71731

Методы оценки погрешностей при прямых и косвенных измерениях количественных значений различных величин

Лабораторная работа

Социология, социальная работа и статистика

Научиться обрабатывать результаты прямых и косвенных измерений с учетом случайных и систематических погрешностей. Состояние производства и научных исследований предъявляют постоянно растущие требования к точности измерений которые удовлетворяются не только за счет создания...

Русский

2014-11-11

150.5 KB

5 чел.

21

I. Основы метрологии

Лабораторная работа № 1

Методы оценки погрешностей при прямых и косвенных

измерениях количественных значений различных величин

Цель работы: 1. Научиться обрабатывать результаты прямых и косвенных измерений с учетом  случайных и систематических погрешностей.

  1.  Научиться оформлять отчет о выполнении лабораторной работы.

Литература

  1.  [1], Гл. 2; §§ 2.3, 2.5 – 2.9.
  2.  [2], §§ 97 - 99.
  3.  [5], стр. 5 – 25.
  4.  Лекции по теории вероятностей и математической статистике для студентов лечебного и педиатрического факультетов; материалы практических занятий.

Вопросы входного контроля

  1.  Правила действий над приближенными числами.
  2.  Какие величины называются случайными? Дискретные и непрерывные  случайные величины.
  3.  Законы распределения и числовые характеристики дискретной  случайной величины.
  4.  Стандартные интервалы в законе нормального распределения.
  5.  Что значит измерить физическую величину?
  6.  Какие измерения называются прямыми, какие косвенными?
  7.  Виды погрешностей.
  8.  Абсолютная и относительная погрешности.
  9.  Использование понятия полного дифференциала для определения погрешности косвенного измерения.

1. Краткая теория

Измерения - одна из самых распространенных операций в практике человеческой деятельности. Каждый результат измерения характеризируется, кроме самого значения измеренной величины еще и точностью, с которой он получен. Состояние производства и научных исследований предъявляют постоянно растущие требования к точности измерений, которые удовлетворяются не только за счет создания и применения все более чувствительных приборов, но и путем использования более тонких и эффективных методов обработки результатов измерений.

Результаты измерений физических величин, проводимых в научно – исследовательской или учебных лабораториях всегда являются не абсолютно точными, а приближенными, потому что каждое измерение сопровождается погрешностью. Поэтому в задачу измерений входит не только определение значения самой величины, но также и оценка допущенных погрешностей.

Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямыми называются такие измерения, при которых искомая величина измеряется непосредственно с помощью прибора. Косвенными называются такие измерения, при которых искомая величина находится в функциональной зависимости от других величин, полученных путем прямого измерения. Например: площадь прямоугольной поверхности можно вычислить по формуле S=a*b, где значения величин a и b можно измерить непосредственно при помощи инструментов.

Чтобы результаты измерений получались более точными, необходимо тщательно выполнять следующие правила:

  1.  Проверять средства измерения и правильно их применять.
  2.  Снимать показания со средств измерений с практически необходимой точностью.
  3.  Вычислять искомую величину по результатам измерений с соблюдением правил приближенных вычислений  и с учетом погрешности.

Погрешности при измерениях величин принято подразделять на три вида: систематические, случайные и промахи. Систематической (приборной) называют погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Величина систематической погрешности в основном зависит от качества измерительного прибора. Случайной называют погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов. Величина ее зависит от условий измерения и навыков экспериментатора. Промахом называют погрешность, которая оказывается намного больше ожидаемой в денных условиях.

Систематические погрешности, допускаемые при прямых измерениях обусловливаются в основном чувствительностью прибора. Поэтому их называют инструментальными или приборными. Для характеристики большинства измерительных приборов пользуются понятием приведенной погрешности:

K=/

где - абсолютная погрешность или разность между действительным значением измеряемой величины и показанием прибора, а  - набольшее значение, которое может быть измерено по шкале прибора.

По приведенной погрешности все приборы делятся на классы точности (0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4 ), которые отражают величину приведенной погрешности в процентах. Зная класс точности прибора, можно рассчитать его абсолютную приборную погрешность:   

В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, приборная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы.

