71675

Метрология и измерения: Учебно-методическое пособие

Книга

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Учебно-методическое пособие Метрология и измерения предназначено для индивидуальной работы студентов изучающих курсы измерений. Обработка результатов измерений с однократными наблюдениями Обработка результатов многократных наблюдений при прямых измерениях.

Русский

2014-11-10

3.97 MB

36 чел.

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра метрологии и стандартизации

МЕТРОЛОГИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ

Учебно - методическое пособие

для индивидуальной работы студентов

всех специальностей

Под общей редакцией С.В. Лялькова

Минск 1999


УДК 621.317(075)

ББК 30:10

М 54

Авторы: А.П. Белошицкий, М.Ю. Дерябина, А.М. Кострикин, С.В. Ляльков, В.Т. Ревин

Метрология и измерения: Учебно-методическое пособие для индивидуальной работы студентов/ А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В. Лялькова. - Мн.: БГУИР, 1999. -72 с.: ил. 1. ISBN 985-444-103-2

Учебно-методическое пособие «Метрология и измерения» предназначено для индивидуальной работы студентов, изучающих курсы измерений. Оно содержит краткие методические указания, список рекомендуемой литературы и НТД, контрольные вопросы, решения типовых задач  и задачи для самостоятельного решения.

Пособие может быть использовано при проведении практических и лабораторных занятий, связанных с оценкой погрешностей получаемых результатов. Оно также будет полезно самому широкому кругу студентов, аспирантов и научно-педагогических работников при решении ими конкретных практических задач метрологии и стандартизации.

УДК 621.317(075)

ББК 30:10

ISBN 985-444-103-2         © Коллектив авторов, 1999


СОДЕРЖАНИЕ

1

Погрешности средств измерений ……………............…...

4

2

Обработка результатов измерений с однократными наблюдениями ……………………………………………………

10

3

Обработка результатов многократных наблюдений при прямых измерениях  ...................................................……

17

4

Обработка результатов многократных наблюдений при косвенных измерениях ………………………………...

30

5

Обработка результатов наблюдений при совокупных и совместных измерениях….....................................….

35

6

Измерение напряжениЙ….......................................................….

40

7

Измерение частоты, периода, интервалов времени и фазовых сдвигов……....................................................……….

44

8

Измерение параметров пассивных линейных

двухполюсников …..…………………………………………….

49

Литература ......................................................................................……

57


 1 пОГРЕШНОСТИ средств измерений

Рекомендуемая литература: [1, c.230-248], [3, с.15-19] [4, c.49-55], [5, c.51-61], [6, c.11-20, 32-36], [7, c.13-15], [11], [12]

Методические указания

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

- формы представления погрешностей средств измерений;

- правила выбора нормирующего значения ХN;

- способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей;

- обозначение классов точности средств измерений.

Контрольные вопросы

1 Что такое погрешность средства измерений?

2 Что такое основная и дополнительная погрешности средств измерений?

3 Какие существуют формы представления погрешностей средств измерений?

4 Какие существуют правила выбора нормирующего значения ХN?

5 Как регламентируются способы нормирования и формы выражения пределов допускаемых погрешностей?

6 Что такое класс точности средства измерения и чем он определяется?

7 Как обозначаются классы точности?

Решение типовых задач

Задача № 1

Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 67 мA, если измерения проводились магни-тоэлектрическим миллиамперметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1.0 и пределом измерения А = 100 мA.

Решение

Для магнитоэлектрического миллиамперметра класс точности определяется

значением максимальной приведенной погрешности, т.е. = 1,0 %.

Так как

,

то предел инструментальной абсолютной погрешности

(мА).

Миллиамперметр имеет равномерную шкалу с нулем в начале шкалы, и поэтому XN = A = 100 мA:

.

Предел инструментальной относительной погрешности

.

Задача № 2

Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U=8,6 B, если измерения проводились магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в середине шкалы, классом точности 2,5 и пределами измерения А =  25 В.

Решение

Как и в предыдущей задаче, предел абсолютной погрешности находится из формулы:

.

Вольтметр имеет равномерную шкалу с нулем в середине шкалы. Поэтому

XN = |25| + |25| = 50 (B),

= (2,550)/100 %=1,25 (В).

Найдем предел относительной погрешности измерения:

= (/U)100 %= (1,25100)/8,6 15 (%).

Задача № 3

Oценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магни-тоэлектрическими миллиамперметрами с классами точности 0,5 и 1.0 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также, могут ли показания I1 = 19,0 мA и I2 = 18,6 мA исправных приборов отличаться так, как задано в  условии?  Миллиамперметры  имеют  нули  в  начале шкалы и пределы  A1 =

= 50 мA и A2 = 20 мA.

Решение

Инструментальные абсолютные погрешности можно найти из формул:

1 = (1 ХN1)/100 %= (1 A1)/100 %= (0,550)/100 = 0,25 (мA),

2 = (2 ХN2)/100 %= (2 A2)/100 %= (1,020)/100 = 0,20 (мA).

 Для определения, какое из измерений проведено с большей точностью, необходимо определить инструментальные относительные погрешности:

1 = (1/I1) 100 % = (0,25/19,0)100 % 1,3 %,

2 = (2/I2) 100 % = (0,20/18,6)100 % 1,1 %.

Видно, что второе измерение проведено с большей точностью, так как точность обратно пропорциональна модулю относительной погрешности.

В наихудшем случае (когда погрешности приборов будут иметь противоположные знаки) модуль разницы между результатами измерений || = |I1 - I2| не должен превышать сумму модулей абсолютных погрешностей, т.е.

|| < |1| + |2| .

Получаем

|| = 0,4 (мA) < |1| + |2| = 0,45 (мA).

Таким образом, при исправных миллиамперметрах можно получить указанные значения I1 и I2.

Задача № 4

Определить инструментальную абсолютную погрешность измерения сопротивления Rx = 200 кОм с помощью комбинированного прибора, если он имеет класс точности 4,0, длину рабочей части шкалы L = 80 мм, отметке 200 кОм соответствует длина шкалы l = 40 мм.

Решение

В комбинированном приборе используется магнитоэлектрический омметр, причем шкала прибора при измерении сопротивлений неравномерная. Инструментальная относительная погрешность измерения сопротивления  с помощью таких омметров вычисляется через их класс точности по формуле

,

т.е.

C другой стороны

,

где   - инструментальная абсолютная погрешность измерения сопротивления.

Тогда

(кОм).

Задача № 5

Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения сопротивлений R1 = 0,52 Ом; R2 = 120,00 Ом; R3 = 18412,00 Ом с помощью образцового магазина сопротивлений, если его класс точности 0,05/4 10-6, магазин содержит 7 декад и цена младшей декады 0,01 Ом.

Решение

Сначала определим наибольшее значение воспроизводимой данным магазином сопротивлений величины:

Rк = 9 104 + 9 103 + 9 102 + 9 101 + 9 100 + 9 101 + 9 102 (Ом);

Rк = 99999,99 (Ом) 105 (Ом).

Для нормирования пределов погрешности магазинов мер одночленные формулы не применяются, поскольку они не отражают всегда имеющей место зависимости абсолютной или относительной погрешности меры от номинального значения воспроизводимой величины. Для них используются двухчленные формулы:

для абсолютной погрешности:

= (a + bХ),

 для относительной погрешности:

= [c + d(|Xк/X|1)].

В нашем случае заданы величины c и d:

c = 0,05 %;   d = 4106 %.

Найдем относительные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3:

= [0,05 + 4106 (|105 /0,52| 1)] 0,3 (%),

= [0,05 + 4106 (|105 /120| 1)] 0,53 (%),

= [0,05 + 4106 (|10|5 /18412| 1)] 0,050 (%).

Известно, что связь между a, b, c, d - следующая:

d = a/Rк ,  c = b+d.

 Для удобства выразим c и d в относительных единицах:

c = 5104 ,  d = 4108.

Тогда

a = d |Rк| = 4108 105 = 0,004 (Ом);

b = cd = 5104  4108  5104.

 Теперь можно определить абсолютные погрешности воспроизведения сопротивлений R1, R2, R3

= (0,004+5 104  0,52) 0,0043 (Ом),

= (0,004+5 104  120) 0,0064 (Ом),

= (0,004+5 104  18412) 9,2 (Ом).

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения напряжения U = 6,4 B, если измерения проводились магнитоэлектрическим вольтметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1,5 и пределом измерения A = 25 B.

Задача № 2

Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 6,8 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в середине шкалы, классом точности 2,5 и пределами измерения A = 10 мA.

Задача № 3

Выбрать магнитоэлектрический вольтметр со стандартными пределами измерения и классом точности при условии, что результат измерения напряжения должен отличаться от действительного значения Uд = 44 B не более, чем  на  =

=0,4 B.

Задача № 4

Оценить инструментальные погрешности измерения напряжения двумя маг-нитоэлектрическими вольтметрами с классом точности 0.2 и 1.5 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также могут ли показания U1 =21,7 В и U2 =20,8 В исправных приборов отличаться так, как задано в условии? Вольтметры имеют нули в начале шкалы и пределы А1 =75 В и А2 =25 В.

Задача № 5

Определить относительную и абсолютную погрешности воспроизведения сопротивления  R = 25109 Ом с  помощью имитатора  сопротивлений, если его класс точности  0,1/2,5109, диапазон воспроизводимых сопротивлений  от 1105 Ом до 9,91014 Ом.

2 Обработка результатов измерений с однократными наблюдениями

    Рекомендуемая литература: [1, c.174-181], [3, c.37-39], [4, c.33-35], [7, c.25-26]

Методические указания

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

- в каких случаях возможно проведение однократных измерений?

- что такое результат наблюдения и его отличие от результата измерения?

- как обеспечить получение результата измерения с погрешностью, не превышающей допустимую?

- в чем особенности априорной оценки ожидаемой погрешности результата измерения?

- особенности методики оценки погрешностей результатов измерений с однократными наблюдениями.

Контрольные вопросы

1 Какие измерения называются однократными?

2 В каких случаях возможно проведение однократных измерений? Приве-дите примеры.

3 Каковы особенности проведения однократных измерений?

4 Как оценивают относительную погрешность результата измерения?

5 Каким образом находят доверительные границы случайной погрешности при однократных измерениях?

 6 Как суммируют систематические и случайные погрешности при одно-кратных измерениях?

Решение типовых задач

Задача № 1

В процессе однократного измерения емкости конденсатора измерено значение C = 1,246 нФ. Предварительно оценены с.к.о. измерения емкости = =0,037 нФ и границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности = 0,012 нФ и = 0,016 нФ. Определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения (Рд =0,95).

Решение

1 Рассчитываются доверительные границы случайной погрешности измере-ния

(нФ),

где коэффициент Стьюдента t = 2 при доверительной вероятности P = 0,95.

2 Определяются доверительные границы неисключенных систематических погрешностей

(нФ).

Коэффициент k принимается равным 1,1 для доверительной вероятности Р = = 0,95 и количества неисключенных систематических погрешностей m < 4 (в данном случае m = 2).

Находится сумма неисключенных систематических погрешностей

(нФ).

