7165

Определение момента инерции твердых тел при поступательном и вращательном движении

Лабораторная работа

Физика

Определение момента инерции твердых тел 1. Цель работы Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с рас...

Русский

2013-01-17

260 KB

12 чел.

Определение момента инерции твердых тел

1. Цель работы

Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 3.1.

На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное -  риску на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.

Машина Атвуда

1 – стойка; 2 – блок; 3 – нить; 4 – грузы; 5 – средний кронштейн; 6 – фотодатчик; 7 – линейка; 8 – миллисекундомер; 9 – регулировочная опора.

Рис. 3.1

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значение времени < t >  и  средние значение   квадрата времени < t2 > прохождения груза с перегрузом пути h:

                                                                                  

                                                       (3.1), (3.2)

                                                                           

 

       Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

                        

                               (3.3)

где  ti  − время прохождения  пути  при i –ом измерении ( i =1. … , n);

      n – число измерений;

           < t > – среднее значение времени прохождения  пути.

 

Абсолютная  случайная погрешность  измерения  времени прохождения  пути h:

σсл(t) = t(, n)  S(t)  ;                    (3.4)

где t(, n)  - коэффициент Стьюдента.

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h:

                                                                                                                (3.5)

Абсолютная суммарная  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути h:

  σ(t2) = 2 <t> σ(t)                     (3.6)

Исследуемая зависимость двух величин t2 и h является линейной, то есть удовлетворяет  в общем виде формуле:

                   (3.7)

 

 где k - константа, зависящая от параметров экспериментальной

установки:                     

(3.8)               

   где I − его момент инерции блока ;                                       

        R – радиус блока ;

                  M, m – масса груза и перегрузка ;

                  g – ускорение свободного падения.

Параметры линейной зависимости k и b, определенные аналитическим способом по методу наименьших квадратов (МНК):

      (3.9)

          где обозначено:                                                                                  

 

(3.10)

Где  n – число экспериментальных точек,

(hi) и (t2i) – результаты измерений.

Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:

               (3.11)

где

      .  (3.12)

          

 Момент инерции блока Iэ,  вычисленный в ходе эксперимента на основании формулы 3.8:

                                                 (3.13)

Абсолютная погрешности косвенного измерения момента инерции блока Iэ   ( вычисленного в ходе эксперимента):

Влиянием погрешностей определения величин m, M, R, g можно пренебречь, т.к. они определены с более высокой точностью

(3.14)

Момент инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр:

(3.15)

где R − радиус диска;

              m − масса диска.

Объём сплошного диска                          Vсд = πdR2             (3.16)

где d− толщина блока;

       

Масса сплошного диска                       mсд = pVсд           (3.17)

где ρ− плотность материала;

Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can  каждого диска находится по теореме Штейнера.

Объём каждого выреза                             V_can = πdr22   (3.18)

Масса каждого вырезанного диска         m_can= pV_can (3.19)

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:

Ic=1/2∙ m_canr22                                                                  (3.20)

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока

I_can=Ic+ m_can∙ r12                                                              (3.21)

Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков

          I_an= Iсд - 3∙ I_can                                                             (3.22)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

                                                                                                         Таблица 4.1

Номер изм.

h1 =10

см

h2 =15

см

h3 =20

см

h4 =25

см

h5 =30

см

1

2,374

2,807

3,176

3,699

4,136

2

2,797

2,728

3,151

3,598

3,983

3

2,227

2,803

3,356

3,697

3,804

4

2,195

2,893

3,078

3,628

3,839

5

2,317

2,861

3,198

3,603

3,930

2,382

2,818

3,191

3,645

3,938

5,673

7,943

10,187

13,286

15,510

По формулам 3.1, 3.2 рассчитываем средние значения времени < t >  и  средние значения квадрата времени < t >2.

Расчет для первой точки измерения (h1 =  10,0 см):

< t>1  = (2,374+2,797+2,227+2,195+2,317)/5 = 2,382 с.

< t>21 = (2,3742+2,7972+2,2272+2,1952+2,3172)/5 = 5,673 с2.