Поэтому вычисление погрешности при оценке истинного значения измеряемой величины сводится к определению ее интервальной оценки по конечному числу случайных значений измеряемой величины. Причем, при прямых и при косвенных измерениях, необходимо систематические (приборные) и случайные погрешности рассматривать сначала раздельно. Затем соответствующие доверительные границы сводят к общим границам, характеризующим полную погрешность измерений.

Часто результаты многократных измерений подчиняются нормальному закону распределения (распределения Гаусса), т.е. бывает равновероятно получить результаты как большие, так и меньшие, чем истинное значение измеряемой величины.

  1.  План обработки результатов прямых измерений

Пусть с целью получения наиболее точного значения произведено n измерений искомой величины X, распределение которой подчиняется нормальному закону, и получено n значений:

Рассмотрим этапы стандартной статистической обработки  результатов измерений и оценки погрешностей.

  1.  Находим среднее арифметическое значение измеряемой величины:

.

2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений:

.

3. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность отдельных измерений:

.

  1.  Отбрасываем промахи, т.е. те результаты, для которых:  и уточняем оставшееся число измерений, которое и будем снова принимать за n.

Вычисляем погрешность.

  1.  Вычисляем погрешность арифметического (или уточненное среднее квадратическое отклонение).

.

6. Определяем границы доверительного интервала, пользуясь коэффициентом Стьюдента .

Значение коэффициента Стьюдента определяем по таблице, исходя из числа измерений n и доверительной вероятности p (или уровня значимости 1-p). В лабораторных исследованиях считается достаточным доверительная вероятность 0,95 (или уровень значимости 0,05).

  1.  Определяем приборную погрешность (.
  2.  Сравниваем значения приборной погрешности и доверительного интервала. Если одна из погрешностей больше другой в три и большее число раз, то в конечном результате учитывают только ее:    

 или .

Если же погрешности окажутся близкими по значению, то граница суммарной погрешности определяется по формуле:

.

  1.  Записываем окончательный результат в стандартной форме с учетом общей границы погрешности (по пункту 8 данного плана):

.

  1.   Вычисляем относительную погрешность:

.

                                             Таблица коэффициентов Стьюдента

Число измерений

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t(p, n)

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,5

2,4

2,3

2,3

  1.  План обработки результатов косвенных измерений

Пусть искомая величина является функцией нескольких переменных , каждая из которых может быть получена в результате прямых измерений:

.

  1.  Находим среднее значение искомой величины:

.

2. Для определения абсолютной погрешности искомой величины находим полный дифференциал функции:

.

При малых значениях дифференциалов аргументов (или приращений аргументов) приращение функцииприближенно равно значению ее дифференциалу :

.

В теории погрешностей формулируется закон сложения погрешностей, согласно которому для нахождения суммарной погрешности нужно складывать не сами погрешности, а их квадраты:

.

Вычисление этим методом будет более точным, но и более трудоемким при ручной обработке результатов измерений.

       3. Окончательный результат  записываем в стандартном виде:

.

       4. Находим относительную погрешность косвенного измерения:

.

При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна согласовываться с точностью измерений: числовое значение результата не должно содержать большего числа цифр, чем число, заданное с наименьшей точностью.

2. Практическая часть

Прямые измерения и обработка их результатов.

Задание 1: измерить объем легких с помощью спирометра.

Приборы и оборудование: спирометр, спирт для дезинфекции.

Спирометр – прибор, служащий для определения жизненной емкости  легких.

Ход работы.

  1.  Познакомиться с устройством спирометра. Подготовьте его к работе (продезинфицируйте наконечник, установите стрелку шкалы на начало отсчета).
  2.  Сделайте глубокий вдох и выдохните воздух до максимального выдоха в спирометр. Запишите объем легких (в литрах).
  3.  Повторите измерения 4-5 раз.
  4.  Обработайте полученные результаты.

Результаты измерений и промежуточных вычислений можно занести во вспомогательные таблицы:

  №

опыта

литр

литры

1

2

3

4

5

 

M

Vобщ

  1.  Запишите окончательный результат в стандартной форме записи: 

.

