   

 - сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Вращательное движение блока описывается уравнением

3. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулируйте теорему Штейнера.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр:

где R − радиус диска;

              m − масса диска.

Масса диска (цилиндра):

                где r − радиус основания;

          h − толщина диска (высота цилиндра).

Согласно теореме Штейнера, момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

 I = I0 + ml2.

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

- физические допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  

 -погрешности измерения величин;

    -точность вычислений.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60468. УСТНЫЙ ЖУРНАЛ «ПО СТРАНИЦАМ ИСТОРИИ» 363.5 KB
  Цель: Расширить знания детей об освобождении родного края от немецко-фашистских захватчиков, формировать активную жизненную позицию, воспитывать патриотизм и уважение к защитникам Родины.
60469. Моя Батьківщина - Україна 120.5 KB
  Обладнання: картини рідної природи; карта України; символи України; вишиваний рушник колосся і калина; назви народних символів; картки з прислівями назви сторінок усного журналу.
60470. «Україно, квіте любий, сонячная руто…» (Україна у житті та творчості зарубіжних поетів) 101.5 KB
  Володимир Маяковський про Україну 13 січня 1924 року в газеті Пролетарська правда що виходила у Києві було надруковано оголошення: Товаришу Маяковський Робітничі кореспонденти чекають на вас у своєму клубі 13 січня о 1 годині дня. 21 квітня 1845 року він пішов на військову службу.
60472. Усний журнал «Краса в імені твоїм» 95.5 KB
  Мета: ознайомити присутніх із тим, як виникли імена, пояснити значення й походження найпоширеніших жіночих і чоловічих імен; розвивати у студентів артистичні здібності, дикцію, правильність вимови; виховувати повагу до рідкісних імен.
60473. У світі цікавої інформатики (усний журнал) 387 KB
  Мета: підвищити інтерес студентів до вивчення основ інформатики; формування навичок використання засобів сучасних інформаційно комунікаційних технологій; розвинути навички самостійної роботи за комп’ютером...
60474. Сценарій свята зустрічі птахів 66 KB
  Шановне зібрання Ми присутні з вами на святі зустрічі птахів. Сьогодні на святі ви почуєте багато цікавої інформації красивих віршів і висловів про птахів. Зустрічайте юних поетів з віршами про птахів.
60476. Країна Добра і Тепла 42.5 KB
  Які добрі слова і привітання ви знаєте Діточки сіли всі гарненько і послухайте казку Країна теплого пуху€. Казка €œКраїна Теплого Пуху. Колись давно існувала така собі Країна Теплого Пуху. Пуху було дуже багато його вистачало на всіх.