Для m  4 в качестве оценки границ неисключенной систематической погрешности принимается меньшее из значений  и :

нФ.

3 Для оценки доверительных границ суммарной погрешности прямых однократных измерений необходимо вычислить отношение

.

Тогда

(нФ),

так как лежит в интервале от 0,5 до 8. В данном случае коэффициент 0,8 учитывает малую вероятность того, что  и  будут одновременно иметь своиграничные значения. Если < 0,5, можно пренебречь систематическими погрешностями , и тогда . Если > 8, то можно пренебречь , и тогда .

4 Результат измерения записываем в следующем виде:

С = (1,2460,077) (нФ),  P = 0,95,

так как доверительный интервал симметричен.

Задача № 2

Резонансная частота колебательного контура определялась путем однократного измерения индуктивности L = 0,346 мГн и емкости C = 6,5 нФ входящих в него катушки индуктивности и конденсатора с последующим вычислением по формуле ). На основании предыдущих измерений частоты аналогичных контуров известна оценка СКО измерения частоты , границы неисключенных остатков систематической погрешности измерения индуктивности = 0,11 мГн и емкости = 0,11 нФ. Определить доверительные границы погрешности косвенного измерения частоты с доверительной вероятностью Рд = 0,95.

Решение

1 Рассчитывается значение результата косвенного измерения частоты:

(кГц).

2 Рассчитываются оценки частных  систематических  погрешностей косвен-ного измерения индуктивности

(кГц);

емкости

(кГц).

3 Находятся доверительные границы неисключенной систематической по-грешности результата измерения. Поскольку данные о виде распределения не-исключенных систематических погрешностей отсутствуют, то их распределе-ние принимается за равномерное. Тогда

(кГц),

так как при доверительной вероятности Рд = 0,95  k = 1,1,

(кГц).

4 За оценку границ неисключенных систематических погрешностей принимается меньшее из  и :

= 1,72 кГц.

5 Оцениваются доверительные границы случайной погрешности измерения

(кГц),

так как для однократных измерений и Рд = 0,95 коэффициент Стьюдента t принимают равным 2.

6 Оцениваются доверительные границы суммарной погрешности результата измерения

(кГц).

7 Результат измерения записывается в следующем виде:

f = (106,21,8) (кГц),   Р = 0,95.

Задача № 3

Определить доверительные границы результирующей погрешности измерения напряжения U=200 мВ при однократном наблюдении с Рд= 0,95. Измерение осуществляется с помощью автоматического потенциометра класса точности 0,5. Изменение температуры вызывает смещение нуля потенциометра на Т= =0,1 % /10С. Нормальные условия эксплуатации потенциометра 202С, потенциометр стоит в помещении, температура которого меняется от 8 до 32С. Нормальные условия для напряжения питания Uн=200 В2 %, а в реальных условиях эксплуатации напряжение может меняться на 10 % Uн. Напряжение наводки в линии связи частотой 50 Гц может достигать 1 мВ.

Решение

1 Основная погрешность аналогового регистратора определяется его классом точности. Погрешность всех электроизмерительных приборов согласно стандарту нормируется с 25 %-м запасом на старение, т.е. фактически погрешность нового  прибора    составляет не больше, чем 0,8.  Следовательно, рег =

=0,80,5=0,4 (%).

2 У потенциометра преобладающей является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков обмотки датчика, по которым скользит подвижный контакт. Эта погрешность имеет равномерное распределение. В этом случае рег =0,4 (%) можно считать половиной ширины этого равномерного распределения, и тогда %.

3 Погрешность от  колебаний  напряжения  питания  распределена  по  треугольному закону с принятыми пределами 10 %. Поэтому максимальное значение этой погрешности  %. Параметры этого распределения: энтропийный коэффициент k=2,02; эксцесс =2,4; =0,645.

4 Погрешность наводки распределена арксинусоидально. Энтропийный ко-эффициент k=1,11. Тогда

 5 Погрешность смещения нуля потенциометра при колебании температуры является аддитивной, а закон ее распределения можно считать равномерным со средним значением 20С и размахом 12С (так как температура в помещении меняется от 8 до 32С).  Максимальное  значение  этой  погрешности  при  Т= =0,1 % /10С составляет %, так как kэ для равномерного распределения равен.

6 Суммирование погрешностей сводится к вычислению приведенной погрешности при х = 0, которая складывается из всех аддитивных составляющих, и в конце диапазона, которая складывается из всех составляющих.

При х=0 погрешность будет складываться из трех составляющих:

п=0,24 %,  Т=0,07 %,  нп=1,30 %.

Однако т =0,07 % меньше нп =1,3 % в 18,5 раз. Так как суммирование под корнем будет производиться над квадратами величин, то ее вклад в результат будет ничтожным. Отсюда ясно, что этой погрешностью можно пренебречь и опустить из дальнейшего рассмотрения. Тогда

.

Для расчета погрешности в конце диапазона к полученному значению н надо добавить погрешность наводки нав.= 0,45 %:

.

Для перехода к интервальной оценке в виде доверительного д = t или энтропийного э = k значений необходимо знание не самого закона распределения результирующей погрешности, а лишь его одного числового параметра в виде квантильного множителя t или энтропийного коэффициента k.

Зависимости энтропийного коэффициента k от соотношения суммируемых составляющих и их энтропийных коэффициентов могут быть представлены в виде семейства графиков (график 1 и график 2).

По оси абсцисс отложены значения относительного веса дисперсии  второго из суммируемых распреде-лений в полной дисперсии , по оси ординат – значение энтропийного коэффициен-та k образующейся при этом ком-позиции. Кривая 1 соответствует композиции   двух  нормальных  рас-

пределений (k = 2,066 для любых значений веса р); кривая 2 – композиции равномерно распределенной и нормально распределенной погрешностей; кри-вая 3 – композиции двух равномерных распределений; кривая 4 –композиции арксинусоидальной и равномерно распределенной погрешностей; кривая 5 –для двух арксинусоидально распределенных погрешностей.

Кривые 1-3 соответствуют сумми-рованию равномерного, треугольного и нормального распределений с дискретным двузначным распре-делением, а кривые 4-6 – суммированию нормального распределения соответственно с арксинусоидальным, равномерным и экспоненциальным.

При х=0 относительный вес нп в полной дисперсии равен

. Так как нп распределена по треугольному закону, а п – по равномерному (кривая 2 на графике 2). Отсюда .

Тогда при х=0 доверительные границы

=1,251,3=1,63 (%)

в конце диапазона весовой коэффициент нав. в полной дисперсии равен

 Поскольку нав. распределена по арксинусоидальному, а н – по нормальному законам, воспользуемся кривой 4 на графике 2.

.

Тогда в конце диапазона доверительные границы =2,0661,39=

=2,87 (%).

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

В процессе однократного измерения индуктивности катушки получено значение L = 154 мГн и tg = 0,5. Из технических характеристик прибора известно, что основная  погрешность  измерения   индуктивности не превышает = [(1 +

+ tg)  Lx103+ 0,1 мкГн + Lк103], где Lк  - конечное значение предела измерения (Lк = 1000 Гн). Прибор находится в помещении, где температура колеблется от 15С до 25С. Определить погрешность измерения индуктивности катушки при доверительной вероятности Р = 0,99.

Задача № 2

На основании предварительных измерений напряжения известно среднеквадратическое отклонение результата измерения = 0,51 В; границы неисключенных остатков четырех составляющих систематической погрешности = 0,39 В;  = 0,81 В; = 0,24 В; = 0,55 В. Определить доверительные границы погрешности измерения напряжения U = 81,48 В с однократным наблюдением. Доверительная вероятность Р = 0,95.

Задача № 3

Для измерения энергии, потребляемой нагрузкой на постоянном токе за время t, использовался косвенный метод и выражение U2t/R. При этом в результате однократных измерений были получены следующие значения:

- напряжение U = 146 В с погрешностью 20 В;

- сопротивление нагрузки R=415 Ом с погрешностью 5 Ом;

- время t=15 с с погрешностью 0,04 с;

границы неисключенных остатков трех составляющих систематической погрешности ; Ом; .

Оценить суммарную погрешность измерения энергии и записать результат с доверительной вероятностью Рд=0,99.

3 Обработка результатов многократных наблюдений при прямых измерениях

Рекомендуемая литература: [3, с.26-31, 35-37], [4, с.10-36], [8, с.120-125], [9].

Методические указания

При изучении темы необходимо:

- изучить и точно знать, какие измерения являются прямыми и какие погрешности измерений относят к систематическим, случайным и грубым;

- рассмотреть способы оценки и уменьшения систематических погрешностей, обратив особое внимание на правила суммирования неисключенных систематических погрешностей;

- ознакомиться с основными выражениями математического описания случайных погрешностей (среднее арифметическое, дисперсия, среднее квадратическое отклонение);

- изучить основные теоретические положения и алгоритмы обработки результатов многократных прямых равноточных и неравноточных измерений;

- знать правила и формы представления погрешностей и записи результатов измерений.

Контрольные вопросы

1 Какие измерения называются прямыми?

2 Какие измерения относят к равноточным, а какие к неравноточным?

3 В зависимости от чего применяют однократные либо многократные наблюдения?

4 Перечислите основные признаки, по которым классифицируются погрешности измерений.

5 Какие существуют методы обнаружения и оценки систематических погрешностей?

6 Сформулируйте правила суммирования систематических погрешностей.

7 Как оценивается случайная погрешность результатов прямых измерений?

Приведите необходимые математические соотношения.

8 Опишите алгоритмы обработки прямых равноточных измерений.

9 Поясните суть критерия грубых погрешностей.

10 В каких случаях используются точечные и интервальные оценки погрешностей измерений?

Общие положения алгоритма обработки результатов

многократных наблюдений при прямых измерениях

1 При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции:

- исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

- вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

- проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат к нормальному распределению;

- вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

- вычислить  границы  неисключенной систематической погрешности (неис-

ключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;

- вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения.

2 Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2 %. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений.

3 Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность P принимают равной 0,95. В тех случаях, когда измерения нельзя повторить, и других особых случаях, результаты которых имеют важное значение, допускается указывать границы для доверительной вероятности Рд = 0,99.

Решение типовых задач

Задача № 1

Обработать ряд результатов наблюдений Xi (таблица 1), полученный по результатам многократных прямых измерений сопротивления, и оценить случайную погрешность измерения, считая результаты исправленными и равноточными. Доверительную вероятность принять Рд = 0,95. Результат измерения представить по одной из форм, предусмотренных ГОСТ 8.207-76.

Таблица 1

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Xi

32,700

32,744

32,786

32,578

32,848

32,593

32,588

32,519

32,603

Продолжение таблицы 1

i

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Xi

32,627

32,635

32,970

32,754

32,702

32.879

32.799

32.775

32.690

Окончание таблицы 1

i

19

20

21

22

23

24

25

Xi

32,671

32,645

32,701

32,688

32,676

32,685

32,826

Решение

1 Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости.

2 Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений

кОм.

Значение  принимается за результат измерения.

3 Определяем случайные отклонения Vi результатов отдельных наблюдений по формуле

Vi = Xi  .

Результаты промежуточных расчетов заносим в таблицу 2.