Расчет для второй точки измерения (h2 =  15,0 см):

< t>2  = (2,807+2,728+2,803+2,893+2,816)/5 = 2,818 с.

< t>22 = (2,8072+2,7282+2,8032+2,8932+2,812)/5 = 7,943 с2.

Расчет для третьей точки измерения (h3 =  20,0 см):

< t>3  = (3,176+3,151+3,356+3,078+3,198)/5 = 3,191 с.

< t>23 = (3,1762+3,1512+3,3562+3,0782+3,1982)/5 = 10,187 с2.

Расчет для четвертой точки измерения (h4 =  25,0 см):

< t>4  = (3,699+3,598+3,697+3,628+3,603)/5 = 3,645 с.

< t>24 = (3,6992+3,5982+3,6972+3,6282+3,6032)/5 = 13,286 с2.

Расчет для пятой точки измерения (h5 =  30,0 см):

< t>5  = (4,136+3,983+3,804+3,839+3,930)/5 = 3,938 с.

< t>25 = (4,1362+3,9832+3,8042+3,8392+3,9302)/5 = 15,510 с2.

Для расчета случайной погрешности сначала находим стандартную погрешность измерения по формуле 3.3.

Расчет для первой точки измерения.

         Δt1= t1< t>1 = 2,3742,382 =-0,008 с;  

Δt12 = ( -0,008)2 = 0,000064 с2;

Δt2= t2< t>1 = 2,7972,382 =0,415 с;  

Δt22 = ( 0,415)2 = 0,172 с2;

Δt3= t3< t>1 = 2,2272,382 =-0,155 с;  

Δt32 = ( -0,155)2 = 0,024 с2;

Δt4= t4< t>1 = 2,1952,382 =-0,187 с;  

Δt42 = ( -0,014)2 = 0,033 с2;

Δt5= t5< t>1 = 2,3172,382 =0,065 с;  

Δt52 = ( 0,067)2 = 0,004 с2;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения  пути определяется по формуле 3.4.

Так как доверительная вероятность в задании не указана, то опираясь на таблицу коэффициентов Стьюдента, согласно проведенного нами количества попыток, доверительная вероятности  =0,95 и коэффициент Стьюдента t(, n)  = 2,8:

σсл(t) = 2,8 0,21 = 0,6 с.

         Так, как  на миллисекундомере  не  обозначен класс точности прибора и он является цифровым, то его погрешность составляет 1 единица младшего разряда, т. е. 0.001 с.

Тогда согласно формуле 3.5 общая погрешность составит:

Для первой точки измерения (h1=10см):

.

Абсолютную суммарную  погрешность косвенного измерения квадрата времени  прохождения  пути, рассчитываем по формуле 3.6:

σ(t2) = 2×2,382 ×0,6 =2,8 с2.

Результаты расчетов для первой точки измерения сведены в таблицу 4.2.

                                             

                   Таблица 4.2

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,008

0,000064

2

0,415

0,172

3

-0,155

0,024

4

-0,187

0,033

5

-0,065

0,004

S(t)

0,21 с

σсл

              0,6 с

σ

              0,6 с2

σ(t2 )

              2,8 с2

Для остальных точек измерения расчет производится аналогично.

Результаты расчетов для второй точки измерения сведены в таблицу 4.3.               Таблица 4.3

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,011

0,0001

2

-0,09

0,0081

3

-0,015

0,0002

4

0,075

0,0056

5

0,043

0,0018

S(t)

0,056 с

σсл

              0,156 с

σ

              0,156 с2

σ(t2 )

              0,879 с2

Результаты расчетов для третьей точки измерения сведены в таблицу 4.4.                   Таблица 4.4

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,015

 0,000225

2

-0,040

 0,0016

3

-0,165

 0,02722

4

-0,113

 0,012769

5

0,007

0,0000493

S(t)

0,091 с

σсл

              0,254 с

σ

              0,254 с2

σ(t2 )

              1,621 с2

Результаты расчетов для четвертой точки измерения сведены в таблицу 4.5.               Таблица 4.5