Задание 2: измерить скорость выдоха и объемную скорость выдоха.

Приборы и оборудование:  пикфлоуметр и указатель объемной скорости выдоха ‘‘Борей’’, спирт для дезинфекции.

Пикфлоуметр служащий для определения пиковой (максимальной) скорости выдоха, которая позволяет судить о степени открытости (или сужения) воздушных путей. В норме значение этого показателя (400 – 500) литров в минуту для женщин и (500 –600) литров в минуту для мужчин.

Во время приступа астмы воздухоносные пути сужаются  и пиковая скорость выдоха уменьшается. Часто  падение этого показателя наблюдается за несколько дней до появления выраженных симптомов, поэтому систематические измерения помогают выявить обострение астмы заранее и принять профилактические меры.

Для аналогичных профилактических целей используется прибор скорости выдоха ‘‘Борей’’. Он предназначен для определения пиковой максимальной объемной скорости выдоха (ПОСВ), которая характеризует проходимость воздушных путей, что также позволяет контролировать состояние легких.  

Ход работы.

  1.  Познакомьтесь с устройством прибора. Подготовьте его к работе (продезинфицируйте мундштук, и установите стрелку шкалы на начало отсчета).
  2.  Сделайте глубокий вдох и резко выдохните воздух в мундштук так сильно и быстро, как возможно. Запишите показания. Измерения можно проводить в положении стоя или сидя. Прибор держать горизонтально, не закрывая мундштук языком.
  3.  Повторить измерения 4 –5 раз.
  4.  Обработать полученные результаты (см. рекомендации к обработке результатов в задании 1).
  5.  Запишите окончательные результаты в стандартной форме:   

V=(±V)л/мин и

Q=(±Q)л/с.

 

Задание 3: измерить объем легких по площади поверхности тела.

Приборы и оборудование: ростомер медицинский, весы медицинские или бытовые.

Описание метода измерения:

Емкость легких может быть определена различными косвенными способами. Наиболее простым, но весьма приближенным способом, является определение объема легких по площади поверхности тела человека, которой объем легких пропорционален:

.

У мужчин 1 квадратный метр поверхности тела в среднем соответствует 2,5 литрам объема легких (А=2,5), у женщин – 2 литрам (А=2).

Площадь поверхности тела человека (S) можно приблизительно рассчитать по уравнению Дубойса: , где  m – масса тела человека в килограммах, l – рост человека в метрах.

Ход работы.

  1.  Измерьте массу человека (, кг).
  2.  Определите абсолютную погрешность весов (m, кг).
  3.  Измерьте рост человека (l, м).
  4.  Определите абсолютную погрешность ростомера (l, м).
  5.  Запишите в стандартной форме значение массы и роста:

кг,   м.

  1.  Пользуясь формулой Дубойса определите среднее значение объема легких

.

  1.  Вычислите абсолютную погрешность, используя понятие полного дифференциала функции: .
  2.  Вычислите относительную погрешность.
  3.  Запишите конечный результат вычислений. .
  4.  Объясните различие в результатах выполнения задания 1 и 2.

Задания для УИРС

Задание 4.

  1.  Познакомиться с программой компьютера, позволяющей производить обработку результатов лабораторных измерений.
  2.  Проверить результаты предыдущих вычислений.

Приборы и оборудование: персональный компьютер.

 Вопросы выходного контроля

  1.  Какие погрешности называются систематическими, случайными, промахами?
  2.  Как определяется цена деления измерительного прибора?
  3.  Как определяется систематическая погрешность измерительного прибора?
  4.  Какое минимальное количество измерений каждого показателя следует сделать для достоверности полученного результата? Закон больших чисел.
  5.  Как в конечном результате учесть приборную и случайную погрешность?
  6.  С какой вероятностью достаточно гарантировать результаты измерения в лабораторных работах?
  7.  Правила округления чисел в записи конечного результата измерения.
  8.  Методы измерения объема легких. Какой из рассматриваемых методов наиболее точен и почему?
  9.  Какая связь между ростом, массой человека, площадью поверхности тала и объема легких?
  10.  Методы измерения объемной скорости и скорости выдоха. Какова связь между этими показателями?

21