Таблица 2

i

1

2

3

4

5

Vi

0,007

0,037

0,079

- 0,129

0,133

V2i

0,04910-3

1,36910-3

6,24110-3

16,64110-3

17,68910-3

Продолжение таблицы 2

i

6

7

8

9

10

Vi

0,114

0,119

0,188

0,104

0,080

V2i

12,99610-3

14,16110-3

35,34410-3

10,81610-3

6,410-3

Продолжение таблицы 2

i

11

12

13

14

15

Vi

0,072

0,263

0,047

0,005

0,172

V2i

5,18410-3

69,16910-3

2,20910-3

0,02510-3

29,58410-3

Продолжение таблицы 2

i

16

17

18

19

20

Vi

0,092

0,068

0,017

0,036

0,062

V2i

8,46410-3

4,62410-3

0,28910-3

1,29610-3

3,84410-3

Продолжение таблицы 2

i

21

22

23

24

25

Vi

0,006

0,019

0,031

0,022

0,119

V2i

0,03610-3

0,36110-3

0,96110-3

0,48410-3

14,16110-3

Правильность вычислений  и Vi определяем по формуле . Если , то имеют место ошибки в вычислениях.

4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений

кОм.

5 С помощью критерия грубых погрешностей (критерий «трёх сигм») проверяем наличие грубых погрешностей.

В соответствии с этим критерием, если , то такое наблюдение содержит грубую погрешность. В случае обнаружения грубой погрешности в i-м наблюдении необходимо это наблюдение исключить из результатов наблюдений и повторить вычисления по пп. 1-5 для меньшего числа n.

В решаемой задаче  кОм и, как видно из таблицы 2, грубые погрешности отсутствуют.

6 Определяем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения  из выражения

кОм.

7 Выдвигаем гипотезу о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению и проверяем эту гипотезу.

а) При числе результатов наблюдений n > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению в соответствии с ГОСТ 11.006-74 предпочти-

тельным является один из критериев 2 Пирсона или  Мизеса-Смирнова.

При числе результатов наблюдений 50>n>15 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, приведённый в [9].

При числе результатов наблюдений n15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной [1], возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. Если условие принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

В решаемой задаче n = 25. Поэтому принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяем по составному критерию.

б) Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле

кОм.

Вычисляем параметр

.

Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если

,

где  и  - квантили распределения, получаемые из таблицы 3 по n, q1/2 и (1 - q1/2), причем q1 - заранее выбранный уровень значимости критерия.

Выбираем уровень значимости q равным 5 %. Из таблицы 3 находим = =0,868, = 0,704. Сравнивая полученное значение  с этими величинами, делаем вывод о том, что по критерию 1 результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений.

Гипотеза о нормальности по критерию 2 не отвергается, если не более m разностей Vi превзошли значение , где верная квантиль распределения нормированной функции Лапласа отвечает вероятности P/2.

Tаблица 3 - Статистика d

n

q1/2 100%

(1  q1/2) 100%

1 %

5 %

95 %

99 %

16

0,9137

0,8884

0,7236

0,6829

21

0,9001

0,8768

0,7304

0,6950

26

0,8901

0,8686

0,7360

0,7040

31

0,8826

0,8625

0,7404

0,7110

36

0,8769

0,8578

0,7440

0,7167

41

0,8722

0,8540

0,7470

0,7216

46

0,8682

0,8508

0,7496

0,7256

51

0,8648

0,8481

0,7518

0,7291

Таблица 4 - Значения P для вычисления ZP/2.

n

m

q2  100%

1 %

2 %

5 %

10

1

0,98

0,98

0,96

11 - 14

1

0,99

0,98

0,97

15 - 20

1

0,99

0,99

0,98

21 - 22

2

0,98

0,97

0,96

23

2

0,98

0,98

0,96

24 - 27

2

0,98

0,98

0,97

28 - 32

2

0,99

0,98

0,97

33 - 35

2

0,99

0,98

0,98

36 - 49

2

0,99

0,99

0,98

Значения P определяются из таблицы 4 по выбранному уровню значимости q2 и числу результатов наблюдений, а значения ZP/2 - из таблицы 5.

Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q2 = 5% и для n = 25 из таблицы 4 находим P = 0,97 и m = 2. Тогда, обращаясь к таблице 5, находим ZP/2 = 2,17. Отсюда

= 0,229 кОм.

Согласно критерию 2 не более двух (m = 2) разностей Vi могут превзойти значение 0,229 кОм.

По данным, приведенным в таблице 2, видим, что только V12 превышает критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется.

Таким образом, с уровнем значимости q  q1+ q2 = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений.

Таблица 5 - Значения нормированной функции Лапласа ф(z).

Z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,000

00399

00798

01197

01595

01994

02392

02790

03188

03586

0,1

03983

04380

04776

05172

05567

05962

06356

06749

07142

07535

0,2

07926

08317

08706

09095

09483

09871

10257

10642

11026

11409

0,3

11791

12172

12552

12930

13307

13683

14058

14431

14803

15173

0,4

15542

15910

16276

16640

17003

17364

17724

18082

18439

18793

0,5

19146

19497

19847

20194

20540

20884

21226

21566

21904

22240

0,6

22575

22907

23237

23565

23891

24215

24537

24857

25175

25490

0,7

25804

26115

26424

26730

27035

27337

`27637

27935

28230

28524

0,8

28814

29103

29389

29673

29955

30234

30511

30785

31057

31327

0,9

31594

31859

32121

32381

32639

32894

33147

33398

33646

33891

1,0

34134

34375

34614

34850

35083

35314

35543

35769

35993

36214

1,1

36433

36650

36864

37076

37286

37493

37698

37900

38100

38298

1,2

38493

38686

38877

39065

39251

39435

39617

39796

39973

40147

1,3

40320

40490

40658

40824

40988

41149

41309

41466

41621

41774

1,4

41924

42073

42220

42364

42507

42647

42768

42922

43056

43189

1,5

43319

43448

43574

43699

43822

43943

44062

44179

44259

44408

1,6

44520

44630

44738

44845

44950

45053

45154

45254

45352

45449

1,7

45543

45637

45728

45818

45907

45994

46080

46164

46246

46327

1,8

46407

46485

46562

46638

46712

46784

46856

46926

46995

47062

1,9

47128

47193

47257

47320

47381

47441

47500

47558

47615

47670

2,0

47725

47778

47831

47882

47932

47982

48030

48077

48124

48169

2.1

48214

48256

48300

48341

48382

48422

48461

48500

48537

48574

2,2

48610

48645

48679

48713

48745

48778

48809

48840

48870

48899

2,3

48928

48956

48983

49010

49036

49061

49086

49111

49134

49158

2,4

49180

49202

49224

49245

49226

49286

49305

49324

49343

49361

2,5

49379

49396

49413

49430

49446

49461

49477

49492

49506

49520

2,6

49534

49547

49560

49573

49585

49598

49609

49621

49632

49643

2,7

49653

49664

49674

49683

49693

49702

49711

49720

49728

49736

2,8

49744

49752

49760

49767

49774

49781

49788

49795

49801

49807

2,9

49813

49819

49825

49831

49836

49841

49846

49851

49856

49861

Примечание -  Значения Ф (z) при z = 3.0 - 4.5 следующие:

3.07......0.49865      3.4......0.49966        3.8......0.49993

3.1.......0.49903       3.5......0.39977        3.9......3.49995

3.2.......0.49931       3.6......0.49984        4.0......0.499968

    3.3.......0.49952       3.7......0.49989        4.5......0.499999

8 По заданной доверительной вероятности Pд и числу степеней свободы (n1) распределения Стьюдента определим коэффициент t из таблицы 6.

Для нашей задачи (P = 0,95 и n-1 = 24) значение t = 2,064.

Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения

2,0640,021 = 0,043 кОм.

Таблица 6 - Значение коэффициента t для случайной величины х, имеющей распределение Стьюдента с n1 степенями свободы

n1

Pд = 0,95

Рд = 0,99

n1

Рд = 0,95

Рд = 0,99

3

3,182

5,841

16

2,120

2,921

4

2,776

4,604

18

2,110

2,878

5

2,571

4,032

20

2,086

2,845

6

2,447

3,707

22

2,074

2,819

7

2,365

3,499

24

2,064

2,797

8

2,306

3,355

26

2,056

2,779

10

2,228

3,169

28

2,048

2,763

12

2,179

3,055

30

2,043

2,750

14

2,145

2,977

1,960

2,576

9 Записываем результат измерения.

При симметричной доверительной погрешности результаты измерений представляют в виде

  , Pд.

При этом значащих цифр в  должно быть не более двух , а числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

Результат измерения записываем в следующем виде:

R = (32,707 0,044) кОм;   Pд = 0,95.

Задача № 2

В процессе обработки результатов прямых измерений силы тока I определены: среднее арифметическое значение Ī =16,48 мА; оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического  0,51 мА; границы неисключенных  остатков  трех составляющих систематической погрешности c1 = =0,83 мА; c2 = 0,87 мА; c3 = 0,39 мА.

Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по одной из установленных форм. Значение доверительной вероятности Рд = 0,99. Распределение случайной погрешности нормальное при N > 30.

Решение

1 Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения

.

Из таблицы 6 для Pд = 0,99 и n > 30 находим t = 2,576. Тогда  1,314 мА.

2 Определяем доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения

,

где m - число суммируемых погрешностей;

  - граница i-й неисключенной систематической погрешности;

 k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Если Рд = 0,95, то k = 1,1.

При доверительной вероятности Рд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырёх (m >4). Если число суммируемых погрешностей m4, то коэффициент k определяют по графику зависимости (рисунок) k = f(m, l), где m - число суммируемых погрешностей; ; кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая 3 - для m = 4.

График зависимости k = f(m, l).

При трёх или четырёх составляющих в качестве  принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других. В качестве  следует принять ближайшую к  составляющую.

Для нашей задачи .

Используя вторую кривую графика, находим k = 1,32. Тогда с = 1,602 мА.

Следует иметь в виду, что при m<4 вычисленное значение с может оказаться больше алгебраической суммы систематических погрешностей

мА,

чего не может быть. За оценку границ неисключенной систематической погрешности принимаем то из значений с, которое меньше. Таким образом, с = =1,602 мА.

3 Определим границы суммарной погрешности результата измерения.

а) Находим отношение

.

б) В случае если < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница . Если > 8, то пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематическими и принимают, что граница погрешности результата = с.

Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения при выполнении указанныx неравенств, не превышает 15 %.

в) В случае, если неравенства п. б) не выполняются (0,8    8), то границу погрешности результата измерения находят путём построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.

В соответствии с [9] границы погрешности результата измерения (без учета знака) вычисляют по формуле

,

где К- коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

  - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Значение  вычисляют по формуле

.

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле

.

Определяем доверительные границы суммарной погрешности результата измерения

.

Доказывается, что с погрешностью не более 10 % значение может быть определено по более простой формуле

.

