71682

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Количество различных цифр используемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.

Русский

2014-11-10

259 KB

9 чел.

Лабораторная работа №1.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Количество  различных цифр , используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления  с основанием   может быть представлено в виде полинома от основания :

,

где  — число, — цифры числа (коэффициенты при степенях ),— основание системы  счисления (>1).

Числа записывают в виде последовательности цифр:

 ., точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).

В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые  могут находиться только в двух состояниях; одно из которых обозначается 0, а другое — 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде: . , где  либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется  в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (см. таблицу  1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр — латинскими буквами: A (10), В (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадцатеричная система, так же как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (см. табл. 1).

Таблица 1.  

Алфавиты позиционных систем счисления (сс)

Двоичная сс

(Основание 2)

Восьмеричная сс

(Основание 8)

Десятичная сс

(Основание 10)

Шестнадцатеричная сс

(Основание 16)

Двоичные

триады

Двоичные тетрады

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

000

001

010

011

100

101

110

111

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Задание 1. Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.

Методические указания.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.

Примеры.

а) Перевести с.с.

.

Ответ: .

б) Перевести с.с.

.

Ответ: .

в) Перевести с.с.

.

Ответ: .

Задание 2. Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.

Примеры.

а) Перевести с.с.

Ответ: .

б) Перевести с.с.

Ответ: .

Задание 3. Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему  эту дробь последовательно умножают на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части полученных произведений. Если в результате умножения на некотором шагу дробная часть становится равной нулю, это означает, что получили конечную дробь в новой системе счисления. В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Не все конечные дроби в результате перевода станут конечными, зачастую в новой системе счисления получается бесконечная дробь.

Примеры.

а)  Перевести с.с.

0,

3125

   8

2,

5000

   8

4

0000

0,

3125

   8

2

5000

   8

4

0000

Условно разделим вертикальной чертой целую и

дробную часть полученных произведений.

Результат перевода – есть последовательность

цифр, состоящих из целых частей произведений,

записанная сверху вниз.

Ответ: .

б)  Перевести  с точностью  до 6 знаков после запятой с.с.

0,

65 2

1

3 2

0

6 2

1

2 2

0

4 2

0

8 2

1

6 2

. . .

      0,652=1,3 далее умножаем дробную часть полученного  произведения

      0,32=0,6

      0,62=1,2  каждый раз умножаем только дробную часть
 произведения

      0,22=0,4

      0,42=0,8

      0,82=1,6

      0,62=1,2  

 

Ответ: .

Задание 4. Переведите неправильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания.

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.  Перевести с.с.

1) Переведем целую часть:                   2) Переведем дробную часть:

23

2

22

11

2

 1

10

5

2

  1

4

2

2

1

2

1

2

0

0

0

1

  0,

1252

0

25  2

0

5    2

1

0

Получили ;  . Результат перевода .

Ответ: .

Задание 5. Переведите числа  из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания.

Для перевода  восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру  этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (см. таблицу 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (см. таблицу 1), при этом отбрасывают незначащие  нули в старших и младших (после запятой) разрядах.

Примеры.

а)  = ;     

б) = .

Задание 6. Переведите числа  из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания.

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной)  системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Примеры.

а) Перевести с.с.             

б) Перевести с.с.

   

 

Задание 7. Переведите числа  из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления и из шестнадцатеричной в  восьмеричную систему счисления.

Методические указания.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример.  Перевести с.с.

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

Вари-ант

Переведите числа в 10-ю с.с.

Переведите десятичные числа в 2-ю, 8-ю и 16-ю с.с.

Восьмеричное число переведите в 16-ю с.с., а шестнадцатеричное – в 8-ю с.с.
  1.  

10010011111, 1012

1372,128

3CA,7D16

1802

286,06

1263,718

2BA,2C16
  1.  

11100101010, 0112

2136,318

1C3,A216

1731

476,91

3472,628

4CA,2716
  1.  

11001100111, 0112

1742,368

123E,4D16

1660

438,76

1724,318

2АF,3C16
  1.  

11101011101, 10012

1467,638

1AF,7316

1589

362,87

1273,568

30A,E0F16
  1.  

101011010110, 0012

1523,248

2А7,3Е16

1518

305,37

1623,728

5C2,C716
  1.  

11001100011, 10012

1273,568

30A,E0F16

1682

324,93

12372,418

1D2,7D1
  1.  

10011010111, 0112

1623,728

5C2,C716

1846

457,21

1735,128

5AD,4D16
  1.  

11000001111, 0112

1735,668

23A,EF16

2010

343,43

2451,238

2BA,D316
  1.  

10000111111, 10012

1327,468

3CD,BA16

1933

381,93

1372,128

3CA,7D16
  1.  

11100001101, 0112

1523,748

4BA,2F16

1856

419,96

2136,318

1C3,A216
  1.  

11011110110, 1012

4123,178

1C3,A516

1779

400,01

1742,368

123E,4D16
  1.  

110010010111, 10012

1272,128

3AD,7D16

1702

153,63

5123,148

1B3,4D16
  1.  

11100110101,10112

1071,218

5DC,F216

1625

172,04

1263,718

2BA,2C16
  1.  

10011010111, 0112

2372,128

1F2,7B16

1548

191,11

3472,628

4CA,2716
  1.  

11110010101,10012

1574,618

35C,F116

1702

210,96

1724,318

2АF,3C16
  1.  

11000011010, 10012

6123,518

13A,C216

1856

229,74

1272,128

3AD,7D16
  1.  

10011000111,11112

5412,638

52A,1716

1794

248,2

1071,218

5DC,F216
  1.  

11101101101, 10012

5123,148

1B3,4D16

1732

267,72

2372,128

1F2,7B16
  1.  

11101011001, 01012

1263,718

2BA,2C16

1670

571,58

1742,368

123E,4D16
  1.  

10101110111, 01012

3472,628

4CA,2716

1608

590,72

1467,638

1AF,7316
  1.  

10101101111, 0112

1724,318

2АF,3C16

1732

495,32

1523,248

2А7,3Е16
  1.  

11100101101,10112

1275,468

23А,Е716

1856

552,5

1735,668

23A,EF16
  1.  

10011010111, 0112

12372,418

1D2,7D1

1980

533,51

1327,468

3CD,BA16
  1.  

11011100010,11012

1735,128

5AD,4D16

1805

514,58

1523,748

4BA,2F16
  1.  

10100101111, 1012

2451,238

2BA,D316

1630

609,11

4123,178

1C3,A516

Контрольные вопросы.

1. Как осуществляется перевод чисел из р-ой с.с. в десятичную

2.  Как перевести целое десятичное число в р- ую с.с.

3.  Как перевести правильную десятичную дробь в р- ую с.с.

4.  Как перевести неправильную десятичную дробь в р- ую с.с.


181

8

176

22

8

   5

16

2

8

6

0

0

 

2

                

В таблице представлено деление:

181 : 8 = 22 (остаток 5)

22 : 8 = 2 (остаток 6)

2 : 8 = 0 (остаток 2)

622                    

16

48

38

16

142

32

2

16

128

6

0

0

14

2

В таблице представлено деление:

622 : 16 = 38 (остаток 1410 = Е16 )

38 : 16 = 2 (остаток 6)

2 : 16 = 0 (остаток 2)

Обратите внимание, в результате перевода получилась

бесконечная периодическая дробь.

 Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.