ID: 71682

Название работы: Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Количество различных цифр используемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-11-10

Размер файла: 259 KB

Работу скачали: 8 чел.

Лабораторная работа №1.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Количество  различных цифр , используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления  с основанием   может быть представлено в виде полинома от основания :

,

где  — число, — цифры числа (коэффициенты при степенях ),— основание системы  счисления (>1).

Числа записывают в виде последовательности цифр:

 ., точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).

В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые  могут находиться только в двух состояниях; одно из которых обозначается 0, а другое — 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде: . , где  либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется  в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (см. таблицу  1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр — латинскими буквами: A (10), В (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадцатеричная система, так же как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (см. табл. 1).

Таблица 1.  

Алфавиты позиционных систем счисления (сс)

Двоичная сс (Основание 2)	Восьмеричная сс (Основание 8)		Десятичная сс (Основание 10)	Шестнадцатеричная сс (Основание 16)
		Двоичные триады			Двоичные тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Задание 1. Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.

Методические указания.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.

Примеры.

а) Перевести с.с.

.

Ответ: .

б) Перевести с.с.

.

Ответ: .

в) Перевести с.с.

.

Ответ: .

Задание 2. Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.

Примеры.

а) Перевести с.с.

Ответ: .

б) Перевести с.с.

Ответ: .

Задание 3. Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему  эту дробь последовательно умножают на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части полученных произведений. Если в результате умножения на некотором шагу дробная часть становится равной нулю, это означает, что получили конечную дробь в новой системе счисления. В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Не все конечные дроби в результате перевода станут конечными, зачастую в новой системе счисления получается бесконечная дробь.

Примеры.

а)  Перевести с.с.

0,	3125     8
2,	5000     8
4	0000
0,		3125     8
2		5000     8
4		0000

Условно разделим вертикальной чертой целую и

дробную часть полученных произведений.

Результат перевода – есть последовательность

цифр, состоящих из целых частей произведений,

записанная сверху вниз.

Ответ: .

б)  Перевести  с точностью  до 6 знаков после запятой с.с.

0,	65 2
1	3 2
0	6  2
1	2  2
0	4  2
0	8  2
1	6  2
	. . .

      0,652=1,3 далее умножаем дробную часть полученного  произведения

      0,32=0,6

      0,62=1,2  каждый раз умножаем только дробную часть
 произведения

      0,22=0,4

      0,42=0,8

      0,82=1,6

      0,62=1,2  

 

Ответ: .

Задание 4. Переведите неправильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.  Перевести с.с.

1) Переведем целую часть:                   2) Переведем дробную часть:

23		2
22		11	2
1		10	5	2
		1	4	2		2
			1	2		1		2
				0		0		0
						1
0,	1252
0	25  2
0	5    2
1	0

Получили ;  . Результат перевода .

Ответ: .

Задание 5. Переведите числа  из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания.

Для перевода  восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру  этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (см. таблицу 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (см. таблицу 1), при этом отбрасывают незначащие  нули в старших и младших (после запятой) разрядах.

Примеры.

а)  = ;     

б) = .

Задание 6. Переведите числа  из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания.

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной)  системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Примеры.

а) Перевести с.с.             

б) Перевести с.с.

   

 

Задание 7. Переведите числа  из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления и из шестнадцатеричной в  восьмеричную систему счисления.

Методические указания.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример.  Перевести с.с.

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

Вари-ант	Переведите числа в 10-ю с.с.	Переведите десятичные числа в 2-ю, 8-ю и 16-ю с.с.	Восьмеричное число переведите в 16-ю с.с., а шестнадцатеричное – в 8-ю с.с.
	10010011111, 1012 1372,128 3CA,7D16	1802 286,06	1263,718 2BA,2C16
	11100101010, 0112 2136,318 1C3,A216	1731 476,91	3472,628 4CA,2716
	11001100111, 0112 1742,368 123E,4D16	1660 438,76	1724,318 2АF,3C16
	11101011101, 10012 1467,638 1AF,7316	1589 362,87	1273,568 30A,E0F16
	101011010110, 0012 1523,248 2А7,3Е16	1518 305,37	1623,728 5C2,C716
	11001100011, 10012 1273,568 30A,E0F16	1682 324,93	12372,418 1D2,7D1
	10011010111, 0112 1623,728 5C2,C716	1846 457,21	1735,128 5AD,4D16
	11000001111, 0112 1735,668 23A,EF16	2010 343,43	2451,238 2BA,D316
	10000111111, 10012 1327,468 3CD,BA16	1933 381,93	1372,128 3CA,7D16
	11100001101, 0112 1523,748 4BA,2F16	1856 419,96	2136,318 1C3,A216
	11011110110, 1012 4123,178 1C3,A516	1779 400,01	1742,368 123E,4D16
	110010010111, 10012 1272,128 3AD,7D16	1702 153,63	5123,148 1B3,4D16
	11100110101,10112 1071,218 5DC,F216	1625 172,04	1263,718 2BA,2C16
	10011010111, 0112 2372,128 1F2,7B16	1548 191,11	3472,628 4CA,2716
	11110010101,10012 1574,618 35C,F116	1702 210,96	1724,318 2АF,3C16
	11000011010, 10012 6123,518 13A,C216	1856 229,74	1272,128 3AD,7D16
	10011000111,11112 5412,638 52A,1716	1794 248,2	1071,218 5DC,F216
	11101101101, 10012 5123,148 1B3,4D16	1732 267,72	2372,128 1F2,7B16
	11101011001, 01012 1263,718 2BA,2C16	1670 571,58	1742,368 123E,4D16
	10101110111, 01012 3472,628 4CA,2716	1608 590,72	1467,638 1AF,7316
	10101101111, 0112 1724,318 2АF,3C16	1732 495,32	1523,248 2А7,3Е16
	11100101101,10112 1275,468 23А,Е716	1856 552,5	1735,668 23A,EF16
	10011010111, 0112 12372,418 1D2,7D1	1980 533,51	1327,468 3CD,BA16
	11011100010,11012 1735,128 5AD,4D16	1805 514,58	1523,748 4BA,2F16
	10100101111, 1012 2451,238 2BA,D316	1630 609,11	4123,178 1C3,A516

Контрольные вопросы.

1. Как осуществляется перевод чисел из р-ой с.с. в десятичную

2.  Как перевести целое десятичное число в р- ую с.с.

3.  Как перевести правильную десятичную дробь в р- ую с.с.

4.  Как перевести неправильную десятичную дробь в р- ую с.с.

181	8
176	22	8
5	16	2	8
	6	0	0
		2

                

В таблице представлено деление:

181 : 8 = 22 (остаток 5)

22 : 8 = 2 (остаток 6)

2 : 8 = 0 (остаток 2)

622	16
48	38	16
142	32	2	16
128	6	0	0
14		2

В таблице представлено деление:

622 : 16 = 38 (остаток 1410 = Е16 )

38 : 16 = 2 (остаток 6)

2 : 16 = 0 (остаток 2)

Обратите внимание, в результате перевода получилась

бесконечная периодическая дробь.

 Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.