4 Записываем результат измерения. Так как погрешность симметрична относительно результата измерения, то

I = (16,5 2,1) мА,  Рд = 0,99.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Обработать ряд наблюдений, полученный в процессе многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить в одной из форм ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ, ее размерность, число наблюдений N, первый элемент выборки ряда J взять из таблицы 7, а номер ряда взять из таблицы 8 в соответствии с вариантом. Доверительную  вероятность принять Рд = 0,95 для  четных вариантов и Рд = 0,99 - для нечетных.

Таблица 7

Параметр

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ФВ

Ток

Напряжение

Час-тота

Сопротивление

Мощность

Вре-мя

ЭДС

Дли-на

Емкость

Индуктив- ность

Размерность

мкА

мкВ

кГц

кОм

мВт

мс

мВ

мм

нф

мГн

N

20

15

30

35

25

19

24

25

18

32

J

1

10

6

1

10

15

5

1

10

4

При решении задач 2-4 необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения. При расчетах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30. Данные взять из таблицы 9.

Задача №2

В процессе обработки результатов прямых измерений напряжения определено (все значения в вольтах): среднее арифметическое значение этого напряжения , среднее квадратическое отклонение среднего арифметического , границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности  и .

Задача №3

В процессе обработки результатов прямых измерений сопротивления R определено (все значения в килоомах): среднее арифметическое ; границы неисключенных остатков трех составляющих систематической погрешности ,  и . Случайная погрешность пренебрежимо мала.

Задача №4

В процессе обработки результатов прямых измерений емкости С определено (в нанофарадах): среднее арифметическое ; среднее квадратическое отклонение среднего арифметического ; границы неисключенных остатков двух составляющих систематической погрешности  и .

Таблица 8

I

Номер ряда наблюдений

1

2

3

4

5

1

16,0065

22,0123

10,3623

49,7928

35,9204

2

15,7891

22,9939

10,2493

47,9739

36,9163

3

15,6774

22,2742

10,4923

47,9254

36,2257

4

16,0797

23,0254

10,3137

49,1514

36,1006

5

16,2531

22,3024

10,3183

49,3718

36,7542

6

16,1125

22,0120

10,4059

48,0822

36,1744

7

15,6624

22,8651

10,6294

49,1950

36,1744

8

16,0556

22,3795

10,2650

48,4626

36,2023

9

16,1915

22,7172

10,3024

49,5655

35,6021

10

16,1031

22,8255

10,2688

49,7933

35,5462

11

16,1762

22,4244

10,6268

48,8541

36,5920

12

15,6497

20,0291

10,7516

47,9618

36,4078

13

15,7332

22,7570

10,3913

48,0356

36,9107

14

16,0375

22,3292

10,3496

47,9949

36,1876

15

14,8296

22,9448

10,2725

49,7925

36,6934

16

16,2142

22,0760

10,2539

49,7869

35,6774

17

15,7891

23,0105

10,3990

49,5183

35,7912

18

15,6471

22,0643

10,2790

49,7603

36,4033

19

16,2576

23,0317

10,5937

49,6780

36,3126

20

15,6675

22,8951

10,7457

49,6591

36,4941

21

16,2032

22,0419

10,3457

49,0117

35,6285

22

15,6557

22,0591

10,6968

48,3095

35,9551

23

15,6820

22,0037

10,2640

47,9303

35,7093

24

15,7611

22,0317

10,4506

48,2104

35,9808

25

16,0905

22,8747

10,3961

49,7760

35,7190

26

16,0691

22,0285

10,4081

47,9673

34,0623

27

15,6331

22,0954

10,6238

45,5625

36,0152

28

15,6937

22,0016

9,6276

49,4889

35,6716

29

15,9504

22,2415

10,2670

49,2162

36,6773

30

16,2524

22,7934

10,3424

49,7757

36,5373

31

15,6513

22,9755

10,6293

48,0032

36,6845

32

16,1298

22,2265

10,7522

48,1368

35,5179

33

16,0551

22,2543

10,5381

48,2398

35,9262

34

16,2529

22,6592

10,6926

49,0547

35,6236

35

16,1402

22,7873

10,4042

49,1183

36,9338

Продолжение таблицы 8

I

Номер ряда наблюдений

6

7

8

9

10

1

12,7416

28,1918

38,4404

17,5151

13,4250

2

12,8033

27,0238

38,5394

17,3831

13,6387

3

13,3574

28,2393

38,1955

17,2690

13,5889

4

12,7938

27,1120

38,1271

17,3792

13,7126

5

12,5663

26,8403

37,9341

18,1100

13,4818

6

12,7133

28,0320

38,0902

17,5170

14,1668

7

12,9213

29,9967

38,5348

18,1059

13,5771

8

12,7064

27,5508

38,2339

17,3931

13,4729

9

12,7432

26,7104

38,4842

17,8772

13,6753

10

12,7428

26,9868

38,0486

17,2714

13,4710

11

13,5213

27,0866

38,4781

19,2087

13,4971

12

12,8330

26,9129

37,9250

17,2570

13,7178

13

12,8214

26,6548

38,1662

17,3044

13,6937

14

13,3946

26,9626

38,0371

17,5808

13,6149

15

13,4483

26,6438

37,8539

17,2839

13,5516

16

12,5995

26,6523

38,0422

18,0627

13,0627

17

12,8412

26,6223

37,8655

17,2912

13,4723

18

12,8082

26,9044

38,0462

18,0420

13,7356

19

13,2607

26,6086

37,8203

17,3481

13,6109

20

12,8592

28,2372

38,1242

17,2767

13,4160

21

13,4198

27,0463

38,5117

17,8749

13,4706

22

12,7251

26,8789

38,1768

17,2979

13,4409

23

12,8300

26,6435

39,3839

17,9177

13,5433

24

14,4618

26,6083

38,5401

17,4381

13,4296

25

14,5839

27,4319

38,3996

17,2971

13,4468

26

13,4515

28,1347

38,3125

17,2750

13,4825

27

13,2268

26,6294

3,5463

18,0703

13,4927

28

12,5570

26,9332

37,8538

17,3146

13,4329

29

12,7186

26,6284

37,8892

17,9669

13,5458

30

13,3361

27,0570

37,9422

17,3075

13,7321

31

13,2431

26,6138

37,8345

17,2814

13,7071

32

13,3585

26,7730

38,2995

17,6904

13,5378

33

13,2472

27,3732

38,0396

17,2827

13,7106

34

13,5172

28,1526

38,4482

17,2882

13,5850

35

13,2472

26,7359

38,4931

17,4522

13,5620

Таблица 9

Пара-метр

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Х

5,75

1,246

18,31

25,43

8,49

4,38

20,92

9,48

53,79

16,48

0,08

0,037

0,52

0,23

0,20

0,60

1,20

0,45

0,45

0,51

0,32

0,45

1,30

0,92

0,56

0,14

1,56

0,35

2,30

0,83

0,15

0,023

0,49

0,87

0,35

0,48

0,62

0,46

0,82

0,87

0,21

0,012

0,16

0,29

0,20

0,12

0,47

0,23

0,63

0,39

0,18

0,016

0,21

0,85

0,19

0,23

1,10

0,20

0,60

0,81

4 Обработка результатов МНОГОКРАТНЫХ наблюдений при косвенных измерениях

Рекомендуемая литература: [1, с.197-211], [3, с.31-37], [4, с.27-36], [8, с.101-120].

Методические указания

При изучении материала темы необходимо:

- ознакомиться с основными определениями и классификационными признаками косвенных измерений;

- изучить методы оценки случайных погрешностей косвенных измерений, алгоритмы обработки их результатов;

- обратить внимание на формы представления характеристик погрешностей и записи результатов измерений.

Контрольные вопросы

1 Каким образом находят искомые величины при косвенном измерении? Какой формулой можно охарактеризовать косвенное измерение? Приведите пример косвенного измерения.

2 Какое значение принимается за результат косвенного измерения?

3 По какой формуле определяется частная случайная погрешность косвенного измерения?

4 Дайте определение коэффициента корреляции и поясните его физический смысл.

5 По какой формуле может быть вычислена оценка коэффициента корреляции?

6 По каким формулам вычисляются средние квадратические отклонения результатов косвенных измерений для случаев зависимых и независимых частных погрешностей?

7 Приведите критерий ничтожных погрешностей. Из какого условия он выведен? Что дает знание ничтожных погрешностей?

8 Что понимается под «эффективным» числом степеней свободы распределения Стьюдента при косвенных измерениях?

9 Опишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений.

10 Приведите примеры форм представления характеристик погрешностей и записи результатов измерений.

Решение типовых задач

Задача № 1

Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом, путем многократных измерений напряжения U и тока I с учетом зависимости Р=UI. Ток I и напряжение U подвергались прямым измерениям n = 15 раз. В процессе обработки результатов прямых измерений определены: средние арифметические значения Ū = 25,2 В и Ī= 2,837 мА; оценки средних квадратических отклонений  = 0,38 В и  = 0,028 мА. Произведена также оценка коэффициента корреляции между погрешностями измерения напряжения и тока RIU = 0,75.

Определить случайную погрешность результата косвенного измерения с доверительной вероятностью Рд = 0,95 и записать результат по одной из установленных форм.

Решение

1 Находим значение результата косвенного измерения мощности

мВт.

2 Определяем частные случайные погрешности косвенного измерения

мВт;

мВт.

3 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения

1,67 мВт.

4 Определяем значение коэффициента Стьюдента t для заданной до-верительной вероятности Рд и числа наблюдений n.

а) При n 30 значение t определяется непосредственно из таблицы 6 для заданной Рд .

б) При n 30 предварительно должно быть определено так называемое «эффективное» число степеней свободы распределения Стьюдента, учитываемое затем при пользовании таблицей 6.

Оно определяется из выражения

,

где ni - число наблюдений при прямых измерениях xi .

     - относительная оценка среднеквадратического отклонения

Для решаемой задачи

в) При получении дробного значения nэфф для нахождения коэффициента Стьюдента применяем линейную интерполяцию

,

где t1, t2 и n1, n2 - соответствующие табличные значения коэффициента Стьюдента и числа наблюдений (для заданной Рд), между которыми находится значение nэфф..

Для решаемой задачи при nэфф = 24,16 и Рд = 0,95 из таблицы 6 находим n1 = =24, t1 = 2,069, n2 = 25, t2 = 2,064, а затем вычисляем значение t = 2,068.

5 Вычисляем доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения

мВт.

6 Записываем результат измерения

мВт,  Рд=0,95.

7 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей.

В соответствии с этим критерием, если частная погрешность меньше 1/3 суммарной погрешности, то она является «ничтожной» и может быть исключена из рассмотрения.

Для решаемой задачи

.

Следовательно,  и  не являются «ничтожными» и для повышения точности измерения Р необходимо увеличивать точность измерения как U, так и I.

Задача №2

Сопротивление резистора Rx определялось путем многократных измерений падения напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно соединенном с ним образцовом резисторе R0=5 кОм с последующим расчетом по формуле . При обработке результатов прямых измерений Ux и U0 получены средние арифметические значения =32,5 В, =2 В; оценки средних квадратических отклонений  и . Частные погрешности некоррелированы. Число наблюдений при прямых измерениях n=40.

Оценить случайную погрешность результата косвенного измерения сопротивления Rx c доверительной вероятностью РД = 0,99 и записать результат измерения по установленной форме.