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

0,054

0,002916

2

-0,047

0,002209

3

0,052

0,002704

4

-0,017

0,000289

5

-0,042

0,001764

S(t)

0,044 с

σсл

              0,123 с

σ

              0,123 с2

σ(t2 )

              0,896 с2

Результаты расчетов для пятой точки измерения сведены в таблицу 4.6.               Таблица 4.6

Номер измерения (i)

t,c

(t2), c2

1

-0,198

0,039204

2

0,045

0,002025

3

-0,134

0,017956

4

   -0,001

0,000001

5

-0,008

0,000064

S(t)

0,108 с

σсл

              0,302 с

σ

              0,302 с2

σ(t2 )

              2,378 с2

Так как прибор для измерения расстояния у нас не цифровой, то абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(h)  = 0,05см.

                                                                                                        Таблица 4.7.                                                                                                              

n/n

h , см (S1)

t2,c2(S2)

(t2)2, c4(S5)

t2∙h, см∙c2(S3)

h2, cм2(S4)

1

10,0

5,673

32,182

56,73

100,0

2

15,0

7,943

63,091

119,145

225,0

3

20,0

10,187

103,774

203,74

400,0

4

25,0

13,286

176,517

332,15

625,0

5

30,0

15,510

240,560

465,3

900,0

100,0

52,599

616,124

1177,065

2250,0

Строим график зависимости  h= f(t2) с нанесением экспериментальных точек.  Погрешности указываем в виде доверительных интервалов.

Параметры k и b линейной зависимости t2= f(h), определяем аналитическим способом  по формуле 3.9:

на основании данных таблицы 4.3 по формулам 3.10:

       D = 5×2250,0 – 1002 =1250 cм2.

угловой коэффициент прямой:

       

отрезок, отсекаемый прямой от оси OY

                                      Искомая зависимость имеет вид:   t2= 0,5h, с2                 (3.7)

Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h:

h01 = 10 см,   t201= 0,5×10= 5,0 c2  

h02 = 30 см,   t202= 0,5×30=15,0 c2   

      Погрешность косвенного измерения параметра прямой линии k определяем по формулам 3.11, 3.12:

  S5 = 616,124 c4,

   

Вычислим момент инерции блока Iэкс, по формуле 3.13 на основании экспериментальных данных:

М=100г.

m=2г.

         R=7,5см.

         g =980,67 см/с2

Экспериментальное значение момента инерции блока по формуле 3.13:

Iэкс = 0,5×2×7,52×980,67×0,500(2+2×100)×7,52=16218,84 г∙см2

Абсолютная погрешность косвенного определения  момента инерции блока Iэ  в ходе эксперимента, по формуле 3.14:

Δ(Iэкс) = 0,5×2×7,52×980,67×0,002 = 110,32 г∙см2

Экспериментальное значение момента инерции блока с учетом погрешности:

Iэкс = (16218,84  ± 110,32) г∙см2 

Используя  геометрические параметры блока,  аналитически рассчитываем его момент инерции.

Толщина блока сантиметрах                    d = 6мм=0,6 см.

Радиус каждого выреза в сантиметрах      r2 = 30мм=3 см.

Плотность металла (латунь)                        = 8400 кг/м3=8,4 г/см3

Радиус диска                                            R=75мм=7,5 см.

Расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого вырезанного диска в сантиметрах                      r1=40мм=4см.

Объём сплошного диска (3.16)                        Vсд = 1,06  см3

Масса сплошного диска (3.17)                         mсд = 8,90 г   

                            

Момент инерции сплошного диска (3.15)       Iсд = 25031 г∙см2

По теореме Штейнера определяем момент инерции каждого диска.

Объём каждого выреза (3.18)                            V_can = 16,95 см3  

              

Масса каждого вырезанного диска (3.19)         m_can=142,38 г        

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс (3.20)                                                               Ic = 6409 г∙см2 

Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока (3.21)                                         I_can = 2919,81 г∙см2

Получаем момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков, аналитическим способом (3.22)          I_an = 16298 г∙см2

Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:

5. ВЫВОДЫ.

Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения  t2 = f(h)= 0,5h с2.

Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:

 

Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента равно:

I_ex = 1,62 кг∙м2

Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:

I_an = 1,63 кг∙м2

Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента, больше расчетного

Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент сил и момент инерции?

Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей  силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние r от оси вращения до линии  действия

Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Момент инерции - характеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит  от распределения его массы относительно оси вращения.   

Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением:   dI = r2dm,                                                                         

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла

2. Моменты каких сил действуют на блок?

На блок действуют моменты сил натяжения нитей:

M1= T1R,    M2= T2R . 

Где Т1 и Т2 –  силы натяжения нитей.

Вращательное движение блока описывается уравнением:

где ε - угловое ускорение блока,   I- его момент инерции,   

 - сумма моментов сил, приложенных к блоку.

Вращательное движение блока описывается уравнением

3. Как рассчитать момент инерции блока?

Сформулируйте теорему Штейнера.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска  через его центр:

где R − радиус диска;

              m − масса диска.

Масса диска (цилиндра):

                где r − радиус основания;

          h − толщина диска (высота цилиндра).

Согласно теореме Штейнера, момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

 I = I0 + ml2.

4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.

- физические допущения,  принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте;  

 -погрешности измерения величин;

    -точность вычислений.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73715. Граничные условия для векторов и на границах раздела двух сред 384.5 KB
  Гаусса для вектора. Запишем поток вектора через поверхность. Устремим к нулю тогда где нормальная компонента вектора. получаем граничные условия вектора Выбреем замкнутый контур в виде прямоугольника со сторонами и и запишем теорему о циркуляции для вектора по данному замкнутому контуру.
73716. Парамагнетики. Диамагнетики. Ферромагнетики 164 KB
  Поместим наше тело во внешнее магнитное поле. Поле будем считать однородным. Суммарное поле будет больше. Если поместить атом во внешнее магнитное поле то электронная орбита начнет прецессироватьподробнее в лекции № 18.
73717. Уравнения кинематики манипулятора 1011.5 KB
  Манипулятор состоит из последовательности твердых тел (или звеньев), первое из которых соединено с опорной стойкой, а последнее снабжено рабочим инструментом
73718. Уравнения Ньютона-Эйлера 661 KB
  В предыдущих лекциях с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора
73719. Аэрогеодезия, её задачи и назначение 6.79 MB
  В России до середины тридцатых годов комплекс работ по созданию карт по фотоснимкам местности полученным с летательного аппарата называли аэрофотосъёмкой. Понятие аэрофототопография охватывает комплекс процессов по созданию топографических карт по фотоснимкам местности полученным с авиационного летательного аппарата. Аэрогеодезия изучает способы получения и преобразования аэрофотоснимков земной поверхности методы получения по ним широкого спектра информации об объектах съёмки с целью составления топографических и специальных планов и карт...
73721. Организация безналичных расчетов с использованием банковских карт 198.82 KB
  Поэтому карты на протяжении всего срока действия остаются собственностью банка а клиенты держатели карт получают их лишь в пользование. Характер гарантий банкаэмитента зависит от платежных полномочий предоставляемых клиенту и фиксируемых классом карты. При выдаче карты клиенту осуществляется ее персонализация: на нее заносятся данные позволяющие идентифицировать карту и ее держателя а также осуществить проверку платежеспособности карты при приеме ее к оплате или выдаче наличных денег. Авторизация разрешение предоставляемое эмитентом...
73722. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АНАЛОГОВО-ЦИФРОВЫХ ПЛАТ 505.5 KB
  Поверхности заземления и питания Обеспечение низкоимпедансных заземляющих поверхностей большой площади очень важно для всех современных аналоговых схем. Выводы питания должны быть развязаны прямо на заземляющую поверхность с помощью низкоиндуктивных керамических конденсаторов для поверхностного монтажа SMD. Керамические конденсаторы должны быть расположены как можно ближе к выводам питания микросхемы. частично заземляющая поверхность разумеется должна быть удалена для отведения места под дорожки питания и сигналов межслойные переходы и...