Решение

1 Так как по условию задачи частные погрешности некоррелированы, то Rij=0.

При необходимости количественная оценка Rij может производиться по формуле

,

где n - наименьшее из чисел наблюдений Xik и Xjk .

2 Находим значение результата косвенного измерения сопротивления

кОм.

3 Находим частные погрешности косвенного измерения

кОм,

.

4 Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения результата косвенного измерения. Так как  Rij, то для определения  RX используем  формулу

для случая независимых частных погрешностей

кОм.

5 Непосредственно из таблицы 6 (n=40) находим значение коэффициента Стьюдента при РД = 0,99

t = 2,576.

6 Вычисляем доверительные границы результата косвенного измерения

кОм.

7 Записываем результат измерения

Rх = (81,3 4,0) кОм,  РД = 0,99.

8 Проанализируем полученные результаты с использованием критерия ничтожных погрешностей

кОм,    , а .

Cледовательно,  является «ничтожной» погрешностью. Поэтому для увеличения точности измерения Rx необходимо в первую очередь повышать точ- ность измерения .

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Напряжение в электрической цепи U определяется путем многократных измерений U1, U2, U3 на участках этой цепи с последующим расчетом по формуле U = U1 + U2 + U3 . Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений напряжений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения U и, оценив его случайную погрешность, записать результат измере-ния. При обработке принять , В; , В; , В; ; ; ; ; ; ; РД= =0,95 - для четных  вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов,  n – число

наблюдений каждой из величин в процессе прямых измерений.

Задача № 2

Резонансная частота f0 колебательного контура определяется путем многократных измерений индуктивности L и емкости С, входящих в контур катушки индуктивности и конденсатора, с последующим вычислением по формуле .

Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения f0 и оценить его случайную погрешность. При обработке принять  = 2 мГн;  = 3 мкФ;  мГн;  мкФ; Рд= 0,95 - для четных вариантов и Рд = 0,99 - для нечетных вариантов.

Таблица 10

Пара-метр

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

35

15

22

11

19

32

13

40

11

17

12,45

8,46

14,39

27,65

19,37

25,20

17,30

32,50

19,00

37,35

0,347

0,521

2,032

4,251

3,498

2,837

5,360

2,000

6,380

5,120

5,320

1,090

10,51

15,40

6,300

1,800

10,14

22,50

5,210

28,05

0,30

0,14

0,15

0,32

0,36

0,38

0,22

0,19

0,31

0,57

0,023

0,021

0,042

0,030

0,040

0,028

0,43

0,036

0,036

0,047

0,085

0,050

0,20

0,29

0,052

0,010

0,32

0,20

0,081

0,89

-0,15

0,05

-0,34

0,47

-0,09

0,75

0

0,60

-0,50

0,80

0,80

-0,42

-0,49

0,80

0,90

0,85

-0,09

-0,50

0,72

0,05

0,60

0,84

0,14

-0,32

0,46

0,63

0,53

0,06

0,18

-0,16

R0

0,1

10,0

2,0

0,1

1,0

0,1

10,0

5,0

0,1

1,0

Задача № 3

Мощность постоянного тока Р измерялась косвенным методом путем многократных измерений напряжения U и тока I c последующим расчетом по формуле P=UI. Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения РU, оценив его случайную погрешность, записать результат измерения. При обработке принять , В; , мА; ; ; ; РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов.

Задача № 4

Сопротивление Rx определялось путем многократных измерений падения напряжения на нем Ux и падения напряжения Uo на последовательно соединен-ном с ним образцовом резисторе с сопротивлением Ro (кОм) с последующим расчетом по формуле . Воспользовавшись результатами обработки прямых измерений (таблица 10), продолжить обработку результатов косвенного измерения Rx и, оценив его случайную погрешность, записать результат измерения. При обработке принять ; ; ; ; ; РД= 0,95 - для четных вариантов и РД = 0,99 - для нечетных вариантов. Погрешностью резистора Ro пренебречь.

5 Обработка результатов наблюдений при совокупных и совместных измерениях

Рекомендуемая литература: [1, с.211-220], [2, с.167-172], [3, с.6-10, 12].

Методические указания

При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:

- отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;

 - примеры совокупных и совместных измерений;

- суть метода наименьших квадратов и использование этого метода при составлении системы нормальных измерений.

Контрольные вопросы

1 Что такое совокупные измерения?

2 Чем совместные измерения отличаются от совокупных?

3 Что собой представляет система исходных уравнений?

4 Что такое невязка уравнений связи?

5 Объясните суть метода наименьших квадратов.

6 Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?

Решение типовых задач

Задача № 1

Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:

 1 = 8955; 1 = 455;  1 = 4457;

 2 = 8959; 2 = 456;  2 = 4455;

 3 = 8957; 3 = 455;  3 = 4458.

Найти с доверительной вероятностью Рд = 0,95 результаты совокупных измерений углов , , .

Решение

Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

0 = = 8957; 0 =  = 455.33;  0 =  = 4456,67.

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию   + + = 180.

У нас же получилось  0 + 0 + 0 = 17959.

Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения 0, 0, и 0 с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.

Примем    = 0 + ; = 0 + ;    = 0 + , и будем искать значения поправок , , .

Получаем:

 1 = 1  0 = 2;  1 = 1 - 0 = 0.33;  1 = 1 - 0 = +0.33;

 2 = 2  0 = +2;  2 = 2  0 = +0.67;  2 = 2 - 0 = 1.67;

 3 = 3  0 = 0;  3 = 3  0 = 0.33;  3 = 3 - 0 = +1.33.

Уравнение связи имеет вид   0 + + 0 + + 0 + = 180.

Следовательно,   + + = 180  17959 = 1.

Исключим из исходных уравнений , пользуясь соотношением =1  

  , и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:

A1   + B1   = 1;  A4   + B4   = 1;

A2   + B2   = 2;  A5   + B5   = 2;

A3   + B3   = 3;  A6   + B6   = 3;

A7   + B7   = 1  1;  A8   + B8   = 1  2;

A9   + B9   = 1  3,

где

A1 = 1; B1 = 0;  A4 = 0; B4 = 1; A7 = 1; B7 = 1;

1  1 = +0,67;

A2 = 1; B2 = 0; A5 = 0; B5 = 1; A8 = 1; B8 = 1;

1  2 = +2,67;

A3 = 1; B3 = 0; A6 = 0; B6 = 1; A9 = 1; B9 = 1;

1  3 = 0,33,

т.е.

1   + 0   = 2;  0   + 1   = 0,33;

1   + 0   = +2;  0   + 1   = +0,67;

1   + 0   = 0;  0   + 1   = 0,33;

1   + 1   = +0,67;  1   + 1   = +2,67;

1   + 1   = 0,33.

Теперь составим систему нормальных уравнений:

A11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;  A12 = 1 + 1 + 1 = 3;

A21 = 1 + 1 + 1 = 3;    A22 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;

C1 = 2 + 2 +0.67 + 2,67  0,33 = +3;

C2 = 0,33 + 0,67  0,33 + 0,67 + 2,67  0,33 = +3.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

6   + 3   = 3;

3   + 6   = 3.

Вычислим определители Д,  и :

;

;

 и находим   .

Следовательно, и .

Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:

 1 = 2,33;  4 = 0,67 ; 7 = 0;

 2 = -1,67; 5 = -0,33; 8 = -2;

 3 = 0,33;  6 = 0,67;  9 = 1.

Вычислим оценки с.к.о. результатов совокупных измерений: Д11 =6; Д22 = 6 (алгебраические дополнения элементов определителя Д):

.

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок , , , можно не делать  повторных вычислений, а записать, что .

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для Рд = 0,95 и  tp = 1,96:

.

Окончательно можно записать результаты измерений:

  = 8957,3  1,4; = 455,7  1,4; = 4457  1,4;  Pд = 0,95.

Задача № 2

Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой

R(t) = R0  (1 + A t + B t2 + C t3).

При этом для t0 = 0C, R0 = 100,00 Oм; t1 = 50C, R1 = 80,00 Oм; t2 = 30C,   R2 = 111,85 Oм; t3 = 60C, R3 = 123,60 Oм; t4 = 90C,  R4 = 135,24 Oм; t5 = 120 C, R5 = 146,78 Oм.

Решение

Данные измерения являются совместными. Запишем систему исходных уравнений в виде

A ti + B ti2 + C ti3 = Fi ;  i =,

где

Fi = Ri / R0  1.

A (50) + B (50)2 + C (50)3 = 0,210;

A 30 + B 302 + C 303 = 0,118;

A 60 + B 602 + C 603 = 0,236;

A 90 + B 902 + C 903 = 0,352;

A 120 + B 1202 + C 1203 = 0,468.

 Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных уравнений

R11  A + R12  B + R13  C = P1;

R21  A + R22  B + R23  C = P2;

R31  A + R32  B + R33  C = P3,

где

 R11 =  = 2,9500 104; R12 = R21 =  = 2,5750 106;

 R13 = R31 = R22 =  = 2,9299 108; R23 = R32 =  = 3,12771010;

R33==3,58041012; P1 = ; P2== 1,0047104;

P3 =  Fi = 1,1444 106.

Систему можно записать в матричной форме     [R] [X] = [P],

 где   X1 = A;  X2 = B;  X3 = C.

 Отсюда    [X] = [P] [R]-1,

и, решая, получаем

= 3,9690410-3 1/град.;

= 6,09710-7 (1/град)2;

= 1,7010-10 (1/град)3 .

Найдем определитель Д матрицы [R]:

Д = 3,89981023.

Затем находим алгебраические дополнения матрицы [R]:

Д11 = 1,07501019; Д22 = 1,97801016; Д33 = 2,01261012.

Определим невязки уравнений связи:

i = Pi  A ti + B ti2 + C ti3;   i =,

1 = 2,331810-6; 2 = -2,725410-5; 3 = 1,518910-5;

4 = -3,379210-7; 5 = 1,498810-6.

Теперь можно найти оценки C.K.O. результатов совместных измерений

(1/град);

(1/град)2;

(1/град)3.

Оценим доверительные  границы  погрешностей измерения.  Для Pд = 0,95, tр = 1,96

= 1,962,9810-7   5,810-7 (1/град);

= 1,964,9910-9  9,810-9 (1/град)2;

= 1,965,0310-11  9,910-11 (1/град)3.

Окончательно можно записать

A = (3,969040,00058) 10-3 (1/град);  Pд = 0,95;

B = (6,0970,098) 10-7 (1/град)2;  Pд = 0,95;

C = (1,700,99) 10-10 (1/град)3;  Pд = 0,95.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Проведены совокупные измерения емкости двух конденсаторов. Получены следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ; С2 = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ; C1C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ, найти с доверительной вероятностью Рд = 0,99 результаты совокупных измерений емкостей C1 и C2.

Задача № 2

Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 21 с его температурой

R(t) = R0  (1 + A t + B t2 + C t3).

При этом для t0 = 0C, R0 = 46,00 Oм; t1 = 20C,  R1 = 42,34 Oм; t2 = 20C,  R2 = 49,64 Oм;    t3 = 40C,   R3 = 53,26 Oм;   t4 = 60C, R4 = 58,86 Oм; t5 = 100C, R5 = 63,99 Oм.

 6 Измерение напряжений

Рекомендуемая литература: [4, с.60-61], [5, c.78-88], [6, с.152-176], [7, с.174-188].

Методические указания

При изучении темы необходимо обратить внимание на основные измеряемые параметры напряжений и их связь между собой, хорошо знать типы и принципы работы преобразователей (детекторов) вольтметров, правила градуировки шкал вольтметров. Особое внимание следует обратить на зависимость показаний вольтметров от формы измеряемого напряжения, четко представлять себе, что такое градуировочный коэффициент, какие параметры он связывает, уметь правильно определять результат измерения напряжения по показанию вольтметра для различных форм измеряемых напряжений и при использовании различных типов преобразователей.

Контрольные вопросы

1 Что понимают под мгновенным и пиковым значениями напряжений ?

2 Дайте определение измеряемых параметров напряжения.

3 Что такое коэффициенты амплитуды и формы напряжения? Как они определяются и от чего зависят?

4 Какие вольтметры могут использоваться для измерения переменного напряжения?

5 Чем определяется параметр измеряемого напряжения в вольтметрах переменного тока?

6 Что представляет собой пиковый детектор?

7 Что представляет собой детектор среднеквадратического значения?

8 Что представляет собой детектор средневыпрямленного значения?

9 Различаются ли показания импульсных вольтметров с открытым и закрытым входами? В чем заключается это различие?

10 В значениях какого параметра градуируются шкалы вольтметров переменного тока?

11 Чему равен градуировочный коэффициент, если вольтметр имеет пиковый детектор, а шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения?

12 Чему равен градуировочный коэффициент, если вольтметр имеет детектор средневыпрямленного значения, а шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения?

Решение типовых задач

Задача № 1

Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения пилообразной формы, поданного на вход электронного вольтметра с детектором средневыпрямленного значения, закрытым входом, со шкалой,  проградуированной  в  среднеквадратических  значениях синусоидального напряжения. Показания вольтметра U = 6,0 В.

Решение

1 Поскольку вид измеряемого напряжения определяется типом детектора, то можно сделать вывод, что вольтметр измеряет средневыпрямленное значение. Однако шкала вольтметра проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. В этом случае мы должны показания вольтметра умножить на градуировочный коэффициент, определяемый как отношение параметра напряжения, в значениях которого проградуирована шкала, к пара-метру напряжения, соответствующего типу детектора (Uск/Uсв = 1,11). Откуда

Uсв= 0,9U = 5,4 (B).

2 Зная  коэффициент  формы  измеряемого пилообразного напряжения (Кф =

=1,16), можно найти среднеквадратическое значение напряжения:

Uск = KФUсв = 1,165,4 6.3 (B).

3 Зная коэффициент амплитуды (КА = 1,73), можно найти пиковое значение пилообразного напряжения:

UA = KAUск = 1,736,3 = 10,9 (B).

Задача № 2

Напряжение сигнала неизвестной формы измерялось тремя вольтметрами, которые имеют открытые входы, шкалы их проградуированы в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Определить коэффициенты амплитуды и формы, если показания вольтметра с пиковым детектором U1 = 72 B; с детектором среднеквадратического значения U2 = =58 B; с детектором средневыпрямленного значения U3 = 49 B.

Решение

По определению КА = Um/Uск; КФ = Uск/Uсв. Следовательно, для решения задачи необходимо знать значения пикового, среднеквадратического и средневыпрямленного значений напряжений.

Пиковое значение напряжения можно определить по показанию вольтметра с пиковым детектором, учитывая градуировочный коэффициент, характеризующий разницу в типе детектора и градуировке шкалы:

Um = 1,41U1 = 1,4172 = 101,5 (B).

 Среднеквадратическое значение напряжения находим по показаниям вольтметра с детектором среднеквадратического значения (градуировочный коэффи-

циент равен 1, т.к. тип детектора и градуировка шкалы совпадают):

Uск = U2 = 58 (B).

 Средневыпрямленное значение напряжения находим, зная показания вольтметра с детектором средневыпрямленного значения и учитывая, что шкала его отградуирована  в среднеквадратических  значениях синусоидального напряже-

ния:

Uсв = 0,9U3 = 0,949 = 44,1 (B).

Зная Um, Uск, Uсв, определяем искомые значения коэффициентов амплитуды и формы измеряемого напряжения:

KA =101,5/581,75;  KФ = 58/44,1 1,32.

Задача № 3

Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения, поданного на вход электронного вольтметра с пиковым детектором, закрытым входом, со шкалой, проградуированной в среднеквад-ратических значениях синусоидального напряжения. На вход вольтметра подан импульсный сигнал скважностью Q = 5. Показания вольтметра U = 2,0 В.

Решение

1 Сигнал, поданный на вход вольтметра, имеет следующий вид:

Так как вольтметр имеет закрытый вход, то измеряется только значение переменной составляющей сигнала Um,  равное  Um= 1,41U, (детектор

пиковый, а шкала вольтметра проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения).

2 Амплитудное значение напряжения определяется как сумма переменной и постоянной составляющих:

Um =Um+Uсв = 1,41U+Uсв.

 3 По определению средневыпрямленное значение напряжения

Uсв = .

С учетом того, что сигнал импульсный, можно записать

Uсв = .

Тогда

Uсв =  = Um/Q.

4 Подставив Uсв в выражение для Um из п. 2, получим

Um = 1,41U+ Um/Q.

Отсюда

Um = 1,41U/(1-1/Q) = 1,412,0/(11/5) 3,52 (B).

 5 Определяем значение Uсв:

Uсв = Um/Q = 3,52/5 0,70 (B).

 6. Определяем значение Uск . По определению

Uск =  = (В)

(с учетом того, что сигнал импульсный).

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Имеются вольтметры с открытыми входами, шкалы их проградуированы в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Измеряемое напряжение имеет КА = 1,73 и КФ = 1,16. Необходимо по показаниям одного из вольтметров найти показания двух других.

1 Показание вольтметра с пиковым детектором U1 = 26,0 мВ.

2 Показание вольтметра с детектором среднеквадратического значения U2 = =24,0 мВ.

3 Показание вольтметра с детектором средневыпрямленного значения U3 = =24,2 мВ.

Задача № 2

Сигнал синусоидальной формы после однополупериодного выпрямителя имеет КА = 2,0; КФ = 1,76. Вольтметр имеет пиковый детектор, закрытый вход, шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Показание вольтметра U= 2,0 В. Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения.

Задача № 3

Имеются  вольтметры с закрытыми входами, шкалы их проградуированы в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения, детекторы соответственно пиковый, среднеквадратического и средневыпрямленного значений. Измеряемое напряжение имеет КА = 1,73 и КФ = 1,16. Необходимо по показаниям одного из вольтметров найти показания двух других.

1 Показание вольтметра с пиковым детектором U1 = 26,0 мВ.

2 Показание вольтметра с детектором среднеквадратического значения U2 = =24,0 мВ.

3 Показание вольтметра с детектором средневыпрямленного значения U3 = =24,2 мВ.

Задача № 4

Сигнал синусоидальной формы после однополупериодного выпрямителя имеет  КА = 2,0; КФ = 1,76. Вольтметр имеет среднеквадратический детектор, отрытый вход, шкала проградуирована в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Показание вольтметра U= 2,0 В. Определить пиковое, среднеквадратическое и средневыпрямленное значения напряжения.

7 Измерение частоты, периода, интервалов времени и фазовых сдвигов

Рекомендуемая литература: [1, с. 129-143], [6, с. 104-142], [7, с. 141-160].

Методические указания

При изучении темы необходимо обратить внимание на основные измеряемые параметры и классификацию методов и приборов для измерения частоты, интервалов времени и фазовых сдвигов. При этом нужно четко представлять, в каком частотном диапазоне используются различные методы и приборы, и почему. Основное внимание следует обратить на изучение принципа действия и основных источников погрешностей цифровых частотомеров, измерителей временных интервалов и фазовых сдвигов, а также способов расширения их частотных диапазонов как вниз, так и вверх.

Контрольные вопросы

1 Что такое период, частота, длина волны, долговременная и кратковременная нестабильность частоты? В каком диапазоне частот используют понятие «длина волны»?

2 Как классифицируются  приборы для измерения частоты и интервалов времени?

3. Какой принцип положен в основу работы резонансных частотомеров?

4 Перечислите источники возникновения погрешностей резонансных частотомеров.

5 Какой принцип положен в основу работы цифровых частотомеров? Как реализуются в этих приборах возможности измерения частоты, периода, интервалов времени, отношения частот?

6 Перечислите источники возникновения погрешностей цифровых частотомеров в различных режимах работы.

7 Какие трудности возникают при измерении низких и высоких частот?

8 Охарактеризуйте способы повышения точности измерения низких и инфранизких частот.

9 Что собой представляют гетеродинные преобразователи частоты и как с их помощью можно увеличить верхнюю границу  частотного диапазона цифровых частотомеров?

10 Охарактеризуйте осциллографические методы измерения частоты: метод интерференционных фигур и метод круговой развертки.

11 Что такое фазовый сдвиг сигналов?

12 Какие методы используются для измерения фазового сдвига?

13 Какой принцип положен в основу измерения фазового сдвига методом суммы и разностей напряжений?

14 Какой принцип положен в основу измерения фазового сдвига нулевым методом? Какие устройства могут использоваться в качестве индикаторов при использовании этого метода?

15 Как осуществляется преобразование фазового сдвига во временной интервал?

16 Чем различаются неинтегрирующие и интегрирующие цифровые фазометры?

17 Перечислите источники возникновения погрешностей цифровых фазометров.

Решение типовых задач

Задача № 1

Определить относительную погрешность измерения частоты резонансным частотомером, обусловленную неточностью настройки в резонанс. Добротность колебательной системы Q = 500, индикатором частотомера является магнито-электрический вольтметр с детектором среднеквадратического значения. В момент резонанса стрелка индикатора отклонилась на 80 делений.

Решение

Относительная погрешность измерения частоты резонансным частотомером, обусловленная неточностью настройки в резонанс, зависит от добротности колебательного контура Q и разрешающей способности индикатора резонанса:

,

где   - показание индикатора (вольтметра) при резонансе;

  - наименьшее уверенно отсчитываемое значение изменения показания индикатора, которое для стрелочных приборов составляет половину цены деления.

.

Задача № 2

Определить абсолютную погрешность измерения частоты f = 10 кГц цифровым частотомером, если время измерения Tu = 10 c, нестабильность частоты кварцевого генератора  = 110-5.

Решение

Относительная погрешность измерения частоты f цифровым частотомером определяется величиной

,

где N - число подсчитанных импульсов.

.

Тогда абсолютная погрешность измерения частоты

(Гц).

Задача № 3

Определить частоту сигнала f, измеряемую с помощью цифрового частотомера с гетеродинным преобразователем частоты, если частота следования импульсов кварцевого генератора f0 = 10 МГц, перестраиваемый фильтр выделил десятую гармонику генератора гармоник, а показание цифрового  частотомера fp = 142,3 МГц.

Решение

В случае использования гетеродинного преобразователя частоты измеряемая частота находится из формулы:

f = nf0 + fp,

где n - номер гармоники генератора гармоник.

f = 1010 +142,3 = 242,3 (МГц).

Задача № 4

Определить частоту синусоидального сигнала fy, поданного на вход Y электронно-лучевого  осциллографа, если  на вход X подан сигнал с частотой fx = =0,5 МГц и на экране получена интерференционная фигура .

Решение

По виду интерференционной фигуры можно определить отношение между fу и fx. Для этого через изображение фигуры мысленно проводят вертикальную и горизонтальную линии так, чтобы они не пересекались с узлами фигуры.

Число пересечений вертикальной (ny) и горизонтальной (nx) линий с изображением фигуры связаны с fу и fx следующим соотношением:

ny  fy = nx  fx,

откуда

(кГц).

Задача № 5

Определить частоту сигнала fz, поданного на вход Z осциллографа, если на входы X и Y поданы сигналы синусоидальной формы частотой fx =0,8 кГц, сдвинутые по фазе относительно друг друга на 90 градусов. Количество разрывов изображения n = 8.

Решение

Число разрывов n (или другими словами число чередующихся светлых полос и темных промежутков осциллограммы) однозначно определяет отношение fz / fx.  Вид осциллограммы:

 Частота сигнала, поданного на вход Z (fz), будет связана с частотой сигналов, поданных на вход X и Y (fx), следующим соотношением:

fz = nfx = 80,8 = 6,4 (кГц).

Задача № 6

Определить фазовый сдвиг x между двумя напряжениями, если он измеряется с использованием метода разности напряжений. Амплитуды напряжений U1 = U2 = 20 B, а разностное напряжение - Up=2,4 B.

Решение

Разностное напряжение Up двух сдвинутых по фазе на угол напряжений описывается выражением:

Up2 = U12+U222U1U2cos.

 При U1 = U2 получим:

Up2 = 2U122U12cos = 4U12sin2(/2).

 Откуда 

= 2arcsin(Up/(2U1)) = 2arcsin (2,4/(220)) 6.9.

Задача №7

 Определить время измерения Tи цифрового интегрирующего фазометра, если он имеет разрешающую способность n = 10 ед/град и частоту опорного квар-цевого генератора f0 = 0,36 МГц. Найти также относительную погрешность измерения фазового сдвига x = 126,5, если нестабильность частоты опорного кварцевого генератора 0 = 210-5.

Решение

 Известно, что разрешающая способность фазометра равна: n = N/x, где N - количество подсчитанных импульсов при измерении фазового сдвига. С другой стороны, для цифрового интегрирующего фазометра

.

Тогда

(c) = 10 (мкс).

Относительная погрешность измерения фазового сдвига (x = 126,5) будет равна

.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Определить абсолютную погрешность измерения частоты fx = 2 мГц резонансным частотомером, обусловленную неточностью настройки в резонанс. Добротность колебательной системы Q =200, индикатором частотомера является магнитоэлектрический вольтметр с детектором среднеквадратического значения. Шкала вольтметра содержит 50 делений, а момент резонанса соответствует отклонению стрелки на 0,8 части полной шкалы.

Задача № 2

Оценить, как изменится относительная погрешность  измерения частоты f = =500 кГц цифровым частотомером при изменении времени измерения с Tи1=1 c 

на Tи2 = 0,1 c. Нестабильность частоты кварцевого генератора 0 = 1,010-5.

Задача № 3

Оценить, как изменится относительная погрешность измерения периода Т = =20 мс цифровым частотомером при измерении одного и 10 периодов исследу-емого сигнала. Период следования импульсов кварцевого генератора Т0 =1 мкс, нестабильность его частоты 0 = 1,010-5.

Задача № 4

Определить  погрешность измерения отношения частот f1 = 500 кГц и f2 = =0,1 кГц с помощью цифрового частотомера.

Задача № 5

Определить вид интерференционной фигуры, если на вход Y электронно-лучевого  осциллографа  подан  сигнал синусоидальной формы частотой fy = =1,5 кГц, а на вход X - частотой fx = 2,25 кГц.

Задача № 6

  Определить фазовый сдвиг между двумя напряжениями синусоидальной фор-мы, если он измеряется фазометром, реализующим метод суммы напряжений. Амплитуды напряжений U1 = U2 = 9,0 B, а суммарное напряжение - Uc = 5,4 B.

Задача № 7

Измерение разности фаз производится неинтегрирующим цифровым фазометром с генератором счетных импульсов частоты f0 = 3,6 МГц. Определить частоту, на которой проводились измерения, если разрешающая способность фазометра n = 10 ед/град.

Задача №8

Определить время измерения Tи цифрового интегрирующего фазометра, если он имеет разрешающую способность n = 100 ед/град и частоту опорного кварцевого генератора f0 = 3,6 МГц. Найти также относительную погрешность измерения фазового сдвига x = 165,5, если нестабильность частоты опорного кварцевого генератора 0 = 1,210-5.

 

8 Измерение параметров пассивных линейных

двухполюсников

Рекомендуемая  литература:  [4, с.242-263], [6, с.308-321], [7, с.254-269], [10, с.243-264].

Методические указания

При изучении темы следует обратить внимание на то, какими параметрами характеризуются двухполюсники. Рассмотрите различные методы измерения этих параметров, обратив особое внимание на мостовой и резонансный методы, а также на вопросы автоматизации измерения параметров. Для лучшего усвоения материала самостоятельно получите основные расчетные соотношения при определении параметров. Проанализируйте основные источники погрешностей приборов для измерения параметров двухполюсников.

Контрольные вопросы

1 Перечислите измеряемые параметры пассивных линейных двухполюсников и дайте им определение.

2 Как классифицируются приборы для измерения параметров пассивных линейных двухполюсников?

3 Что такое эквивалентная схема двухполюсника? Чем различаются эквивалентные схемы конденсаторов с малыми и большими потерями?

4 Какие методы применяются для измерения параметров пассивных линейных двухполюсников?

5 Что собой представляют магнитоэлектрические омметры? Чем различаются схемы магнитоэлектрических омметров, используемых для измерения малых и больших сопротивлений?

6 Дайте определение мостового измерителя параметров двухполюсников. Как классифицируются эти измерители в зависимости от использования в них либо нулевого, либо дифференциального метода сравнения?

7 Что такое общее, модульное и фазовое условия равновесия мостовой измерительной цепи? Какие правила построения мостовых измерительных цепей

следуют из этих условий?

8 Что такое чувствительность моста и от чего она зависит?

9 Что такое сходимость моста переменного тока?

10 Какой вид имеет условие равновесия моста постоянного тока?

11 Перечислите источники возникновения погрешностей мостов постоянного тока.

12 Какие трудности возникают при измерении малых (менее 1 Ом) и больших (более 106 Ом) сопротивлений, как они устраняются? Для чего используется четырехзажимная схема включения измеряемого сопротивления и что собой представляет двойной мост постоянного тока?

13 Какой вид имеют условия равновесия моста переменного тока в режимах измерения емкости и тангенса угла потерь для конденсаторов с малыми и большими потерями, индуктивности и добротности для катушек индуктивности с малой (Q < 30) и большой (Q > 30) добротностями?

14 Перечислите источники возникновения погрешностей мостов переменного тока.

15 На чем основан резонансный метод измерения параметров двухполюсников?

16 Что собой представляет измеритель параметров двухполюсников контурного типа? Как можно измерить емкость, индуктивнось и добротность при помощи этого измерителя?

17 Перечислите источники возникновения погрешностей резонансных измерителей параметров двухполюсников?

18 Для чего используется метод замещения при измерении параметров двухполюсников резонансным методом? Охарактеризуйте особенности измерения при использовании этого метода.

19 Как можно измерить собственную емкость катушки индуктивности?

20 Как можно определить полное сопротивление двухполюсника при использовании резонансных измерителей?

Решение типовых задач

Задача № 1

Для измерения сопротивления Rx используется магнитоэлектрический омметр,  имеющий  последовательную  схему  включения. Напряжение источника

питания Е = 3 В, колебание этого напряжения составляет 1 %, ограничива-ющее сопротивление R0 = 10 кОм. Определите, в каких пределах должно изменяться значение Rк при установке прибора на нулевую отметку, если для Е=3 В Rк = 2 кОм. Магнитоэлектрический миллиамперметр имеет внутреннее сопротивление Rа = 3 кОм.

Решение

Проанализируем характер шкалы микроамперметра, проградуированной в омах. Исходя из схемы ток, текущий через микроамперметр, будет равен

.

Тогда при Rx = 0, соответствующем установке прибора на отметку «0», ток будет максимален и равен

0,2 (мА).

По условию  задачи  напряжение источника питания может колебаться на 1 %, т.е. от E = 2,97 B до E = 3,03 B. Соответственно, для того

чтобы Imax не изменялся, необходима возможность изменения значения RK от RK до RK.

; ;

(Ом);

(Ом).

Для обеспечения установки прибора на отметку «0» сопротивление RK должно изменяться в пределах от RK = 1.85 кОм до RK = 2,15 кОм.

Задача № 2

Определите сопротивление резистора Rx, включенного в плечо уравновешенного моста постоянного тока, если R2 = 5 кОм; R3 = 1 кОм; R4 = 5 кОм.

Оцените, какой минимальной чувствительностью Su должен обладать индикатор, если его внутреннее сопротивление Ru = 0.6 кОм, напряжение источника питания E = 6 B, а Rx необходимо измерить с относительной погрешностью .

Решение

Условие равновесия моста постоянного тока:

RxR3 = R2R4,

отсюда

Rx=  R2R4/R3 =55/1 = 25 (кОм).

 Найдем максимальное значение абсолютной погрешности измерения Rx:

(кОм).

Изменение Rx на величину  вызывает ток небаланса Iu, протекающий через индикатор:

;

мкА.

При этом протекание тока  через индикатор должно вызвать отклонение стрелки минимум на 0,5 деления, т.е.

  0,17106 дел/А;

Необходимо  использовать  индикатор с чувствительностью  не  хуже  0,17

106 дел/А.

Задача №3

Оцените погрешность измерения Rx с помощью двойного моста, если действительные   значения   сопротивлений  плеч   уравновешенного   моста   R1=

=502,0 Ом; R4 = 501,0 Ом; R2 = 1000 Ом; R3 = 1002 Ом; R0 = 1,0 Ом; r = 0,1 Ом.

Для двойного моста при симметричной измерительной цепи  условие равновесия имеет вид

Rx = R0;   Rx = 1502,0/1000 = 0,502 Ом.

Решение

 Так как в нашем случае R1  R4 и R2  R3, то действительное значение несколько отличается от значения Rx:

.

Относительная погрешность измерения Rx тогда будет равна

;

  0,026 %.

Задача № 4

Параметры конденсатора с малыми потерями измеряются с помощью моста переменного тока.

Определить  значения Cx, Rп и tgx, если C0 = 0,1 мкФ, R2 = 100 Ом; R3 = =200 Ом; R4 = 100 Ом. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.

Решение

Условие равновесия моста запишется в виде

Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части, получим выражения для Rп, Cx и tgx

(Ом);

(мкФ);

= 6,281030,110-6100 = 0,0628.

Задача № 5

Параметры катушки индуктивности с малой добротностью измеряются с помощью моста переменного тока.

Определить значения  Lx,  Rп и Qx,  если R2 = 100 Ом, R3 = 1250 Ом, R4 = =250 Ом, C0 = 1 мкФ. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.

Решение

Условие равновесия моста запишется в виде

.

Преобразовав его и отдельно приравняв действительные и мнимые части, получим выражения для Lx, Rп и Qx 

10-6100250 = 0,025 (Гн);

(Ом);

Задача № 6

Определить емкость конденсатора, измеряемую с помощью резонансного измерителя, если в момент резонанса при частоте генератора fp = 10 МГц была

включена образцовая катушка индуктивности L0 = 100 мкГн.

Решение

Частота резонанса колебательного контура определяется значениями емкости и индуктивности элементов колебательного контура.

В нашем случае:

,

откуда

(Ф);

Cx  2.54 (пФ).

Задача № 7

При измерении емкости конденсатора Cx с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора C01 = 320 пФ и C02 = 258 пФ. Определить значение Cx, если измеряемый конденсатор включался параллельно с образцовым.

Решение

При параллельном подключении исследуемого двухполюсника с образцовым конденсатором измеряемое значение Cx находится из формулы:

Cx = C01  C02;  Cx = 320 258 = 62 (пФ).

Задача № 8

При измерении собственной емкости катушки индуктивности CL с помощью резонансного измерителя получены резонансы на частотах f1p = 0,898 МГц  и f2p = 2,410 МГц. Соответствующие им значения емкости образцового конденсатора C01 = 420 пФ и C02 = 53 пФ. Определить CL.

Решение

Собственная емкость катушки индуктивности CL определяется по двум измеренным значениям частот f1p и f2p и двум соответствующим значениям емкости C01 и C02, при которых контур настроен в резонанс. При этом:

,

откуда

.

В нашем случае

.

Тогда

(пФ).

Задача № 9

Определить полное сопротивление двухполюсника Z и его составляющие R и X на частоте f = 3780 кГц, если до подключения двухполюсника к Q - метру получены значения емкости образцового конденсатора С01 = 229 пФ и добротности Q1 = 95, а при его подключении к Q-метру (параллельно образцовому конденсатору Q - метра) получены  значения C02 = 63 пФ и Q2 = 20. Определить характер реактивности.

Решение

Так как С1 > C2 и двухполюсник подключается параллельно образцовому конденсатору, то двухполюсник имеет емкостной характер. Если  C1 < C2, то двухполюсник при таком подключении имел бы индуктивный характер

Cx = C01  C02 = 229 63 = 166 (пФ).

Тогда реактивная составляющая полного сопротивления

(Ом).

Так как используется параллельная схема подключения, то активная составляющая определяется по формуле

;

R 4660 (Ом).

Полное сопротивление двухполюсника:

Z = R jX = (4660 j254) Ом.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1

Для измерения сопротивления Rx используется магнитоэлектрический омметр, имеющий параллельную схему включения. Проанализируйте характер шкалы миллиамперметра, отградуированной в омах. Определите необходимое значение напряжения источника питания, если R0 = 15 кОм, RK = 1 кОм. Магнитоэлектрический миллиамперметр имеет падение напряжения UA = 1 B, ток полного отклонения IA = 0,5 мА.

Задача № 2

Определите сопротивление резистора Rx, включенного в плечо уравновешенного моста постоянного тока, если R2 = 2,5 кОм, R3 = 10 кОм, R4 = 100 кОм.

Задача № 3

Определить, какому значению Rx соответствует состояние баланса двойного моста, если сопротивление плеч моста R1 =R4 =200,4 Ом; R2 = R3 = 1000 Ом; R0=

= 1 Ом.

Задача №4

Параметры конденсатора с большими потерями измеряются с помощью моста переменного тока. Выбрать схему моста и определить значения Cx, Rп и tgx, если C0 = 1 мкФ, R2 = 1000 Ом, R3 = 400 Ом, R4 = 100 Ом. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.

Задача № 5

Параметры катушки индуктивности с большой добротностью измеряются с помощью моста переменного тока. Выбрать схему моста и определить значения  Lx,  Rп и Qx, если R2 = 1000 Ом, R3 = 40 Ом, R4 = 200 Ом, C0 = 0.1 мкФ. Частота питающего напряжения f = 1 кГц.

Задача № 6

Определить значения Lmin и Lmax, которые могут быть измерены резонансным измерителем,   имеющим  диапазоны  изменения   частоты  генератора  f =

=(50 кГц - 50 МГц) и емкости образцового конденсатора С0 = (30-450) пФ.

Задача № 7

При измерении емкости конденсатора Cx с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора С01 = 154 пФ и С02 = 262 пФ. Определить значение Cx, если измеряемый конденсатор включался последовательно с образцовым.

Задача № 8

При измерении индуктивности катушки с помощью резонансного измерителя с использованием метода замещения получены два значения емкости образцового конденсатора С01 = 175 пФ и С02 = 50 пФ. Определить значение Lx, если катушка индуктивности включалась параллельно образцовому конденсатору. Измерения проводились на частоте fp=4500 кГц.

Задача № 9

Определить полное сопротивление двухполюсника Z и его составляющие R и X на частоте f = 5500 кГц, если до подключения двухполюсника к Q - метру получены значения емкости образцового конденсатора С1 = 275 пФ и добротности Q1 = 140, а при его подключении к Q - метру (последовательно с образцовым конденсатором) получены значения С2 = 115 пФ и добротности Q2 = 68. Определить характер реактивности.

 Литература

1 Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. - М.: Издательство cтандартов, 1975. - 336 с.

2 Рабинович С.Г. Погрешности измерений. -Л.: Энергия, 1978. - 262 с.

3 Архипенко А.Г., Белошицкий А.П., Ляльков С.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебное пособие. Ч.1. Основы метрологии. - Мн.: БГУИР, 1997. - 55 с.

4 Елизаров А.С.  Электрорадиоизмерения. - Мн.: Выш. шк., 1986. - 320 с.

5 Основы метрологии и электрические измерения: Учебник для вузов/ Б.Я.Авдеев, Е.М.Антонюк и др.; Под ред. Е.М.Душина. - Л.: Энергоатомиздат, 1987. - 480 с.

6 Мирский Г.Я.  Электронные  измерения. - М.: Радио и связь, 1986. - 440 с.

7 Винокуров В.И., Каплин С.И., Петелин И.Г. Электрорадиоизмерения.: Учебное пособие для радиотехнических специальностей вузов / Под ред. В.И. Винокурова. - М.: Высш. шк., 1986. - 351 с.

8 Новицкий М.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.

9 ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов многократных наблюдений.

10 Метрология, стандартизация и измерения в технике связи: Учебное пособие для вузов/Б.П. Хромой, А.В. Кандинов, А.Л. Сенявский и др.; Под ред. Б.П. Хромого. - М.: Радио и связь, 1986. - 320 с.

11 ГОСТ 8.009-84 ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.

12 ГОСТ 8.401-80 ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требования.


Св. план 1999, поз.77

Учебное издание

Авторы:  Белошицкий Анатолий Павлович

 Дерябина Марина Юрьевна

 Кострикин Анатолий Михайлович

 Ляльков Святослав Владимирович

 Ревин Валерий Тихонович

МЕТРОЛОГИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ

Учебно - методическое пособие

для индивидуальной работы студентов

всех специальностей  

Под общей редакцией С.В. Лялькова

Редактор Т.Н.Крюкова

____________________________________________________________________

Подписано в печать                                                       Формат 60х84 1/16

Печать офсетная       Бумага                      Усл.печ.л.                   Уч.-изд.л.

Заказ .                                                Тираж   500 экз.

____________________________________________________________________

Белорусский государственный университет информатики и

радиоэлектроники

Отпечатано в БГУИР. Лицензия ЛП N 156. 220027, Минск, П.Бровки,6

54

PAGE  6


Р(х)

0

х

m

+m

Р(х)

0

х

5

4

3

2

2,066

2,0

1,8

1,73

1,6

1,4

1,2

1,1

1,0

0   0,1 0,2     0,4      0,6       0,8      1,0

р

k

График 1

k

5

4

3

2

1

2,066

2,02

2,0

1,93

1,8

1,73

1,6

1,4

1,2

1,0

0   0,1 0,2     0,4      0,6       0,8      1,0

р

6

График 2

t

U

Um

Um

R0

E

Rк

Rа

Rx

Аx

1

2

Iи

Rи

Е

Rx

R2

R3

R4

И

R1

R3

R2

И

R4

Rх

R0

r

Iи

Rп

R2

R3

R4

И

Г

Сх

С0

R2

Rп

R3

R4

И

Г

С0

Lx


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69848. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО 738.5 KB
  Административное право является одной из важнейших отраслей правовой системы государства, а административное законодательство служит правовой основой построения и функционирования самой многочисленной ветви власти – исполнительной.
69849. Арбитражный процесс: Учебно-методический комплекс 608 KB
  Учебно-методический комплекс содержит необходимые учебные материалы: программу учебного курса, планы семинарских занятий, задачи, тематику рефератов и курсовых работ, экзаменационные вопросы, список рекомендуемой литературы, нормативных правовых актов, официальных актов высших...
69850. БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС 140.5 KB
  Дисциплина «Безопасность жизнедеятельности» учит распознавать, оценивать, предупреждать потенциальные опасности, защищать человека, общество, государство от негативных воздействий техногенного, антропогенного, социального характера, комплексно подходить к решению проблем безопасности.
69851. ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ГОСУДАРСТВА И ПРАВА 648 KB
  Предметом изучения курса «История отечественного государства и права» является история становления и развития государства и права России с древнейших времен до наших дней. Изучение в рамках курса некоторых аспектов истории судебных органов России решает следующие задачи...
69852. ПРАВООХРАНИТЕЛЬНЫЕ И СУДЕБНЫЕ ОРГАНЫ 978.5 KB
  Задачи изучения дисциплины: дать общее представление о правосудии его конституционных принципах; раскрыть систему правоохранительных органов место их в структуре государственных органов и их компетенция основные цели и задачи; дать общую информацию о правоохранительной деятельности...
69853. РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС 421.5 KB
  Язык как универсальная знаковая система. Язык и речь. Основные единицы языка и речи. Язык и общество, роль языка в развитии культуры и в становлении личности. Общение как одна из главных потребностей человека; особенности коммуникации в современном мире...
69854. ТРУДОВОЕ ПРАВО 1.17 MB
  В ходе преподавания и самостоятельного изучения студентами трудового права на основе сочетания аудиторных занятий и самостоятельных форм обучения достигаются следующие цели: образовательная усвоение теоретических положений принципов трудового права особенностей...
69856. Исполнительное производство 384.5 KB
  Государственные требования к минимуму содержания дисциплины 4 Введение 5 Объем дисциплины и виды учебных занятий 7 Тематический план 8 Программа учебной дисциплины 9 Тематический план семинарских практических занятий 20 Планы семинарских практических занятий...